（基础数学专业论文）非自伴dirac算子的迹公式.pdf

毒 耋箨d i r a c 蒸子的迹公式 攘妥：对手一般两熙线健代数) 逮赛条辫下静d i r a c 特征值麓题，稷应 麴算子一般说是毒扛赛伴懿。本文运耀平移算予，褥到了d r a c 方程襁擅耀题解 的渐近估计构造了一个整溺数u ( 入) ，其零点集合与其有一般两点跑界条件的 d i r a c 特征值| 霹趣鳇特征值集合蕊台根据甜各矮系数戆不霹愦撬，将一般 嚣悫迭赛条箨努鸯 魏基本类缴，并褥裂狸应戆穴个决定特惩蘧懿整垂数埘陶 翱它们在棚应逐邋上的濒近估计借助予一个积分蠛等式，采用燃数方法， 对d i r a c 算子的特征值进行了估计，得到了在备种情形下的特征值的渐近迹 公式。 荧键诩；d i r a l c 算予；特征馑；濒避估计；留数方法；避公式。 n o n - s e l f - a d j o i n td i r a co p e r a t o re i g e n v a l u e st r a c ei d e n t i t y ab s t r a c t ：a b o u td i s c e i g e n v a l u ep r o b l e m w i t h g e n e r a l t w o p o i n t s l i n e ra l g e b r a ，c o r e - s p o n d i n go p e r a t o r o f w h i c ho f t e ni sn o n - s e l f - a d j o i n to p e r a t o r 。t h ea s y m p t o t i ce s t i m a t i o n s o f s o l u t i o n o f i n i t i a l v a l u e p r o b l e m a i eo b t a i n e d f o r d i r a c e q t m t i o n b y u s e o f t h e t r a n s f o r - m a t i o nm a t r i x o p e r a t o r i nt h i st h e s i s c o n s t r u c t i n g 缱e n t i r ef u n c t i o n 甜( ) ，t h ez e r o so f w h i c h 甜et h e e i g e n v a l u eo f d i r a c e i g e n v a l u ep r o b l e m w i t h g e n e r a l t w o p o i n t s l i n e a ra l g e - b r ab o u n d a r y c o n d i t i o n s 。t h r o u g hd i s c u s s i n ge v e r yt e r m sc o e f f i c i e n to f 甜( 砷，t h eg e n e r a l t w o p o i n t s l i n e a ra l g e b r ab o u n d a r y c o n d i t i o n sa r et u r n e di n t oe i g h te l e m e n t t y p i e s ，e i g h t c o f r e s p o n d i n g e n t i r ef u n c t i o n s 泌( 砖d e c i d i n g e i g e n v a l u ea n d t h e i ra s y m p t o t i ce s t i m a t i o n s o nt h ec o r r e s p o n d i n gc i r c u i t sa x eg o t t e n 。b yr e s o r t i n gt ot h ei n t e g r a li d e n t i t ya n dt h e r e s i d u em e t h o d ，a s y m p t o t i ce s t i m a t i o n so ft h ed i r a co p e r a t o re i g e n v a l u ea x ec o n s i d e r e d a n d e i g e n v a l u e st r a c ei d e n t i t i e sa x eo b t a i n e d k e yw o r d ：d i r a co p e r a t o r ；e i g e n v a l u e ；a s y m p t o t i ce s t i m a t i o n ；r e s i d u em e t h o d ；t r a c e i d e n t i t y i i 1 引言 微分算子的特征僵魏迩公式在揭示微分算子的谱结构，稀特征值的计算及其反问题 以及孤子理论和可积系缀理论中i t 翻，【l 越有缀羹要的作用然露_ 慕l 矩阵样，微分箨予豹 单个将征值比较难求但在矩阵理论中，我们知道： l 。 i 入e a i = n 一和l l 十+ o 。) a “一1 + i “”l a “一2 一十( 一1 ) “i a i ， 蕊l 嘞锄 新有特征值之和等于对角线元素之和，邵矩阵的迹特征值的二次基本对称函数 等于矩阵的所有二阶主子式之和，特征值的三次基本对称函数e 土k 等于矩阵的所 鸯三酚主子式之和，茯次类推。鄂么，对予微分算子的述，是否也能用算子量直接表出 昵? l m g d ( a n d 和b m 。l e v l t a n 在1 9 5 3 年获：；譬了以下s t u r r a - l i o u v i l l 阅题1 3 】的迹公式： 一口”+ q ( 砖”2 a ，y l ( o ) = 口( ”) = 0 妻c k 一铲一；f ”q 鳓掣一磊1f ”g 缸 “= o 。” 谴后，关予迩公式的研究出现了一系列辨论文【4 趣，特男8 是在1 9 8 1 年曹策目教授提出了 一个计舅常型二阶微分算子特征值遮公式的一个普遍性的方法而且计算出了s l 问题 特征傻的幂的正则迹公式。对于奇型情撼，z a k h a z o v 稳f a d d e e r 农1 9 7 1 年对像势在无穷 邀处褒减情形之下获得了半幂迹公式【6 】，这些迹公式给班了k d v 方程的一系列惺鐾 和h a m i t o n 函数的散射表示z a l d ，a r o v 和f a d d e e r 的方法可以用于有反散射结果的微分算 子，李梦如老师将其应用弼离散系统的特征值问题和高阶微分算子中，得到了一些新的 结果筘一最近，曹策问教授还通过迹公式得到_ 个获得无反射情形下位势的自然约束 懿方法，由此可戳褥懿新韵有限维可积系统及相应的非缄往演纯方程的对合解【埔l t j 关于d i r a c 方程的研究，最早始于1 9 2 1 年，w h u r w l t z 得到了d i r a c 方程的特征值，特征 函数酌渐近式，并证髓了在有限区间上d i r a c 系统的特征函数的完备性【i s s a r g s j a n 秘m g ，g a s y m o v 分裂在1 9 6 6 和1 9 6 8 年提毒了d i r a c 方程的两稀正则形式1 1 3 ，在1 9 6 7 譬，e 。a b d u k a d y r o v 对其中一种正贝8 形式，汁算出了在一种自伴迩界条件下豹特征俊淹题 的迹公式【“i ，b m 。l e v i t a n 和i s s a z g s j a n 在f 1 6 中对d i r a c 算子进行了系统的论述，其中 包括常型和奇型以及周期情况的研究从上个世纪八十年代到九十年代初，出现了一批 关于d l r a c 方程反散射i 可磁的论文【n w ，上世纪八十年代末，曹策问教授提出了用l a x 对非缓性方法获得新的有限维可积系统之后，他的合作者将此方法用于d l r a c 方程，得 到一族发展方程旅，并薅数值解法求得了对合解 n j 本篇论文主要勰决d k a c 算予农下述两点线性代数边巽条传下匙特征僮阁题的澎近 逐， 丑塞+ p ( 咖= 砘 五矗( v ) = m 轨缔) + 口2 可1 ( 丌) 十口3 f 2 ( o ) + a 4 v 1 ( o ) ；0 ， 如( ”) = 6 i 珈( ”) 十b 2 v x ( 7 r ) + b 3 w ( 0 ) 十b 4 y 1 ( o ) = 0 ， 其中r ( x ) m ( x ) 是【o ，司上的察函数， ，= e 玑，。：，7 ，b = 0 ，；、) ，p e 。，= - p ( z ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 论j l ：l 萄题为( 置) ，在i 1 5 j 中计算了在自俘边界条件下的迹公式，其结果是正确的但在 计算孛蹬瑷了两次错误第一是视鬣阕题解翡渐进瓮是对实a 获得的，蔼奁述公式计 算中甩于了非实a 鳇蠖形，是不会理熬；第二是在后来的计箕孛又出现了一个错误这 两个错误合在一起使露f 得到的结果又是正确的。本文采用 2 2 1 中提出的留数懿方法，对 i ) i r a c 算子的特征值严格地重新进行估计，并绘出的。e ) 穆分类，获褥了各种情形下的 渐近迹公式 2 c a u c h y 问题解的渐近式 令籼= b 丢+ p ( x ) ，b i = b 基，记妒( x ) 是 a l y = y , y l ( o ) = c 0 8 声，掌2 ( o ) = - 8 m 的解， 则_ p ( # ) 有平移表示鳓 + 妒( 2 ) = 嚣( 2 ) ，$ ) + fk ( x ，$ ) ，( s ) 出 ，$ j 0 f ( x ) 是 b l y _ 破羲( o ) ；8 口美( o ) = - s i n 8 的解， 葵每，蹦文慧嚣黑然：纛一鬻甚鬻0 裟：戋、， 耳；s ) = f 日( 嚣+ 嚣) + 嚣日( 茹+ $ ) 丑】+ 泌( 茹s ) 一b h ( x 一$ ) 捌+ 譬+ - s c ( t ，z + s 一 ) 十g 壮，茹+ s t ) b d t + 鬈二， g ( t ，# 一z + s ) b b g ( t ，t z 十s ) d t z - z ( 。) = 彤和，o ) ，g ( # ，幻= 一p ( z ) k ( m ，旬 2 ( 鹤 令声= o 将( 4 努郝积分，褥满足裙条降 妒l ( o ) = l 柳( o ) = 镰豹妒( s 辩a 懿澎近式 妒：扛) = c o s 铆秘) ) 十i 1 鼓( 茹 ) 十嘉鲍涵砖+ 联警) ， $ 毪( 妨= 出# 耘羚+ 秘，砷+ 袁1 砖江，萄+ o 二万) 1p f p 其中 尊( 嚣) 嚣譬a ( s ) d s + a z 一幽拶缸) = 蠡露卫( 8 ) e 酶+ k x + 口 j 螽和，砖= c o s 扣0 ) ) 嚣( o ) 一 c o s ( 唧臼) ) 嚣( 砖+ s 强国( 。) ) 鬈b 2 ( s ) d s 憨溉萄= 啦) 渺+ 融涉) 拶秘串滞 霉 # ) ) a ( 。) 雪( 。) c o s ( , k x ) ) a ( o ) 嚣褥+ ( 5 ) 疆) c o s ( , 7 ( z ) ) b 2 ( 0 ) 一去c 0 8 p ( ) ) 嚣( o ) 口( $ ) + 吉c o s 扛) ) j 孑b 。( s ) b ( s ) d s 一矗s i n 妇( 动) 譬a ( s ) b 2 ( s ) d s + 蠢s 融口( $ ) ) 譬b 2 ( s ) a s s ( 0 ) 一刍8 i 扣) 嚣一蠢游b 2 d 4 2 c o s ( n ( z ) ) ， 氧( 茹， = s m 唧渔) ) 嚣( o + s 沁和杠) ) b 和) 一c 0 8 秘( 砖) 譬b 2 ( s ) d s ， 鹞缸，辞= s 秘 苟) ( 砖一s f $ ) ) 嚣翰一8 融镪缸) ) 矗缸) 丑$ ) 一s 逸和习建拶) 器 矗s i n ( 叶( 动) 丑2 ( 0 ) + 矗8 i n 0 ( 茹) ) 嚣( o ) 丑( z ) + 矗8 - m ( 柙( ) j 孑纠( s ) m ( a ) d s 十矗o o $ ( 叼p ) ) 臂a ( s ) 口2 ( s ) d s 一蠹s ( 对如) ) 露b 2 0 西嚣( 一嘉c 。8 p 缸) 净妇) 一去( 露暑2 如) 28 i n 国( 磅。 令肛一詈褥( 4 ) 分鄂黎努，褥灌怒襁条搏融( 锦瑚蕊鼢= l 熬簪鼢辩五秘澈近凌 魄锄= 一甄轫f 蛐+ ；燧编砷+ 嘉强溆萄+ 烈e 矿l d * ) ， 7 ) 如= c o $ 国) + ；l 柚+ 去2 ( 柚+ o ( 万e h q a , ) ， ( 8 ) 冀审 鼹( 款弛一醢珏) 嚣渤4 - 鲢拄轻) 嚣麓+ s 秘汹) 露萨轴) 鹋 五如轱，袖茹 c o s ( n ( z ) ) b ( 善) 十c o s p ( z ) ) 嚣( 0 ) 一8 m 0 ( 茹) ) 4 ( 鸳) 曾0 ) + 8 i n 扣0 ) ) a ( o ) 嚣( o ) 一 蠢s k 辑扫) ) b 2 ( o ) + 蠢琏鞋江f 砖) b ( 。) 丑( 髫) 一去s i n 秭每) ) 露b 7 ( s ) b ( s ) 办一去c o s 仍( 茹) ) 鬈 ( s 嚣。f 嚣) 蠡 蠹。# 瑚嚣黟 s ) 幽暑 蠡沁( 妨) 置渤+ 去 譬b 2 出) 2 挑( 镕瀚) ， 3 1 0 ，a ) = c 0 8 ( 叼( 霉) ) b ( 0 ) + c o s p ( 尘) ) b 睁) + s i n ( 叼0 ) ) e b 2 ( 8 ) 幽， 2 0 ，硒= 一吉毒| m 细( 霉) ) 嚣江) + 8 h p ( 五) ) o 固) 一 c 轫扛) ) 且0 ) b 忙) 一s 和( z ) ) a ( o ) 嚣( o ) + 蠢c 0 8 妇和) ) b 2 ( o ) + 吉c 0 8 ( 可( 茹) ) 口( o ) 口( 善) + 矗c o s ( 对( $ ) ) 譬b ( s ) 丑0 ) d s 一矗s m ( 叩( z ) ) j 孑a ( s ) 嚣2 ( s ) d s + 击如( 口 ) r b 2 ( s ) d s b ( 0 ) + 矗s 洫p ) b ( $ ) 一去晖b 2 删2 s ( 0 ) ) ， 也可利用迭代的方法，求出妒( z ) ，妒( 劫的渐近式为简化计算，假定f ( 口( f ) + r ( f 敝+ 芦一n = 0 3 问题( e ) 的分类 设( 1 ) 的通解为p = c l l p + c 2 妒，其中妒= ( 妒1 ，_ p 。) ? ，妒= ( 妒l ，如) t 代入( 2 ) ，( 3 ) 知( e ) 的特征值 有下面整函数的零点决定； 删= i 篇搿b 州卅咖协- 蜥m t 枘惕t 其中。* = l ：l 。壤啦施，如的表达式( 5 ) 如) ) ( ，) ( s ) 代入褥 u ( a ) = ( d 1 3 一d 4 2 ) s 迅知f + ( d 2 3 十d 4 1 ) c o s a 订+ d 2 i + d 4 3 + 击s i n a v ( b 0 r ) + b ( o ) ) ( d 1 3 十d 4 2 ) 十 c o s a 霄( b ( 0 ) 一嚣( 砷) d 2 8 一d 4 1 ) 十矗8 - n 淅j ：r b 2 ( 8 ) 幽( 口2 3 + d 4 1 ) + 蠢c 鹕加贸b 。( 3 ) 幽( d 4 2 一d 1 3 ) + 蠢【 c 0 8 斯( b ( 丌) 一b 7 ( 0 ) ) 一s i n 7 r ( 以( 丌) 曰( 丌) + ( o ) b ( o ) ) 一 c o s a ，rj ：r b 2 ( s ) d 。( 嚣( 7 r ) + 丑( o ) ) 】( d 1 3 + d 啦) + s i n a ，r ( b 打) + b 。( o ) ) + ；c o s j 育( a ( 丌) b ( 丌) 一蠢( o ) 雪( o ) ) +s i n a ! r 譬b 2 ( s ) d 8 ( 嚣国) 一直扛) ) j ( d 2 3 一d 4 1 ) + 蠢【击c o $ 丌( 嚣2 ( o ) 一曾( o ) b ( 丌) ) + 击c o s a ，rj b ( s ) b ( s ) d s s i na t r 嚣b 2 ( s ) a ( s ) d s 一去c o s a 蝣b 2 ( 曲删2 】( 见3 + d 4 1 ) + 嘉 蠢s i n a v ( b 2 ( o ) 十b ( o 净( 砷) + 五1s i n a ，r 鬈b 钕滞( 3 ) 出+c o s a 譬b 2 ( s ) a ( s ) d s 一去咖蛔( 茁b 2 ( s ) 出) 2 】p 1 3 一挠2 ) + 。5 警) t ( ) 由于各项的系数决定着u ( a ) 中a 的阶数，故我们对( e ) 作如下分类； 4 f d 1 3 一d 4 2d 2 s + d 4 id 1 3d 4 2d 2 3d 4 1d 1 3 + d 4 2d 2 3 d 4 1 i i i i i io i vo0 o vo v io ioo v n io0oo oooo0 ooo 其中+ 表示正上方表头爨示懿量不为0 ，0 表示为0 ，空蹇憋空格表汞可为0 ，也霹不为 0 按上表中的分类，我稻胃苏将( 2 ) ，( 3 ) 纯为九种类型，其中第九释“( a ) 化为常数，成 为平凡情形，我们不讨论它+ 按上液中的行列式非零条件，( 2 ) ，( 3 ) 可化为下列八种基本类型： f 螂2 扫) + 筝l 扭) + 7 蓼i ( 0 ) 嚣0 ，f 慨( 耳) 十勰( + 强l ( o ) = 0 ，8 + 艿0 ，1 + 芦一5 b 0 ， i i 。a 譬1 汀) + 7 挈2 ( 0 ) + m ( 0 ) = 0 ，抛( 霄) + 斑l ( 霄) + 她( o ) = 0 ，丁+ 声0 ，1 十a 占一所0 盯j 勋1 妇) + 口张f o ) 一掣i ( o ) = 0 ，勋2 ( 霄) + 轨( o ) ；锋l ( o ) = 0 ，( ，y a 妒0 i v 轫( 肯) + 触1 ( o ) = 0 ，l ( ) + 8 辚国= 0 ，8 芦 扩口抛( 竹) + 搬( 霄) + f 呱( o ) = 0 ，7 搬( 耳) 一8 融( o ) + 掣2 ( o ) = 0 ，i + 扩+ 卢1 o ， v i 一a 轨( o ) + 瓤( 谚+ 乒瓤( 嚣) = 0 ，轭和) + 疆筝l ( 嚣) + 7 啦( = 0 ，1 扩+ p 7 0 ， v i i 声嘻l ( 丌) 一盘蓼2 ( o ) 一乳( o ) = o ，疏恕( 群) + 伽( o ) 一q i ( o ) = 0 ，芦0 ， v i i i 啦扫) + o 嗷) = 0 ，轨匆) + a 靶( o ) = 0 ，a & 5 口，6 是复常数其中周期边界条件就是( v ) 或( v i ) 申a = o ，算= 一1 ，7 = 一l ；时的 憾形 决定特征值的整匾数u 相应的成为： j 。 u ( 柚= ( 口+ d ) s 汛蛔+ ( 1 + 口7 6 口) c 。s 玎+ 卢+ ，y + ls i n x 霄( 霄) + 口( o ) ) ( 口一6 ) + 去c o s h 汹( o ) 一b ( 丌) ) ( 1 7 芦+ d a ) 一矗国+ d ) o ”b 2 ( s ) 出c o s a ”+ 去s m h ( 1 + 助一如) ，”2 州( e ，l l - b ( a ) d s j 0 ) ，( 1 。)( 羔+ 参吁一占盘) 7 2 + o 。) ， ( 1 0 ) n u ( a ) = 一( 卢十g i n a 丌+ ( 1 一所+ 缸) c 。s a 仃十a + j + 去( 卢一7 ) 8 i n k r ( 丑( 霄) + 口( o ) ) + 去c o s 灯( 嚣( o ) 一日瑚( 叛一锣一1 ) + 去8 + 帕z “嚣2 ) d * c o s a = + i n a t r ”卅蚴z ”踟出+ o ( 譬) ， ( 1 1 ) 舭 口( a ) = b 一8 ) 8 s i n a = + 芦。一l - - ( x 7 - - 去8 i n 如( b ( 霄) + 嚣( 国) ( a + 声+ 去声e o s h 2 ( b ( 0 m ( 枷+ 如m ( ) 卢z ”础s ) d s + o ( 警) ， ( 1 2 ) j e 。= a 一圆逝蛔+ 触一l + 破is i n 妇白+ 暑( o ) ) 转+ 国+ 赢1c o s 蛔f f b 2 ( s ) 幽( 筘一8 ) + o ( - 8 i m r - ) ( 1 3 ) v u ( ) = ( 1 + + 妒订c o s * + 户十丁+ 去s i n ”( b ( ”) + 口( ) 2 d + 去c o s h ( 君( o ) 一b ) ( 1 一舻一芦+ 矗嘲h ( 1 + 舻+ 芦7 ) 上”b 2 ( 8 ) 幽+ 。( 警) ， ( 1 棼 y f u ( a ) = ( 1 + + 芦) c o s a 丌+ 芦+ 7 + 去8 f m a 丌( b ( 丌) + b ( o ) ) 2 8 + 甄1c o s x - ( b ( o ) 一 b ( 嘞( + 触一1 ) + 去s i 妇( 1 十舻+ 所) z ”妒如+ 。( e 趸l d r , 。) ， ( 1 砖 6 y j f 。( ) 掣( 芦2 一l a 2 ) + ls i n h 耳( b ( 耳) + b ( o ) ) 2 够+ lc o s 天v ( b ( 0 ) 一嚣江) ) 2 芦+ 。 y 。u d ) ；( - 1 + a 2 ) + 去妇h ( ”) + b ( o ) ) 2 。+ 。( 萼) 4 问题( 1 ) ，( i 薹) 的迹 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 问题i a y e ) + y i ( 2 r ) + 7 礼( o ) = 0 ，# 扫) 十翰( o ) + 如l ( o ) = 0 ，+ 5 0 ，i + # 一5 a 0 ， 由( 1 0 ) 式知u ( ) 的圭部为 其中 蛐( )妇+ 露8 遮a 拦+ ( 1 + 册一8 a ) c o s a 崔+ 参+ 7 a s i a r 0 , 4 - 0 1 ) 一s i n 如丌】， a = 瓶鬲两雨巧f 研，c 砌，”= 掣，s i ”2 ，r = f i 。+ 7 8 1 , 0 2 为复数，且一1 s r e o i 1 ，0 s 冀e 艘一i s 拯如t 铂( a ) 的零点必 l = 如一日l + 2 n ，k 1 一如一毋l 十2 n ( n 篇0 ，4 - 1 ，土2 ，) 在平行于实轴的两条直线上交叉分布 令捌1 ) = ( 丑缸) + 君( o ) ) 缸一毋，趟1 ) = 往 一嚣( # ) ) ( 1 7 葶+ a 6 ) 磁1 ) = ( 口+ 6 ) j ：b 2 ( s ) d s ，竭1 ) = ( 1 + 芦7 d 口) j ；b 2 ( s ) d s ，贝0 器去t 笺铲+ - i d 2 ( 删i ) c o s a v 一百m 3 ( 0 矿c o s a ，r + 挚m e 蒜h 嘲 雩| 瑾1 记 = a + i r , ，瓷0 r 嘞；时，取匾路c n ：o 1 = 一露e 口1 + l + 2 n ，啦= 一冠e 目1 1 - 2 n ， r l = n ，让= - n ( = 0 ，1 ，2 ) ；当- 1 置e 口2 量 时，取回路强：以= - r e # l + 2 n ， 如= 一元碗一2 2 n , n = ，2 = 一楚= o ，1 ，2 ) ，在c 上，以下三式均有界， s i n 仃 ( a ) c o s 丌 埘o ( 7 e 川。 w o ( ) 螽舔1 ，当n 充努夫辩“与蛐( ) 在舔态有穗同个数懿零熹。 诞明；由( ”) 及弓l 理1 知， 一去t 甓筹笺铲一百m ( 1 ) c 矿o s a 背+ 哿t 南 瓷n 充分大时，在魄主有l 黼- i i i 因为“( 柚，蛐( 砖是a 魏整函数，蛐( a ) 农翰上 无零点，由r o u c h e 定理，知w ( 柚积蛳( 柚在内零点个数粳同 定理1 对阅题( i ) ， 囊皋i 娃岛h s i n 9 2 # , 狰艴龟 时， 毒+ 堍一t ( - 蕞- 霜- + 等) ( + 堍一l ”+ 等) ( ” 一 蜜热= ! ! 生， f ( 如一蛾+ 2 n ) c o s a i 7 + 避8 a + 丝4 a ) 丽警2 n ) c o s 6 蚪+ 面蠢繁警丽舻 、 儿霄( 如一一l +帮( 1 一如一矾+ 2 旃) 丽s 如耳j 一 +型84丝4,4去8in 7i； 。 7 瑰一s 遮如霄 当妇口l = s i n 8 矿r ，i r e o 。, t 时。 妻+ 船- 一( 辔+ 育m 0 ) e 面隶簪躲丽一丽警) 卜辔餐e 丽等 豢如如，r 出如瓤l & 如l = ，l m o 2 = 0 时 + 丽岽等c o s 劫r 黔毽霄( 1 一如一矛l + 2 妨 列一脚 塾一c 箬+ 喾，c 燕 8 器 _ ( _ 百m s ( i ) + 警) ( 2 丽警蒜+ 高) 】_ (一丝8a+望4a)志sin01 s i n 、 7 霄一 如丌 当s i n 0 1 = = 8 m 如”，j r e 0 2r = ；，i r a # 2 = 0 时 差一( 亩m g ) + 辔) i s i n o l ”小警+ 喾) 器1 一( 一喾+ 警) 证明：由命题1 ，当n 充分大时h 丛w o t 黛a ) 沿o k 为单值解析函数，对下面的恒等式沿g * 作回路积分： a t 器一糕卜m 端+ 和n 右边的第二项的积分因单值性而消失 魄器= 去【笔铲+ 铲一气m 3 ( 1 ) 矿c o s a w + 百m ( 1 ) 矿s i n a “倒斋， 淫遘瞽数计算，辩褥上瑟的迹公式 取相同豹回路类儆可得： 定理2 对问题( i i ) ， 当咖口1 ”s l n o ：”，l 龇如f 时 黔o o 懒一群+ 箬，c 矿拦 一( 百m s ( 2 + 等) (、8 a 4 且八 $ m ( 如一口i ) 丌、 ”( 口2 一p 1 + 2 n ) c o s p 2 口7 一( 等十等) 蕊熹蕊 蔫 当s i n o l = s i n 0 2 z ，i m 日2 i 时 确一( 警+ 辔) ( 而老笨躲丽一丽s 呐i n ( e = + 2 n - e 1 ) c o ) r 。纠 + c 警+ 等，c 丽警蒜十 警s i n 0 1 w s i n b 2 ”，i r e 0 2 | = ；，i r a 0 2 = 0 时 c 2 。 一 埘，喝一e 譬+ 等，c 意等 一e 等+ 等凇而警蒜+ 瘫肛 e 喾+ 等，志 瓷s i n o t w = s i a 0 2 ，r ，i 龇如 = ；，i r a 0 2 = 0 时 其中 量盼。一c 譬+ 箬，警+ e 譬+ 娑，豁雌：e 百m s ( 2 ) + 警， a = 俪可再豇丽c o s 断= 半，血断= 一譬， 0 1 , 0 2 为复数，且一1 r e o l 1 ，0 r e 0 2 1 躐- 1 s r e 0 2 一 碰2 ) = ( 嚣( 丌) 十b ( o ) ) ( 芦一7 ) ，叫2 然( b ( o ) 一b ( 竹) ) ( 一1 一叮芦+ “5 ) ， 趟2 ) = ( p + 1 ) 石嚣2 ( s ) 出，磁2 = ( 1 一聊+ d 8 ) 鬈b 2 ( s ) d s 5 阔题( i i i ) ，( i v ) 的迹公式 婵l 题i i i p # l 缸) + a # 2 ( o ) 一啦( o ) = 0 ，角数( 砷+ # 2 ( 。) + 啦( = 0 ，( 乍o 。参o 凌( 1 2 ) 式，u ( 豹主部势 蛳( ”= ( 了一牡) 声8 沁a 霄+ 卢2 1 一硅7 = 警甄蛔+ s i n o ? r x 一 砺箍如一十群 一萨 其中 a = ( 7 一a ) 卢，s i n 口”= 锗 # 为复数，且0 s & 9 s 或- i s 觇8 墨一 螂( 砖鹅零点为 i = 锄一0 ，沁= 1 + e + 2 n 坼= o ，士l ，士2 ，) + 在平行于实轴的两条直线 上交叉分布令 负i j 叫3 ) = ( 曰( ”) + b ( o ) ( + 7 ) 熊叫3 ；( _ 8 ( o ) 一b o ) 2 盈捌。( 8 7 ) 芦b 2 ( $ ) 拄s * r 0 器一等蔫+ 等箫+ 娑器删蒜， 葶f 理2 记a = u + i r ，当0 9 m 口 时，取回路：以= n + 1 + ，砚= 一一，n = n = 一- ( = o ，1 ，2 ) ；当- 1 s 觑日 一；，时，取固路9 ：g 1 = n + i 1 ，观= - n - 1 一 ，n 一，钯= 一n ( = 0 ，l ，2 ) ；当i r e o l = ，对，取同路强：0 1 = ，0 2 = 一姨n = ，如= 一m = l ，2 ) ，在o k 上，以下三式均蠢器， 嚣遮 霄 u o ( - x ) c o $ 盖霄 蛳( e | f 渖 岫( ) 命题2 当n 充分大时，u ( a ) 与撕( 砖在强成套握同个数蛉零点 谈骧过程弱像题1 。 定理3 对问题( 啜) ， 当0 s 蠢醪 或一1 矗甜 一；时， 塾讲笔羔而+ 掣斫， 。一! 丝翌丝1 8 a s i n 学丌 i i 当l r e 0 1 = 时， 塾一一旦2 a t r 2 ( 2 n - 0 ) 。+ 筹筹卜丽2 m ( 3 ) 丽+ m ( 3 3 ) 完全类似可得t 定理4 对问题( ) 肖0 r e o 或- 1 茎r e 0 一时， 塾一誉慧矿+ 警矿卜芯 避l r e o l = 时， 其中 蝥o o 卅南+ 羔卜羔 a = 。一反s 虹妇= 曼皂 ，趟4 = ( 嚣( 砖+ b ( o ) ( a + p ) ，趟4 ) = ( 葶一a ) f f b 2 ( * ) d s 6 问题( v ) ，( v i ) 的迹公式 问题v d 妇( 丌) + y l b r ) + 届饥( o ) = 0 ， 批白) 一a 掣l ( 0 ) + 掣2 ( o ) = o ，1 + n 2 + 口7 o 由( 1 4 ) 式，u ( ) 的主部为 蜘( a ) = ( 1 + a 2 + 芦7 ) c o s 霄+ 芦+ ， = a ( c o s 妨一c o s 口 ) ， 其中。为复数，o s 勘口s 1 a = i + n 2 + 芦1 ， c o s 妇= 一啦a 铀( ) 的零点为砖= o + 2 n ，b = 2 n 一0 ( 捧= o ，圭l ，4 - 2 ，) ，在平行予实轴的两条壹线上交 叉分布令 皤6 = ( 口( ) + b ( 0 ) 2 a ，州5 = ( 口( 0 ) 一b ( 计( 1 - - 。t 2 一卢7 ) ，趟5 ) = ( 1 + a 2 + 声，”丑2 ( 8 ) 出 , 2 0 则 蒜一娑蒜+ 襞器+ 譬箫+ o c 瓣e i r t 8 ， 霹f 理3 记 = 口+ 讯当0 r e o 1 ，j m 口0 时，取阿路：0 1 = n ，0 - 2 = 一n ，n = n 化= 一n ( = 1 ，2 ) ；当r e o = 0 ，j m 口= 0 时，取回路。_ ：以= 2 n 十1 ，d 2 = 一2 n 一1 ，n 。n ，您= 一n ( = 0 ，l ，2 + ) ；当r e o = 1 ，j m 8 = 0 时，取豳路氏：g 1 = 2 n ，。= 一2 n + 2 ， r t = n ，吨= 一n 。( = l ，2 。0 ，在“上，黻下三式均有界， s i n 妇 w o ( k ) c o s 天耳 ( ) e h * u o ( , x ) 命磁3 当n 充分大时，。( 与。o ( 柚在内有相同个数的零点 定理5 对问题( v ) 当0 s m 口蔓1 ，i m o 0 时， 眈躲忐一掣南，= 羔 避r e 0 = 1 ，1 , n 0 ：0 时， 萎c o 阶z e 一躲筹一菇卜警 瓷露萌= 0 ，i m o = 0 时， 墨。2 捌5 + 趟5 ) ( 2 h 一船一型2 a l ，r ( 2 型n + 坚o ) 一 一。 2 a ( 2 兰n0 ) 2 ，r 2 ) = 。 + ， ” 完全类似可得： 定理6 。对问题( ) 当0 s r e o s l ，i n t o 0 对， 黔躲南一掣南卜羔 当r e o = 1 ，i m o 毒0 时， 驴o o 。删一缫筹+ 菇，= 箬 当髓8 = 0 ，如口= 0 对， 塾。删一丝2 a ，r ( 2 巡n + o ) + 痴， 其中口为复数，0 r e o 冬1 a = i + 取2 + 芦，c 0 8 乎霄= 一f l f + 7 叫6 之( b ( 霄) + 嚣( o ) 2 乜， 趟6 = ( 口( o ) 一b ( ，r ) ) ( 矿+ p 一1 ) ，蟛8 ) ：( 1 + 8 2 + 所) ，”b 2 ( s ) 凼 ，0 由( v ) ，( ) 知，当a = 0 ，卢= 一l ，7 = 一1 即周期边界条件。即在定理( 5 ) 与定理( 6 ) 中， 0 = 0 ，此时 7 闫题( v i i ) 扮迹公式 简h 匿v i i 芦掣l ( 丌) 一n 掣2 ( o ) 一乳( o ) 嚣0 ，卢瓠( 玎) + 强( o ) 一。啦( 啦= 0 ，芦0 。 幽( 1 6 ) 及( ) 式，“( 砖的生部为 龇n ) = ( b 2 - a 2 - 1 ) + 袅c 0 8 ( b ( o ) 一b _ ) ) + 簧s 遮蛔( 嚣( z ) + 口( o ) ) 0 | j k 一 嬲扩= 1 + 口2 时， 其中， 蛐( ) 的零点为 魄( a ) = ；汹蛔濑+ 妇咖哟= ；如鼢) c 0 8 q = 警( b ( o ) + 君s m ”= ；( 即) 一口) = n 一；加= o ，圭l ，士2 ，) 在乎行于实轴的一条直线上分布。 令叫7 ) = 譬( b 啊) 一嚣( o ) ) 一器j 了b 2 ( 。) d s ( 曰囊) + b ( o ) ) + ( a ( f ) 嚣( 霄) 一 ( o ) b ( o ) ) 趟7 ) = 譬( 拶( # ) + j y ( 田) + 畚茗b 2 ( s ) 幽稽) 一暑( 霄) ) 一譬( 蠢( # ) 君( 霄) + ( 妨嚣国) ) 粥 器一警蒜+ 譬箫倒蒜， 孽l 瑾4 记 = 口+ h - , 当口2 1 + 时，取回路翰 以= ；一；，勖= 一石1 一；，n = ；匏= 一i 1 ( = 1 ，2 ，) 在g 上，以下篓式烤有界， 证明；记p = 1 + 舻一口2 ，则 措一= 一：时， s i n 妇l 蛳( a ) l 8 i n 盖玎c 0 8 万 净l ” 面甄i 两硬两 蛳( 对：一p + 塑掣 刮替l= l 器著警鞴 丽硝高豸翟：布，叶瓶( = 2 )硬石靳写商：= ：丽一”“ 蕊采!娄!焉哪矫，-+以(n-2k+1)7-f 硪嚣萼z 一- 一：= ：j 茸i ；鬲一” 和上甄类似，可诞在直线 上，分别有 一= 一i 一；，r = 士扣 蔫l 一+ 。以i 器l 一+ 。 间理可诚，在此阉道上，下丽二式也有界 c o s a e l r t * i 两面两 赉上嚣翡估计知，无论p 是裕为0 ，当n 充分大时，总成立 器譬蒜十警蔫咧如 鑫越4 。娄n 充分大时，“与蛳( ) 在强逡有相同个数懿零熹 宠理7 阉题( v i i ) 懿特征箧逡公式必； 参m 7 1 筹一s i 。n ，m 一2 。( ) ) = 一志， 8 问题( v i i i ) 的迹公式 问题v i i i 抛( f ) + a y l ( 0 ) = 0 ，y t ( r ) + 8 f 2 ( o ) = 0 ，口0 盎( 1 7 ) 及( ) 式，u 懿主部为 蛳( ) = ( a 2 一1 ) 十蠡s i n a 霄( b ( 。) + 器) + 警一= l 漪， 撕= 蠡凼k 嚣( 丌) + 嚣( 0 ) ) = 妥虹妇， 其孛 薯荸嚣( ，o + b ( o ) ) ， 懿时勰釉游零点为支= 挑彝；圭l ，敛一) 令趟8 ) = ( 嚣，( 砖一b ，( 0 ) ) 去露。j 尹( 却幽( b ( + 嚣( o ) ) ，a 孝一 ( a ( 霄) 嚣( ”) + a ( o ) b ( o ) ) 嬲 器一譬蔫一警装删赢， 瞢 理5 记 = 矿+ 峨取瓯降强：以= 弛0 2 = 一辑a = m 啦一一 m 2 1 , 2 0 搂0 k 上，以下兰式翅有棼 妇浙s 蛔净 蕊爵丽两蕊礴 证醴t 间罨l 瑾4 ，令= 0 即得证 无论护是否为l ，当n 兖分大时，总成囊 蒜“? 警薷一饕蔫删静 糖题毫当n 充分大砖，* 与蛐( 砖在蚀悫宥楣同个数鳇零豢 宠瑾越题( 嚼靛特缀崔迩公式戈； 皋吣k ) 絮1 数谢 本文蔓耍参考了謦繁耀教授弱有关论文，应薅了他骑提出黪磐法另外，在散论文 辩过程孛，褥戮了霉簿李梦如教授积歇簸鏊教授魏悉心指导。在兰年的学习生漕孛，他 们不仅张学习上靛威我，支掩我，而且拦生溉上关心我我在此向他们一并袭示深潦螅 谢意。阉时，我逑甍慰戡殿搂，张金矮，正鸿盟，李霉梅镣老薅耱帮麓帮教导表添衷心 麴感滏最后，辩我翁帮嚣簿弟辩辣爨襄暴浆落，在我徽论文期藕，拖们绘鼗箍鑫了宝 畿的意觅，并提供了很大酌帮助 参考文献： 潮。謦策麓；徽努簿予静滚。数学避藤1 9 8 9 。l s ( 2 ) i t 9 1 7 8 翻h , f l a r h k 矗：o a t h ek u v e r s ep r o b l e mf o rh i l l * so p e r a t o r a z c h r 辞，m e t h 舡畦1 9 7 6 5 2 9 3 3 0 9 1 3 1 g e l f a a d ma a dl e v i t a u 。b m ：o n t r a c ei d e “t t yf a re i g e a v d u eo fd i f f e r t l a lo p e t a rw i t hs e c o n d o r d e r d a n 1 9 6 3 8 8 5 9 3 5 9 6 ， 阑d e k e l a ：e z v + a n r u s s i a n e f - , m c f i o no fw 穗n 斟d i j 隐暖破e q u a t i o no i lf i n i t ei n t e r v a l s m a t h 。l 醛。1 9 。1 8 7 2 0 0 。 【5 】g e l f a n d e m ：o ni d e n t i t i e sf o re l g e n v a l u eo fd i f f e r t i a lo p e r a t o rw i t hs e c o n do r d e r , u m n 。1 9 6 6 1 l 汹1 9 1 1 9 8 【6 】。v e 。翻址黻甜a n dl d f a d d e e v ：t h eh a l f - p o w e rt r a c ef a r m l l l a so fs - lp r o b l e m 巍m c t a 嚣吐。 a p p l 。1 9 7 1 5 2 8 0 2 8 9 觏李梦翘ta b l o 漱l e 2 k 将筏健阉题懿述公式。数学物理攀擐( 遵程) 。1