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【东大学博士学位论文 无网格伽辽金方法及其在金属塑性成形过程 数值模拟中的应用研究 摘要 金属塑性成形技术在金属零件的制造过程中起着十分重要的作用。它不汉 具有生产效率高、产品质量稳定、原材料消耗少的优点，而且还可有效地改善 金属的组织性能。为了预测各种过程参数对金属流动的影响，必须采用数值分 析技术对成形过程进行模拟。但是，由于金属成形过程是一个复杂的物理过程， 它包含着几何非线性、物理非线性和接触非线性，传统的解析法，如主应力法、 滑移线法、上限法等，由于数学上的困难或作了过多的假设而使其所能求解的 范围和难度都极为有限，难以分析实际生产中复杂的成形过程。随着计算机技 术的发展和数值计算方法的f 益完善，有限元数值模拟技术在塑性成形中的应 用蓬勃发展，成为金属塑性成形问题中广泛应用的数值分析方法。 有限元方法的显著特征是将连续体用有限个离散单元表示，每个单元通过 有限元网格连接。但是，当： 件变形到一定程度时，有限元网格将发生畸变现 象，从而使计算精度严重受损，甚至导致计算过程无法进行下去。为了完整地 模拟金属塑性成形过程，必须对畸变网格进行网格再划分。尽管网格再划分技 术取得了较大的进展，但网格再划分不仅耗时、计算精度受损，而且三维复杂 成形过程中的网格再划分问题依然有待于进一步的研究。 无网格方法是近年来兴起的类新的数值方法。它将连续体离散为 有限数目的质点或节点，场函数在没有明显网格的情况下通过这些节点 或质点的离散集合插值得到。由于浚方法仅仅采用基于点的近似，而不需要 节点的连接信息，不仅避免了繁琐的单元网格生成，而且提供了连续性好、形 式灵活的场函数，具有前后处理简单、精度高等方面的优点。在处理裂纹 l jj 东大学博士学位论文 扩展、多尺度分析、高速碰撞和具有大变形特征的金属塑性成形问题时具有巨 大的优越件。 在诸多的无网格方法中，以移动最小二乘近似理论为基础的无网格 伽辽金方法以其精度高、适用性强的特点受到国内外学者的广泛关注。 但是，由于移动最小二乘近似的形函数般不具有常规有限元或边界元形函数 所具有的捅值特征，因此，本质边界条件的处理成为无网格伽辽金方法实施中 的一个难点。为了克服这一困难，国内外学者先后提出了拉格朗只乘子法、修 正的变分原理、耦合的有限元一无网格伽辽金方法、修正的配点法、奇异权函 数法、罚函数法和位移约束方程方法等。 在无网格伽辽金方法中，采用拉格朗同乘子法旌加本质边界条件不仅增加 了未知量的数目而且使刚度矩阵不再具有带状、正定的特点。修正的变分原理， 在不增加未知量的同时保持了刚度矩阵的带状，而且一般是难定的，但计算精 度有所下降：与有限元法的耦合简化了边界条件的施加，但削弱了无网格伽辽 金方法的无网格特征。 本文在无网格伽辽金方法基本原理和前人工作的基础上，针对存在的问题， 采用罚函数法施加本质边界条件，从约束变分原理出发详细推导了二维热传导 方程无网格伽辽金方法的计算公式；根据所推导的计算公式编制了计算程序， 分别采用指数权函数、三次b 样条和四次b 样条权函数对多种边界条件组合下 的二维拉普拉斯边值问题进行了计算，对权函数的选择对计算精度的影响进行 了研究，给出了罚函数的取值范围，进一步丰富了罚函数法的算例，验证了罚 函数法的有效性。 在无刚格伽辽金方法中，采用基于约束变分原理的罚函数法施加本质边界 条件，虽然克服了拉格朗r 乘予法、修难的变分原理和耦合的有限元一无网格 伽辽金方法的不足，但是，当罚函数的取值太大时，罚函数的引入往往会导致 刚度矩阵条件数的增加，从而使计算精度受损，而且，目前罚函数的选取还具 有某种程度上的任意性。 i i 山东大学博士学位论文 为了克服这一缺点，本文将冉生核质点方法中的完全变换法与无网格伽辽 金方法相结合，通过对移动最小一乘形函数进行修正，实现了本质边界条件在 节点处的直接、精确施加，给出了无网格伽辽金方法中一种新的本质边界条件 的施加方案完全变换法：从弹性力学边值问题的变分弱形式出发，详细推 导了弹性力学边值问题无网格伽辽金方法的离散控制方程；进而给出了场函数 的全域表达式。运用所推导的公式编制了相应的程序，对端部集中力作用f 的 悬臂梁进行了分析计算，数值计算结果表明该方法不仅实现了本质边界条件在 节点处的精确施加，而且具有精度高、收敛性好的特点。 在无网格伽辽金方法中，完全变换法克服了拉格朗日乘子法、修正的变分 原理、耦合的有限元无网格蜘j 辽金方法和罚函数法的不足，实现了本质边 界条件在节点处的直接、精确施加。但是，当节点数目较多时，完全变换矩阵 的计算工作量将增加，计算效率随之降低。为了解决这一问题，本文将再生核 质点方法中的混合变换法与无网格伽辽金方法相结合首先将离散节点集合分 为非约束节点集合和约束节点集合，进而引入混合位移向量，使得混合位移向 量与广义位移向量之间的变换仅需要对约束节点集合进行，从而提高了变换矩 阵的计算效率：给出了局部修正的移动最小二乘形函数的概念及其矩阵表达式， 实现了本质边界条件在节点处的精确施加，给出了无网格伽辽金方法中种新 的本质边界条件的施加方案混合变换法：从弹性力学边值问题的变分弱形 式出发，详细推导了弹性力学边值问题的无网格伽辽金方法的离散控制方程： 进而给出了场函数的全域表达式。数值计算结果表明该方法在实现本质边界条 件在节点处的精确施加的前提下，具有较好的收敛性、较高的计算效率和计算 精度。 在分析金属塑性成形问题的有限元方法中，刚( 粘) 塑性有限元方法根据 金属塑性成形过程中弹性变形部分远小于塑性变形部分的特点，不计弹性变形， 采用l e v y m i s e s 方程作为本构方程，并采用率方程描述，变形后物体的形状可 通过在离散空问对速度的积分而获得，从而避开了有限变形中的几何非线性问 i i i 山东大学博士学位论文 题，大大简化了有限元的列式f 求解过程，具有应力计算无累积误差、计算时 f i j 较短、能适应多种材料硬化模型、动态边界处理较容易等优点。因此，得到 了广泛的应用。 本文钊对金属体积成形过程中弹性变形远远d , 5 r ：塑性变形的特点，将无网 格伽辽金方法与刚( 粘) 塑性理沦柑结合，提出了基于刚( 粘) 塑性流动理 的无网格伽辽金方法。采用局部修j f 的移动最小二乘近似构造速度场向量，建 立了无网符 伽辽金方法中等效应交速率和体积应变速率的矩阵表示；分别采用 混合变换法和罚函数法施加速度边界条件和体积不变条件，运用不完全广义变 分原理，详细推导了二维金属塑性成形问题的无网格伽辽金方法的离散控制方 程，给出了无网格伽辽金方法中体积刁i 变条件的处理方案。 对金属塑性成形过程无嘲格伽辽余方法数值模拟中的关键技术进行了研 究，给出了无网格伽辽金方法中接触边界摩擦条件、刚性区的处理技术、收敛 判断与控制技术，从而完善了所提出的基于刚( 粘) 塑性流动理论的无网格伽 辽金方法。最后，给出了基于刚( 粘) 塑性流动理论的无网格伽辽金方法数值 模拟的算法流程。应用开发的相应数值模拟程序，咀轴对称镦粗为例验证了方 法和程序的可彳j 性和正确牲。 关键词：无网格伽辽金方法；移动最小二乘近似；本质边界条件：变换法；会 属塑性成形 i v 山东大学博士学位论文 s t u d yo ne l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o da n d i t sa p p l i c a t i o ni nn u m e l u c a ls i m u l a t i o n0 f m e t a lf o r m i n gp r o c e s s e s a b s t r a c t t h et e c h n o l o g yo fm e t a lf o r m i n gp r o c e s s i n gp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm e t a l p a r tm a n u f a c t u r i n g i t sa d v a n t a g e s a r en o t o n l y i ni t s h i g hp r o d u c t i v i t y , s t a b l e q u a l i t y ，a n dl o wc o s to f r a wa n d p r o c e s s e dm a t e r i a l s ，b u ta l s oi ni t sc h a r a c t e r i s t i c so f i m p r o v i n g t h em i c r o s t r u c t u r e p e r f o r m a n c ed r a m a t i c a l l y n u m e r i c a la n a l y t i c a l m e t h o di sn e e d e dt o p r e d i c tt h e i n f l u e n c eo nm e t a lf l o wo fv a r i o u sp r o c e s s i n g p a r a m e t e r s a tt h es a m et i m e ，t h es i m u l a t i o no fm e t a lf o r m i n gp r o b l e m si n v o l v e s n o n - l i n e a r i t i e si ng e o m e t r y , m a t e r i a l a n dc o n t r a c t ，t h ec o m p l e xf o r m i n gp r o c e s s c o u l dn o tb ea n a l y z e db yt h et r a d i t i o n a la n a l y t i c a lm e t h o d s ，s u c ha st h es l a bm e t h o d ， t h e s l i p l i n e f i e l dm e t h o d ，t h e u p p e r - b o u n dm e t h o de t c t h e r e a s o ni st h a tt h e d o m a i na n dd i f f i c u l t i e so ft h ep r o b l e m ss o l v e db yt h e s em e t h o d sa r el i m i t e d b y d i f f i c u l t i e sf r o mm a t h e m a t i c so rb yt o om a n yp r e s u m e s t os i m u l a t et h ef o r m i n g p r o c e s s i t i s r e q u i r e d t ou t i l i z ea d v a n c e dn u m e r i c a l t e c h n i q u e s w i t h t h e d e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g ya n dc o m p u t a t i o n a lm e t h o d s ，t h ea p p l i c a t i o no f t h ef i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o nm e t h o dh a sb e e nt h em o s tp o p u l a ra n dw i d e l yu s e d m e t h o di nt h ef i e l do fm e t a lf o r m i n g as a l i e n tf e a t u r eo ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di st h a ti td i v i d e sac o n t i n u u mi n t o d i s c r e t ee l e m e n t s a l id i s c r e t ee l e m e n t sa l ec o n n e c t e db ym e s h h o w e v e r , o n em a y e x p e r i e n c es e r i o u sm e s h d i s t o r t i o nw h e nt h ed e f o r m a t i o nd e v e l o p e dt os o m e e x t e n t ， w h i c hc a ne i t h e rr e s u l ti nd r a s t i cd e t e r i o r a t i o no f a c c u r a c yo re n dt h ec o m p u t a t i o n a l t o g e t h e r t os i m u l a t et h em e t a lf o r m i n gp r o c e s sp e r f e c t l y ，r e m e s h i n gi sn e e d e do n d i s t o r t i o n a lm e s h t h o u g hr a t h e re f f e c t i v er e m e s h i n g t e c h n i q u e sh a sb e e nd e v e l o p e d ， al o to f p r o b l e m s a l s oe x i s ti nt h ec o m p u t a t i o n a le f f o r t sa n dc o m p u t a t i o n a lp r e c i s i o n e s p e c i a l l y m o r e o v e gi t i sa l s oad i f f i c u l tt a s kt os o l v et h er e m e s h i n gp r o b l e mo f v 山东大学博士学位论文 t h r e e d i m e n t i o n a ls i m u l a t i o no f c o m p l e x m e t a lf o r m i n g p r o c e s s ， m e s h l e s sm e t h o d sa r en e wn u m e r i c a lm e t h o d s r a p i d l yd e v e l o p e d i n r e c e n ty e a r s i nm e s h l e s sm e t h o d ，ac o n t i n u u mi sd i s c r e t i z e di n t of i n i t en u m b e ro f p a r t i c l e so rn o d e s w i t h o u tt h e b u r d e no fas t r u c t u r e dm e s ha n da ne l e m e n t c o n n e c t i v i t y i nt h ec l a s s i c a ls e n s eo ff i e l d f u n c t i o n s ，w h i c h h a v e h i g h c o n t i n u i t y a n df l e x i b l e f o r m ，c a n b ec o n s t r u c t e d e n t i r e l y i nt e r m so f a r b i t r a r i l yp l a c e d n o d e so fs t r u c t u r e sw i t h o u t u s i n ge x p l i c i t m e s h t h e p r e p r o c e s s i n ga n dp o s t p r o c e s s i n ga r eb o t hs i m p l i f i e d a n dh i g ha c c u r a c y i sa c h i e v e di nt h e s em e t h o d s t h e r ea r e g r e a t v a l u e sa n d p r o m i s i n g a p p l i c a t i o n s f o rt r e a t m e n t so f p r o b l e m s s u c ha sc r a c k p r o p a g a t i o n ， m u l t i p l e s c a l ea n a l y s i s ，h i g h s p e e dc o l l i s i o na n di n d u s t r yf o r m i n gp r o b l e m w i t hl a r g ed e f o r m a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s a m o n g v a r i o u sm e s h l e s sm e t h o d ，t h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，w h i c hi s b a s e do nt h em o v i n gl e a s t s q u a r ea p p r o x i m a t i o n ，h a s b e e nw i d e l yd i s c u s s e db y r e s e a r c h e r sa l lo v e rt h ew o r l dd u et oi t sh i g hp r e c i s i o na n ds t a b i l i t y h o w e v e r ，t h e i m p l e m e n t a t i o n o fe s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n si sam a i nd r a wb a c ki nt h e a p p l i c a t i o no fe l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d t h e r e a s o ni st h a tt h es h a p ef t m c t i o n s o f m o v i n gl e a s ts q u a r e s ，u s e di nt h i sm e t h o d ，l a c kt h ed e l t af u n c t i o np r o p e r t yo f t h e s h a p e f u n c t i o n so fu s u a lf i n i t ee l e m e n to rb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d t oa l l e v i a t et h e a b o v ep r o b l e m ，al o to fm e t h o d ，s u c ha sl a g r a n g i a nm u l t i p l i e rm e t h o d ，m o d i f i e d v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，c o u p l e df i n i t ee l e m e n t e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，m o d i f i e d c o l l o c a t i o n m e t h o d ，s i n g u l a rw e i g h f u n c t i o n s m e t h o d ，p e n a l t y m e t h o da n d d i s p l a c e m e n tc o n s t r a i n te q u a t i o n sm e t h o de t c ，a r ed e v e l o p e d i nt h ee n f o r c e m e n to fe s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n so fe l e m e n tf r e eg a l e r k i n m e t h o d ，t h el a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o di n c r e a s e 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e g a l e r k i nm e t h o di nt h e p r e s e n tp a p e r n u m e r i c a l r e s u l t sa r e g i v e n o i l t w o d i m e n s i o n a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s o fl a p l a c e e q u a t i o n s w i t hv a r i o u s b o u n d a r yc o n d i t i o n sb yu s i n gt h ea l g o r i t h mo f t h ep r e s e n tp a p e r ac o m p r e h e n s i v e s t u d y i sg i v e no nt h ec h o i c eo fw e i g h tf u n c t i o n sa n dp e n a l t yf u n c t i o n s t h ea d v i c eo n t h ec h o i c eo fw e i g h tf u n c t i o ni sg i v e nw h i l ee n r i c h i n gt h en u m e r i c a le x a m p l e so f p e n a l t ym e t h o d a n dv e r i f y i n gi t se f f e c t i v e n e s s i nt h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，t h o u g hp e n a l t ym e t h o d ，w h i c hi su s e dt o i m p l e m e n tt h e e s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，o v e r c o m e ss o m ed i s a d v a n t a g e s o f t h o s em e t h o d s ，s u c ha sl a g r a n g i a n m u l t i p l i e rm e t h o d ，m o d i f i e d v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ， a n d c o u p l e d f i n i t ee l e m e n t e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，t h e p e n a l t y f u n c t i o n u s u a l l yi n c r e a s e st h ec o n d i t i o nn u m b e ro fr i g i dm a t r i xi ft h ep e n a l t yp a r a m e t e r sa r e t o ob i g m o r e o v e r ，t h ec h o i c eo fp e n a l t yf u n c t i o n sh a ss o m er a n d o m i c i t i e st os o m e e x t e n t t oa l l e v i a t et h ea b o v ep r o b l e m 。t h ef u l lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，w h i c hi su s e d i nt h e r e p r o d u c i n g k e r n e l p a r t i c l em e t h o d ，i s c o m b i n e dw i t ht h ee l e m e n t - f r e e g a l e r k i nm e t h o d an e wi m p l e m e n t a t i o no fe s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si sg i v e n b ym o d i f y i n g t h e o r d i n a r ym o v i n gl e a s ts q u a r es h a p e f u n c t i o n s t h em o d i f i e d m o v i n gl e a s ts q u a r es h a p e f u n c t i o n sa r e g i v e nb ye s t a b l i s h i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h en o d a lv a l u e sa n dt h eg e n e r a l i z e dd i s p l a c e m e n t s t h ee s s e n t i a lb o u n d a r y c o n d i t i o n sc a nb ei m p o s e dd i r e c t l ya tn o d e sb yu s i n gt h ea b o v em o d i f i e dm o v i n g l e a s ts q u a r es h a p ef u n c t i o n t h ea l g o r i t h mi sg i v e nf u rt h ee l a s t i cp r o b l e mb yu s i n g t h ev a r i a t i o l a a l t h e o r yo f e l a s t i cm e c h a n i c s t h ee x p r e s s i o n so ff i e l df u n c t i o n sa r e d e v e l o p e dt oc a c u l a t ed i s p l a c e m e n t ，s t r a i na n d s t r e s s n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a t 山东大学博士学位论文 t h ep r e s e n tm e t h o dn o to n l yc a ni m p l e m e n te s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n se x a c t l ya t n o d e s ，b u ta l s oe x h i b i t sv e r yh i g ha c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c y t h o u g ht h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nb ei m p o s e dd i r e c t l ya n de x a c t l y a tn o d e si nf u l lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，t h ed i s a d v a n t a g eo ff l f l l t r a n s f o r m a t i o n m e t h o di st h a ti t r e q u i r e sm o r ec o m p u t a t i o n a l e f f o r tw h e nt h en u m b e ro fn o d e s i n c r e a s e s t oa l l e v i a t et h i s p r o b l e m ，t h em i x e dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，w h i c h p r o p o s e di nt h er e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d a f t e rf u l lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ， i su t i l i z e df o rt h ei m p l e m e n t a t i o no fe s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o i a si ne l e m e n tf r e e g a l e r k i nm e t h o d b ym o d i f y i n g m l s a p p r o x i m a t i o nl o c a l l y t h e m i x e d t r a n s f o r m a t i o nm e t h o dr e q u i r e sl e s s c o m p u t a t i o n a le f f o r tt h a nf u l l t r a n s f o r m a t i o n m e t h o d t h ec o n c e p ta n dm a t r i xe x p r e s s i o no ft h el o c a l l ym o d i f i e dm o v i n gl e a s t s q u a i es h a p ef u n c t i o n s a r ed e v e l o p e d a sac o n s e q u e n c e ，t h ee s s e n t i a lb o u n d a r y c o n d i t i o n sc a nb ei m p o s e dd i r e c t l ya n de x a c t l ya tn o d e s an e w i m p l e m e n t a t i o no f e s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sm e t h o di sg i v e ni ne l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d a c o m p r e h e n s i v es t u d yi sg i v e ni n c l u d et h e i n f l u e n c eo fw e i g h tf u n c t i o n ，i n f l u e n c e d o m a i na n di n t e g r a t i o no r d e ro np r e c i s i o no ft h ep r e s e n tm e t h o d t h ea p p l i c a t i o n e x a m p l e sr e v e a lt h a tt h ep r e s e n tm e t h o dn o to n l yc a ni m p l e m e n t e s s e n t i a lb o u n d a r y e x a c t l y a t n o d e s ，b u t a l s oe x h i b i t s v e r yh i g ha c c u r a c y , c o n v e r g e n c y a n d e f f e c t i v e n e s s r i g i dp l a s t i c v i s c o p i a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o di sw i d e l yu s e di nm e t a lp l a s t i c f o r m i n gp r o c e s s i nt h er i g i dp j a s t i c v i s c o p l a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h ee l a s t i c d e f o r m a t i o ni si g n o r e da c c o r d i n gt ot h ef a c tt h a tt h ee l a s t i cd e f o r m a t i o ni st o os m a l l t ob ec o n s i d e r e dc o m p a r i n gw i t hp l a s t i cd e f o r m a t i o n t h el e v y - m i s e se q u a t i o ni s r e g a r d e da s i t sc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s d u et oi t s d e s c r i p t i o no fr a t ee q u a t i o n s ，t h e d e f o r m e ds h a p eo fw o r kp i e c ec a nb eo b t a i n e db yt h ei n t e g r a t i o no nd i s c r e t es p a c e b yv e l o c i t y 7 f h ea l g o r i t h ma n ds o l u t i o np r o c e s sa r es i m p l i f i e dd r a m a t i c a l l yw i t h o u t t h ec o n s i d e r a t i o no fg e o m e t r i c a ln o n - l i n e a r i t i e s t h er i g i dp l a s t i c v i s c o p l a s t i cf i n i t e e l e m e n im e t h o di su s e dw i d e l yb e c a u s ei th a sn o tc u m u l a t i v e e r r o r , c o s t l e s s 山东大学博士学位论文 c o m p u t e rt i m e ，c a nb ea d a p t e dt om a n ym o d e l so fh a r d e n i n gm a t e r i a l s ，a n d c a l l t r e a t m e n td y n a m i cb o u n d a r i e se a s i l y t h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o db a s e do nt h ef l o w t h e o r y o f r i g i d p l a s t i c v i s c o p l a s t i cm a t e r i a l si sp r o p o s e di n t h ep r e s e n tp a p e r i nt h i sm e t h o d ，t h e e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o di sc o m b i n e dw i t ht h er i g i dp l a s t i c v i s c o p l a s t i cm o d e l ， i nw h i c ht h ee l a s t i cd e f o r m a t i o nc a nb ei g n o r e d t h el o c a lm o d i f i e dm o v i n gl e a s t s q u a r ea p p r o p r i a t i o n i su s e dt oc o n s t r u c tv e l o c i t yf i e l df u n c t i o n t h em a t r i xf o r m so f s o m ev a r i a b l e s ，s u c ha sv e l o c i t yf i e l df u n c t i o n ，s t r a i nr a t e ，e f f e c t i v es t r a i nr a t e ，a n d v o l u m es t r a i nr a t e ，a r ee s t a b l i s h e d t h em i x e dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n dp e n a l t y m e t h o da r eu t i l i z e dt o i m p l e m e n t t h e v e l o c i t yb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dt h e i n c o m p r e s s i b i l i t yc o n s t r a i n t t h ed i s c r e t ec o n t r o le q u a t i o n s o fe l e m e n tf r e eg a l e r k i n m e t h o di sd e v e l o p e di nd e t a i lf o rt h ep r o b l e m so ft w od i m e n s i o n a lm e t a lf o r m i n gb y u t i l i z i n gt h ei n c o m p l e t eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l eo fr i g i dp i a s t i c v i s c o p l a s t i c t h em e t h o di s p r o p o s e d