（电路与系统专业论文）宽带信号高分辨测向算法研究.pdf

? i y l i i i 1121 1 1 0 1 116116ill l 9l ll 11ii 鲤 o_o_i_ooo_o_o_oo。o_oo-rl o o _ _ o o 一 摘要 随着雷达、声纳、无线通信等技术的发展，宽带信号得到广泛应用，对宽带 信号源进行定位的研究在阵列信号处理领域逐渐受到关注。许多算法已经被提出 来提高波达方向的估计性能及计算效率。本文利用均匀线阵研究了宽带信号的高 分辨测向算法，主要研究工作概述如下： 首先，通过建立窄带阵列信号的数据模型研究了窄带波达方向估计的基本算 法，包括：多重信号分类算法与旋转不变子空间算法。通过仿真研究了两种算法 性能与信噪比、采用快拍数等参数之间的关系。 其次，建立了宽带阵列信号的数学模型，利用该模型仿真研究了不同信号带 宽对多重信号分类算法估计结果的影响。研究了三大类宽带信号的测向算法：非 相干信号子空间算法、相干信号子空间算法以及宽带直接处理方法。利用子空间 分解对双边变换算法进行改进，使得其运算量减小。将波束空间方法应用到相干 信号子空间算法中，使得分辨门限降低。通过仿真对各算法性能进行比较，验证 了相关结论。 最后，研究了两种正交性测试算法，基于投影子空间的t o p s 和基于频域子空 间的t o f s 。该方法同时利用了多个频率点上的信息。仿真结果表明，该类算法在 中等信噪比时具有良好的性能。 关键词：阵列信号处理d o a 估计宽带信号聚焦矩阵正交性测试 a b s t r a c t a b s t r a c t n l en u m b e ro fr a d a r , s o n a r , a n dw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o na p p l i c a t i o n sr e q u i r i n gt h e l o c a t i o no faw i d e b a n ds i g n a ls o u r c ei se v e ri n c r e a s i n g a sar e s u l t , m a n ya l g o r i t h m s h a v e b e e n p r o p o s e d t o i m p r o v ed o a ( d i r e c t i o n - o f - a r r i v a l ，d o a ) e s t i m a t i o n p e r f o r m a n c ea n dc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y b a s e do nu n i f o r ml i n e a ra r r a ym o d e l ，t h i s p a p e rp r e s e n t ss e v e r a lh i 曲r e s o l u t i o na l g o r i t h m sf o rw i d e b a n ds i g n a l n em a i n w o r ki s s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s t , t w oc l a s s i c a ls i g n a ls u b s p a e em e t h o d s ，m u s i ca n de s p r i t , a r ei n t r o d u c e d a c c o r d i n gt ot h em a t h e m a t i c a lm o d e lf o rn a r r o wb a n da r r a ys i g n a l n 地s i m u l a t i o n s s h o wt h a tt h ep e r f o r m a n c eo ft h e s ea l g o r i t h m sc h a n g e sw i t hs n ra n dt h en u m b e ro f s n a p s h o t s m o r e o v e r , a sa ne s s e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nn a r r o wb a n da n dw i d e b a n da r r a y s i g n a lp r o c e s s i n g ，t h ew i d e b a n ds i v a m o d e li nf r e q u e n c yd o m a i nh a sb e e nw o r k e do u t s i m u l a t i o n sb a s e do i lt h i sm o d e ls h o wt h a tt h ep e r f o r m a n c eo fm u s i cc h a n g e sw i t h d i f f e r e n tb a n d w i d t h a d d i t i o n a l l y , t h r e et y p e so fw i d e b a n ds i g n a ld o ae s t i m a t i o n a l g o r i t h m sh a v eb e e ni n t r o d u c e dw h i c hi n c l u d ei s s m ，c s s ma n dw i d e b a n dd i r e c t p r o c e s s i n g a l s o ，b e a ms p a c em e t h o d h a sb e e na p p l i e dt oc s s mt oo b t a i nal o w e rs n r r e s o l u t i o nt h r e s h o l d a c c o r d i n gt ot h es i m u l a t i o nr e s u l t s ，t h et h e o r e t i c a lc o n c l u s i o n s h a v e b e e nv e r i f i e d f i i l a l l y ，an e wt y p eo fd o a e s t i m a t i o na l g o r i t h mi si n t r o d u c e d , w h i c hi sc a l l e dt e s t o fo r t h o g o n a l i t y t w oa l g o r i t h m sb a s e do nt h i sa p p r o a c ha r et e s to fo r t h o g o n a l i t yo f p r o j e c t e ds u b s p a c e s ( t o p s ) a n dt e s to fo r t h o g o n a l i t yo ff r e q u e n c ys u b s p a c e s ( t o f s ) 啊1 es i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h i st e c h n i q u ep e r f o r m sb e t t e rt h a no t h e r si nm i ds n r r a n g e s k e y w o r d s ：a r r a ys i g n a lp r o c e s s i n g d o ae s t i m a t i o nw i d e b a n ds i g n a l f o c u s i n gm a t r i c e s t e s to fo r t h o g o n a l i t y 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 阵列信号处理是信号处理中一个重要的分支，它在雷达、声纳、通信以及天 体物理学等不同领域中有着广泛的应用【l 巧】。但是它们的目标通常是一样的，即从 带有噪声的观测数据中提取期望的参数。通常，阵列信号处理利用一组传感器从 带有噪声的环境中获取数据。这些传感器分布在不同的空间位置来测量电磁波、 声波或者地震波等信号。从统计的角度来看，一个信号源可以被分类为确定性信 号或者随机信号。所谓确定性信号是指已经知道波形的信号，但是某些参数( 如 幅度和时延等) 未知。在雷达、主动声纳以及通信等应用中，对于接收机来说， 发射的信号是已知的，这些都是确定性信号的典型例子【6 1 。而在其他的许多应用场 合，接收信号是未知的，或者在脉冲响应未知或时变的传输环境中发生畸变，这 些信号就是随机的。对于随机信号，概率密度分布函数( p d f ) 能够为期望参数的 估计提供充分信息州。 阵列信号处理主要包括波束形成、零点形成以及空间谱估计【7 】。波束形成技术 能够使天线阵方向图的主瓣指向期望的目标方向，从而达到增强期望信号的目的。 零点形成技术能够使方向图在干扰信号的位置放置较深的零点，从而对干扰进行 抑制。波束形成和零点形成都能够提高阵列输出的信噪比，达到增强信号的目的。 空间谱估计技术又被称为d o a 估计或波达方向估计，它主要对空间信号的信源个 数、方位角以及俯仰角等参数进行估计【8 】。“空间谱”是阵列信号处理中一个重要 的概念。时间信号的频谱可以表示信号在各个频率分量上的能量分布情况，而“空 间谱则表示信号在空间各方向上的能量分布情况。因此，能够通过信号的空间 谱来估计出信号的来向。 在阵列信号处理中，信号按照带宽分类主要有窄带和宽带两大类。与窄带信 号相比，宽带信号具有抗干扰能力强、分辨率高、携带目标信息量大、与背景噪 声相关性小的特点，更有利于目标检测、目标特征提取、参量精确估计【9 】。随着雷 达、通信及声纳等技术的发展，宽带信号也得到了广泛的应用。 对于宽带信号，由于阵列输出的相位差不仅取决于阵元位置和信号来向，且 与信号的频率也有关。因此，若使用窄带阵列系统来对宽带信号进行测量，方向 矢量将不再是秩一的，从而造成估计结果存在较大误差，甚至失效。而且，宽带 信号的功率谱密度函数较小，所以无法达到传统窄带系统所需的信噪比水平。由 于宽带阵列信号的处理更加复杂，运算量更庞大，因此，如何充分利用宽带信息 2 宽带信号高分辨测向算法研究 获得更好的估计效果是空间谱估计面临的一大难题。研究适合于宽带阵列信号的 高分辨算法具有非常重要的意义。 1 2 国内外研究现状 宽带信号的d o a 估计算法主要分为最大似然类方法和子空间类方法两类。 在高斯白噪声的条件下，最大似然类方法的估计性能是最优的。c l a r k 等基于 迭代二次型最大似然算法【l o ( i t e r a t i v eq u a d r a t i cm a x i m u ml i k e l i h o o d ，i q m l ) 提出了 一种宽带信号d o a 最大似然估计算法】。该算法将宽带信号近似为许多正弦信号 之和，并将窄带a r m a ( a u t or e g r e s s i v ea n dm o v i n ga v e r a g em o d e l ) 模型应用到宽带 情况下。在各个频率点上通过对多项式求根的方法得到相应的d o a 估计值，最后 通过最小二乘估计方法求出信号方向最终的估计值。该算法计算量大而且过程复 杂。针对该缺陷，a g r a w a l 等采用三维优化来替代多维搜索的环节，在很大程度上 降低了计算量。虽然采用最大似然类方法能得到最优估计，但是该类算法并没有 在实际环境中得到运用。最大似然类方法运算过于复杂，不仅需要计算信号源的 联合功率谱密度，还要进行代价函数的多维优化。该类方法的估计结果容易在局 部极值点处收敛而出现错误。 与基于最大似然的算法相比，基于信号子空间的算法虽然无法得到最优的估 计结果，但它具有较低的计算复杂度和较高的估计性能，因此这类算法受到广泛 关注，并成为主要的宽带信号高分辨处理技术。目前，基于信号子空间的算法主 要有三种：非相干信号子空间方法1 1 2 ( i s s m ：i n c o h e r e n ts i g n a ls u b s p a c em e t h o d ) 、相 干信号子空间方法【1 5 - 2 0 ( c s s m ：c o h e r e n ts i g n a ls u b s p a c em e t h o d ) 以及宽带直接处理 方法【2 l - 2 3 。 非相干信号子空间方法是最早提出的一种较为简单的子空间类宽带信号d o a 估计算法。对于不相干的空间信号，其协方差矩阵是满秩的，因此，信号带宽内 各个频率点处的信号子空间与噪声子空间正交。i s s m 利用经典的窄带子空间类高 分辨算法( m u s i c ) 分别对各个频率点下的数据进行谱估计。最后对各个频率点的空 间谱进行几何平均或算术平均，得到最终的i s s m 空间谱。通常这类算法的性能无 法令人满意，主要问题在于计算量较大，因为每个频率点上都需要进行一次特征 值分解。i s s m 需要进行高密度的搜索来避免局部极小值。所以，它的计算复杂度 随着频率点数目的增长而线性递增。而且，如果宽带信号能量不是均匀分布的， 某些频率点处的低信噪比可能会导致最终的宽带d o a 估计有很大偏差。为了得到 每个频率点下的协方差矩阵的准确估计，i s s m 需要大量的快拍数据。i s s m 方法 的另一个问题是无法处理相干源，即使s n r 无穷大，观测时间也无限长。 为了克服i s s m 方法的不足，w a n g 等提出了相干信号子空间方法【2 0 】。该方法 第一章绪论 3 使用一个聚焦矩阵，将不同频率的协方差矩阵映射为中心频率的协方差矩阵，然 后进行频域平滑得到统一协方差矩阵，最后应用窄带处理的方法来估计宽带信号 的d o a 。c s s m 方法与i s s m 方法相比，优点在于：运算量小、估计精度高、可 实现对相干信号的处理。聚焦矩阵的选取决定了c s s m 类算法的统计性能。h u n g 等利用聚焦前后的信噪比变化定义了聚焦损失，并指出：当聚焦矩阵为酉矩阵时， 聚焦损失为l ，在此基础上提出了r s s ( r o t a t i o n a ls i g n a ls u b s p a c e ) 算法i l 川。由于大多 数高分辨谱估计算法均需要对阵列数据协方差矩阵进行特征分解，v a l a c 它等人提出 t c t ( t w o s i d e dc o r r e l a t i o nt r a m f o r m a t i o n ) 算、法t 1 7 l 。该方法对阵列协方差矩阵进行双 边酉变换，而r s s 方法中是对阵列方向矩阵进行酉变换。因此，t c t 具有更低的 分辨信噪比门限和更小的估计偏差。c s s m 的另一难点在于选择最佳的聚焦频率来 减小估计偏差。通常的方法都是将信号的中心频率作为聚焦频率。如果信号的功 率谱并不是关于中心频率对称的，或者采样是非均匀的，则中心频率就不是最佳 的选择。v a l a e c 等给出了c s s m 最佳聚焦子空间的选择方法1 1 6 j 。该方法基于子空 间拟合误差最小化。子空间拟合误差定义为各个频率点上的聚焦方向矩阵与变换 后方向矩阵的欧氏距离。以上这些方法均需要对信号的d o a 进行预估计，进而构 造方向矩阵。但预估计方向的误差制约了c s s m 类方法最终的估计性能。尤其当 角度预估计误差较大时，c s s m 类算法可能会失效。 c s s m 类算法本质上仍是一种窄带处理的方法。随着研究的深入，出现了一种 针对宽带阵列信号特性的直接处理算法。该类方法中典型算法有宽带信号子空间 谱【2 3 ( b a s s a l e ：b r o a d b a n ds i 罂试s u b s p a c es p a t i a ls p e c t r u m ) 算法和基于频率模型 2 2 - i ( f d m ：f r e q u e n c yd e p e n d e n tm o d e l ) 算法。前者为消除方位角度与频率之间的模 糊，对阵列信号做抽头延迟处理从而构造了新的二维时空采样信号，然后直接利 用新的信号模型来定义宽带信号的子空间谱。后者采用了一组与频率相关的基函 数，建立一个基于频率变化的阵列信号模型，进而对宽带信号子空间谱进行了定 义。在基函数为指数函数的情况下，f d m 算法即变成了b a s s - a l e ，因此f d m 是b a s s a l e 的推广。宽带直接处理方法由于有效的避免了信号d o a 预估计和 聚焦矩阵的构造，且阵列的协方差矩阵维数的增大也更有效地描述了噪声子空间 的特性，因此，该类方法的d o a 估计性能更好。同时，此类方法由于需要对子空 间的维数进行扩展因此一般计算量很大，而且阵列误差对其影响明显，从而致使 阵列的校准环节成为必要。针对上述缺陷，文献【2 l 】给出了一种新的宽带f d m 的 相干信号子空间聚焦算法：噪声子空间的特性由于f d m 的应用而被很好的描述， 而宽带信号子空间谱的计算量也因为构造了无损的对角聚焦矩阵而减小。 投影子空间正交性测试方法1 2 4 1 ( t o p s ：t e s to fo r t h o g o n a l i t yo fp r o j e c t e d s u b s p a c e s ) 是最近提出来的一种宽带信号d o a 估计方法。与c s s m 类方法类似， t o p s 方法也通过一个变换矩阵来利用各个频率点的成分，但是t o p s 不需要产生 4 宽带信号高分辨测向算法研究 一个统一的协方差矩阵。它通过将宽带信号各个频点的噪声子空间投影到对应频 率点的信号子空间中，再由这些投影来组成一个新的矩阵。对该矩阵进行角度搜 索，当搜索角度等于信号方向时，新矩阵将不再满秩。因此，可以通过该矩阵的 缺秩程度来估计出宽带信号的d o a 。与相干信号子空间方法不同的是t o p s 不需 要初始的聚焦角度，从而避免了角度预估计而引入的误差。它与非相干信号子空 间方法也不同，因为t o p s 在估计d o a 之前将所有频率点上的信息都聚合起来。 因此，t o p s 方法有如下的优点：不需要预估计的聚焦角度或者波束形成矩阵；在 s n r 很高的情况下能够得到无偏的d o a 估计；在低s n r 的情况下能够比i s s m 类算法更好的利用各个频率点的信息。t o p s 算法在构造矩阵的过程中是基于参考 频率上的信号子空间。因此，t o p s 算法性能将很大程度上受到信号子空间估计误 差的影响。尽管使用了投影矩阵来消除误差，但t o p s 算法仍然无法避免出现伪峰。 针对以上缺陷，于红旗等在t o p s 的基础上提出了新的基于频域子空间正交性测试 方法1 2 5 j ( t o f s ：t e s to fo r t h o g o n a l i t yo ff r e q u e n c ys u b s p a c c s ) 。t o f s 算法根据各个频 率点下噪声子空间与搜索的导向矢量的正交性来得到最终的空间谱，从而避免了 伪峰的出现，降低了运算量。 1 3 本文主要工作与内容安排 本文的主要工作与内容安排如下： 第二章介绍了窄带d o a 估计的基本算法。首先通过建立窄带阵列信号的数据 模型，引入了两种子空间类窄带d o a 估计算法：多重信号分类算法( m u s i c ： m u l t i p l es i g n a lc l a s s i f i c a t i o n ) 与旋转不变子空间算法( e s p r i t ：e s t i m a t i o no fs i g n a l p a r a m e t e r sr o t a t i o n a li n v a r i a n t et e c h n i q u e s ) 。通过仿真实验分别研究了两种算法性能 随信噪比、采用快拍长度等变化的程度。为后续章节中的宽带测向算法打下基础。 第三章介绍了宽带信号阵列处理模型及测向算法。首先建立了宽带阵列信号 的数学模型，利用该模型仿真研究了不同信号带宽对m u s i c 算法估计性能的影响。 然后介绍了三大类宽带信号的测向算法：非相干信号子空间算法、相干信号子空 间算法以及宽带直接处理方法。利用子空间分解对t c t 算法进行改进，使得其运 算量得到减小。将窄带波束空间的方法应用到c s s m 类算法中，使得分辨门限降 低。最后通过仿真实验对各种算法的性能进行比较，验证了各算法的相关结论。 第四章介绍了两种正交性测试算法，分别是基于投影子空间的t o p s 和基于频 域子空间的t o f s 。正交性测试算法的性能介于i s s m 和c s s m 之间。它不需进行 聚焦，因此避免了角度预估计带来的误差。该方法同时利用了多个频率点上的信 息，因此，在中等信噪比时具有良好的性能。最后通过计算机仿真实验对t o p s 、 t o f s 、i s s m 、c s s m 算法的性能进行比较，验证了各算法的相关结论。 第二章d o a 估计的基本算法5 第二章d o a 估计的基本算法 2 1 概述 大多数现代信号处理方法都依赖于对观测数据的某种特定的假设，即依赖于 特定模型。因此，合适的数学模型的建立成为了各算法最首要的问题。 本章围绕着空间谱估计的基本问题展开，主要介绍了窄带阵列信号的数学模 型，并对经典的子空间类算法中的多重信号分类算法【2 明与旋转不变子空间算法【2 7 】 进行了简要介绍和性能仿真。 2 2 窄带信号的d o a 估计技术 为了得到物理意义简明且便于分析的数学模型，本文做出如下假设： 1 信号源为点源，且个数已知，阵元个数大于信号个数； 2 阵列接收的信号均为远场信号，因此，接收信号可近似为平面波； 3 假设各阵元均为全向天线，增益为1 ； 4 各个阵元之间不存在幅相误差、位置误差以及阵元互耦等因素； 2 2 1 窄带数据模型 一般将窄带信号定义为中心频率远大于其带宽的信号，用公式表述为 b 兀 1 1 0 ，其中曰代表信号的带宽，兀表示信号的中心频率。假设当空间中 个窄带信号到达一个膨元的阵列，阵元的个数和通道的个数相等。令第一个阵元 为参考阵元，则参考阵元以及第z 个阵元相对于参考阵元的位置矢量可分别表示 为：r o = 0 0 ，o r ，r t = h ，厶，乞j r 可以得到第，个阵元在r 时刻的输出表达式为： j 而( ，) = g 打墨o 一) + 啊o ) 1 = 1 ，2 ，m 式( 2 一1 ) i = 1 其中，g f j 是第，个阵元对第f 个信号的增益或幅度响应；s ，( t - r 矗) 表示第f 个源 到达第，个阵元的延时信号；刀m ) 表示第，个阵元的噪声：f n 表示相对于参考阵元， 第f 个信号到达第，个阵元的时延，它由下式确定： 11r f 矗= 妾g 。7r t = l ：c o s ( 包) c 0 s ( 办) + 气s i n ( o ，) c o s ( 噍) + 乞s i n ( c , ) j 式( 2 - 2 ) 其中g 。r = 【c o s ( q ) c o s ( 识) s i n ( o , ) c o s ( 谚) s i i l ) 】表示第f 个信号的方向矢量，c 6 宽带信号高分辨测向算法研究 为信号在介质中的传播速度，b 和咖分别为信号的方位角与俯仰角。该式适用于 窄带信号和宽带信号。 在信号源是窄带的情况下，信号可用如下的复包络形式表示幽】： 牌s 刮蒜。脚：，蛔，j - r ) - o ei ( f弓“f o 且娜u 吖脚叶 ”7 其中，吩o ) 为接收信号的幅度，妒( ，) 为接收信号的相位，是接收信号的频率。 在远场窄带的条件下，可以得到以下近似： 嚣= ：搿式( 2 - 4 ) tii ， 1 9 0 f ) 9 0 ) u 一 根据式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) ，可以得到： j 。( t - - r ) 墨( ，) e 1 吣 扣1 , 2 ，n 式( 2 5 ) 可以看出，在窄带情况下，信号的时延可以用一个相移来近似。所以，在延 时求和波束形成器中，延时线可以用一组相移器来代替。这种实现的方式在实际 中得到了广泛应用，通常称为相控阵洲。 理想情况下，假设阵列中所有阵元均为全向天线( 即各阵元对不同方向的空 间信号的增益相等) 且不存在通道不一致、互耦等因素的影响。将m 个阵元在f 时 刻输出的信号排列为一个列矢量，可得： + 1 1 1 ( f ) 刀2 ( f ) n u ( f ) 式( 2 6 ) 表示为矩阵形式如下： x ( f ) = a s ( t ) + n ( ，) 式( 2 7 ) 其中，x ( f ) 为m x l 维阵列输出快拍数据矢量，n ( t ) 为m l 维阵列噪声数据 矢量，s ( ，) 为空间信号的n x l 维矢量，a 为空间阵列的m n 维流型矩阵( 导向矢 量阵) ，且 a = 【a l ( ) a 2 ( c o o ) a ( ) j式( 2 - 8 ) a 的各个列向量为m 1 的导向矢量： a f ( c o o ) =i = 1 ，2 ，n 式( 2 - 9 ) 根据以上信号模型，可以进一步得到阵列输出数据的协方差矩阵： r ，= e 【x ( f ) x ( f ) 日】 = a e s ( t ) s ( t ) k 日+ e 【n ( f ) n o ) 日】 式( 2 1 0 ) = a i r ，a 圩+ r 。 所如 即 wiioioo且 埘 脚 - o 吖 n 笠 ：； 一 一， 一撕蜘；帆嘲讽；埘 p p = )n：、；o 而吃 嘞 w 肿 ；m 吖 吖 吖 第二章d o a 估计的基本算法 7 当阵元噪声为空时高斯白噪声时，可将上式简化为： r 。= a r ，a 爿+ t y 2 i式( 2 1 1 ) 其中，仃2 是噪声功率。 实际中，阵列输出数据通常是由某段观测时间的个采样构成。将每次采样中 m 个传感器数据构成的样本矢量称为一个快拍，样本的总数成为快拍数。阵列输 出数据的协方差矩阵最大似然估计就可以写成如下形式： 11 食，= x ( 嘞) x 日( 嘞) = x 日x 式( 2 - 1 2 ) - i = l - 这里，x 是阵列快拍形成的数据矩阵。窄带阵列d o a 估计的目的就是通过这 个快拍的阵列输出矢量来对窄带信号的个数以及波达方向进行估计。 2 2 2 子空间类d o a 估计算法 基于特征分解的子空间算法越来越多地被应用于阵列信号处理领域中，这类 算法共同的特征是将接收信号的协方差矩阵分解为正交的信号和噪声子空间。这? 。 类方法不仅物理概念明确，而且计算量相对较小、参数估计性能良好。 2 2 2 1 多重信号分类算法 1 9 7 9 年，s c h m i d t 提出了刈s i c 算法，开创了高分辨空间谱估计的新时代， m u s i c 成为应用最为广泛的子空间特征分解算法之一。m u s i c 算法的基本思想是 把阵列输出数据协方差矩阵进行特征分解，从而得出与信号分量相对应的信号子 空间和与之相正交的噪声子空间，并利用信号和噪声子空间的正交特性来估计信 号的空间参数( 方位、极化信息和信号强度等) 【3 0 】。 当信号不相关的时候，信号协方差矩阵是满秩对角方阵，其秩为n 。阵列流 型矩阵是一个满列秩的矩阵，因此阵列输出数据协方差矩阵的秩也为n 。 由r 。= a r 。a + 仃2 i 可得，a r 。a 和r 。= 仃2 i 是m x m 阶的矩阵，相应的 秩分别为n ( 信号源数) 和m ( 阵元数) 。由于a r 。a 日的秩n m ，所以它有m n 个零特征值，a r 。a 日的特征分解可以写成： 卫 一 a r 。a 日= 九e f e f 爿 式( 2 1 3 ) l i l 特征矢量e 。，e ：，e 称为主特征矢量，对应的特征值为 ，如，“，其余的 m 一个零特征值对应的特征矢量则为e n + le + 2 ，e j l ，。可以证明，主特征矢量 张成的子空间与阵列流型矩阵a 中各个导向矢量张成的子空间相同。 由于各个特征矢量e ，之间是相互正交的，所以可以将单位矩阵写为 8 宽带信号高分辨测向算法研究 i = e j e j 旷 f = l 进而可得 r ，= 九e l e j 日+ 仃2 e i e i 口= ( + 仃2 ) e f e j 日+ 仃2 e j e ， e , - ii = l扣l = + l = u s s u s 日+ u u 日 式( 2 1 4 ) 式( 2 - 1 5 ) u s 由个大特征值对应的特征矢量构成，它们与阵列方向矢量张成同样的子 空间。u 由余下的小特征值对应的特征矢量构成，它们与阵列方向矢量正交。两 个对角矩阵的定义如下： s = r = 扎+ 2 式( 2 1 6 ) 式( 2 1 7 ) 可知，阵列方向矩阵a 与阵列数据矩阵的协方差矩阵r 。的信号特征向量组成 的子矩阵u 。张成相同的子空间，可以表示为： s p a n a ( 0 , ) ，a ( 0 ) ；= s p a n e l ，一，e j 式( 2 - 18 ) u 与阵列方向矢量正交，可表示为： s p a n a ( o i ) ，a ( 钆) j 上s p a n e + l ，e mj式( 2 1 9 ) 由于实际中数据快拍数有限，无法得到r 。的精确估计，因此分解后的噪声子 空间与阵列方向矩阵很难完全正交。利用式( 2 1 2 ) 求出r ，的最大似然估计良。，对 食。进行奇异值分解，可得噪声子空间的特征矢量o 。利用正交性对p 进行搜索得 到个极小值，则可得到对应的d o a 估计值，即： 钆粼= a r gn 譬a n a 爿( o ) i 3 u 嚣a ( 9 ) 式( 2 2 0 ) 对上式求倒数，则m u s i c 空间谱为： ， i 2 a ( o ) o f i j 等a ( o ) 式( 2 - 2 1 ) 下面对m u s i c 算法计算流程进行总结： 1 利用式( 2 1 2 ) 计算阵列接收数据的协方差矩阵食，： 2 将食，特征值分解，并根据特征值大小的分布情况确定信号源个数； 3 估计o s 和旬； 4 利用式( 2 - 2 1 ) 在可能出现的角度范围内搜索谱峰； 5 根据个极大值所在位置得到d o a 的估计值。 第二章d o a 估计的基本算法9 2 2 2 2 旋转不变子空间算法 e s p r i t 算法与其他子空间类算法的不同之处在于它的子空间是通过数据矩 阵估计得出，而不是从估计的协方差矩阵得出的。e s p r i t 算法的本质是通过两个 子空间的旋转不变特性来得到信号d o a 的估计。这要求两个子阵的结构完全一致。 e s p r i t 算法不需要进行角度搜索，因此运算量更小。 如图2 1 所示，在一个均匀线阵中分别划分出两个子阵，阵元间隔a = d 。 第二个子阵 、 ! 二丫丫丫 丫 丫 l !： ： m 1 m 第一个子阵 图2 1e s p r i t 子阵分解原理图 子阵1 和子阵2 的结构完全一致，因此，同一个信源在两个子阵对应阵元的 输出信号只相差一个相位咖，f = 1 , 2 ，n ，子阵阵元间隔为d 。因此，两个子阵的 接收数据x 。和x ：为： x 1 = l a l ( p )a ( p ) 芦+ n l = a s + n 1式( 2 2 2 ) x 2 = a i ( 臼弦埔a ( p ) p 。h 鼻+ n 2 = a s + n 2 式( 2 2 3 ) 其中，子阵1 的阵列流型矩阵为a 。= a ，子阵2 的阵列流型矩阵为a ：= a 西， 其中： m = d i a g e 朋p 脚j 式( 2 2 4 ) 信号的方向是待求解的，而从上面的数学模型可知它的信息包含在a 和西中， 由于m 是一个对角阵，其中 屯= 【2 石l l s i i l 以j a 式( 2 - 2 5 ) 矩阵西是把两个子阵的输出联系起来的一个矩阵( 或者称为算子) ，这里称为 旋转矩阵。 由上面两式可见，如果能得到矩阵m ，则由其对角元素可以求出信号的到达 方向9 。将子阵1 和子阵2 的输出加以合并，构成整个阵列的输出信号矢量为 x 恻= s 一- s + n 式( 2 - 2 6 ) 阵列输出的协方差矩阵为： r = e x x j - 盈s 五+ r 式( 2 2 7 ) 特征值分解后写成如下形式： 1 0 宽带信号高分辨测向算法研究 r ，= e j e j 口= u s s u s 月+ u ，u 耳 式( 2 2 8 ) 其中，u s 由个大特征值对应的特征矢量构成，它们与阵列方向矢量张成同 样的子空间。u 由余下的小特征值对应的特征矢量构成，它们与阵列方向矢量正 交。在实际应用中，式( 2 2 8 ) 一般为： 食，= o s 金s o s 日+ o 金u 式( 2 2 9 ) 由于u s 中的列矢量与阵列方向矢量张成同样的子空间，即有 s p a n u s = s p a n - a 式( 2 3 0 ) 有且仅有一个非奇异矩阵t ，使得 u s = a t式( 2 3 1 ) 可以看出： u s = 吲= 铡 式( 2 - 3 2 ， 因为u 册、u s 2 与阵列的方向矩阵a 构成相同的子空间，因此有： s p a n u s ， = 踊册 u s 2 ) = s p a n a 式( 2 3 3 ) 根据子阵1 和子阵2 的方向矩阵表达式可得： a l = a 2 m 式( 2 3 4 ) 通过式( 2 3 2 ) 可以推出子阵1 和子阵2 的信号子空间的变换式： u s 2 = u s l t o t = u s l 叩式( 2 - 3 5 ) 若方向矩阵是满秩的，则由式( 2 3 5 ) 可得 m = t 坚t - 1 式( 2 3 6 ) 由于m 为对角矩阵，它的对角元素必然由t 的特征值构成。t 则由叩的各特 征值对应的特征矢量构成。 若u 踟是满秩的，即子阵1 的信号子空间维数等于信号源数( 入射信号源之间 不相关) ，叩的最小二乘解是： 甲岱= ( u 基u s 。厂1u 萤u s 2 式( 2 - 3 7 ) 一旦得到上述的旋转不变关系矩阵叩，就可以直接利用式( 2 2 5 ) 得到信号的入 射角度。 以惴 式( 2 - 3 8 ) 需要注意的是，子空间u 矾和u s 2 分别对应了从数据矩阵x 中得到的a 1 和a 2 的真实子空间的估计。普通的最小二乘算法假设误差仅仅存在于u s 2 的估计中，而 对于u s l 及其估计的a 。的真实子空间之间没有误差存在。由于u 明也是一个估计的 子空间，所以实际应用中更多使用的是e s p r i t 算法的总体最小二乘( t l s ：t o t a l l e a s ts q u a r e s ) 版本【2 7 1 。 第二章d o a 估计的基本算法 下面给出总体最小二乘e s p r i t 算法的流程： 1 由食，= i 三x 日x 得到数据协方差矩阵； 2 将矩阵食，对进行特征分解，得到两个子阵的信号子空间u s 。和u s ：； 3 建立矩阵【u s 。u s ：】，并对其进行奇异值分解【u s 。u s ：】= 宝面目； 4 将右奇异矩阵订分为四个等大小的方块矩阵豇= lu 0 ，, l 。吕：i ； 5 子空间旋转矩阵甲的t l s 解为：叩出= 一嚣。u 2 2 ，然后对其进行特征分解， 得到n 个特征值，利用式( 2 3 8 ) 就可以得到对应的n 个信号的到达角。 2 3 仿真结果与分析 上面介绍了两种常用的子空间类d o a 估计方法。在不同情况下每种方法的性 能区别很大。因此，本节主要通过计算机仿真来分析m u s i c 算法和e s p r i t 算法 的性能。 2 3 1m u s i c 算法的仿真分析 实验1m u s i c 算法与信噪比的关系。 实验中采用了8 阵元的均匀线阵，阵元间距为d = a 2 。空间存在3 个独立的 窄带远场信号，且方向分别为o o ，2 0 和一3 5 0 。阵列的采样快拍数为1 0 0 0 。信噪 比从1 0 d b 到3 0 d b 不断增加。 图2 2m u s i c 空间谱随s n r 变化的三维图 1 2 宽带信号高分辨测向算法研究 g 叱 z 图2 3m u s i c 空间谱随s n r 变化的切片图 可以看出，m u s i c 算法的分辨力随着信噪比的增加而得到相应的提高。在信 噪比低于1 0 d b 时，0 0 和2 0 这两个相邻的信号无法被区分开。当信噪比大于1 0 d b 时，三个空间信号的d o a 均能很好的被估计出，并且随着信噪比的增加，m u s i c 空间谱的尖锐程度也是不断增加的。 实验2m u s i c 算法与阵元间距的关系。 实验中采用了8 阵元的均匀线阵，阵元间距与波长的比值在 o 1 ，1 】之间变化。 空间存在3 个独立的窄带远场信号，信噪比均为2 0 d b ，且方向分别为0 0 ，2 0 和 一3 5 0 。阵列的采样快拍数为1 0 0 0 。 图2 4m u s i c 空间谱随阵元间距变化的三维图 1 第二章d o a 估计的基本算法 图2 5m u s i c 空间谱随阵元间距变化的切片图 可以看出，对于均匀线阵而言，m u s i c 算法的分辨力随着阵元间距的增加而 得到相应的提高。阵元数目一定时，随着阵列孔径的增大，主瓣的就会变窄，相 应的角度分辨力也会提高。当阵元间距小于0 2 倍的波长时，o o 和2 0 这两个相邻 的信号无法被区分开；当阵元间距大于0 2 倍的波长且小于半波长时，三个空间信 号能够很好的分辨出来：但是当阵元间距大于半波长时，空间谱在其他的方向上 出现了模糊。 实验3m u s i c 算法与采样快拍数的关系。 实验中采用了8 阵元的均匀线阵，阵元间距为d = a 2 。空间存在3 个独立的 窄带远场信号，信噪比均为2 0 d b ，且方向分别为0 0 ，2 0 和一3 5 0 。阵列的采样快 拍数从1 到4 0 0 变化。 图2 6m u s i c 空间谱随快拍数变化的三维图 1 4 宽带信号高分辨测向算法研究 景 三 图2 7m u s i c 空间谱随快拍数变化的切片图 可以看出，当快拍数据过少时( 低于5 0 ) ，m u s i c 无法准确地估计信号方向。 这是由于m u s i c 依赖于信号的空间协方差矩阵的特征分解，而过低的快拍数据会 使得协方差矩阵的估计误差较大，从而得到的信号子空间与噪声子空间都不是准 确的。当快拍数据足够多时，能够对三个信号的d o a 进行准确估计。并且，随着 快拍数的增加，d o a 估计性能也越好。 2 3 2 旋转不变子空间算法的仿真分析 实验le s p r i t 算法与信噪比的关系。 实验中采用了8 阵元的均匀线阵，阵元间距为d = g 2 。空间存在2 个独立的 窄带远场信号，且方向分别为o o 和1 0 0 。阵列的采样快拍数为1 0 2 4 。信噪比从0 d b 到2 0 d b 不断增加。进行5 0 0 次蒙特卡罗仿真实验。实验中采用均方根误差( r m s e ： r o o tm e a ns q u a r ee r r o r ) 来衡量d o a 估计的精度。 第二章d o a 估计的基本算法 耋 蓉 图j 80 0 信号源的r m s e图2 91 0 0 信号源的r m s e 可以看出，随着信噪比的增加，o o 和1 0 0 两个方向的估计均方根误差均不断降 低。因此，可以得出结论，对于e s p r i t 算法而言，信噪比越高，d o a 估计性能 也越好。 实验2e s p r i t 算法与采样快拍长度的关系。 实验阵列配置同上。2 个独立窄带远场信号，信噪比为1 0 d b ，且方向分别为0 0 和1 0 。阵列的采样快拍数从5 0 到1 0 0 0 不断增加。进行5 0 0 次蒙特卡罗仿真实验。 图2 1 00 0 信号源的r m s e图2 1 11 0 0 信号源的r m s e 可以看出，随着采样快拍数目的增加，0 0 和1 0 0 两个方向的估计均方根误差均 不断降低。这是由于采样数目越多，则估计的协方差矩阵食，就越准确。相应的， 得到的信号子空间与噪声子空间也越准确。但是，更多的采样快拍数目意味着需 要更大的存储空间和计算时间。因此，实际应用中，在精度和速度两者之间的权 衡显得非常重要。 2 4 本章小结 本章主要介绍了阵列信号数学模型和基础知识，首先建立了窄带阵列信号的 1 6宽带信号高分辨测向算法研究 数学模型，之后对空间谱估计中经典的子空间类算法进行了简要介绍，主要包括 多重信号分类算法与旋转不变子空间算法，并对两类算法的性能进行了仿真分析。 许多宽带空间信号的d o a 估计都需要使用到这两类算法，因此，本章为后续章节 各种算法的提出与分析打下基础。 第三章宽带信号阵列处理模型及测向算法 1 7 第三章宽带信号阵列处理模型及测向算法 在空间谱估计技术的发展过程中，最初的高分辨估计理论都是基于窄带信号 源的假设。随着宽带信