（电力电子与电力传动专业论文）基于小波变换的动态电能质量分析的研究.pdf

武、汉大学硕：l 学位论文 摘要 在现代电力系统中，随着非线性电力电子设备的增加，动态电能质量问 题如：电压跌落、电压升高、电压间断和电压震荡等问题变得越来越严重。 这些问题可能引起对动态电能质量敏感的电力负荷误动作，还会造成芯片内 部的数字时钟闪断，而使工作进程中断，造成巨大的损失。为了提高电能质 量，必须查明扰动源，并使扰动源得到控制。那么必须首先检测、定位、分 类和量化不同的扰动信号。为了达到这一目的，唯一可行的方法是采用一个 强有力的工具，这一工具必须同时能够在时域和频域中分析电能质量问题。 小波变换能够满足这一要求，而传统的信号分析工具f o u r i e r 分析只能在频 域对信号进行较好地分析。而且基于小波的多分辨分析在检测、分类、量化 电能质量问题中能够获取有价值的信息。 本文的工作主要集中在以下几个方面： 1 详述了小波分析在时一频分析中的优越性能：简单地讨论了傅立叶 变换和傅立叶加窗变换及快速傅立叶变换；比较了小波变换和傅立叶变换的 区别；连续小波和离散小波的概念、性质和方法。 2 针对小波分析的理论重点一多尺度分析，详细地论述了尺度函数、 尺度空间、尺度方程、m a l l a t 算法和小波包。 3 较全面地讨论和总结了几种典型小波母函数的性质和有关应用。分 析了不同小波函数的使用场台。 4 讨论了小波基的选取方法，分析比较了几种不同小波基在动态电能 质量检测中的效果，和采用c o i f l e t s 小波对动态电能质量的检测方法。使用 c o i f 4 小波函数，通过多分辨分析，能够有效地检测和定位电压信号中短时的 动态电能质量。 5 详细论述了采用标准能量差一分辨率层的关系曲线区分动态电能质 量的方法，能够清楚地区分电压跌落、电压升高、电压间断等动态电能质量； 推导出了信号畸变程度公式，使用信号畸变程度公式量化电压畸变信号的方 法，能够精确地度量电压幅值的畸变程度：通过简化畸变程度公式能够提高 运算速度，并能在一定范围内获得精确的畸变电压的幅值。 关键词：小波变换，多分辨率分析，动态电能质量，离散小波变换 2基于小波变换的动态i 乜能质量分析的研究 a b s t r a c t i nam o d e mp o w e rs y s t e m ，a sn o n l i n e a re l e c t r o n i c c o n t r o l l e dd e v i c e sa r e i n c r e a s i n g l ya p p l i e d ，d y n a m i cp o w e rq u a l i t yp r o b l e m ss u c ha sv o l t a g es a g s 、 s w e l l s 、m o m e n t a r yi n t e r r u p t i o n sa n do s c i l l a t o r yt r a n s i e n ts i g n a l sw a s f o u n dm o r e s e r i o u s l y i tm a y c a u s em i s o p e r a t i o n st ot h eu t i l i t yc u s t o m e r s 7 s e n s i t i v el o a d sa n d p r o d u c i n ge f f e c t sr a n g i n gf r o mb l i n k i n gd i g i t a lc l o c k si n r e s i d e n t i a ls e c t o rt o d i s r u p t e di n d u s t r i a lp r o c e s s e s ，t h i s w i l lb r i n gg r e a tl o s s t oi m p r o v et h ee l e c t r i c p o w e rq u a l i t y ，s o u r c e so fd i s t u r b a n t em u s tb ek n o w na n dc o n t r o l l e d 。t h i sc a n b ed o n eb yf i r s td e t e c t 、l o c a l i z e 、c l a s s i f ya n dq u a n t i f yd i f f e r e n td i s t u r b a n c e s a f e a s i b l ea p p r o a c ht oa c h i e v et h i sg o a li st ou s eap o w e r f u lt o o lt h a th a st h e a b i l i t yt oa n a l y s i sd i f f e r e n tp o w e rq u a l i t yp r o b l e m ss i m u l t a n e o u s l yi nb o t ht i m e a n df r e q u e n c yd o m a i n s w a v e l e tt r a n s f o r mc a ns a t i s f yt h i st y p eo fa n a l y s i s 。 f u r t h e r m o r e ，m u l t i r e s o l u t i o ns i g n a ld e c o m p o s i t i o na l l o w sv a l u a b l ei n f o r m a t i o n t og a i n e di no r d e rt od e t e c t 、c l a s s i f ya n dq u a n t i f yd i f f e r e n tp o w e rq u a l i t y p r o b l e m s t h i st h e s i sp r i m a r i l yf o c u s e so nt h ef o l l o w i n g s ： 1 t h eo u t s t a n d i n gc h a r a c t e r i s t i c so fw a v e l e ta n a l y s i si nt i m e f r e q u e n c yd o m a i n a r eg i v e n ；f o u r i e ra n a l y s i sa n df o u r i e rw i n d o wt r a n s f o r i 1a n df a s tf o u r i e r t r a n s f c l r i l la r ed i s c u s s e d b r i e f l y ；c o n c e p t 、p r o p e r t i e sa n dm e t h o d so f c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma r ed i s c u s s e di nd e t a i l s 2 d i s c u s s i n gm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ( m r a ) i nd e t a i l s ， i n c l u d i n gs c a l e f u n c t i o n s 、s c a l es p a c e 、s c a l ee q u a t i o n s 、m a l l a ta l g o r i t h ma n dw a v e l e tp a c k e t s 3 s u m m a r i z i n gt h ep r o p e r t i e so ft h ep r i m a r yw a v e l e tf u n c t i o n sa n dc o r r e l a t e d a p p l i c a t i o n s 4 d i s c u s s i n gt h es e l e c t i o no fw a v e l e tf u n c t i o n sa n dp o w e rq u a l i t yd e t e c t i o n w i t hc o i f l e tw a v e l e t w i t hc o i f 4f u n c t i o n d e t e c t i o na n dl o c a t i o no fd i s t o r t e d s i g n a lc a nb ee f f e c t i v e l yd o n eb ym u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 5 p r e s e n t st h em e t h o do fs t a n d a r dd e v i a t i o na td i f f e r e n tr e s o l u t i o nl e v e l so f d e c o m p o s e ds i g n a l( s t d m r a ) t od i s t i n g u i s ha m o n gs a g 、 s w e l la n d i n t e r r u p t i o np o w e rq u a l i t yp r o b l e m ；d e v e l o p e ds i g n a l d i s t o r t e dd e g r e e ( s d d ) f o r m u l a ；u s i n gt h i ss d df o r m u l a ，t h ed i s t o r t e dv o l t a g em a g n i t u d e c a nb ep r e c i s e l yc a l c u l a t e d ；u s i n gs i m p l i f i e ds d df o r m u l a ，t h ed i s t o r t e d v o l t a g em a g n i t u d ec a l la l s ob ea p p r o x i m a t e l yq u a n t i f i e d k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ， m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，n o n s t a t i o n a r yq u a l i t y p r o b l e m s ，d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r r r l 2 武汉大掌嫒l ：学位论文 。 疆究麓意义 第一章引言 电力鼹“工业的先行”，是人们生产、生活的“原动力”。随着科学技术 和国民经济的发展，对魄能的需求同簸增加，同时对电能质量的霞求也越来 越裹。其运行馥嚣及矮豢蓬接影璃饕器行篷及整令蓬琵经济豹鬏震。众掰震 知电力系统提供豹电源怒频率按单一恒定工频率( 5 0 h z ，国外有的为6 0 晓) ， 波形按正弦规律变化的三相对称的电压源。然而随满我国国民缀济的蓬勃发 展，电力网络负荷急剧加大，且随者电力电子技术的广泛应用与发展，供电 系绞孛增鸯鞋了丈量豹非线性受载，特别是静止交浚爨，跌低鹾小容量家用毫 器到裔莲大容量用的工、韭交壹滚交换装置，垂于静正交流嚣是强开关方式工 作的，会引起电网电流、电压波形发生畸变，引起电网的谐波“污染”。另外， 冲击性、波动性负荷，如电弧炉、大烈轧钢机、电力机车等运行中不仅会产 生大量的离次谐波，藤髓使得电压波动、闪变、三相不平衡日熊严重，这些 对邀礴熬不翻影璃不纹会导致龚蘑亳竣套本身戆安全整臻诋，瓣盈会严重澍 弱和干扰嘏网的经济运行，造成对电网的“公害”。 传统的电能质量问题是以稳态型( 即以稳定的谐波、过( 欠) 电压、电 能可靠、w 使用性等) 为研究对象，但是随着信息电力的来临幼态型电能质 量超题【9 l 越来越成为我钠磅究酌重点，信息电力1 9 l 愚携正在镇然来临的以售 息技术受巍导的知识经济时代爨需求的毫力供瘦，它其有高可簿往、离动态 恒定特性、控制灵活、应用方便等特点。传统的供电质量都是旗予系统稳态 丽言，而飘历史上，电力系统中的许多机电设备在供电电压幅假相对较大的 变化范围内也确实都能正常地工作。但是在近几年，随着离新技术、尤其是 信怠技拳豹飞速发震，蒸予诗篓瓿、徽处理器懿蛰逢、分掇、羧溅、控裁憨 用电设备和各种电力电子设备在电力系统中大量投入使用，它们对系统干扰 比一般机电设备更加敏艨，对供电质掇的要求更苛刻，即：不论系统是处于 正常稳态还是故障暂态，均需保证幅锻偏差很小( 如只允许在额定值的1 0 或更夺豹澈曩蠹渡魂) 装基波玉弦魄力翡可使雳羧，即裹动态瞧定特瞧，藤 哪怕几个蠲期的电压中断，或电压竣落都将影响这塑设备匏正常工 乍，造戒 巨大的经济损失。因此信息电力区别于传统电力供应的主要特，征是即使系统 处于非稳态，也仍需僳诞可靠、恒定的优质电力供应。但目前威胁信息电力 质量的主簧闯题既不阁予周期性的魄漉波形畸变，也不同于长期低( 或过) 毫匿，瑟楚近足年醚誊僚息技零豹飞逮发震瑟暴辩凄寒豹妥爽龟靛霞量翊 题动态电能质量问题。动态电能质量，主要包括短时电压跌落( v o l t a g e s a g ) 、短时电压升高( v o l t a g es w e l l ) 、蠛时电压中断( m o m e n t a r yi n t e r r u p t i o n ) 、 短时震荡傣号 0 ，f r( 2 ，3 ) g 称虬，( ，) 为依赖于参数口，r 的小波基函数。它们是由同一母函数妒( 0 经 伸缩和平移后得到的一缀函数系列，构成l 2 ( r ) 的一组小波蒸。由于小波 基函数褒辩阕、频率域捺兵毒有限或避戗毒限既定义域，显然，经过姊绩平 移螽静送数在时、频域仍是羁部拣静。一般丽富，入们常将秽f f ) 称为母 小波( 或母函数) ，而将，( t ) 称为舆正的小波( 或子波) 。母小波经过伸缩 尺度因子达到调节信号分析的目的。大尺度小波反应信号总体框架变化趋 势，小只发，l 、波反应馕孽夔缨节售纛。 以下对窗口的变化情况进行定鬣分析： 定义小波母函数( ，) 窗口宽度为f ，窗口中心为t 。，则相废可求得连绥 1 0 武汉大学颈主学搜论文 里 小波织| r ( f ) = a 。”孑) 的窗口中心为： t 。= a t o + f ( 2 4 ) 密g ：l 宽度为： 畿，= a a t ( 2 。5 ) 同样，设矿( w ) 为y ( ，) 的傅立叶变换，萁频域窗口中心为w o ，窗口宽度 为a w ，设虬，( ，) 的傅立叶变换为，( w ) ，则有： 矿。，= 球口一“妒- ( a w ) ( 2 6 ) 所以，萁颓域窿瞬孛心兔： w 。= 二w 0 ( 2 7 ) 窗口宽度为： a k ，= 二矗w ( 2 。8 ) g 可觅，连续小波妒。( f ) 豹对、频壤窦翻中心爱宽度均随足波搓静变证露 伸缩，若我们称a t a w 为窗口面积，由于 虮，r = a a t l d w = 丛w ( 2 9 ) 所以连续小波基黼数的窗口面积不随参数盘，f 而变。这菠是海森堡测 不准凝理告诿我霞憝：a t ，a w 戆大小逶稳重潮凌夔，乘积a t a w ，虽 z 只有当y ( f ) 为g a u s s i a n 函数时，等式才成立。由此可得到如下几点结论： 1 )尺度的倒数二在一定意义上对应于频率w ，即尺度越小，对应 甜 频率越高，尺度越大，对应频率越低。如果我 | 、j 将尺度理解为辩寸闻窗口的话， 黧小足菠售号为短怼溺馈号，大足瘦售号为长嚣藏售号。这一点强售号嚣蔟 分布静自然规律是稳符的，因为实际中赢频信号必然持续对阚缀短，低频售 譬必然持续时间较长。 2 ) 在任何f 假上，小波的时、频城窗口的大小f 和a w 都随频率w ( 或者吉的变化而变化这是与8 t f t 中的基g ：，t ( f ) 2 9 ( t f 沁川的不同之 1 2 基于小波变换的动态电能质量分析的研究 处。 3 )在任何尺度疆、时间点r 上，窗口面积a t a w 保持不变，也卵 时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提 ! 导很高。 4 )由于小波母龋数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可 以看作楚一组带遴滤波器。通常我们将通带宽度与中心频率的眈值称为某一 带通滤波器的品质因数，即( w ) 的品质因数巩。竺。当其经过尺度伸缩后， w 8 有式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 可知，其晶度因数为： 色，：丝：坐：o o ( 2 1 0 ) r 0 由以上分析可知，小波基函数， 乍为带通滤波器，其品质因数不随 尺度口变化，是组频率特性等q 的带通滤波器组。 式( 2 - 3 ) 的变量a 反映函数的尺度( 或宽度) ，变量r 检测沿r 车由的平移 位置。般情况下，母小波函数矿( f ) 能量集中在原点。小波溺数阢，( f ) 能量 集中在r 点。母小波函数有如下三条性质： ( 1 ) 缈( o ) = 0 f v ( t ) = 0 ，此即意味着母小波具有零直流分量( z e r o d i r e c tc u r r e n tc o m p o n e n t s ) ： ( 2 ) 母小波函数及其形成豹小波函数均为带通信号； ( 3 ) 母小波函数及其形成的小波函数随着t 的延伸而快速衰减。 2 2 2 尺度函数 定义2 2 函数妒( f ) 是尺度函数，如果它满足条 牛： 0 a s i 庐( f + 2 刀) 1 2 b ，选敬多少输涪失矩，诞刚 性如倪，频率选择性怎样等等，是很难综合协调的。因此，我们在歇赏小波 变换优良性能的同时，应当看到小波变换的一些不足，并努力想办法解决它。 疆论上证明，对于代处理的数据长度为n 的信号，f f t 的计算工作鼙为 n l g n ，f w t ( 快速小波变换) 为2 k n ，其中为信号长度，k 为小波支集 长度。显然，f w t 比f f t 快。但从图象编码的角度来看，这种结果似乎不 合理。法胬专家o t i v i e r r i o u l 验 正，编码一幅阔象，一般先将它分解为8 8 的 小块，然后应角耀t 或d c t 或f w 彳进霉亍处理，结采发现群t 鹩指标略饶 予f w t 。所以，f f t 与f w t 的e b 较是缀复杂的，不能麓单地说谁快谁慢， 主要原因是小波变换的实观比较复杂。 2 5 备_ 季孛交换的比较 下面以表格的形式对f o u r i e r 变换、加窗变换、小波变换、小波包等进 行眈较，觅表2 1 至表2 4 。 表2 1f o u r i e r 变换 分解种类频率 分析函数正藏函数余弦函数 变量频率 信息组成信母的频率 适应场合平稳信号 备注 用f f t 的计筑工作量为n l g n 表2 2加窗f o u r i e r 变换 1分解种类辩阕一频率 1分析函数 出三角振荡函数复会薅成的瓣闻奄限熬波，波浆大 i小即为窗口尺寸，该尺寸对攥个分析是固定的，但窗口 鼓浚文学磺 圭学垃诧交 内的频率是变纯的 变量频率，窗口的位置 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤撺低频成分； 信息 窗口越大，频率局部化越好。此时时间局部性较差 适应场合次稳定信号 袁寒又臻短时f o u r i e r 变换或g a b o r 交换。f o u r i e r 变换是 鍪注 正交麓，丽鞠窑f o u r i e r 变换不蹩正交的 表2 3小波变换 分解种类时间一频率或时间一尺度 具有固定振荡次数的时间有限豹波。小波函数的伸缩 分援函数改变其窗日大小。囊予小波的振荡次数誉变，鼓小波 豹频率陵善冗瘦弱液变纛交 乏 变量尺度，小渡的使鬣 窄的小波提供好的时间局部化及差的频率局部化，宽 信息 的小波提供好的频率局部化及差的时间髑部化 适应场合非平稳信号 简单地说，小波变换分为连续型和离散溅。正交小波 帮硬歪交枣波怒嬲敷小渡交换豹两静特豫隽彭。对于 蔷注 正交枣渡，f w 的诗算量为2 k n ，其中k 为信号长度， k 为小波支集长度。 表2 4小波包变换 分解种类时间一频率( 也凝有分解尺度的可能性 分辑函数由三角函数复会蔼成，有点橡小波蕊数 交篮足度，枣渡戆经囊，交往足疫豹可蕤魏 适应场合非平稳信号和稳定信号台成静信号 具有三个独立的参数( 位置、频率、尺度) 小波包 形成一个冗余系统，从中可以提取无穷多个正交小波 备注基。这些正交小波基可用于压缩算法，也可用于最佳 小波基选择。小波包具有比小波更犬的鬃软性和对信 号黥灵活适应瞧，毽小渡毽豹系数不好瓣释。 2 6 小波变换的分类 任何一种变换同时具有正变换和逆搬换两种形式，亦即它不仅可以分解 信号，而且可重构信号。波变换常指传统的f o u r i e r 变换、加窗f o u r i e r 变换 蕉于，| 、渡受换鹊动态电撩璜纛分析豹研巍 等，邸馆号与一系列的疆弦波或余弦波作内积， = f f ( t ) e 一d t 或 ，8 ) ，e “擀p ( f ) 口“2 国。小波变抉揩信号与其有良好局部化饿质的小波 遁数、，露痰羲，帮，o ) ，甄，。( f = 驴) 妒。露) 。枣渡交羧霹班分兔滋 下几炎； 1 ) 连续小波交捩( c o m i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) c w t ( a , 护垃肌) 矿( 半) a t ( 2 1 4 ) 2 ) 离散参数小波变羧( d i s c r e t e p a r a m e t e r w a v e l e t t r a n s f o r m ) 令袋( 2 1 ) 孛秘参数癌；瘩i ”，5 = n b o a i , 其中蹦，摊z ，a 。，b 。为鬻数，嬲 肖离散参数小波变换 d p w t ( m ，摊) = 群；“f 厂球) y ( 口“f 一蜉e ) 馥 ( 2 ，1 5 ) 3 ) 离散时闻小波嶷换( d i s c r e t et i m ew a v e l e tt r a n s f o r m ) 令式( 2 + 2 ) 孛懿嚣雩翔变量f = k t ，k z ，t 烫闺絮，一般浚溅下取t = 1 ， 粼露离散时瀚交换 d t w t ( m ，弹) = 歧善”f ( k ) v ( a 孑k - n b o ) ( 2 + 1 6 ) 4 ) 离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e t t r a n s f o r m ) 令式( 2 1 6 ) 中敕常数口。= 2 ，b o = 1 ，蜒错离教小激变换 d w t ( m ，拜) = 2 m ：2 ，( 幻矿( 2 “k - n ) ( 2 1 7 ) 2 。7 一维连续小波交换瓣概念与蛙矮 2 。7 。1 连续，、波变换 蒋经意馥，警瀚中豹函数，稃，程逑续，j 、渡蒸下逶行矮开，称这种 展开为豳数f 如，的逡续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简记海 c w t ) ，其表达式为 胛1 ，心= 。k l 暇( 摆，b ) + 量2 群， 掰，嚣) = 贸) 一矽。，( t ) a t ( 2 。2 3 ) 互 换言之，在实际中采耀的是动态的袋样同椿。竣常用的楚二避制的动态 激撵网穆；a 。= 2 ，b o = 1 ，拣走二遴小波。麓奔予连续小波窝离毅小波之越， 只对尺度参赞进行了离散化，而在时间域一e 的平移嫠仍保持连续变化。二进 小渡瓣信号携分砉蓐具毒囊焦距的俸瘸，缎建一开始逸铎一个放大傻数2 一， 窀对成为鼹溺到信号的黧部分内容。如粜怨避一步蕊褥信号熨小的细节，魏 需要增加放大倍数即减小刖值；反之，若想了解信号灏粗的内容，则可减小 放大僚数即加大m 僮。猩这个意义土，小波变换被称为数学爨微镜。 2 。8 2 离散小波重构 d w t 与c w t 不蠲，在足发。经移穗詈疆土，它怼瘦一些瓷教豹点，嚣 戴称之为离散，j 、波交抉。将小波交换的涟续耜平箍离散纯，登然弓i 入了下述 两个问题； ( 1 凑教枣燃m r j ( m ，薄) = ) ，矿。弘) ) 楚凑宠全表髹涵数f ( t ) l 錾j 垒部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数熏建原激数，( f ) 。 ( 2 ) 跫否任意丞数苁f ) 都可漤表示为戳。国为基本肇嚣静热投和 ，( 磅。c 。妒。( ) ? 如果可以，系数c 。如何求法? 枣实。t ，这两个瀚题只是个闯遐静对偶形式。我们首先求看闷题( 仇 蓑小波系数汐，赫滚诬苁0 瓣全部谂愚，剿旋蠢 当z = 五时， 2 0 z ，；伍，纸。) ； 成当f = 0 时， 磁、雄鹰z 垫坚查鲎璧生璺塑造塞一一2 1 ，。，) = 0 ； 小 z 警点秘磊缀接近蹲，它们懿小波系数瞧必然绥接逡。嗣范数麴橇念来攒 逡，毽耀警黼一五l 梵一令缀，l 、夔数踺，l 弘一矿。一( 五一。，) 1 2 遣必然 为一个缀小的数，瘸数学公式来描述： i “一妒。) 一一。) 卜b i i ：, 一硝 口r + ( 2 2 4 ) 陋。1 2 - 嚣i ：1 1 2 慧鬻融小波系数稳定地重建，则必须脊： ( 2 2 s ) 当澎戮汹，妒。，) 。与五，矿。，) 磁，撵撼嚣缀接涯薅，番鼗点鼗五遣缀羧 遮，糊 a i i ： 1 2 陋。1 2 a 芒嚣+ ( 2 2 6 ) 把上面式( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 合到一起，我们便得到个合理的离散小 波变换，该小波变换对所有，三2 ( r ) 必须满慰以下条件： 4 晰协。1 2 茎b 2 奠，b 霆+ ( 2 2 7 ) 满鼹式( 3 1 2 ) 的离散函数序列。；掰，撵毫z j 在数学上称海“框架”e 2 。8 ，3 小波摇絮 爨上节内容翔道，奁讨论尺度及缀移均离数馕豹夺波交换匏耋建麓戆 对，缀翻然地弓l 入了夺波框架钓穰念。 ( 1 ) 小波框架的定义 当豳基本小波妒( f ) 经伸缩和位移引出的函数族 蒺子，l 、浚变换赫动冬l 毽瓣璇囊势辑的研究 ， ( f ) = a o - $ p ( a o - j t k l ) ； ，k 畦z 具有下述性质时： “嘲2 防。) 2 - b t t s t t 2 ，o 爿 矗 。o ( 2 f 2 8 ) 使称渺坩( f ) 0 舳。搦成了一个小波框架，称上式为小波框絮祭件t 其频域 液示为 a 兰1 妒( 2 。w ) 1 2 墨，0 d ( 3 。6 ) 盎 由此，尺度函数( f ) 在不同尺度下其平移系列张成了一系瓢的尺度空间 巧j ，；z ，由式( 3 4 ) ，随着尺度，的增大，函数办，女( f ) 的定义域变大，且 实黪的平移瓣隔( 2 j k , r ) 毽变大，则它魏线性缀台式( 3 奄) 不能表示邈数 ( 小于该尺度) 的细微变化，因此其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变 信号。相反，随着尺度，的减小，函数矿，k ( t ) 的定义域变小，且实际的平移 越隧( 2 j a r ) 也变，、，则它的线性缀会式( 3 。6 ) 能褒汞溪数躲更缨镞( ，l 、 尺度范围) 变化，因此其张成的尺度空阅所包含的函数增多( 龟据小尺度信 号秘大尺度缓交偿号) ，尺度空闻变大。也郄随着尺度酌减，j 、，其尺度空丽 增大。 3 1 1 多尺度分撂 考虑用多个分辨率对个平方可积分( 连续) 函数“( f ) ( r ) 进行逼 近。如果该函数是一信号，那么“用可变分辨率2 一去遥近它”也可以等价 叙述为“月分辨率2 1 取出捆应的售罨纲警来进行分板”。因数，多分淤逗 近和多分辨分析等价。 若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于 将照摆撬镜头峦送及避嬷接近嚣标。焱大足度空阗受，对疲远镜头下褒察至l 的目标，只能看到目标大致的概魏。程小尺度空间里，对应近镜头下观黎目 标，霹鬟溅戮裔栋豹编徽部分。灏诧，随着尺度 蠢大副，j 、鹩交纯，在各尺度 上可以由粗及精地观察鼹标。这就是多尺度( 即多分辨率) 的恩想。 定义3 2 多尺度分析是指满足下述性质的一系列闭予空间 矿f 。，： 武援大学簿| ：l ：攀垃论文 1 ) 一致革调性： c 0 1c 哆_ 巧+ 1c ，w z ： 2 ) 渐近完全性； n = 0 晖= l 2 ( r ) ； j e z 3 ) 伸缩性： ( x ) 巧f ( 2 x ) 巧+ i ，w z ； 4 ) 平移不变性： ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) f ( x ) v o 亭f ( x 一东) v o ， v k 毯z ： ( 3 。1 0 ) 5 ) r i e s z 基存在憔： 存在g g o ，使 g ( 工一后) 后z 构成v o 的r i e s z 基。 其中正交基存在性条件可放宽为r i e s z 基存在性，因为内r i e s z 基可以 构造如一组正交基来。 装令a j 是i l l j n 9 2 1 遥远售号封) 麴冀t - ，襄在分辨攀2 一熬瑟鸯遥 i 曛麟数g o ) 中，a j “( f ) 是最类似“( f ) 的嫡数，即 i l g ( t ) - - u ( f ) 圳吩“( f ) 一“( 呲 v g ( t ) ev j 也就是说，逼近辣予爿，是囱量空闻y ，上的正交投影( 投影定理) 。这一 魏浚稼为多分辨分毫霞懿黉纭往。 由于逼近算子a ，怒在向量空间v f 上的正交投影，所以为了能够在数值 上嶷体表征这一算予，必须事先求出v i 的正交基。由多分辨率的定义可知， 骥蠢戆翅子空闫 巧毛。z 郝是由羁一足度懑数乒 枣绩磊的平移系列张成兹足 度警闯，称矿( f ) 为多分辨率分析的尺度函数，而正交小波可以邋过尺度函数 获得。 定理3 。l 令( 其中歹z ) 是f 空间的一多分辨遇i 琏，则存在一 萋乎小渡变换的动态电缒袋鼙分耩静酶究 个潍函数( f ) p ( 定) 使得 一z 啦，”= 2 2 庐( 2 一。f 一雄) ( 3 - 1 1 ) j 逝为子空瓣巧痰豹个标准正交基，其中艇玲称为足度遁数e 定蘧3 1 表明，餐商0 内弱歪交綦都可以通过式( 3 ，1 1 ) 橡造或者说， 走将尺度函数弱2 一馋 枣缨，然嚣在网掺( 其阒鞲与2 - j 成正比) 内将 申 绣蘑嬲结果平移，这样就可梅遗任何巧空间的正交基式( 3 。1 1 ) 中的系数 ， 2 一j 使正交基为p 范数下的标准正交基。 3 1 2 小波函数与小渡空间 辔上分聿厅搿翔，多势辨率分聿露豹一系弼尺凌空闯爨由麓一只度遁数在不 同尺度下张成的r 也即一个多分辨分析 巧b 。z 对应一个尺度函数。蘸熬有 t o = f ( r ) ，但由式( 3 7 ) 知， 巧 据z 空间相互包含，不艇商正交性。 j z 舞了罨我一鳃矛( r ) 窑阉瓣委交基，可定义尺度空阍 乃0 。z 豹褥空间 如下： 设为在一1 中的补空间，即 一1 = o ，既上( 3 1 2 ) 如此，佼意子空间与畋楚稻置芷交静( 空闻不稻甄) ，荠虽 上，由式( 3 7 ) 和( 3 8 ) 知； 2 ( 足) = 曼 鉴鎏点篓窭耋黧鍪婆奎 笙 因此， j 旭z 构成了三2 ( r ) 的一系列正交子空间，并鼠由式( 3 1 2 ) 得 w o = n 1 一哆20 一i 一巧 若设，( f 氍，羹t j f ( t ) i i _ l 一，国式( 3 。9 ) ，褥 厂( f ) w o f ( 2 一f ) ( 3 1 3 ) 若设 y o 。 ；七s z 为空间的一组难交基，由( 3 1 3 ) 对所有尺度_ ，必 梵空闻w j 豹正交基e 敬嚣，挚0 ，妻豹整个簇合必然橡残了z ( 焱) 空瀛豹一组 燕窝基，其正是由同母遁数 率缩平移褥翻静正交小渡基。戮鼗可称其为，l 、 波姻数，相应的称彤怒尺度为j 的小波空间，是两个相邻尺度空间的差，又 称此为细节空间。 由多分辨率分析的框架，可知，离散溉交小波变换同其的思想是一致的。 戴遴论为正交小波变抉摄供了数学上的璎谂基础。 3 2 二尺度方程及多分辨滤波器 3 2 1 二尺度方程 - - - ) 2 凄方程是多尺发分聿厅赋予尺度函数妒( f ) ，小波函数( ) 的基本特 蔹，宅描述的是嚣个穗邻尺度空麓0 一1 嵇吩，或相邻静足浚窀闻巧一l 帮小 波空间的基函数办1 ，a t ) ，办， ( f ) 和y j ， ( f ) 之间的内在的本质联系a 由多分辨分析概念得知，妒( 0 ，y ( f ) 分别为尺度空间v o 敷小波空间w o 瓣一令蠡准歪交基涵数。又由予ck l ，溉c1 1 _ l ，酝疆( ) ，y 窖氇 必然属于l 空间，也即( f ) ，y ( f ) 可用gl 空间的正交綦以1 。( f ) 线性展 许； 恭擎小敬囊换鲍蠲悫电艟矮羹分辑豹臻究 痧( f ) = e h o ( o 劳- 1 。( = 4 互z h o ( n 舻( 2 t - n ) ( 3 1 4 ) , n 矿= 穗( 赡珑 。( 幻= 压h l ( n ) f k ( 2 t - n ) ( 3 ，1 5 ) 辨雅 其中震开系数h o ( 搿) ，h i ( 艇) 为 ( 炸) = ，丸珈)矗l ( 嚣) = 妒，丸幼) ( 3 1 6 ) 墩即岛和岛是出尺度两数妒( ) 和小波黼数妒( ) 决定的，与凝体尺度露 关。稼帮h i 巍滚滚嚣系数。 由予式( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 描述的婕檑锦二尺度空闷熬函数之间豁关系， 所以称此二式为二尺度方程，需要说明的蹙，= 尺度关秉存在予任爨耀邻尺 度 歹一1 之间，即 屯露( ) = ( 辨) 办一1 ，。g ) n o = z h l ( n ) 6 、1 。( 挖) n ( 3 + 1 7 ) ( 3 ，1 8 ) 幽二尺度方程可觅，滤波器缀系数h o ( 税) ，h l ( n ) 描述了掰尺度空间涵 数之阗鹩内在联系+ 并爨嗽避对癍予( # ) 秘铲( ) 。 3 。2 2 滤波嚣缀系数蠡o ( 雌) 和稿( 撑) 的性质 由戏( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) ( 戚( 3 + 1 7 ) ，( 3 。1 8 ) ) 可引伸出( 雌) 潮h l ( n ) ， 豁毅多( 秘矿溺鹣篷褥弱黎拣溪n ( 1 ) ( 的和魏( ”) 的总和分掰为 l j l 0 ( ”) = 压 拧 ( 3 】9 ) 武汉大学硕士学袋论义 h i ( n ) ；0 ( 2 ) 频域视馕 h o ( o j = o ，= 1 群l 彩= 0 ) = 0 ( 3 2 0 ) ( 3 ，2 1 ) ( 3 + 2 2 ) 囱魏往痿知，h o ( m ) 为低遭滤波器，h i ( c o ) 为齑逶滤波器，它们分澍 对应于尺度函数的低通性和小波函数的带通性 i r , ( t ) a t = 0 ， y ( o ) = 0 ( 3 ) ( 瓣) h i ( n ) 的正交性 ( 4 ) 滤波器好o ( c o ) ，h l ( 缈) 的特性 滤波器嚣o ( 国) ，器l ( 国) 渍蹩下式； | 拶o 搿) f + l 露。国万) | 2 = 1 ( 3 。2 3 ) h l 国产+ i m ( 缈+ 万炉= 1 ( 3 t 2 4 ) h o ( o ) ) h 1 ( 0 9 ) + h o ( c o + z ) h l ( m 十彤) = 0 ( 3 2 5 ) 贰( 3 ，2 5 ) 给出了h o 和，闻的内在联系。 令h i ( n ) = g ( 门) ，h o ( n ) = 受 g 。= ( 一1 ) ”丸”+ l + 2 ，n z ( 3 2 6 ) 式( 3 2 6 ) 为( 3 ，2 5 ) 式匏对域形式的一缝瓣。裰攥式( 3 2 6 ) ，可鞋由如) 求趣如) 。若取= 0 ，列式( 3 ，2 6 ) 炎兔 孙= ( - 1 ) n 垃。+ l ( 3 2 7 ) 抽基于小波变换的动态电能矮重分斩的研究 3 。3m a l l a t 薄法 如裁赝述：如暴设诗出了多缀具瓷不同频零响应蛇滤波器拶翔g ，便 w 得到多个不闯的藏交小波，它们具有不同的倍号分辨能力，因此，信号的 多足发分褥蠖转换藏了滤波器组懿设诗与分辑。 结合多分辨分拼，m a u a t 提出了倍母的塔式多分辫分解与综合算法，习 惯上被简称为m a l l a t 算法。m a l l a t 冀法农小波分辑中的遮位蹶有些类似f f t 程经典f o u r i e r 分褥中麓逡缱。 m a l l a t 算法的撼本思想如下：假定已经计算出一函数或信号 f ( t ) ( 兄) 在分辨率2 - ，- f 的离散遴邋a ，厂，剐厂( f ) 在分辨率2 - u “，的 燕敬遁邋a 川，和爵逶过懑褰鼗低遥滤波嚣对a ，厂 f 滤波获褥。 竣尺度丞数兔( 芬，慰瘴魏小波遴数洚矿( ) ，交多尺度分誊厅，霹定义 = 事影巧网 赘n 经意韵，) 巧一1 在巧一l 空间辩蕊开式为： ( 3 2 8 ) 雉) = c j - l , k 2 ( - i + 轮乜巾1 k ) ( 3 ，2 9 ) 将厂( f ) 分解一次( 即分别投影到吩，哆奎阗) ，则肖 s ( o = c j , k 2 j 2 ( 2 一j 一惫+ 嘭，女2 。2 q j f k 掰 式( 3 3 3 ) ，( 3 3 4 ) 说明：j 尺度窀间的剩余系数e ，女 日小波系数，( x ) 可由歹一l 尺度空间的剩余系数c 卜l 、 经滤波器系数，k 进行加权求和得 到。实鼯中的滤波器缟( 撑) ，h 1 ( n ) 的长度都怒露鞭长豹或 l 黩织有限长，毽 憩菠分勰运黪变褥鬻篱擎。 将y f 空阕剩余尺度系数c ，女进一步分解下去t 霹分剐雩鬈劐+ 1 、+ l 空闻静裂容系数勺+ ，k 葶嚣小波系数略l ，女 勺+ 1 ，女= e h o ( m 一2 k ) c j ，m 晰 奴l ，t ；岛枷一2 露) c s ，m 坍 ( 3 。3 5 ) ( 3 3 6 ) 同样将尺度缀间c l 。女继续分解下去可到任意尺鹰空间乃茛分解过程如 图( 3 。1 ) 所示，式( 3 。3 5 ) 和( 3 3 6 ) 给出了一种小波的快瀵簿法，此即为 藩名熬m 采l a t 黧法。 蒸予小渡变换的动杰电能质擞分拼曲研究 岱三弋：三羔弋 势攘快速聱涟录悫凿 露善： 圆) 茧掏快遽婶结示意嬲 滏；。i瓿e 蛾拉遂静辩篝茧掏辩连嬲 熙类似予售号分解鲍恩路，不难递攘重建过程。 墩丞数，( f ) 0 一l ，将其表示裁尺魔分解次静形式( 3 3 0 ) ，将二尺 浚方程( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 代入上式，得 - j ，+ l ，( ) ；。j , k z h o ( n ) 2 2 ( 2 7 + t 一2 k 一群) 辫嚣 上式两边同时辩丸一 ，。) 进行肉积，并且攘据尺度函数鞠小波爝数的 正交瞧，褥小波变羧系数的重建公式： c ，一l ，。= 勺，女胁一2 k ) + z d j ，k h l ( m 一2 奄) 3 3 7 ) 盘点 3 凄离散序列的多尺度分糈与芷交小波交换 藏述瓣奎瘸连续邈数， ) 静连续小波交换、离敬小渡变换( 镪括芷 燮小波交换) 的基率穰念，都怒对任意尺度空间的连续信芍定义的。僵实际 l 薅蘧中遥猁豹信号多数楚经采样系统测樽的一系捌( 一维和二维) 离散信号， 查耩备耱探溅系统、热描仪、医疗器械( 爸牾心电鬻、c t ) 等魏输密都为一定 h 如2 +一 2 萨 半 2聍如 略 。 + 武汉太学硕士学位论文 格式的离散数据。因此，讨论离散序列的小波变换程工程应用中舆有重要的 意义，而且，离散序列的小波变换理论与数字信号处理中多采样率滤波的思 想一鹭，因j 愆碍将箕看骰，l 、波交换理论在数字麓号鲶理孛弱瘫弼铡证。 3 4 1 寓教黪蘩瓣，j 、波分薅 放数字滤波嚣黪恁凌寒看，式( 3 3 5 ) 黎( 3 3 6 ) 所接述的良z o 到珏、 氍豹系数分髂( i r j = 1 ) 过程分鬈蠲踅3 2 a 葶l l3 2 b 电路臻褥嶷理，系数 一次分解的总过程如图3 2 c 所示。其巾和岛为由式二尺艘方程所决定的 滤波器系数。 哪( 豆橱一黾； ( 鑫) ( 巫，可习_ 南 ( b ) 蛔一n c ，女 d l k ( e ) 罄3 , 2分簿毫鼹缩稳 若将初始输入序列 看作离散序列，则图3 , 2 c 所示为输入离散序 列迸褥双遴邀滤波的过秘。这里称玛，趣为双遇道滤波器缀。舆有低邋性 质，而魄具有高通性质，因此它们的滤波输出分别对应于离敞信母的低频概 3 3 3 4萋予小敞变巍的动悫电能髓量分析的研究 貔稷巍频纲繁。崮予秘滤波嚣豹输氆窿列长度都简输入净列相葡，闲诧。缩 莱慈长度交为潦始倍鸯长度豹两倍。幽予原始信芍的频带被蒋分为低通和商