椭圆标准方程考点分析及例题讲解.doc

椭圆标准方程考点分析及例题讲解考点：1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常数_(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这_两个定点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_思考探究定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当常数等于|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当常数小于|F1F2|时，不表示任何图形2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程 _(ab0)_(ab0)焦点_ _焦距|F1F2|_a，b，c的关系_思维聚焦1、椭圆定义的理解：设两定点F1、F2，点到F1、F2的距离之和为2a(1)当2a|F1F2|时，点的轨迹是椭圆(2)当2a|F1F2|时，点的轨迹是以F1、F2为端点的线段(3)当2ab0)或1(ab0)；在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2ny21(m0，n0且mn)；(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求.考点一、椭圆的定义例1、如图所示，已知经过椭圆1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点(1)求AF1B的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为什么？ 分析：因为A、B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a， 故|AF1|BF1|AF2|BF2|AF1|BF1|AB|4a为常数解：(1)如上图，由题意知，A、B在椭圆1上，故有|AF2|AF1|2a10，|BF1|BF2|2a 2510，|AF2|BF2|AB，ABF1的周长|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|) 2a2a4a4520.AF1B的周长为20.(2) 如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2| |BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a，与AB和x轴是否垂直无关点拨：本题充分利用了椭圆的定义来解决三角形周长的问题变式训练1. 平面内，若点M到定点F1(0，1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A椭圆B直线F1F2 C线段F1F2 D直线F1F2的垂直平分线 解析：|MF1|MF2|2|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1F2.2. 下列说法中，正确的是(C) A平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B与两个定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆C方程1(ac0)表示焦点在x轴上的椭圆D方程1(a0，b0)表示焦点在y轴上的椭圆解析：依据方程的结构特点B中没强调平面内3. 设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则动点P的轨迹是()A椭圆 B线段 C椭圆、线段或不存在 D不存在答案C解析当a|F1F2|6时，动点P的轨迹为椭圆；当a|F1F2|6时，动点P的轨迹为线段；当a0且a为常数)； 命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：乙甲且甲乙，甲是乙的必要不充分条件5. 椭圆1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是()A20B12C10D6解析：AB过F1，由椭圆定义知|AB|AF2|BF2|4a20.6. 已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|12， 则|AB|_.解析：|AB|F1A|F1B|(2a|F2A|)(2a|F2B|)4a(|F2A|F2B|)20128.7. (2010新课标全国)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b|PA|，|PF2|PA|AF2|，当且仅当P、A、F2三点共线时，|PF2|PA|AF2|.所以当P、A、F2三点共线时，|PF1|PA|有最小值为6.考点二、椭圆的标准方程例1、求经过两点P1(，)，P2(0，)的椭圆的标准方程分析：求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设 出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可解解法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意知解得a2b0)由题意得解得故所求椭圆的标准方程为1.解法二：设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)由题意，得解得所求的椭圆方程为5x24y21.点拨：(1)确定曲线的方程时，若能明确方程的形式，则可设出曲线方程，建立含参数的等式， 求出参数的值，再代入所设方程(2) 由于椭圆Ax2By21(A0，B0，AB)包含焦点在x轴上(AB)两类情况， 因此解法二的处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的变式训练 1. 椭圆2x23y212的两焦点之间的距离是()A2B. C. D2答案D解析椭圆方程2x23y212可化为：1，a26，b24，c2642，2c2.2. 椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k的值为()A1 B1 C. D答案B解析椭圆方程5x2ky25可化为：x21，又焦点是(0,2)，a2，b21，c214，k1.3. 已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A9m25 B8m25 C16m8答案B解析由题意得，解得8m25.4. 椭圆mx2ny2mn0(mn0)的焦点坐标是()A(0，) B(，0) C(0，) D(，0)答案C解析椭圆方程mx2ny2mn0可化为1，mnn， 椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，又nm，无意义，排除A，故选C.5. 椭圆的两焦点为(2,0)和(2,0)且椭圆过点(，)，则方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：由题意知c24，又焦点在x轴上，设1，把(，)代入得a210.6. 椭圆25x216y21的焦点坐标为()A(3,0)B(，0) C(，0) D(0，)解析：椭圆方程可化为1.7. 已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是()A.x21 B.y21或x21 C.y21 D以上都不对答案A解析设椭圆方程为：Ax2By21(A0，B0)由题意得，解得8. 当3k9时，指出方程1所表示的曲线解：3k0且k30.(1)若9kk3，即3k6时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)若9kk3，即k6时，则方程表示圆x2y23；(3)若9kk3，即6kb0)由已知条件得，解得.所以所求椭圆的标准方程为1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得，解得.即a24，b28，则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，(1，)代入，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为1.10. (福建高考)已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程解：解法一依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有，解得.又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.解法二依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则， 解得b212或b23(舍去)，从而a216.所以椭圆C的标准方程为1.考点三、椭圆的焦点三角形问题例1、如图所示，点P是椭圆1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230， 求F1PF2的面积 分析：由题目可获取以下主要信息：(1)椭圆方程为1；(2)F1，F2是焦点，P是椭圆上一点且F1PF230. 解答本题可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|、|PF2|， 最后求出.解：在椭圆1中，a，b2，c1.又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2由余弦定理知：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos30|F1F2|2(2c)24式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20，得(2)|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|16(2)，|PF1|PF2|sin3084.点拨：椭圆的焦点三角形问题，常常运用正弦定理与余弦定理将三角形中的边与角联系起来， 所以具有相当高的综合性在焦点三角形中，常用的结论有：(1)|PF1|PF2|2a；(2)若F1PF2，则|PF1|PF2|，Sb2tan，|yP|tan.变式训练 1. 若ABC的两个焦点坐标为A(4,0)、B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A.1 B.1(y0) C.1(y0) D.1(y0)答案D解析|AB|8，|AC|BC|10|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.2. 点P为椭圆1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为()A. B. C. D.答案D解析SPF1F2|F1F2|yP|2|yP|1，|yP|1，yP1，代入椭圆方程得，xP.3. 点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()Aa Ba C2a2 D1a1解析：由已知可得1，a22，即a2且k0，0k6，点C的轨迹是以A(3,0)，B(3,0)为焦点的椭圆(除去与x轴的交点)，设方程为1(ab0)，则2a12，即a6，又c3，b2a2c227，顶点C的轨迹方程为1(y0)4.