（金融学专业论文）期限结构估测法在利率衍生产品定价中的应用.pdf

昱胡：勃甲艮玩构佰删强在剜本幻塑趔确矽府蝴 乏型? 金融豸 摘要 近些年来，随着利率衍生产品在国际金融市场上的蓬勃发展，交易规模不断 扩大，地位不断提升。如何对利率衍生产品进行精确合理地定价就显得尤为重要。 本硕士论文在综合国外学者研究成果的基础上，主要从影响利率衍生产品估价的 期限结构估测方法出发，具体详细地研究了三种利率期限结构估测方法( 线性插 值法、三次样条插值法、立方插值法) 及其在利率衍生产品定价中的应用。通过 将这三种期限结构估测方法应用于零息收益曲线构造，应用于零息国债及其期 权、附息债券、利率互换、利率互换期权、远期利率协议、利率上限、利率下限 等利率衍生产品价格的估测，并比较所估测结果的误差，得出的结论是：三种期 限结构估测方法会导致在计算不同利率衍生产品价格时产生差异。立方插值法在 零息收益曲线的构造时以及在对附息债券、债券期权、利率互换定价时优于三次 样条插值法和线性插值法，是三种插值方法中最好的方法。当三种期限结构估测 方法应用于利率互换期权、利率上限期权、利率下限期权、远期利率定价时，立 方插值法和三次样条插值法尽管都优于线性插值法，但是它们之间却没有优劣之 分。总之，立方插值法优于其他两种插值方法。因此，在构造零息收益曲线，或 为利率衍生产品进行定价时；应尽可能地使用立方插值法。 关键词：利率期限结构估测方法零息收益曲线利率衍生产品定价实证研究 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，w i f ht h ed e v e l o p m e n to fi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v ep r o d u c t s ( i r d p ) o nt h ei n t e m a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e t t h et r a d es c a l eo fi r d ph a sb e e ne n l a r g e da n d r o l ee n h a n c e d v a l u i n gt h e s ei r d pr a t i o n a l l ya n dp r e c i s e i yh a sb e e ni n c r c a s i n g l y i m p o r t a n t b a s e do nt h er e s e a r c ho ff o r e i g ns c h o l a r s t h i sp a p e rs t u d i e st 1 1 r e em e t h o d so f t e r ms t m c t u r ee s t i m a t i o n ( 1 i n e a ri n t e 中o l a t i o n ，s p l i n ei m e r p 0 1 a t i o n ，c u b i ci n t e r p o l a t i o n ) p r o c e e d i n gf b mm e t h o d so f t e m ls t n j c t u r ee s t i m a t i o na b o u ty i e l dc u r v et h a ta f k c tm e v a l u a t i o no f i 魁) p _ 1 h o u 曲印p l y i n gt h ct h r e em e t h o d so ft c 肌s t n l c t u r ee s t i m a t i o n t ot h ec o n s t r u c t i o no fz e m - y i e l dc u r v ea n dt ot h ep r i c i n go fz e r o - b o n d ，z c r o - b o n d o p t i o n ，c o u pb o n d ，i n t e r e s tr a t es 、v a p ，i n t e r e s tr a t es w a po p t i o n ，i n t e r e s tr a t ec 叩， i n t e r e s tm t en o o r ，f o n a r dr a t ea g r e e m e n t c o m p a r i n gm ec a l c u l a t i o ne r r o r so ft h e t h r e em e t l l o d so ft e h ns t n l c t u r ee s t i m a t i o n t h i sp a p e rr e a c h e sac o n c l u s i o nt l l a tt h e t 1 1 r e em e m o d so ft e m ls 协l c t l l r ee s t i m a t i o nl e a dt ot 1 1 ed i 任色r e n c eo ft h ep r i c i n go f i r d pa 1 1 dm a tt h ec u b i ci n t e r p o l a t i o ni st h eb e s tm e t h o dw l c nt t l e s em e t h o d sa r e a p p l i e dt oc o n s t n l c t i o no fz e r o y i e l dc u n ，ea n de v a l u a t i o no fc o u pb o n d ，z e r o b o n d o p t i o na n di n t e r e s tr a t es w a p b u tw h e nm e s em e t h o d sa r ea p p l i e dt oe v a l u a t i o no f i n t e r e s tr a t es w a po p t i o n ，i n t e r e s tr a t ec a p ，i n t e r e s tr a t en o o r f o r w a r dr a t ea g r c e m e n t ， b o t ht h ec u b i ci m e r p o l a t i o na 1 1 dt h es p l i n ei n t e r p o l a t i o na r e s u p e r i o rt ot h el i n e a r i n t e r p o l a t i o n ，b u tm cc u b i ci n t e r p o l a t i o na n dt h es p l i n ei n t e m o l a t i o na r ea l m o s ts 锄e i naw o r d ，b e c a u s et l l ec u b i ci n t e i p o l a t i o ni ss u p e r i o rt ot h eo t h e rt w om e m o d s ，w e s h o u l du s et h ec u b i ci n t e r p o l a t i o nf o rc o n s u c t i o no fz e r o - y i e l dc u n ，ea f l df o r e v a l u a t i o no f t h ei r d pa s 胁a sd o s s i b l e k e yw o r d s ： i n t e r c s tr a t et e r n ls t r u c t u r e e v a l u a t i o no f t h ei r d p e s t i m a t i o nm e t h o d z e m y i e l dc u r v e e m p i r i c a ls t u d y 第一章绪论 自2 0 世纪7 0 年代以来，随着美元的不断贬值，布雷顿森林体系崩溃，国际 货币制度由固定汇率制走向浮动汇率制。特别是1 9 7 3 年和1 9 7 8 年两次石油危机 使得西方国家的经济陷于滞胀，为对付随之而来的通货膨胀，美国不得不经常运 用货币政策中的利率工具、汇率工具来干预金融市场，从而使得利率与汇率剧烈 波动。频繁的利率、汇率波动极大地影响了投资者的收益。面对利率市场、汇率 市场、债券市场、股票市场发生前所未有的波动，市场风险急剧增大，迫使商业 银行、投资机构、企业寻求可以回避市场风险，进行套期保值的金融工具。在此 形势之下，期货、期权、股指期货等一系列金融衍生产品便应势而生。随着时代 发展到二十世纪八十年代和九十年代初期，一种新的金融衍生产品一一利率衍生 产品在全球兴起，无论是在0 t c 市场，还是在场内交易市场，利率衍生产品的成 交量迅猛增加；其新品种的开发也层出不穷：利率衍生产品在金融市场中的地位 和作用也日显重要。 1 1 利率衍生产品的概念及其主要种类 利率衍生产品是金融衍生产品之一，它是指其收益在一定程度上取决于利率 水平的金融衍生工具。若按照标的变量的不同，可将利率衍生产品分为两类：一 类是收益仅与利率水平相关的金融品种，如：零息债券( z e r oc o u p o nb o n d s ) 、远 期利率协议利率( f o n a r dr a t ea g r e e m e n t ) 、互换( i n t e r e s ts w a p ) 、利率上限( c a p s ) 、 利率下限( f l o o r s ) 及利率上下限( c 0 1 1 a r s ) 等。另一类是收益取决于利率水平和 标的资产的金融品种，如：债券期权( b o n do 口t i o n ) 、可转换债券( c o n v e r t i b l e s ) 及互换期权( s w a p so p t i o n ) 等。主要的利率衍生产品如下： ( 1 ) 远期利率协议( f o r w a r dr a t ea g r e e m e n t ，f r a ) 是一种远期合约，买卖双 方约定将来一定时间的协定利率和参考利率，在清算日根据所约定的期限和名义 本金金额，由交易的一方向另一方支付协定利率和参考利率利息差额的现值。其 主要特点是：在交割时，不需要实际支付本金，用l i b o r 将利率协议期第一天确 定的利率与该日前两个营业曰时的l i b o r 之间的利息差额贴现为现值，然后据此 进行交割。 ( 2 ) 利率互换( i m e r e s tr a t es w a p s ，i r s ) 是双方订立的，在一定时间后进行 的支付协定。协定中所支付的金额是依据一定的利率和一定量的本金来计算的。 l 在标准的利率互换中，一方依据浮动利率指数( 如l i b o r ) 计算支付的金额，而 另一方则依据固定利率( 票面息率互换) 或是另一种浮动利率指数( 基差互换) 确 定支付金额。利率互换的特点是双方支付的是同一种货币，仅向各自支付按不同 利率水平确定的利息，而不发生本金的交换。 ( 3 ) 利率上限( i n t e r e s tr a t ec a p ) 是一种期权协议，按照此协议，如果在合约 存续期间双方所协定的某一利率指标( 如l i b o r ) 超过约定利率( s t r i k ep r i c e ) ，那 么利率上限的卖方同意向买方支付两个利率的差价。利率上限的特点是，它能使 得资金借入者在利率超过约定利率时将融资成本锁定为约定利率，而当利率低于 约定利率时，能够享受到低利率的好处。利率上限的实质是一系列基于某种利率 指数基础上的欧式买入期权的总和。 ( 4 1 利率下限( i n t e r e s tr a t ef 1 0 0 r ) 也是一种期权协议，按照此协议，如果在 合约存续期间双方所协定的某一利率指标( 如l i b o r ) 低于约定利率( s t r i k ep r j c e ) ， 那么利率下限的卖方同意向买方支付两个利率差价。利率下限可以为投资者消除 短期利率下跌的风险。其实质是一系列基于某种利率指数基础上的欧式卖出期权 的总和。 ( 5 ) 利率上下限( i n c e r e s tr a t ec o l l a r ) ，也被称为利率领式合约，它由利率上 限和利率下限组合而成。在买入一个利率上限的同时卖出个利率下限，用出售 利率下限的收益来全部或部分冲消买入利率上限的成本。对于资金借入者而言， 利率领式合约与利率上限相似，能够防止因为利率上升而带来的损失。与此同时， 对于利率领式合约的持有者而占，利率领式合约把由于利率下降而可能获得的最 大收益限定在下限的水平上。 此外，还有利率廊式合约( i n t e r e s tr a t ec o r r i d o r s ) ，它是指同时买入和卖出 约定利率不同的两份利率上限合约。两个不同的约定利率之间的差值就相当于“走 廊”区间。故而称为利率廊式合约。反向的利率领式合约( r e v e r s ec o l l a r ) ，它 是指出售一个利率上限的同时买入一个利率下限。该合约对于认为未来短期利率 将下降的投资者具有吸引力。阶梯式利率上限合约( s e t u pc a p s ) ，它是指有多 个约定利率的利率上限期权合约。 ( 6 ) 利率互换期权( i n t e r e s tr a t es w a p ) 是关于利率互换的期权。它给予持有 者在未来的某个时间，按照特定的期限和利率，进行某个利率互换的权利。与其 他期权类似，利率互换期权也可以分为买入期权( p a y e rs w a p s ) 和卖出期权 ( r e c e i v e rs w a p s ) 。按能否提前执行，又叮分为美式利率互换期权和欧式利率互换 期权。 ( 7 ) 债券期权( b o n d so p t i o n ) 是指给予持有者在该期权到期同或到期r 前的 任何时间，以固定价格( 约定价格) 购入( 买入期权) 或卖出( 卖出期权) 特定 债券的权利。债券期权是基于长期利率基础上的期权，其标的债券常常是政府债 券。投资者可以利用债券期权将其利率风险进行重新组合包装( r e p a c k a g e ) 和分 配，从而在无需出售债券就可以改变自身的利率风险暴露情况。 ( 8 ) 可转换债券( c o n v e r t i b l eb o n d s ) 是指发行人依照有关法定程序发行的、 在一定期间内依据所约定的条件可以转换为股份公司的债券。可转换债券允许债 券持有人在_ 二定时间内，按照事先确定的价格将其所持有的债券转换为公司股票。 如果债券持有人在规定的时问内没有执行转换权利，那么公司会继续按照条款支 付利息，并到期还本付息。可转换债券与一般债券相比较，其最显著的特点在于 债券持有人可以将债券转换为股票。因此，可转换债券除了具有一般债券性质之 外，还兼有股票的性质。 1 2 利率衍生产品的重要地位 从国际金融市场上金融衍生产品的发展状况来看，金融衍生产品发展是及其 迅速的。根据国际清算银行( i b s ) 的相关统计，1 9 9 0 1 9 9 4 年，交易所衍生产 品的名义价值额从2 2 9 0 2 亿美元上升至8 8 6 2 9 亿美元，年均增长率达到7 1 7 。 到1 9 9 7 年底，交易所衍生产品的名义价值余额又上升了3 3 4 4 4 亿美元，增长率近 3 8 。在全球交易量最大的十种期货、期权合约中，前9 位均为金融衍生产品，具 体数据见表1 1 。从表1 1 中可以看出：在众多金融衍生产品的发展中，利率衍生 产品发展得最快。在国际金融市场上，不但利率衍生产品的交易规模不断扩大； 从1 9 9 0 年一一1 9 9 6 年，利率调期与货币互换余额的名义本金值之比分别为4 ：l ； 3 8 ：l ；4 5 ：1 ；6 8 ：l ；9 6 ：l ；1 0 6 ：1 ；1 2 ：l 。而且利率期货、期权的名义本金余额 也明显快于股指期货、期权和货币期货、期权的发展，若按名义本金计算，1 9 9 7 年利率、股指、货币三者期货期权之比达到了1 3 0 8 ：1 6 7 ：1 。显然，随着利率 衍生产品在国际金融市场上的交易规模不断扩大，其地位也得到了不断提升。 1 3 论文研究内容与行文结构 随着利率衍生产品在金融市场中的地位和作用日显重要，如何合理而精确地 对利率衍生产品进行估值与定价已成为人们的迫切需要。但是，由于利率行为复 杂且利率受到许多因素的影响，对利率衍生产品估值与定价比较困难。尽管如此， 表1 1全球交易量最大的十种期货、期权台约 1 9 9 9 m - 1 0 月2 0 0 0 j d l - 1 0 月 台约名称交易所增长率( ) 交易量( 手)交易量( 手) k o s p l 2 0 0 期权韩国交易所 6 3 8 2 4 8 4 71 3 8 8 6 5 3 1 11 1 7 6 欧洲债券欧洲交易所1 0 1 0 5 7 6 4 41 2 9 9 7 3 9 4 3 2 8 6 3 月期欧洲美元芝加哥商业交易所 8 1 5 9 1 3 6 09 0 4 0 1 2 3 41 0 8 c a c 4 0 股指期权 巴黎期权市场 6 0 1 5 1 0 1 07 1 3 9 9 8 3 01 8 7 美国国库券芝加哥期货交易所7 8 8 6 9 7 8 55 3 9 9 5 8 0 33 1 5 德国政府5 年期 欧洲交易所 3 6 9 6 4 1 2 65 2 4 4 4 1 4 24 1 9 债券及相关产品 3 月期欧洲市场伦敦国际金融期与 3 0 4 6 7 8 4 84 0 4 2 6 0 0 56 2 2 同业拆借市场 期权交易所 美国十年期国库票据芝加哥期货交易所 2 8 7 9 6 2 8 63 8 8 7 3 8 9 03 5 o 欧洲利率债券 法国国际期货市场 5 3 8 9 8 1 73 8 4 5 7 5 8 56 1 3 5 石油 纽约商业交易所 3 1 9 2 4 5 9 43 1 4 3 7 7 4 71 5 数据米源见文献 3 。 国外学者对利率衍生产品的无套利定价模型还是进行了深入研究，主要包括b 1 a c k ， d e r m a n ，t b y ：b l a c k ，k a r a s m s “；h u l l ，w h i e ；h e a t h ，j a r r o w ，m e r t o n 学者【1 4 。1 6 ，1 8 1 。 由于在现实中，不能直接从交易市场上观察得到无套利定价模型所需要的期 限结构。为此，国外学者又提出并发展了许多估测利率期限结构的方法。根据这 些期限结构估测方法所依赖的基本假设和推测技术是否高度重视贴现因子( b d ： 期连续复利率、投资收益率) ；以及它们在估测时是考虑了所有可交易的政府债券， 还是仅仅考虑各个新发行( o n t h e r u n ) 政府债券。一般将利率期限结构估测方法 分为以下三种主要方法：根据新发行的政府债券推算即期利率法；根据所有债券 测算贴现因子法；根据所有债券测算即期利率或者远期利率法。 显然，不例的利率期限估测方法会导致利率衍生产品定价的计算结果出现差 异。国外一些学者对此也进行了一定的研究，如：t h e o d o r em b a r n h 川j r jj a m e s v j o r d a n ，t h e o d o r em b a r n h i l l ，i i i ，s t e p h a nc m a c k e y 利用以线性内插法为基础 的利息剥离法、以立方样条内插法为基础的利息剥离法、立体样条回归法、c f i 法这四种方法对零息债券及其期权、附息债券及其期权、互换及其期权的价格进 行测算，并通过误差比较，得出了以下结论：立体样条内插法为基础的利息剥离 法和c f i 法是期限结构预测的两种标准模式：但在为期权定价时，认为立体样条 内插法为基础的利息剥离法更优【1 9 】。 4 内插法为基础的利息剥离法更优。 本硕士论文在综合国外学者研究基础上，主要从影响利率衍生产品估价的收 益曲线的期限结构估测方法出发，通过借鉴上述国外四位学者在1 9 9 9 年的方法， 具体详细地研究了三种利率期限结构估测方法及其在利率衍生产品定价的应用； 并且得出了以下结论：不同的期限结构估测方法在对不同利率衍生产品定价时会 导致价格差异；立方插值法优于其他两种插值法。因此，在为利率衍生产品进行定 价时，应尽可能地使用立方插值法来为它们定价。 本论文的行文结构：首先，说明利率衍生产品在金融衍生产品市场中的作用 和重要地位，并对利率衍生产品的概念和主要种类进行介绍。其次，综述国外学 者对利率期限结构估测方法所作的研究：并提出本论文拟采用的三种利率期限结 构估测方法( 线性插值法、三次样条插值法、立方插值法) 。再次，探讨主要利率 衍生产品的定价方法。提出本论文拟采用的用于计算利率衍生产品的定价方法。 然后，利用案例进行实证分析，计算出主要利率衍生产品的价格，并比较分析所 得结果。最后，在分析比较的基础上，得出本硕士沦文结论；并指出在本硕士论 文研究中存在的问题，明确今后进一步研究的方向。行文框架如图1 1 。 利率衍生产品重要地位( 研究意义) 合理精确的定价 期限结构估测方法 i r d p 定价方法( 解析方法、数值方法) 实证( 应用) 研究 结论 图1 1 行文框架图 第二章利率期限结构的估测 2 1 期限结构估测法综述 从绪论中知道，国外学者所研究的利率衍生产品的无套利定价模型是建立在 一定的期限结构基础之上的。但在现实中，不能直接从交易市场上观察到无套利 定价模型所需要的期限结构。为此，国外学者提出并发展了许多估测利率期限结 构的方法。根据基本假设和推测技术是否高度重视贴现因子、即期连续复利率、 投资收益率；以及在估测时，是考虑所有可交易的政府债券，还是仅考虑各个到 期新发行( o n t h e r u n ) 政府债券。一般可将期限结构估测方法分为以下几种。 ( 1 ) 根据新发行的政府债券推算即期利率法 h u l l 在1 9 9 7 年根据可单独交易的短期、中期、长期政府债券，首先采用线 性内插法( 1 i n e a r i n t e r p o l a t i o n ) 或立方样条内插法( c u b i cs p l i n e i n t e r p 0 1 a t i o n ) 计 算出不能直接观察到的其他到期日新发行债券的收益率；然后，再通过利息剥离 法( b o o t s t r a p p i n g ) 求出即期利率【2 0 l 。 d i a m a n t 在1 9 9 3 年提出了一种更为复杂的利用新发行债券收益率来进行利率 预测的方法。该法首先对连续的票面收益率曲线进行判断，看其形状是单调的、 还是驼峰的；判断之后，再利用通过非线性回归得出的4 个或5 个参数来对曲线 加以描述；最后，就可用所得参数来预测利率【2 1 】。 ( 2 ) 根据所有债券测算贴现因子法 c a r l e t o n 和c o o p e r 于1 9 7 6 年提出了支付价格的局部交叉回归法( c r o s s s e c t i o n a lr e g r e s s i o n ) 。在局部交叉回归法中函数的因变量是债券价格，自变量 是债券支付的各笔债息。自变量之间系数即是各个付款到期日的贴现因子。在此， 更为复杂的方法则是推测出一个连续贴现函数，得出函数的形式后，再通过局部 交叉回归就可测算出函数的系数【22 1 。 m c c u l l o c h 在1 9 7 1 ，1 9 7 5 年先后提出了立方样条函数法。立方函数可用普通 最小二乘法( o l s ) 来进行测算【2 3 】。l i t z e n b e 艰e r 和r o l f 0 ，j o r d a n 以及s h e a 都采 用m c c u l l o c h 所提出的方法来进行相关研究【2 5 琊】。1 9 8 2 年，v a s i c e k 和f o n 2 用指 数函数对m c c u l l o c h 的公式进行了改造【2 8 】。但是，s h e a 在1 9 8 5 年发现v a s i c e k 和f o n g 的指数样条法并没有优势可吉，指数样条法所得出的结果有时甚至比立 方样条法还差【2 。 f i s h e r ，n v c h k a 和z c f v o u s ( f n z ) 在1 9 9 5 年又发展了一种平滑交叉检测的立 方样条法。f n z 法的关键是加入一个修f 函数来减少样条的波动，从而使得立方 样条的形状变得更为平滑；然后再考虑样本以外的剩余债券，对其进行修正【3 。 ( 3 ) 根掘所有债券测算即期利率或者远期利率法 c h a m b e r s ，c a r i e t o n 和w a l d m a n ( c c w ) 在1 9 8 4 年提出了简单多项式法。他 们所假定的即期利率函数不是样条多项式，而是简单多项式。假定为简单多项式 之后，债券的定价公式就可用即期利率函数形式来表示；而即期利率函数的系数 可以采用非线性回归方法估讨得出【3 1 】。但在1 9 9 2 年，b u o n o ，g r e g o 毋一a l l e n 和y a a r i 在一次比较研究中却得出结论，认为c c w 所得出的结果比利用利息剥离法和利 用离散测算法所得出结果的精确度都差些【3 ”。 c o l e m a n ，f i s h e r 和i b b o t s o n ( c f i ) 在1 9 9 2 年提出了分段函数法。分段函数法假 定利率在到期期间范围内所选定的时段中，利率是稳定不变常数。这样，债券价 格就成为有限的几个远期利率的函数，而这些远期利率可通过非线性回归测算出 来【3 3 】。 此外，a d a m 与v a nd e v e n t e r 在1 9 9 4 年提出了用最大平滑法( m a x i m u m s m o o t h n e s s ) 来估计远期利率【3 4 l 。1 9 9 5 年f n z 运用修正后的立体样条法来测算 出一个远期利率以及个贴现函数( 和一个对数贴现函数) 【3 。 2 2 论文采用的估测方法 从分析知道，国外学者对利率期限估测法研究的实质可以归结为对零息收益 曲线构造方法的研究。一般认为，零息收益曲线，或称零曲线( z e r o y i e l dc u r v e ) 是指与某一特定日期相对应的零息票即期收益率和期限结构之问关系的代数或图 形概括。它的图形有上翘、平坦、下垂三种，具体见图2 1 。 上翘平坦下垂 b 图21 零息收益曲线图 随着近十年来与利率有关的衍生产品的发展，零息收益曲线作用日显重要。 它现已成为互换定价的基础，期权调整利差( 0 a s ) 分析技术的核心，并在风险管 理系统中也发挥着愈来愈重要的作用。而推导出零息收益曲线的方法，国外学者 通常采用两阶段法。在第一阶段，采用利息剥离 或递归( r e c u r s i v e ) 】法构造出一条 概略曲线( s k e l e t o nc ur 、r e ) 。第二阶段，利用活动曲线法构造出完整零曲线。在第 二阶段所采用活动曲线插值中，可具体使用线性( i i n e a r ) 插值、三次样条( s p l i n e ) 插 值、立方( c u b i c ) 插值等方法【1 9 j 。在本硕士论文中，将主要采用插值方法来进行实 证研究。以下来具体分析插值方法。 2 2 1 线性插值函数法 在活动曲线插值法中最常用的是线性插值法，它是估计两个主干点之间利率 最简单方法。现若已知函数y = f g ) 在互异的两个点，o 和x l 处的函数值分别为y o 和y i ，如果一个次数不超过1 的多项式y = l g ) 满足 l g 。) = y 。，l 0 ) = y 。 则称o ) 为线性插值函数。对l ( x ) 用点斜式可得出过点( x o ，y o ) 和点( 却，y 1 ) 的直线 方程： y ：y 。+ ! i 边( x x 。) x 1 一工0 即 l g ) = 蜘一上_ 生g 一) x 一工o 将它写成对称式，为 l g ) ：儿三丑+ y ，三丑 x 0 一x l工l x 0 利用线性插值函数，就可以求出在g o ，x 1 ) 中任意点的函数值。显然从线性插 值函数定义知，采用线性插值法会有以下缺点：一是会使得零曲线不能显示连接 主干点间的凸状弧线；二是使得从即期零曲线导出远期零曲线时会形成人为的“尖 峰( s p i k e s ) 【3 5 】。 2 2 2 样条函数方法 正如上面分析，采用线性插值函数方法存在着缺点。因此，通常采用样条函 数来构造零息收益曲线。样条函数概念在1 9 4 6 年首先由舍恩伯格( i j s o k o e n b e r g ) 提出。2 0 世纪6 0 年代兴起研究热潮，2 0 世纪7 0 年代迅速发展起来。它不仅是函 数逼近的一个活跃分支，而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。样 r 条函数现已广泛应用于逼近论、曲线数据拟合，数值积微分，积微分方程的数值 求解和计算机辅助设计与制造等方面。三次样条插值函数法能够克服分段线性函 数在结点处一阶导数不存在，光滑性不高的缺点；而且能够避免高次插值所带来 的“龙格”( r u n g e ) 问题，具有收敛性有保证、简单实用等特点。样条法实质是 用一平滑曲线来对各主干点进行拟合的方法。它是通过构造多项式( 一个或一组 不同阶多项式) 来形成一条把所有主干点连接起来的平滑曲线。一般常常选择三 次曲线( 根据三次插值样条函数所得的曲线) 进行拟合。这是因为方面，三次 曲线可提供一个比二次曲线更为平滑的拟合线：男一方面，三次曲线不需像四阶 多项式所要求的额外资料和计算时间，但能得出一条连续且二次可微的曲线。以 下将定义三次样条函数，并给出一简单的用于估测利率期限结构的三次样条函数 实例。 2 22 1 三次样条函数定义 给定区间陋，6 】的一个划分：= 一 l ，d l ，故s 到s 。是“上升”运动，而s 到s d 是“下降”运动。并假设上升 概率为p ，下降概率为l j p 。 s 图3 3 二叉树中的运动 s 。 s d 用二叉利率树为利率衍生产品进行定价时的前提条件：( 1 ) 不考虑交易费用和 税收；( 2 ) 假定所有债券收益的变化完全相关；( 3 ) 所有同周期证券的期望收益值都 相等：( 4 ) 短期利率在任何时刻都服从对数正态分布。 在此前提条件下，二叉利率树定价的基本思路：首先，利用给定现行的市场 期限结构得到一个短期利率二叉树；然后，再利用所得到的短期利率二叉树中的 2 0 利率作为贴现率，采取向前滚动贴现法就可以算出各个结点的证券价值。最后， 根据买权，或者卖权的约定价格( s t r i k e 口r i c e ) ，就可求出买权或者卖权的价格。 利用二叉利率树法进行定价的关键：( 1 ) 在已知短期利率情况下，如何对利率衍 生证券进行定价；( 2 ) 在未知短期利率情况下，如何根据期限结构表来得出完整 的短期利率二叉树；( 3 ) 依据期限结构计算所得的短期利率二叉树及期权约定价 格。对零息债券期权定价的实例可以参见f i s c h e rb 1 a c k ，e m a n u e ld e r m a na n d w i l l i a mt o y 等人的著作。 3 3 2 2 三叉 对图 三叉树是二叉树的扩展形式，在三叉树上的结点都有三个分支。若考虑利率 的均值回复特性，可将其分为标准分支模型和非标准分支模式。具体情况见下图 3 4 。在标准的分支模式a 中，有上升、持平、下降各有一个分支；在非标准分支 模式中，b 有两个上升分支和持平一个分支，它常用于利率很小时进行均值回复 分析。而c 有两个下降分支和一个持平分支，它常用于利率很大时进行均值回复 分析。 么么2 图3 4 三叉树图的标准分支模型和非标准分支模式 三叉树定价的基本思想与二叉树方法的相似，计算都是从衍生产品有效期的 最后时刻开始，向前滚动倒推、贴现回到其有效期的初始时刻。在实际应用中， 必须构造出由期限结构模型所表示的三叉树。h u 儿和w h i t e 在1 9 9 4 年就介绍了构 造单因素马尔可夫模型的三叉树方法。他们在利用三叉树方法对零息债券看跌期 权进行定价时，得出了与期权解析式计算结果相一致的结论。此外，他们还将三 叉树方法扩展到了其他模型 5 】。 树图方法既可为欧式衍生产品定价，又可为美式衍生产品定价，而且特别适 应用于变量具有对数正态分布的单因素利率模型的定价问题。此外，通过二叉树 或三叉树，再利用蒙特卡罗的随机路径模拟也可以为路径依赖型衍生产品进定价。 但树图方法的局限性在于当衍生产品收益状态是非马尔可夫型时，即依赖于状态 变量的过去历史和当前值时，应用树图方法计算会不太方便。并且对三个以上变 2 1 量进行计算时，费时很大，效率不高。此外，在构造三叉树时，存在着时间步长 没有一个精确选择标准的技术性难题。 3 3 3 有限差分法 有限差分法定价的基本思想是：将利率衍生产品所满足的微分方程转化为一 系列的差分方程，再用迭代法求解出这些差分方程，从而达到为衍生产品定价的 目的。它的计算是从衍生产品有效期的最后时刻丌始，倒推回衍生产品有效期的 初始时刻，从而计算得出衍生产品的价格。 一般的，将有限差分法分成两类，一类是内含的有限差分法( i m p l i c i tf i n i t e d i f f c r e n c e m e t h o d ) ；另一类是外推的有限差分方法( e x d l i c i tf i n i t ed i 舵r e n c e m e t h o d ) 。内含的有限差分法的优点在予不用对收敛性进行任何特定的事先假设， 只要时间段f b = 形) 和价格段监= s “8 翰) 趋于零，内含的有限差分法总是收 敛于微分方程的解的。但它的缺点是要计算从( f + l ，) 点的衍生证券价值f ( 计1 ，) 到f ( f ，) 的值时，必须同时求解m 1 个联立方程。如果能假设在( i ，j ) 点的a 形：。 值与( f + 1 ，) 点的值对应值相同，则该方法就可简化为外推的有限差分法，并且 可能证明外推的有限差分法与三叉树方法是一致的 5 1 。显然，外推的有限差分法 与三叉树方法存在同样缺陷，即概率可能为负值，从而它的解有可能不会收敛于 微分方程的解。其他有限差方法有c r a n k n i c h o l s o n 方法，该法通过求内含的有限 差分法和外推的有限差分法的平均值来加快收敛速度【5 1 。 由于有限差分法与树图方法类似，从而有限差分法同样能够解决树图方法所 能解决的衍生产品定价问题，它既能处理欧式衍生产品，又能处理美式衍生产品 定价问题。也可用于多个标的变量衍生产品的定价问题。但在计算时，有限差分 法效率不高，特别是对三个以上变量进行计算时，计算时间会大增。此外，当衍 生产品的收益取决于状态变量的过去历史时，使用有限差分法也会变得十分不便。 通过以上分析，三种数值计算法对衍生产品定价时各有所长，它们应用范围 与特性比较总结见表3 3 。 表3 3 三种数值计算方法的性能比较表 数值计算方法应用范围估计值的标准差三变量时效率 蒙特卡罗模拟法欧式、路径依赖型能给出最好 树图方法 欧式、美式、非路径依赖型 不能给出差 有限差分法欧式、美式、非路径依赖型不能给出 差 因此，具体选择哪种数值计算方法取决于被定价的利率衍生产品的特性及所 要求的精度。本论文在对利率期权定价时，采用由h u ua n dw h i t e 的单因素模型 所构造的三叉树方法来为之定价。 第四章实证研究 从前文的分析知道，众多专家学者已经提出并发展了许多预测期限结构的方 法。但每种方法都会有自己的局限性，存在着预测偏差，而这些偏差将会导致对 衍生产品定价产生偏差。本硕士论文实证研究的主要内容就是从几种简单实用的 利率期限结构估测法( 插值方法) 出发来研究它们在利率衍生产品定价时所产生 的偏差，从而达到确定最优期限结构估测法的目的。因此，本论文只研究各种期 限结构估测法在计算各种利率衍生产品数据时的精确性。不考虑那些处理市场不 完善问题，如：报价的误差、买卖差价、税收差异、流动性差异等等。故而，根 据数据推测出的期限结构中出现的任何偏差、错误都是由估测方法本身造成的。 这样便于比较各种估测方法优劣。 4 1 实证前提 本论文的实证研究是将利率期限估测方法应用于零息收益曲线的构造，应用 于附息债券、债券期权、利率互换、利率互换期权、利率上限期权、利率下限期 权、远期利率等主要利率衍生产品的定价。实证相关的前提如下： ( 1 ) 实证目的。采用前述的线性插值函数法和两种样条插值函数法来构造零息 收益曲线和应用于主要利率衍生产品的定价。从以上理论分析可知，三次活动曲 线具有优良的数学特征；而且从图形上看，用三次曲线去拟合一条正常向上倾斜 的收益率曲线时，其结果要比线性插值估计更接近于所观察到的利率。但三次活 动曲线法又可分为三次样条插值方法和立方插值方法。它们在构造零息曲线时， 谁更加接近于实际值，即谁更佳；以及将它们应用于主要利率衍生产品的定价时， 判断哪一种较好是本论文研究的主要目的。 ( 2 ) 判断方法。以线性插值方法为比较的基础，三次样条插值方法、立方插值 方法分别与线性插值方法进行比较。在进行零息收益曲线构造的实证研究时，通 过比较平均绝对误差、误差标准差、平均绝对偏差、极差等指标来判断出哪种方 法最好。在对主要利率衍生产品定价应用时，通过分别比较立方插值方法、三次 样条插值方法与线性插值方法计算结果的差值来确定最好方法。 ( 3 1 采用的公式。利用修正的b s 模型来为利率互换期权、利率上限期权、利 率下限期权进行定价。由于b s 模型存在着不能反映利率随机特性和短期利率均 值回复特性。而修正的b - s 模型能够在一定程度上解决原模型存在的问题。因此， 2 4 在本论文中，采用修正的b s 模型来为利率互换期权、利率上限期权、利率下限 期权进行定价【45 1 。 ( 4 ) 数据说明。为了使研究结果具有较强的现实意义，实证时一般采用现时期 限结构来进行相关研究。如在构造零息收益曲线以及对附息债券定价时，就选取 法国和德国在2 0 0 1 年1 1 月2 7 日国债市场中交易的l 3 0 年期限国库券 ( g o v e r m e n tb o n d s ) 的收益率作为研究数据。而在对债券期权、互换期权、远期利 率协议定价时，选取了加拿大2 0 0 2 年9 月2 3 日国债市场中交易的l 3 0 年期限 国库券( g o v e m m e n t b o n d s ) 的收益率作为研究数据。对利率上限、利率下限定价时， 选取美国芝加哥交易所1 9 9 6 年4 月1 8 目的货币市场存款利率、欧洲美元期货利 率和互换利率作为研究数据。数据来源见h ! ! 卫；幽b ! q q 匹垫璐：g q 堡和文献 1 9 】。 4 2 实证研究 在实证研究中，将期限结构估测方法分别应用于零息收益曲线的构造，应用 于附息债券、债券期权、利率互换、利率互换期权、利率上限期权、利率下限期 权、远期利率等利率衍生产品的定价。具体过程及结果分别是： 4 2 1 零息收益曲线 从以上分析知道，零息收益曲线是指与某一特定日期相对应的零息票即期收 益率和期限结构之间关系的代数或图形概括。在用两阶段方法构造零息收益曲线 时，可采用线性插值方法或者三次活动曲线方法去构造出完整的收益曲线。但三 次活动曲线法又可分为三次样条插值方法和立方插值方法。它们在构造零息曲线 时，谁更加接近于实际值是本节研究的主要内容。本节在对法国与德国政府债券 的零息收益曲线的构造分析中，通过比较三次样条插值方法、立方插值方法、线 性插值方法这三种方法在构造零息曲线时的数学特性和图形拟合情况，就能得出 哪一种插值方法是构造零息收益曲线的最佳方法。两国零息收益曲线构造的实证 研究如下。 ( 1 ) 选取法国和德国在2 0 0 1 年1 1 月2 7 日国债市场中交易的1 3 0 年期限国库 券( g o v e m m e n tb o n d s ) 的收益率作为研究数据。通过利息剥离可得法国、德国1 3 0 年各期限收益率见表4 1 。 ( 2 ) 计算结果与图形 采用m a t l a b 中相关程序，计算出法国1 3 点、l o 点、5 点时预测误差情况见 表4 2 ，图形的拟合情况见图4 1 ；德国1 2 点、l o 点、5 点时预测误差情况见表 4 3 ，图形的拟合情况见图4 2 。 表4 1 法国、德国国债各期收益率( 单位：) 期限收益率期限收益率期限 收益率期限收益率 ( 年)( 年)( 年) ( 年) 13 18 7 84 6 1 ll3 2 4 484 5 2 6 23 5 6 894 6 9 323 5 0 294 5 8 2 33 6 5 51 04 7 3 l33 6 6 71 04 6 0 5 ， 43 9 6 01 55 0 0 143 9 6 31 54 9 0 2 54 1 6 02 05 0 7 654 1 3 83 05 1 4 3 64 3 3 43 052 3 8642 5 0 74 4 7 074 4 0 1 表4 1 说明，由于选取3 个月、半年国债收益率时，活动曲线法会使零息收益曲线出现 虚假摆动，这一摆动与相邻零息收益率间的经济关系不符。故从1 年期国债收益率算起。 表4 2 法国预测误差表 预测方法 平均绝