（机械设计及理论专业论文）新型空间凸轮活齿精密传动计算机辅助设计.pdf

中文摘要 摘要 课题来源于国家“8 6 3 ”计划项目“新型空间凸轮活齿精密传动及其应用研究” ( 课题编号：2 0 0 1 a a 4 2 3 1 9 0 ) 。新型空间凸轮活齿传动具有传动精度高、啮合间 隙可调、自锁性能好等优点，在机器人、机床、仪器仪表等工业领域有着广泛的 应用前景。空间凸轮活齿精密传动属于空问多齿啮合传动，其设计计算较为复杂。 论文着重对空间凸轮活齿传动的相关基础理论包括齿形理论、力学特性及传动效 率等进行了研究，编写了相应的数值计算程序；开发了关于该新型传动的计算机 辅助设计分析软件。本文的研究工作是该“8 6 3 ”计划项目的重要组成部分，主要 内容包括： ( 1 ) 根据单参数曲面族包络的理论和定传动比条件，建立了正弦型端齿共轭 啮合零件理论齿廓方程，讨论了刀具半径对啮合齿形的影响，给出了啮合零件的 修正齿形及刀具中心轨迹的求解方法。推导了空间凸轮和端齿的主曲率和主曲率 半径的计算公式，给出了计算实例。 ( 2 ) 建立了正弦型端齿空间凸轮活齿传动的力学分析模型；根据弹性力学赫 兹接触理论，推导了空间凸轮活齿传动点接触受力分析公式，并给出了求解的方 法；开发了数值计算软件，对不同设计参数的受力特性进行计算，获得了该传动 受力变形的一般规律，并与摆线型端齿的力学特性作了对比分析。 ( 3 ) 将空间凸轮活齿精密传动中活齿与凸轮啮合面之间的滑动摩擦力和滚动 摩擦力用滑滚摩擦力来代替，推导出传动效率计算公式，并讨论了各因素对传动 效率的影响。 ( 4 ) 在微软的m f c 类库框架结构下使用面向对象的高级编程语言c + 十进行 基于w i n d o w s 的软件开发，编制了可视化系统软件，实现了对该传动机构的齿廓 自动求解、机构啮合模拟以及力学数值仿真，从而为空间凸轮活齿精密传动的设 计分析与数控加工提供了一种快捷、有效的工具。 关键词：空间凸轮活齿传动，共轭齿廓，力学特性，传动效率，软件开发 英文摘要 a b s t r a c t t h ep r o j e c to r i g i n a r e sf r o mt h en a t i o n a l “8 6 3 ”p l a n n a m e d ”t h er e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o no nn e ws p a t i a lc y c l o i d b a l lg e a r i n g ”( n o 2 0 0 1 a a 4 2 3 1 9 0 ) t h es p a t i a l c a m s l i d i n gt o o t ht r a n s m i s s i o nh a s t h ea d v a n t a g e so fh i g ht r a n s m i s s i o n p r e c i s i o n ， a d j u s t a b l em e s h i n gc l e a r a n c ea n dg o o ds e l g l o c kc h a r a c t e r i s t i c ，s o i td e s e r v e sw i d e l y a p p l i c a t i o np r o s p e c t si nm a n yi n d u s t r yf i e l d ss u c h 嬲r o b o ti n d u s t r y , m a c h i n ei n d u s t r y , i n s t r u m e n ti n d u s t r y , e t c b e c a u s et h es p a t i a lc a m s l i d i n gt o o t hp r e c i s i o nt r a n s m i s s i o n b e l o n g st ot h es p a t i a lm u l t i - t o o t hm e s h i n gt r a n s m i s s i o n ，t h ed e s i g na n dc a l c u l a t i o na r e m o r e c o m p l i c a t e d t l l i st h e s i se m p h a s i z e s o nt h ec o r r e l a t i v eb a s i ct h e o r i e so f t h e s p a t i a l c a l ns l i d i n gt o o t ht r a n s m i s s i o ni n c l u d i n gp r o f i l et h e o r i e s ，t h em e c h a n i c sc h a r a c t e r i s t i c a n dt r a n s m i s s i o n e f f i c i e n c ye c t ，a n d t h en u m e r i c a l c a l c u l a t i n gp r o g r a m s a r e a c c o m p l i s h e d t h ec o m p u t e ra i d e dd e s i g na n da n a l y s i ss o f t w a r eo f t h en e w p r e c i s i o n t r a n s m i s s i o nd e v i c ei s d e v e l o p e d t h er e s e a r c h w o r ko ft h i st h e s i si so n eo ft h e i m p o r t a n tp a r t so f t h i s “8 6 3 ”p l a np r o j e c t m a j o rc o n t e n t so f t h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 ) a c c o r d i n gt os i n g l ep a r a m e t e r s c u r v ee n v e l o p i n gt h e o r i e sa n dt h ec o n s t a n t t r a n s m i s s i o nr a t i oc o n d i t i o n ，t h et h e o r e t i c a lp r o f i l ee q u a t i o n so fs i n n s o i df a c et o o t h c o n j u g a t em e s h i n gp a r t sa r ee s t a b l i s h e d ，t h ec u t t e rr a d i u s se f f e c t so nt h ep r o f i l ea r e d i s c u s s e d ，s o l u t i o n st or e a lp r o f i l ea n dc u t t e rc e n t e rl o c u sa r es t u d i e di nd e t a i l t h e c a l c u l a t i n gm e t h o d so nt h em o d i f i e dp r o f i l ea n d t h ec u t t e r sc e n t e rt r a i la r ep r e s e n t e d t h ec a l c u l a t i n gf o r m u l a so nt h em a i nc u r v a t u r ea n dc u r v a t u r er a d i u so fc a ma n df a c e t o o t ha r ed e d u c e d ，a n dt h e c a l c u l a t i n ge x a m p l e s a r ep r e s e n t e d 2 1t h em e c h a n i ca n a l y s i sm o d e lo f t h es i n u s o i df a c et o o t hs p a t i a lc a m s l i d i n gt o o t h t r a n s m i s s i o ni sb u i l tu p a c c o r d i n gt ot h eh e r t zc o n t a c tt h e o r yi ne l a s t i c - m e c h a n i c s ，t h e f o r c ea n a l y s i sf o r m u l a so fc o n t a c tp o i n t sa r ed e d u c e da n dt h er e s o l u t i o nm e t h o di s p r e s e n t e d t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i n gs o f t w a r e i sd e v e l o p e d , a n dt h ef o r c ec h a r a c t e r i s t i c s w i t hd i f f e r e n td e s i g np a r a m e t e r sa r ec a l c u l a t e d t h eg e n e r a ll a wo nf o r c ed e f o r m a t i o no f t l l i st r a n s m i s s i o ni so b t a i n e d a n dt h ec a l c u l a t e dr e s u l t so fs i n u s o i df a c et o o t ha r e c o m p a r e d 、i mc y c l o i d f a c et o o t ha n dd i s c u s s e d 3 、t h es l i d e - r o l l i n gf r i c t i o nf o r c eb e t w e e n s f i d i n gt o o t ha n d c a m sm e s h i n g p r o f i l e o ft h es p a t i a lc a n ls l i d i n gt o o t ht r a n s m i s s i o ni ss u b s t i t u t e df o rt h es l i d i n gf r i c t i o nf o r c e a n dt h er o l l i n gf r i c t i o nf o r c e t h ef o r m u l af o rt r a n s m i s s i o ne f f i c i e n c yi sd e d u c e d t h e c o r r e l a t i v ef a c t o r s e f f e c t so nt h et r a n s m i s s i o ne f f i c i e n c ya r ed i s c u s s e d i l l 重庆大学硕士学位论文 4 ) w i t ht h em i c r o s o f tm f cw o r kf r a m e ，u s i n gt h eo b j e c to r i e n t e dh i g h g r a d e p r o g r a m m i n gl a n g u a g ec + + t h ew i n d o w s b a s e dv i s u a ls y s t e ms o f t w a r ei sd e v e l o p e d t or e a l i z e p r o f i l e a u t o m a t i cc a l c u l a t i o n ，m e s hs i m u l a t i o na n dm e c h a n i c sn u m e r i c a l s i m u l a t i o no f t h es p a t i a lc a ms l i d i n gt o o t ht r a n s m i s s i o n ，w h i c hi sap r o m p ta n de f f e c t i v e t o o lf o ra n a l y s i s ，d e s i g na n dn u m e r i c a lc o n t r o lm a c h i n i n go ft h es p a t i a lc a ms l i d i n g t o o t hp r e c i s i o nt r a n s m i s s i o n k e yw o r d s ：t h es p a t i a l c a i n s l i d i n g t o o t h t r a n s m i s s i o n ，c o n j u g a t e t o o t h p r o f i l e ， t r a n s m i s s i o n e f f i c i e n c y , m e c h a n i c s c h a r a c t e r i s t i c ， s o f t w a r e d e v e l o p m e n t i v 1绪论 1绪论 1 1 课题来源以及研究的意义 课题来源于国家高技术发展研究计划项目“新型空闽凸轮活齿精密传动及其应 用研究”( 课题编号：2 0 0 1 a a 4 2 3 1 9 0 ) 。 精密传动是以高精度地传递运动为主要目的的一类机械传动形式，是国防工 业和各种制造装备业中极其重要的基础性零部件。精密传动作为一种通用的传动 形式，近年来在国防工业和国民经济建设各个领域的应用越来越广泛，各种精密 传动的需要量逐年大幅增长。随着科学技术的发展，很多工业领域特别是一些重 要的国防装备对精密传动提出了精度高( 传动精度、回差均在角秒级) 、承载能力 大、体积小等要求，而现有的精密传动形式已难以或很难经济地满足这些要求。 因此，高性能精密传动的研发己成为我国相关工业领域，特别是国防工业发展中 的一个重要的科技问题。如何进一步提高精密传动的性能，尤其是如何实现精密 传动突破性的进展，就成为机械工程学科研究的重要前沿，相关的研究具有重要 的理论意义和工程实用价值。 新型空间凸轮活齿精密传动“”的啮合副由球面摆线( 或正弦线) 端齿、 滚珠活齿、输出架和空间凸轮组成。该新型传动利用多齿啮合的误差均化效应获 得高的传动精度，通过轴向调整啮合零件的相对位置实现啮合间隙可调，从而为 精密运动传递提供了一种新的传动形式。它突破了普通活齿传动均为动力传动的 限制，将动力活齿传动发展为精密活齿传动，将平面活齿传动发展为空间活齿传 动，这对于活齿传动的发展将产生积极的促进作用。 论文着重对空间凸轮活齿传动的相关基础理论包括齿形理论、力学特性及传 动效率等进行了研究，编写了相应的数值计算程序；开发了关于该新型传动的计 算机辅助设计分析软件。本文的研究工作是该“8 6 3 ”计划项目的重要组成部分， 研究的结果对于改善传动特性、提高承载能力等均具有重要意义。 1 2 活齿传动齿形的研究现状 活齿传动是一种由k h y 型少齿差行星传动演化而成的用来实现两同轴 间变速回转运动的新型传动，它具有结构紧凑、传动比范围广、承载能力大、传 动效率高等优点，所以它出现就引起科技工作者的广泛注意。活齿传动最初的 结构形式是2 0 世纪3 0 年代由德国人提出来的，到了4 0 年代，他们就把活齿传动 重庆大学硕士学位论文 技术应用到汽车的转向机构中了。5 0 年代到7 0 年代初，前苏联以及英、美等国积 极开展了对活齿传动的研究，先后推出了柱塞传动、正弦滚柱传动、滑差减速器、 无齿齿轮传动技术等。近年来，国际上对活齿传动的研究更加积极，许多国家先 后公布了一些有关活齿传动的专利和发明，活齿传动已经成为行星齿轮研究中较 为活跃的领域。 我国从7 0 年代起才开始研究活齿传动技术，先后开发研制了推杆活齿传动、 滚柱( 珠) 活齿传动、套筒活齿传动、摆动活齿传动、平面滚珠活齿传动等。随 着活齿传动的新结构不断出现和新齿形相继提出，根据某种传动形式或特定的齿 形来研究活齿传动，已经不能完全适应工业发展的需要，因此越来越多的学者开 始关注活齿传动的齿形研究“1 。 陈仕贤、刘生林等人在分析活齿运动规律的基础上，应用包络理论确定了推 杆活齿传动内齿圈齿廓曲线”。；孙玉鑫、丁肇棣等人用相似的方法推导出外波式、 内波式滚子活齿传动中心轮齿廓曲线方程“，并分析了激波系数和活齿系数对 齿形误差、齿侧间隙的影响：曲继方将活齿传动齿形综合归纳为两类基本问题“ ”。：一是齿形综合正解，即选定条件运动副b 的两曲线，并给定共轭齿形a 两 曲线中的任一个，按己知运动规律求与其相共轭的齿形曲线，其实质是根据条件 运动副b 包络理论求活齿传动的共轭齿形a 。二是齿形综合反解，即选定共轭齿 形a 的两曲线，并给定条件运动副b 两曲线中的任一个，按已知运动规律求与其 相共轭的齿形曲线，其实质是根据共轭齿形a 用包络理论反求条件运动副b 。曲 继方提出能反映活齿传动啮合本质的齿形分析普遍理论“活齿传动齿形分析的等 效机构法”，它是一种用低副等效机构轨迹综合理论研究活齿传动齿形综合的通用 齿形理论，并应用该理论推导出了移动活齿传动和摆动活齿传动的齿形正、反解 通用方程式。为使共轭齿形获得齿侧间隙和改善传动性能，曲继方比较了各种修 形方法的优缺点，提出了“转角等距移距齿廓修形法”，为避免较为复杂的理论齿 廓曲线的加工，还研究了共轭齿形的代替理论，确定了共轭齿形圆弧替代和直线 替代的方法，并分析了各自的优缺点和使用条件。 1 3 活齿传动力学特性的研究现状 最早关注活齿传动力学特性的是张才富，他考虑了间歇和元件弹性对刚度的 影响，首先建立了活齿传动的力学模型，用传递矩阵法和弹性接触理论导出了载 荷分布和接触刚度的计算公式“；扬伟君、李瑰贤等对活齿传动进行了精细的受 力分析，并提出了建立活齿传动力学模型的一般方法，依据以活齿微位移为基础 的变形协调条件，首次建立了完整的力学模型，推导了求解活齿传动机构的一般 2 l绪论 受力计算公式，为动力学研究奠定了基础“；张以都对活齿传动的多齿受力特性 进行了研究，详细地叙述了活齿在传动过程中，活齿上各个力之间的相互关系， 并构造了活齿受力平衡的线性方程组，以奇异值分解理论广义逆阵和极小最二乘 法为基础建立了活齿受力的数值计算方法，并对活齿的奇异受力方程组进行了求 解，从而发现了活齿传动的多齿受力特性及其分布规律“；丁肇棣、曲继方，魏 彤等对活齿传动的强度进行了数值计算的研究，他们在圆柱活齿传动受力分析的 基础上，利用微分几何、弹性力学和优化设计方法推导了活齿传动的强度计算 般公式，并给出了强度变化的一般规律“；英国的w k e w i s 教授根据摆线钢球传 动的齿廓曲线特点，采用有限元法对其进行三维接触应力计算，得出了一些对摆 线钢球普遍适用的有益结论，为摆线钢球传动的应力计算提供了理论依据“；德 国的g l a dg m l 教授依据活齿传动原理，研究了保证双摆线无隙钢球传动的重要 特征参数间隙调节力矩，推导了确定该力矩的计算公式“。 1 4 活齿传动效率的研究现状 活齿传动利用活齿来实现两同轴之间的转速交换，突破了长期以来齿轮传动 的传统结构特征，改行星齿轮的轮齿与轮体的刚性联接为运动副活动联接，使行 星齿轮的全部轮齿成为一组作循环运动的独立运动体：活齿与活齿架组成活齿轮， 改行星齿轮的行星运动为活齿轮绕固定轴线转动，并使诸活齿在活齿架的导向槽 中按一定的运动规律运动，以实现行星齿轮作行星运动的功能。活齿传动采用活 齿后，使输出机构和活齿轮的分齿部分合成一体，使输入轴到输出轴之间的运动 链缩短，减少了动力传递损失；活齿和中心轮、激波器、活齿架之间组成的一个 低副和两个高副，由于采用了针齿、套筒活齿、摆动活齿、组合活齿和转臂轴承 等结构，使组成运动副的各运动副元素间有较多的相对滚动，啮合效率提高：激 波器采用双排结构，并1 8 0 。布置，使惯性力和作用力平衡，使传动轴及轴承的受 力减轻，提高了活齿传动的传动效率。活齿传动的传动效率随传动比的增加而降 低，传动效率在9 5 7 0 范围内“。 提高传动效率，节省能源是机械传动的重要研究课题。应用连杆机构自由度 分析的“局部自由度概念”和运动副元素的接触状态，建立“运动副滑滚转换原 理”，研究滑滚代换方法和技术，变啮合副间的相对滑动为滚动或降低齿面滑动速 度，减轻运动副元素间的摩擦磨损，是提高活齿传动效率的主要途径。此外，采 用圆弧近似齿形，与均载技术相结合，更容易形成滚动啮合型式：选择合理的结 构型式和尺寸参数，提高共轭齿形的滚滑比率，综合出相对滑动速度小的啮合副； 继续研究以提高传动效率为目标的“齿形修形原理和方法”，充分应用共轭齿廓高 重庆大学硕士学位论文 效啮合段；筛选缩短运动链等都是提高传动效率的有效途径“。 李明山、曲继方采用“啮合功率法”，在考虑活齿传动各元件间相对运动基础 上推导出啮合效率计算公式，把效率计算的复杂性转移到损失系数的计算上来“； 孙玉鑫、李活林等人研究了滚子活齿传动的效率计算方法，在假设激波器为偏心 圆凸轮( 无转臂轴承) 、激波器与活齿之间为纯滚动的前提下，通过运动和受力分 析，确定活齿的自转角速度和角加速度，得出活齿滚滑比例系数，推出效率计算 公式“1 ；刘生林等对推杆活齿传动的效率问题作了深入研究，给出了单个工作 推杆、总体的效率计算方法，并分析得出：反向机构由于摩擦严重，其效率远低 于正向机构“”。；张才富等运用受力分析研究外波式活齿减速器的传动效率“； 孙玉鑫、梁尚明等提出滑滚摩擦系数和滑滚比例的概念，推导了传动效率计算公 式2 。 1 5 活齿传动的计算机辅助设计。“”。2 1 在机械设计中有大量的计算分析工作，如满足设计准则的校核计算、设计参 数的优化选择计算、工作性能分析计算和模拟运行工作的仿真计算等。现代设计 理论要求采用尽可能符合真实条件的计算模型进行分析计算，其内容包括了静、 动态分析计算，计算工作量非常大，往往无法由手工完成。分析是设计的基础， 是优化技术和仿真技术的核心。计算机辅助设计( c a d ) 系统提供了进行辅助分析 计算的支撑环境和工具。在辅助分析计算中，首先要按求解内容的物理规律确定 计算关系，即建立计算模型；然后要确定求解策略和方法，并用软件实现。在软 件实现中，大都是在调用系统中成熟支撑软件的基础上，通过联接接口增加一些 补充处理而完成求解计算。 常用的程序设计语言有c 、f o r t r a n 、p a s c a l 、c o b o l 、p r o l o g 等等，其中c 语言通用性好、易于移植、功能强、使用灵活，正在成为c a d 和软件工程中最流 行的程序设计语言。许多工程数据库、几何造型和交互绘图等大型软件系统都采 用c 语言。而c + + 语言是c 语言的含面向对象功能的扩充版本，它具有数据抽象、 继承及多态性支持。所谓面向对象编程( o o p ) 的程序设计方法，即将数据和所处 理数据的过程当成一个整体对象，以更接近人类思维的方式建立模型，从而 便于软件对客观实体进行模拟，尽可能直接地表现问题求解的过程”。 目前，应用c a d 技术和现代机械设计方法进行活齿传动设计的研究越来越多， 徐礼钜等人对摆动活齿传动进行了计算机辅助设计，他们在v i s u a lc + + 6 0 集成 开发环境下，利用a c c e s s 数据库系统和a u t o c a d r l 4 绘图环境，对摆动活齿减速 器各零部件结构进行变参数设计，并进行强度校核、安全分析和寿命计算”“；梁 尚明等运用改进后的遗传算法对摆动活齿传动的优化设计数学模型进行优化仿真 4 计算。；李瑰贤等人运用m a t l a b 语言实现了滚柱活齿传动中啮合齿廓的接触区可 视化仿真，直观证明了滚柱活齿传动是线接触“；阳林等研究了推杆活齿减速器系 统特征参数的经验设计方法，提出了可满足最大重合度、最小压力角和最佳受力 条件三个目标的参数优化方法，建立了内齿圈齿形优化c a d c a m 系统。“；王素等 将人工智能搜索策略运用于全滚动活齿传动参数优化设计，提出了不同于传统数 学规划法的方法，并建造了相应的面向对象的专家系统“。 1 6 论文的主要研究内容 论文的主要工作包括以下几个方面： 1 ) 根据单参数曲面族包络的理论和定传动比条件，建立了正弦型端齿共轭啮 合零件理论齿廓方程，讨论了刀具半径对啮合齿形的影响，给出了啮合零 件的修正齿形及刀具中心轨迹的求解方法；推导了空间凸轮和端齿的主曲 率和主曲率半径的计算公式；给出了计算实例。 2 ) 建立了正弦型端齿空间凸轮活齿传动的力学分析模型；根据弹性力学赫兹 接触理论推导了传动中各接触点力学公式，导出了求解的方法，给出了计 算结果，并与摆线型端齿的力学特性作了对比分析。 3 ) 将空间凸轮活齿精密传动中活齿与凸轮啮合面之间的滑动摩擦力和滚动 摩擦力用滑滚摩擦力来代替，推导出传动效率计算公式，并讨论了各因素 对传动效率的影响。 4 ) 在微软的m f c 类库框架结构下使用面向对象的高级编程语言c + + 进行基 于w i n d o w s 的软件开发，编制了可视化系统软件，实现了对该传动机构的 齿廓自动求解、机构啮合模拟以及力学数值仿真，从而为空间凸轮活齿精 密传动的设计分析与数控加工提供了一种快捷、有效的工具。 2 空间凸轮活齿精密传动的齿廓理论 2 空间凸轮活齿精密传动的齿廓理论 新型空间凸轮活齿精密传动装置的啮合构件包括端齿、活齿( 钢球) 、活齿架 和空间凸轮。通常，活齿架上的活齿孔为圆周上均布的通孔，活齿中心轨迹在 圆柱面上。端齿和空间凸轮的齿形可任意给定其一，另一齿形则根据共轭条件导 出。一般情况下，首先确定端齿的齿形为摆线或正弦线等。端齿和凸轮是球形刀 具沿刀具中心轨迹运动切削出来的空间曲面，此空间曲面也为球形刀具沿刀具中 心轨迹运动的包络面。研究该包络面的主曲率和主曲率半径是研究新型空间凸轮 活齿传动力学性能和摩擦润滑特性的基础。本章根据单参数曲面族包络的理论和 定传动比条件，建立了正弦型端齿共轭啮合零件理论齿廓方程；讨论了刀具半径 对啮合齿形的影响：着重研究了啮合零件修正齿形和刀具中心轨迹的求解方法； 根据微分几何知识推导了空间凸轮和端齿主曲率和主曲率半径的计算公式：进行 了实例分析。 2 1 理论齿形 图2 1 空间凸轮活齿传动坐标系 f i g 2 1 s p a t i a lc 锄- b a l lg e a r i n gc o o r d i n a t es y s t e m 首先建立如图2 1 所示的坐标系：固定坐标系o x y z ，与活齿架固连的坐标系 0 3 玛弘弓，与空间凸轮固连的坐标系0 5 x 2 y 2 2 2 以及与端齿固连的坐标系d lx 1 m2 l ， o x y z 、0 1 置m 气、0 2 x 2 y 2 2 2 、0 3 ： q y 3 2 3 在同一平面上，并且在初始位置四个坐标系 重合。 重庆大学硕士学位论文 根据空间凸轮活齿传动的惊理，端齿齿廓为钢球沿给定i 圆柱面上的曲线运动而 形成的空间包络面。已知正弦线的方程为 f s = a o z ：即i n ( 小争 8 _ 参数。 式中：a 一正弦线参数，a = 盘； r 一给定圆柱面的半径，五一端齿数； r 一正弦线参数； ，一正弦线参数，r 2 斋。 在端齿坐标系q 焉mz l 中，钢球中心轨迹是端齿曲线的等距曲线，根据齿廓法 线法，钢球中心轨迹曲线可表示为 或 蜗c o s ( 加+ 要) s = s ( 8 ) = a o 一产= = = = = = = = = 三 ja 2 + ( 竭) 2 c o s 2 ( 加+ 三)( 2 1 ) z 2 五2 足s i n ( r 8 + j 7 r ) + j i i i i 霭a a x f = r c o s t 2 y g = r s i n f 2 z g 。z ( 日) ( 2 2 ) 式中s 钥球中心沿柱面弧长坐标，s = 础 2 一钢球中心纵坐标 一等距量 ，以，磊一钢球中心坐标 根据曲面包络的有关理论，端齿齿面可表示为： ( 葺一) 2 + ( 咒一只) 2 + ( 五一) 2 = 1 c 五一，釜+ c m 一只，鲁心一弓，鼍= 。 q 。3 式中 l 一钢球半径 再，m ，而一端齿齿面坐标，弓z o 从( 2 3 ) 式中消去 ，即得到端齿齿面方程。 2 空间凸轮活齿精密传动的齿廓理论 假定空间凸轮顺时针转动，则在转化机构中端齿逆时针转动，活齿架和钢 球中心相对端齿转动f 2 ( 负号传动) ，而钢球中心相对凸轮转过t 。各构件在啮合传 动过程中满足互不分离、互不嵌入及匀速传动条件，则t l = i t 2 ，f = t 2 ( i + i ) ，于是 有 s ( d ) = r t 2 ( i + 1 ) 或 j = r c o s t = r s i n t ( 2 4 ) 【2 铴) 式中s ( 日) 钢球中心在o x y z 中的弧长坐标 j 传动比 k ，名钢球中心在o x y z # 9 3 坐标 通过上式将局部坐标系下的钢球中心坐标变换至整体坐标系。根据空间凸轮为 钢球同时沿端齿齿廓及活齿架上通孔运动在空间凸轮端面形成的包络面，我们得到凸 轮曲面 f ( x 一) 2 + ( y 一) 2 + ( z 一白) 2 = e 卜，鲁m 一，鲁m 一，鲁= 。 q 5 式中x ， 2 凸轮齿面在o x y z 中的坐标。 从上述啮合齿面的推导过程可以看出，如果刀具为球头铣刀且球的半径与钢 球半径相同，则端齿和空间凸轮曲面可采用球头铣刀按钢球中心轨迹直接加工得 到，并不需要详细解算空间曲面。 2 2 端齿的齿廓方程及刀具中心轨迹 在实际生产中，为了补偿加工、装配误差和温度的影响，钢球的半径应略小于 刀具半径。一般地，我们将钢球和刀具半径的比值取为0 9 2 0 9 8 。此时，钢球与端 齿、钢球与凸轮的啮合点为刀具球面与钢球球面的切点，并且啮合点、钢球中心、刀 具球心在一条直线上。由于钢球中心始终位于半径为尺的圆柱面，因此啮合点、钢 球中心和刀具球心通常不可能同时都在圆柱面i - ( - 三点连线与圆柱面母线平行时除 外) 。为了使问题获得确定的解，必须给出附加条件。 不失一般性，假定钢球与端齿的啮合点在r 圆柱面上，有： 9 重庆大学硕士学位论文 f k = r c o s f l = r s i n 3 【2z 二 式中：卢一参数，k ，儿，啮合点坐标 对于给定钢球中心轨迹： s = a o 一 2 墨s i n ( r 9 + i z ) + j i i i i 雨a a 在直角坐标系中可表示为 k 2 r c o s c t y 鼋= r s i n a z 2z 口：羔 r ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 式中： 一等距量，日参数 而端齿齿廓与钢球的啮合点必在钢球的球面上： ( 一k ) 2 + ( 如一) 2 + ( 气一z 萼) 2 = 心2 ( 2 9 ) 且在钢球球面族包络面特征线所在的平面上 等( k k ) + 誓( 比一y 碍) + 鲁( 一) = 。 ( 2 1 。) 式中：铜球的半径 从方程( 2 6 ) ( 2 1 0 ) 得到 脚一意厅i 再历形， 亿 将( 2 1 1 ) 式代入( 2 6 ) 式并通过公式( 2 9 ) ，就可以求得钢球与端齿啮合点坐标。利用 钢球球心、啮合点及7 j 具球头中心在一条直线上，可方便地得到端齿刀具中心轨迹 1 0 2 空间凸轮活齿精密传动的齿廓理论 依照( 2 3 ) 式 等( k 飞) r 。一呸4 4 。 = 如一警( 比训 r d 为腴粉( 2 1 2 ) 砀一等( 吲 容易写出修正的端齿齿面方程。 2 3 凸轮的齿廓方程及刀具中心轨迹 在整体坐标系o x y z t ，假设活齿与凸轮啮合点a 为( k ，) ，活齿中心为 ( x 留，) ，凸轮刀具中心丁为( ，) ，凸轮刀具半径为r d ；活齿中心轨迹 为： l = r e o s o = r s i n p ( 2 1 3 ) 【= z 鼋 式中：妒= a ( i + 1 ) 正齿差传动取+ ，负齿差传动取一，卜一传动比 设活齿与凸轮的啮合点在r 圆柱面上，则有： i k = r c o s y = r s i n yy 为参数 ( 2 1 4 ) lz f c = 气 由于钢球与凸轮齿廓的啮合点必在钢球球面上，因此 ( 一) 2 + ( 一y 留) 2 + ( 一) 2 = 巳2 ( 2 1 5 ) 同时啮合点必在钢球球面族包络面特征线所在的平面上，即： 等( k k ) + 面d y e 。艮一y 皙) + 鲁( 一z 喀) _ o ( 2 1 6 ) 由公式( 2 1 3 ) ( 2 1 6 ) 可求得： 俐m 专厣再两了乡， 将( 2 1 7 ) 式代入( 2 1 4 ) 式并通过公式( 2 1 5 ) ，就可以求得钢球与凸轮啮合点坐标。利 用钢球球心、啮合点及刀具球头中心在一条直线上的特点得到凸轮刀具中心轨迹： 重庆大学硕士学位论文 x t g 精c k 叫2 一赢k k y f d = 一t r e - r g ( 赡一) y 日。y t g t y n y 镕) 警c z t c - z t g ， 2 一f ) ( 2 1 8 ) 2 4 凸轮齿廓的主曲率和主曲率半径 在平面坐标系里，以正弦线的等距线为钢球中心轨迹，则钢球和凸轮的啮合 点轨迹为钢球中心轨迹的以钢球半径为等距量的等距线，将其转化到空间坐标系 里面，根据该新型空间凸轮活齿精密传动在传动过程中任意时刻钢球和凸轮的啮 合点、钢球中心以及凸轮刀具中心在同一条直线上可以得出凸轮刀具中心轨迹方 程。 y 图2 2 曲率分析示意图 f i 9 2 1t h e s k e t c ho f c u r v a t u r ea n a l y s e 如图2 2 所示，在固定坐标系d 炉中，以矢量i ( 功表示凸轮刀具中心轨迹， 功槲 l j 以凸轮刀具中心轨迹的切向量方向功、乇x 话方向、 ( 2 1 9 ) ， ( 0 瓦) 方向建 立空间移动标架( o l ；焉，y i ，弓) 。凸轮齿廓是凸轮刀具沿凸轮刀具中心轨迹运动所切 1 2 2 空间凸轮活齿精密传动的齿廓理论 z o , z ，内，以向量i ( u ) 表示， 亏性1 ， g 删 将向量盂转换到整体坐标系下得到向量t ( u ，谛，即为包络面方程。下面为其推 切向量岛为 一， ，f d 2 r 2 2 1 ) 固定坐标系中叉方向向量品为 享 ， a=arcc。s了f等导(222)222j， 1 + + i i 固定坐标系中y 方向向量孑为 丢 ， 切向量毛毛”与固定坐标系中y 方向的夹角卢为： 肛一0 8 群描 仁2 3 1 o 叫 固定坐标系中z 方向向量品为兰 ， 切向量f f f ，”、z 与固定坐标系中z 方向的夹角y 为： 重庆大学硕士学位论文 胪一鬻r , a x l r f d o ) 卜i 叼 f 2 2 4 ) 若令r 表示绕 轴旋转a 角，表示绕，轴旋转卢角，r 表示绕2 轴旋转y r ：。：乩 l o s i n a c o s j i c o s f l0 一s i n f l 1 = l 010 i ， ( 2 2 6 ) l s i n f l 0 c o s f lj ，。= l c s o s ? r c s 薯i ny r ； ， c ：z ， 从而，空间凸轮的齿廓方程为：乏( h ，y ) = r p v 墨盂。 ( 2 。2 8 ) 空间凸轮的齿廓方程分别对u ，求偏导，以计算该齿廓曲面的第一基本量和第 乇= 掣= r 岛b 鲁，( 2 2 9 ) 毫a a 矿u , v ) = 警岛b 五+ 民警尽j ；+ r 咚票t ， ( 2 3 0 ) 。挈= r 琊墨鲁， ( 2 3 1 ) ! 嚣嚣d 2 1 黧_讯哿舶，+ z 警票亏+ r 可1 民警等j i + r 警i 。 驴警= 鲁玛b 鲁+ r 譬b 罢+ 民b 堡d v 堕d u ， ( z m ) 1 4 2 空间凸轮活齿精密传动的齿廓理论 n 可计算出来，它们分别如下所示： e = 毛毛 f = 瓦不 g = 毛0 五：坐：鱼! 垒 l r mo o l、e g f 2 l = 毛。五 m = 毛，j j ( 2 3 4 ) n = k 五 所以凸轮齿廓曲面的主曲率屯“n 可以由下面公式计算： i e 。笔一爿：o ( 2 3 5 ) l m 心( 哪fm 一屯( 螂q 。 7 即：( e g f2 ) k ( 螂2 一( l g 一2 脚+ 砬( d ) + ( l n m 2 ) = 0 ( 2 3 6 ) 则凸轮齿廓曲面的主曲率半径为：p 。= _ l 。( 2 3 7 ) j 【“小 注：凸轮齿廓曲面的主曲率和主曲率半径有正、负之分，其中法截线向五的正 侧弯曲，主曲率和主曲率半径取正；反之，取负。 2 5 端齿齿廓的主曲率和主曲率半径 在平面坐标系里，以正弦线的等距线为钢球中心轨迹，则钢球和端齿的啮合 点轨迹为钢球中心轨迹的以钢球半径为等距量的等距线，将其转化到空间坐标系 里面，根据该新型空间凸轮活齿传动在传动过程中任意时刻钢球和端齿的啮合点、 钢球中心以及端齿刀具中心在同一条直线上可以得出端齿刀具中心轨迹方程。 如图2 2 所示，在固定坐标系o x y 2 中，以矢量( d 表示端齿刀具中心轨迹， = iy d di ， ( 2 3 8 ) l z 西j 重庆大学硕士学位论文 以端齿刀具中心轨迹的切向量方向、瓦方向、( 岛) 方向 建立空间移动标架( o l ；玉，m ，z o 。端齿齿廓是端齿刀具沿端齿刀具中心轨迹运动所 面咒0 1 弓内，以向量己( u ) 表示， 五性 ， s ， 式中一r d 为刀具半径。 将向量乏转换到整体坐标系下得到向量弓( ，d ，即为包络面方程a 下面为其 切向量为 一， = 褪 固定坐标系中叉方向向量磊为 享 ， j 妇“+ 地“+ “i i 固定坐标系中y 方向向量面为 喜1 ， 切向量x ”与固定坐标系中y 方向的夹角p 为： 卢：a r c c o s 端 阻。r 甜l l 叫 f 2 4 0 ) f 2 4 1 ) r 2 4 2 ) 2 空间凸轮活齿精密传动的齿廓理论 固定坐标系中z 方向向量品为f 曼 ， 切向量( ”) k 与固定坐标系中z 方向的夹角y 为： p 一5 黼 皿4 3 ) l ( 毛) 毛h 叫 若令r 表示绕a 轴旋转口角，r 口表示绕，轴旋转卢角，b 表示绕2 轴旋转y 角，则向量五绕z ，2 轴转a ，3 ，y 角的变换公式是 啦0 c 0 0 0 $ c c s i n a ， 亿44)0s i n ac o s c 。 r = li ， ( 2 1 一 i l c o s 3 b 。i o 1s i n 卢 ic 0 8 y b = 1 - s i n 7 l 0 0 一s i n f l i 10 ， 0 c o s 3 l s i n 7 0 l c o s ， 0 i ， 01i 陀。4 5 ) ( 2 4 6 ) 从而，空间凸轮的齿廓方程为：j ：( ，v ) = r 琊s 乏。 ( 2 4 7 ) 空间凸轮的齿廓方程分别对u ，求偏导，以计算该齿廓曲面的第一基本量和第 二基本量。 瓦= 掣= r 砩墨鲁， ( 2 4 8 ) 。= 掣= 票b 五+ 民票墨五+ r 鲁五， ( 2 4 9 ) 瓦。= 毫半= r b s 窘， ( 2 s 。) 重庆大学硕士学位论文 = 学= 争咏绀z 等等酗 ，、 + z 警琊警乏+ r 乎s 丘+ 2 r 等等五十r 争五 。 瓦，= 等= 警b 鲁+ r 票b 鲁+ r 岛等等， z ， 综上所述，空间凸轮齿廓曲面的第一基本量e 、f 、g 和第二基本量l 、m 、 n 可计算出来，它们分别如下所示： e = 瓦，r a ，, f = 瓦弓， g = o k 西：她：1 堡：垫 l r 珈x ie g f 2 l = k 五 m = 毛，五 f 2 5 3 ) n = 己。j j 所以端齿齿廓曲面的主曲率k ( 。) 可以由下面公式计算： em 。k 蚪爿：o (254)i,4_b-mfm l k ( 出)叫) q 。 7 即：( e g - f 2 ) ( 出) 2 - ( l g - 2 m f + 呦k ( 由) + ( 上。一m 2 ) = 0 ( 2 5 5 ) 则端齿齿廓曲面的主曲率半径为：p 。= _ l 。 ( 2 5 6 ) 点州出) 注：端齿齿廓曲面的主曲率和主曲率半径有正、负之分，其中法截线向五的正 侧弯曲，主曲率和主曲率半径取正；反