（基础数学专业论文）自相似集和自仿射集的一些性质和问题.pdf

摘要 由一族相似压缩映射 s ) ，i & ( z ) 一s ( ) i = qj z y l ，x ，y r “，0 c 1 ，1sism 生成的自相似集记为e 相似压缩映射在各个方向上都有相同的压缩率，它把圆变成圆， 正方形变成正方形而仿射压缩映射在各个方向上的压缩率不一样，把圆变成椭圆，正 方形变成长方形由一族仿射压缩映射生成的自仿集记为f 对于自相似集e ，如果满足一定可分条件( 开集条件) ，我们知道它的测度和维数都有 很好的结果，并且可以用它的压缩系数刻划，但是如果有重叠的情况，情况变得非常复 杂，还有很多的问题没有解决，对于自仿集f ，用上述方法则遇到很大的困难，目前除了 f a l c o n e r 有一个一般的结果之外，没有任何一个令人满意的结果 本文主要介绍自相似集和自仿射集到目前的一些研究结果，其中包括它们的几何性 质，并且指出自相似集和自仿射集之间的本质差别，还给出其中一些没有解决的同题和 它们的背景 a b s t r a c t 2 c o n t r a c t i v es i m i l i t u d es ( s i m i l a r i t i e ，i e ，l & ( 茹) 一& ( 可) f = q l z y l ，。，y r “，w h e r e0 c 1 ) h a ss a m ec o n t r a c t i o nr a t i o si n e v e r yd i r e c t i o n s ，i tm a p sac i r c l ei n t oac i r c l ea n das q u a r ei n t oas q u a r e t h e c o m p a c ts e tk i ne u c l i d e a ns p a c er “s a t i s f y i n gk = u ：1 昌( 耳) i sc a l l e d s e l f - s i m i l a r ，l e ts i ( z ) = a i x + b i ，( 1 i n ) i sc o n t r a c t i v ea r l e n em a pi n e u c l i d e a ns p a c er ” i th a sd i f f e r e n tc o n t r a c t i o nr a t i o si nd i f f e r e n td i r e c t i o n sa n di tm a p sac i r c l ei n t oa ne l l i p s ea n das q u a r ei n t oa r e c t a n g l e t h e c o m p a c ts e tks a t i s f y i n gk = u ；：1 岛( k ) i sc a l l e das e l f - a f f i n es e t s e l f - s i m i l a rs e t ss a t i s f i n gac e r t a i ns e p a r a t i o nc o n d i t i o n ( t h eo p e ns e t c o n d i t i o n ) a r eq u i t ew e l lu n d e r s t o o d f o rs e l f - a f f i n es e t s ，h o w e v e r w ea r e c o n f r o n t e db ym a n yd i f f i c u l t i e sw h e nw et r yt oa p p l yt h es a m ei d e ao n i ts e l f - s i m i l a rs e t sw i t h o v e r l a p a n ds e l f - a n n es e t s s t i l lr e m a i nm a n y m y s t e r i e s i nt h i st h e s i s ，w es h o ws o m er e s u l t so ft h es e l f - s i m i l a rs e t sa n ds e _ a f f l n es e t s t h ee s s e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt h e ma r ep o i n t e do u t w ea l s o l i s taf e wo fu n s o l v e dp r o b l e m sa n dg i v er e f e r e n c e sf o rt h e i rb a c k g r o u n d 1 引论 3 在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如z 弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，雪 花浮云，等等这些物体的形状都有共同的特点，就是极不规则，极不光滑但是，所有的经典几何 学都是以规则而光滑的几何形状为其研究对象长期以来，人们试图将它们纳八经典几何的框架中研 究，结果发现这种把不规则的物体形状加以规则化，然后进行处理的做法已经不令人满意了在2 0 世纪8 0 年代初，由m a n d e l b r o t 所创立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想、方法 和技巧特别是近年来，这一新兴的学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术、 计算机图形学等学科中获取了巨大的成功，同时，不同学科中提出的大量问题也刺激了分形几何的深 入发展分形几何的诞生与发展对整个学科的发展有极其重要的意义，如s h e l s i n g e r 所指出：42 0 世纪的后半期似乎是科学与数学变得更加专门化的时期令人注目的是在前一个十年，下述两个课 题使上述趋势得以逆转；非线性动力学与分形前者涉及到运动的非线性确定方程的一般普适行为， 而后者则是研究自相似或者自仿射对象的几何以及该几何上的动力学，两者均巴应用到一系列深刻的 交叉学科的问题中” 首先我们考查一个经典的分形的例子：k o c h 曲线 ，、 八a 八 a 琢n 。以。曝，。凡 一。肌 4 设f 是单位区间，以岛的中间三分之一为底，向上作等边三角形，然后去掉该底( 保留端 点) 由此得到的四条线段组成的图形记为j 1 1 对且的每一边重复上述过程，所得到的折线多变 形记为五j 用同样的方式，我们从一l 得到互k 当趋向于无穷时，折线多边形序列互k 趋于 一极限曲线称为k o c h 曲线 曲线e 具有以下特征： 1 e 具有精细的结构亦即它包含任意小尺度下的细节：不管取多么小的尺度，6 0 度的尖角 仍然出现，只是边长相应的减小 2 e 是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述 3e 的长度为无穷，而面积是零，从而不能用通常的测度来度量它的大小 4 e 具有自相似性即具有局部和整体的对称：它由四个与e 相似的部分组成；而每部分由 四个更小的但仍然与e 相似的部分组成 5 e 的定义是非常简单，是由简单的递归生成 k o c h 曲线具有严格意义下的自相似，即局部经过相似放大( 沿各方向的放大率均相同) 后与整 体重合下面的自仿集则反映了局部和整体间的某种意义的对称性 自仿集一该集合分解为若干部份，而每一部分通过一个仿射( 即沿着各个方向的伸缩率不同1 与整体重合下图是m c m u l l e n 自仿集的生成方式 蕊蕊 忒 惑惑 忒蕊 m a n d e l b r o t 是通过下述三个要素来刻划自然界中的分形，即：形( f o r m ) 、机遇( c h a n c e ) 和 维数( d i m e n s i o n ) 本文将对分形几何中两类最基本，最具代表性的集一自相似集和自仿射集的几 何性质和维数作一个讨论 2 预备知识 2 1压缩映射与不变集 2 预备知识 设( x ，d ) 为度量空间，d 为x 的闭子集对于映射s ：d _ x ，如果存在正常数0 c 1 使得对于任意z ，y d ，d ( s 扛) ，s ( g ) ) sc a ( z ，v ) ，则称s 为d 上的压缩映射简称压缩 如果s ( x ) = z ，则z x 称为映射s 的不动点 压缩映象定理( r u d i n ， 2 4 j ) ：完备的度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点 现在考虑r ”上的闭子集上的一族压缩映射( s h ! ( 。，其中 s ( 写) 一s ( 可) l qz yi ，0 c l l ，茹，y d 如果非空紧集e 满足 m e = u & ( e ) ， l = l 则称e 为压缩族 & h ! i 。的不变集或吸引子 设c ( r ) 是兄4 中所有非空紧集组成的集合，d f ；r 为h a u s d o r f f 度量 妇( f ，f ) = m a x s u pd ( x ，f ) ，s u pd ( e ，g ) z e ey 6 f 5 其中e ，f c ( r 8 ) ，d ( z ，f ) = ：。n ，fd ( x ，) ，则( c ( n h ，d h ) 为完备的度量空间( f e d e r e r ， 1 1 】) 例2 1 在r 2 中，取a = ( 1 ，1 ) t ) ，b = 0 ，1 】 o ，则s u p d ( x ，b ) = 1 ，s u p d ( a ，y ) = # a y e b 以 c ( f ) 到它自身的映射s ：s ( e ) =us i ( e ) e c ( r “) 如果s 是压缩的则压缩族 1 兰i m & ) 存在唯一的不变集e 引理2 1 设 a n ) 。三l ， 鼠。兰lcc ( n 8 ) 则 d ( u a 。，u b 。) s u pd 日( a b ) 则 证明：对任意的z r 4 有 眠u 风) = 刷i n 乳f 地f ) s i n a f d ( x , b n ) s u pd ( z ，u b 。) = o u “ s u ps u pd ( z ，u b 。) nz “ 8 u 。p 删s u p 。啦风) s u p 妇( a 。，b 。) 2 预备知识 同样司得到 s u pd ( u a 。，) s u p 妇( a 。，f k ) y e u b n “ 由h a u s d o r f f 度量的定义即得到结论 口 引理2 2 设a ，- - ，晶，为r 4 上的压缩映射，则s 为( c ( r 4 ) ，d 日) 上的压缩映射 证明：设l & ( 。) 一s ( ) i qj z g 对任意的l i m ，a ，b c ( r 4 ) 由 s u p d ( s ( z ) ，& ( b ) ) qs u p d ( x ，b ) o ax e a s u p d ( s i ( a ) ，s j ( ) ) qs u p d ( a ，g ) 日y e b 得到 d h ( s ( a ) ，最( b ) ) c l d h ( a ，b ) 由引理2 1 d 日( s ( a ) ，s ( b ) ) = d 日( u & ( a ) ，u & ( b ) ) l ；ll = l 茎l m ! i a ! x 。曲( s ( a ) ，s ( b ) ) ( 麟臼) 妇( a ，b ) 因为0s 1 m 。a x mc i 1 ，所以结论成立 口 压缩族的不变集的唯一性以及存在性的构造： 定理2 1 设s ，s 。为r 4 上的压缩映射，则 1 ) 压缩族 & ( 1si m ) 存在唯一的不变集e m e = u & ( e ) i = 1 2 ) 设s 为s 的k 迭代即对任意的f c ( r “) s o ( f ) ：= f s ( f ) ：= s ( s “1 ( f ) ) ，k 1 ， 如果f 满足最( f ) cf 则 e = n s 2 ( f ) k l 证明： s 为完备度量空间( c ( r 4 ) ，d 耳) 上的压缩映射，从而存在唯一的不动点e c ( r 8 ) 使得 s ( e ) = e i 即us ( e ) = e ，则结论成立 6 2 预备知识 7 对任意的i 及z r “ l & 扛) i c i z i + i & ( o ) l 由于0 l m i a 1i 1 从而e 为s 得不动点由1 ) 可知e = e 7 口 5 2 预备知识 8 2 2 h a u s d o r f f 测度和维数 设( x ，d ) 是度量空间，e 为x 的子集，定义e 的直径为d ( e ) = s u p d ( x ，y ) ：z ，y e ，是x 的子集组成的集合，( 是一个在，上的非负函数假设： 1 ) 对任意的6 0 ，存在e 1 ，1 1 2 ，使得x = u 置且d ( 五) s6 ； 2 ) 对任意的d 0 ，存在e f 使得( ( f ) d 且d ( e ) j 对0 d o o 且acx 定义 。o。 咖) = i n “( 岛) ：acu ( 蜀) ，d ( e o 冬d ，日f ) = 1t = 1 假设1 ) 保证覆盖是存在，假设2 ) 得到机( 0 ) = 0 容易看出砒是单调，且满足半可加性咖是个外测度 妒j ( a ) s 晚( a ) ，0 g 占s o 。 所以可定义讪= 母( ，( ) 妒( a ) = l i m 咖( a ) _ s 跚u p 妒6 ( a ) ，a cx 设x 可分，0 s n ，w 5 ( 尼1 ) = o ( 定理2 3 ) 在j 中。h a u s d o r f f 测度有很好的性质 ac r ”。a 彤，0 t o o w 5 ( a + a ) = 咒3 ( a ) ，a + a = 。+ o ：z a 州5 ( t a ) = 矿w 5 ( a ) ，t a = t z ：茹a ) 5 2 预备知识 如果x 是可分的度量空间，则有以下性质： 定理2 2 设o s 1 2 ，且( ( e ) = d ( e ) 3 对于ecx 如果 ( 1 ) ，= fcx ：f 是闭 或者 ( 2 ) ，= ucx ：u 是开或者 ( 3 ) x = r “且，= kc 彤：k 是凸) 则妒( ，( ) = 丸8 定理2 3 对于0 s t o ) = s u p s ：w 3 ( a ) = ) = i n r t ：丸。( a ) o 。 = i n f t ：。( a ) = o ) 可以看出 d i m h a 茎d i m h b 对于ac bcx d i m hua ，= s u p d i m h a i 对于a cx ，= 1 ，2 d i m h a 是唯一的( 但可以是。) ： 5 d i m h a 辛t i ( a ) = 0 9 2 预备知识 2 3 其他的测度和维数 1 0 这里主要介绍m i n k o w s k i 维数和p a c k i n g 维数及p a c k i n g 测度，以及它们和h a u s d o r f f 测 度的关系 m i n k o w s k i 维数! a 是j p 中的非空有界子集，对于0 e o o ， ( a ，) = m i n k ：acub ( 甄，e ) ，对于某些马p ， b ( 。，e ) 表示以筑为中心，e 为半径的球 上，下m i n k o w s k i 维数的定义分别为 d i m m a = i n f s ：l i r as u p a ( a ，f ) ，= o d i m _ _ m m a2 i n f s ：l i m , i o n f m ( a ，e ) = o 等价定义 一d i m m a = n 哿。锚辫， 垫a = l i m 。i n r 鬻 这里明显有 d i m a 纽a s d i m m a n 当上，下m i n k o w s k i 维数相等时，定义m i n k o w s k i 维数为， d i m m = d i m m2 d i m m p a c k i n g ( 填充) 测度和维数： 上面m i n k o w s k i 维数不具有可列平稳性，即不满足： d i m m ( u a ，) = s u p ( d i m m a t ：i = 1 ，2 ，) 1 = l 例2 2 d i m m ( o u 1 l ，i = 1 ，2 ，) ) = 1 2 设0 冬s o 。，对于a r ”且0 j o o 记： 爿( a ) = s u p d ( b i ) 3 且) 是互不相交的闭球族，d ( 鼠) j 且恳的球心在a 中p t ( a ) 是关于d 非减的面数，其 极f b 就是p a c k i n g 预测度： p ( a ) 2 l i m 碍( a ) 。跏l i m 昂( a ) 2 预备知识 可以看出印似) 非可列可加，所以不是外测度，修改之后可定义p a c k i n g 测度 p 5 ( a ) = i n f ( p 。( ) ： i = 0 定理2 4 对所有的a c r “ 利5 ( a ) p 4 ( a ) 由p a c k i n g 测度可以定义p a c k i n g 维数： d i m p a = i n f s ：p 。( a ) = 0 ) = i n f s ：p 5 ( a ) 0 = s u p s ：p 5 ( a ) = o 。 其中p a c k i n g 维数和m i n k o w s k i 维数的关系如下： d i m p a = i n f s u p d i m m a i ：a ；0 a ，a ，有界) t = l 1 1 、， a u = a 3自相似集 3自相似集 3 1自相似集的定义和性质； 欧氏空闻r ”一个紧集k 称为宜相似的：如果 其中 是为相似比为c l 的相似压缩映射，即满足 d ( ( z ) ， ( g ) ) = c i d ( z ，) 0 q 1 ，1 i m ，$ ，y r “ 1 2 相似维数： 设e 为对应压缩比为c i 的压缩族 ) l ! 连。生成的自相似集，则e = u ( e ) 可以看到 影响e 的维数的一个重要因素是 ( e ) 的相对位置 若 ( e ) 相交不多( 例如爿8 ( ，l ( e ) n 厶( e ) ) = 0 ，i j ) 则有 mmm w 3 ( e ) = 咒3 ( u ( e ) ) = 咒。( ，i ( e ) ) = ( 西) 丸。( e ) 若饨5 ( e ) 是正有限的，则 f 辞：1 维数s 由上式给出，并且s 是唯一的( f ( t ) = ，j ( t ) 是r + 上的连续单调函数，( o ) = m ，旦毪，扛) 2o ，js ( o ，o c ) ，使得，( s ) = 1 ) - 则称s 为e 的相似维数，记为d i m s e m o r a n 1 8 ，h u t c h i n s o n 1 3 j 证明d i m 盯( e ) = s 如果压缩族 h s 。满足下面可分条件： 开集条件( o s c ) 映射 ，2 ，- ，m ，m 2 是r ”的压缩映射，如果存在开集v c r “使得： u ( y ) ck ( y ) n ，j ( y ) = o ， j 称压缩簇 ，赢满足开集条件，也称该压缩族的不变集曰满足开集条件 定理31 设e 是压缩比为q 的相似压缩族 ) “t m ) 的自相似集，相似维数为s ， 如果e 满足开集条件，则： 1j 0 w 。( e ) 0 ，有 q 剑m 。i n f 掣剑篱p 掣q ，l m u = 3 自相似集 及 l i m 1 o ，g k ( e a b , ( x ) ) r - + 0 l o g r 1 3 其中e 1 ，q 为正常数 设ecr n ，如果d i m h e = d i m p e ，则集e 称为正则集如果d i m h e = d i m me ，则 称e 为强正则集 自相似集是强正则集也就是说即使在不满足开集条件的情况下仍有下面定理： 定理3 2 ( f a l c o n e r1 9 8 9 ) 设e 是口1 中的自相似集，则 d i m h ( e ) = d i m e ( e ) = d i m m ( e ) 下面举自相似集的两个例子： 例31 令 ( 茹) = ；，f 2 ( z ) = + j 2 ，则相应的自相似集为经典的c a n t o r 三分集 例3 2 令 妒l ，y ) = 忱( 。，v ) = 妒3 0 ，) = 则相应的自相似集为s i e p i n s k i 垫片如下图 c y 、 百j ， z 、1 v 、 十i ，r 十互j + 弱y a a 8 5 3 自相似集 3 2自相似集中的问题 1 4 问题3 1 ( 尹永成，1 9 9 9 ) 自相似集具有什么样几何性质? 尹 3 4 给出如下定理： 定理3 3由有限个相似压缩映射生成的自相似集e 是一致完全集或者是单点集 由此可以得到： 推论3 1 由有限个相似压缩映射生成的自相似集e 如果不是单点集，则有正的h a u s d o r f f 维数 r ”中的一个紧子集e 称为一致完全集：如果对任何点2 ：0 e 存在一个常数0 c 1 和 对于任意的r ，0 r d i a m ( e ) ， 。i c rsl o 一t o fsr ne o 设e 由压缩比为a j 的压缩映射族 办h g s m 生成矗( 。) = a ，g j ( z ) - t - b j 其中0 a j 0 ，使得b 和x 的e o 邻域凡。( x ) 不相 交取凰= 口，瓦= t ( x o ) = u9 ( 弱) 则对于够大的，x kcn 这表明x n b = 0 且4 9 g i g b n b 0 ) 0 ，8 ( z ，r ) n e = 扣) 由引理可知 存在g g ，g ( b ( z ， r ) ) u b ( z ，；r ) 曲 口( 且( 。， r ) ) 也是个球心在9 0 ) e ，半径 3自相似集 的球则有g ( z ) s ( x ，r ) 且g ( x ) = z 对于足够大的k , g “( b ( 。，r ) ) 中0 d i a m e 此时b ( x o ，r ) 3e 则g k = g k oo 厅。氏山g k 满足孵1 u = 颤：b 。历10 9 i 1 u3 压：。o 。靠1 e e ，1 j l ，- - ，j k k os m 口 下面我们给出定理3 3 的证明 证明，假设e 不是一个单点集反证：如果e 不是一致完全的，则存在一族在r “e = n 中环 a 。 ，a 。= x l r 。j 。一。i j k ) ，使得当n _ + 。，r r 。h _ + 。由于 思d i a m ( e ) 0 对于任意g k g 女g i l b ( z 。，r n ) = b ( g k l z 。，l ( 9 f 1 ) ( 茹。) l r 。) ，其中i 一l ( 町1 ) ( z 。) 1 由引理取第一个。和鲰。g k 。使得d i a m ( g j b ( x n ，r n ) ) 超过正g k - 。1 ( z n ) e ，且 d i a m ( g j b ( x 。，) ) 最多是d 记 a 。= 纸? a 。= ，c i 磊l x 一东取) 则a 。cq ，瓦= g 女- 。i z 。e 且；西矗s d 因此 嚣| | x - - 簖isr 。) 最多包含这两个 点中的一个，因此 z li z 一磊is 兄；) 和e 相交且兄，sd i a m e 0 其中s o s c 表示强开集条件：设e 为压缩系数为c i 的相似压缩映射，i ( 1si m ) 生成 的自相似集，y 是满足开集条件的开集，如果还满足y n e 0 ，则称e 满足强开集条件 推论3 1 如果自相似集ecp 。且d i m s e = n ，则e 有内点当且仅当c “( e ) 0 证明：只需证明c “( e ) 0 辛e 有内点设c “( e ) 0 ，则咒5 0 ，从而由上面的定 理3 4 可知存在开集y 满足开集条件记g = v u u ( 1 ，女) ( u ( e ，写) 表示。的e 开邻域， ( e ，f ) = u ( u ( e ，2 7 ) ：z f ) ) 则g 为有界开集。且 ( g ) n 矗( g ) = d ，i j 3自相似集 下面证明gce mt nm c “( u ( g ) ) = c “( ，i ( g ) ) = c ? c ”( g ) = c “( g ) i = lt = 1i = 1 丽一一丽一 从而开集g u 五( g ) 为空集所以g = u ( g ) ，由此得到 l = lt = l 1 6 由自相似集的唯一性g = e ，从而开集g c e 口 问题3 3 如果不满足开集条件，情形如何? 对于自相似集有重叠的情况，目前还有很多问题没有研究清楚文志英【2 3 】给出一类具有重叠 结构的自相似集 例3 3 a c a n t o r 集 设a 1 0 ，1 】， ，0 0 ) = ；， 如) = ；+ ；，2 扛) = ；+ ； 是r 上的三个相似压缩，则由这三个相似压缩生成的自相似集称为a c a n t o r 集，记点h 若a = 0 ，则o = ，1 1 为经典的c a n t o r 集，此时d i m s h = 1 ，d i “耳l h = l o g2 l 0 9 3 开集条件不满足 若a = l ，则h = f 0 ，1 1 ，此时d i m s _ = d i m n h = l ，开集条件满足 当0 a 0 7 这个问题的答案是否定的，下面将举例说明： 例3 4 定义三个相似压缩映射： ：( 刚) 一( 拍； ，2 ：( 训) h ( 孚，；) ，3 ：( 删) h ( 半) s 为它们生成的不变集s 是自相似的，并且s 可以表示为 晒 丽 m u 烈 m u 5 3 自相似集 s = 啦3 。a l ( ( o l o ) ，( 1 ，o ) t ( o ，1 ) t = 1 s 满足开集条件，所以d i m 日s = d i m s s = 1 ，( 因为3 - ( ) 3 = l ：争s = 1 ) 定义咒是把s 线性投影到z 轴凡= “( s ) ，仉把( 0 ，1 ) 变换到，0 ) 一1 “0 ) 1 7 r 还可以表示为： 。 咒= a i 3 “i 啦 0 ，l ，“ ，n 1 ) l = l 可以看出咒是自相似集，且由下面三个相似映射生成 扛) = ，五扛) = 丁z + i ，丘( z ) = + u 3 。 k e n y o n 1 5 1 证明当u 是无理效时，& 的一维l e b e s g u e 维数为零同时他还证明如果“是 无理数， 嚣，i 三l 是一列有理数，且满足p l + 甄三0 ( r o o d3 ) ，q i - - + o 。存在常数g ，口 0 对于f u 一嚣 o ? 3自相似集 由上面的定理3 2 可知 d i m , v ( e ) = d i m p ( e ) = d i m 吖( e ) 1 8 上面的假设也就意味着d i m 日( e ) = s 这个问题答案是否定，后面将给出一个反例， 下面的问题到目前仍然没有解决 问题3 6 假设d i m 尸( e ) = o t 且o ( 0 ，1 ) 能够得到p o ( e ) 0 吗? 对于“= 1 上面定义的集合咒是个反例，对于d 1 可取c a r t e s i a np r o d u c t s 作为反倒 问题3 7 自相似集fcr ”，如果c “( e ) 0 ，那么e 是否有内点? 对这个问题一个特殊的集合( k e a n e ，s m o r o d i n s k y ，s o l o m y a k 【1 4 1 ) 墨= r k o ，1 ，3 ) v n ) n = 1 同甄对于几乎处处，y j 1 是否有正的l e b e s g u e 测度，是否包含内点? 1 ；时已知包 含一区间 s o l o m y a k ( 1 9 9 5 ) 证明玛对于几乎所有的7 ；具有正的l e b e s g u e 测度 7 在 ( i 1 ，i 2 ) 之间是否有内点目前还不知道， 对于问题( 3 5 ) 的否定回答来自下面的结果：s o l o m y a k 2 8 】证明对于几乎所有7 ( ， ) ，“8 1 ( ) = o 之后证明对于几乎所有7 ( ， ) ，o p 。( ) o o 但是，到目前为止，没有找到一个具体 的反例 问题3 8 ( h f m s t e n b e r g ) 定义 = o 。3 1 k f o ，1 ，“ ，咖1 ) n = 1 是否d i m f t ( 鼠) = 1 对于所有的无理数? 上面定义的半群g 是自由的( f r e e l y ) ，如果，l ，0 0 凡矗。o 。o 厶对所有的不同的 词i 1 i k 和j 1 - j n 明显可以看出如果d i m e = s 表明半群g 是自由的 问题3 9 ( s i m o n1 9 9 6 ) 设e 是冗1 的自相似集，相似维数维s ，且半群g 是自由的，能否得 到d i m 日e = s ? 4 自仿射集 4 自仿射集 1 9 4 1 自仿射集的定义和基本性质 设t ：只n - 尼是r “上的线性变换，b 是r “中的一个向量，则，( z ) = r ( z ) + 6 ，z r “ 是r “上一个仿射映射如果，还是压缩的，则称，是r “的仿射压缩映射如果，不是相似映 射，则它把球变换成椭球，正方体变成平行多面体 设 ( 1sism ) 是r “上的仿射压缩映射存在唯一的非空紧集e ，使得e = u ( e ) 则 j = 1 e 张为仿射压缩旗 ( 1 is7 7 t ) 的自仿集 自仿集的情形明显比自相似集的情形复杂的多，到目前为止，没有令人满意的结果，下面举个简 单的例子： 例4 1s l ，岛是r 2 上的仿射压缩映射他们分别把单位正方形映为边长为1 2 和0 1 ，当a = 0 时d i m h f = l 0 9 2 一l o g s 0 ，第k 步构造取= u s 。& 。( e ) 包含有边长为2 一。和一的2 。个 o o 矩形，并且j 在。轴的投影p r 叮鼠包含区间 0 ，2 州，f = nf ，所以f 在茹轴上的投影 i = l p r 研f 也包含区间 0 ，2 州，所以d i m t t f 1 当a = 0 ，点k 是2 个左端紧靠g 轴的，边长为2 一和一的矩形组成的。e b 包含在窄条 4 自仿射集 ( z ，y ) l0 茎z 2 “) 之内当k - o o ，则f 是包含在y 轴上的均匀的c a n t o r 集此时 d i m 日f ：一磐 1 1 在o s c ( ) 满足的情况下，自相似集的维数不依赖于生成元的相对位置但是在自 仿集的情形，维数对于它们的相对位置有很强的依赖性； 2 上述例子还表明自仿集的维数对参数不连续依赖 下面介绍一类最为简单并且已经了鹪清楚的自仿集 定义：设n m 2 为正整数， r ( n ，m ) = ( i ，j ) l0si n ，0sj n ，令 d r ( n ，m ) ，4 d 2 ，设( i ，j ) d 定义： 岛( 训) = ( ：，鬲y ) + ( i ，景) 则岛为仿射压缩，。轴和y 轴方向的压缩比分别为i 1 和击设e 为仿射压缩族 岛) ，( i ，j ) d 的自仿集，即 e = u 南( e ) 则e 称为仿射压缩族& ，的m c m u l l e n 集 e 另一个等价定义为 e=e c t ，。，= 尹。= 1f ，“0 。0 一。) 2 比f 以。 t = ( ：三) ，。c 。，t ，n 一，) 。，m 一) 经过计算可以得到( m c m u l l e n 1 7 ) a 0 孑 一：豆 mg o | | e h md 5 4 自仿射集 其中 a = l o g m l o g n 1 ( j ) 2 1 同时 d i m m 肚1 0 咖( 圳+ l o 揣 ”是投影到第二坐标轴的映射，l d i 表示d 中点的个数 口 可以看到和自相似集不同，d i m se 和d i m me 一般不相等。这也是自相似集和自仿射集的 本质区别 对于一般的自仿集，f a l c o n e r 6 得到一个一般的结果： 定理4 1 设 丑坠1 是r “中线性压缩映射，b i 舻，1 冬i m ，k 是由它们生成的自 仿集如果s u p l i o ，可以用两种方法定义：椭球t ( s ) 的主半轴的长度，其中b 是静申的单位球，或者是 矩阵t + t 的特征值的平方根，其中t 是t 的转置于是奇异值反映了t 在不同方向上的压缩效 果对于0 8 茎n 定义奇异值函数： 矿( t ) = a l a 2 a t - 1 ”+ 1 其中r 是满足r 一1 ssr 的整数，则( t ) 是连续的并且是s 的严格减函数，其中妒( t ) = 1 而且，对于固定的s 可以知道矿是半可乘的，即对任意的线性映射t 和矿： 妒5 ( t u ) 妒5 ( ? ) 驴。( u ) 我们引入第2 个水平和：三导t i o 0 砒其中以表示脯项序列( i l j 一，砍) ，1 码s m 组成的集合对于固定的s ： j k + q o 正。) o 正- ) 矿( 正。+ 。o - 。五。+ 。) = ( 矿( 正，。正。) ) ( 矿( 丑。& ) ) 厶 $， = t 口 丌 n d= j0d l ：l = i o 0 正 正 妒 “ = 0 ，选取充 分大的k ，使得对所有的k 个分量的序列( i t ，- ，“) j k ，f ，0 o 。( b ) j d 由此可知， cu 以五，。oa ( b ) ，但 ，o 。a ( b ) 是主轴长度分别为a l l b i ，一，。i s i 的椭球 正。o o 丑。( b ) 的平移，其中a l ，一，口k 是正。o - 。正。的奇异值于是 。o o 。( b ) 包 含在一个边长各为a l i b l ，一，n n i b l 的宜超平行六面体p 内如果o s n 且r 是大于或等于 s 的最小整数，我们最多可以把p 分成 ( 等) ( ( 等) 2 h a l a r _ l a ， 个边长为坼| b i 一 理墨( 鲫( 岛一) , t i i a _ 1i l d i a m 毋o ( b o ) 4 , 1 i i a “l i d i a m o h ( e o ) 一 2 n l l d - 10 ：d i a m 曲( b o ) 4 n l l a 。l i 取a = 南口 定理的证明：若e 不是单点，可以假设原点落在e 中，并且是某个 不动点，否则，可以用 一个变换t ( z ) = 。+ ( a 一d ) - 1 b l 把 ， 共轭到个新迭代系统，这不会改变相应自仿集的一 致完全性 4 自仿射集 2 4 取闭球b o ，中心在原点，半径为凰，使得 ( 玷) c 风，e o = z 尼l 凰， o ，l j 扎) 情形1 ：若e 不在咒“的任何低维子空间里，也即是，e 中非零向量张成空间兄“，即可以找 到n 个e 中异于原点的y ( 1 j n ) ，使得向量矿( j n ) 是线性无关取厶0 ) = a o x 是 把r o e j 映射到护上的线性映射 情形2 ：若e 位于彤。中一个低维子空间时，由e 的完全性，在每个 的作用下，这个子空 间不变，取是维数最小的这样一个于空间，注意到工到低维欧氏空间尼“( 1 m n ) 一个经 典的同构变化下 共轭于仿射映射并且保持一致完全性，所以我们只要考虑第一种情况 取e 中任意一点z ，b ( z ，r ) 是以。为中心，半径r d i a m ( e ) 的一个球，则存在g k g 使得z g k + l ( b o ) cg k ( b o ) ，其中g k + i = 肌。氏+ 1 ，ls 靠+ 1 n 对于每个k 兰0 取k o 是 使d i a mg 女o ( b o ) r 的晟小的整数，则g k o + l ( b o ) cb ( z ，r ) 取a = m i ，n ( 口a ) ，a 。是上面 引理给出的常数，因此： d i a mg k o + l 。 ( 岛) 2a d i a mg k o + l ( b o ) 20 2 d i a mg 知( b o ) 20 ：2 r 取c = ，则g k 。+ 1o ，0 ( e o ) 某一顶点是在e 中，和环 j p f i y z i r ) 相交 结论成立口 对于m c m u l l e n 集e ( t ，d ) ，可以知道它的h a u s d o r f