（基础数学专业论文）toeplitz代数的k群.pdf

t o e p l i t z 代数的k 一群 基础数学专业 研究生：王显金指导老师：曹广福教授 摘要：本文通过六项正合列计算出，在强拟凸域上，它的拓扑边界上连续函 数代数的k 1 群同构于区域上t o e p l i t z 代数的k 1 群与z 的直和。进一步证明 了：在复平面c 中，任意有界域的拓扑边界上连续函数代数的耳1 群与其边界 上的上同伦群同构。此外，我们还对环面上t o e p l i t z 代数的k 群进行了讨论。最 后对d i r i c m e t 空间上的t o e p l i t z 算子序列的总体紧性进行了刻画，这是单个算 子情形的推广。 关键词：k 群，上同论群，t o e p l i t z 代数，t o e p i i t z 算子，d i r i c h l e t 空间 t h e k g r o u po ft o e p l i t za l g e b r a m a j o r ：b a s i c m a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：w a n gx i a n j i n a d v i s o r ：p r o f g fc a o a b s t r a c ti nt h i sp a p e r , f r o mt h es i x o t e n ne x a c ts e q u e n c e ，i ti sp r o v e dt h a tt h ed i r e c t s u n lo f za n d k l g r o u po f at o e p l i t za l g e b r a i sa l w a y s i s o m o r p h i c t ot h e t o p o l o g i c a lk 1 一g r o u p o ft h eb o u n d a r yo ft h er e l a t i v ed o m a i n f u r t h e rm o r e ，w ep r o v et h a tt h ec o h o m o t o p yg r o u p si s i s o m o 删ct ok 1 g r o u po f t h ec o n t i n u o u sa l g e b r ao nt o p o l o g i c a lb o u n d a r yo fb o u n d e dd o m a i n si nc a n da l s ow ed i s c u s st h ek - g r o u po f t h et o e p l i t za l g e b r a so nt h et o r u s f i n a l l yw e d i s c u s st h ec o l l e c t i v e l yc o m p a c tt o e p l i t zo p e r a t o rs e q u e n c e so nd i r i c h l e ts p a c e ，i te x t e n dt h e s i n g l ec o m p a c to p e r a t o r k e y w o r d sk g r o u p ，c o h o m o t o p yg r o u p ，t o e p l i t za l g e b r a ，t o e p l i t zo p e r a t o r ，d i r i c h l e ts p a c e 致谢 本文是在我的导师曹广福教授的悉心指导下完成的。在三年的学习生活中， 曹老师在学习、生活、研究等方面给予了我很多帮助、教诲和鼓励。曹老师的高 尚的学术道德、严谨的治学态度，深邃的数学思想。对科学执着的态度和敏锐的 洞察力以及对数学的热爱，都给我留下了深刻的印象，是我生学习的榜样。在 此，匈曹老师表示深深的敬意和谢意。 研究生阶段的孙顺华教授和严丛荃教授谆谆教诲，本科及研究生阶段院内的 老师的关心，研究生阶段的各位师兄师姐师弟师妹的关心和帮助，在此，特f 句他 们表示由衷的感谢。 j l l 四川走学硕士学位论丈 引言 算子代数k 一理论是算子代数与拓扑k 一理论相结合的产物，其初衷是将 每一个算子代数对应到一些交换群，通过这些交换群的结构，提供代数的重要信 息，进而以这些交换群作为不变量完成算子代数的分类。然而迄今为止，尽管这 一理论己日趋成熟，它能发挥作用的范围依然受到了很大的限制，原因在于算子 代数k 一群的计算是一件十分复杂的事情，人们能够计算出的k 一群是 分有 限的。目前人们熟知的k 一群包括：c u n t z 代数的k 一群、有理旋转代数的耳一 群、圆盘上丁o e 州；拓代数的k 一群等，即使对某些特殊的算子代数如c 中一般区 域的t o e p l i t z 代数，其k 一群的计算也是非常困难的。从g ，e c a o 1 5 的工作中可 以看出，仅就严格拟凸域而言，其上的t o e p l i t z 代数的耳一群也是各种各样，千 差万别的。可见对这些算子代数k 一理论的研究可以为人们研究一般算子代数 鲍k 一理论提供丰富的例子，并带来有益的启示，同时，由于t o e p l i t z 代数与区 域几何、区域的函数空间均有着密切的联系，其代数结构依赖丁- 区域几何结构， 因此，通过这类代数的研究，对于沟通算子代数与几何、拓扑的内在关系具有重 要意义。事实上，一些几何问题，函数论问题，可以在t o e p l i t z 算子、t o e p i i t z 代 致理论中找到相应的影子问题。 本文主要考虑两类t o e p l i t z 代数的一群，第一章我们通过六项正合列计算 出，在强拟凸域上，它的拓扑边界上连续函数代数的k 1 群同构于区域上t o e p l i t z 代数的 ，i 一群与z 的直和。进一步汪明了；在复平面c 中，任意有界域趵拓扑 边界上连续函数代数的k 1 一群与其边界上的上同伦群同构。此外，我们还对环 面上t o e p l i t z 代数的k 群进行了讨论。第二章对d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算 子序列的总体紧性进行了刻画，给出了符号在c 1 ( 西) 中的t o e p l i t z 算子总体紧性 的一个充分条件，进一步给出了复调和符号总体紧性的充分必要条件。最后，讨 论了总体紧性在两种不同定义下的联系。 四川太学硕士擘位论文 第一章t o e p l i t z 代数的k 一群 1 强拟凸域上t o e p l i t z 代数的耳l 一群 单位圆周上的h a r d y 空间h 2 佃) 中的经典t o e p l i t z 算子定义为 t , i = 尸( 妒，) ，v f 日2 ( t ) ， 2 其中币是l m ( t ) 中的函数，p 是从l 2 ( t ) 到h 2 ( 丌) 的正交投影。t o e p l i t z 代数是一 类非常重要的算子代数，特别地c 一代数扩张理论与 l o e p l i t zc + 一代数有着深刻 的联系，i g o h b e r g 与m k r e i n 共同证明了下面著名的基本事实( c f r g ，d o u g l a s 1 】) 定理a 1 由具有连续函数符号母g ( t ) 的t o e p l i t z 算子生成的c + 一代数 沂= g + ( ：妒o ( 口) ) 则它包含日2 口) q 1 全体的紧算作为它的交换子理想，且存在如下的c 4 一代数正 台序列 o 一一西二c ( v ) 一0 这里口是“符号同态”，它由( 7 1 ( ) = 砂唯一决定，其中妒c ( 可) 。 定理b 任给v - , c ( 丌) ，则是f r e d h o l m 算子的充分必要条件是t j 可逆r 邵妒口) c c 一( o ，且当耳是f r e d h o t m 算子时t 我 f 有 i n d e x = 一w i n d i n g n u m b e ro f 妒 特别地i n d e x 瓦= 一1 。 由叭上的定理，不难计算出t o e p l i t z 代数西的f o 一群。下面的定理是熟知 的结论。 定理c k 0 ( j t ) 垒z s a x l e r ，j b c o n w a y 与g m c d o n a l d 2 研究了复平面中连通区域上的t o e p l i t z 代数得到了如下定理 四川大学碰士学住论文3 定理d ( 2 定理9 ) 设g 是复平面中非空有界连通的开子集，j ( g ) 是 ： 妒g ( 劢 生成的t o e p l i t z 代数，则s ( a ) 的交换子理想就是鹾( g ) 中的紧算子理 想k ( g ) ，且有g 一代数同构 s ( g ) k ( g ) 掣g ( 0 2 一。g ) 对于任给的妒c ) ，口是把+ k ( c ) 映到妒l a 2 一。g 的c 4 一同构其中0 2 一。g 为g 的b e r g m a n 本质边界。 在 3 】，【4 中，g k c a o 研究了连通域上的t o c p l i t z 代数凰一群。l a c o b u m 5 1 把定理a 推广到了 单位球上得到了所谓的c o b a m 正合序列。 定理e 5 1 由具有连续函数符号砂c ( s ) 的t o e p l i t z 算子生成的c + 一代数 g s = g ( ：咖c ( s ) ) 则它包含h 2 ( s ) 中全体的紧算作为它的交换子理想，且存在如下的c + 一代数正 合序列 0 一尼一西三c ( s ) 一0 这里s 是c n 中单位球的拓扑边界，一是”符号同态”，它由一( ) = 母唯一决 定，其中妒c ( s ) 。 除了复平面c 上的单位圆盘和c n 中的单位球，类重要的更一般区域是强 拟凸域。u v e n u g o p a l k r i s h n a 9 1 研究了定义在强拟凸域上的t o e p l i t z 算子的f r e d - h o l m 性质。实际上，对于这类区域上的t o e p l i t z 算子的研究，已经取得一系列的 结果，比如可以参考h u p m e i e r 6 】，n s a l i n a s 、a s h e u 与h u p m e i e r 8 ，n r j e w e l l 与s g k r a n t z 7 】，i r a e b u m 1 0 ，n r j e w e l l i l 】，l j a n a s , 2 1 ，h s a t o 与k y a b u t a f 1 3 1 ，k y a b u t a 1 4 等等。在文章 9 】， 1 0 ， 1 4 中，uv e n u g o p a l k r i s h n a 、i r a e b u r n 和k y a b u t a 就在c n 中有光滑边界的有界强拟凸域的情形得到类似于定理a 和定 理e 的结论。 定理f 9 ，1 0 ，1 4 1 设n 是c n 中的强拟凸域，则由具有连续函数符号妒 c ( o n ) 的t o e p l i t z 算子生成的c + 一代数 乃n = c + ( ：妒c ( o n ) ) 四川大学硕士孝位论文 包含h 2 ( o n ) 中全体的紧算作为交换子理想，且存在如下的c + 一代数正台序列 0 一咒一, f a n 二c ( o a l 0 4 这里a n 是n 的拓扑边界，a 是“符号同态”，它由口( ) = 妒唯一决定，其 中妒e ( a d ) 。 设p ：c n r 是具有e 2 光滑的定义函数，n 是由p 给出在c “中的有界区 域，即 q = = c “：p ( z ) o 鲁a 盖毋弓”7 “ 由六项正合列，可得如下结论 引理11 l 15 设n 是强拟凸域，则 j 岛( 西n ) 型k o ( c ( a a ) ) 兰k o ( a n 其中k o ( o n ) 是a q 的拓扑k o 一群。 定理1 1 2 设n 是强拟凸域，则我们有如下的k 群同构 1 ( j o n ) ez 型k 1 ( c ( o a ) ) 证明：由。一一凸r e ( 锄) 一0 ，可得如下六项正合序列 硒( k ) 一凰( 西n ) - + 甄( g ( a q ) ) a t ll k , ( c o a ) ) + 一j ( 7 台订) 一 k l ( 咒) 四川大学硕士学位论文 5 由引理1 1 1 ，可得到如下正合序列 0 一凰( 西n ) 一硒( e ( a n ) ) 一0 又由于引理1 11 的硒一群同构k o ( j o n ) 笺k o ( c ( o n ) ) 是由上面的六项正合 序列诱导，且k o ( k ) = z ，k l ( ) = 0 ，因而6 l 是满同态，则有 0 一k 1 ( j o n ) 一k l ( c ( a n ) ) z 一0 ，( + ) 于是可以定义映射：z k l ( a n ) ) ，使得它在基元1 上的取值为非空 集合叮1 ( 1 ) 中的任意元，定义妒( m ) = m ( 1 ) ，v m z 。由于z 是自由群，易 知毋是群同态。直接验证有西o = i d z ，因此( + ) 式是可裂正合列，这样可得 k l ( c ( a n ) ) 皇k a ( j o n ) o z ，证毕。 2 复平面中有界区域的上同伦群 设x 是紧致h a u s d o r f f 空间，令”1 ) 为 7 r 1 ( x ) = ：，c ( x ，t ) ) 其中 表示c ( x ，哪中的同伦类，在 1 中定义乘法如卜i ( ，) 0 ( g ) = ( ，9 ) v f ，g c ( x ，) 则乘法。使得”( x ) 成为交换群，叫做x 的上同伦群。 一般地7 f 1 伍) k 1 ( g ( x ) ) ，在什么情况下两个群同构呢? 下面就在复平面中 有界区域的边界上讨论这个问题。 定义1 2 1 1 6 设a 是含有单位元的c + 一代数，如果a 的可逆元群g l ( a ) 在 a 中稠密则称a 具有稳定秩1 ，记为t s r ( a ) = 1 。 定义1 2 2 1 1 6 设a 是含有单位元的c + 一代数，定义a 的稳定秩为满足如下 条件的最小整数t s r ( a ) ，对a 中任意的n 元组( 巩，。) ，当n 墨t s r ( a ) 时，则对 任意的e 0 ，存在a 中的n 元组( 玑，抓) ，使得k ；弧可逆且满足 挑) + ( 一讥) l | 砘 。h 四川大学硕士学位论主 引理1 2 ，3 【1 6 设a 是含有单位元的c + 代数，满足t s r ( a ) = 1 ，则 k 1 ( a ) = h ( a ) i x o ( a ) 6 注：如果a = o ( o x ) ，那么7 r 1 ( o x ) = u ( a ) u o ( a ) 。 引理1 2 4 【1 6 】设x 是紧致的h a u s d o r f f 度量空间，则 衙c g c 蚓= 掣 + 1 ， 其中d i m x 为空间x 的覆盖维数， 】表示t d i m x 的整数部分。 引理1 2 5 1 7 设m 是n 维欧几里得空间r “的子集，则m 的覆盖维数 d i m m = n 的充分必要条件是m 含有内点。 定理1 2 ，6 设是复平面c 中的有界区域，令x o m 是掰的拓扑边界， 则 k 1 ( c ( x ) ) 型7 c 1 ( x ) 证明：因为m 是复平面c 中的开集且x = 丽m ，则容易知道x 是c 的有 界闭集，因此它是紧致集且不含有内点，由引理1 2 5 ，x 的覆盖维数小于2 。又 由引理1 24 ，知t s r ( c ( x ) ) = l 。结合引理1 2 3 可得， 7 r 1 ( x ) 釜k 1 ( g ( x ) ) 这就完成了定理证明。 3 环面上t o e p l i t z 代数的耳一群 引理1 3 1 多圆环上的t o e p l i t z 代数j ( g ( t “) ) 的交换子理想c ( v “) 为 c ( 咿)圆硝一1 ) 。赶。硝+ 1 ) 圆。劣+ 硝。 孝- 1 1 苊 其中硝( = 1 ，2 ，n ) 是单位圆周上的t o e p l i t z 代数，咒是硝的紧算子理 想。 0 巷 m 里坐堂生堂垡塑一7 证明：事实上，对于任意的n 元组n = ( n 1 ，n 。) ，芦：汹，风) z n ，记 2 1 罐“ e 口5 t 口l ：乒，且在同构意义下h 2 ( ”) 掣i - 2 ( 口) 。 日2 ( 可) ， 则 1 陬a ，t j = 疋a 咒。一l 。e 。 3 ( 产。砭“) ( t ? - 。殛) 一( t f - 。孙) ( 譬- 。o n ) ， 2 ( - t ? z 圆。琢n 孙) 一( t ? z t ? ，9 孙互p ) 2 ( 殛t f 。殛n 强 一t ? 1 t ? 。圆t ：! i - t 垒i - 。9 疋) + ( ? ，t ? ，。麓：i ，t 生i - 。t 争t 黟 一t ，l ? - o t 争p ) 2 ? 1 t ? - 。t ：i - 7 逸i ( 瓦t ：。一t 妒t ) + ( t ? 1 t ? ，。譬! i - t 急i ， 一t ? ；t 。固飞写- t ：i - 1 ) 。t g n 一。由三( 咒 艺争一强牙) 是力的交换子，故( 强n t 9 一t g 。) k ， 僦篇幔产妒固喙1 - 而内一。t 三蠢帕硼样 邪”) 2 若巷 。硝。 k 。硝“。毋+ 毋” 拶叫圆尼 证毕。 特别地对于了( f ( 可2 ) ) ，它的交换子理想为嚣 石十。帮，因此由引理 可以得出如下的短正合列 0 ，j 占。足+ k 圆孝 由此如下命题成立 三j ( g ( t 2 ) ) c ( t 2 ) 四川大学硕士学位论文 8 命题1 3 2 对于任意的u 碥( c ( 2 ) ) ，孔= 巩i 瓦| ，其中碥( e ( t 2 ) ) 为g ( t 2 ) 中元素形成的n 维酉矩阵全体，巩是咒在极分解中的部分等距算子，则 进一步有 咒一巩( 毋 丘+ 丘。踏) ( 玩) = 审( 瓦) 证明：由于u u n ( c f f 2 ) ) ，其中u = ( “州) n n ，则对于v u 球，1 墨s ，t 墨n ，存 在多项式序列 使得 因此 注意到 r ( 钆z 。) = 砖z ? ：争+ 螃矗w 孝 j + c 2 z p 矽+ 螺k t - - t 1 ”z 5 “ h m 虬，t 一饩( z l ，砘) | l 。一0 ，k o q 瓦。一昂川一0 ， 一o o 强2 。? t ，。t ；。+ 苟乏，。鼍， ： j + c k tp 。t ；一+ d 正? m t l m h m 且在h 2 ( t ) 上有殛强口一t o 一日坛，那么 令一o o ，可以得到 嚆强一t i r l ：露1 。k + 。j g , 冗一孙坞( 硝。丘+ i c 。孝) 由川= l ，故砭瓦一五。l 。= 咒咒一j 。记k = q 死一j ，且i 咒1 2 = 咒咒= i + k 0 则1 咒i = 们1 j 霄，所以 咒= l 咒j = 巩、干面 一! 型苎芏堡主堡垒丝墨 9 由i + 以f 牙j ，可知+ 棚了面可逆，且 以了i = j 一( f 一识刁i ) = + ( j + 以干i ) 一1 k 因此 瓦一巩= 瓯( , 1 7 + k 一7 ) = 巩( ，+ 们了面) 一1 k 注意到k ( 巷。丘+ c 。帮) ，可得咒一砜帆( 巷。坛+ c 。踏) ，即 母( 五) = “瓯) 。证毕。 显然下列序列 0 + k 。一j _ 占1 。_ c + 瓦。巷一( j 占o + k 。抬) 尼p 瓦 是短_ i _ f 合列，经过简单的计算我们可以得到如下的结果 命题1 3 3 在环面上则下列同构成立 ( j 占。c + 坛 巧) 坛。k 竺c f f ) 圆_ ( 。坛 g ( 可) 证明：事实上可以定义如下映射 ：j 占 ( + k j 乎1 + g ( t ) o _ i cog ( ) 死。o 硷+ k i o ( 硝一妒( 句) o k z o 确。妒( 2 2 ) 则f 诱导出代数同态 ：( j 占。+ 足 j 乎) 丘。咒+ g ( 可) 固k + k o g ( 口) 2 1 + 石 一 f ( 丁) 用( j 记( 硝。d + d 帮) r 。r 中的元素，则 1 ( z 。) ok 2 + k lo 。( z 。) 】【2 ( = 。) o 肠+ k 3o 2 ( ) 】 = f 。砀( = 。) ok 2 甄+ 所，( ：，) o 巧。( = 2 ) 甄 + l ( ：。 k s k 2 2 ( ：) + k i k 3o 1 ( ：1 ) 2 ( 耐j = ，( ；。) 。( ：。) o 尬地+ k l 凰o ，( ：。) ：( 。) 】 = i ( ：。) 如( 日) o 恐犯+ 炳飓o ， ；。) 如( ) 】 一一 ! 型垄芏塑茎堡堕查1 0 其中第三个等号用到了。耳。一。屯c ，因此 ( - ( ：- ) o 尥- f k l o 。( ：。) 】 ( = 。) 圆甄+ k 3 。( ：。) j ) = 1 2 圆k 2 k 1 0 k 1 k 3 0 币l 如 = ( l o 配o k l 砂1 ) ( 也o t ：4 0 甄固也) = 反陬。o 玩+ k 1 0 。j ) g ( 陬。o k 4 + k 3 0 孔：】) 显然满足+ 运算，所以是c + 一代数同态。又因为k e r = 厄圆，则是c + 代数同构，证毕。 由以上命题知下列序列 0 一c 。配_ 露。c + c 拶三g ( 面) 。贰。c 。g ( t ) _ 0 是短正合列，进一步有如下的六项正合列 凰( 足op c ) 一( j 占o _ i c + 咒o j 竽) 一k o ( c ( t ) o o e o g 沁) ) s ti k l ( c ( t ) 。c e 坛 g ( t ) ) 一k 1 ( j - 占l 。丘+ k o 增) 一 k 1 ( 足op c ) 由于k ( e ( t ) o k o k o e ( t ) ) 型z 2 ，( i = 1 ，2 ) ，且硒( e o 丘) 皇z ，k 1 ( 【o 疋) = 0 故上述六项正合序列即为 令 z 一硒( j 占。咒+ 咒圆j 占) 一k l ( 露。坛+ 咒 j 乎) 一 p 1 = l t 焉，p 2 = 已。砭 则p o = ( j p 1 ) o ( f b ) k o k 是一秩投影，于是【p o 是k o ( 7 c o _ i c ) 的生成 子，当6 1 是满射时，即存在t c ( t ) o 坛o e o c ( v ) ，使霉导6 1 ( t 】1 ) = 【p o d ，上述 六项正合列变为 0 一k 1 ( 硝。咒+ k 。巷1 ) 一z 2 z 一0 0 一凰( 硝。咒+ 丘。帮) 一z 2 0 吖舻 四川走学硕士学位论文 由定理11 2 ，有 又由短正合列 硒( j 占。咒+ 苊。j 竽) 型z 凰( j - 占l 。尼+ k j - 占2 ) 型z 2 0 一巷 咒+ 1 c 。巷三j ( c g 2 ) ) 三c ( t 2 ) 一0 可得如f 六项正合列 k o ( 露o + 咒圆j 竽) 一j 而( ，( e ( 吧) ) 一 k o ( c g 2 ) ) a l ts 。l ( 2 ) k 1 ( c ( t 2 ) ) - 一k l ( j ( g ( t 2 ) ) + 一k 1 ( 硝。丘+ i t 圆帮1 ) 由于k o ( c g 2 ) ) 兰k 1 ( t 2 ) ) 垒z 2 ，故上述六项正合序列即为 z 2 叫k o ( j ( c ( y 2 ) ) + z 2 s f而i z 2 一k ：( j ( c g 2 ) ) 一z 这样我们只需考查( 2 ) 式中指标映射6 l ，南的性质，找出它们生成元之间的对应 关系，就能算出k o ( j ( c g 2 ) ) ，k 。( c ( 丌2 ) ) 。然而，目前我们尚不能回答如下问 题： 问题：( 1 ) 中的指标映射d l 是否是满射? ( 2 ) 中的指标映射6 1 ，6 0 有什么性质? 四川大学硕士学位论文 第二章d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子的总体紧性 1 预备知识 1 2 令d 是复平面c 单位园盘，d a = ；如d y 是d 上正规化的面积测度，定义 三2 ，1 c 。，a a ，= 印iu ：。一c ，u u 鸭= 上c l 甏c z ，1 2 + l 瓦o uc z ，1 2 ， 5 o lt j n 。o 。且有一个有限的f - 网) 这里b 是h 1 的单位球。如果e 。( 靠 ) = 0 ，则称 r ) 是一个在意义( 1 ) 下总体 紧序列。 这一概念首先出现在阳名珠、朱广田的工作 1 9 】中，它与迁移理论有重要的 关系，随后，李绍宽 2 1 给出了这一概念的一个等价描述，使得它更容易理解和 使用，在【2 0 】中，陈晓漫与李文君还提出了另一类总体紧的概念。 四川走学硕士学位论文 1 3 定义c 2 0 设h l ，吼是两个h i l b e r t 空间，是一个从h 1 到岛的一致有界 的线性算子序列。记 釉( 矗) ) = 0 骧i n f e 0 i vz k 二o ，3 k ，当n ， k 时，有1 1 z k 0 啦 0 ，3 n ，6 ( o ，1 ) 使得，当n n ，川 1 6 ，有1 ( z ) j e ，则( f 丁k ) ) = 0 。 证明：取e 1 ，设u o 口，i i a i i vs1 ，且 二0 ，当k 一。，有i i a i t l 。一0 。 1 1 孔，。 0 刍= l p ( g v 。 ) 1 l 刍0 母。厶1 i i z - ：( 掣，掣) + ( 掣，掣、2 百7 一百- + 一a 可一一跳 叉 掣：警厶蝴誓，掣o z = 警厶d zo zu z u 且有 ( 掣，掣) 剑圳i z 硼n 一。 ( 1 ) 四川大学硕士学位论文1 4 lj 掣旺= ( 警厶，警，n ) + ( 警厶 矗) + ( 鼻，警 ) + ( 矗，丘， 则由 ( 警厶，警 ) 剑堋伽。硼n 一。( 2 ) o ，3 n ，当n 时 i 【于l 母。| 2 矗。( 唧 ( ( 4 ) 令r = 1 6 ，r l = 1 一 ，则0 r r l 对，上式 墨e 。又由曲。刚。 及吲 1 一j 时， 讥( z ) f 0 ，| 及6 使得，当n n 及h 1 6 时， ( = ) l j 时，有 r 【。篆j l 毋) | 2 ( 力j l 由于 ) 关于范数一致有界，取m = s u p 。圳“) ，n # e 意n 有 1 i 。 i is0 耳。0 1 1 ，e 1 i d 2 1 1 i i + i | ，f i l ds2 m e 且 乃。9 f = p 【( 。妒) ( 秽) 】= 。玩z m 1 连。 黛薯 = n 妒玑z 。+ 。妒6 。z 。 不失一股性：设n 一o k n o ( 3 ，( 1 茎i j ，l sj i ) ，且至少一个6 t 不为0 ，则存在0 ，使得n n o 时 因此 。卜n t ( n o b 丽南 。! n ) 6 扩l ( n o ) b i z t m j l 茎。兰，l 曼k + t s j l 三曼jl d 忆 e + e + l | 。l | ij l s 连o2 阱l a ， 1 2 ( k + i ) l b , 1 2 1 。 1 9 茎jl k + i j 1 c + 2 m e + - ，戛，i 蚓( 1 - i - 2 m + i i 1 1 口) e 因此， 直，i + 1 ) 是 。，) 巽l 的( 1 + 2 m + 叫j d ) e 网，又d 完备， 则 孙。，) 器，序列紧a 往证对于任意给定的有界序列 ) 墨。c 口， 。，n ) 是 序列紧的。不失一般性，可设厶兰f ，那么厶一f 二0 。由于。( 。) ) = 0 ， 从而1 1 。( 一f ) l l 口一0 ，且 巧。， 是序列紧的，从而 。 ) 序列紧。因此 ( 。) = 0 ，证毕。 一一 一! 型查兰塑茔竺丝圭 1 9 参考文献 i 】d o u g l a s r g , b a n a c ha l g e b r a t e c h n i q u e s i n o p e r a t o rt h e o r y , a c a d e m i c p r e s s ( 1 9 7 2 ) ，1 7 7 1 8 5 2 s a x l e r , j b c o n w a ya n dg m c d o n a l d ，t o e p l i t zo p e r a t o r so nb e r g m a n s p a c e s , c a n j ，m a t h ，x x x i v , n o 2 ( 1 9 8 2 ) ，4 6 6 4 8 3 3 】g e c a o ，c o m p o s i t i o n a n d t o e p ，f t zo p e r a t o r s o n c o n n e c t e d d o m a i n s ，p r e p r i n t 【4 】g f c a o ，c o h o m o t o p yg r o u p sa n d - g r o u p so nc o n n e c t e dd o m a i n s , p r e p r i n t 【5 l a c o b t t m ，s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o ra n dt o e p 疗t zo p e r a t o r so no d ds p h e r e , i n d i a n au n i v m a t h j 2 3 ( 1 9 7 3 ) ，4 3 3 - 3 7 3 【6 】h u p m e i e r , t o e p l i t zo p e r a t o r s a n di n d e xt h o r yi ns e v e r a lc o m p l e x v a r i a b l e s ，p r o c e e d i n g o f s y m p o s i a i n p u r e m a t h e m a t i c s ( p a r t 0 5 1 ( 1 9 9 0 ) ，5 8 5 5 9 8 【7 n e j e w e l la n ds g k r a n t z ，t o e p l i t zo p e r a t o r sa n dr e l a t e d f u n c t i o na l g e b r a so n c e r t a i n p s e u d o c o n v e xd o m a i n s , t a n s a m e r m a t h s o c 2 5 2 ( 1 9 7 9 ) ，2 9 7 3 1 2 8 jn s a l i n a ，a s h e ua n dh u p m e i e r , t o e p l i t zo p e r a t o r so np s e u d o c o n v e xd o m a i n s a n d f o l i a t i o nc + a l g e b r a s , a n n o f m a t h 1 2 0 ( 1 9 8 9 ) ，3 5 1 - 3 6 5 9 】u v e n u g o p a l k r i s h n a ，f r e d h o l mo p e r a t o r s a s s o c i a t e dw i t hs t r o n g l y p s e u d o c o n v e x d o m a i n s , j ，f u n c t a n a l 9 ( 1 9 7 2 ) ，3 4 9 3 7 3 1 0 】1 r a e b u m ，o nt o e p l i t zo p e r a t o r s0 ns t r o n g l yp s e u d o c o n v e xd o m a i n s ，s t u d i a m a t h 6 3 ( 1 9 7 9 ) ，2 5 3 2 5 8 1 1 n e j e w e l l ，f r e d h o l m t o e p l i t z o p e r a t o r s o n s t r o n g l y p s e u d o c o n v e x d o m a i n s ，s t u d i am a t h t l x v i i ( 1 9 8 0 ) ，2 5 - 3 4 1 2 j j a n a s ，t o e p l i t zo p e r a t o r s r e l a t e dt oc e r t a i nd o m a i n si n c ”，s t u d i a m a t h t l i v ( 1 9 7 5 ) ，7 3 - 7 9 【1 3 hs a t oa n dk y a b u t a ，t o e p l i t zo p e r a t o r so ns t r o n g l yp s e u d o c o n v e xd o m a i n si n s t e i n 印口c p st o h o k um a t h j 3 0 ( 1 9 7 8 ) ，1 5 3 1 6 2 1 4 】ky a b u t a ，ar e m a r kt oap a p e ro f j a n a s ”t o e p l i t zo p e r a t o r sr e l a t e dt oc e r t a i n d o m a i n si nc ：s t u d i am a t h t l x i i ( 1 9 7 8 ) ，7 3 -