（基础数学专业论文）n维赋范空间单位球面的极小球覆盖.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：摧垃 硼年7 月6 e l 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定p 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交 论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论 文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后使用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名：始颤 导师躲侈纡 日期瑚年7 月乡e l 眺节7 月日 刀维赋范空间单位球面的极小球覆盖 摘要 b a n a c h 空间x 中的一个( 开) 闭球族夕是x 的一个球覆盖，如果中的 任一元素不包含原点作为其内点，且中元素之并覆盖了x 的单位球面。一 个球覆盖称为是极小的当且仅当的势小等于x 中所有球覆盖的势。文献【8 】 证明了1 ) 以维空间的赋范集彳最少包含疗+ 1 个元素2 ) 以维空间x 的巳至少 含有2 刀个暴露的点，且这2 万个暴露点组成x 的一个对称赋范集；3 ) 以恰好 有2 聘个暴露点当且仅当x 与r 等距同构本文在此基础上，研究当x 的单位球 面的极小球覆盖球数为n + l ( 1 z r 1 ) 时的几个特殊情形，即： ( 1 ) 当，- r t 时，( x ，l l i ，1 0 ) 与( 彤，l i i t , ) 等距同构； ( 2 ) 若弛) ：。c e x p 气，则：i ) 任意，e x p 气，至少有，一1 个分量为零 j l i ) 中的任何两个暴露点五+ ，恐不为零的分量至多只有万一，+ 2 个；i i h i ) 若存 在一个暴露点工。，使得，= ( x ( f ) ) ：分量不为零的个数为n - l + l ，则存在维的 子空间五c = x ，使得( ，1 1 ) 与( r 7 ，l i | l 。) 等距同构。 关健词：球覆盖暴露点赋范集 以维赋范空问单位球面的极小球覆盖 a f a m i l y o f ( o p e n ) c l o s e d b a l l si nab a n a c hs p a c exi ss a i dt ob ea b a l l - c o v e r i n go fxi fe v e r yb a l li n d o e sn o tc o n t a i nt h eo r i g i ni ni t si n t e r i o r a n dw h o s eu n i o nc o v e r st h eu n i ts p h e r es xo fx ；ab a l l - c o v e r i n gp i ss a i dt o b em i n i m a li ft h ec a r d i n a lo f 夕i sl e s st h a no r e q u a lt o c a r d i n a lo fe v e r y b a l l c o v e r i n go fx a r t i c l e 【8 】s h o wt h a tan o r m i n gs e ta o f8 1 1n - d i m e n s i o n a l s p a c exh a sa tl e a s tn + ld e m e n t s ：t h a tb x h a sa tl e a s t 2 ne x p o s e dp o i n t s w h i c hf o r m sas y m m e t r i cn o r m i n gs e to fx ，a n dt h a tb x h a se x a c t l y2 ne x p o s e d p o i n t si fa n do n l yi fx i si s o m e t r i ct o t ：b a s e do nt h e s ef a c t s ，t h i sp a p e rp r o v e s t h a t ( 1 ) i f 夕二= 2 n ，t h e n x i si s o m e t r i ct o ( 尺“，i l o ) ；( 2 ) i f 属：i n ( x ) = 刀+ ，a n d 如) ：ic e x p b x ，t h e n ( i ) f o re a c hd e m e n t ，ee x p ，t h e r ea l ea tl e a s t 1 - 1 c o m p o n e n t so f ，t h a ta r e0 ( i i ) f o ra n yt w oe x p o s e dp o i n t si ，i n ， t h e r ea r ea tm o s tn - l + 2n o n - z e r o c o m p o n e n t s ；a n d ( i i i ) i ft h e r e e x i s t s f 镪叼b f s u c ht h a ti t sn - l + lc o m p o n e n t sa r en o t0 ，t h e nt h e r ee x i s t sa ，一d i m e n s i o n a ls u b s p a e e 五cxt h a ti si s o m e t r i ct o ( r l , l i 1 l 。) k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：b a l l c o v e t i n g ；e x p o s e dp o i n t ；n o r m i n gs e t ，b a n a c h s p a c e 2 刀维赋范空问单位球面的极小球覆盖 第一章引言 在b a n a c h 空间几何学中，赋范空间单位球的几何的，拓扑的性质发挥着极 其重要的作用，几乎b a n a c h 空间所有性质，如：凸性，光滑性，自反性， r a d o n - n i k o d y m 性质等等，作为空间单位球的相应性质被研究。如今，人们根据 其他数学学科的需要，从各种不同角度对b a n a c h 空间进行了深入研究，促使 b a n a c h 空间理论( 包括它的几何理论) 的面貌日新月异地发展着。其中从b a n a c h 空间单位球的几何结构出发研究b a n a c h 空间性质的方法大体分为以下几种： 1 凸性和光滑性的研究 凸性的研究最早是c l a r k o n j a 于1 9 3 6 年引入一致凸空间并讨论这种空间中 测度的r n p 定理开始的。光滑性方面作为凸性的对偶性质而提出；另一方面， 它与范数作为一种特殊的凸函数与各种可微性质有密切联系。各种凸性和光滑性 的研究与最佳逼近密切联系在一起。1 9 6 8 年，e a s p l u n d 从凸函数的可微性角度 引入强( 和弱) 可微空间。后来人们称之为a s p l u n d 空间( 和w - a s p l u n d 空间) 。 2 m a z u ri n t e r s e c t i o n 性质 b a n a c h 空间x 称为具有m a z u ri n t e r s e c t i o n 性质( m i p ) ，当x 中的任意有界 闭凸集k 是一族球的交。b a n a c h 空间具有m 口等价于x 中的任意有界闭凸集k 以及工正k ，j 球艿，b 3 k ，使得x 仨b 。m a z u r s 于1 9 3 3 年首次研究了具有 m i p 的b a n a c h 空间t 2 6 1 。p l e l p r r 进一步证明了有限维b a n a c h 空间x 具有m i p 的充要条件是& 端点集在中稠密3 们。g i l e s j 、g r e g o r y d a 、s i m s b 于1 9 7 8 年证明了肋刀口幽空间x 具有m i p 当且仅当的m 广一可凹集在殴中稠密1 6 1 ， 且提出了是否每个具有m i p 的b a n a c h 空间都是a s p l u n d 空间。后来，s e v i l l a m j 和m o r e n o j p 找到了一类具有m i p 的等价范数的t ! , & s p l u n d 空间f 3 9 1 3 非紧性测度 3 以维赋范空问单位球面的极小球覆盖 k k u r a t o w s k i 于1 9 3 0 年首先研究了在g e n e r a l i z i n gc a n t o r si n t e r s e c t i o n 定理 中的非紧性测度 2 4 1 s 是实b a n a c h 空间x 的有界集，非紧性测度 a ( s ) 毫i n f 万 0 ：s = o i - i 墨，直径d ( 墨) s ) ，非紧性测度是研究非线性算子定性 a ( s ) 毫i n f 万 ：s = u 墨，直径d ( 墨) s ，非紧性测度是研究非线性算子定性 lj 理论的重要工具由此可以建立许多著名的不动点理论，而解决大量实际问题。 无穷维实b a n a c h 空间x 单位球和单位球面的非紧性测度都为2 t h l 。1 9 8 1 年郭大 钧给出了全连续场拓扑度为零的定趔坫1 。1 9 8 7 年孙经先给出了严格压缩场在球 域上拓扑度为零的定理【4 0 l 。1 9 9 9 年陈东青等部分地将球域上的结果推广到非球 域【5 】。 4 装球问题 一族半径为r 的开球被装进一个b a n a c h 空间的单位球曰中，是指若每个在 召中的球包含于曰，且任意不同的球交集为空集装球问题就是：在无限维 b a n a c h 空间，找到一个充分大的数， 0 ，s j 无限多个半径为厂的开球族能够装 x b 。显然，每个p a c k i n gc r i t e r i o n 可以导出子空间的等距嵌入这样一个结果。 b a n a c h 空间中装球问题的研究，在近五十年来也取得重大的发展。装球值 ( 工) 宣觥 ，：无穷多个半径为r 的球可以装入单位球b ，内) r a n k i n r a 等人给出 了可分h i l b e r t 空间与空间的装球值3 3 3 1 。k o t t m a n c a 在1 9 7 0 年确定j 一般 线性赋范空间装球值的范围是( 三，爿瞄】。w e l l s j n w i l l i a n s l r 用内插法的三 线定理计算出了空间的装球值4 2 1 。o r l i c z 序列空间的装球值的准确表达式是叶 以宁附1 ( 1 9 8 3 年，关于刘式范数) 和王延辅( 1 9 8 5 年，关于奥式范数) 给出的。 o r l i c a - m u s i e l a k 空间装球值也已由吴从忻、叶以宁和h y d z i k 。h 等人给出1 2 0 1 。 o r l i e z 函数空间装球值的取值范围已得到【l o l 。l o r e n t z 序列空间装球值由叶以宁 和张波给出【4 7 1 。 这些问题已成为b a n a c h 空间几何学、凸分析、非线性泛函分析等的重要组 成部分。可以说整个b a n a c h 空间几何学就是一部b a n a c h 空间单位球和球面的几 4 n 维赋范空问单位球面的极小球覆盖 何学。2 0 0 4 年，程立新老师提出了一个关于单位球面的球覆盖的一个新的几何 问题，即一个b a n a c h 空间的单位球面至少可以用多少个不含原点的球所覆盖? 由此出发，给出了b a n a c h 空间单位球面的一系列几何性质。其主要成果可分为 如下几部分： 一、刀维b a n a c h 空间的极小系统 这一部分主要考察以维b a n a c h 空间单位球面的球覆盖最小势及其覆盖的最 小半径。 i ) 若对于一族对称的球覆盖 展 州( 即 屏 饱，= 屈) 硝) ，则，。 2 n 特殊 地，& 可被一族正好含有2 以个闭球的球族所覆盖，且当x = ( r 8 ，l | 1 | ：) 时， 2 n 个闭球构成的球覆盖半径不少于粤1 i i ) 对于的任意一族球覆盖 续 州，有，。刀+ l 特殊地，当x 为光滑 时，则存在一族恰好含n + 1 个闭球的球覆盖。当x = ( ，i i i i ：) 时，由n + 1 个闭球 构成的球覆盖半径不少于j n ，且当这r l + 1 个闭球的球心恰好在_ n 2 s x 的内接正则 单形的顶点上时，可取得覆盖半径詈。( 见文献【3 9 1 叩。 i i i ) 对任意n + l ，若任一具有可数球覆盖且其覆盖半径不超过，的b a n a c h 空间 x 为可分的，则a 的上确界是否存在? 答案是肯定的，其上确界为l ，但不可达 到( 见文献【6 1 ) 。 i i ) 由凸集分离定理可证明具有可数球覆盖的b a n a c h 空间x ，其对偶空间f 5 力维赋苑空问单位球面的极小球覆盖 为可分的。丽反之，若x 为g a t e a u x 可微空问或局部一致凸的，且x 为 可分的，则x 具有可数球覆盖。( 见文献【6 1 ) 2 商空间的球覆盖性质 这一部分证明了对一个无穷维的鼢刀口西空间x ，它存在一个等价范数| | 及 一闭子空间y ，f f t d i m x y = * o ，使得x ，】，对于范数1 1 具有球覆盖性质，从而可 得一个b a n a c h 空间x 有一无穷维的可分商空间当且仅当x 中存在一无穷维的 商空间满足其单位球面具有可盖，且覆盖半径数球覆， 0 ，3 。 n o 及双正交系 ( 玉，i ) ) 叫c x x s ts u p i i x , l l i i il l s l + 占( 见文献8 1 ) 本文正是基于这一系列研究，针对第一部分中的内容得到了若干结论进一步证明 了当x 的单位球面的极小球覆盖数为n + l ( 1 ，n ) 时，( 1 ) 当，= 刀时，( z ，l l l ， i i i ) 与( r “，i i k ) 等距同构；( 2 ) 若如) ：。c c x p ，则：i ) 任意，唧毋， 至少有，一1 个分量为零i i ) 丑，中的任何两个暴露点，毛不为零的分量至多 只有以一1 + 2 个。i i i ) 若存在一个暴露点，使得，= ( 工( 功k 分量不为零的个数 为刀一i + 1 ， 则存在，维的子空间五c 石，使得( 五，0 ) 与( 掣，乙) 等距同 构。全文共分为三章 第一章主要回顾了从b a n a c h 空间单位球出发研究b a n a c h 空间性质的一些 成果，并给出了本文的研究基础。 第二章，我们回顾了一些预备知识。这些预备知识主要是本文涉及的一些记 号及基本定义和基本定理。接着，本部分重点利用文献【8 】、【6 】中的一些性质， 6 力维赋范空间单位球面的极小球覆盖 证明了当x 的单位球面的极小覆盖为2 露时， ( x ，帅1 ) 与( 犬“，咖。) 等距同构 第三章利用上一章的结论，证明了当x 的单位球面的极小球覆盖为刀+ ， is ，s 再 q ：二c e x p 以，则：1 ) 任意，e e x p 气， 工至少有，一1 个分量为零2 ) 口r 中任何两个暴露点 ，而不为零的分量至多只有n - l + 2 个3 ) 若存在一个 暴露点，使得，= ( 工( j ) ) 乙分量不为零的个数为n - l + l ，则存在，维的子空间 五cz ，使得( 工，| i i 1 | 1 ) 与( r 。，l ) 等距同构。 7 刀维赋范空间单位球面的极小球覆盖 第二章雅( x ) ：2 刀时b a n a 幽空间x 的结构 为了证明主要结果，我们先给出一些定义和定理。不作特别声明时，本文始 终假设x 是一个实b a n a c h 空间，其对偶空间为x 以叉表示x 的单位球面， 以表示的单位球；同样地，以表示x 的单位球面，气表示x 的单位球。 我们用 岛) ：。表示x 的标准基，n 表示自然数集，口阮厂) 表示x 中以z 为中心， 半径为，的闭球，且在不至产生混淆时也以b ( x ，) 表示开球。对于子集acx ， c o a 表示彳的凸包。 2 1 基本定义 定义2 1 1 i ) 称p = 忍) 拒，为& 的一个球覆盖，若对v f j ，忍为内部不 含原点的闭球，且瓦c u e 。一个覆盖半径为r = ，( ) 的球覆盖，指的是这 k ， 个覆盖中所有闭球半径的最大值为，。 i i ) b a n a c h 空间x 中的一个球覆盖p 称为极小的，若p 的势小等于x 中任意球 覆盖的势。 定义2 1 2 设厂是b a n a c h 空间z 中的凸函数，耍l l j f 的次微分映射钞定义为： o f = 缸。x ：f o ) - f ( x ) x ，y 一动，v y d ) ，工e d 厂称为点x 处是g 口泐甜可微的，若存在工x ，得对任意j ，x 有 姆 地竿盟七胖。 此时，称x 为f 在x 处的g 口加姗微分。 定义2 1 3 设c 为b a n a c h 空间x 上的非空有界闭凸集， i ) 称点xec 为c 的一个暴露点，若j ，x ，s t c ，y 工，有 瓴y ) 显然，w 一暴露点是暴露点，若x 是自反的，则m 广一暴露点与暴露点是一致 的。 特别地，d i m x 0 ，s t坛x ，有 s u p ( x , 动 o r f i 工i i 。 r t 等价于口2 船s g u 细p ( x l ，动 0 2 2 基本定理及结论 弓i 理2 2 1 1 6 设d i m x = 刀 - 由于墨是对称的从而， 五，屯，) 是以的暴露点。 因此，对于刀维多面体p 暑 ，恐，4 x n ) 满足o i n t p 。故p 是x 的一 个赋范集。 i i ) 必要性： 因为f 有2 刀个暴露点 q ，e 2 ，乞) ，其中如) ：。是彳中的一个标准单位 基。故x 与誓等距同构。 充分性： 设毋有2 n 个暴露点溉，屯，毛) ，其中瓴，而，) 是品中n 个线性无 9 靠维赋范空问单位球面的极小球覆盖 关的向量。则以2 ，x 2 ，) 定义映射t ：x r 为 戥= ( 五，冬，五) ， 任意x = 五五x i = 1 则显然r 是一个线性映射，且满足冯= & 时丁是x 到f 的等距同构映射。 定理2 2 2 设z 的单位球面的极小球覆盖球数为m = n + l 。1 ，万，则当 i = 刀时，( x ，l i i ，l | i ) 与( 彤，乙) 等距同构。 证明 由引理l ，设 i 汜是畅1 个线牲荛嵩撩露点，则“* 歹一2 n 。构成x 的一个赋范集。定义映射丁：x 专f 令 蠢 r ( x ) = ( q ，) ，= q 而x f 暑l 1 it ( x ) i l r 爿l lx $ = 4 1 1 ( a , ) 1 1 1 则丁是r 到( 彤，1 1 ) 的等距同构映射。 因此， q 如ce x p ( b ( r , l l l ，i l i ) ) ，从而次微分映射a ( i i | i i r )有一个分量不 为0 。 事实上：若，= ( f ( n ) ) ：，有两个分量不为零， 不妨设，( 1 ) 0 f ( 2 ) o 。 取订= - s g n ( x ( 1 ) ) q ，z = - s g n ( x ( 2 ) ) 乞，并令 j y l + 4 2 y 2 + a 3 x = o 1 + 如+ 如= l 解得 五= 雨 1 0 以维赋范空间单位球面的极小球覆盖 五= 雨糍 乃= 可虿而厕 1 即丑五，五均大于0 ，从而o i n t c o y ：，以，工 。 于是 片，z ，工 3 个暴露点构成子空间( 兄2x o ) c 彤的一个赋范集， 从而2 拜一1 个暴露点 片，虻，) u 弓乙构成x 的一个赋范集，矛盾! 设 ，= 磊i ( 1 s f 刀) 则有 i i x 0 爿1 名ii h x , i 0 i 刊五i = l 解得 五= l ， 即，仕) 从而 ) 的闭凸包就生成似4 ，| 1 ) 的单位球， 所以( x ，f | i ，i i i ) 与( r “，l ) 等距同构 刀维赋范空间单位球面的极小球覆盖 第三章b 兰c x ) = n + l 时b a n a c h 空间x 的结构 程立新老师在文献【6 1 得出了 弓i 理3 1 ：若d i m x = 一，则 i ) 对的每个球覆盖= 僻) 把，都有，l + l 跣：特别地，x 是光滑 i i ) 存在一个势为n + l 的球覆盖。 证明：i ) 设 届) 胁是的一个球覆盖，则对v z ，0 雀马由分离性定理， 对鸭，茸s t o ，( v x b , ) 。 因此 i ) 胁构成x 的一个赋范集 则w ) 把必包含( n + 1 ) 个仿射无关的元素舐，并，z ) ( 否则w ) 胁包含在j 的一个超平面内，这与 i ) 从是赋范集相矛盾) 。 因此够) 觚至少包含( n + 1 ) 个元素。 i i ) 因为d i m x = 刀 = 岛，v 1 f ，_ ，万； d ) 0 五l i = i ，v i f 肛。 根据a u e r b a c h 定理，存在中的刀个点传 7 - 。及墨中的刀个点e ) 知，s - t = 磊 1 2 以维赋范空问单位球面的楹小球覆盖 令棚l = n ( 勘辄= 而1 ，、 则易证 i ，i ，和 x o ， ，) 满足条件a ) ，b ) c ) 又因为是光滑的， 我仃 有0 毛i i = g ，v i s f 尼 选择而墨s t o ，使得 m a x ( x o ，力，“，x ) y i i x l l ，坛e x 因此c u 扛：( ，动) 从而，可知存在( n + 1 ) 个不包含0 点的球 乃 ， 使得巧3 x s x ： 弓，力- - p ，w = o ，1 ，刀， 因此tu n , ，得证。 引理3 2 若x 是可微空间，或局部一致凸空间，则赡= ( 自然数的基数) 当且仅当x 是广一可分。 那么自然就产生新的问题： 若如( x ) = 万+ z ，则如何刻画其几何结构性质和拓扑性质昵? 有如下结论： 定理3 3 x 的单位球面的极小球覆盖数为以+ f 且编) ： e x p ，则任意 ，e x p ，至少有，一1 个分量为o ； 证明：假设结论不成立，则存在f e x p ( r , 1 1 1 i i r ) ，至少有刀一，+ 2 个分量不 以维赋范空问单位球面的极小球覆盖 为0 。 不妨设，( 1 ) ，工( 2 ) x ( n - l + 2 ) 均不为零 取订= - s g n ( x ( 吩e l ， i = l ，2 ，n - l + 2 ， 并设f ( f ) = 凶， 令 p 五嚣麓窀，删l - + 五+ + 丸一”= l 。 解得 一以s g n s i + 以一“3 而= 0 s g n s , + 乃叫”8 2 = 0 一无- ，+ 2s g ns , 叫+ 2 + 五一+ 3 晶一+ 22 0 五+ 如+ + 五- ，+ 3 = l = 而 h 2 2 而考等i ，2 可可i 1 而 即 ，如，乃- ，+ ：，五，+ ，均为正数， 从而0 i n t ( 丑，8 2 ，+ 2 工) 于是， ，订) 窖+ 2 个暴露点构成了俾”m o ) 的一个赋范集，进而 f ，咒* 址1 n - 。i + 2u 巳) 一+ 3 个暴露点构成z 的一个赋范集，即有刀+ ，彳1 个元素，这 与假设条件矛盾。 定理3 4 以中任何两个暴露点i ，不为零的分量至多只有刀一，+ 2 个； 证明：定义io 五= “ii ( 1 ) f + i 互i ) ，( 1i 0 ) l + i 五0 ) 1 ) ) 1 4 刀维赋范空间单位球面的极小球覆盖 任意i 铱p ( 以) 由定理3 3 ， 可设i = ( i ( 1 ) ，i ( 2 ) ，x ；( n - i + i ) ，0 o ) 且i ( f ) ( i - l ，2 ，n - l + 1 ) 均不为零 假设存在两个暴露点i ，葛不为零的分量有玎一“3 个，不妨设 = ( z ( 1 ) ，葛( 2 ) o lo ) x 2 ( n - l + 3 ) ，o o ) ，且z o 一，+ 2 ) ，x ；( n - l + 3 ) 均不为零。 取 并= o ，i = l ，2 ，n - l + l 。 从而名，正，五- - + 4 ) 疋一+ ，满足方程( 1 ) 。 1 5 以维赋范空问单位球面的极小球覆盖 要使( 1 ) ，( 2 ) 同时成立， 只须令： 故研，片，y - _ ，) 构成( r 剃柑o ) 的一个赋范集。 因此以一，+ 1 个暴露点 i ，片，y o n _ ，+ 3 ) u 勺臻。，+ 构成x 的一个赋范集， 矛 盾! 定理3 5 存在j e x p ( ) ，f f 得x = ( 工o ) ) 1 1 分量不为零的个数为群于z 琴l ，则 存在，维的子空间五cx ，使得( 五，i i i i i i ) 与( r 。，l 砖) 等距同构。 证明l 由已知条件，可设z = o i ，屯，& ，+ 。，0 ，o ) ( 岛o , i = l ，2 ，刀一，+ 1 ) 。 则存在，维的子空间五，使得它的次微分映射a ( 1 l l ，l l i ) 只有一个分量不为零。 事实上，若五的暴露点有两个非零的分量， 由定理3 4 及假设，则存在i = ( ，f 2 ，厶- ，+ 2 o ，o )且- ，+ ，“+ 2 不为零， 巳( 歹= l ，2 ，刀一，) 至少有一个为零， 不妨设= o 。 设 并= ( - s g n ( s 1 ) ，o ，0 ，- s g n ( t , _ t + 2 ) ) 片= - s g n ( a f ，i a il = m a x ( i 岛l ，i t , 1 ) ) f = 2 ，3 ，n - l + l 考察( 1 ) 式，展开得 - 五西+ + “+ l y * s - i + i + 五- ，+ 2 i + 钆+ 3 = o ( 1 ) 【五+ 五+ + 五一+ ，= 1 ( 2 ) 1 6 蠹 = 五 刀维赋范空问单位球面的极小球覆盖 解得 s g n s l + 五- f 2 3 1 - - 0 一s g n a 2 + 五一+ 2 屯+ 五h + 3 乞= o 一无一“is g na 。- ，+ i + 五_ ，+ 2 q + i + 五- ，+ 3 乙- ，+ i = o 一 s g n t , _ m + 小，2 = o * - 1 + 3 - i 厶卅1 1 了 “= 鬲 z = 盆2 垒盆坦刍 s g n a 2 o ，+ = 篮芷幽兰虹 葛垮l “ ，+ l 从而保证i ，正，如+ ，均大于零。要使( 1 ) ，( 2 ) 同时成立，只须令 五：善 五 故f ，片，比+ ) 构成( r 1 小2x0 ) 的一个赋范集。因此万+ ，f 1 个暴露点 w ，订，比+ ) u + 巳) 盖。叫构成x 的一个赋范集，矛盾! 从而结论成立。 1 7 刀维赋范空间单位球面的极小球覆盖 参考文献 1 j h p p e l1 r e c e n tt r e n d si nn o n li n e a ra n a l y s i s ，b i r k h a u s e r ，b a s e l ， 1 3 0 s t o n ，b e r lin ，2 0 0 0 2 j m a y e r b et o d d a n o ，t d o m in g u e zb e n a v id e sa n dg l o p e zh c e d m e a s u r e so fn o n c o m p a c t n e s si nm e t r i cf i x e d p o i n t t h e o r y ，b i r k h a u s e r ， v e r l a g ，b a s e l ，b o s t o n ，a n db e r li n ，1 9 9 9 3 b u r l a c k j a c ，r a n k i nk a ，r o b e r t s o n a r ，t h ep a c k i n go fs p h e r e si nt h e s p a c ef ，p r o cmag l a s g o w ，4 ( 1 9 5 8 ) ，1 4 5 1 4 6 4 p b a n d y o p a d h y a y ，t h em a z u ri n t e r s e c ti o np r o p e r t yi nb a n a c hs p a c e s a n dr e l a t e dt o p i c s ，p h d t h e s i s ，i n d i a ns t a t i s t i c a li n s t i t u t e ， c a l c u t t a ( f e b r u a r y ，1 9 9 1 ) 5 陈东青，尹国举，严格压缩场的拓扑度计算军械工程学院学报， l l ( 1 9 9 9 ) ，7 3 - 7 6 6 l i x i nc h e n g ，b a ll c o v e r i n gp r o p e r t yo fb a n a c hs p a c e s ，i s r a e lj o u r n a l o fm a t h e m a t i c s ，1 5 6 ( 2 0 0 6 ) ，1 1 1 - 1 2 3 7 l i x i nc h e n g ，e x i s t e n c eo fb a l l - c o v e r i n gi nb a n a c hs p a c e s ，t oa p p e a r 8 】l i x i nc h e n ge t c ，o nm i n i m a lb a l l - c o v e r i n go ft h eu n i ts p a c e s 。t o a p p e a r 9 l c h e n g ，p r o p e r t yo fm i n i m a lb a ll c o v e r i n g so fb a n a c hs p a c e sa n d i t sa p p l i c a t i o n ，t oa p p e a r ，l 维赋范空问单位球面的极小球覆盖 1 0 c e c l e a v e r ，p a c k i n gs p h e r e si no r li c zs p a c e s ，p a c i f j m a t h 6 5 ( 1 9 7 6 ) ，3 2 5 - 3 3 5 1 1 】g c o n s t a n t i na n di i s t r a t e s c u ，e l e m e n t so fp r o b a b i l i s t i ca n a l y s i s w i t ha p p l i c a t i o n s ，k l u w e ra c a d p u b l d o r d r e c h tb o s t o n ，l o n d o n ， 1 9 8 9 【1 2 p e n f l o ，b a n a c hs p a c e sw h i c hc a nb eg i v e na ne q u i v a l e n tu n if o r m l y c o n v e xn o r m ，i s r e a lj m a t h 1 3 ( 1 9 7 2 ) ，2 8 1 - 2 8 8 1 3 m f a b i a n ，g a t e a u xd i f f e r e n t i a b i l i t yo fc o n v e xf u n c t i o n sa n d t o p o l o g y ：w e a ka s p l u n ds p a c e s ，c a n a dm a t h s o c m o n o g r a p h sa n d a d v a n c e dt e x t s ，j o h nw il e y s o n s ，i n c 1 9 9 7 1 4 郭大钧，非线性泛函分析。山东科学技术出版社，1 9 8 5 1 5 郭大钧，一个新的不动点理论数学学报，2 4 ( 1 9 8 1 ) 4 4 4 4 5 0 1 6 g i l e s j ，g r e g o r yd a ，s i m sb ，c h a r a c t e r i z a t i o no fn o r m e d l i n e a r s p a c e sw i t hm a z u r si n t e rs e c t i o np r o p e r t y b u l la u s t r a lm a t h s o c ，1 8 ( 1 9 7 8 ) ，1 5 - 1 2 3 17 a s g r a n e r o ，j p m o r e n oa n dr 艮p h e l p s ，c o n v e xs e t sw h i c ha r e i n t e r s e c t i o no fc l o s e db a l l s ，a d v m a t h 1 8 3 ( 2 0 0 4 ) ，1 8 3 - 2 0 8 1 8 a s g r a n e r o ，j p m o r e n oa n dr r p h e l p s ，m a z u rs e t si nn o r m e d s p a c e s ，d is c r e t ec o m p u t g e o m , 3 1 ( 2 0 0 4 ) ，4 11 - 4 2 0 1 9 j k h a l e ，a s y m p s t o t i c sb e h i v i o ro fd i s s i p a t i v es y s t e m s ， 托维赋范空间单位球面的极小球覆盖 m a t h e m a t i c a ls u r v e y sa n dm o n o g r a p h s ，v 0 1 2 5 ，a m e r m a t h s o c p r o v i d e n c e ，r h o d ei s l a n d ，1 9 8 8 2 0 h u d z i k h ，w uc ，y ey ，p a c k i n gc o n s t a n t si nm u s i e l a k - o r l i c zs e q u e n c e s p a c e sw i t hl u x e m b e r gn o r m ，r e v i s t am a t h e m a t i c s ，7 ( 1 9 9 4 ) ，1 3 2 6 2 1 p k j a i n ，e m a l k o w s k y ，s e q u e n c es p a c e sa n da p p li c a t i o n s ，a l p h a s c i e n c ei n t ll t d ，1 9 9 9 2 2 c r j a m e s ，u n i f o r m l yn o n s q u a r eb a n a c hs p a c e ，a n n m a t h 2 ( 1 9 6 4 ) ， 1 0 1 - i1 9 2 3 c a k o t t m a n ，p a c k i n ga n dr e f l e x i v it yi nb a n a c hs p a c e s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 1 5 0 ( 1 9 7 0 ) ，5 6 5 - 5 7 6 2 4 k k u r a t o w s k i ，s u rl e se s p a c e sc o m p l e t s ，f u n d m a t h 1 5 ( 1 9 3 0 ) ， 3 0 1 - 3 0 9 2 5 1j l i n d e n s t r a u s sa n dl t z a f r i r i ，c l a s s i c a lb a n a c hs p a c e si ， s e q u e n c es p a c e s ，s p r in g e r v e r l a g ，19 7 7 2 6 s m a z u r ，u b e rs c h w a c h ek o n v e r g e n zi nd e nr a u m e nl p ，s t u d i am a t h 4 ( 1 9 3 3 ) ，1 2 8 - 1 3 3 2 7 】w v p e t r y s h y n ，g e n e r a liz e dt o p o l o g i c a ld e g r e ea n ds e m ili n e a r e q u a t i o n s ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，1 9 9 5 2 8 w v p e t r y s h y n ，p v p e t r y s h y n ，a p p r o x i m a t i o n - s o l v a b i l i t yo f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，m a r c e ld e k k e r ， 刀维赋范空间单位球面的极小球覆盖 i n c n e wy o r k ，b a s e lh o n g k o n g 1 9 9 3 2 9 r r p h e l p s ，c o n v e xf u n c t i o n s ，m o n o t o n eo p e r a t o r sa n d d i f f e r e n t i a b i l i t y ，l e c t n o t e si nm a t h ，v 0 1 1 3 6 4 ，s p r i n g e r v e r l a g 1 9 8 9 3 0 p h e l p s 。r r ，ar e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mf o rb o u n d e d c l o s e dc o n v e x s e t s p r o ca m e rm a t hs o c ，1 0 2 ( 1 9 6 0 ) ，9 7 6 - 9 8 3 3 1 邱曙熙，现代分析引论。厦门：厦门大学出版社，2 0 0 2 。 3 2 r i c h a r db h o l m e s ，g e o m e t r i cf u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t s a p p li c a t i o n s s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 5 3 3 r a r a n k i n ，o np a c k i n g so fs p h e r e si nh i l b e r ts p a c e ，p r o c m a g l a s g o w2 ( 1 9 5 5 ) ，1 3 9 - 1 4 4 3 4 m