（基础数学专业论文）关于可数紧空间推广的研究.pdf

摘要 摘要 在本文中我们给出了相对几乎可数紧子集、相对弱几乎可数紧子 集、c 可数紧空间以及弱c 一可数紧空间的定义，并且研究了它们之间 的关系及其拓扑性质。 在第二章中，我们主要研究了相对几乎可数紧子集的拓扑性质。 在第三章中，我们研究了相对几乎可数紧子集和相对弱几乎可数紧 子集的关系以及相对弱几乎可数紧子集的拓扑性质。 在第四章中，我们研究了c 一可数紧空间和弱c 可数紧空间的关系以 及c 可数紧空间的拓扑性质。 关键词：可数紧；几乎可数紧；相对几乎可数紧子集；相对弱几乎可数 紧子集；c 一可数紧；弱c 一可数紧 u 1 a b s t r a c t a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n so fr e l a t i v e l ya l m o s tc o u n t - a b l yc o m p a c ts u b s e t s ，r e l a t i v e l yw e e k l ya l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c t s u b s e t s ，c c o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e sa n dw e e k l yc c o u n t a b l yc o m - p a c ts p a c e sa n dw ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pa m o n g t h e s es p a c e sa n d t h e i rt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s i nc h a p t e rt h r e e ，w em a i n l ys t u d yv a r i o u sp r o p e r t i e so fr e l a t i v e l y a l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ts u b s e t s i nc h a p t e rf o u r ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr e l a t i v e l y a l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ts u b s e t sa n dr e l a t i v e l yw e e k l ya l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ts u b s e t s ，a n ds t u d y v a r i o u sp r o p e r t i e so fr e l a t i v e l yw e e k l y a l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ts u b s e t s i nc h a p t e rf i v e ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc c o u n t a b l y c o m p a c ts p a c e sa n dw e e k l yc c o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s ，a n da l s o s t u d yt h ep r o p e r t i e so fc c o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s k e y w o r d s ：c o u n t a b l yc o m p a c t ；a l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c t ；r e l a t i v e l ya l m o s tc o u n t a b l yc o m p a c ts u b s e t s ；r e l a t i v e l yw e a k l ya l m o s t c o u n t a b l yc o m p a c ts u b s e t s ；c c o u n t a b l yc o m p a c t ；w e a k l yc c o u n t a b l y c o m p a c t 1 1 简介 第一章前言 拓扑空间的覆盖性质是一般拓扑学的主要研究课题。可数紧空间是覆盖性质 研究的一个重要方面，称空间x 是可数紧的，如果x 的任意可数开覆盖存在有限 子覆盖。作为可数紧空间的推广，b o n a n z i n g a ，m a t v e e v 和p a r e e k 在【l 】中提出了几 乎可数紧的概念，称空间x 是几乎可数紧的，如果对于x 的任意可数开覆盖历， 存在甜的有限子族v 使得x = u v ：v y 。我们考虑把这个概念引入到拓扑 空间的子集中去，给出了相对几乎可数紧与相对弱几乎可数紧子集的定义，称 空间x 的子集y 在空间x 中是几乎可数紧的( y 是x 的相对几乎可数紧子集) ， 如果对于y 的任意由x 中的开子集构成的可数开覆盖甜，存在酣的有限子族y 使 得yc 研：称空间x 的子集y 在空间x 中是弱几乎可数紧的( y 是x 的相对弱 几乎可数紧子集) ，如果对于x 的任意可数开覆盖“，存在甜的有限子族y 使 得yc 研，并且研究了它们的主要性质以及两者之间的关系。 在1 9 6 9 年v i g l i n o 在【1 0 】中提出了c 紧的概念，称空间x 是c 紧的，如果对于空 间x 中的任意闭子集f 以及f 的任意由x 中的开子集构成的开覆盖甜，存在翻的一 个有限子族v 使得f 冬u ( v ：v v ，并且围绕着它做了很多研究。作为c 紧和 可数紧的推广，我们给出了关于c 可数紧和弱c 可数紧的概念，称空间x 是c 一可 数紧的，如果对于空间x 中的任意闭子集f 以及f 的任意由x 中的开子集构成 的可数开覆盖“，存在纠的一个有限子族v 使得f u ( v ：v v ：称空间x 是 弱c 一可数紧的，如果对于空间x 中的任意闭子集f 以及x 的任意可数开覆盖“， 存在“的一个有限子族y 使得f u v ：v v 】，并且研究了c 可数紧的性质以 及与空间之间的关系。 1 2 基础知识 我们在此节介绍一些在本文中都将会使用到的基本定义总是假设我们在文中 所讨论的空间为拓扑空间 定义1 2 1 空间x 称为可数紧的，如果x 的任意可数开覆盖存在有限子覆盖 1 第一章前言 定义1 2 2 1 】空间x 称为几乎可数紧的，如果对于x 的任意可数开覆盖“，存 在“的有限子族y 使得x = u v ：v y ) 定义1 2 3 空间x 的子集】，称为在空间x 中是几乎可数紧的( y 是x 的相对几乎 可数紧子集) ，如果对于y 的任意由x 中的开子集构成的可数开覆盖“，存在“的 有限子族y 使得ygu p 引理1 2 1 【5 】若空间x 有一个稠密的可数紧子集，则x 是几乎可数紧的 定义1 2 4 空间x 的子集y 称为在空间x 中是弱几乎可数紧的( y 是x 的相对 弱几乎可数紧子集) ，如果对于x 的任意可数开覆盖“，存在纠的有限子族v 使 得y 研 定义1 2 5 空间x 称为c 一紧的，如果对于空间x 中的任意闭子集f 以及f 的任意 由x 中的开子集构成的开覆盖“，存在纠的一个有限子族y 使得f u ( v ：v v ) 定义1 2 6空间x 称为弱c 一可数紧的，如果对于空间x 中的任意闭子集j f l 以 及x 中的任意可数开覆盖纠，存在甜的一个有限子族v 使得f u 矿：v v 在本文中，若acbcx ，则用斧和i n t b a 分别表示a 在b 中的闭包和 内部我们把集合a 的基数记作i a i 对于空间x 和它的子空间y ，把y 在x 中 的e x t e n t ( 记为e ( kx ) ) ，表示为最小的基数k 使得y 在x 中闭的离散子空间的基数 不大于k 用c 表示实数集的基数，用u 表示第一个无穷序数，用u 1 表示第一个不 可数的序数当序数和基数被视作空间的时都赋予了序拓扑 1 3 本文主要结论 本文主要结论及文章的结构安排如下 在第二章中，主要研究了相对几乎可数紧的拓扑性质这部分的主要结论包括： 定理2 1 2 若y 在空间x 中是几乎可数紧的并且y 是x 的稠密子集，则x 是几乎 可数紧的 2 第一章前言 定理2 1 3 若a b x ，b 是空间x 的前开子集并且a 在x 中是几乎可数紧 的，则a 在b 中是几乎可数紧的 定理2 2 1 设，：x _ y 是从空间x n 空间y 的连续映射若a 在x 中是几乎可 数紧的，贝j j f ( a ) 在y 中是几乎可数紧的 定理2 3 3 若a 在x 中是几乎可数紧的并且空间y 是紧的，则axy 在x y 中 是几乎可数紧的 在第三章中，主要研究了相对弱几乎可数紧子集和相对几乎可数紧子集的关系 以及它的拓扑性质主要结论包括： 定理3 2 1 存在t y c h o n o f f 空间x ，a 和b 是x 的子集使得acb 并且a 在x 中 是弱几乎可数紧的，但是4 在b 中不是弱几乎可数紧的 定理3 2 2 设厂：x _ y 是从空间x n 空间y 的连续映射若a 在x 中是弱几乎 可数紧的，贝j j f ( a ) 在y 中是弱几乎可数紧的 定理3 2 3 设，：x _ y 是从空间x 到空间y 的几乎开的完备连续映射 若a 在y 中是弱几乎可数紧的，则，_ 1 ( a ) 在x 中是弱几乎可数紧的 第四章中，我们研究了c 一可数紧空间的拓扑性质，以及它与弱c 一可数紧和可 数紧之间的关系主要结论包括： 定理4 1 1 若x 是弱c 可数紧的正规空间，则x 是c 可数紧的 定理4 1 2 设x 是c 一可数紧空间若x 是正则的l i n d e l s f 牢_ 间，则x 的任意闭子 集都是可数紧的 定理4 2 1 若a 是c 可数紧空间x 的既开又闭子集，则a 是c 可数紧的 定理4 2 3 设，：x _ y 是从c 可数紧空间x 到空间y 上的连续映射，则y 是c 可数紧的 定理4 2 4 若空间x 是c 可数紧的，则任意一个从x n 具有l i n d e l s f 性质的h a u s d o r f f 空 间的连续映射都是闭的 3 第二章相对几乎可数紧子集 在本章中，我们将研究相对几乎可数紧子集的性质，以及它与相对弱几乎可数 紧子集之间的关系 2 1 相对几乎可数紧子集 下面我们主要研究相对几乎可数紧子集的一些性质首先，我们研究一下相对 几乎可数紧子集与几乎可数紧空间之间的关系 例2 1 1存在几乎可数紧的t y c h n o f f 空间x 和x 的闭子集y 使得y 在x 中不是 几乎可数紧的 证明：设 x = ( ( w l + 1 ) x ( u + 1 ) ) 【( u 1 ，u ) ) 是t y c h o n o f f 阪并且 y = 【( u 1 ，n ) ：n u ) 则y 是x 的闭子集并且由引理1 2 1 可知x 是几乎可数紧的，因为u 1x + 1 ) 是x 的 可数紧稠子集 下面证明y 在x 中不是几乎可数紧的记 巩= ( 0 j 1 + 1 ) x n ) ，v 礼u 则 甜= ：死u ) 是y 的一个由x 中的开子集构成的可数开覆盖从纠的定义，可知：对于甜的任意有 限子族y ，而= t a r 取 n o = m a x n ：v ) 若我们取佗 n o ，则p l ，佗) 岩叨因为，gv 并且，是“中惟一包含 点1 ，佗7 ) 的元素，所以y 在x 中不是几乎可数紧的 口 4 第二章相对几乎可数紧子集 例2 1 2存在几乎可数紧的t y c h n o f f 空间x 和它的开子集y 使得y 在x 中不是 几乎可数紧的 证明：设x = u + 1 我们定义x 的拓扑如下：vn w ， n ) 是x 中的孤立点并 且x 中包含点u 的集合u 是开的当且仅当x v 是有限的则x 是紧的，进而是几乎 可数紧的取y = 0 j 则y 在x 中是开的不难证明y 在x 中不是几乎可数紧的口 由上面两个例子，我们可以得下面两个结论 定理2 1 1若空间x 是几乎可数紧的并且y 是x 的既开又闭子集，则y 在x 中是 几乎可数紧的 证明：设y 是空间x 的既开又闭子集并且“是y 的由x 中开子集构成的可数开覆盖， 则“u x y ) 是空间x 的可数开覆盖由于x 是几乎可数紧的，则存在甜的有限子 族v 使得y ( 丽) u 研又因为yn 研= yn ( x y ) = o ，所以y 丽口 定理2 1 2若y 在空间x 中是几乎可数紧的并且y 是x 的稠密子集，则x 是几乎 可数紧的 证明：设甜是空间x 的可数开覆盖，则“是y 的由x 中的开子集构成的可数开覆盖 由于y 在x 中是几乎可数紧的，则存在甜的有限子族y 使得y 研又因为y 在空 间x 中是稠密的，所以x = y 研 口 由相对几乎可数紧子集的定义，不难证明若a b 冬x 并且以在口中是几乎可 数紧的，n a 在x 中是几乎可数紧的在在文献【3 】中定义空间x 的一个子集b 是前 开的，如果b i n t - b 所以，对于上面结论的反面我们有下面的结论 定理2 1 3若a j e i x ，b 是空间x 的前开子集并且a 在x 中是几乎可数紧 的，则4 在j e 7 中是几乎可数紧的 证明：设a 在x 中是几乎可数紧的，我们来证明a 在b 中是几乎可数紧的设 ： n u ，是a 的由b 中的开子集构成的可数开覆盖，则对每一个死叫，存在x 中 的开子集k 使得= knb 于是，_ ：扎) 是a 的由x 中的开子集构成 的可数开覆盖由于b 是空间x 的前开集并且a b ，则 【kni n t - b ：佗u ) 也 是a 的由x 中的开子集构成的可数开覆盖因为a 在x 中是几乎可数紧的，所以存 在 ni n t - b ：扎) 的有限子族 ni n t - b ：i = 1 ，2 ，m ) 使得 a u i s m k ni n t b u f m k inb = u i m inb = u l 价巩 5 第二章相对几乎可数紧子集 因此， a bn ( u i m 移：) = u i _ m ) ， 其中m u 并且点a 的基本邻域的形式为 玩( f ) = o ) u ( o n ，b m ) ：a n a 只仇u ) ， 其中f 是a 的有限子集 由空间x 的拓扑的定义可知x 7 是h a u s d o r f f 的但是，点a 和闭子集a 不能 被x 7 中的开子集分离，故义不是正则的由于l x i = “，则x 是l i n d e l s f 的又因 为a 是x7 的离散闭子集并r i a i = u ，所以x 不是紧的 记 x = x u o 。) ， j ：。 其中gx 7 我们定义x 的拓扑如下：x 7 的拓扑与上面定义的相同并且在x 中是 既开又闭的：在x 中是孤立的设d = x 则d 是x 的l i n d e l 5 仔集但是由x 的 拓扑的定义可知d 不是紧的 下面我们证明d 在x 中是几乎可数紧的设是d 的由x 中开子集构成的可数 开覆盖则存在玩“使得a 玩进而存在a 的有限子集f 使得( f ) c 以因 此 凸) u ( a f ) u ( ，b m ) ：a n a f ，m u 既； 另一方面，va n e o n ) u ( o n ，b m ) ：m u ) 是x 的紧子集，则存在甜的有限子 族比使得 【a n ) u ( ，6 m ) ：m “，) cu ( v ：v 屹。) 如果我们取 v = 玩) u ( u 屹。：a n f ) ) ， 则v 是所的有限子族使得 dc u ( v ：v y 口 7 第二章相对几乎可数紧子集 2 2相对几乎可数紧子集的映射性质 定理2 2 1设f ：x _ y 是从空间x 到空间y 的连续映射若a 在x 中是几乎可 数紧的，则厂( a ) 在y 中是几乎可数紧的 证明：设a 在x 中是几乎可数紧的，并且映射f ：x y 是连续的记甜= 巩： n u ) 是厂( a ) 的由y 中开子集构成的开覆盖则y = ，_ 1 ( ) ：礼u ) 是a 的 由x 中的开子集构成的开覆盖由于a 在x 中是几乎可数紧的，则存在有限子 集 m ：i = 1 ，2 ，m 】使得 a o f 一1 ( 。) ：i = 1 ，2 ，仇) ， 进而 f ( a ) ，( u i m f 1 ( 。) ) = u i 一 m f ( f - 1 ( 巩；) ) u i 一 m f ( f - 1 ( 。) ) = u i m 。 所以，( a ) 在y 中是几乎可数紧的 口 在 8 】中，从空间x 到空间y 的映射，称为是几乎开的，如果对每一个y 中的开 子集有广，( - u ) 于可两 定理2 2 2设f ：x _ y 是从空间x 到空间y 的既几乎开又闭的连续映射， a 在y 中是几乎可数紧的并且对于每一个y a ，一1 ( y ) 是紧的，则，一1 ( a ) 在x 中是 几乎可教紧的 证明：设甜是f - 1 ( a ) 的由x 中的开子集构成的可数开覆盖并且 v = 【y ：v = u y ， 其中厂是甜的有限子族 由于甜是可数的，则v 也是可数的因此，我们可以把v 表示为f ：凡 u ) v n u ，记眠= y f ( x k ) 由于厂是闭映射，则取是y 中的开集 设w = ：佗u ) ，则w 是a 的由y 中的开子集构成的可数开覆盖事实 上，对于每个y a ，由于广1 ( 可) 是紧的，则存在k v 使得厂1 ( 可) gk ，进 而眠= y f ( x ) 是y 的开邻域因为4 在y 中是几乎可数紧的，所以存在w 的 有限子族 ：i = 1 ，2 ，m ) 使得 8 第二章相对几乎可数紧子集 又因为，是几乎开的并且v 中的每个元素都是“的有限子族的并，所以 厂1 ( a ) = 厂1 ( u m 瓦) = u i _ m 厂1 ( 吒) c 虬 m 7 = 而j cl k m 瓦 因为对于每一个死k ，k 是“的有限子集的并，从而，- 1 ) 在x 中是几乎可数紧 的一 口 称连续映射f ：x y 是完备的，如果空间x 是h a u s d o r f f 的，是闭的并且每 个厂1 ( 可) 都是x 的紧子集则我们有下面的推论 推论2 2 1设，：x y 是从空间x 到空间y 的几乎开的完备映射若a 在y 中 是几乎可数紧的，则，一1 ) 在x 中是几乎可数紧的 2 3 相对几乎可数紧子集的积 引理2 3 1 【2 】空间x 是紧的当且仅当对于任意空间y ，投射p i y ：x y _ y 是 闭的 定理2 3 1若a 在x 中是几乎可数紧的并且空间y 是紧的，则a y 在x y 中 是几乎可数紧的 证明：因为y 是紧的，所以va a ，i x ) _ 1a ) = 如，y 是紧的，并且从引理2 3 2 - - 7 知：投枷| x ：xxy _ x 是闭的由于p l x 是开的，故它也是几乎开的又因为a 在x 中是几乎可数紧的，所以由定理2 2 2 可知：i x ) - 1 ( a ) = a ) y 在x y 中 是几乎可数紧的 口 例2 3 1存在两个t y c h o n o f f 空间x 和y 并且a 和b 分别是x 和y 中的几乎可数 紧子集使得a b 在x y 中不是几乎可数紧的 证明：设u 具有离散拓扑我们定义x 7 = u 口 n o ，则和1 ，n ) g 研因为，窖y 并且，是所中惟一包含 点1 ，n ) 的元素，所以y 在x 中不是几乎可数紧的 口 从上面例子的构造中，容易知道y 是空间x 的闭子集在下面我们将给出一个 例子来说明当y 是空间x 的开子集时也是不成立的 例3 1 3 存在几乎可数紧的t y c h o n o f f 空间x 和x 的开子集y 使得y 在x 中是弱 几乎可数紧的，但是y 在x 中不是几乎可数紧的 证明设x = u + 1 是和例2 1 2 中x 相同的空间则x 是紧的，进而是几乎可数紧 的取y = u 则y 在空间x 中是开的因为几乎可数紧空间的每一个子空间都是 弱几乎可数紧的，所以y 在空间x 中是弱几乎可数紧的同样采用例3 1 2 中的方 法，我们可以容易证明y 在空间x 中不是几乎可数紧的 口 由上面两个例子我们可以得到下面一个结论 1 2 第三章相对弱几乎可数紧子集 定理3 1 2若y 在空间x 中是既开又闭的，则y 在空间x 中是几乎可数紧当且 仅当y 在空间x 中是弱几乎可数紧的 证明设y 在空间x 中是既开又闭的显然，若】厂在空间x 中是几乎可数紧，则y 在 空间x 中是弱几乎可数紧的 下面我们来说明若y 在空间x 中是弱几乎可数紧的，则y 在空间x 中是几乎可 数紧的设“是y 的由空间x 中的开子集构成的可数开覆盖则“u x y 是空 间x 的可数开覆盖由于y 在空间x 中是弱几乎可数紧的，则存在甜的有限子族v 使 得yc瓦万虿西t丽：研u研：u(xc yxyu vx y ) 又由于yn 研y = 仍，得y( u v ) u ( x = u vu = u (y ) 又由于ynx = 仍， 则y o - g ，所以y 在空间x 中是几乎可数紧的 口 另外，如果y 在空间x 中是可数紧的，那么y 在空间x 中是弱几乎可数紧的但 是，反过来结论不成立我们称空间x 的子集f 是正则闭的，如果f = i n 厅 例3 1 4 存在几乎可数紧的t y c h o n o 行空间x 和x 的正则闭子集y 使得y 在x 中 是弱几乎可数紧的，但是y 在x 中不是可数紧的 证明设 研= ( d ( “，1 + 1 ) ) ( ( d d ) u 1 ) ) 是和例3 1 2 中的x 相同的空间，则是几乎可数紧的设 咒= ( ( 叫l + 1 ) ( + 1 ) ) ( u l ，叫) ) 是和例2 1 1 中的x 相同的空间，则岛是几乎可数紧的 我们假设研n 岛= d 由于l d i = u ，我们可以把d 表示为 如：扎u ) 设一一 映射妒：dx u 1 ) 一 u 1 ) u 为 妒( ( d n ，u 1 ) ) = ( ( u l ，佗) ) ，vn u 设x 是由离散和研0 岛得到的商空间，其中对每一个n u 把点( 厶，u 1 ) 和 点( u 1 ，n ) 粘在一起设n ：& o 岛一x 为商映射取y = 7 r ( s 1 ) 则y 是空 间x 的正则闭子集由于7 r ( ( u 1 + 1 ) ) u ( 胭xu 1 ) ) 是空间x 的可数紧的稠子 集，则由引理1 2 1 可知y 在x 中是弱几乎可数紧的 下面，我们来证明y 在空间x 中不是可数紧的设 = 7 r ( ( d n ( o j l + 1 ) ) u ( o j l 【死 ) ) ，vn u 1 3 第三章相对弱几乎可数紧子集 则 “= 【：n u u 7 r dxu 1 ) ) u ( 7 r ( u 1 + 1 ) ) 是y 的由x 中的开子集构成的可数开覆盖对于甜的任意有限子族y ，记 n o = m a x n ：y ) 由于v 是有限的，贝l j n o u 如果我们取n n o ，则7 r ( ( 礼，u 1 ) ) gu y 因为，g v c f r u n ，是朋中惟一包含点7 r ( ( 扎，u 1 ) ) gu y 的元素，所以y 在x 中不是可数紧的 口 a r h a n g e l s k i i 【1 0 】中证明了若y 在x 中是可数紧的，则e ( x ) 在x 中是有限的 接下来，我们将举例说明如果y 在x 中是弱几乎可数紧的，但是e ( x ) 可以任意 大 例3 1 5 对任意无限基数尤，存在t y c h o n o f f 空间x 和x 的子空间y 使得y 在x 中 是弱几乎可数紧的并且e ( x ) k 证明对任意无限基数k ，设d 是基数为仡的离散空间并且设 x = 够d ( o j l + 1 ) ) ( 0 3 d d ) u 1 ) ) 是卢d 和u 1 + 1 的直积的子空间我们取y = d 如1 ) 由于y 是空间x 的离散闭子 空间，则e ( x ) 托因为p d u 1 是x 的稠密的可数紧子集，所以由引理1 2 1 可 知x 是几乎可数紧的则y 在x 中是弱几乎可数紧的 口 3 2相对弱几乎可数紧子集的映射性质 定理3 2 1设，：x _ y 是从空间x 到空间y 的连续映射若a 在x 中是弱几乎 可数紧的，则厂( a ) 在y 中是弱几乎可数紧的 证明：设甜= 巩：礼u ) 是y 的可数开覆盖则 ，- 1 ( ) ：他u ) 是x 的可数开 覆盖由于a 在x 中是弱几乎可数紧的，则存在有限子集 m ：i = 1 ，2 ，m ) 使得 a u f 一1 ( 。) ：i m ) ， 因为 一u f j 丽丁丽= 7 = 面厕f - 1 ( 呸；蕊) ， 1 4 第三章相对弱几乎可数紧子集 则 ，( a ) sf ( f q ( d 丽) ) u i n o ，则( u 1 ，n i ) ，1 ) go - p 因为，gy 并且，是“中惟一包含 点( l ，礼) ，1 ) 的元素，所以，一1 ( a ) 在x 中不是几乎可数紧的d 定理3 2 2设，：x _ y 是从空间x 到空间y 的几乎开的完备连续映射 若a 在y 中是弱几乎可数紧的，则，一1 ( a ) 在x 中是弱几乎可数紧的 1 5 第三章相对弱几乎可数紧子集 证明：设甜是空间x 的可数开覆盖并且设 v = y ：v = u 厂) ， 其中厂是所的有限子族 由于纠是可数的，则y 也是可数的因此，我们可以把y 表示为 k ：n u ) v n u ，记= y f ( x k ) 由于l 厂是闭映射，则是y 中的开集设w = 1 ：扎u ) ，则w 是y 的可数开覆盖事实上，对于每个y y ，由于，- 1 ( y ) 是 紧的，则存在k y 使得厂1 ( 可) ck ，进而眠= y f ( x k ) 是y 的开邻域因 为a 在y 中是弱几乎可数紧的，所以存在w 的有限子族 。：i = 1 ，2 ，m 使得 a t m 么 又因为厂是几乎开的并且v e e 的每个元素都是甜的有限子族的并，所以 ，一1 ( a ) = ，一1 ( u s m 瓦i ) = u f 伽，则和1 ，n ) gb - - p 因为，gy 并 且，黝中唯一包含点0 l ，n ) 的元素，故x 不是c 一可数紧的 口 通过上面的命题和例子，我们给出了c 可数紧与弱c 可数紧之间的关系接下 来，我们将研究c 可数紧与可数紧之间的关系 定理4 1 2设x 是c 一可数紧空间若x 是正则的l i n d e l s f 空间，则x 的任意闭子 集都是可数紧的 证明：设f 是x 的任意闭子集，又设纠= ：n u 是f 的一个由x 中的开子集 构成的开覆盖任取z f ，则存在以酣使得z 玩因为x 是正则的，所以存 在z 的开邻域圪使得z k w 取v = k ：z f ) 则y 是f 的一个开覆 盖因为x 是l i n d e l s f 的，所以v 存在可数子覆盖 k 。：n u 又因为x 是c 可数 紧的，所以 k 。：n u 】存在有限子族 k 。：j = 1 ，2 ，m ) 使得f u j m 圪。， 显然， 玩。：j = 1 ，2 ，m ) 是甜的有限子族，并且f 屿仇巩t i _ f 因此，f 是可数 紧的 口 推论4 1 2设x 是c 可数紧空间若x 是正则的l i n d e l s f 空间，则x 是可数紧的， 进而是紧的 在上面的命题和推论中x 是正则的条件是必要的 例4 1 2存在7 1 的c 可数紧的l i n d e l c ；f 空间x ，而x 不是可数紧的 证明：设x = u 1ua ，其中a = a n ：n u ) 是基数为u 的集合我们规定：u 1 具有 通常的序拓扑并且是x 的开子空间；任取点n n a ，定义它的基本邻域为 g _ ( ) = a n u ( p ，u 1 ) ，p 0 3 1 则x 是五的事实上，对于任意点z u 1 和点y a ，u 1 是z 的不包含秒的开邻域并 且d 口a n ) = a n ) u ( p ，“，1 ) 是y 的不包含z 的开邻域，其中z p 0 2 1 由于叫1 是可 2 1厶工 第四章c 一可数紧空间 数紧的且i a i = u ，则x 是l i n d e l s f 的又因为a 是x 的离散闭子集，所以x 不是可 数紧的 下面，我们证明x 是c 可数紧的设f 是x 的任意闭子集并且“是f 的任意 由x 中的开子集构成的开覆盖不妨设毋= f n u l 且毋= f n a 如果f 2 = 0 ，那么f 1 是u 。中的闭子集，于是只是可数紧的，故存在甜的有限子 族v 使得目u y 如果足0 ，存在n “，使得a n r ，于是存在u 甜使得a n u ，故存 在p u 。使得o n o 卢( o n ) 冬u 由x 的拓扑的定义有易瓦而了移令爿= f n 【0 ，p + 1 】，则爿是紧的，存在“的有限子族v 使得爿u v 取甜的有限子 族vu _ v ) ，则f u w ：v 1 3 ) u 可故x 是c 可数紧的口 但是，作者不知道是否存在死的c 可数紧的l i n d e l 5 腔间x ，而x 不是可数紧 的 4 2 c 可数紧空间的性质 在本节中我们将讨论c 可数紧空间的相关性质首先，我们给出c 一可数紧空间 的一个等价条件。 命题4 2 1 空间x 是c 可数紧的当且仅当对于x 的任意闭子集a 以及x 中满 足( n n e w r ) na = d 的闭子集族 r ：n u 】，存在 r ：礼u ) 有限子族 r ；：i = 1 ，2 ，m 使得( n i 。)= o _ m i n t f na 证明：如果x 是c 可数紧的设a 是x 的任意闭子集并且 r ：n u 是x 中 满足( n n 印r ) na = d 的闭子集族，则【x r ：扎u ) 是a 的r h x 中的开子 集构成的开子集族因为x 是c 可数紧的，所以存在 x 最：n u ) 的有限子 族 x r ；：i = 1 ，2 ，m ) 使得acu 5 m x r ；因此，a n ( x u s m x r ；) = ( n i m i n t f , k ) na = d 反过来，设a 是义的任意闭子集并且 ：礼u ) 是a 的由x 中开子集构成的开 覆盖贝j j an ( x u n c w ) = a n ( n n 印) ) = 0 ，从而存在 x ：佗u ) 的 有限子族 x ：n = 1 ，2 ，m ) 使得( n 仇( x i n t u 。) ) na = o ，因而a x ( n i m ( x i n t u , t ；) )