（生物医学工程专业论文）基于多光程长的高散射体物质光学参数的测量及其应用.pdf

a b s t r a c t t h er e s e a r c ho ft h eh i 曲s c a t t e r i n gm a t t e r sw h i c hh a v et h eh i g h e rs c a t t e r i n g c o e f f i c i e n tq u a n t i t a t i v ea n a l y s i sc o n s i s t so ft h em e a s u r e m e n to ft h eo p t i c a lp a r a m e t e r s a n dm e a s u r e m e n to ft h ec o m p o n e n tv i am eo p t i c a lp a r a m e t e r s t h eo p t i c a lp a r a m e t e r s o ft h em a t t e r si st h eb a s i ca t t r i b u t e s ，f o ri n s t a n c e ，t h es c a t t e r i n gc o e f f i c i e n t ，a b s o r p t i o n c o e f f i c i e n t , a n i s o l r o p i cf a c t o ra n ds oo n t h eo p t i c a lp a r a m e t e r sa r ei m p o r t a n tb a s i so f t h e a n a l y s i s o ft h em a t e r sc o m p o n e n t s ，e s p e c i a l l y , t h e o p t i c a lp a r a m e t e r s m e a r s u r e m e n to ft h eb i o l o g i c a lt i s s u ew h i c hi st h ek e yb a s i so ft h eb i o - p h o t o n i c si n t h em e d i c a ld i a g n o s t i c sa n dt r e a t m e n tf i e l d s t h eo p t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h ee a c h c o n t e n to ft h em a t t e r sa r ed i f f e r e n t ，w h i c hi st h eb a s i so ft h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i so f t h es p e c t r a t ot h el a t t e r , t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s e sd i s t i n g u i s ht h es a m em a t t e r sa n d m e a s u r ec o n t e n t sv i at h ei n f o r m a t i o no ft h es p e c t r a t h eh i g hs c a t t e r i n gm a t t e r s o p t i c a la t t r i b u t e sw a sr e s e a r c h e di n t h et w oa s p e c t so ft h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s c o m b i n e dw i t ht h em u l t i - o p t i c a lp a t hm e t h o d t h em a j o rw o r k so ft h i ss u b j e c th a s b e e nc o m p l e t e da sf o l l o w s ： 1 ) i no r d e rt oi m p r o v et h es i m u l a t i o ns p e e do ft h em o n t ec a r l os i m u l a t i o n , t h e m o n t ec a r l os i m u l a t i o nw h i c hw a sp u tf o r w a r db yw a n gw a si m p r o v e d t h et w o d i f f e r e n ts i m u l a t i o nm e t h o d sw e r ee m p l o y e dt oi m p r o v et h eg e n e r a l l yr e c e i v i n g m e t h o da n dt h ef i b e r嗍a s o rr e c e i v i n gm e t h o d t h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o na n d a p p r o x i m a t ep r o c e s s i n gw e r ee m p l o y e d ；t h e r e f o r et h es i m u l a t i o ns p e e di si m p r o v e d g r e a t l y 2 ) t h em u l t i - o p t i c a lp a t he x p e r i m e n t a lp l a t f o r mw a sd e s i g n , w h i c hc o u l d i m p l e m e n tt h em e a s u r e m e n to ft h ed i f f e r e n to p t i c a lp a t h , t ot h er e s e a r c ho f t h eo p t i c a l p a r a m e t e r so ft h eh i g hs c a t t e r i n gm a t t e r s t h ea b s o r p t i o nc o e f f i c i e n ta n ds c a t t e r i n g c o e 伍c i e n tc o u l db eo b t a i n e dv i aa n a l y s i so ft h eo n ew a v e l e n g t ha n dt h em o n t ec a r l o s i m u l a t i o nw a se m p l o y e dt ov e e r yt h er e s u l t s 3 ) t h ep l sm e t h o dw a se m p l o y e dt om e a s u r e m e n tt h ec o n c e n t r a t i o no ft h eh i g h s c a t t e r i n gm a t t e r s ，t h es a m p l ew a st h em i x e ds o l u t i o no fi n t r a l i p i da n d i n d i ai n kw h i c h w a sd i f f e r e n tc o n c e n t r a t i o na n d21k i n d st o t a l l y c o m p a r e dw i t ht h ef i xo p t i c a lp a t h m e t h o d ，t h em e a s u r e m e n tp r e c i s i o no ft h em u l t i o p t i c a lp a t hm e t h o dw a sb e t t e r , e s p e c i a l l y , t h ep r e c i s i o no ft h ei n ko fm u l t i o p t i c a lp a t hm e t h o dw a si m p r o v e do n e m a g n i t u d e t h a nt h ef i xo p t i c a lp a t hm e t h o d 4 1t h em e a s u r e m e n to fm eb l o o dc o m p o n e n t si st h er e s e a r c hf o c u so ft h e b i o m c d i c a lf i e l d t h er e s e a r c h e sa r ef o c u so ns e r u m ，p l a s m aa n ds i m u l a t i o ns a m p l ea t p r e s e n t ，h o w e v e r , t h ew h o l eb l o o di sr a r e t h es p e c t r am e a s u r e m e n to ft h eb l o o d c o m p o n e n t si nv i a n i rf i e l di s i n s t e a do ft h eb l o o dc o r p u s c l er e c o r d e ra n d b i o c h e m i c a la n a l y z e rw h i c ha r eg e n e r a l l ye m p l o y e d t h i sm e t h o dc a ni m p l e m e n t s i m p l e ，l o wc o s t , f a s tm e a s u r e m e n to ft h eb l o o dc o m p o n e n t sa n dp r o v i d ee v i d e n c ef o r t h en o n i n v a s i v em e a s u r e m e n to fb l o o d c o m p o s i t i o n sb a s e do nd y n a m i cs p e c t r o s c o p y k e yw o r d s ：m u l t i o p t i c a lp a t hm e a s u r e m e n t ，h i g hs c a t t e i n gm a t t e r s ， o p t i c a lp a r a m e t e r s ，m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，p l sm e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 力日 学位论文作者签名： 损撕期：加7 年7 月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 豁字e 溉砷7 f 臼 导师签名： 签：芋匿触：毛秽够曰户z 劣沥q 月礴阳 南罗 l j：芒- 【 天津大学硕十学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 光学参数测量的主要研究内容 随着近红外技术的发展，近红外光谱分析技术所涉及的领域越来越广。物质 的光学参数是物质的根本属性之一，比如物质的散射系数，吸收系数，各项异性 因子等，因而可以利用这些光学参数对物质进行检测。物质的光学参数测量，尤 其是生物组织的光学参数测量是生物光子学领域研究的关键基础，在医学诊断和 治疗领域中有着广泛的应用前景。 同时，物质在近红外区域有丰富的透射光谱，每种成分都有特定的光学特征， 对同种成分不同浓度的物质也同样适用，这就为近红外光谱物质浓度分析提供了 基础。物质浓度是物质性质的重要度量标准，因而，可以通过物质浓度测量来区 分同种物质的不同浓度。近红外技术通过对某种浓度下近红外区域光谱的测量来 实现光学特性的测定，并应用近红外光谱建立其与浓度的定量函数关系。 物质的定量分析主要包括物质本身光学参数的测量和通过物质的光学特性 对其成分进行测量，不论哪种分析方法均离不开光学参数的测量。如何根据光在 物质中的传输理论，定量确定这些参数是传输理论建立后的一项关键性工作，在 医学诊断和治疗领域中有着很重要的意义和广泛的应用前景。目前，有关生物组 织光学性质的测量方法主要有直接测量法和间接测量法【l 】。直接测量法即是根据 基本定义，将物质置于光学系统中进行测试的测量法。间接测量法是指由测得的 表面反射光信号或透射光信号推算物质光学参数的测量法。传统的光学参数有时 并不适合于实际应用，寻找新的参数，使其能够更准确、更具特异性的体现物质 的特性，也是这方面工作的一个重点。 1 2 光学参数测量的发展 1 ) 光在组织中传输理论模型的发展 人们对光在散射介质中传输的研究最初是从天体物理、大气光学和海洋光学 开始的【2 1 。高散射介质，表现为随机粒子对光的散射和吸收。历史上曾经提出两 种不同的理论来讨论多次散射问题，第一种是从诸如m a x w e l l 方程或波动方程这 天津大学硕士学位论文笫一章绪论 种基本微分方程出发【3 】的解析理论。但由于高散射介质的复杂性，它不可能得到 完全包括这些效应的精确解。t w e r s k y 理论、图解法以及d y s o nb c t h e s a l p e t c r 方 程都属于这种解析理论【4 】。这些理论都是近似的，每一种理论只在一定的参数范 围内才适用。另一种称之为输运理论，不是从波动方程出发，而是直接讨论能量 通过包含粒子的介质时的输运问题【5 】。人们用光子传输m a x w e l l b o l t z m a n n 方程来 描述散射介质的光传播。尽管解析理论和输运理论的出发点不同，但处理的物理 现象是相同的，因此在高散射物质光学特性研究中，一般不考虑光的波动性，用 辐射传输方程( r t e - - r a d i a t i v et r a n s f e re q u a t i o n ) 来解决光在随机介质中的传播 问题。但在大部分情况下人们无法求出r t e 的精确解析解，于是又提出了各种近 似解法，q ：要包括k u b e l k a m u n k ( 简称k - m ) 方法【6 】和漫射近似方、法【7 。8 1 ，漫射近似 方法比k - m 方法更精确，是目前人们用得最多的一种近似方法。然而，在实际应 用中，应注意漫射方程仅仅是辐射传输方程的近似，只有散射介质的吸收系数远 小于约化散射系数，以及所关心位置应重离光源或边界时，才能近似描述散射介 质中的光分布。而且，在解决复杂组织几何模型的光传输问题时，漫射近似解的 精度不高。为此，人们试图寻找一种更加灵活易用的方法。若将光波在散射介质 中的传播看成光子输运问题，那么蒙特卡罗( m c m o n t ec a r l o ) 方法就可以成功地 用于研究光子在散射介质中的传播。蒙特卡罗方法是一种统计模拟随机抽样的方 法，主要用于模拟各种输运现象。自从w i l s o n 等人【9 】首次将蒙特卡罗方法引入激 光与生物组织相互作用领域以来，该方法广泛用于模拟旨在解决各种实际问题的 生物混沌介质中的光传输，并已经成为检验散射介质中各种近似解法的一种非实 验标准。一方面，人们将它用于各种具体问题；另一方面，蒙特卡罗方法本身也 有待进一步发展。l i h o n g w a n g 等人将漫射近似速度快的优势和蒙特卡罗模拟精 度高的优势有机地结合在一起，给出一种混合模型模拟了高散射介质平板中光的 漫反射的情况等等【l 川；t i n e t 等人提出一种半解析解的蒙特卡罗方法模拟了生物 混沌介质中时间分辨的光传输【l l 】；b o n n e r 等人利用离散格点模型来研究生物组织 中的光传播，假设生物组织是均匀的各向同性的简立方晶格，光子在内部进行随 机行走，也得出了有用的结果。 2 ) 光学特性参数检测技术的发展 目前，用于高散射物质研究的方法主要有两类：一种是采用传统的分光法测 量原理，即从基本的郎伯比尔定律出发，认为测得的吸光度与被测组织化学成分 浓度成线性关系，通过运用化学计量学方法，包括多元线性回归、主成分分析、 主成分回归、偏最小二乘和人工神经网络等，将所测光谱数据与采用其他标准测 量方法测得的这一化学成分浓度进行关联建立校正模型，从而利用得到的校正模 型来预测该物质化学成分浓度。该定量化方法常用于血糖检测【1 2 1 7 】。显然，这是 2 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 一种完全“黑箱”理论，得到的校准模型只有可能适用于个人、且为固定位置测 量；而即使是针对个人固定部位测量进行建模，由于实际测得的校正集光谱数据 数量通常都很有限，采用多元回归建模容易产生“过拟合”，从而建立好的校正 模型实际预测能力不可能理想，且缺乏重复性和长期预测稳定性，对与测量仪器 和接触组织相关的各种因素如探测器位置、温度、p h 值、散射等都过度敏感。 另一种是采用对郎伯比尔定律进行适当修正( 包括引入微分光路长因子d p f 和引入因光散射导致的光衰减项) 的修正郎伯比尔定律【1 8 】，通过实验方法事先测 定光在物质中传播的平均光路长，从而由吸光度变化推算出待测物质化学成分浓 度变化量的演算公式 1 9 2 5 】。虽然该定量化方法应用最为普遍，且已实现于n i r s 无创检测组织血氧的部分商业产品中，但实际上，由于该定量方法中所使用的平 均光路长并不是常数，它会随波长发生变化，且与取之的吸收和散射特性有关。 因此，采用修正郎伯比尔定律的定量化方法并不能有效消除光散射对定量待测物 质化学成分所对应的光吸收信号的影响【2 6 】。 因此，本文采用了多光程长的测量方法对高散射物质进行研究，由于多个光 程长建模相当于增加了多倍的样本数，模型的预测精度总体上得到了提高。根据 误差理论，在等精度测量的条件下采用n 个光程长建模，预测精度可以提高玎 倍。 1 3 本文的主要研究内容 所谓高散射物质即其有相对较高的散射系数。高散射物质的定量分析主要分 为两个部分。首先是物质本身光学参数的测量，物质的光学参数是物质的根本属 性之一，比如物质的散射系数，吸收系数，各项异性因子等，同时是分析物质成 份的重要依据，尤其生物组织的光学参数测量是生物光子学领域研究的关键基 础，在医学诊断和治疗领域中有着广泛的应用前景。物质的每种成分都有特定的 光学特征，为光谱定量分析提供了基础，其次是通过物质的光学参数对其成分进 行测量，通过物质光谱携带的信息来区分不同浓度的同种物质，以及测量它们的 含量。本文从定量分析的两方面结合多光程长的测量方法对高散射物质的光学特 性进行研究，本课题已经完成的主要工作包括： 1 ) 为了提高高散射物质中蒙特卡罗仿真算法的运算速度，在w a n g 等提供的 适于多层组织模型研究的m c 地算法的基础上加以改进，分别针对一般光电传感 器以及光纤传感器作为接受器件时，提出了两种不同的模型修改方法，通过增加 约束条件以及进行近似处理，大幅度提高了蒙特卡罗仿真的速度。 2 ) 自行搭建多光程长实验平台，其通过微米位移机构实现不同光程长的测 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 量，以及对高散射物质光学特性的研究，通过对单一波长的分析得出物质的吸收 系数与约化散射系数，并通过蒙特卡罗模型进行验证。 3 ) 应用偏最小二乘( p l s ) 方法，对高散射物质进行浓度测量的研究，使用 i n t r a l i p i d 溶液与i n d i ai n k 配制不同浓度共2 1 种溶液，采用单光程长与多光程长的 方法对实验样本进行测量，对单光程长与多光程长方法得到的实验数据进行对比 分析，分析结果表明多光程长方法的浓度测量精度远高于单光程长方法，尤其对 于i n d i ai n k ，多光程长浓度测量精度要比单光程长浓度测量精度高一个数量级。 4 ) 血液成分测量技术一直是近年来生物医学领域的研究热点。目前应用的 血液成分检测均是针对血清、血浆或模拟样品的，较少以全血作为光谱测量样本。 通过多光程长的方法对全血在可见一近红外区域进行光谱测量，替代了常规使用 的血球记录仪与生化分析仪等，能够实现简单、低成本、快速的血液成分检测并 且为动态光谱无创血液成分的测量提供依据。 4 天津大学硕士学位论文第二章相关理论基础 第二章相关理论基础 光与物质的相互作用主要体现光在物质中的散射和吸收两方面，物质的光学 参数测量，主要研究的正是这两方面。物质的光学参数是物质的根本属性之一， 其外在的表现可用物质的散射系数，吸收系数，各项异性因子等来描述。物质的 光学参数测量，尤其是生物组织的光学参数测量是生物光子学领域研究的关键基 础在医学诊断和治疗领域中有着广泛的应用前景。光在物质中的传输理论主要 通过漫射近似【s 】、有限差分法【2 7 】和有限元法【2 8 】、蒙特卡罗模拟进行讨论。 2 1 光与物质的相互作用 光在物质中传播时经历几种不同的相互作用：反射、折射、散射和吸收如图 2 1 所示，而吸收和散射是光在物质中传播的两种基本现象，吸收使得光强随着 光在物质中传播距离的增加而不断减弱；而物质宏观或微观的不均匀性使得光传 播方向改变，其结果是产生了散射现象。吸收和散射都具有波长依赖性，并可用 光学特性参数：吸收系数、散射系数胁折射率1 3 和相位函数p ( c o s o ) 来定量描述。 2 1 1 吸收 图2 - 1 光子在物质中的传播状态 根据量子理论，微观体系( 原子、分子等) 的内部运动一般是不连续的，它 具有一系列分立的能级。体系由一能级向其他能级的过渡称为跃迁。体系由高能 级向低能级的跃迁伴随着能量的释放；反之，由低能级向高能级的跃迁则伴随着 能量的吸收。对于光在介质中的传播，能量的释放或吸收以辐射的方式进行( 即 释放或吸收光子) 。 光的吸收可用吸收系数来表示，它表示单位路径d z 内光子因被吸收而损 天津大学硕士学位论文第二章相关理论基础 失的光能量d ( p 。的比率，即 心：华 ( 2 1 )心2 u l j 在非散射性介质中，光的吸收遵循l a m b e r t b e e r 定律其公式为 h 一”c ， 陋2 ， 也t i p i = 厶奎p 刮 ( 2 3 ) 彳= 蚓 c 2 柳 儿q ) = 占以) 木c( 2 - 5 ) 其中i 为测量得到的传输光强，而为入射到介质中的初始光强，为介质的 厚度，c 为介质的浓度，f 为摩尔吸光系数，4 称为吸光度，鳓为介质的吸收系 数，从公式( 2 2 ) ，( 2 - 4 ) ，( 2 5 ) 可知吸光度彳正比于f 、c 和，也即正比于。( ”； 从公式( 2 2 ) 可知l n ( i i o ) 为线性关系，而从公式( 2 3 ) 可知踢为指数关系即 非线性关系。 对于多种不同物质混合而成物质，则总的吸收( 系数) 为各吸光物质吸收( 系 数) 的简单线性叠加 么乩一( 柏) 吲幸d ( 2 6 ) 2 1 2 散射 散射是指由传播介质的不均匀性引起的光线向四周射去的现象，即介质的密 度，折射率在空间的杂乱分布引起的。根据光量子和被测分子是否有能量的交换 ( 能量吸收) ，可将散射分为弹性散射和非弹性散射。弹性散射是指散射光和入 射光具有相同的波长和波矢，即光量子和被测分子间没有能量的交换。散射电磁 波的频率和入射电磁波的频率不相等的这类散射为非弹性散射。散射通过散射系 数胁，各向异性因子殊衡量。当各项异性时，由于散射是无规则变化的折射， 因此散射是非线性的。 1 ) 散射系数似 散射是由于在显微水平上物质折射率不均匀造成的，光的散射可以用散射系 数胁来表示，它表示散射事件发生的频率，或者它表示单位路径d z 内光子因被 散射损失的光能量咖。的比率即 以：华 ( 2 7 ) 6 天津大学硕士学位论文第二章相关理论基础 与吸收类似，对于单次散射，也有散射引起的光衰减a 为 厂，、 a = i n l j = 心( 力) 掌d ( 2 8 ) 1 0 其中，u s ( g ) 为散射系数( 单位为1 1 1 1 1 1 。1 ) ，有p 。( ”= p 木瓯，其中p 为散射颗粒 密度，o 。为颗粒散射截面。 2 ) 各项异性因子g 当散射事件发生时，光子的轨迹会偏转个角度，是发生单次散射后光子的偏 转角，这种偏转是随机的。光从入射光方向s 散射成方向s 的概率由相位函数p ( s ，s ) = p ( c o s 0 ) 来描述，式中s 和s 分别是单位矢量。相位函数p ( c o s 0 ) 定义了对于每次散 射事件发生时，被散射光的偏转角位于0 和0 + a 0 之间的概率除以o 。在此假设光 散射只取决于两矢量s 和s 间的天顶偏转角0 o ，7 c 】。如果相位函数不依赖于0 ，贝咻 为各向同性( i s o t r o p i c ) 散射，相应地，如果相位函数依赖于0 ，则称为各向异性 ( a n i s o t r o p i c ) 散射，此时使用平均散射余弦( 或称为各向异性系数) 来描述相 位函数的各向异性的程度。各向异性系数定义为光子发生散射时散射角0 的余弦 加权平均值 g = ( c o s 9 ) = p 了( o ；) i c 孬o j se 万d c o s0 ( 2 9 ) 实验表明，相位函数与格林函数相似。h e n y e y g r e e n s t e i n i 函数【8 8 1 1 3 】 p ( 口) = 二 - 了( 2 - 10 ) 2 ( 1 + 9 2 2 9 c o s 曰) 2 2 2 光在物质中的传输理论与分析方法 光作为电磁波在物质中的传播规律，若不考虑其吸收，理论上应该可以由 m a x w e l l 方程组及物质体的电磁性质加上边界条件来唯一确定。此求解过程涉及 了一般光学中的所有光学现象，如衍射、反射和偏振等。高散射物质对光不仅具 有吸收作用，还具有高度地前向散射作用，这使得光在高散射物质中的传播过程 极其复杂。但m a x w e l l 方程复杂的数学表达及处理过程限制了它在高散射物质中 的应用，取而代之的是辐射传输理论，它将物质抽象为随机分布的散射和吸收中 心元，描述光能量在物质内的统计平均传输规律。虽然该理论没有电磁理论严密， 将光的波动性予以忽略。在高散射、多粒子体物质中，这些粒子在时间和空间上 是随机变化的，因此光在穿过物质时要经历大量的散射事件，与波相关的大部分 特性都丢失了，这时将光传输看成能量粒子流在均匀分布散射和吸收元内的传播 过程而忽略光的波动性是恰当的。显然，这种处理方式将光学中的现象，诸如干 天津大学硕士学位论文 第二章相关理论基础 涉、衍射、反射和偏振等概念汇集到吸收系数、散射系数和散射相位函数 p ( c o s o ) 之中。在所设定的条件成立的前提之下，传输理论与麦克斯韦方程所描述 的结果应当是一致的。为了突出问题的物理本质，这里先只考虑一种较简单的情 况：在单色( 波长为柚的连续光照明下，从介质中无限小体积元内粒子数守恒( 实 为能量守恒) 出发，可建立辐射亮度的b o l t z m a n n 微分积分方程【2 ”1 1 。 ；：嗽r ，s ) = 一( 以+ 以) 三( ，j ) + 肛ip 0 ，s ) 三( ，s ) d c o + s ( ，s ) ( 2 一1 1 ) ；露 其中尹是位置矢量，j 为指向光传播方向的单位矢量，；为其他方向指向体 积元的单位矢量，l ( r ，；) 称为能量强度，s ( r ，；) 为辐射光源项，是r 处j 方向上的 光源功率。由( 2 1 1 ) 中看到，左边为亮度沿；方向的变化率，右边第l 项为因 光散射到其它方向和吸收而导致亮度沿；方向的减少率，第2 项为其它方向的亮 度因散射到s 方向导致的总亮度沿s 方向的增加率，第3 项则是其它原因产生的 总亮度沿j 方向的增加率。该方程式的意义本质上是能量守恒定律的结果，如果 把光看成粒子，则也是光粒子数守恒的表现。 显然，辐射传输方程是用于描述介质中辐射率l ( r ，；) 变化的微积分方程，在 一般条件下是没有解析解，只能采用近似和，或数值方法来求解，如漫射近似、 有限差分法和有限元法、蒙特卡罗模拟等。 2 2 1 漫射近似理论 p n 近似方法是辐射传输方程最常用的一种近似解法，它的基本思路是：首先， 将辐射率上( ；，t ，j ) 用球谐函数z ”( ；) 展开并在，= 处截断；然后，把三( r ，t ，；) 的 ( n + 1 ) 2 项截断展开式代入辐射传输方程，经处理后得到包含( n + 1 ) 2 个联合偏微分 方程的方程组，此即p n 近似睁7 1 。由于当n 为奇数时，方程组可进一步简化为单一 的州+ 1 ) 阶偏微分方程，因而p n 近似常取n = 1 ，3 ，5 ，【3 2 1 。显然，随着n 的增大， p n 近似更逼近于辐射传输方程的真实情况，但这同时也带来数学处理上更加复 杂。因此，形式最为简单的p l 近似在生物光子学领域取得了十分广泛地应用【3 3 3 4 ， 这也就是通常所称的漫射近似( d i f f u s i o na p p r o x i m a t i o n ) 。若忽略光源s ( ；，t ，s ) 的各向异性，漫射近似的数学描述一一漫射方程为嘲 三翌竺一d v ：厄f ) + 以酊f ) ：& ( 柏 ( 2 1 2 ) l ， 研 式中，( ；，r ) 为能流率，有矽( ；，f ) = f 三( ；，t ，；y 缈；& ( ；，f ) 是各向同性光源， 4 x 有氐( ；，f ) = ls ( ，- ，t ，j 矽彩；d = 1 3 0 1 , + 儿) 】- l 为漫射系数。 厶 在一定边界条件3 5 。3 明下，求解漫射方程即可获得能流率矽( ，) 及其导出物理 天津大学硕士学位论文第二章相关理论基础 量在高散射物质内的分布。对于简单的高散射物质几何形状，漫射方程存在解析 解【l 】【7 】。然而，在实际应用中，应注意漫射方程是辐射传输方程的近似，只有在 漫射近似有效时，漫射解才能精确描述散射介质中的光分布。漫射近似的适用范 围是：散射介质的吸收系数远小于约化散射系数，以及所关心位置r 远离光源或 边界【3 6 】m 】。因此，漫射近似在解决复杂高散射物质几何模型的光传输问题，不 存在任何优势( 主要指计算时间方面) ，且会由于漫射近似有效性的限制，导致 近似解的精度值得怀疑。对于复杂高散射物质几何模型的光传输问题，一般采用 辐射传输方程的数值解法来获得精确解。但在解决简单高散射物质几何模型问题 上，漫射近似具有显著优势，能利用解析表达式快速获得近似解，且近似解精度 在漫射近似有效范围内能满足大多数实际应用要求，这使得漫射理论至今在生物 光子学领域应用仍十分广泛。在组织光诊断、光治疗等实际应用中，待解决问题 的几何模型可能互不相同，对于漫射近似有效条件的量化衡量标准还需具体问题 具体分析，这可通过与辐射传输方程的数值解f 4 1 】相比较，或与实验结果 4 2 - 4 3 】相比 较来建立。目前，关于漫射近似有效性的研究仍然是漫射理论的重要组成部分 2 7 4 4 1 ，只有明确解决这一问题，才能更好地将漫射近似应用于实际。 2 2 2 离散坐标法 有限差分法和有限元法等离散坐标方法( d i s c r e t e o r d i n a t em e t h o d s ) 是求解 辐射传输方程的重要数值分析方法【4 5 卅。乾1 9 5 0 年c h a n d r a s e k h a r 就将离散坐标 方法引入求解任意形状介质所对应的传输方程【47 1 。该方法在不同领域如核物理、 医学、海洋和大气科学等获得了广泛应用。离散坐标法求解辐射传输方程的基本 思想是将求解域内空间变量一r 和方向变量；离散化，然后在网格结点上用差分方 程近似微分方程或在单元内假设近似函数来分块表示待求未知场函数，这样传输 方程就变换成一组联立线性差分方程或联立微分方程，最后利用迭代方法就可得 到辐射传输方程的近似解。显然，离散化方法的近似解精度与，- 和s 的离散程度 有关，划分网格或单元数越多，解的近似程度将不断改进。如果近似解满足收敛， 将最后趋于精确解，但由于求解域离散常导致计算结果不精确，难于定量。 2 2 3 蒙特卡罗模拟 自1 9 4 9 年m e t r o p o l i sf 阳u l a m l 4 8 1 首次提出用随机抽样模型来模拟物理过程的 统计方法一一蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ，m c ) 方法之后，该方法作为一类非常重 要的数值模拟实验方法被广泛地应用于粒子输运、量子热力学等方面的研究中。 甚至像科学管理、生物遗传、社会科学等学科领域也采用了这种研究方法，充分 体现了其在计算物理中区别于其他方法的独特功能和优越性。 天津大学硕士学位论文第二章相关理论基础 所谓m c 方法，就是根据待求随机问题或物理现象本身的变化和统计规律， 构造出一个合适的概率模型或随机过程，依照该模型进行大量的统计实验，然后 通过对模型或过程的观察或抽样实验来计算所求参数，最后给出所求解的近值。 该方法对于那些本身具有统计性质的非确定性问题特别有效，可直接从非确定性 问题出发，通过模拟原问题的实际过程而得到问题的答案，而不需首先将它转化 为确定性问题，因而可省去求解方程过程中不得不引入的许多近似。 1 9 8 3 年w i l s o n l 9 】等人开始将m c 方法应用到组织光学领域，探讨光子在组织体 中的传输规律。l i h o n gv w a n g ( 汪立宏) 【lo 】等人在1 9 9 5 年发展了通用的v r m c 程序 可用于多层组织内稳态光的传播过程模拟和特性参数计算。 该方法的主要优点是：在不引进近似条件的情况下可以方便地求解各实际 问题；可模拟任意边界条件下、各向同性及各向异性下散射介质的特性；可 同时模拟多个物理量；可以避免漫射近似中较为复杂的数学演算；可直接对 实际的成像过程( 比如o c t 成像) 进行真实的模拟，包括光子在不同介质中的传 播过程及改变实验参数可能造成的影响等；还具有灵活、可编程计算等特点。 其主要缺点是：收敛速度慢，在给定的时间内光子被接收的概率很小，因此为得 到可靠的计算结果，需要跟踪大量光子的行迹，计算起来非常费时。 2 3 偏最小二乘法在浓度测量中的应用 无论经济管理、社会科学还是在工程技术中。回归分析都是一种普遍应用的 统计分析与预测技术。回归分析就是采用量化分析的方法，研究自变量与因变量 之间的统计关系，常用的回归分析方法有多元线性回归，主元回归和偏最小二乘 回归等。 p l s 法于1 9 8 3 年由伍德( s 、1 d ) 和阿巴诺( c a l b a n o ) 4 9 等人首次提出。p l s 法的最显著特点就是利用全部光谱信息，选择为数不多，且与待测浓度参数相关 的独立主成分变量建立回归方程，因此具有好的分析效果。 近二十年来，p l s 在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。长期以来， 模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清划5 0 1 。而偏最小二乘法则把 它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模( 多元线性回归) 、 数据结构简化( 主成分分析) 以及两组变量之间的相关性分析( 典型相关分析) 。这 是多元统计数据分析中的一个飞跃。p l s 的主要特点：p l s 法是一种多因变量对 多自变量的回归建模方法。特别当各变量集合内部存在较高程度的相关性时，用 p l s 进行回归建模分析，比对逐个因变量做多元回归更加有效，其结果更加可靠， 整体性更强；p l s 法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题； 1 0 天津大学硕士学位论文第二章相关理论基础 p l s 可以实现多种数据分析方法的综合应用。 2 3 1 基本原理 设有q 个因变量 y l ，y 2 ，y q ) 和p 个自变量 x 1 ，x 2 ，x p ) 。为了研究因变量与 自变量的统计关系，观测了e 1 个样本点，由此构成了自变量与因变量的数据表 x - - y l ，y 2 ，y q 】n x q 和y = x t ，x 2 ，x p n 。p 。偏最小二乘回归分别在x 与y 中提取出成 分t l 和u l ( 也就是说，t 1 是x l ，x 2 ，砩的线性组合，u l m 9y l , y 2 , , y q 的线性组合) 在提 取这两个成分时，为了回归分析的需要，必须满足下面两个条件。 1 ) t 1 和i i l 应尽可能多地携带它们各自数据表中的信息； 2 ) t l 和e 1 的相关程度能够达到最大。 这两个要求表明，t l 和n 1 应尽可能好的代表数据表x 和y ，同时，自变量的成 分t l 对因变量的成分u 1 又有很强的解释能力。 在第一个成分t l 和u l 被提取后，偏最小二乘回归分别实施x 对t 1 的回归以及y 对t 1 的回归。如果回归方程已经达到满意的精度，则算法终止。否则，将利用x 被t l 解释后的残余信息以及y 被t l 解释后的残余信息进行第二轮的成分提取。如此 反复，直到能达到一个较满意的精度为止。若最终对x 共提取了m 个成分 t l , t 2 ，t m ，偏最d , - 乘回归将通过施行y k ( k = l ，2 ，q ) 对t l ，t 2 ，k 的回归，然后表 达成弘关于原变量x l ，x 2 ，x p 的回归方程。 2 3 2 计算方法 首先将数据做标准化处理。x 经标准化处理后的数据矩阵记为 e o = ( e 0 1 ，e 0 2 ，e o p ) n 。p ，y 经标准化处理后的数据矩阵记为r o = ( r o l ，f 0 2 ，f o q ) n 。q 。 1 ) 记t l 是e o 的第一个成分，t l = e o w l ，w l 是e 。的第一个轴，它是一个单位向 量，即m 忙l 。 记u l 是f o 的第一个成分，n l = f o c l ，c l 是f o 的第一个轴，它是一个单位向量， 最p l l c 。 - - 1 。 如果要t l 和e l 应尽可能好地代表数据表x 和y ，应该有v 矾t 1 ) 和v a r ( u 1 ) 均取得 最大值。另一方面，又要求t 1 对u l 有最大的解释能力，t l p t l 与u 1 的相关程度应达到 最大值。因此在偏最小二乘回归中体现为t l 与u 1 的协方差达到最大。数学表述为 求解下列优化问题，其优化条件为 m a x ( 厶w 2 ，蠕q ) ( 2 1 3 ) 盯| 肾1 ( 2 - 1 4 ) l 爿q = l 采用拉格朗日计算法，记 天津大学硕士学位论文 第二章相关理论基础 s = ”可蠕c l a ( w w - 1 ) 一五( 0 q - 1 )( 2 1 5 ) 对8 分别求光与w l ，c 1 ，九l 和如的偏导，并令之为0 ，有 嘉= 瑶f o c , - 2 w 1 - o ( 2 - 1 6 ) c ，m。l u j 鱼o c = 一2 五c j = o ( 2 1 ，) , 露e o w , 、二。- ， 瓦o s = - ( 币q - 1 ) = o( 2 1 8 )瓦2 - ( 叫m ) 2 0( 2 蠹= 一( 0 c l - 1 ) = o ( 2 - 1 9 )石2 一( 彳c 1 ) 2 0( 2 1 9 ) 由( 2 - 1 6 ) 至u ( 2 1 9 ) 公式可以推出 2 五之2 五= 砰乓t 磊c 1 = 昂w l ，f o c , ) ( 2 2 0 ) 记q = 2 五= 2 五= w 菇磊q ，所以舅正是优化问题的目标函数值。经推导可 得 菇磊碍岛w l = 砰w l( 2 2 1 ) 碍岛哥磊c l = 砰q( 2 2 2 ) 可见，w l 是矩阵霹瓦碍毛的特征向量，对应的特征值为砰。q 要求取最大 值，所以，w 删- t - 霹e 碍厶矩阵最大特征值的单位特征向量。同理，c i 是 对应于矩阵碍毛霹圪最大特征值的单位特征向量。 由w l 和c 1 ，即可得到成分： = 扇嵋 n “l2 ，o c l 可得到回归方程的残差矩阵e 1 和f 1 ： ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 互= 岛一硝( 2 2 5 ) e = v o 一“l g ；( 2 2 6 ) 其中，汛是与之对应的回! 日系数向弘一_ 玎e 孑t l ，巧。丽f o r t l ，e l ，f 1 分别是 两个回归方程的残差矩阵。 2 ) 用残差矩阵e l 和f l 取代e o 和f o ，然后，求第二个轴w 2 和c 2 以及第二个成 分t 2 和u 2 ，有 t 2 = 巨w 2( 2 - 2 7 ) 1 2 = 石乞( 2 - 2 8 ) 岛= 瓴，甜：) = 耳e c 2 ( 2 2 9 ) w 2 是对应于矩阵砰互互7 e 最大特征值彰的单位特征向量，c 2 是对应于矩阵 互7 互耳鼻最大特征值的单位特征向