（基础数学专业论文）一类算术典型群的结构.pdf

摘要 本文研究了一般主理想整环上的自由模的定驻子群的扩群的 可能形式，并利用矩阵技巧给出了完全的刻画对于自由模子模的 定驻子群，当子模的每一个分块都至少2 维的情况，我们也完全的 刻画了其扩群的所有形式由此我们给出了定驻子群上的极大子群 的性质和判定条件最后，对于离散赋值环上的局部域上的格，当 局部域的扩张次数大于等于2 的时候，我们得到了线性群( 我们称 之为算术典型群) 中格的定驻子群的扩群的刻画 关键词：算术典型群，格，定驻子群，扩群，主理想整环，局部域 k e y w o r d s ：a r i t h m e t i cc l a s s i c a lg r o u p s ，l a t t i c e ，s t a b i l i z e r ，o v e r g r o u p s ， p r i n c i p a li d e a ld o m a i n ，l o c a lf i e l d a b s t r a c t t h i st h e s i sg i v e sa l lt h ep o s s i b l es t y l e so ft h e o v e r g r o u p s o ft h es t a b i l i z e r o fs o m ef r e em o d u l eo v e rap r i n c i p a li d e a ld o m a i n i ft h ed i m e n s i o no fe a c h b l o c ko ft h es u b m o d u l ei sn ol e s st h a n2 ，w eg i v et h es t r u c t u r e so fo v e r g r o u p s o fi t ss t a b i l i z e r a tl a s t ，a sf o rt h el a t t i c e so v e ral o c a lf i e l d w h i c hi st h e q u o t i e n tf i e l do fad i s c r e t ev a l u a t i o nr i n g ，i ft h ei n d e xo ft h ee x t e n s i o ni sg r e a t o re q u a l2 ，w et h e ng e tt h es t r u c t u r e so ft h eo v e r g r o u p so ft h es t a b i l i z e ri n t h el i n e a rg r o u p sw h i c ha r ec a l l e da r i t h m e t i cc l a s s i c a lg r o u p s k e y w o r d s ：a r i t h m e t i cc l a s s i c mg r o u p s ，l a t t i c e ，s t a b i l i z e r ，o v e r g r o u p s ，p r i n c i p a li d e a ld o m a i n ，l o c a lf i e l d 致谢 值此论文完成之际，回首我在科大所度过的七年光阴，从懵懂 无知到初窥数学的圣殿，心中满怀对老师和同学的感激 首先，我要由衷的感谢导师李尚志教授李老师渊博的知识、 严谨的态度和精辟的见解，以及多年来对我的谆谆教导，让我领略 到了数学中的乐趣这篇论文从雏形到定稿更是凝结着导师大量的 心血此外，在生活中李老师和他的家人给予了我家一般的呵护， 让我的成长和人生如此美好 在科大的几年是快乐的，我要向数学系的老师们和同学们说声 感谢，你们的教诲和帮助，陪我在风雨中一路走来，特别是胡森教 授 我要感谢我的父母和兄长，引导并且支持我走自己的路借 此，祝愿我的父母身体健康 1 1 相关历史 r e l a t i v eh i s t o r y 第一章引言 典型群的子群结构，特别是典型群的极大子群，是群论研究的重 要课题之一这一研究的目标当然是希望定出所有典型群的所有极大 子群但这一目标至少在近期看来很难实现因此，群论学者们就希望 先做一些较有可能的事情比如说，先对某些特定类型的极大子群作 出完全的分类，或先对某些类型的典型群作出极大子群的分类，或先 研究某些特定类型的子群是否是极大子群，等等在这一方向上最重要 的成果，首推1 9 8 4 年m a s c h b a c h e r 的纲领性论文( 【1 1 ) 中关于有限典型 群的极大子群分类的定理在这篇论文中，定义了有限典型群的8 类子 群g 1 一魄，并且证明了：有限典型群的极大子群，或者属于这8 个类型 之一，或者是非交换的几乎单群这样，就把对有限典型群的极大子群 分类的研究归结为两件事：一是验证这8 类子群的极大性，二是定出几 乎单群的极大子群由于这个定理以及p k l e i d m a n 。m l i e b e c k g s e i t z 等在这个定理所指引的方向上的一系列工作，使得有限典型群的极大 子群的分类已经有希望完成在有限单群分类的历史中，这些名字已 经被我们所熟知了 对于任意域或者任意体上的典型群，也可以类似的定义g 1 一瓯等 8 个类型的子群，并研究它们的极大性，这一部分是我的导师李尚志教 授的工作他引进了矩阵运算的技巧，也就是通常说的打洞方法， 在典型群的结构分析中取得了很多重大的突破并且他猜想能够得到 一个像上述有限典型群的分类定理对所有这些典型群的极大子群的可 能类型做出的分类，可以给出任意域或任意体上典型群的若干有明确 定义的子群类型，除此之外的极大子群一定是非交换的几乎单群目 前在若干重要情况下，导师实现了他的猜想所要求的构造，这些工作 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第一章弓l 言 第2 页 5 i 言 主要收录在他的专著中( 3 ) 另一方面，典型群的算术性质一直受到代数和数论学者的关注， 比较主要的工作是s h i m u r a 在6 0 年代初期关于酉群，h e r m i t i a nf o r m 和交错型的算术性质的文章( 【1 1 】和【1 2 ) 而且目前还有许多有趣的 问题，比如关于曲线的函数域上的典型群的h a s s ep r i n c i p l e 的c o l l i o t t h e l e n e 猜想，对于几乎a - t y p e 的半单单连通的线性代数群，这个猜想 就是s u s l i n 和k a t o 的定理的一个推广，而对于一般的b n ，瓯，d 。等 线性代数群，该猜想颇具有一定的挑战性( 【8 ) 而典型群的表示最近也 受到数论学者的广泛关注 1 2 本硕士论文 t h i sm a s t e rt h e s i s 导师李尚志建议我考虑主理想整环上的典型群的子群结构，并且 介绍了他的一些结果和想法，以及所使用的方法技巧这篇硕士论文 就是基于导师和我在这方面的研究工作而完成的 在第二章中，我们给出了双线性型的推广如a h e r m i t i a nf o r m ，交 错型和二次型的定义，以及典型群的定义除此之外，我们给出了局 部域和其上的线性空间中的格的定义，和一些相对于一h e r m i t i a nf o r m 或者交错型的性质在第三章中，我们先给出了主理想整环上的自由 模的直和因子的定驻子群的形式，而且完全刻画了其扩群的形态接 下来将这些结论有效的推广到了自由模的任意子模的定驻子群上，并 且给出了详细的证明在最后一章中，我们首先将局部域上的可分扩 张域上的线性空间和格转换到原来的局部域上，从而得到了前一章中 的条件，将前面得到的结论推广到了局部域上格的定驻子群 第二章算术典型群 a r i t h m e t i cc l a s s i c a lg r o u p s 2 1 h e r m i t i a nf o r m ，交错型和二次型 h e r m i t i a n ，a l t e r n a t i n ga n dq u a d r a t i cf o r m s 2 1 0 在这一节中，我们用f 表示域，表示一卜f 上的有限 维半单代数，y 表示有限维自由左k 模，n 是y 在k 上的维数 记e ( k k ) 为所有y 上的耳一自同态变换组成的环，e ( k ) = k “”， e ( kk ) 的每一个元素p 作用在右边，即有o p ) = ( n z ) p 对于任意的 a k ，z k 卢e ( v k ) 记g l ( u ) 为e ( k 耳) 中的可逆元组成的 单位群，称为一般线性群记a 为k 在f 上的对合，即使得( n 一) 。= a 对于任意的a k 成立的反自同构在没有特别说明的时候，本节的 记号在后续的各节中仍然保持一贯性 2 1 1 首先我们给出一个v 上双线性型的推广 定义2 1 1 1 口一半双线性型( s e s q u i l i n e a rf o r m ) 是y 上的二元函 数h ：v v k ，满足条件： a ) h ( a l x l + a 2 ；z 2 ，y ) = a l h ( x l ，y ) + a 2 h ( x 2 ，y ) ，v 嚣1 ，z 2 u n l ，0 2 k ； b ) h ( x ，b l y l + b 2 y 2 ) = ( z ，y i ) b f + h ( x ，y 2 ) b g ，v y l ，y 2 kb l ，b 2 k h 的左根为子空间 z vlh ( z ，y ) = o ，v y y ) ；h 的右根为子空间 z vlh ( y ，z ) = 0 ，v y y h 的左根和右根具有相同的秩y 上的 a 一半双线性型h 成为非退化的，如果左根和右根为0 子空间如果a 为k 上的恒同映射，则k 是交换的域，这时候h 就是y 上的双线性 型 2 1 2 接着我们引进三种特殊的一半双线性型， 定义2 1 2 1 口一h e r m i t i a nf o r m ( 又称作是q h e r m i t i a nf o r m ) 是一个y 上的口一半双线性型h ，满足： h ( x ，y ) = h ( y ，z ) 4 ，对于比，y v 对于任意的z v ，h ( x ，z ) 属于o - 在k 中的不变子域k o = o kl 3 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第4 页 第二章算术典型群5 22 局部域和格 。= n n l 如果 是非退化的口h e r m i t i a nf o r m ，则每一个c k 都在h 的值域，即c = h ( x ，y ) ，于是 c 。= h ( z ，g ) 。= h ( y ，z ) 。= h ( x ，y ) = c ， 因此有o - 2 = 1 当a 为恒同映射时，h 是对称双线性型 以下两种型都是属于双线性型 定义2 1 2 2 v 上的一个双线性型h 称为是交错型，如果h ( x ，z ) = 0 ，对所有的z v 于是有h ( x ，y ) = 一h ( y ，z ) ，对于v x ，y v 因为 o = h ( z + 可，z + 可) = h 忙，z ) 十h ，掣) + h 妇，) + h 妇+ 可) = h 扛，) 十h 0 ，z ) 所以，如果k 的特征为2 ，则所有的交错型都是对称的( 反之不然) ；但 是在特征不为2 的时候，只有0 形式才既是对称的又是交错型 显然，交错型和h e r m i t i a t tf o r m 都是自反的，反之我们有： 定理2 1 2 3 一个非退化的自反的0 - 一半双线性型或者是个交错 型，或者是个o - 一h e r m i t i a nf o r m 的常数倍在后一种情况，如果0 - 是 恒同映射，则此常数可以取为1 定义2 1 2 4 v 上的二次型是一个函数口：v k ，满足 ( a ) q ( a x ) = a 2 口( z ) ，对所有的a k ，x y ； ( b ) q ( x + y ) = q ( x ) 十q ( u ) 十h ( x ，g ) ，z ，y v ，此处h 是双线性型 当k 的特征不是2 的时候，h 是对称双线性型此时q 和h 二者 通过下面的关系相互决定： h ( x ，y ) = q 扛+ y ) 一g ) 一口( ) ， 2 q ( x ) = h ( x ，x ) 当我们假设域的特征不为2 的时候，其实我们并没有得到新的东 西，除了原来的对称双线性型 2 2局部域和格 l o c a ff i c l d sa n dl a t t i c e s 2 2 0 在这一节中，我们用f 表示d e d e k i n d 整环o f 的分式域， y 表示f 上的有限维向量空间，n 表示y 在f 上的维数本论文只 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 第二章算术典型群2 2 局部域和格 考虑o f 是主理想整环的情况，因此在本论文中0 ，表示一个主理想整 环，f 是其分式域表示f 的可分二次扩张或者是fx f ，0 表示 k 中所有的o f 一整元组成的环如果k 是域，则o k 是个d e d e k i n d 整 环；如果k = f f ，则o k = o f o f 我们用玩f 表示通常的k r o n e c k r 符号，即也f = 0 o r1 ，基于i jo ri = j 在没有特别说明的时候，本 节的记号在后续的各节中仍然保持一贯性 2 2 1 下面介绍几个本文所涉及的数论中的概念( 【1 0 和【1 3 d ， 定义2 2 1 1 局部域是一个拓扑域，它作为拓扑空间是h a u s d o r f f 的和局部紧致的 下面是局部域的一些例子： ( a ) 任意离散拓扑域； ( b ) 实数域r ； ( c ) 复数域c ； ( d ) p - a d i c 有理数域，或者是它的有限次扩张； ( e ) 有限域上的单变元形式l a u r e n t 级数域( ( t ) ) 注：实际上，这些就是局部域全部的清单，因为任何一个局部域都在 拓扑域的意义下同构于上述域之一 定义2 2 1 2 离散赋值环是一个只有唯一的极大理想m 的主 理想整环r m 的任何一个生成元”都称为m 的u n i f o r m i z e r 或者 u n i f o r m i z i n ge l e m e n t ；换句话说就是，m 的u n i f o r m i z e r 就是r 的一个 元素7 r ，使得7 r m 但7 r 茌m 2 本论文所考虑的局部域都是离散赋值环上的分式域，我们称其上 的典型群为算术典型群 2 2 2 下面给出线性空间上的格的定义， 定义2 2 2 1 v 上的o f 一格( 相对于o f ) 是y 的一个有限生成的 子o f 一模厶满足f l = v f 上任意的分式理想( 相对于0 f ) 都是 0 f 一格，称之为0 f 一理想我们称中的0 f 一格二为0 一理想，如 果o k lcl 于是所有的o k 一理想形成一个乘法交换群定义如下的 一个o k 一理想j 为 6 “= o klt r k f ( a o k ) co f ) 如果k = f f ，则有6 = o k ；如果是个域，则6 反映了0 k 与0 f 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 第二章算术典型群 22 局部域和格 之间的差别设护是o f 的一个索理想，分别记和( 0 f ) 。为f 和 o f 的p 完备化取w p = w o ff p ，l p = ( o f ) p l ，对任意的v 上的 o f 一格l ，则有k 是w p 上的( o f ) p 一格 2 2 3 首先，我们给出y 上相对于口一h e r m i t i a nf o r m 的极大格的定 义和一些性质我们称一个y 中的o f 一格三为o 一格，如果o k lc l 对y 上任意的o k 一格，记肛( l ) 为由元素h ( x ，z ) ( x l ) 生成的o f 理想，并称p ( ) 为l 的范( 相对于h ) 我们称工为极大的( 相对于 口h e r m i t i a nf o r m ) ，如果l 在具有相同范的0 一格中是极大的此 外，我们记p o ( l ) 为由元素h ( x ，y ) l ，y 三) 生成的o k 理想 命题2 2 3 1 设工是y 上的一个o k 一格则有 p ( l ) 0 c 卢o ( l ) cp ( l ) 6 1 和 t r k f ( # o ( l ) ) c 肛池) 如果算，y l ，n 0 k ，贝0 t r k f ( a h ( x ，) ) = h ( a x + y ，a x + y ) 一h ( a x ，n z ) 一h ( y ，y ) 肛( 上) 所以h ( z ，) 肛( l ) 一1c6 1 ，即有h ( x ，y ) c5 - 1 卢( l ) 命题2 2 3 2 设工和m 是y 上的两个o k 一格，且设m 是极大的 ( 相对于口一h e r m i t i a nf o r m ) 设c 是o f 中的一个元素如果l ) m 和卢( 且4 ) ) c 肛( l ) ，贝m c l 令h = m 十c l 则日是y 上的一个d 耳格取“= z + c y ，x m 和y l ，则有“日那么 h ( u ，“) = h ( x ，$ ) + c t r k f ( h ( x ，) ) + c 2 h ( y ，) 由给出的假设和命题2 2 3 1 ，我们有h ( u ，u ) p ( m ) 故而得到肛( 日) = p ( m ) 因为m 是极大的，一定有h = m ，所以m ) c l 命题2 2 3 3 设m 是y 上的一个o k 一格则存在一个y 上的极 大( 相对于o - 一h e r m i t i a nf o r mh ) o k 格厶使得p ( 三) = 肛( m ) 和l m 取y 在上的一组包含在m 中的基 戤) 设日是y 中如下 向量y 的集合，对于每一个i 满足h ( y ，抚) p ( m ) 6 一显然日是一个 y 上的o k 一格设l 是一个o k 一格满足l ) m 和p ( l ) = 灿( m ) 如 果y l ，通过命题2 3 1 我们有h ( y ，筑) 卢( m ) 6 ，所以y h 近而 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第7 页 第二章算术典型群22 局部域和格 lch 因为h 是一个0 f 格，升链条件对于含于h 的0 f 格成立 所以，我们可以在包含m 的0 一格中找出一个范为u ( m ) 的极大格 这样就证明了我们的命题 2 2 4 在给出y 上相对于交错型h 的极大格的定义之前，我们先 证明一般情形的p r o b e n i u s 定理 定理2 2 4 1 设g 是个d e d e k i n d 整环，f 是g 的商域设w 是 f 上的2 n 维的线性空间，h ( x ，y ) 是上的非退化交错型设m 是 w 上的一个9 一格则存在w 在f 上的一组基 一，y n ，z h 一，) 和一组9 一理想o 一，a 。，使得 9 ( 肌，鲫) = g ( 盈，z j ) = 0 ，g ( y i ，z j ) = 6 0 ， m = 9 y l 十9 y 2 + + g 可n + a l z l + a 2 2 2 + + o n ， a ld0 2d da n 这些理想n t 由m 和g 唯一确定 证明：我们对n 进行归纳对于每一个z m ，取a 。= h ( x ，m ) 显 然，n 。是个9 一理想由于m 是个9 一格，a 。中存在极大元，记作a l ；并 且存在一个元素y l m ，使得a l = ( f l ，m ) 又由于g = h ( y l ，。i 1 m ) ， o i l m 中存在一个元素z l 使得h ( 灿z 1 ) = 1 记b = h ( m ，z 1 ) 由于 1 = h ( y x ，z 1 ) b ，我们有bdg ，于是a l b = a l h ( m ，z 1 ) da 1 假设 b 9 ，则有a l h ( m 闱) a l ，并且存在m 中的一个元素u 和a 1 中的一 个元素n 使得h ( u ，z 1 ) 隹a 1 记p = 一h ( u ，c r za ) ，7 = h ( y l ，u ) 我们有 h ( y l + o 卸，一一y 幻) = 卢因为7 a l 和a l z lcm ，所以元素仳一，y z l m 注意到h ( y 1 + o z l a l z l ) = a 1 所以，我们有 h ( m + o o l ，m ) da 1 + 9 芦d0 1 ，n 1 + 9 芦a 1 这就和a l 的极大性矛盾了因此，必须有h ( m ，z 1 ) = g 定义m 的一 个子模m 7 为 u m fh ( y l ，u ) = h ( z l ， ) = o ) 对于每一个元素w m ， 记专= h ( m ，叫) ，卵= h ( z l ，叫) ，叫o = t c ! + 研可l 专z 1 则。1 ，卵9 ，和 h ( y l ，w o ) = h ( ，w o ) = 0 ，从而 o m 这就得到m = g y l + a l z l + m 再由对m 的归纳假设，我们有m 7 = g y 2 + + g y n + a 2 2 2 + + o 。且 a 2d 一da 。， ( 玑，y j ) = h ( 毛，) = 0 ，h ( y i ，勺) = 6 ”对于2 i n ，2 j n 下面要证明定理的第一部分只需要证明0 1da 2 设u 和 都是 m 7 的元素，我们有 ( 可1 + u ，m ) h ( m + 札，a l z l + g v ) 0 1 + 9 h ( u ，u ) 0 1 由a l 的极大性，我们必须有 ( ，v ) a 1 ，即h ( m ，m 7 ) ca 1 于是有 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第二章算术典型群 第8 页 s 23 典型群 a 。 a 2 ，定理第一部分成立而理想u t 的不变性可由局部化来说明， 即对9 的每一个素理想p ，考虑名= p 和一个名上的g p 一格 则不变性可由主理想整环上的基本除予理论立即得到( 【2 ) 口 我们称定理2 2 41 中的理想a 。为m 的相对于 的不变因子，称 h 一，y 。，z 1 ，- ，) 为m 相对于 的经典基 对于y 上的每一个o f 一格l ，由定理2 2 41 知l 的第一个不变因 子a l 是由 ( z ，) ，z ，y l 所生成的0 f 一理想记 ( ) = a 1 ，并且称 n h ( l ) 为l 相对于o f 的范当我们固定h 的时候，就简单的记帆( l ) 为( l ) 我们说l 是极大的( 相对于h ) ，如果l 是y 上有相同的范 ( 相对于h ) 的o p 一格中的极大元 2 3典型群 c l a s s i c a lg r o u p s 2 3 0 在这节中，我们仍然用f 表示离散赋值环0 f 的分式域，k 表示一个f 上的有限维半单代数，y 表示有限维自由左模，n 是 y 在k 上的维数记o - 为在f 上的对合记e ( k k ) 为所有y 上的 k 一自同态变换组成的环，g l ( v , k ) 为e ( kk ) 中的所有可逆元组成的 单位群记d e t ：e ( vk ) 一为行列式同态，则g l ( k k ) = d e t 。( k + ) ， 同态d e t 的核记作s l ( k k ) = d a t _ 1 ( 1 ) ，称为特殊线性群更为一般 的，我们考虑所有的含么交换环的范畴辨和固定维数n 的自由左模 范畴6 ，凹是一个函子凹：贝一6 ，而我们有上面的v = 凹( ) 同样 的，匹( 田，) 是从贝到n n 一维的自由左模范畴吼n t n 。的函子，我们 有上面的f ( vk ) = 匹( 凹，k ) 当然o e t 也可以看成是一个函子，前面的 d e t = d e t ( k ) 2 3 1 当h 是y 上的非退化口一h e r m i t i a nf o r m 时，我们用g u ( v , h ) 表示g l ( v , k ) 中满足关系h ( z 。，y o ) = 肛( 。) ( z ，y ) ( 肛( q ) f ) 的所有元 素组成的群，称作广义酉群这儿。一卢( a ) 给出了一个从g u ( v , h ) 到 f + ( f 的乘法子群) 的同态，我们把这个同态的核记作u ( k ) ，有 u ( k h ) = a g l ( v , k ) lh ( x c , ，a ) = h ( x ，) ) 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第二章算术典型辟 第9 页 啦3 典型群 u ( h ) 被称作为 的酉群酉群和特殊线性群的交记作s u ( u f 。) ， s u ( v ，i t ) = u ( v ，h ) n s l i v ，k ) ， 称为特殊酉群 对于任意的。c u ( v , h ) ，我们有 n 1 f i f i d e t ( a ) ) = p ( a ) ” 特殊酉群s u ( kh ) 也可这样来定义s u ( v , h ) = o u ( vh ) ld e t ( a ) 1 命题2 3 1 1 设l 是一个y 上的o k 一格，q 是g u ( u h ) 中的一 个元素则有l a 也是v 上的o k 格，并且肛( l a ) = 肛( l ) ( n ) 如果l 是极大的( 相对于。一h e r m i t i a nf o r mh ) ，则l a 也是极大的 由肛( n ) 和# c ( ) 的定义即得 2 3 2 当h 是y 上的非退化交错型时，y 在上的维数必然是偶 数我们用a s p ( uh ) 表示g l ( vk ) 中满足关系h ( x a ，y a ) ；n ( a ) h ( x ，y ) ( _ ( a ) f ) 的所有元素组成的群，称作广义辛群这儿a 一( o ) 给出 了一个从g s p ( uh ) 到f + 的同态，我们把这个同态的核记作却( vf 。) ， 有 却( k h ) = n g l ( k k ) ih ( x a ，y a ) = h ( x ，) ) u ( h ) 被称作为h 的辛群我们有s p ( v , h ) s l ( v , ) ，因此却( u h ) n s l ( v , k ) 就等于却( vh ) ，不需要使用特殊辛群这一名词同一空间 y 上所有的非退化交错型相互等价，实质上只有一种辛群 平行于命题2 3 1 1 ，我们有n ( l a ) = n ( l ) n ( a ) 对于矿上任意的 o k ，格工和o g s p ( v h ) 如果l 是极大的( 相对于交错型h ) ，则 l o 也是极大的由定理2 2 4 1 易知l 极大当且仅当l 的不变因子等 于n i l ) 进而，如果l 是y 上的一个0 f 格，a 是个0 f 理想使得 o n i l ) ，贝n 存在y 上的一个极大格m 使得m d l ，和n ( m 】= n 命题2 3 2 1 设l l 和l 2 是y 上的两个极大格( 相对于交错型7 。) 则存在a s p ( r ，或者1 茎i ，j r 对n ，ber 且n 0 ，用n lb 表示。整除b ，即存在c r 使得 c a = 6 ；r b 表示b 在r 中生成的理想，它由全体c b ( c r ) 组成 命题3 1 1 1 没r 是主理想整环， a r m m 则存在口l ”川0 、0o 其中t = ? a n k a ，0 d l r ，对v 1 i 墨t ，且d 。id “。1 ( v l is 一1 ) 特别，对于任意非零的行矩阵o t = ( n h ，o 。) r 1 札和非零的列 矩阵p = ( 6 h ，b m ) 7 冗“，存在g l s l ( m ，r ) ，9 2 s l ( n ，r ) ，使得 证明：由主理想整环的性质，对任意的aer m x ，存在可逆方阵 只g l ( m ，r ) ，p 2 c l ( n ，r ) ，使得d = p 1 a p 2 具有所说的标准形 的形式设d c t ( f 】) = c 1 ，d e ( 恳) = c 2 ，取d 1 = d i a g ( 1 ( m 一，c 1 ) ，d 2 ： d i a g ( i n 一，c 2 ) 贝0g l 二d _ 1 p l s l ( m ，r ) ，9 2 = p 2 d i s l ( n ，r ) 且 对m = 1 或者 = l 的情况用上面的结果，就可以得到命题中关 3 1 2 当r 是域的时候，w 在g 中的定驻子群g w 是g 的极大 子群( 3 1 o ) 对于一般的主理想整环r ，c w 并不是g 的极大子群，它 在g 中的扩群x 会具有什么样的形式，下面这个引理给出了x 的一 个刻画 引理3 - 1 2 1 设凡是主理想整环， s l ( n ，r ) g 茎c l ( n ，励 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第l 3 页 第三章定驻于群，扩群和极大子群3 1直和因于定驻子群扣扩群 g w 茎x g 设s 是所有的 ，= ( c a 等) e x 的右上角的r ( n r ) 矩阵块b 的所有分量在r 中生成的理想，则x 包含所有的平延正，( s ) ( s s ，1 i j n ) d日、 证明：对每个g = i ：) x ，b r “( 一r ) 的所有分量在i t lu 中生成一个理想，这个理想由9 决定，不妨记为s ( g ) 而引理中所说 的理想s = 。xs ( g ) 只要对每个g x 都能证明t i j ( s ) x 对所有 的s s ( g ) 里r 成立，则对任意s s ，存在有限个g h 一，g k x 使得 s = 垒1s f ，s f s ( 9 1 ) ，t j ( s ) = 兀冬l 正j ( s f ) x 对所有的1si r j 成立 d日、 以下只需对任一个9 = l 二：) x 证明码( s ) x 对所有的 ou l r j n 和s s ( 9 1 ) 成立由于r 是主理想整环，s ( 9 1 ) 应是 由某个d r 生成的主理想r d = a djn 脚实际上，d 就是9 1 的块 b 中所有的元素的最大公因子如果d = 0 ，b = 0 ，结论显然成立故 设d 0 需要证明x 包含所有的噩j ( n d ) ，n r ，1 i r j 成立 由命题3 1 1 1 ，存在p l s l ( r ，r ) ，p 2 s l ( n r j r ) 使得p 1 b p 2 ： d i a g ( d l ，也，o ) ，其中= r a n k ( b ) ，d lid + l 对1si t l 成立，而 d x = d 就是b 的所有的分量的最大公因子，也就是理想s ( 9 1 ) 的生成 元由于z 1 = d i a g ( p 1 ，尸f 1 ) g w ，不妨一开始就用z i 9 1 z i l x 代替 9 1 ，从而用p 1 b p 2 代替b ，化为b = d i a g ( d ”- ，d ，0 ) 的情形 下面分别对r 2 和r = 1 两种不同的情况证明引理的结论成立 情况，r 2 记9 1 = ( 。q ) 。左上角的块a = ( a l j ) ，。，r “r 的第一行为 o = ( “，a l r ) 由命题31 1 1 知，存在p s l ( r ，r ) ，使得q 尸具有形 式( + ，0 ，一，0 ) ( 即最后的r 1 个分量全为o ) 由于。o = d i a g ( p 弘一) ) g w 不妨一开始就用g l z o x 代替g l ，使得a 的第一行为( o 0 ，一，0 ) 于是，9 1 = ( o 玎) 。的第一行除0 1 h l = d 0 以及0 1 l 有可能不为0 外，其余元素n l j 全为0 特别的n 1 2 = 0 ，g l 的第2 列为( 0 ，n 2 2 ，舟。2 ) ， 又玎1 ( 0 ，0 2 2 ，- - ，o 儿2 ) 7 就是g i l g l = ，的第2 列，等于( 0 ，l ，0 ，o ) ， 对任意n r ，取 f o 1 y j = + i 。；2l ( n 。 2 小 g w 则 9 2 = 9 i 1 t l g l = i 十g i l ( 0 ，a 2 2 ，a n 2 ) 协，0 ，o ) 9 i = + ( 0 ，1 ，0 ，- ，0 ) 7 ( a a l l ，0 ，- ，0 ，a d ，0 ，- 一，0 ) = ，+ ( a a l l ) e 2 1 + ( d ) e 2 h le x 再取乃= t 2 1 ( 一a a l l ) g w ，则 g a = t 2 9 2 = 孔h 1 ( a d ) x ， 其中n d 取遍d 生成的理想r d 对任意的lsi r ，取r 2 g w 对9 3 作共轭得p i 2 9 3 疡1 = 正，+ l ( a d ) x 再用r + 1 ，g wp4 - l 曼j 茎n ) 作共轭得弓? 1 ，正，+ l ( a d ) p r + l ，j = t i j ( a d ) x 这就证明了t i j ( a d ) x 对所有的i 曼r j 和a d r d 成立 情况2 ，r = 1 由于假定了n 3 ，有n r = n 一1 2 现在b = ( d ，0 ，一，0 ) e r “( n - 1 ) ，g i = ( 。o ) 。的第一行( a l l ，a l 。) = ( a l l ，d ，0 ，o ) 记9 1 的第2 列的最后n 1 个分量组成的子矩阵( a 2 2 ，a n 2 ) 7 为 p 由命题3 1 1 1 ，存在p s l ( n 1 ，r ) ，使得p 卢具有形式( + ，0 ，一，o ) ( 即最后的i t 一2 个分量全为o ) 由于d i a g ( 1 ，p ) g w 茎x ，不妨一开始 就用d i a g ( 1 ，p ) a 1 x 代替g l ，从而用尸p 代替卢，化为( a 2 2 ，- ，a n 2 ) = ( 。2 2 ，o ，o ) 的情形特别的n 。2 = 0 也就是说9 1 的最后一行为 ( n m ，0 ，o 晒，o ，。) 而( n m ，。) g i l 就是g l g i l = i 的最后一行， 等于( 0 ，0 ，1 ) 取 n = 1 + 页群4 扣v l 口 第射于驻定予因和文直论 位0 学士硕学大 术技 学阱科大国啦中耕扩 君 于驻定年#吣三 第 2 0 9 3 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 5 页 第三章定驻子群，扩群和极太子群31直和因子定驻子群和扩群 o n n t t n1 0 l g w 0 00 1 则 9 2 = 9 1 n 订。= j + 9 1 ( o ，n ，o ，o ) ( o 。1 ，a n n ) 行1 = + g t ( o ，a ，0 ，o ) 7 ( o ，0 ，1 ) = ，+ m ( a e 2 。) = + ( a d ) e 1 t l + ( a a 2 2 ) e 2 n x 再取t 2 = 乃。( 一a a 2 2 ) g w ，则 9 3 = 乃9 2 = n 。( a d ) x ， 其中a d 取遍d 生成的主理想r d 对任意25j 墨n ，取r ，g 对9 3 作共轭得1 ( n d ) p 几j = t u ( a d ) ex ，结论成立 口 3 1 3 设s 是引理3 12 1 所说的理想，瓦= r i s 是r 对s 的商 环，对每个子集l r 记z = l + s 为l 在葡中的象 定理3 1 3 1 ( 5 ) 设r 是主理想整环，s l ( n ，r ) g g l ( n ，r ) ， n2 3 ， g = ( c a 。0 ) g a e g l ( r ，r ) 设g wsx 茎g 则以下两个结论之一成立： ( j ) x = g ； f 2 j 存在r 的真理想s r ，以及商环n s 的单位群( n s ) + 的两 个子群h l ，且2 f s ( r + ) ，使得 x = 伯= ( g a 。b ) g i bes r x ( n - r ) , f s ( d e t ( a ) ) 日，s ( d e t ( 。) ) 凰) ， 其中，s 是r 到商群r s 中的典范同态 这个定理给出了定驻予群g w 的扩群的完全刻画，在证明定理之 前，我们先设 3 0 吼1 “ 0 l 0o “ 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第f 6 页 第三章定驻于群扩群和极大子群3 1 直和因子定驻子群和扩群 址 一d c t ( a ) la r r ”，且存在( g a 等) 圳， h 。= d o t ( z ) ) j 。er m q ) m 1 ) ，且存在( c a 舅) ex ) 则当s = r 时h 】= h 2 = 瓦= 一0 = t ；当s r 时，h 1 ，2 都是冗+ 的 乘法子群且都包含雨定义 x 拍= ( g a 艺) g l b 日m 叫，一d e t ( a ) h 1 1 一d e t ( d ) h 2 ) 至少x 包含单位阵，因此h 】，h 2 至少包含t 当s = r 时， h 1 = h 2 = 石= 氲= t 此时x l = g 而x 所包含的g w 及所有的 ( s ) ( i j ，s r ) 也生成g ，于是x 1 = g = x 成立因此，以下只须 考虑s r 的情况 由于对每个9 = ( g a ) x 有b 矿x ( “1 ) ，即瓦= 。因此 一a ，一d 都是页上的可逆矩阵，g 一页和g 一面分别是x 到g l ( r ，了i ) ， c l ( n 一_ 瓦) 中的群同态从而g 一一d o t ( a ) 和g 一d e t ( d ) 都是g 到再+ 中的群同态，其同态象h 。，h 2 当然都是葡+ 的乘法子群可见x l 就是 定理中所描述的x 的可能的类型只要能证明x = x 。，则定理成立 证明：由s 和h 1 ，h 2 的定义，显然x5x 1 以下只须再证明 x t 曼x 即可，即对任意的 。= ( a i j k 沪( a g 暑) 锄 i 征- 2f l x 为此，只要能找到一系列的元素y i ，勺x ( 1 i “ 1s j 曼f ) ，使得蛳y l g l z t 魂x ，则9 1 x 也就是说，可以用 w m 9 】2 1 劫代替9 1 ，而不影响论证的正确性 情况r = n l ，目| jn t = 1 此时9 l 右下角的( n r ) m r ) 块d = a 。r 由x 1 的定义知d e t ( d ) = 一a n n h 2 ，再由h 2 的定义知存在g o = ( 如，) 。，。义使得瓦i = 一a n n 则有 而= 而= ( ：未) 。1 ( ：未) = ( 不妨用町1 9 l 代替9 1 ，化为瓦丽= t 的情形于是n 。；i ( m o d s ) ， 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 7 页 第三章定驻千群。扩群和极大子群3 l直和因子定驻子群幸u 扩群 a 。= 1 + h d 对某个h r 成立 由命题3 1 1 1 ，存在j ) s l ( n l ，咒) 将g i 右上角的( ”一1 ) l 块口左乘为p b = ( d l ，0 ，o ) ，且由b s 卜1 ) x 1 知a l s = r d 由于y = d i a g ( p , 1 ) g wsx ，可用y g l 代替g l ，从而用p b 代替b ， 化为b = ( d l ，0