（基础数学专业论文）拟正则序列与相伴分次模.pdf

上海师范大学硕士学位论文中文摘要 摘要 交换代数是数学的重要研究分支，亦被称为局部的代数几何交换代数研究的一个重 要方法是利用各种零因子的性质来研究交换代数的有关问题，其中正则序列与拟正则序 列是研究零因子的两个重要概念，在交换代数研究中有着重要的作用人们对模的正则序 列有着广泛而深入的研究，已经形成了完善的理论系统，而拟正则序列的理论完整性还 有待加强，本文的目的是研究拟正则序列的性质与应用 通过把拟正则序列与正则序列相联系，我们给出了一个用正则序列来刻画拟正则序列 的局部化方法利用该结果，可以比较方便的证明拟正则序列的一些性质特别是我们给 出了拟正则序列与深度的一个重要关系，从而修正了一本经典的交换代数书的一个结果 本文的另一个研究内容是相伴分次代数的平坦性问题f i e l d s 奖的得主h i r o n a k a 建立了 正则局部环的商环关于某些素理想的相伴分次代数的平坦性的判别方法，得到了许多重 要的结果我们考虑了一般n o e t h e r 环的两个理想的相伴分次代数的平坦性关系，借助拟正 则序列的性质，我们推广了h i r o n a k a 的一个结果 关键词：正则序列，拟正则序列，局部化，相伴分次代数，平坦性 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o m m u t a t i v ea l g e b r ai sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，a n di sc a l l e dl o c a l l ya l g e b r a i c g e o m e t r y o n eo ft h ei m p o r t a n tm e t h o d si nc o m m u t a t i v ea l g e b r ai st om a k eu s eo ft h ep r o p e r t i e so f z e r o - d i v i s o r st od e a lw i t hm a n yp r o b l e m s r e g u l a rs e q u e n c e sa n dq u a s i r e g u l a rs e q u e n c e sa l et w o i m p o r t a n tn o t i o n sr e l a t e dt oz e r o - d i v i s o r sa n dp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fc o m m u t a t i v e a l g e b r a t h en o t i o no fr e g u l a rs e q u e n c e sh a v eb e e nw i d e l ys t u d i e di nt h ep a s ty e a r s ，a n dm a n y c h a r a c t e r i z a t i o na n da p p l i c a t i o n so fr e g u l a rs e q u e n c eh a v eb e e ne s t a b l i s h e d f o rt h en o t i o no f q u a s i - r e g u l a rs e q u e n c e s ，t h et h e o r yo fi ti sn o ts oc o m p l e t e t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st o s t u d yt h ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n so fq u a s i - r e g u l a rs e q u e n c e s b yr e l a t i n gaq u a s i r e g u l a rs e q u e n c et or e g u l a rs e q u e n c e s ，w eo b t a i nal o c a l - g l o b a lc h a r a c - t e r i z a t i o no fq u a s i r e g u l a rs e q u e n c e s i tm a k e si tm u c he a s i e rt op r o v es o m ep r o p e r t i e so fq u a s i - r e g u l a rs e q u e n c e s i np a r t i c u l a r , w eh a v eg i v e na ni m p o r t a n tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en o t i o no f q u a s i - r e g u l a rs e q u e n c e sa n d t h en o t i o no fd e p t h t h i sr e s u l tr e v i s e sa c o r o l l a r yi na c l a s s i c a lb o o k o fc o m m u t a t i v ea l g e b r a a n o t h e rc o n t e n to ft h i sp a p e ri st os t u d yt h ef l a t n e s so ft h ea s s o c i a t e da l g e b r ao fa ni d e a l a w i n n e ro ff i e l d sm e d a l ，h i r o n a k a ，h a se s t a b l i s h e dt h ef l a t n e s so fs o m ea s s o c i a t e da l g e b r a sa b o u t t h er i n g sw h i c ha r eq u o t i e n tn n g so fr e g u l a rl o c a lr i n g s ，a n dm a n yi m p o r t a n tp r o p e r t i e sh a v eb e e n f o u n db yh i m w ew i l lc o n s i d e rt h er e l a t i o n so ft w of l a ta s s o c i a t e da l g e b r a sf o rm o r eg e n e r a l n o e t h e rr i n g s b ym e a n so ft h ep r o p e r t i e so f q u a s i r e g u l a rs e q u e n c e s ，w ep r o v ear e s u l tw h i c hi s a g e n e r a l i z a t i o no far e s u l to fh i r o n a k a s k e yw o r d s ： r e g u l a rs e q u e n c e ，q u a s i - r e g u l a rs e q u e n c e ，l o c a l g l o b a l ，a s s o c i a t e da l g e - b r a s ，f l a t n e s s l i 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签 签名： 阁才孽 日期： 沪明。堍 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 交换代数是数学的重要研究分支，亦被称为局部的代数几何交换代数研究的一个重 要任务是刻画各种非零因子的性质，由此而引入了许多与非零因子有关的概念以及研究 这些概念的方法正则序列与拟正则序列是两类重要的与零因子有关的概念，在交换代数 的研究中发挥着重要的作用其中正则序列的性质已经得到了深入研究，得到了各种刻画 方法，并有着广泛应用，而对拟正则序列的研究还有待进一步完善本文的主要目的是应 用理想的相伴分次模对一般n o e m e r 环上拟正则序列的性质作进一步讨论我们将给出拟正 则序列的局部化刻画，推广f i e l d s 奖得主h i r o n a k a 有关g e n e r i c 平坦性的一个结果由于在局 部n o e t h e r 环上正则序列与拟正则序列的概念是同一概念，本文的交换环以及结果主要针 对非局部n o e t h e r 环 全文共分四章在第二章中介绍正则序列，相伴分次代数，相伴分次模，以及理想平 坦性的一些基本概念和引理，为下文进一步研究做准备 第三章主要讨论拟正则序列，在回顾了拟正则序列的概念和基本性质后，我们应用局 部化方法得到一个用正则序列导出拟正则序列的从局部到整体的判别法： 定理1 0 1 妇是一个d p 咖p r 环，m 是一个有隈生成r 模，z 1 ，z 2 ，研是冗中的元素 舭1 ，z 2 ，研是m 的拟正则序列的充要条件为任给r 的素理想p2 ( z l ，2 7 2 ，) ， z l ，z 2 ，研是m p - 序列，这里m p 是m 关于p 疗锔部化 利用上述定理，我们可以很容易地证明如下的结果： 定理1 0 2 溯是一个d p 砌p r 环，m 是一个有限生成r 模，z 1 ，z 2 ，薪是冗中的元素， 假定吼x 2 ，z r 是m 的拟正则痔列则对任伺正整数n 以及整数iqsi 0 进而可得到分次g r d r ) 模的同态： 妒：9 r ? ( m ) og r x ( r ) _ g r l ( m ) 我们给出一个关于平坦性的判别定理，其证明可参考【1 】 定理2 0 5 令r _ b 为一个d p 历p 厂环的映射，j r 是引约理想使得i b 包含在b 的小根当 中m 为有限b 模，这时t 列条件等价： ( 1 ) m 为平坦r - 模： ( 2 ) m 圆r r i i 为平坦r f i - 模并且t c r r 警0 r i ，m 、) = o ： ( 3 ) m q r r i i 为平坦r i 一模并且同态映射 为同构的 4 妒：夕冲( m ) o g r ，( r ) _ 9 r ，( m ) 上海师范大学硕士学位论文第三章拟芷则序列的刻画 第三章拟正则序列的刻画 本章主要研究拟正则序列在交换代数中正则序列是一个重要概念，亦是具有很好的 同调代数刻画的研究对象交换环上模的正则序列的长度可用来对相应的对象进行分类， 例如可用来定义c o h e n m a c a u l a y 环与c o h e n m a c a u l a y 模拟正则序列的概念是正则序列概 念的自然推广，在局部n o e t h e r 环的情形下两者是等价的，在非局部环的情形下两者有一 定的差别众所周知，在任何情形下正则序列一定为拟正则序列，反之，则不一定成立 本章主要的目的是通过对拟正则序列所生成的理想的相伴分次模的性质进行分析，给出 用正则序列刻画拟正则序列的局部化判别法由此判别法我们还将证明一些关于拟正则序 列的结果，其中的一个结果改正了一本经典教科书的一个推论【1 ，t h e o r e m1 6 8 的推论】 3 1 拟正则序列及基本结果 本节我们给出拟正则序列的定义以及一些基本结果这些结果是已知的，可参看【1 】 为保持本文的完整性，我们给出所列结果的完整证明，包括证明局部n o e t h e r 环上有限生 成模的拟正则序列一定是正则的，为我们下一节作准备 设冗是一个n o e t h e r 环，m 是冗模在下文中我们始终用x 1 ，恐，墨表示7 个 变量，用r x 1 ，x 2 ，墨】表示环r 上7 个变量的多项式环用m x l ，x 2 ，墨】表 示mor x 1 ，x 2 ，墨】，并称m x 1 ，x 2 ，墨】中的元素为系数在m 中的多项式相 应的在m l ，托，墨】中可定义齐次多项式的概念 定义3 1 1 设r 是一个d p 咖p ，环，i = ( x l ，x 2 ，) 为引约理想，设m 是r 一模，并 且i m m 如果对于任意系数在m 中的齐次多项式f 噼l ，x 2 ，x 0 满足当 f ( x l ，z 2 ，z ，) = 0 时f 的系数均在i m 中，我们称茁l ，z 2 ，z f 为m 的拟正则守列 5 第三章拟正则序列的刻画 上海师范大学硕士学位论文 拟正则序列与相伴分次模有密切关系，为讨论这一关系，我们定义一个映射 妒：m i m x 1 ，x 2 ，研】一g r l ( m ) = p m i 件1 m 如下：取一个n 次的齐次元素 f ( 墨，恐，墨) m x a ，x 2 ，墨】 则 令 f ( x l ，x 2 ，) p 胍 _ 【p ( f ( x 1 ，恐，墨) ) 三f ( x l ，x 2 ，) m o d i 1 m 则妒给出了一个从m 【确，恐，坼】到夕7 j ( m ) 的分次模同态因为，m i x l ，恐，墨】在 它的核当中，所以又可以引出一个同态： l p ：( m i m ) x 1 ，恐，墨】一g r l ( m ) 这个同态显然为满同态，从拟正则序列的定义容易证明z 1 ，z 2 ，研为m 的拟正则序列的 充要条件为妒是同构映射 似 下面我们先证明拟正则序列的一个基本性质，该性质与正则序列的相应性质完全类 命题3 1 1 设( r ，m ) f l j n o e t h e r j 砑：，m 为有限生成冗一模假定z l ，z 2 ，为m 的拟正则序 列，则z 2 ，x 3 ，z ，为m x l m 的拟正则亭列 证明：令i = ( z 1 ，x 2 ，研) 设 为扎次齐次多项式，使得 f ( 而，恐，墨) m 阢，x s ，墨】 我们证明f 的系数在j m 中设 6 f ( z 2 ，x 3 ，z r ) x l m f ( x 2 ，x 3 ，z r ) = x 1 0 3 上海师范大学硕士学位论文第三章拟正则序列的刻画 这里u = g ( z 1 ，x 2 ，z ，) i i m ，g 为系数在m 中的i 次齐次多项式我们将证明u p m 如果i 1 且结论对于小于7 时成立因为z 1 ，z 2 ，x r - 1 为m 的正则序列，所以由 归纳假设z l ，z 2 ，x r - 1 为m 的拟正则序列要证明z 1 ，x 2 ，研为m 的拟正则序列，只需 证明对任意系数在m 中的扎次齐次多项式f ( 墨，磁，墨) 满足 f ( x l ，x 2 ，z r ) = 0 则f 的系数均在j m 中即可把f 表示为 f = g 阢，恐，墨一1 】+ x r h x 1 ，x 2 ，墨】 其中g 为不含墨的礼次齐次多项式，日为n 一1 次齐次多项式所以 g ( x l ，x 2 ，x r 一1 ) p x r h ( x l ，x 2 ，x r ) ( x l ，x 2 ，x r - 1 ) 住 由于z l ，z 2 ，x r 正则，所以 因此 【( z 1 ，x 2 ，一1 ) ”m ：x r 】= ( x l ，x 2 ，x r 一1 ) n 从 h ( x l ，x 2 ，z f ) ( x l ，x 2 ，z ，一1 ) n f 从而有礼次齐次多项式g 7 x 1 ，恐，墨一1 】m x 1 ，墨一l j ，使得 这等价于 h ( x 1 ，。2 ，x ，) = g ( z 1 ，x 2 ，z ，1 ) ， ( g + g ，) ( z 1 ，x 2 ，x r - 1 ) = 0 由于z 1 ，z 2 ，x r - 1 为m 的拟正则序列，g + 研g ，是系数在m 中的n 次齐次多项式，所 以g + 坼g 7 的系数在( z 1 ，x r - i ) m 中，这等价于g 的系数在( z l ，z 2 ，) m 当中对 8 上海师范大学硕士学位论文第三章拟正则序列的刻画 于日，f h ：t = d e g h = n 一1 ，对d e 夕日进行归纳可证明日的系数也在( z l ，z 2 ，研) m 中，这 就证明了z 1 ，z 2 ，岛为m 的拟i f _ 贝i j 序列 再证明充分性令i = 1 ，研) 我们首先证明z 1 为m 的非零因子假定 z 1 = 0 ，m 考虑系数在m 中的1 次齐次多项式f = 五，n f ( x l ，) = 0 由拟正则的性质可知： 由 以及m 的拟正则序列性质，我i f - i 得m i ，m ，从而可以得到产m 继续下去，可证 明 所以 ，m ，i 0 n ：1 ，4 m = 0 从而z 1 不是m 的零因子考虑商模m x l m ，由命题3 1 1 知z 2 ，是m x 1 m 的拟正 则序列，由对r 的归纳证明，可知x 2 ，研是m x 1 m 的正则序列，这就证明 了z 1 ，x 2 ，研为m 的正则序列 jz 1 ，2 ，研刀朋嗣止则厅夕| j 这个定理给出了一个正则序列和拟正则序列转化的充要条件，在此条件之下，正则序 列和拟正则序列是互为等价的，从而我们为下一节中给出拟正则序列的局部化刻画做好 了准备由于拟正则序列的定义只跟它们所生成的理想有关，而跟序列中元素的排列顺序 无关，因此我们有：m 为局部n o e t h e r 环r _ l = 的有限生成的冗模，z 1 ，z 2 ，研为m 正则序 列，则盈。，z t 。，z t r 为m 的正则序列，其中i 1 ，i 2 ，i ，为l ，2 ，r s j 任意排列 3 2 拟正则序列的亥| j 画 上一节我们回顾了拟正则序列的定义，并讨论了它的性质以及它与分次模的基本关 9 mf mz ，汹 l i 一 0 = k 何zz r 斟 第二章拟正则序列的刻画上海师范火学硕士学位论文 系本节我们将给出刻画拟正则序列的局部化方法，并用该方法给出拟正则序列的一些性 质的简单证明首先我们证明如下的判别定理 定理3 2 1 设( 冗，m ) 为已船，环，m 为有限生成冗一槐 贱“x 2 ，新为膨豹拟正 则痔列的充分必要条件为对任意的包含理想i = 0 x l 。x 2 。z r 、的素理 想p ，吼。z 2 ，z t 为m r 的拟正则序列 证明：先证明必要性，假定z l ，z 2 ，研为m 的拟正则序列则m ( z 1 ，研) m ，且由 拟正则序列的性质知：存在自然的同构映射 m i m x 1 ，恐，墨】_ g r l ( m ) 设p 为包含理想( z l ，z 2 ，) 的素理想。因为局部化保持映射的同构性，所以上面的 同构映射在p 处的局部化 m p i m p 1 ，x 2 1 ，x 武_ g r i e ( m r 也为同构映射显然 1 ，研) m r ，因此根据拟正则序列的定 义，z 1 ，x 2 ，x r f f c j m p 的拟正则序列 再证明充分性，要证明。1 ，z 2 ，x r 为m 的拟正则序列，首先要证明m l ，研) m ，而这由存在素理想p2 ( z l ，) 使得x l ，x 2 ，为坼的正则序列， 从而坼( x l ，x 2 ，坼) m p 得到 其次我们证明自然同态： 妒：m i m x a ，恐，墨】_ g r l ( m ) 为同构 显然妒为满射，下面证明妒为单射令n = k e r q o ，我们有短正合序列： 0 _ _ m m x 1 ，兄，爵】_ g r l ( m ) _ 0 对任何r 的素理想p ，局部化得短正合序列： 0 _ n p _ ( m i m x i ，托，墨】) p _ ( g r t ( m ) ) p 一0 1 0 上海师范大学硕士学位论文第三章拟正则序列的刻画 当p 砻( x l ，x 2 ，研) 时，显然 ( m i m i x l ，x 2 ，墨】) p = 0 由上面的短正合序列知p = 0 当p20 1 ，z 2 ，孙) 时，我们有 以及 ( m i m x 1 ，x 2 ，墨】) p = m p i m e x l ，x 2 ，墨】， ( 夕r ，( m ) ) p = g r i p ( m y ) 因为茁1 ，z 2 ，研为m r 的拟正则序列，则 m p i m p l ，五，墨】_ g r l v ( m p ) 为同构映射，所以p = 0 综上所述，对于翮拘所有素理想p 都有n e = 0 由局部化的性质【l ，t h e o r e m 4 6 1 失i n = 0 这就证明了妒为单射，因而妒为同构映射由此，我们证明 t x l ，。2 ，为m 的拟正则序列 以上定理大大地简化了证明一个序列是拟正则序列的方法，我们将应用此定理证明两 个有意义的推论 推论3 2 1 设( r ，m ) 为d e 珈p r 环，m 为有隈生成r 一槐假肋1 ，x 2 ，研为m 的拟正则序 列则对于l i r 一1 ，x i + 1 ，z 件2 ，为m ( x x ，x 2 ，戤) ”m 拟正贝盯序列，这= t n 为 任意正整数 证明：( 1 ) 先证明冗为局部环的情形由定理3 1 1 ，z 1 ，z 2 ，研为m 的正则序列我们将 证明z 件1 ，z 件2 ，z ，为m ( x l ，x 2 ，瓤) 住m 一序列 首先由正则序列的定义，我们有 ( z l ，z 2 ，x i ) m ：x i + 1 = ( x l ，x 2 ，z t ) m 第三章拟正则序列的刻画 上海师范大学硕士学位论文 由条件x l ，x 2 ，反为拟正则的，所以根据i 1 ，t h e o r e m1 6 2 ( i i ) 】 ( x l ，x 2 ，z i ) n m ：x i + 1 = ( 2 7 1 ，x 2 ，z i ) n m 因此x i + 1 为m ( x x ，x 2 ，以) n - 正则的 令府= m x , + a m ，由于z l ，甄，z + 2 ，是肪的正则序列，由归纳法知： z 件2 ，研为厨( z 1 ，z 2 ，翰) n 府的正则序列因此由正则序列的定义知： x i + 1 ，x i 4 - 2 ，研为m ( x l ，x 2 ，翰) n m 的正则序列 再证明非局部n o e t h e r 环的情形由定理3 2 1 ，只需证明：对任何包含理 想( z 1 ，x 2 ，) 的素理想p ，有x i + 1 ，x i + 2 ，岛为m e ( x 1 ，x 2 ，以) n 坼的正则序列 尽p , - i ，而这正是我们前面所证明的，因此而+ 1 ，x i + 2 ，z ，为m ( x 1 ，z 2 ，盈) ”m 的拟正 则序列 推论3 2 2 设( r ，m ) f g n o e t h e r g f f t ；，m 为有限生成r 模假定z 1 ，z 2 ，研为m 的拟正则序 歹! ，贝物? 1 ，z ；2 ，z 也为m 拟正则的，其中礼1 ，死2 ，珥为正整魏 证明： 根据文【l ，t h e o r e m l 6 1 】，证明如果z 1 ，z 2 ，研为m 的正则序列， 则z ? 1 ，x 2 ，也为m 正则序列 设p 为包含理想( z ? 1 ，z ；2 ，娣r ) 的任一素理想，则p2 ( z 1 ，z 2 ，研) 由 i f - z , ，x 2 ，为m 的拟正则序列，根据定理3 1 1 ，知z l ，z 2 ，为坼的正则序列 所以z ? 1 ，z ，z 也为坼的正则序列再根据定理3 1 1 ，知z ? 1 ，x m 2 ，z r 也为m 的拟 正则序列证毕 接下来我们在上述定理的应用上做深一步的研究，将拟正则序列同深度联系在一起进 行讨论文【l ，t h e o r e m1 6 8 】的推论得到这样一个结果： 设r 是一个n o e t h e r 环，m 为有限生成的r 一模，i = ( y 1 ，耽，) 为r 的理想，并 且，m m ，则可知1 ，y 2 ，是正则序列当且仅当d e 讲 ( ，m ) = 佗 1 2 上海师范大学硕士学位论文第三章拟正则序列的刻画 这个结果是不正确的，我们可以给出一个反例如下：令k 为一个域，冗= k x ，v 刁，设x l = x ( y 一1 ) ，x 2 = y ，x 3 = z ( y 一1 ) ，其中 0 1 ，x 2 ，x 3 ) r = ( x ，z ) r r 这时z 1 ，z 2 ，x 3 是一个正则序列，而z 1 ，z 3 ，x 2 却不是正则序列 上面的结果之所以不对，是因为正则序列的有序性造成的，我们知道拟正则序列是和 顺序无关的，那么如果上面的结果为拟正则序列时是否正确呢? 我们将对这一问题做出 肯定回答为此我们先回忆一下有关深度的概念与结果 设r 是n o e t h e r 环，m 是有限生成的r 模设，为兄的理想且m ，m ，可以证明理 想，中m 的极大正则序列的长度均为有限长且相等我们把该长度称为模m 关于理想，的深 度，记为d e p t l l ( ，m ) 容易证明对兄的任何包含，自勺素理想p ，d e p t h ( ，m ) 0 ， 凰( 可，m ) p = 凰( 可，m r ) = 0 因此对任何r 的素理想p ，当z o 时都有凰( 型，m ) p = 0 ，从而凰( 型，m ) = 0 ，i 0 这就证明了必要性 再证明其充分条件，设d e p t h ( ，m ) = 死，对于任何包含理想，的素理想p ，我们有不 等式： d e p t h ( ，m ) d e p t h ( i p ，m r ) n 所以d e p t h ( p ，m r ) = 钆因此由命题3 2 1 ( 2 ) 知 凰( 犰，m p ) = 0 ，i 0 根据【l ，t h e o r e m1 6 5 ( 2 ) 1 ，y 1 ，沈，为m r 的正则序列再由定理3 2 1 可 得耖l ，秒2 ，蜘为拟正则序列定理得证 1 4 上海师范大学硕士学位沦文第四章相伴分次代数的平坦性 第四章相伴分次代数的平坦性 在文【2 】中，h i r o n a k a 建立了正则局部环的商环关于某些素理想的相伴分次代数平坦性 的判别方法，得到了许多重要的结果，他还利用这些结果解决了代数几何中奇点分解问 题本章中我们将考虑一般n o e 吐l e r 环上理想的相伴分次代数的平坦性问题，推广文【2 】中 的一个结果【2 ，p r o p o s i t i o n1 】 4 1 相伴分次代数的同态 在本节中，我们将构造一个相伴分次代数间的同态映射砂，并在下一节中证 明该同态在适当条件下是同构设危黾一个n o e t h e r 环， ，j 1 2 是尉拘理想，我们假 定厶= 1 ，x 2 ，) + 厶，且z 1 ，x 2 ，x r 是r 厶的拟正则序列令元= 冗 ik = r j 1 2 ，j ：= 1 2 1 1 对任何正整数m ，包含同态印q 毋可诱导分次元一代数同态： 夕( r ) 一g r l ：( r ) 进而有诱导的同态 口：g r o ( n ) _ g r i 2 ( r ) 另一方面，自然同态霉_ p 可诱导k 代数同态 卢：g r i 2 ( r ) _ g 吖( r ) 由于z 1 ，z 2 ，孙是屈的拟正则序列，因而夕r ，( 袁) 可等同于k 上的r 元多项式 环k 【蜀，x 2 ，墨】定义k 一代数同态 矿：g r i ( r ) _ g r l 2 ( r ) 使得p op 是夕r ，( 元) 的恒等映射令 砂= qo 卢：g r 9 ( g r , 。( 冗) ) o g r t ( r ) _ 夕7 如( r ) 则矽是一个代数同态如果视9 r ? ( 夕r j ，( 冗) ) o k9 r ，( 应) 为双分次代数，贝l j g r o ( g r l 。( 冗) ) o k 舻，( 辰) 具有自然的分次结构，使得砂为一个分次k 代数同态在下一节中我们始终用矽表 l5 第四章相伴分次代数的平坦性上海师范大学硕士学位论文 示上述同态 4 2 平坦相伴分次代数的一个性质 在本节中我们讨论上一节中所讨论的相伴分次代数平坦性之间的关系，证明 如果9 r h ( r ) 是平坦r 是一代数，则妒是同构的，该结果推广了文【2 】中的一个结果【2 ， p r o p o s i t i o n1 】 定理4 2 1 设r 是一个d p 舭r 环， ，厶是尉铷里想，我们假觑= ( x l ，z 2 ，研) + ， 且z 1 置2 ，z r 是r 的拟正则序列如果眇l 。0 玲是平坦r 一代数，则： 1 1 ) 妒：g r o ( g r , 。( r ) ) o n 1 29 r ，( 虎) _ g r l 2 ( r ) 是同构的 2 ) 旷1 2 是平坦r 1 2 一代数 证明：在证明过程中，我们将沿用4 1 中的记号 我们先证明( 1 ) 首先我们注意到要证明 砂：g r o ( g r l ，( 冗) ) q n i l 2g r i ( r ) 一g r 如( r ) 为同构，只需证明对每个包含厶的r 的素理想p ， 砂：9 吃( g r ( 1 。) p ( r p ) ) r p ( 1 2 ) pg r i - p ( r p ) 一g r f f 2 ) p ( r p ) 是同构因此我们可以在下面的证明中假定冗为局部环，z 1 ，x 2 ，研是r 厶的正则序列 设f = ( z 1 ，；t 2 ，) ，则4 1 节中的p + 可明确如下，对每个i ( 15i r ) ： p + ( 牙ir o o d 2 ) = z t m o d 霹 这里磊表示翰在剐厶中的象显然对每个正整数几有自然同态叩1 ：口_ 9 r z ( r ) 以及7 7 2 ： 矸一0 八j n 。( r ) ) ，还有自然i 司态丁1 ：f n _ 夕r 笼( r ) 和吃：f n _ 夕r ，( 宠) 使得口o7 7 2 = 1 6 上海师堕大学硕士学位论文 第四章相伴分次代数的平坦性 叩1 ，伊0 死= 7 1 这些同态决定了同态： ：日圆rf q g r l 2 ( r ) 。p+q=n p ：矸。f 口_ g r o ( g f f , ( r ) 。k 夕r ，( 詹) ) p + q = n p + q = n 满足性质= 矽op 显然，p 均为满射要证砂为同构，只需证明砂为单射即可 要证妒是单射，只要证明后e 7 ( ) = k e r ( # ) h p 可易知 k e r o ) ) 2 七e 7 ) 接下来我们证 明后e r ( ) k e r ( 肛) 设 k e r ( v ) ，由于耳矿1 是自由r 厶一模，可在耳中取( 产) l g s p 使 得它们在耳矿1 中的象为耳矿1 的基可把 表示为 h = ( p9 5 们) p + q = n i 这里势f g 如果铲理+ 1 ，则z ，( 产。羹a ) = o 且p ( 妒。羹。) ：0 ，省略掉这些项后， 我们总可以假定对每个( 口，i ) ，羹。= o 或者羹9 不在霹+ 1 当中因为( ) = 0 ，铆生毋霹+ 1 的 象元为零即五舛口，：n + 1i f q 取最大的整蜘l ，使得 把无表示出来： 五f矸 z _ 一 p 矿= t l + 1 p p 1 元= ( 产入 ：一 、_ r 一。i i7 p - f q = n + l , p _ p l t 这里为上面所取，a y ) f q 我们证明至少有一个i 使得a 5 口i 不在厶里面，这里“：扎一p 1 + 1 ，p l 礼+ 1 如 果a ：9 i ，则由z 1 ，z 2 ，x r 是r 厶的正则序列知 石f t + 州+ 1 口i = 5 + s o 继续下去可得 对所有m 0 所以 入日一+ 一+ 仇 “= 。+ t ，s o a ；2 f 矸 z一 1 g i = s + t ，s o 1 7 第p l q 章相伴分次代数的平坦性 上海师范大学硕士学位论文 进而有 产1 入掣 f f f q p + q ，= n + 1 ，p 2 p l + l 所以除非p 1 = 礼+ 1 ，区= 0 ，必有一个 使得入不在j r l 里面 令盯是最小的整数，使得a 9 一叮+ 1 和文住一计不同时为零如果盯= 竹+ 1 ，则羹口= 0 ，所 以p ( ) = o 如果盯n ，贝0 z 9 j n 一= 矗入 驴口+ 1 m o d i f + 1 tt 由于彦为巧碍“的基，我们有 羹n 一引一砖n 一口+ 1 因为g ：竹一矿) p ；一，且入一叶1 ) p 一外1 ，所以羹n 一矿f r 卜口+ 1 根据羹9 的选取，对于所 有的i ，9 5 n 一力= 0 这就证明t , r = p 1 ，砖舻口+ 1 厶，对于所有的i ，矛盾，所以结论成 立，砂是单射 ( 2 ) 由( 1 ) 的结论知夕( r ) 同构于夕r ( 夕7 j ，( 冗) ) 圆冗儿g r i ( 月t ) 因为夕r j ，( r ) 是平坦r - 模，因而它是一些自由r 厶一模的直和，所以夕r 9 ( g ( r ) ) 是自由冗厶一模的直和另一方 面，g r i ( r ) 龊自由r 如- 模的直和，所以 夕7 2 ( 夕r ( r ) ) o r 如g r i ( f t ) 一定是一些自d 丑r h - 模的直和，即它是r j 1 2 的平坦模，结论得证 1 8 上海师范大学硕士学位论文致谢 致谢 弹指一瞬，三年的研究生生活即将结束。虽然短暂，但三年的学习生活充实了我、 丰富了我，不只学习上，各方面都收获颇大。三年来，我除了学了不少的专业知识外，最 重要的是体会到了学习数学的心态和收获了不少的人生哲理，这三年是我人生中一段宝贵 的经历和财富，我将终身难忘。 首先感谢我的导师周才军教授对我论文工作的悉心指导。在论文的选题到完成的各 个阶段，自始至终得到了周老师的细心指导和帮助，并提供了许多宝贵的资料和建议， 其渊博的学识和谆谆教诲，使我受益匪浅。它的严谨细致、一丝不苟的作风一直是我学 习、生活中的榜样；它循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在此我想 由衷的说一声：谢谢您，周老师! 感谢所有教过我的老师们，他们的谆谆教导和无私奉献的精神也使我收获很多。 我也要感谢和我一起度过三年的同窗师兄妹，无论是学习上还是生活上，你们给了 我无数的鼓励和信心，很荣幸能和你们共度三年快乐时光，我会记住与你们共有的美好 回忆。 。 最后，衷心感谢在百忙中抽出时间评审本文的各位专家、学者! 感谢所有关心和帮助我的人! 谢谢! 1 9 参考文献 上海师范大学硕士学位论文 b i b l i o g r a p h y 【1 】h m a t s u m u r a c o m m u t a t i v er i n gt h r o r e y ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，n e wy o r k ，甜1 9 8 6 ，j 【2 】h h i r o n a k a r e s o l u t i o no f s i n g u l a r i t i e so f a na l g e b r a i cv a r i e t yo v e ra f i e l do f c h a r a c t e r i s t i cz e r o ，a n n m a t h 7 9 ( 1 9 6 4 ) ，1 0 9 - 2 0 3 。 【3 】m e a t i y a ha n di g m a c d o n a l d i n t r o d u c et