（机械电子工程专业论文）新型五自由度并联机床的若干基础问题及动力学分析.pdf

摘要 摘要 本文介绍有关并联机床研究技术的国内外发展状况，对新型五自由度 并联数控机床的运动学和静力学、工作空间内的奇异位形和位置正解多解 性、动力学建模和仿真等问题进行系统的研究。 为方便描述这一少自由度机床，文章对笛卡尔坐标系下6 维参数和广 义坐标系下5 维参数的变换关系进行推导，明确机床自由度在运动学、静 力学等方面的具体内涵。 利用遗传算法在工作空间内对机床的速度和力传递矩阵作进一步研 究，期望得出机床没有奇异点的工作空间以及相应工作空间内机床的速度 和力传递矩阵条件数的最大值和最小值。 借用遗传算法的相关概念，采用数值法对工作空间内机床的位置正解 进行分析，并通过大量实例对工作空间内位置正解的唯一性进行验证。 文章运用拉格朗日方法建立机床的动力学数学模型，通过典型的运动 实例对机床的逆动力学问题进行分析。为保证机床动力学分析的正确性， 运用a d a m s 软件对机床进行实体建模和仿真，并将仿真结果与理论结果 进行对比。同时，利用a d a m s 软件绘制机床在几种典型运动中的惯性力 和约束反力( 矩) 曲线图，以进一步完善机床的动力学分析。 关键词并联机床；广义坐标：遗传算法；5 自由度；拉格朗日法；动力学； a d a m s 垄当奎兰三兰鎏主兰垡笙奎 a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n to f t h ei s s u er e l a t e dt op a r a l l e lm a c h i n et o o la th o m ea n d a b r o a di si n t r o d u c e di nt h i st h e s i s s o m ep r o b l e m ss u c ha sk i n e m a t i c s ，s t a t i c s ， s i n g u l a r i t ya n ds e v e r a la n s w e r so f f o r w a r dk i n e m a t i c si nw o r k s p a c c ，m o d e l i n g a n ds i m u l a t i o no fd y n a m i c se t c o fan o v e l5 - d o fp a r a l l e ln c m a c h i n et o o la r e a n a l y z e dt h o r o u g h l y a n ds y s t e m i c a l l y i no r d e rt od e s c r i b et h ef e wd o fm a c h i n et o o lc o n v e n i e n t l y , t r a n s f o r m r e l a t i o nb e c w e e n6d i m e n s i o n si nc a r t e s i a nc o o r d i n a t es y s t e ma n d5d i m e n s i o n s p a r a m e t e ri ng e n e r a l i z e dc o o r d i n a t es y s t e mi s s e t u pi nt h et h e s i s ，a n dt h e m a c h i n et o o ld o f sd e t a i lm e a n i n go nk i n e m a t i c s ，s t a t i c se t c i sm a d eo u t b yt h eg e n e t i ca l g o r i t h m ，i x a n s f e rm a t r i x e so fv e l o c i t ya n df o r c ew i t h i n w o r k s p a c ea l e f u r t h e rs t u d i e d , a n dt h e w o r k s p a c er a n g e w h e r et h e r ei sn o s i n g u l a r i t y a n dt h em a x i m u ma n dm i n i l n l m lv a l u eo fc o n d i t i o nn u m b e ro f t r a n s f e rm a t r i x e so f v e l o c i t ya n df o r c ei nc o r r e s p o n d i n g w o r k s p a c e i sg a i n e d b a s e do nt h ec o n c e p tf r o mt h eg e n e t i ca l g o r i t h m ，t h ef o r w a r dk i n e m a t i c si n w o r k s p a c ei sa n a l y z e db yn u m e r i c a lv a l u em e t h o d w h a t sm o r e ，i ti sp r o v e d t h a tt h ef o r w a r dk i n e m a t i c si su n i q u ei nw o r k s p a e ea f t e rl o t so f e x a m p l e s t h em o d e lo fd y n a m i c si ss e tu pb yl a g r a n g em e t h o di nt h i st h e s i s ，t h e n t h ei n v e r s ed y n a m i c so ft h ep m ti sa n a l y z e dt h r o u g hs o m et y p i c a lm o t i o n s i n o r d e rt oe n s u r e v a l i d i t y o fd y n a m i c s a n a l y s i s ，t h ee n t i t ym o d e l i n ga n d s i m u l a t i o na r ec a r r i e do u tb ya d a m ss o f t w a r e ，a n dt h es i m u l a t i v er e s u l t sa n d t h e o r e t i cr e s u l t sa c o m p a r e d a tt h es a n l et i m e t h ec u l w eo fi n e r t i af o r c ea n d i n v e r s er e s t r i c t i o n f o r c e ( m o m e n t ) o fs o m et y p i c a l m o t i o n sa r ed r a w nb y a d a m s ，w h i c hm a k e st h ea n a l y s i so f d y n a m i c s f i l r t h e rp e r f e c t k e y w o r d sp a r a l l e l m a c h i n et o o l ；g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e ；g e n e t i ca l g o r i t h m ； 5 - d o f ；l a g r a n g em e t h o d ；d y n a m i c s ；a d a m s i i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义 在机械制造系统的发展中，每一代设备的更新与革命，都给制造技术 和生产带来一次飞跃和进步，使机械制造业的生产能力和产品质量大幅度 提高，生产成本降低和生产周期明显地缩短。但历代制造设备在结构方面 一般均是由床身、立柱、主轴箱和工作台等部件串联而成的非对称“c ”型 布局。尽管这种传统的布局具有作业范围大，灵活度好等优点，但亦存在 如下固有缺陷： ( i ) 机床结构布局的非对称性可能导致受力与热变形不均匀； ( 2 ) 机床结构件不但承受拉压载荷，而且还承受弯扭载荷。因此为了保 证刚度，通常需要建造粗笨的结构支撑件和运动部件。这不仅需要耗费较 多的材料和能源，而且也制约了迸给速度的大幅度提高； ( 3 ) y j 具与工件之间的相对运动误差通常为各运动坐标的线性累加： ( 4 ) 由于部件众多、结构复杂，直接影响到整个系统的可靠性。 为了克服传统机床结构布局的固有缺陷，有效地降低重量和提高对生 产环境的适应性，满足快速多交的市场需求，近年来全球机床制造业都在 积极探索和研制新型多功能的制造装备与系统，其中在机床结构技术上的 突破性进展当属9 0 年代中期问世的技术含量高度密集的机电一体化产品一 一并联机床( p a r a l l e lm a c h i n et 0 0 1 ) ，又称虚拟轴机床( v m u a la x i sm a c h i n e t 0 0 1 ) 或并联运动学机器( p a r a l l e l k i n e m a t i c sm a c h i n e ) t 1 - 1 3 。 并联机床是对传统制造装备的重要补充，以空闻并联机构为基础， 充分利用计算机数字控制的潜力，以软件取代部分硬件，以电气装置 和电子器件取代部分机械传动，使将近两个世纪以来以笛卡儿坐标直 线位移为基础的传统机床结构和运动学原理发生了根本变化，被称为 “2 l 世纪新一代数控加工设备”，不仅引起了世界各国的广泛关注，而 且被誉为“机床结构的重大革命”。 由于并联机床结构以桁架杆系取代传统机床结构的悬臂粱和两支点梁 1 燕山大学工学硕士学位论文 来承载切削力和部件重力，加上运动部件的质量明显减小以及采用电主轴、 直线电动机等许多新型机电一体化部件，因而与实现同样功能的传统数控 机床相比，具有如下优点： ( 1 ) f l u 度重量比大因采用并联闭环杆系结构，传动构件理论上多为仅 受拉压载荷的二力杆，故传动机构单位重量具有高承载能力，刚度更大 ( 2 ) 环境适应性强通过可重组模块化设计，可构成形式多样的不同自 由度的机床组合。在动平台上安装不同的加工工具即可进行多坐标铣、钻、 磨、抛光，以及异型刀具刃磨等加工。是真正的一机多用； ( 3 ) 响应速度快运动部件重量轻，惯性小，有效改善了伺服控制器的 动态品质，使动平台响应速度快，适于各种高速数控加工； ( 4 ) 技术附加值高具有硬件结构简单、软件功能复杂的特点，是一种 技术含量很高的机电一体化产品，可获得高额的经济回报。 鉴于并联机构的优越性，它已运用于以下诸方面： ( 1 ) 模拟运动飞行员三维空间训练模拟器，驾驶模拟器；工程模拟器， 如船用摇摆台等；检测产品在模拟的反复冲击、振动下的运行可靠性。： ( 2 ) 对接动作宇宙飞船的空间对接；汽车装配线上的车轮安装：医院 中的假肢接骨： ( 3 ) 承载运动大扭矩螺栓紧固：短距离重物搬运； ( 4 ) 金属切削加工可应用于各类铣床、磨床、钻床或点焊机、切割机； ( 5 ) 可用于测量机用来作为其它机构的误差补偿器： ( 6 ) 用于微动机构或微型机构。 1 2 并联机床的发展状况 1 2 1 并联机床在国际上的发展状况 1 9 9 4 年美国g i d d i n g s & l e w i s 公司在芝加哥i m t s 9 4 博览会上推出的 v a r i a x 虚拟轴机床( 图1 1 ) ，引起广泛的关注，被称为“2 1 世纪的机床”。 1 9 9 7 年在德国汉诺威国际机床博览会( e m 0 9 7 ) 和1 9 9 9 年巴黎国际机床 博览会( e m 0 9 9 ) 上，有很多并联机床参展。其中有德国m i k r o m a t 公司生产 的6 x 型高速立式加工中心( 图l - 2 ) ，瑞典n e o sr o b o t i c s 公司生产的t r i c e p t 2 第l 章绪论 8 4 5 和6 0 0 型并联机床( 图1 3 ) ，俄罗斯l a p i k 公司生产的t m - 7 5 0 型s t e w a r t 数控机床，美国i n g e r s o l l 公司生产的h o h - 6 0 0 型卧式并联加工中心，英国 g e o d e t i c 公司生产的e v o l u t i o ng 5 0 0 和g 1 0 0 0 两款并联加工中心，瑞士联 邦技术学院研制的h e x a g l i d e 并联机床( 图1 - 4 ) ，日本t o y o d a 公司生产的基 于铣削加工线的六条腿机床( 图1 - 5 ) 。 留1 - 1g i d d i n g s l e w i s 公司的并联机床 f i g 1 1p m t o f g i d d i n g s l e w i s c o 圈1 - 2m i k r o m a t 公司的并联机床 f i g 1 2 p m t o f m i k r o m a t c o ( a ) t r i c e p t845(b)tricept 6 0 0 图1 - 3n e o sr o b o t i c s 公司的并联机床 f 喀1 3 p m to f n e o sr o b o t i c sc o 图l - 4 瑞士联邦技术学院研制的并联机床 图1 - 5 t o y o d a 公司的并联机床 f i g 1 - 4p m t o f s w i t z e r l a n d t e c h n o l o g yo f i n s t i t u t ef i g 1 - 5p m t o f t o y o d a c o 3 燕山大学工学硕士学位论文 其中，瑞典n e o sr o b o t i c s 公司生产的t r i e e p t6 0 0 和8 0 5 型并联机床已 售出1 0 0 多台。波音、沃尔沃、大众、通用、o p e l 、a i c o a 、英国航空航天 公司，以及美国别克公司( 中国) 均购置了这种机床，用于航空航天铝结构件， 复合材料的高速铣削，汽车大型模具制作，激光切割和离子束表面改性等， 已经取得显著的经济效益。并联机床因其诸多优点很可能成为能够适应2 l 世纪灵活多交环境的新一代高速、高柔性、高经济性的数控加工设备，具 有广泛的市场前景。为此，1 9 9 6 年，德、意、法、荚、瑞士、瑞典和西班 牙七国在欧共体资助下，启动了称之为“m a n u f a c t u r i n g ”，“r o b o t o o l ” 和“航空工业制造反应系统”三个大型跨国联合研发项目。近年来，在美 国政府和企业的支持下，美国六大著名的国家级研究开发基地开始从事并 联机床的开发。它们是：h e x e l 公司、m i t 、n i s t 、o r n l 、s n i 全琢f 、s n 王托a 。 2 0 0 0 年前后，并联机床的研究由理论研究和实验室试验，逐渐向实用 化、产业化过渡，各种结构形式的并联机床相继面世，并被应用于各种领 域【1 4 1 9 1 。 2 0 0 1 年，在德国汉诺威欧洲机床展览会( e m o 2 0 0 1 ) 1 - ，展出的并联机 床主要有s t a r m g - h e e k o r t 公司德国h e c k e r t 工厂的s k m 4 0 0 三杆卧式加工中 心，德国d e c k e lm a h o 公司的三秆加工中心t r i c e n t e r ，法国r a 公司的 u r a n e s x 三杆并联卧式机床( 图1 6 ) ，德国c r o s sh u l l e rh i l l e 公司有自校 验功能的混联机床s p e c h txp e r i m e n t a l ，德国汉诺威大学生产工程及机床研 究所( t f w ) 的用于修理大型模具的可移动的混联两杆加工单元d u m b o ( 图 l - 7 ) ，德国斯图加特大学制造技术中心( z f s ) 的五面加工并联机床p a r a l i x ( 图 l - 8 1 ，西班牙f a t r o n i k 技术中心的u l v s e s 三杆卧式加工机床f 图1 9 1 。 图1 6 法国r a 公司u r a n es x f i g 1 - 6 u r a n es xp m t 4 图1 7 德国i f w 的d u m b o f i g 1 - 7 d u m b op m t 第1 章绪论 图l - 8 德国z f s 的p a r a l i x 图l _ 9 西班牙f a t r o n i c 公司u l y s e s f i g 1 8 p a r a l i xp m t f i g 1 - 9u l y s e sp m t 1 2 2 并联机床在国内的发展状况 自1 9 9 4 年并联机床在国际上首次展出之后，国内各高校和科研单位也 纷纷投入力量进行研究1 2 0 - 2 5 1 。1 9 9 7 年清华大学和天津大学合作研制出大型 镗铣类并联机床原墼样机v a m t l y ( 图1 1 0 ) ，该机床在1 9 9 8 年的北京机床 展上展出。 图1 1 0 清华大学的v a m t i y f i g 1 1 0 v a m t i yp m t 图1 - 1 2 哈工大的h b j - 1 f i g 1 - 1 2 h b j - ip m t 5 图1 - i i 啥工大的b j - 3 0 f i g 1 - 11 b j 3 0p m t 图l - 1 3 清华大学与昆明机床的x n z 6 3 f i g 1 - 1 3x n z 6 3p m t 燕山大学工学硕士学位论文 1 9 9 8 年哈尔滨工业大学研制了六自由度并联机床样机b j 3 0 ( 图1 1 1 ) ， 并在1 9 9 9 年北京中国国际机床展c i m t 9 9 上成功地进行了叶轮加工演示。 进入新世纪以来，并联机床的发展如雨后春笋，商品化步伐进一步加 快。在2 0 0 1 年北京中国国际机床展c i m t 2 0 0 1 上，有4 台并联机床展出： 哈尔滨工业大学与哈尔滨量具刃具厂联合研制的商品化b l j i 型并联机床 f 图1 1 2 ) ，该机床成功地进行了不锈钢汽轮机叶片的加工演示；清华大学与 昆明机床厂联合研制的6 自由度五轴数控镗铣并联机床x n z 6 3 ( 图1 1 3 ) 。 图1 1 4 北京航空航天大学的并联磨床 f i g 1 - 1 4 p a r a l l e l t o o lg r i n d e ro f b u a a 图l 1 5 河北工大的d o g - i f i g 1 - 1 5d o g 4p m t 图卜1 6 燕山大学的六自由度并联样机图1 1 7 燕山大学的五自由度并联机床 f g 1 - 1 66 - d o fp mf i g 1 - 1 75 - d o fp m t 鉴于并联机床可能对制造业的影响，并联机床已列入我国“九五”科 技攻关和“8 6 3 ”高技术发展规划，在相关基础理论方面也得到国家自然科 学基金的连续资助，部分高校还和机床骨干企业联合进行并联机床的研究 开发。目前，国内还有许多高校和科研单位进行并联机床领域的研究，并 开发研制了并联机床的原型机，主要包括北京航空航天大学的三自由度并 联磨床( 图1 1 4 ，2 0 0 1 年) 、中科院沈阳自动化所的龙门式五自由度并联机 6 第1 章绪论 床( 2 0 0 0 年) 、国防科大和香港科技大学联合研制的银河- 2 0 0 0 六自由度并联 机床( 2 0 0 1 年1 、北京理工大学的六自由度变轴数控并联机床b k x - i ( 2 0 0 0 年) 、西安理工大学与秦川机床联合研制六轴混联龙门式机床6 p m 2 ( 2 0 0 1 年) 、西安交通大学与汉江机械厂联合研制的八轴八联动混联机床( 2 0 0 2 年) 、 河北工业大学的五自由度数控卧式并联机床d o g i ( 图1 一1 5 ，2 0 0 2 年) 、燕 山大学的继六自由度并联机器人样机( 图l - 1 6 ，1 9 9 1 年) 后新推出的新型五 自由度并联机床( 图1 1 7 ，2 0 0 3 年) 。 1 3 并联机床的发展趋势 并联机床之所以能在s t e w a r t 平台基础上形成各种样机，受到社会广泛 关注并吸引了众多学者从各个角度进行研究，一个重要的原因就是并联机 床以其独特的结构和先进的控制技术成为机床发展史上一个具有重要意义 的突破。并联机床良好的发展趋势突出表现在以下几个方面： ( 1 ) 商品化步伐加快许多企业认识到并联机床这一新型加工装备的广 阔前景，纷纷加入进来，与高校和科研院所合作，投入大量资金和人力物 力，有效地推动了并联机床商品化的进程： ( 2 ) 结构形式多样化从单纯基予s t e w a r t 平台原型向多样化结构发展， 如少自由度并联机构、内、外副混合驱动并联机构、混联机构等。采用混 联机构分别实现平动和转动，不但可以使平动与转动控制解耦，而且具有 工作空间大、实现姿态能力强和可重组性强等优点； o ) d db b 一t 9也一f g 、 。 将式( 4 - 2 1 ) 0 0 的第一、第三个方程变形代入第二个方程得到 t l l j t = i c ? 警t = l d f l i 求出f 后，即得到 石 = 吼( 1 一r ) ，y 嘶= b t y - t ( 置，一0 ) ，z c e v j = 晚一r - ( 吼一t 。) 这里求得的是在定坐标系4 下，伸缩杆质心的坐标。于是在定坐标系z 下，质心到坐标系c 。的原点的距离r c c 。和向量表达式。b 分别为 r c c l = 墨c 鲥2 + ( j c 断一f w ) 2 + ( z 锄一f 。) 2 】1 门= ，一，d 4 = b f + ( y a w - - t 。) _ ，+ ( ，一r 。) 七 r c c 。是两点间的距离，是一个数值，它与坐标系的选取无关：。7 如为 一个向量，它与坐标系的选取有关。根据移轴定理，所要求的向量删，面是 相对于坐标系g 。而言的，因此。，c c 7 并不是所需要的a 考虑到坐标系c 。是 由坐标系c 。沿着杆长方向( 即坐标系c 。的# 轴正方向) 移动至虎克铰中心 得到的，所以，坐标系g ，相对于坐标系c 厶的空间方位仅在坐标系c 。的z 方向上有距离的变化，而其余两个方向上的距离变化都为零，即 z c c i = y c c l = 0 ，7 , c c t5 ，c c i ( 4 2 2 ) 把式( 4 2 2 ) 代入惯量矩阵，我们求得 1 w = l 博= i n = i 。= i 镕= i 口= i 。= 0 i “= ，w = m 2 c c l 2 = m r c c i 5 1 燕山大学工学硕士学位论文 oo m r c c ? 0 00 f 4 - 2 3 ) 第三步，利用转动惯量的转轴公式，将相对于坐标系c 的惯量矩阵变 换到坐标系a ti 中，即得到伸缩杆相对于转动中心坐标系a ti 的惯量矩 阵 ”一，。j 。 转轴公式【6 9 】：惯量矩阵从坐标系x ，到坐标系x ：的变换，只须以坐标变 换矩阵i r l 对该惯量矩阵作正交变换。经正交变换后的惯量矩阵仍为对称矩 阵。 根据转轴公式，惯量矩阵从坐标系q 到坐标系爿ri 的变换可写为 卜，。，】- 【一名j 且m 匕】【。公尺i r ( 4 - 2 4 ) 前面在建立坐标系c 岛时，已经确定了c k 的三个坐标轴在定坐标系中 的姿态，即式( 4 一1 8 ) 所示的r 矩阵。而坐标系c 。是由坐标系c 。沿杆长方向 平移得到的，它们的姿态是一致的；又因为坐标系一，一i 与定坐标系a 姿态 是一致的。所以，坐标系g ，与坐标系a t i 的变换矩阵，就是坐标系c 。与 定坐标系的变换矩阵r ，即 c a l 嘱j 一s 口1 c t tc a l 蜗c n4 - s s y lc 口1 蜗l r = 【4 公置j = is 口l s p l s r i + c a l c y lj 口l s p ：r , 一c a l s 7 ls 口l 胡l ( 4 2 5 ) l c a s t ,嘱c 7 l一鹕j 式( 4 - 2 5 ) h b 参数意义同式( 4 1 8 ) ；把式( 4 - 2 5 ) 代入式( 4 - 2 4 ) 中得 i “，。+ m k 1 2 k 】= a ti r 】0 l 0 l 0 0 ”公尺j r “i 。 ( 4 - 2 6 ) 至此，我们已经求出了。= 【4 ，。，。红。r 和【”一屯】的具体形式。 从式( 4 1 6 ) 可以看出，j 。= 【4 ，。， 国。】r 是关于似。，z 。，口，声) 和 ( j 。，圪，乞，矗，夕) 的列向量；而 ”一乞】，从式( 4 1 9 ) 、式( 4 2 3 ) n 式( 4 - 2 5 ) 可以看出，它仅仅是关于( 兄，y g ，z a ，口，) 的矩阵。 有了4 。和【”一。 具体的表达式，便可以运用非保守系统的拉格朗 5 2 k o o 膨 。l = 删 ， k o：兰o 0 第4 章并联机床动力学建模 日方程分析伸缩杆转动产生的动能。根据式( 4 一1 4 ) 和式( 4 一1 6 ) 得到 乙一，= 掣。吼，。，。啦，】 ”一。l 】f 。q ，。r = 砉( m ，一h 姒； x g 圪 z g 口 f 。r一。t“1毒(。刀f 1 3一。f ，1 x 2k 5 考虑到1 j ，也仅与伍。，圪，z 。，口，芦) 有关，令 暇弓( h l x ，一h 虬， 那么限1 也只与阮，z g ，瓯) 有关。代入到的式( 4 2 7 ) 中，有 一，= 圭阮，砖，磊囊声舫】r p 一。l ，1 眵慨，圪，2 g 以升( 4 2 8 ) 因为惯量矩阵为对称矩阵，它经过移轴和转轴后，得到的 a t _ i ，。1 仍然 是对称矩阵，所以进一步简化式( 4 - 2 8 ) ，令 i s 】= 眵】r 【。7 一j 。】限】 矩阵西1 是仅与k ，z g ，口，卢) 相关的对称矩阵( 墨。】= 晦r ) 。于是得 k 一，= 丢防。，圪，2 。，西，别随】阮，圪，乞，西，夕r ( 4 - 2 9 ) 把式( 4 2 9 ) 代入非保守系统的拉格朗日方程，有 等= x , o , o , o , o li s ，】皿。，圪跏，卯 型d tm 删百d i s , m 枷0 o o 帅峨也弑声1 ， lli0ilf刖乃 如圪乙d夕他 筹= 三陋。，圪，2 g 州瓦o s , l x g 圪也心计 ( 4 - 3 1 ) 由式( 4 3 0 ) 、式( 4 3 1 ) 得到与伸缩杆转动速度相关的广义力 d f 旦生1 玑一。= 卫d 型t 一等 同理，可得与伸缩杆转动速度相关的其他四个广义坐标的广义力 一，：型d t 一等：掣一篆一，= 卫型一等，儿一。= 掣一篆 蚍一。：掣一等一。：型d t 一等， 这样即得到与五根伸缩杆转动速度相关的广义力q 。，( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) q 吐，= 【取m j ，毋m 一。，恐m 一，7 h m 一，z 致m 一，( 4 3 4 ) ( 3 ) 伸缩杆牵连运动引起的动能及相关广义力如公式( 4 6 ) 的第二项所 示，所。屹7 ( 。4 ，蕊) 即是伸缩杆f 牵连运动引起的动能z 二。 我们知道，。7 是沿杆长方向的移动速度，而。，二。是由转动运 量构成的平面。由此可见，速度矢量4 y 二7 和。珊d 4 相互垂直，那么它 f u n 点积恒为零，也就是说伸缩杆牵连运动引起的动能丁0 。，恒为零，即 l j “= 埘。屹7 ( 。d 。气) 0 ( 4 3 5 ) 站；0 ( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 )( 4 3 6 ) ( 4 ) 0 - , f f t i 杆的势能及相关广义力相对于伸缩杆的动能，它的势能求解 比较简单。我们规定，定坐标系的”平面为零势面：重力加速度竖直向下， 与定坐标系x 轴的正方向一致。那么求解势能，只要求出伸缩杆质心在定 坐标系下x 轴方向的坐标即可。写成公式则具有如下形式 第4 章并联机床动力学建模 e 乞，= 一l ( m 。g ) 威= 一m 。g x c e x ， ( 4 - 3 7 ) 式中u 。伸缩杆i 的势能 小。伸缩杆i 的质量 x c e x ，伸缩杆f 质心x 方向的坐标 譬重力加速度常数 式( 4 - 3 7 ) 中，参数m 。和g 都是常数，只需要求出x c e x i 即可。在前面对 伸缩杆惯量矩阵进行坐标变换求解时，我们已经求出了伸缩杆i 的质心在定 系下的坐标，其中x c e a r t 的表达式为 x c f x l = b l , ( 1 一f )( f = 乇l ，t o ) f 4 3 8 ) 式中 驱动分支杆长( 球铰中心到虎克铰中心的距离) 伸缩杆质心到动平台上球铰中心的距离，为一常数 吼球铰中心在定坐标系下x 方向的坐标 其中 b l , = c o s ( a ) s i n ( 弘+ s i n ( 口) k + j 乇 式( 4 3 8 ) 9 ，z ，与( 毛，珐，z g ，口，仞相关；雪廿与( z g ，口，d 相关：因此， x ，与g ，z g ，口，卢) 相关，由此推出，势能函数= - m 。，- g - x c e x i 只 与参数( k ，圪，z g ，口，户) 相关a 将势能函数代入非保守系统的拉氏方程得到 坚：- 肌- - ：- - - ；墼：坠：峰：o a x g雒ga z g8 矗8 8 、 a i i a 型u “, l ：型：型 ：掣：掣引伸， 等一m i n i 官篆a 圪。a 圪 警：- m 。官a x ，c m , 口口d 口 可o u , x i = 一川g 可苏c e x t ( 4 _ 4 。) 由式( 4 3 9 ) 和式( 4 4 0 ) 可得与势能函数相关的广义力 5 5 疵虹 曙 喀 啊 血 毽 吨 吨 虬峨 燕山大学工学硕士学位论文 f x u 矿一等，f y l l e x i = - 等，慨，一等 t a u 矿一_ o u e x t ，r , a u 。：一等( 4 - 4 1 ) t t t 2 叫 由此得到五根伸缩杆与势能函数相关的广义力q u a , 。( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) q u 。= ( f x u d ，f y u 。，f z u 。，t a n 。，7 j 觎。，) 1( 4 4 2 ) 4 2 2 2 摆动杆动力学计算相对于伸缩杆来说，摆动杆的运动比较简单， 它没有移动，仅有绕虎克铰中心的转动。所以对于摆动杆的动力学计算， 只需对其由于转动产生的动能以及它的势能作分析即可。 ( 1 ) 摆动杆转动的动能及相关广义力摆动杆绕虎克铰中心转动，每一 瞬时的转轴不同。驱动分支由伸缩杆和摆动杆组成，伸缩杆嵌套于摆动杆 之中；每一瞬时，为保证驱动分支有稳定连续的运动，伸缩杆和摆动杆绕 虎克铰中心转动应该朝同一个方向；也就是说它们的转动速度是一样的。 设摆动杆在定坐标系下的转动速度为1 吼。，则 4 “= 。_ = 【。国x i , x a ，( 4 - 4 3 ) 根据绕定轴转动的动能公式，有 一，= i 1 。7 a t _ i 。】a t a r w l = j 1j 。7 a t _ i 】4 。= 丢f 。吼，。，。】【”一。k 】 。，。，。r = 【一一l 。，_ 【仞k l 。， 【。r一。f，4古(【。-。， 一【。z ，- 。：x 。， i 6 圪 z 6 ， a 8 三k ，匕，2 g , a , 觚盯【a t i 乙】眵眦。，圪，乙娩计 ( 4 删 式( 4 4 4 ) 中，除了【”一。，。】以外，其余所有符号表达式的意义都与推导 m i i i i i i 川 k乙d矽 第4 章并联机床动力学建模 伸缩杆转动动能时的符号表达式一致。 【”一l ，】是摆动杆对坐标系a t j 的惯量矩阵。惯量矩阵 ”一7 ，。】和 i ”一i i 在形式上是一样的，只不过是代入具体数据后两个矩阵在数值上不 同。因此，求解【a t _ i 。】的推导过程与前面推导l ”一1 ，j 的过程是一样的。 为了简单，这里只针对不同点进行讨论，其不同之处有如下几点： 第一，摆动杆i 质心相对于虎克铰中心的距离是不变的，设其为，。： 第二，摆动杆i 质心在定系下的位置。对于摆动杆，类似于伸缩杆i 质 心在定系下位置的求解，可得到如下方程组 巩2 + ( 氐- t , y ) 2 + ( 吼屯) 2 = 1 i 2 ( h ，) 2 + ( y 一f 。) 2 + ( z c 3 , w ，一f e ) 2 l ，2 簧。等t ；旨- - t z z = 枷。堋b 。b 一。b b “| 、3 1 解方程组得 t 。i = l 。l ，x c 9 。= b 。t * i y c s 。i = ( 一t ) t 。，+ f ，z c m ，= ( b i z r 。) 。f 。+ k ( 4 4 5 ) 第三，摆动杆的质量和主惯性矩在数值上不同于伸缩杆。其质量设为 膨。，主惯性矩设为 i “l 0 0 【咖】= l o o o f 00 “j 。i 第四，摆动杆质心坐标系原点到坐标系c 。原点的距离。在伸缩杆的推 导中，这一距离是个变量；但对于摆动杆，e h 于它没有移动，所以这一距 离是个常量，它就等于摆动杆质心坐标系原点到虎克铰中心的距离，肿f 。 综合以上，经过移轴和转轴后其惯量矩阵变为 卜一k 】- r r + 2 、+ 乞。0 。k r 0 0 “，。i ( 4 4 6 ) 鳌生查兰三兰堡主堂堡笙茎 同惯量矩阵 ”一l 卜样， ”一，】仅仅是关于( x g ，圪，z c ，口，卢) 的对 称矩阵。根据式( 4 4 4 ) ，令口。】：孵r 【”一。j 。f 】阿】，得到 一。= 圭阮，圪，2 。商别陋。】防。，圪，乞以计 ( 4 - 4 7 ) 瓦o t s w r _ j = 岫，0 ，o 】阮，圪，2 。，d ，计 掣乩0 ，0 0 ，o 】掣阮眦以舢，o ，o 0 ，帆扛。赢钳，矽】7 等= 圭阮矗弛纠裂防c 忠铷，计( 4 _ 4 9 ) 由式( 4 - 4 8 ) 、式( 4 4 9 ) 得到与摆动杆转动速度相关的广义力 一一：型d t 一瓦a t s w r - i ( 4 4 0 ) i 硝。j a 刚2 土坚一面 d f 璺兰坚1d f 璺冀堕 f y s w r j - - - - 卫d 型t 一筹，儿一，= 卫d 型t 一等 ：型dt一警一，：掣一百8tavr_t(，avr_i 睁；。， = l 型一警，一，= 掣一百( 4 - s ) 由此即得到与五根摆动杆转动速度相关的广义力q 吨i ( f _ 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) q 吨，= ( f x 。一，f y s w ri ，f z m 一，t o ：。一，邛。p ( 4 5 2 ) ( 2 ) 摆动杆的势能及相关广义力 与伸缩杆的势能求解相似，我们规定， 定坐标系的y z 平面为零势面；重力力b 速度竖直向下，与定坐标系x 轴的正 第4 章并联机床动力学建模 的坐标即可。写成公式则具有如下形式 u 。= - - m 。，g x s c w , ( 4 - 5 3 ) 式中 u 。，摆动杆f 的势能 聊。摆动杆f 的质量 x 。，摆动杆f 质心x 方向的坐标 2 重力加速度常数 式( 4 5 3 ) e e ，参数小。，和g 都是常数；x 。在前面已经求出其表达式为 x ，= 壤t 。( f 。= o l 。，o ， o ) ( 4 - 5 4 ) 式中 f 。摆动杆质心到虎克铰中心的距离，为一常数 ，驱动分支杆长( 球铰中心到虎克铰中心的距离) e 。球铰中心在定坐标系下x 方向的坐标 其中 玩。c o s ( a ) s i n ( p ) b + s i n ( a ) b 口+ x g 式( 4 5 4 ) 中，。与( x 。，圪，z 6 ，口，户) 相关；见与( x 。，口，) 相关；因此， x c - m l 与( k ，圪，z o ，口，卢) 相关，由此推出，势能函数u 。= 一m 。g x s m 只 与参数皤g ，y g ，z g ，口，卢) 相关。将势能函数代入到非保守系统的拉氏方程得 h 一5 5 ) f 4 5 6 ) f 4 5 7 ) 燕山大学工学硕士学位论文 由此即得到五根摆动杆与势能函数相关的广义力q h 。( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) q h 。i = ( f x u 。, ，f y “。，f z u ，t a u 。，t f l u ，, ) 1 ( 4 - 5 8 ) 4 2 2 - 3 驱动分支动力学分析综合我们已经从能量的角度分别对伸缩杆 和摆动杆的动力学进行了分析。因为驱动分支由伸缩杆和摆动杆构成，所 以伸缩杆和摆动杆的动力学特性也就是驱动分支的动力学特性。综合式 ( 4 1 3 ) 、式( 4 3 4 ) 、式( 4 3 6 ) 、式( 4 4 2 ) 、式( 4 - 5 2 ) 和式( 4 - 5 8 ) 可得到驱动分支 上的广义力q 。 q 一= q 蝴+ q “j + q 删_ 一q 口j + q 砌j q 刑= q 鲫+ q 酣i q k l + q ，垤l q h 删f ( 4 - 5 9 ) 式( 4 5 9 ) 说明驱动分支上的广义力q 。等于与五根伸缩杆移动速度相关 的广义力q 。加上与五根伸缩杆转动速度相关的广义力q 。( 汪1 , 2 , 3 ，4 ，5 ) 加上与五根伸缩杆势能函数相关的广义力q 啊。( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) 加上与五根摆 动杆转动速度相关的广义力q | 。o = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) 加上与五根摆动杆势能函数 相关的广义力姒。( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) 。 驱动分支上广义力的公式我们已经求出，只要代入具体的数值就可以 求出解。作为以后进行实例分析的基础，在这里先对驱动分支进行简化， 给出其质量，惯量矩阵等的具体数据。下面是实例计算中需要的一些数据( 通 过a d a m s 软件建模给出) ( 1 ) 五根伸缩杆在材料、形状等特性上都是一样的，所以有 m “i = m “2 = m “3 = m 口4 = m 。5 = 6k g ( 2 ) 五根伸缩杆的主惯性矩也是一样的 【。1 k l 】= 【。2 j 。：】= 【。3 。，】= 【“4 七】= 【。5 k ，】= 0 4 8 4 00 j 00 4 8 40 i ( 单位：k g m 2 ) 【0 0 1 5 8 4 1 0 3 j ( 3 ) 五根伸缩杆质心到相应球铰中心的距离l ，也是相同的 l c l = z 。2 = z 。3 = z 。4 = 屯= 0 4 5 4m 第4 章并联机床动力学建模 f 4 1 与五根伸缩杆类似，五根摆动杆质量也是相同的 m w l = m w 2 = m w 3 = m w 4 = m w 5 = 3 5k g ( 5 1 五根摆动杆的主惯性矩也是一样的 “1 厶】= 【。2 l 】= 。3 刈= 【。4 ，。】= 【5 厶】= 6 1 3 4 00 1 06 1 3 40 i ( 单位：k g m 2 ) l 00 3 2 3 2 1 0 4 j ( 6 ) 五根摆动杆质心到相应虎克铰中心的距离，。也是相同的 k = 0 2 = z ，3 = z m = z = 0 0 7 8m ( 7 ) 五个虎克铰的中心在定坐标系下的位置( 0 ，t 。t 。) ( i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) o , 7 2 0 c o s ( ，t 4 ) , 一7 2 0 s i n ( 7 t 4 ) 】， 0 , 7 2 0 c o s ( i t 4 ) ，7 2 0 s i n ( t r 4 ) 】， 【0 , - 7 2 0 c o s ( n 4 ) ，- 7 2 0 s i n ( j j t 4 ) ，【0 , - 7 2 0 e o s q r 4 ) ，7 2 0 s i n ( ，r 4 ) 】， 0 , 7 8 0 ，o 】( 单位：m m ) ( 8 ) 五个球铰的中心在动坐标系下的位置( o ，6 。玩) o = 1 , 2 ，3 ，4 5 ) 【o , - 2 0 0 s i n ( 2 ，r 5 ) ，- 2 0 0 e o s ( 2 a r 5 ) 】，f 0 , - 2 0 0 s i n ( 1 r 5 ) ，2 0 0 c o s ( ，r 5 ) 】， 【0 , 2 0 0 s i n ( i t 5 ) , 2 0 0 e o s ( ，r 5 ) 】，【0 , 2 0 0 s i n ( 2 ，r 5 ) ，- 2 0 0