（基础数学专业论文）hilbert空间中稠定闭算子的moorepenrose逆的扰动定理.pdf

李维扬h i l b e r t 空间中闭算子的m o o r e p e n r o s e 逆的扰动定理 ! 摘要 广义逆理论是应用十分广泛的数学分支，已成为现代数学中重要的研究方向之一广 义逆理论的内容极其丰富，主要有矩阵广义逆、线性空间中线性变换的广义逆、h i l b e r t 空 间中线性算子的线性广义逆、正交广义逆及b a n a c h 空间中线性算子的线性广义逆等广义 逆理论涉及代数、分析、统计、计算、优化、控制等多个学科，因此这一学科有着多个研 究领域广义逆理论之所以应用如此广泛，这主要因为广义逆所研究的对象一般涉及到所 谓的“不适定”线性问题这些问题所包含的信息不是太多就是太少，因此不能作为非奇异 问题进行求解然而，在某种意义下，它们不但有“解”，而且甚至有唯一的“解”，例如“最小 二乘解”或“最小范数解”等因此，在凡是遇到“不适定”线性问题的学科，便出现了广义逆 将广义逆与非线性分析的工具结合，也能求解一大批非线性“不适定”问题所以研究算子 广义逆理论具有重要的理论意义和实际应用价值 19 2 0 年，e h m o o r e 首先对任意的矩阵，引入广义逆矩阵的概念19 5 5 年，r p e n r o s e 证 得：存在唯一矩阵b 满足下面的四个矩阵方程：a b a = a ，b a b = b ，( 彳b ) 。= a b ，( 删) = b a 这些条件等价于m o o r e 的条件满足这些条件的唯一矩阵b 被称之为a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，且记为a t 由于m o o r e p e n r o s e 广义逆具有极小二乘性质，m o o r e p e n r o s e 广义逆的 连续性也被广泛研究近年来，马吉溥、曹伟平、宋国柱、陈果良、薛以锋、魏木生、魏 益民、黄强联等人对h i l b e r t 空间中有界线性算子的m o o r e p e n r o s e 广义逆进行了系统的研 究，得到了一系列m o o r e p e n r o s e 广义逆连续的充分必要条件然而，他们讨论的都是有界 线性算子m o o r e p e n r o s e 广义逆的连续性无界线性算子的m o o r e p e n r o s e 广义逆的连续性 也是值得探讨的问题由于无界线性算子的定义域不是全空间，有界线性算子情形的技巧 不能完全应用于无界线性算子，因此，我们必须引入新的技巧和方法本文将主要讨论 h i l b e r t 空间中闭线性算子m o o r e p e n r o s e 逆的扰动问题： 我们知道，稠定闭线性算子是一类重要的无界线性算子，设r 是x 到】，的稠定闭线性 算子，且存在有界m o o r e p e n r o s e 逆t b ( y ，x ) 自然地，我们可以研究下面的扰动问 题：“小”扰动万丁在什么情形下可以保证扰动算子丁= 丁+ 艿丁的m o o r e p e n r o s e 逆丁存在? 如果存在，我们能否给出r 具体的表达式? 值得注意的是，在已有文献中对上述问题的研 扬州火学硕+ 学位论文 2 一 究都假定了万刀的范数小于1 如果直接假定艿玎的范数小于1 ，那么算子，+ 万刀+ 的可 逆性和逆算子( ，+ 万刀+ ) 一的有界性可以由著名的b a n a c h 引理直接得到那么在不假定 万玎的范数小于1 的情况下，如何讨论相应的扰动问题? 因此，考虑这个问题的关键就在 于如何证明算子，+ 万刀可逆且其逆算子( ，+ 万玎+ ) _ 1 有界 本文中，我们利用一个新的方法证明算子，+ 艿刀的可逆性进而给出扰动后的算子 r 的广义逆稳定的充分条件，即： 设x ，l ，是h i l b e r t 空间，t c ( x ，y ) ，d ( t ) = x ，t 有有界的m o o r e - p e n r o s e 逆 t b ( r ，x ) 设6 t l ( x ，n ，关于丁相对有界且界b 1 ，即 | i 艿死i | ai l 扰i l + 6 | l 砌i i ，v u d ( 丁) 若一t = t + 6 t 满足 ( i ) n ( t ) n r ( t ) = 0 ) ； ( i i ) r ( 丁) nn ( t ) = 0 ) ； ( i i i ) y = t r ( t + ) + 尺( 丁) 上 则r ( 于) 闭，一t ：丁+ 万丁存在有界的m o o r e p e 眦o s e 逆- t ，且 t 。= ，一r ( 亍) 气( 于) ，一( 只( 亍) 一r ( 于) ) 2 】一1 ) 矿( i + 8 t t + ) 一1 ( 丁+ 万丁) 丁+ ( i + 6 t t ) 一1 】 ，一【( 丁+ 万丁) 丁( ，+ ( 罗刀+ ) 一( ( 丁+ 万7 1 ) 丁+ ( i + 8 t t ) 一1 ) 】2 ) 一 其中r ( 于) 为，一t ( i + 8 t t + ) 一( t + f i t ) 在x 上的唯一保范延拓 关键词：h i l b e r t 空间；稠定闭线性算子；t 一有界；广义逆；m o o r e p e n r o s e 广义逆 李维扬h i l b e r t 空间中闭算子的m o o r e p e n r o s e 逆的扰动定理 a b s t r a c t 3 一 t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e di n v e r s e sh a sw i d ea p p l i c a t i o n s ，a n dh a sb e c o m ea ni m p o r t a n t b r a n c hi nm o d e mm a t h e m a t i c s g e n e r a l i z e di n v e r s et h e o r yh a sm a n ys u b o b j e c t s ，s u c ha s g e n e r a l i z e di n v e r s e so fm a t r i x ，t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n si nl i n e a rs p a c e ， t h el i n e a rg e n e r a l i z e di n v e r s e so fl i n e a ro p e r a t o ri nh i l b e r ts p a c e ，o r t h o g o n a lg e n e r a l i z e di n v e r s e ， t h el i n e a rg e n e r a l i z e di n v e r s e so fl i n e a ro p e r a t o ri nb a n a c hs p a c e t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e d i n v e r s e sh a si t s g e n e t i cr o o t se s s e n t i a l l yi nt h ec o n t e x to ft h es o - c a l l e d “i l l p o s e d l i n e a r p r o b l e m s t h e s ei n c l u d ep r o b l e m si nw h i c ho n ee i t h e rs p e c i f i e st o om u c hi n f o r m a t i o n ，o rt o o l i r l e t h e s ep r o b l e m sc a n n o tb es o l v e di nt h es e n s eo fas o l u t i o no fan o n s i n g u l a rp r o b l e m h o w e v e r , t h e r ei sas e n s ei nw h i c ht h e r ei ss t i l las o l u t i o n ( a n di nf a c tau n i q u e “s o l u t i o n ”) i fo n e a d o p t s ，f o re x a m p l e ，t h en o t i o no f “l e a s t s q u a r e ss o l u t i o n o r “m i n i m a ln o r ms o l u t i o n ”a n ds oo n a sar e s u l t ，t h o s ew h om e e tw i t h “i l l p o s e d ”p r o b l e mo fl i n e a rs u b je c t s ，g i v i n gr i s et oa g e n e r a l i z e di n v e r s e c o m b i n i n gt h eg e n e r a l i z e di n v e r s ew i t hn o n l i n e a ra n a l y s i st o o l s ，w ec a n a l s os o l v eal a r g en u m b e ro fn o n - l i n e a r “i l l - p o s e d ”p r o b l e m s t h e r e f o r e t h et h e o r yo f g e n e r a l i z e di n v e r s ei so fg r e a tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dh a sa p p l i c a t i o n si np r a c t i c e i n19 2 0 ，e h m o o r ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i x r p e n r o s e s h o w e di n19 5 5t h a tt h e r ee x i s t sau n i q u em a t r i xbs a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gf o u rr e l a t i o n s ： a b a = a ，b a b = b ，( 么b ) = a ba n d ( b a ) b a t h e s ec o n d i t i o n sa r ee x a c t l ye q u i v a l e n tt o m o o r e s t h eu n i q u em a t r i xbs a t i s f y i n gt h e s er e l a t i o n si sn o wk n o w na st h em o o r e - p e n r o s e i n v e r s e ，a n di sd e n o t e db ya t s i n c et h em o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s ep o s s e s s e st h e l e a s t - s q u a r e sp r o p e r t y , i t sc o n t i n u i t yh a s b e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y i nr e c e n t y e a r s ，t h e m o o r e - p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s eo fb o u n d e dl i n e a r o p e r a t o r si nh i l b e r ts p a c eh a sb e e n i n v e s t i g a t e db yj m a , w ：c a o ，gs o n g ，gc h e n ，yx u e ，m w e i ，yw e i ，o h u a n ga n do t h e r s a n dm a n yc o n t i n u i t yc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h em o o r e - p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s eh a v eb e e n o b t a i n e d i ts h o u l db en o t e dt h a tt h e s ec h a r a c t e r i z a t i o n sa r es t u d i e di nt h ec a s eo fb o u n d e dl i n e a r o p e r a t o nh o w t od i s c u s st h ec o n t i n u i t yo ft h em o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s eo fu n b o u n d e d l i n e a ro p e r a t o r ? s i n c et h ed o m a i no fu n b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ri sn o tt h ew h o l es p a c e ，t h e 扬州人学硕+ 学位论文 4 一 t e c h n i q u e su s e di nt h ec a s eo fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o rc a nn o tb ed i r e c t l ya p p l i e dt ot h ec a s eo f u n b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r n e wt e c h n i q u e sa n dm e t h o d sm u s tb ei n t r o d u c e d t h i sp a p e rd e a l s w i t ht h ep e r t u r b e dp r o b l e m so fm o o r e - p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s eo fc l o s e dl i n e a ro p e r m o ri n h i l b e r ts p a c e ： w ek n o wt h a tt h ed e n s e l yd e f i n e da n dc l o s e dl i n e a ro p e r a t o ri sa ni m p o r t a n tc l a s so f u n b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r l e ttb eac l o s e dl i n e a ro p e r a t o rf r o mxi n t oys u c ht h a ti t s d o m a i ni sd e n s ei nxa n dth a st h eb o u n d e dm o o r e - p e n r o s e g e n e r a l i z e di n v e r s e t b ( y ，x ) i ti sn a t u r et oi n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n g p e r t u r b e dp r o b l e m ：w h a tc o n d i t i o no nt h e “s m a l l ”p e r t u r b m i o n6 tc a ng u a r a n t e et h a tt h em o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s e_ to ft h e p e r t u r b e do p e r a t o r 于：t + s t e x i s t s ? i fi te x i s t s ，c a nw eg i v ea ne x p l i c i te x p r e s s i o no f _ t ? a s f a ra sw ek n o w , t h ec o n d i t i o no ft h en o r mo f 万刀ts m a l l e rt h a n1i s a l w a y sa s s u m e di n a p p e a r e dp a p e r s i ft h en o r mo f 万玎ts m a l l e rt h a n1i sa s s u m e d ，t h e nt h ei n v e r t i b i l i t yo ft h e o p e r a t o r ，+ 万玎 a n dt h eb o u n d e d n e s so ft h ei n v e r s eo p e r a t o r ( ，+ 万玎+ ) 一1c a nb eo b t a i n e d d i r e c t l y f r o mt h ew e l l k n o w nb a n a c hl e m m a t h e nh o wt od i s c u s st h ec o r r e s p o n d i n g p e r t u r b a t i o np r o b l e m sw i t h o u ta s s u m i n gt h en o r mo f 艿刀ts m a l l e rt h a n17t h e r e f o r e t h ek e y t oc o n s i d e rs u c hp r o b l e mi sh o wt op r o v et h a tt h eo p e r a t o ri + 6 t t 。i si n v e r t i b l ea n di t si n v e r s e o p e r a t o r ( ，+ 万刀+ ) i sb o u n d e d i nt h i sp a p e r ，u s i n gan e wm e t h o d w ep r o v et h ei n v e r t i b i l i t yo ft h eo p e r a t o ri + 5 盯 t h e nb a s e do nt h i sr e s u l t ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h em o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e d i n v e r s eo fo p e r a t o rtb e i n gs t a b l e ，t h a ti s ： l e txa n dyb et w oh i l b e r ts p a c e s l e tt c ( x ，y ) w i t hd ( t ) = xa n dw i t ht h e b o u n d e dm o o r e - p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s e t b ( y ，x ) l e t8 t l ( x ，y ) b et b o u n d e d w i t h t h et b o u n dbs m a l l e r t h a n1 ，i e i ft = t + 万ts a t i s f i e s 8 t u | i aj j “| f + 6 | | 7 k | | ，v u d ( t ) 李维扬h i l b e r t 空间中闭算子的m o o r e p e n r o s e 逆的扰动定理 ( i ) n ( t ) n r ( t ) = o ) ； ( i i ) r ( t ) nn ( t ) = 0 ) ； ( i i i ) y = 于r ( 丁) + r ( 丁) 上， 5 一 t h e nr ( 于) i sc l o s e da n d 于：t + s th a sb o u n d e dm o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s e 于， a n d 尹= ，一只( 于) r ( 于) 【j 一( r ( 于) 一只( 亍) ) 2 】- 1 ) t * ( i + 8 1 7 ) 一1 ( r + g t ) t + ( ，+ 6 玎) 一1 】 ，一【( 丁+ 艿丁) r ( i + 8 t t + ) 一一( ( 丁+ 万丁) 丁( i + 8 t t ) 一1 ) 】2 ) 一， w h e r e 足( 亍= ) i st h eu n i q u en o r m p r e s e r v i n ge x t e n s i o no fj 一丁( ，+ 万刀+ ) 一1 ( 丁+ 艿丁) o n x k e y w o r d s ：h i l b e r ts p a c e ；d e n s e l yd e f i n e da n dc l o s e d l i n e a r o p e r a t o r s ；t b o u n d e d ； g e n e r a l i z e di n v e r s e ；m o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s e 李维扬h i l b e r t 空间中闭算子的m o o r e p e n r o s e 逆的扰动定理 翌 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果对本文 的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：艿水了易 签字日期扣9 7 年石月r 日 学位论文版权使用授权书 靴篡= 擞提= 0 l 鍪矧 学位论文作者签名：艿 p 饧 导师签名： “i 茹3 ；轰蜃 签字日期：如p 罗年多月r 日签字日期：扣一歹7 年占月，日 扬州人学硕+ 学位论文 第一章引言 6 一 广义逆理论是应用十分广泛的数学分支，已成为现代数学中重要的研究方向之一广 义逆理论的内容极其丰富，主要有矩阵广义逆、线性空间中线性变换的广义逆、h i l b e r t 空 间中线性算子的线性广义逆、正交广义逆、b a n a c h 空间中线性算子的线性广义逆、度量广 义逆及非线性算子的广义逆等广义逆理论涉及代数、分析、统计、计算、优化、控制等 3 2 】多个学科，因此这一学科有着多个研究领域广义逆理论之所以应用如此广泛，这主要 因为广义逆所研究的对象一般涉及到所谓的“不适定”线性问题这些问题所包含的信息不 是太多就是太少，因此不能作为非奇异问题进行求解然而，在某种意义下，它们不但有 “解”，而且甚至有唯一的“解”，例如“最j , - 乘解”或“最小范数解”等因此，在凡是遇到 “不适定”线性问题的学科，便出现了广义逆将广义逆与非线性分析的工具结合，也能求 解一大批非线性“不适定”问题所以研究算子广义逆理论具有重要的理论意义和实际应用 价值下面就所涉及到的m o o r e p e n r o s e 广义逆理论的发展作一简要回顾 1 9 2 0 年，e h m o o r e 推广了非奇异方阵的逆矩阵的概念，对任意的矩阵，引入广义逆矩 阵的概念m o o r e 将m x 玎矩阵a 的广义逆定义为满足条件a g = 只且g a = 尼的n xm 矩阵 g ，这里只为矩阵x 的列向量所张成子空间上的正交投影算子 1 9 5 5 年，r p e n r o s e 证得：存在唯一矩阵b ，满足下面的四个矩阵方程： a b a = a ，b a b = b ，( a b ) = a b ，( b a ) + = b a 这些条件等价于m o o r e 的条件满足这些条件的唯一矩阵b 被称之为a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，且记为么t 由于矩阵的m o o r e p e n r o s e 广义逆与求解最小二乘解有关，因而得到广 泛的研究 从广义逆扰动理论自身来说，它也是广义逆理论研究的核心内容之一早在1 9 5 5 年， r p e n r o s e 就首先研究了矩阵的m o o r e p e n r o s e 逆的连续性 3 4 】 定理1 1 1 3 4 设4 l 和a 是复数域上聊刀矩阵若4 斗a ，则下列命题等价： ( 1 ) 力充分大时，r a n k a = r a n k a ( 2 ) 群一a + 李维扬h i l b e r t 空间中闭算子的m o o r e p e n r o s e 逆的扰动定理三 19 7 3 年在美国威斯康星大学举行了一次广义逆的高级研讨会，并由m z n a s h e d 主编 出版了一本内容十分丰富的综述文集其中m z n a s h e d 给出的综述广义逆的扰动与逼近 和线性算子方程详细讨论了h i l b e r t 空间和b a n a c h 空间线性算子广义逆的扰动和连续性， 给出了广义逆投影扰动和算子扰动的误差估计，利用广义逆的投影方法和迭代方法，讨论 广义逆的逼近，广义逆的级数表示和积分表示等特别地，m z n a s h e d 给出了下面的广义 逆的扰动定理 3 2 】： 定理1 2 1 3 2 设x 和】，为b a n a c h 空间，a b ( x ，y ) 且x = ( 丁) om ，y = r ( r ) on ，设 彳+ 为相对于这个分解的广义逆若t b ( x ，】，) ，b = a + 丁满足 i i 翻+ l l 1 以及 则b 存在广义逆矿，且 ( ，+ 黝+ ) b 映n ( a ) 到r ( a ) b + = a + ( j r + t a + ) = ( i + a + 丁) 一a + 8 0 年代至9 0 年代，m z n a s h e d 3 2 ，x c h e n 31 ，s j l e e 2 0 ，b d c r a v e n 6 等利用 b a n a c h 空间有界线性算子的线性广义逆，研究非线性分析中关于广义隐函数问题，讨论非 极值的不适定问题，利用多值线性算子的正交广义逆研究不适定多值线性算子方程及其在 数值逼近中的应用，利用b a n a c h 空间有界线性算子的外逆给出求解奇异算子方程的拟牛 顿方法等特别地，1 9 9 3 年，m z n a s h e d 和x c h e n 证明了b a n a c h 空间线性算子的外逆是 稳定的，并由此得到半f r e d h o l m 算子的秩定理 3 1 】 引理1 1 1 3 1 设瓦b ( x ，】，) 具有有界外逆虿若t b ( x ，】，) 满足i i 譬lt - t o1 1 1 ，则 b = 譬 k + ( 丁一瓦) 对 _ l = ，蜀+ 对( 丁一瓦) 】。1 虿 是丁的一个外逆，且( b ) = ( 虿) ，r ( 召) = 月( 才) 定理1 3 1 3 1 】设瓦b ( x ，y ) 有广义逆石，t b ( x ，y ) 满足l l 虿l f f ft - t oi f 1 ，则 b = 虿 ，+ ( 丁一t o ) 对】- 1 = ，+ 石( t - t o ) 一才 扬州人学硕+ 学位论文 是t 的广义逆当且仅当 d i m n ( t ) = d i m n ( t o ) 和c o d i m r ( t ) = c o d i m r ( t o ) 8 一 最近，陈果良、薛以锋和马吉溥、魏木生、魏益民、黄强联等人分别利用闭子空间中 的距离和局部精细方法，将定理1 2 和定理1 3 改进为下面的定理 4 ，2 1 定理1 4 1 4 设丁b ( x ，y ) 有广义逆丁+ b ( r ，x ) ，设r = t + 6 t g ( x ，】，) ，其中 丁+ i l l i8 ti i 【1 + | | 一丁丁+ l l 】一 则下列命题等价： ( 1 ) t 是丁的一个稳定的扰动，即尺( r ) n ( 丁+ ) = 0 ) ； ( 2 ) ( i + 6 t t + ) 一丁将n ( t ) 映入r ( t ) ； ( 3 ) 一t + 存在，且于+ = r + i + 6 t t + 】一1 ； ( 4 ) 万( ( r ) ，( 于) ) | | ，一丁丁+ l i 一1 ； ( 5 ) 艿( r ( 丁) ，r c ) ) 0 使得对所有x u 0 ，有( o ，f 1 ) cp ( 4 a x ) 9 0 年代，陈果良 4 5 ，丁玖【7 9 ，魏益民 4 0 ，魏木生 5 】等利用导出极小模方法研究了 m o o r e p e n r o s e 逆的连续性和h i l b e r t 空间中算子方程最小二乘解的扰动等问题，给出了下 面的定理 7 ，4 0 1 定理1 7 1 7 ，4 0 设x 和】，是h i l b e r t 空间，t o ，五b ( x ，】厂) 分别具有m o o r e p e n r o s ej 芭t 0 * ，巧， 且满足乙一r o 则露专r 0 当且仅当n 充分大时，r ( l ) nr ( t 0 ) 上= o ) 上述定理讨论的都是有界线性算子m o o r e p e n r o s e 广义逆的连续性无界线性算子的 m o o r e p e n r o s e 广义逆的连续性也是值得探讨的问题由于无界线性算子的定义域不是全 空间，有界线性算子情形的技巧不能完全应用于无界线性算子，必须引入新的技巧和方法 我们知道，稠定闭线性算子是一类重要的无界线性算子，设丁是x 到】，的稠定闭线性算子， 且存在有界m o o r e p e n r o s e 逆t b ( 】，x ) 自然地，我们可以研究下面的扰动问题：“小” 扰动万r 在什么情形下可以保证扰动算子丁= 丁+ 万丁的m o o r e p e n r o s e 逆丁存在? 如果存在， 扬州人学硕十学位论文 l o 我们能否给出- t 具体的表达式? 在扰动不改变零( 核) 空间的情况下，b a n a c h 空问中相应的 扰动问题已经被广泛研究 3 9 】值得注意的是，在已有的文献中都假定万刀的范数小于1 如果直接假定万玎+ 的范数小于1 ，那么算子，+ 万玎的可逆性和逆算子( ，+ 6 玎) 一的有界 性可以由著名的b a n a c h 引理直接得出那么在不假定万刀的范数小于1 的情况下，如何讨 论相应的扰动问题? 考虑这个问题的关键就在于如何证明算子，+ c 箩玎可逆且其逆算子 ( ，+ 万玎) 一有界本文中，我们首先利用一个新的方法证明算子，+ 万刀+ 的可逆性进而 给出扰动后的算子丁的广义逆稳定的充分条件，并给出了丁明确的表达式 李维扬h i l b e r t 空间中闭算子的m o o r e p e n r o s e 逆的扰动定理 第二章预备知识 一、h i l b e r t 空间中的有界线性广义逆 h i l b e r t 空间中线性算子的广义逆是矩阵广义逆的直接推广，在求解不适定方程最小二 乘解、最小范数解、最佳逼近解等方面起着重要作用 设x 和】，是h i l b e r t 空间，我们用t ( x ，1 0 表示从x 到】，的所有线性算子组成的空间， 曰( x ，y ) 表示从x 到】，的所有有界线性算子组成的b a n a c h 空间假设t b ( x ，y ) ，t 的值 域r ( t ) 是闭的，丁的m o o r e p e n r o s e 逆矿是b ( y ，x ) 中满足下式的唯一算子 4 0 】： ( 1 ) t t t = t ；( 2 ) t t t = t ； ( 3 ) ( 玎+ ) 。= t t ；( 4 ) ( t r ) = t t 上述定义中条件( 1 ) , * - - - ( 4 ) u - j 换为 ( 1 7 ) 7 7 = 最( 7 ) ；( 2 7 ) 矿r = 乞( ，) 其中只( 即乞( r ) 分别为z 和】，到乓( r ) 和气( 广) 上的正交投影算子 算子丁的m o o r e p e n r o s e 逆矿有下面的含义，对线性算子方程 t x = h 这罩h y ，t b ( x ，y ) ，t + h 为其最佳逼近解，即t + h 为最小范数最小二乘解也就是说 t + h 满足下面的两个条件： ( 1 ) | it t + h - h1 1 = d ( h ，r ( r ) ) = i n 。jf | t x hl l ； ( 2 ) 对满足| l 砂一办i l = d ( h ，r ( r ) ) 的任意y ，有i it + hi i i lyi i 若t b ( y ，x ) 为t b ( x ，y ) 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，则x ，】，分别有下列j 下交分解： x = n ( r ) o ( 丁) 上，y = r ( t ) o r ( r ) 上 在定义上面的m o o r e p e n r o s e 逆时，我们假设了r ( t ) 是闭的当r ( t ) 不闭时，我们可 以如下定义算子丁的m o o r e p e n r o s e 逆： 扬州人学硕十学位论文 1 2 若线性算子矿：y x 满足d ( 丁) = r ( 丁) o 尺( 丁) 上和下列四个m o o r e p e n r o s e 方程： ( 1 ) 丁丁丁= 丁， ( 2 ) 丁刀= 丁， ( 3 ) 丁丁= ，一目( 7 ) ，( 4 ) 刀= 暑丽i 。( 一) ， 我们则称r 为丁的m o o r e p e n r o s e 逆 3 2 】，它是唯一确定的，而且矿是一个闭算子，根据闭 图像定理，矿是有界的当且仅当r ( t ) 是闭的 若丁不是全空间定义的或丁是无界线性算子，我们可定义线性算子丁的t s e n g 广义逆 t g l ( r ，x ) 为满足下列式子的算子 3 5 3 7 】： ( 1 ) r ( t ) cd ( t 耳) ；( 2 ) r ( t g ) cd ( t ) ； ( 3 ) r 耳戥2 x ； ( 4 ) t t g y2 y 其中x d ( 丁) ，y d ( t g ) 对于同一个丁可以有无限多个t s e n gf - y 逆，其中定义域最大 的就是上面所说的m o o r e p e n r o s e 逆 1 】 二、b a n a c h 空间中的广义逆 设x 为b a n a c h 空间，m 为x 的闭子空间，如果存在x 的闭子空间，使得 x = mon w 则称m 在x 中拓扑可补，n 称为m 的补子空间此时对x x ，x 有唯一的分解 x = 一十x 2 定义匕：xj m ，r ：x 专n 为 岛x = ，r x = x 2 则，r 分别称为x 到m ，的自然投影 定义2 1设x 为b a n a c h 空间，线性算子p ：x 专x 满足p 2 = p ，则称尸为幂等算子若幂 等算子p 还是有界的，则称p 为投影算子进一步，当x 为h i l b e r t 空间，mcx 为闭线性 子空间，分别记，硭为x 到m 上的投影算子和j 下交投影算子 李维扬h i l b e r t 空间中闭算子的m o o r e p e n r o s e 逆的扰动定理旦 引理2 1 ( 1 ) 幂等算子p ：x 专x 为投影算子铮尺( 尸) ，n ( p ) 闭 ( 2 ) 设p 为全空白j 定义的线性算子，则p 为正交投影算子p 自共轭且为投影算子 设x ，】，为b a n a c h 空间，t b ( x ，y ) ，如果存在线性算子s b ( y ，x ) ，满足 礤t = t 则称s 为丁的内逆；如果s 满足 s t s = s 则称s 为丁的外逆如果s 既是丁的内逆，又是丁的外逆，则称s 为丁的广义逆记丁的广 义逆为丁+ 如果t b ( x ，】，) 具有广义逆t + b ( y ，x ) ，那么 ( 1 ) 玎+ 和7 1 + 丁都是幂等的有界线性算子，并且r ( t t + ) = r ( t ) ，r ( t + t ) = r ( t + ) ， n ( t + t ) = n ( t ) 以及( 刀+ ) = n ( t + ) ； ( 2 ) n ( t ) 和r ( t ) 是闭的，并且分别在x 和y 内可补，即x 和l ，有下列拓扑直和分解： x ：( 丁) or ( r + ) ，y ：n ( t + ) o 尺( 丁) ( 2 1 ) 反之，如果x 和】，具有下列拓扑直和分解： x = n ( t ) 0m ， y = 尺( 丁) on ， 那么丁有广义逆t + b ( y ，x ) 满足n ( t + ) = n 和r ( t + ) = m 【3 3 1 特别地，当石和】，都是h i l b e r t 空间，式( 2 1 ) 中所对应的分解均是正交分解时，这时丁 所对应的广义逆丁+ 就是m o o r e p e n r o s e 逆，反之亦j 下确 3 3 】 三、闭算子的广义逆 设x ，】，为b a n a c h 空间，l ( x ，】，) ，c ( x ，y ) 和b ( x ，y ) 分别表示从x 到】，的线性算子全体， 稠定闭算子全体和有界线性算子全体，表示恒等算子对任意的t l ( x ，y ) ，d ( t ) ，r ( t ) 和n ( t ) 分别表示丁的定义域，值域和核空间 下面我们引入闭算子广义逆的概念： 扬州人学硕十学何论文 定义2 2 2 4 】设t c ( s ，y ) 有闭值域r ( t ) ，且d ( t ) = x 假设x 是n ( t ) 和尺+ 的拓扑直 和，】，是r ( r ) 和+ 的拓扑直和，即 x = ( 丁) or + ，y = r ( 丁) on + 设p ，q 分别为x 沿r + 到n ( t ) 上，】，沿+ 到r ( t ) 上的连续线性投影算子如果 ( 1 ) t t + t = 丁，在d ( t ) 2 z ；( 2 ) t + t t + = r + ，在】，上； ( 3 ) t + t = ，一尸，在d ( t ) 上；( 4 ) t t + = q ，在l ，上， 那么我们称有界线性算子t + 8 ( r ，x ) 为丁关于p ，q 的广义逆易见，当t b ( x ，y ) 时， t + b ( r ，x ) 存在【3 1 】 关于闭算子广义逆的存在性，我们有下面引理： 引理2 2 1 18 】( a ) 设x ，】，为b a n a c h 空间，t c ( x ，】，) ，d ( t ) = x ，若( 丁) ，r ( r ) 分别在 x ，y 中拓扑可补，即 x = ( 丁) o ( 丁) 。和】，= 页巧。页乙巧。 令p ，q 分别为x 沿( 丁) 到( 丁) 上，】，沿莉。到瓦历上的投影算子，则丁有唯一的广义 逆7 1 + 满足下列条件： ( 1 ) t t + t x = t x ，v x d ( t ) ；( 2 ) t + t t + y = t + y ，v y d ( t + ) ； ( 3 ) t + t x = ( i e ) x ，v x d ( t ) ；( 4 ) 7 7 + y = q y ，v y d ( t + ) ， 其中d ( t + ) = r ( 丁) + 丽。 ( b )在( a ) 的假设下，7 1 + 有界当且仅当