（基础数学专业论文）非线性二阶常微分方程边值问题的正解.pdf

摘要 本文主要利用锥上不动点指数定理，解决非线性二阶常微分方程边值问题的正解的 存在性问题，并给出了边值问题正解存在的条件，改进了次线性和超线性条件下正解存 在的结论 第一章，绪论，介绍了本文研究的背景和近期成果，以及本文主要研究的问题 第二章，相关基础知识，主要介绍本文将要用到的数学基本概念和定理，包括本文 中关键的两个不动点指数定理，给出了我们要用到的线性二阶常微分方程边值问题对应 的具体的g r e e n 函数，最后介绍了常微分方程的特征值问题 第三章，非线性二阶常微分方程的正解，主要利用锥上的不动点指数定理，证明了 非线性二阶常微分方程边值问题正解的存在性，给出存在正解的条件，改进了以前文献 中的条件，使结果中含有方程的第一特征值同时，得到了变换后二阶常微分方程线性 算子的一些性质最后，作为特殊情况，得到了已有的次线陆与超线性条件 关键词；正解；锥映射不动点定理；不动点指数；g r e e n 函数；第一特征值 p o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a u l ep r o b l e m sf o r n o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i n a r ye q u a t i o n s a b s t r a c t t h e 出mo ft h i st h e s i si st os t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rn o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd l f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，m a i n l yu s i n gt h ef i x e d p o i n ti n d e xt h e o r yi nac o n e t h ec o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r eg i v e ni nt h et h e s i s w ei m p r o v et h er e s u l to ft h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o n se i t h e ri nt h es u b l i n e a ro ri nt h es u p e r l i n e a rc o n d i 南n s s ow eg e t a ne s s e n t i a le x i s t e n c e r e s u kb e c a u s eo fi t si n v o l v i n gt h ef i r s tp o s i t i v ee i g e n v a l u eo ft h e e q u a t i o n i nc h a p t e r1 ，w ea r ed e v o t e dt oi n t r o d u c i n gt h ed e v e l o p m e n ta n dt h ea c h i e v e m e n t o ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a l s op r e s e n t i n gt h e p r o b l e m st h a tw i l lb es t u d i e d i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m ee s s e n t i a ld e f i n i t i o n s ，p r e l i m i n a r yt h e o r e m sr e l a t e d t ot h i st h e s i s ，i n v o l v i n gt h et w oi m p o r t a n tt h e o r e m so ff i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y , a l s op r e - s e n t i n gt h ec o r r e s p o n d i n gg r e e nf u n c t i o no ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h el i n e a r s e n c o n do r d e ro d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f u r t h e r m o r e ，w ei n t r o d u c et h ee i g e n v a l u e p r o b l e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， i nc h a p t e r3 ，u s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yi nac o n e ，w ep r o v et h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f i e f e n t i a le q u a t i o n s w ea l s op r e s e n tt h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s t h u s w eg e ta ne s s e n t i a le x i s t e n c er e s u l tb e c a u s eo fi t s i n v o l v i n gt h ef i r s tp o s i t i v ee i g e n v a l u e o ft h ee q u a t i o n m e a n w h i l e ，w eo b t a i ns o m ep r o p e r t i e so ft h eh n e a ro p e r a t o rf r o mt h e t r a n s f o r m e ds e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f i n 出l kw eo b t m nt h es u b l i n e a i a n ds u p e f l i n e a rc o n d i t i o n su n d e rt h ep a r t i c n l a rc a s eo ft h er e s u l t 大连理工大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n s ；f i x e dp o i n tt h e o r y ；f i x e dp o i n ti n d e x ；g r e e n f u n c t i o n ；t h ef i r s tp o s i t i v ee i g e n v a l u e i i i 独创性说明 作者郑重声明；本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示 了谢意 作者签名： 堡塑日期：! ! ! ! 生! 旦 徐旭：非线性二阶常微分方程边值问题的正解 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解”大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阉本人授权大连理工大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名 导师签名 瓶旭 碧些 兰! 垡年垒月l 日 l 绪论 本章介绍了研究非线性常微分方程的解的存在性实际背景及发展现 状，最后提出本文主要研究的问题 1 1 引言 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分方程学 科的重要组成部分之一基于丰富的实际应用背景，非线性常微分方程边值问题正解的 存在性问题，在整个常微分方程研究领域，显得尤为重要对于非线性二阶常微分方程 的边值问题，主要利用拓扑度理论，不动点指数理论等工具来解决解的存在性问题人 们利用b a a a c h 空间中的锥理论并结合不动点指数理论来讨论非线性二阶常微分方程的 正解，研究了在次线性或超线性条件下，二阶常微分方程至少存在一个解的问题在这 篇文章中，我们将利用g r e e n 函数的性质，得到正解的存在性结论，并改进了二阶常微 分方程边值问题解的存在性条件，得到了存在性结果 1 2 本文研究的背景及近期成果 首先，1 8 9 3 年p i c a r d 运用迭代法讨论非线性二阶常微分方程两点边值问题解的存 在性唯一性，之后常微分方程两点边值问题的研究获得了蓬勃的发展m a w h i n 根据 k a z d a n 和w a r n e r 2 9 ，d ef i g u e l r e d o 和o o s s e z 2 1 1 以及b r e z i s 和n i r e n b e r g 2 6 在椭 圆边值问题上的一些工作，得到了一个更为普遍的结果f 1 4 g a i n e s 和m a h w i n 设计出 了许多处理二阶微分方程边值问题的技术和方法之后，关于非线性常微分方程边值问 题的研究层出不穷，不断完善研究也朝着更加系统和深入的方向迈进常微分边值问 题描述了在数学的应用中很多现象，比如气体的热点燃，化学或生物问题上的浓度等问 题在这种情况下，方程的正解是有意义的所以人们开始致力于解决二阶常微分边值 问题的正解存在性，从而此问题被大量的研究k d e i m u n g 在【3 2 】书中，g u s t a f s o n ， k s c h m i t ，j h e n d e r s o n 等人都研究过二阶常微分方程的正解问题在这些人的基础上， l h e r b e 与h a i y a nw a n g 于1 9 9 4 年研究了二阶常微分方程s t u r m - l i o u v i l l e 问题( 后面 徐旭：非线性二阶常微分方程边值问题的正解 细的介绍) 正解的存在性韩志清于2 0 0 4 年，用迭合度的方法，也研究过两点边值问题 非平凡解的存在性f 5 自p i c a r d 讨论了非线性常微分方程两点边值问题之后，各种边值问题，如d i r i c h l e t 边值问题，n e u m a n n 边值问题，r o b i n 边值问题，s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题及周期边 值问题等也被深入而广泛地研究过，并取得了系统而深刻的结果这里，我们主要研究 s t u r m - l i o u l l e 边值问题的一种特殊情况下面简述一下此问题的发展现状 如下形式的方程 一 暑防0 ) u 7 】+ q ( x ) + a r ( z ) 】“= 9 ( z ) ，( 1 2 1 ) 这里p ( 。) c 1 ( o ，h i ) ，g ，g e ( h 明) 均为实函数，为s t u r m l i o u v i l l e 型方程边 界条件一般提法为 n l u ( a ) + 0 2 p ( a ) u 协) = q l 卢l u ( b ) + 卢2 p ( b ) u ，( 6 ) = q 2 ( 1 2 2 ) 求方程( 1 2 1 ) 之满足条件( i 2 2 ) 的解的问题，通常称作为s t u r m l i o u v i i i e 型边值问 题，或简称s - l 问题 研究二阶常微分方程的s t u r m - l i o u v i l l e 问题正解的存在性问题，许多人先研究以下 较简单的二阶边值问题 u ”+ a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 0 记 扣她掣，厶- 。l i r a 。掣， 则f o = 0 且厶= 。对应超线性情形，0 = o 。且厶= 0 对应次线性情形 2 大连理工大学硬士学位论文 定理1 。1 设( a 1 ) 一( a 3 ) 满足若f 满足： ( i ) ，0 = 0 且厶。= 。o ( 超线性) 或 ( i i ) ，0 = 。且，o o = o ( 次线性) 则边值问题( 1 2 3 ) 至少存在一个正解， 事实上，定理1 1 对边值问题 + f ( t ，“) = 0 ，0 t 0 时 + 1 。( 。) 7 ，) 2 。：o 。 1 ，( 1 删 u ( o ) = u ( 1 ) = 0 、 假设满足( a 1 ) ，( a ，2 ) 边值问题( 1 2 、5 ) 在气体的热点燃，化学以及生物学浓度方面有着 广泛的应用 船决这个问题的解的方法来源于在环形区域中非线性椭圆问题的应用时所用到的方 法，见 1 6 ，1 7 ，4 ，2 4 ，3 0 】当a = 1 时和，是超线性的或次线性情形下，e r b e 和w a n g 1 得到了方程的正解分别在锥上或解落在一个环类区域中 1 的方法也可以推广应用到 高阶边值问题中f 19 1 而在方程( 1 2 5 ) 的情形下，可以不要求，是次线性的或超线性的，如在 5 , 4 中 讨论对于某个a ，( 1 2 6 ) 的解的存在性问题用解的凹性性质，可定义一个锥，且在这个 锥上定义了一个正积分算子对于属于一个开区间的 ，i q a s n o s e l s k i i 不动点定理2 8 1 应 用到解决边值问题( 1 2 6 ) 的正解的问题上，具体研究结果如下； 3 徐旭：非线性二阶常微分方程边值问题的正解 这里 令g ( t ，g ) 是以下方程的g r e e n 函数 - y ”= 0 0 t 0 使当z d 且忙一。o 【| d 时， 恒有l l a x a x o i e ，则称a 在x 0 连续；若a 在d 中每一点都连续，则称a 在d 连续 若上述6 只与有关而与z o 无关，则称a ：色d 一致连续 定义2 2 紧算予若a 将d 中任何有界集s 映成e 2 中的列紧集a ( s ) ( 即a ( s ) 是相对紧集，亦即它的闭包万两是岛中的紧集) ，则称a 是映d 入易的g $ - - t - 定义2 3 全连续算子 若算子a ：d e 2 是连续的，而且又是紧的，则称a 是 映d 入岛的全连续算子 定义2 4 ypb i c0h 算子： 妒0 ) = ( z ，耖，妒( 可) ) 曲 j g ( 2 1 1 ) 其中函数( z ，y ，“) 在( ，y ) g g = g ，。 u + o o 上定义，g 表示r n 中某有 界闭区域 定理2 1 若k ( z ，y ，u ) 在( 。，y ) g g 算子k ：c ( g ) 一c ( g ) 全连续 注；关于以上概念及定理可以参见【1 0 】 7 o o u 0 ( z j ) ， ( 2 3 2 ) 凸 + 0 2 0 ，所+ 露 0 这一问题，通常称作s t u r m 边值问题特别，若9 ( z ) 10 ，啦= 0 ，则相应的边值问 题： l u = 0 ，r z ( u ) = r 2 ( u ) = 0 ， ( 2 3 3 ) 称为s | f ：u r m 齐次边值问题而边值问题： l u = g ( z ) ，r l ( u ) = r 2 ( u ) = 0 ，( 2 3 4 ) 便称为s t u r m 半齐次边值问题 下设j = o ，b ，q 代表平面( z ，) 上的正方形os 嚣，6 ，而q 1 代表三角形 a zs fs6 代表三角形n zs 6 定理2 3 在条件( 2 3 2 ) 之下，若齐次边值问题( 2 3 3 ) 仅有零解；则必存在唯一的 具备下列性质的函数g ( z ，) ： ( 1 ) g ( z ，) 在q 上有定义且连续； ( 2 ) 在q l 和q 2 上有连续的偏导数6 0 ，e k ； ( 3 ) 对固定的f z g ( x ，) 满足 l o ( x ， ) = 0 ，当z f 且z j 时， r 1 ( g ) = r 2 ( g ) = 0 ，当( 口，b ) 时； ( 4 ) 在正方形q 的对角线上即z = 时岛有第一类间断点，它的越度等于i ，即 1 瓯( + o ，) 一 ( 一o ，f ) 2 赢，( 。，6 ) - 定义2 7满足定理( 2 3 ) 中性质( 1 ) 一( 4 ) 的函数g ( 。，) 称为从属于边值问题( 2 3 3 ) 的g r e e n l 萄数 注g r e e n 函数c ( x ，) 是对称的，即 g ( z ，) = g ( ，石) ，( ，f ) q 这是g r e e n 函数的一个重要特性 然后利用g r e e n 函数，我们可以构造半齐次边值问题( 2 3 4 ) 的解，即有下面的 1 0 大连理工大学硕士学位论文 定理2 4 在定理( 2 3 ) 的条件下，若g ( t ) 是从属于边值问题( 2 3 3 ) 的g r e e n 函 数；则函数 曲 ”( z ) = g ( z ，) 9 ( f ) 嘶 必属于g 2 ( j ) 类且为半齐次边值问题( 2 3 4 ) 的唯一解，即 l v ( x ) = g ( 。) ，r i ( v ) = r 2 ( ) = 0 注：以上概念和定理可参考 1 2 】 仞 线性皮卡尔边值闽题的g r e e n 函数， 作为一个二阶常微分方程线性边值问题的例子，我们考虑在，= 0 ，” 上的皮卡尔问题 一( 吣= t i o ，w 】， z ( o ) ；。( 竹) ：o ( 2 删 这里y z ，z 是一个向量空间满足 c ( i ，r ”) czcl 1 ( ，r “) ， 即是代数上的也是拓扑上的作为( 2 3 5 ) 的解是指，映入r n 的g 1 函数，也就是满足 z 是绝对连续的函数， z 并且( 2 3 5 ) 的第二个条件满足，且( 2 3 5 ) 中的第一个 方程在i 上几乎处处成立令x 是一个实向量空闻，满足 c 1 ( ，r ”) cxcc ( i ，酽) ， 既是代数上的也是拓扑上的1 9 4 x o = 扛x ：z ( o ) = z ( ”) = 0 ) ， d o t a l = 如x o ：z 是，上的g 1 类z r i 上是绝对连续的，且矿z t 那么t 如果三：d o t a l 函一z 是由l x = 定义的，问题( 2 3 5 ) 就等价于在 d o t a lc 甄上的抽象方程l x = y 容易检验 k e r l = 0 ，t m l = z 且l _ 1 ：z 一蜀是由以下式子给出的 ( l - 1 ) ( ) z ”z 5 ，c u ) d u d s - o 。z 4 ，c “，d u a s ；z s ( “一t ) v ( s ) 出+ ；，”t ( ”一s ) “( s ) a s 1 1 徐旭t 非线性二阶常微分方程边值问题的正解 因为方程( 2 3 5 ) 的通解为 z 0 ) = y ( u ) d u d s + c z t + c 2 ， ( 2 3 6 ) 它满足边值条件z ( o ) = z ( ”) = 0 把z ( o ) = o 带入到( 2 3 6 ) 中得到x ( o ) = c 2 = 0 ，再把 c 2 = 0 和z ( 7 r ) = o 带入到( 2 3 6 ) 中，有。( 玎) = 一石片y ( u ) d u d 8 + c 1 = 0 ，得到 c 。= 兰f ”f 。( u ) d “d 。 q 。一7 rj c 上”( “) 砒如 把c 1 ，c 2 的值带入到( 2 3 6 ) 当中得到 ( l i v ) 。) = z 。) = ；z ”z 。，( “) d u d s z 2z 。v ( u ) d u d s ( 2 3 7 7 对上式的两个二重积分用积分换位法，先看 珂小州诎= 珂咖，托r a s 2 上( 7 一s ) ( s ) 。5 ( 2 删 = ；z ( ”一s ) ”( s ) d s + ；，”( ”一s ) v ( s ) d s 再看 0 7 0 。v c u ，a u a s = z v c u ，a “j ( a s = ，u u ) ( “) d u( 2 3 9 ) = ( t s ) y ( s ) d s 把( 3 2 8 ) ，( 3 2 9 ) 带入到( 3 2 7 ) 中，得到 ；z 。( ”一s ) y ( s ) 出+ ；，”( z s ) ，。) 出一o p s ) 扩( s ) d s ；f o 。y ( s ) ( t ”一幻一t ”+ 霄s ) d s + ；，”( ”一s ) t ，( s ) d s ；s ( ”一t ) ，( s ) c f s + ；，”( ”一s ) t ，( s ) a s ， gct，占，=；：；： ：i i 三i ! ：! c 2 3 ，。， 1 2 = f i i l 、7p、7y c ，l 大连理工大学硕士学位论文 注：以上内容参看【1 3 2 4 二阶常微分方程的特征值问题 考虑边值问题 l + a r ( z ) u = 0 ， 。j = a ，翻 且( u ) = 0 ( i = 1 ，2 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 其中l 满足( 1 2 1 ) ，r 扣) ，( i = 1 ，2 ) 满足( 2 3 1 ) 而p ( z ) ，q ( z ) ，r ( 。) 都是定义在j 上的实值连续函数；锄，风均为实数；a 是一复参 数显然，这个问题对任何a 值都有零解“；0 但我们所关心的却是那些非零解 定义2 8 凡使问题( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) 有非零解的a 值，均称为该问题的特征值，而 对应的非零解则称为该问题的对应于a 的特征值函数 定理2 5 ( 特征值与特征函数的两个基本性质) 考虑边值问题( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) ，并假 定它满足( 2 3 2 ) 则有， ( 1 ) 对应于每个特征值的特征函数除7 一个常数因子外是唯一确定的， ( 2 ) 所有特征值都是实数 注： 以上概念可参看 1 2 1 3 3 非线性二阶常微分方程两点边值的正解 3 1 问题简介 在这篇文章中，我们将要考虑两点边值问题 o ) + “曲畎幻= f ( t ，u 8 ”( 0 , 7 r ) i ( 3 1 f 1 ) iu ( o ) = “( ”) = 0 ， 的解的存在性假定 ( 皿)n ：r 一( 0 ，+ o 。) 是一个连续函数； ( b )，( - ，) ：r 0 ，+ o 。) 一 0 ，+ o o ) 是一个连续函数； ( 风)对任何“ o ，满足o ( ) u s ( t ，u ) 0 且a ( t ) u f ( t ，u ) 0 我们的目的是得到边值问题( b v p ) ( 3 1 1 ) 的正解的存在性 之前，二阶非线性常微分方程两点边值问题的正解的存在性，都是在超线性或次线 性条件下研究的文献【9 1 得到了此方程的周期边值的正周期解的存在性与多重性结果， 文献f 8 】又进一步加强了 9 的判定条件，且改进了结果本文受文献 8 的启发，考虑在 解的存在性条件中带有第一特征值，从而得到了更一般结果本文的难点在于通过g r e e n 函数来定义解所在的锥 3 2 二阶线性常微分方程对应的算子及其性质 以下总设n ( t ) 满足( h i ) ，f ( t ，u ) 满足( 如) ，且对任何“ 0 ，( f ) u f ( t ，u ) 满足 ( ，3 ) 记m = m i n 炬1 0 ，丌1a ( t ) ，m = n l a x t 0 ，。】。( t ) ，则0 m m o o 记c o ，7 r 】 为【0 ，”j 上的连续函数，在b a a a c h 空l ；- jc o ，7 r 】上，有范数l = m a x t e o ，】i “( t ) j ，记 c + 【o ，”】= 扣c o ，”】：u ( t ) 0 ，t 1 0 ，丌 ) 代表c o ，丌】中的锥我们定义一个关于锥 1 5 徐旭：非线性二阶常微分方程边值问题的正解 g + 0 ，丁r j 的偏序对于“，”c o ，丌 ，如果t ，一“g + f 0 ，日 那么茎口有时如果。” 但u v ，写作u w 为了研究方便，方程鳓可变化为 = 。裂f ) 吖。，呱砷) ，涎( 0 汀) ( 3 2 _ 1 ) 【“( o ) = “( 7 r ) = 0 、7 为了研究方程( 3 2 1 ) ，令h c o ，”】，我们先考虑二阶线性两点边值问题 一u ”( t ) = ( t ) t ( 0 ，7 r ) ，( 3 2 2 1 ( o ) = u ( ”) = 0 ( 3 2 3 ) 得到了如下两个引理： 引理3 1 二阶蛳陲两点边值问题( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，对任何h c o ，7 r 】，存在唯一解 1 1 , ：= t h ，u c o ，7 r 】且 ( i ) t ；g 【o ，7 r 】一c o ，”】为线性全连续算子，且。丁【| = ：， ( i i ) t 是正算子，即当 g + 【o 丌】时，t h g + o ，7 r 】。 证明 定义算子l ：c 2 f 0 ，丌】一c o ，丌】，令 l u ( t ) = 一u ”( ) 。 那么问题( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 等价于l u = h ，显然k e r l = o ) ，那么有 u ( t ) = l “ ( t ) = g ( ，s ) h ( s ) d s = t h ( t ) ( 3 2 4 ) 一0 这里c ( t ，s ) 是边值问题( b v p ) j 一( t ) = 0 ，t ( 0 ，7 r ) ， 、 【“( o ) = “) = 0 ， 的g r e e n 函数，由第二章第三节中的例子得到，它是由( 2 3 1 0 ) 给出的，即 f ；( 7 r s ) ， o t s s7 r ， g 。：8 之 ；。丌一。， 。7 r 3 2 - 5 由式子( 3 2 5 ) ，c ( t ，s ) 在i o , 丌】 0 ，7 r j 上连续，又因 ( ) 是连续的，所以算子t 是 全连续算子( 见 1 0 】) 又因h c o ，7 r 】，所以u = t h 是连续的 1 6 大连理工大学硕士学位论文 x 寸- 一切h c o ，”j ，田( 3 2 5 ) 导芏u l l t h l 2 即m a 川1 t h ( 。) l2 卸m a 川x 上g ( 。，5 ) 危( 5 ) d 5 i 黼上g ( 。，s ) 陋= 搿( 上g ( 。，8 ) 如) 钏洲黼( 胁( 川) d 5 + z ”扣叫嘲= 黼( 上；5 ( 7 r 一。) 。5 + 上；。( 丌一8 ) 8 8 ) 钏圳群掣- - ；l l h l l 因为令g ( t ) ：塑；旦，函数( t ) ：一1 0 ，( n = 1 ，2 ，) 即l u = a 。饥则 j 、1 = 1 是( 1 ) 的第一特征值，且存在 1 的特征函数血亡【0 ， f 1 使得l s i a t = 1s l a t 那么有 肛坝t ) s i n t d t = 击小加砒出 ( 3 。t 6 ) 1 7 徐旭t 非线性二阶常微分方程边值问题的正解 证明对l u = 札”= 地进行计算，即计算 嚣冀蒙吲岍) 显然这个问题对任何值都有零解u = 0 ，但这里a 是使方程有非零解的特征值，所以解应 满足u ( t ) 0 当a = 0 时，方程的一般解为 u ( t ) = c 1 十c 2 t u ( o ) = u ( 7 r ) = 0 ，必须c 1 = c 2 0 ，于是“l0 ，故 = 0 不是特征值 当a 0 时，方程的一般解为 u = c 1 e 丹。+ 。2 e 一问。 满足边值条件“( o ) = “( 丌) = o ，得到c 1 = c 2 = 0 ，于是“兰0 ，故a 0 时，解得方程的一般解为 u ( t ) = c ls i n 瓠t + c 2c o s 瓠t 满足边值条件得到乱汀) = c is i n 勋= 0 ，则有特征值a 一舻从而k = 佗2 ，m i ，2 ，) 所以问题( 1 ) 存在特征值当礼= 1 时， = a l = 1 是第一特征值a l 有一 个对映的正特征向量s i n t 满足l s i n = a is i n 即满足 k - s i n 旧 t = 吣a ts ，i n 瓠t , 埏( 0 汀) 兰梨印，n 一【0 i 吼 有唯一解t u ，贝j 慕嘉鬟即，n ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 大连理工大学硕士学位论文 根据( 3 2 7 ) 及( 3 2 8 ) 则有 a - z ”( r u ) 。) s i n 。) d = i f ( a ts i 。( t u ) 。) d t = 一z ”s i n ”( ) ( t u ) 。) d t = 一s i n 0 ) ( t u ) o ) i j + ( t u ) 7 ( t ) d s i n t = ( 丁“) 唯) 8 i l l 啪一( n 6 ) ”( t ) s i n t d t = r ( 丁矽s = 小咖 所以( 3 2 6 ) 成立 证毕 3 3 正解的存在性 现在我们来定义算子a ：a + o ，州一c + 0 ，” ，f ：c + o ，7 r 】一c + o ，7 r ，q c + 【0 ，丌】一c o ，” ，这里令 ( a u ) ( t ) = 。0 ) “0 ) ，t 【0 7 r 】对所有“c + 0 ，叫， ( f u ) ( t ) = i ( t ，u 0 ) ) ，t 0 ，”】对所有钍c + o ，7 r j ， q = t ( a f ) 则有( 3 2 1 ) 的解可表示为“= t ( a f m = q u 选择c + o ，丌 的子锥k ，是由以下式子给出的： k = “叫吣 。鹞】u ；j l u l l 这里， 忙i | = m a x e o ，。li “( t ) 1 则我们有如下引理： 1 9 徐旭：非线性二阶常微分方程边值问题的正解 即o c ( t ，s ) c ( s ，5 ) ，0ss ，t 7 r 所以对u k ，由q ，t ，f ，a 的定义有 r ，t q u ( t ) = g ( ，s ) ( s ) “0 ) 一，0 ，“( s ) ) ) d s g ( s ，s ) ( o ( s ) “( s ) 一，( 8 ，0 ) ) ) d 5 j 0 j 0 对所有t 0 ， 都成立因为o ( s ) “( s ) 一f ( s ，“( s ) ) 0 ，c ( t ，s ) 0 ，对0 t ，s 7 r 所 以上式等号两边都是非负的，则 i i q u l l = 蚓m 。a x ji q u i = 脚m a x 】q u ，”g 烈巾) 吣) 一，( s ，吣) ) ) 抵 ( 3 删 并且，对；# i 2 7 ， g ( t ，s ) a ( s ，s )= 二0 t s 7 r 0 s t 0 t 令珥= u k ：i l u l l r ) 且口坼= ( k ：i l u l l = r ) ，是k 中坼的相对边界这里我们将用到本文前面第二章第一节引理2 2 和推论( 10 j ) ，再复 述如下： 撕i g 坯 s 一 一 s g 噬 。立，。宰 大连理工大学硬士学位论文 定理a令0 ：j i k 是一个全连续算子如果芦q u u 对所有的u a 坼且 p ( 0 ，1 】，习口么i ( q ，k r ，k ) = 1 定理b令0 ：j i k 是一个全连续算子如果存在妒且妒0 ，使得 “q u + “妒，对一切u 占墨且卢0 那么i ( q ，珥，) = 0 假设有m 7 满足， 0 m 则存在一个0 6 1 ，使得m 7 ( 1 一e ；) = m 设。f ( t ，u ) ：r 0 ，+ o 。) 一 0 ，+ o 。) 满足条件( 地) 记 f o 絮p 鼢掣，o _ l l 。m 。+ i n r 躲掣， 卜l i r as u p 螂m a 州x 掣，肛f r m i n fm i n 。；掣 定理3 1 假设条件( s 1 ) ，( 乇) ，( h 3 ) 成立，若下列条件之一成立， ( i ) f ” m 7 一, x l m 一a 1 ，0 ， 或者， ( i i ) ，。 m 7 一a 1 m 7 一a l m 一a l ，由m 7 的定义，知存在0 0 ，使得 f ( t ，) ( f 7 一 1 ) ( 1 一e ：) “，对切t 0 ，7 r 】与u ( 0 ，r g 】( 3 3 3 ) 令r ( 0 ，r o ) ；现在证明# a u u 对一切“o k , 和肛( 0 ，1 1 成立如果存在 u o a k r 和p o ( 0 ，1 】使得肛o q u o u o 那么u o = # o q u o q u o ，不等式两边乘以s i t 再对t 在 0 ，丌】上积分，得到 ，”广” 咖( ) s i n t d t 兰q o ( t ) s i n t d t ( 3 3 4 ) 因u o ( t ) ，t 0 ，丌 也满足( 3 3 3 ) 式，把它代入( 3 3 3 ) 式整理得到 到 a t ( 1 一；) u o ( t ) ( 1 一e ；) u 0 0 ) 一f ( t ，u o ( t ) ) 兰n o ) u 0 0 ) 一f ( t ，u 0 0 ) ) 不等式两边乘以s i