（基础数学专业论文）一类高次丢番图方程的求解.pdf

中文摘要 所谓丢番图方程是指数论中的不定方程，即指未知数的个数多于方程 的个数的方程( 或方程组) 丢番图方程是数论专业中的一个重要分支， 与代数数论、代数几何、组合数学等有密切的联系有许多待解决而相当 困难的问题都要归结为某些不定方程的求解丢番图方程的内容异常丰 富，但又没有一个统一的处理方法，这就决定了我们研究丢番图方程的困 难性一般来说，我们只能给出丢番图的求解原则，即综合利用各种初等 的、高深的方法，将丢番图方程化为若干容易处理的或有熟知结果的方程 对于一次a n - - 次丢番图方程的解法，已经基本成熟，而对于三次及高 次丢番图方程的解法，还没有一般的结论，有待进一步的研究 本文的主要内容安排如下： 一综述了丢番图方程的概念，丢番图方程的研究现状及研究丢番图 的方法 二全文的预备知识，对同余理论、二次e u c l i d 域中的蕈要理论a n - 次代数整数环互( 万) 中算术基本定理都有详细的介绍 三分五节具体讨论了形如彳石2 + b = y ”的几个方程的解 ( 1 ) 讨论了方程x 3 + 1 1 3 = d y 2 的解的情况 ( 2 ) 讨论了方程x 2 + 2 y 2 = z ”解的一般公式，证明了方程x 2 + 2 = z 3 仅有 正整数解( x ，z ) = ( 5 ，3 ) 及方程l + 2 y 2 = z 3 仪有整数解( y ，2 ) = ( 0 ，1 ) ( 3 ) 用代数数论的知识讨论了丢番i 訇方程x 2 + 4 “= y 5 的解 ( 4 ) 用柯召- t e r j a n i a n - r o t k i e w i c z 方法讨论了方程1l x 2 + 1 = y p 的解 ( 5 ) 用代数数论的知识讨论了丢番图x 2 + 5 = y 3 的解 关键词 丢番图方程，整数解，e u c l i d 域，同余 a b s t r a c t t h es o c a l l e dd i o p h a n t i n ee q u a t i o ni st h ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o ni nn u m b e r t h e o r yi nw h i c ht h en u m b e ro fv a r i a b l ei sm o r et h a nt h a to ft h ee q u a t i o n ( o r e q u a t i o n s ) d i o p h a n t i n ee q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nn u m b e rt h e o r ya n d c l o s e l y c o n n e c t e dw i t h a l g e b r a i c n u m b e r t h e o r y ,a l g e b r a i cg e o m e t r y , c o m b i n a t o r i c sa n dc o m p u t e rs c i e n c ea n ds oo n m a n yu n s o l v e da n dd i f f i c u l t p r o b l e m sa r er e d u c e dt os o m ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s r i c hi ni t sc o n t e n ta n d n ou n i f i e da p p r o a c hc o n t r i b u t et ot h ed i f f i c u l t yo fi t ss o l v a b i l i t y i ng e n e r a l ， w ec a no n l ya f f o r ds o m es o l v i n gp r i n c i p l e sw h i c hc o m b i n et h ee l e m e n t a r y a n da d v a n c e dm e t h o d st ot r a n s f o r mt h ed i o p h a n t i n et os o m ee q u a t i o n se a s yt o d e a lw i t ho rw i t hw e l l k n o w nr e s u l t s w ea r ef a m i l i a rw i t ht h em e t h o da n ds o l u t i o no ft h es i m p l ed i o p h a n t i n e e q u a t i o na n dq u a d r a t i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o n b u tf o rt h es o l u t i o no fc u b i c d i o p h a n t i n ee q u a t i o na n dh i g ho r d e rd i o p h a n t i n ee q u a t i o n s ，t h e r e i sn o g e n e r a lc o n c l u s i o n ，s oi tn e e d sf u r t h e rd i s c u s s i n g t h em a i nc o n t e m so ft h i sp a p e ra r e ： 1 i ti ss h o w e di nt h i sp a p e rt h ec o n c e p to fd i o p h a n t i n ee q u a t io n ，r e c e n t r e s e a r c ha n d a p p r o a c h e st od e a lw i t hi t 2 p r i o rk n o w l e d g et oi n t r o d u c ec o n g r u e n c et h e o r ya n ds o m ei m p o r t a n tt h e o r e m s i ne u c l i df i e l da n di n t e g e rr i n gi sp r e s e n t e d 3 s o m es p e c i a lc a s e so ft h eg e n e r a lf o r mo ft h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n 么x 2 + b = y ”a r ed i s c u s s e di nn e x tf i v ep a r t s k e yw o r d s d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，i n t e g e rs o l u t i o n ，c o n g r u e n c e ，e u c l i df i e l d 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 ， 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 。7 年月阳日 指导教师签名：赴 v 年肿日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学雠文储躲槔孵 67 年( 1 月f6 日 序言 本文主要针对形如血2 + b = y “的丢番图方程中的几个特例，分别利用 了同余、代数数论及柯召t e r j a n i a n r o t k i e w i c z 方法的方法给予了讨论和 证明分四个章节来叙述 第一章综述了丢番图方程的概念，丢番图方程的研究现状及研究丢番 图的方法第二章给出了全文的预备知识，对同余理论、二次e u c l i d 域中 的重要理论和二次代数整数环互( 万) 中算术基本定理都有详细的介绍第 三章主要分五节具体讨论了形如彳x 2 + b = y ”的方程的几个方程的解第一 节讨论了方程石3 - i - 11 3 = d y 2 的解得情况，并给出了该方程在x 0 ，适合 i o - x yi 0 仅有有限组应用r o t h 定理，可以证明二元n ( n 2 ) 次的不可 约多项式方程解的个数有限例如1 9 6 2 年，我国数学家柯召证明了定理： 设p ，q 是不同的奇素数，在p 2 ( q - 1 ) 或g 2 ( p - 1 ) 时，不定方程x p - y 9 = 1 只有有限组整数解x ，y 1 9 6 8 年前后，英同数学家b a k e ra 成功地将g e l f o n d 矛1 ：i s c h n e i d e r 有关h i l b e r t 第七问题的结果推广到一般的情冽5 。6 】，给出亍一 大类丢番图方程的整数解的绝对值的上界b a k e r 的工作不但推动了超越 数论的发展，而且给数论中包括丢番图方程的许多领域带来了突破性进 展1 9 7 3 年，p d e l i g n e h 正明了关于有限域上不定方程厂( 五，) = 0 的解的 个数的猜想，即著名的a w e i l 猜想1 9 8 3 年，德国数学家g f a l t i l l g h 正明了 l j m o r d e l l 猜想，即有理数域里亏格2 的代数曲线上仅有有限个有理剧7 1 由此可以导出f e r m a t 方程工”+ j ，“= z ”，( x ，y ) = l 在n 4 时最多有有限组正整 数解19 8 5 生i z ，由g f a l t i n g s 定理，d r h e a t h b r o w n 【8 1 证明了l i r a 型堕：0 ( s 0 0 ) ，这里n ( s ) 表胛j 使x ”+ 少= z ”( 即 2 ) 有正整数解的那些n 的个数 2 西北大学硕： = 学位论文 即对“几乎所有”的正整数n 2 ，方程x ”+ 少= z ”均没有正整数解1 9 9 4 年，安德鲁- 怀尔斯( a n d r e ww i l e s ) 解决了困扰人类智者3 5 8 年的谜团 费马大定理 因为k f r o t h ，a b a k e r ，r d e l i g n e 雨0 g f a l t i n g s 的杰出贡献，他们分 别于1 9 5 8 年、1 9 7 0 年、1 9 7 8 年和1 9 8 6 年获得了国际数学家大会的f i e l d s 奖 1 3 研究丢番图方程的方法 解丢番图方程的常用方法包括：简单同余法、二次同余法、p e l l 方程 法等有些丢番图方程的求解是非常困难的( 例如费马大定理) 人们为了 解决这些丢番图方程，创立了许多数学分支，例如代数数论方法、丢番图 逼近方法等，这些方法大大丰富了数论的内容，同时也为我们更广泛地求 解丢番图方程提供了有力的工具丢番图方程的内容异常丰富，但又没有 一个统一的处理方法，这就决定了我们研究丢番图方程的困难性一般来 说，我们只能给出丢番图的求解原则，即综合利用各种初等的、高深的方 法，将丢番图方程化为若干容易处理的或有熟知结果的方程 在丢番图方程中，各种形式的方程是无穷无尽的人们希望可以尽 可能的找到某种类型的一个一般性的求解过程，以便在更多的场合更好地 应用有些问题在整数环中得到了解决，人们就想把它拓展到更一般的代 数整数环上去研究有些问题用高深方法解决了，人们还想找一个初等的 方法这些做法的日的，无非是想通过这些研究产生新的结果或技术，而 这些新结构或新技巧往往可能是新数学分支的萌芽，也可能对科学技术的 发展产生某些特殊的应用 在数论中，有关丢番图方程的定理十分丰富而复杂在这些定理的研 究过程中，其中一部分得到了肯定的回答并被运用到现实生活中，有一部 分被证明是不成立的，还有一部分到目前为止，既未得到肯定的回答，有 没有否定的结论因此，丢番图方程的研究范围仍然非常开阔，需要无数 数学家的不懈努力 3 第二章预备知识 第二章预备知识 本章主要给出了本文所需要用到的主要知识，这里仅给出其主要内 容，对于相应的性质，引理基本不给出证明 2 1 同余，同余式及其性质 定义2 1 1 【9 1 给定一个正整数m ，把它叫做模，如果用m 去除任意两个 整数a 与b 所得的余数相同，我们就说a ，b 对模m 同余，记作a 兰b ( m o d m ) 如果余数不同，则称a ，b 对模m 不同余，记作a b ( m o d m ) 定义2 1 2 9 1 设厂( x ) = 口。x “+ a n - i x 州+ + a l x - i - 口o ，其中n 是正整数， a = 1 , 2 ，n ) 是整数，又设整数m 0 ，则 厂( x ) 三o ( m o d m )( 1 ) 叫做模m 的同余式，如果以。o ( m o d m ) ，则n 叫做它的次数如果满足 f ( x 。) 三o ( m o d m ) ，则x 暑x o ( m o d m ) 叫做同余式( 1 ) 的解要求剧余式( 1 ) 的 解，只要逐个把0 ，1 川2 一，m l 代入( 1 ) 中进行验算就可决定 通常，我们要研究不定方程 f ( x i ，x 2 ，x n ) = 0 ( 2 ) 的整数解，这里f ( x 。，x ：，x n ) 是n 元整系数多项式，取( 2 ) 对应的同余式 f ( x i ，吻，以) 兰o ( m o d m ) ( 3 ) 这里m l 是给定的正整数显然，如果( 2 ) 有整数解x ，= a ? ( j = 1 , 2 ，n ) ， 则对于任意给定的正整数m ，( 3 ) 有解：z ，兰a j ( m o d m ) ( j = 1 , 2 ，珂) ，这就 给出( 2 ) 有整数解的一个必要条件，于是我们有下面的引理： 引理【1 0 1 不定方程( 2 ) 有整数解，则同余式( 3 ) 对所有的正整数m 1 有解 由上面的引理，我们可以得出( 2 ) 仅有零解得一个充分条件，假设x j = a ? ( j = 1 , 2 ，刀) 是( 2 ) 的任一组解，如果适当选择整数m l 使得对于任意大的 正整数t ，都有m ia ? ( = 1 , 2 ，门) ，则( 2 ) 只有零解 西北大学硕l 学位论义 再由上面的引理，我们还得出其逆否命题：若同余式( 3 ) 对于某个整数 m l 无解，则不定方程( 2 ) 无整数解这里我们通常称为同余法的理论基础 即对不定方程取某个整数m l 为模来制造同余式无解，从而得出不定方 程无整数解 2 2 l e g e n d r e 符号与j a c o b i 符号 定义假设( 口，m ) = 1 ，如果同余式 x 2 兰a ( m o d m ) 有解，则a 叫做模m 的二次剩余，否则叫做模m 的二次非剩余 l e g e n d r e 符号与j a c o b i 符号 定义2 2 1 t 1 1 】设素数p 2 ，定义整变数d 的函数：当d 是模p 的二次 剩余时，( 鱼) ：1 ；当d 不是模p 的二次剩余时，( 鱼) = - 1 ；当pid 时，( 鱼) ：0 pp p 我们把( 鱼) 称为模p 的l e g e n d r e 符号 p 定义2 2 2 】设奇数p l ，p = p , p 2 p 。，p ( 1 _ ，s ) 是素数，定义： ( 鱼) ：( 要) ( 旦) ( 导) 这里( 旦) ( 1 。，s ) 是模p j 的l e g e n d r e 符号，我们把 pp 、p 2 p。pj ( 鱼) 称为模p 的j a c o b i 符号 p 显然，当p 本身是素数时，j a c o b i 符号就是l e g e n d r e 符号 引进j a c o b i 符号后，对计算是十分方便的但是应指出的是： j a c o b i 符号与l e g e n d r e 符号的本质区别是：l e g e n d r e 符号可以判断二次 同余方程是否有解，但是j a c o b i 符号( ! ) ：1 ，绝不表示二次同余方程 p x 2 三d ( m o d p ) 5 第二章预备知识 一定有解例如，奇素数p - = - i ( m 。d 4 ) ，取尸= p 2 时总有( ；) = ( 吾) = l ，但 是方程 无解，当然 也无解 工2 三一l ( m o dp ) x 2 暑一l ( m o d p 2 ) 对l e g e n d r e 符号有以下的互反律成立 定理2 2 1 t 1 2 1 设p ，g 均为奇素数，p q ，那么有 ( 旦) ( 旦) ：( 一1 ) 删2 。( q - i ) 2 pq 易见：两个奇素数p ，q ，只要有一个数兰l ( m o d 4 ) ，就必有 ( 旦) = ( 旦) ； pq 当且仅当它们都是4 七+ 3 形式的数时，才有 ( 旦) = 一( 旦) pq 对j a c o b i 符号有以下的互反律成立 定理2 2 2 t 1 2 1 设奇数尸 i ，奇数q 1 ，( 尸，q ) = 1 我们有 ( 万q 八西p ) = ( 一1 ) 一2 ( 口_ 1 ) 2 2 3 二次域及其基本性质 定义2 3 1 【1 3 】一个复数口称为代数数，如果存在不为零的厂( x ) q x 使 得厂( 口) = 0 ；口称为是有理数域q 上的代数整数，如果存在( x ) z ，i x ( 其中z i i x 为首项系数为1 的整系数多项式) 使得厂( 口) = o 6 西北人学硕：i = 学位论文 说明：q 上的全体代数数组成的集合记作a ，q 上的全体代数整数组成的集 合记作彳 定义2 3 2 【1 3 】设口i ，一，吒a ，我们把q 添加啦，吼所得的扩域 q ( a 。，o t e ) 称为是q 的有限代数扩张当e = 1 时称为是q 的单代数扩 张，当e 1 时称为是q 的多重代数扩张这样的数域称为是q 上的代数 数域 定义2 3 3 【1 3 1 设f 是q 上( 甩次) 代数数域，户= fna 即户是，中的全体q 上代数整数组成的子集合我们称户是q 上的( ，z 次) 代数整数环记户为 g a ) 引理2 3 1 【1 3 】设f 是一个二次域，那么一定存在一个无平方因子的有 理整数d o ，l ，使得f = q ( 万) 定义2 3 4 t 1 3 1 假定d 满足引理2 3 1 中的条件( 对这样的d 一定有 d 三1 ，23 ( m o d 4 ) ) 当d 0 时，称q ( 万) 为实二次域；当d 1 时，d 暑l ( m o d 4 ) 时，有 ( ，卵。+ 玎。功) 。= ( ( ，”。一n o 2 ) + n 。万2 ) ， 七= 1 ，2 ， 其中国= 一1 2 + 万2 ，2 一n 。，n o 是p e l l 方程x 2 一b y 2 = 4 的最小正 解聊。+ 缈称为实二次域q ( d ) 的基本单位数 8 西北大学硕1 ：学位论文 2 4 二次e u c l i d 域及其重要理论 定义2 4 1 【1 3 1 设m 是整环，如果存在一个m 的全体非零元素到自然数的集 合的函数d ( 7 7 ) ，使得对任意的口，m ，夕0 ，一定有七，y m 满足 仅= k p + y 这里= - 6 ，或y o 且有d ( r ) 6 时无z = 1 的解【2 2 】同时文【2 0 】还对素数p 兰5 ( m o d l 2 ) 的情况给出了求解的 递推算法，文 2 3 】给出了素数p 兰7 ( m o d l 2 ) 时( 1 ) 的全部正整数解的通解公 式但对于p 毒+ l ( m o d l 2 ) 时方程( 1 ) 的求解则很少有人涉及本文讨论了 d i o p h a n t i n e 方程 ，+ 1 1 3 = 缈2 ，d 0 无平方因子且不能被3 或6 z + l 之型素数整除 ( 2 ) 的解的情况 引理【2 4 1 丢番图方程x 3 + 1 = b y 2 ，d = 1 , 2 除平凡解( d ，x ，y ) = ( d ，- 1 ，0 ) 外， 恰有网组非平凡解，( 1 , 0 ，1 ) ( 1 ，2 ，3 ) ，( 2 ，l ，1 ) ，( 2 ，2 3 ，7 8 ) 定理方程( 2 ) 满足条件工 6 ，故式( 5 ) 无非平凡整数解 2 2 口) 若11jx ，( 2 ) 式可化为 ( x + l1 ) ( x 2 一ll x + l1 2 ) = d y 2 ( 6 ) 易知( x + l l ，x 2 一ll x + 1 1 2 ) = l 或3 ，若素数pd ，则p = 2 或p 三5 ( m o d 6 ) 此时若p 1 1 ，则pfx 2 1i x + 1 1 2 由( 6 ) 式知必存在二整数口，b 满足( 口，b ) = l 使 x + ll = d a 2 ，x 2 1l x + l1 2 = b 2 ，少= a b ( 7 ) 或 x + l l = 3 a 2 ，z 2 1 l x + 1 1 2 = 3 b 2 ，y = 3 a b( 8 ) 当( 7 ) 式成立时，由石2 一ll x + l1 2 = 6 2 可得( 2 x 一1 1 ) 2 + 3 11 2 = ( 2 6 ) 2 又因 ( 2 6 + l2 x 一11i ，2 b - l2 x - 1 li ) = l ，而且p 3 ，所以有 2 b + i2 x l1l _ 3 l1 2 ，2 6 一i2 x ll | _ l ( 9 ) 或2 b + | 2 x l1i _ 11 2 ，2 6 一l2 z 一11i - 3 ( 1 0 ) 当( 9 ) 成立时，可得b = 9 1 ，2i2 x 一1 lf - 3 1 1 2 一l ，解得x = 9 6 ，x = - 6 5 ( 舍 去) 再由第一式得d = 1 0 7 ，a = 1 由此得方程的一组解 ( d ，x ，y ) = ( 1 0 7 ，9 6 ，9 1 ) 当( 1 0 ) 成立时，可得6 = 3 1 ，22 x - i1i _ l1 2 - 3 ，解得x = 3 5 ，x = 一2 4 ( 舍 1 2 西北人学硕l 学位论文 去) 再由第一式得d = 4 6 ，a = 1 由此得方程的组解( d ，工，y ) = ( 4 6 ，3 5 ，3 1 ) 当( 8 ) 式成立时，由x 2 1l x + l1 2 = 3 b 2 可得， ( 2 x - 11 ) 2 + 3 11 2 ：3 ( 2 b ) 2 或3 ( 堡岩) 2 + l1 2 ：( 2 6 ) 2( 11 ) 令冬当：v ，2 b ：“则有 u 2 3 v 2 = 11 2 ( 1 2 ) - f i 丽( 1 3 ) 的全部正整数解，由以下两个( 非结合类) 给出【2 】： “，。+ 压= ( 1 3 + 4 万) ( 2 + 压) ”，z z ( 1 3 ) 瓦+ 瓦以= ( 1 3 4 x - 3 ) ( 2 + 4 9 ) 4 ，刀z ( 1 4 ) 其中1 3 + 4 历是方程“2 3 v 2 = 11 2 的最小正整数解，2 + 压是p e l l 方程 “2 3 v 2 = 1 的基本解由( 1 3 ) 知此时“为偶数，1 ，为奇数 南( 1 3 ) 4 丢1 1 ( 1 4 ) 式子不难推出下列关系式： “肘l = 4 u 。- - u 。一l ，u o = 1 3 ，u l = 3 8 ，k + l = 4 心一一l ，= 4 ，u = 2 1 ； 云。+ ：4 云。一云，。一。，云。：1 3 ，云，：1 4 ，；，+ 。：4 i 。一；。一。，；。：4 ，；。：5 ； 由以上递归序列知，满足条件的整数解只可能出现在n 为奇数的数组 ( 甜。，) 中对每一组( ，力的值，d a 2 = t i l l j a r -或。a 2 = 丁v + 1 1 中。不被3 或 6 ，+ 1 之型素数整除时，都可以得到( 2 ) 的一组解( d ，x ，y ) 由递归序列计算可知，当工 1 0 4 时满足条件的方程( 2 ) 的整数解仅有： ( d ，x ，y ) = ( 11 , 0 ，11 ) ，( 2 2 ，11 ，l1 ) ，( 2 ，13 ，4 2 ) ，( 11 , 2 2 ，3 3 ) ，( 1 ，3 7 ，2 2 8 ) ，( 4 6 ，3 5 ，31 ) ， ( 】0 7 ，9 6 ，91 ) ，( 2 2 ，2 5 3 ，8 5 8 ) ，( 10 ，19 0 9 ，2 6 3 7 6 ) ，( 5 8 ，6 2 5 3 ，6 4 9 2 6 ) 猜想方程( 2 ) 满足条件的解有无穷多个 第三章几个形如a x2 + 矗= y 一的丢番阉方程解的讨论 - - 一 3 2 关于不定方程x 2 + 2 y z ：z 一 设n 是全体整数的集合，以是不小于2 的正整数关于高次d i o p h a n t i n e 方程的求解是数论中的一类重要课题，许多人曾经对此作过研究本文讨 论了d i o p h a n t i n e 方程x 2 + 2 y 2 = z n 在砂0 ，( z ，y ) = 1 时有解的个充分必 要条件及用代数数论的方法给出了当( x ，y ) = 1 ，砂o 且刀2 时方程的整数 解的一般公式 引理1 若方程 x 2 + 2 y 2 = z ” ，x ，y ，z n ，( x ，y ) = 1 ，砂0 ( 1 ) 有整数解，则必有z 兰l ( m o d 2 ) ，x - - - - - l ( m o d 2 ) 证明：设j c 0 ，y 。，z 0 是方程( 1 ) 满足条件的一组解，且使正整数z 。的值最小 若有2l z 0 ，设z 0 = 2 z 对，1 分两种情况来讨论： ( i ) ，z 为偶数，设，z = 2 n 。将，l = 2 n 。及z o = 2 z 。代入( 1 ) 得z ；+ 2 y ；= 2 2 川z ? “，知 x 0 ，y 。均为偶数，且有2 川，2 川ly 。设= 2 川毛，= 2 “y 代入上式有 彳+ 2 订= z = 彳此时，而，乃，而也为方程( 1 ) 的一组解，且有o 刁 白这 与z 。最小矛盾所以不可能 ( i i ) ，l 为奇数， 设刀= 2 + l ，将甩= 2 n 】+ l 及z o = 2 z l 代入( 1 ) 得 x ；+ 2 y ；= 2 2 叫z ? ”1 ，知，虬均为偶数，上t ；f f2 ”1ix o ，2 miy o x o = 2 ”1 而， y 。= 2 一y l 代入上式有2 j c 卜y = z ”1 = z ? ，此时，j ，。，五，z 。也为方程( 1 ) 的一组 解，且有0 毛 2 由于 ( x o ，y o ) = 1 ，儿0 可以推出( ，2 y o ) = ( p ，2 x o y o ) = 1 由( 1 ) 知 x ；+ 2 2 兰o ( m o dp ) ，得l ：( 互2 ) ：( 盈) ：( 兰) ，即得z 素因子只有p 兰l 或 pp p 3 ( m o d 8 ) 充分性若对z 的素因子有( 兰) ：1 ，知l 一余方程s z 暑一2 ( m o d p ) 必有解 p 设s 。为其解考虑集合 s 。；一u 一，o r v 扛，o 磊 p 因此由抽屉原理知，必有两组不同 的“，1 ，i ，红2 ，y 2 使得1 ，l 一“l 堇s o v 2 一“2 ( m o d p ) 即有“兰s o v ( m o d p ) ，这里 “= “l 一“2 ，v = u 一1 ，2 另一方面由( 2 ) 知，0 2 无平方因子( 1 ) n a g e l l 2 7 1 证明了：当p h 时，( ，整- 一3 彰- g , , ，一x ，y ( y 1 ) ，则有2 y ，这里| j l 表示二次域q ( 一d ) 的类数由此可知，当pfh 和d 声7 ( m o d 8 ) 的情形时， 方程( 1 ) 仅有平凡解x = o ，y = 1 为了解决c a t a l a n 方程，柯召在文【2 8 提出计 算( 爰等) 米处理不定方程的方法，这里q = 等三等后来，t e r j a n i a n 运 用计算j a c o b i 符号( 丢芸骞) 的方法证明了费马猜想的一个情形，这里 21 掰玎，4 ( x ，y ) ：型之后，r 。t k i e w i c z 【3 1 把柯召首先提出的想法用来 研究更一般的l e h m e r 数，通过计算j a c o b i 符号( 来处理更多的不定方 p m 程，这里e 表示l e h m e r 数我们把以上的方法，称为柯召- t e r j a n i a n 。 r o t k i e w i c z 方法 本文用柯召t e r j a n i a n r o t k i e w i c z 方法，解决了方程( 1 ) 中d = 1 1 的情 形，即证明了下面的定理 定理关于丢番图方程 1l x 2 + 1 = y p ，p 是素数， ( 2 ) 除开平凡解x = 0 ，y = 1 外，无其他的整数解 为了证明该定理，这里要用到r o t k i e w i c z 在文 2 9 】中的几个结果 引理l 设厶= 亏笋，2 卜，口和是三项式x 2 一厶+ m 的两个根( 三， m 是整数，l 0 ，一4 m 0 ) ，再设2 m ，( 聊，甩) = l ，( 厶m ) = 1 ，我们有 2 1 第三章儿个形如a x2 + 曰= j ，”的丢番图方程解的讨论 1 ) 如果4 账每) “ 2 ) 如果21 lm ，贝o ( 争l ) = ( 一1 ) 五 这里力为旦展为简单连分数( 旦：口i + 甚+ + 1 _ j i ，吼 1 ) 的项数 mm a 2l la a 引理2 设n 1 是奇数，( 工，y ) = 1 ，我们有 1 ) 当x y 兰0 或三3 ( m o d 4 ) ， 或 2 ) 当x y 詈2 ( m o d 4 ) ，3 “， i ) l , l jx - y 加，符号口表示一个平方数 x y 定理的证明：不妨设x 0 ，i 抒- q ( 二亓) 的类数 = 1 ，有n a g e l l 的结果 知，可设( 2 ) 中的2 l y 南于( y 一1 ，z ；) ：1 或p ，如果( y 一1 ，兰寻) ：1 ，由( 2 ) 可得 1 ，一1 y l 或 y 一1 = 1l u 2 ，丘兰：v ：，x ：“v y 1 1 ，一l ：“2 ，盟：11 v 2 ，j c ：“v 。 ) ，一1 ( 3 ) ( 4 ) 对于( 3 ) 式，由l j u n g g r e n 【3 。1 的一个结果知，z ；：v z 仅有整数解p ：5 ，y ：3 ， v l 显然不满足( 3 ) 的第一式 由( 2 ) 可知，y p 兰l ( m o d l1 ) ，y 11 设g = y ( m o d l1 ) ，这里g 是11 的一个原 根，故有g 巾誊l ( m o d i1 ) ，推出1 0lt p ，现设p 5 ，故1 0it ，g 董y ( m o d l1 ) ， 两北大学硕1 学位论文 给出j ，三l ( m o d l1 ) ，与( y 一1 ，! 寻) ：1 矛盾故( 4 ) 在p 5 时不成立现在讨 v l 论p = 5 的情形，( 4 ) 化为： y 一1 ：一粤：1 l v 2 ，x ：“1 ， ( 5 ) 7 v 一1 、 对于( 5 ) 式，因为( j ，一1 ，丁y s - 1 ) ：l ，可设1 1 抄一l ，由( 5 ) 易知 v 一1 百y - 1 ) = l ，( 吉) = l ( 6 ) 由于m o dl1 的全部二次剩余为1 ，一2 ，3 ，4 ，5 ，( 6 ) 给出y 兰4 ，5 ( m o d l1 ) 设t = 百y r - - 1 ，- 1 ，2 p ，取，使( 5 ，厂) = ( 1l ，r ) = 1 ，由( 5 ) 得 ( i z , , 八i 1 1 ) = l( 7 ) i 天i 为2 i1 ，。r s 、式的篇一式给出v 兰2 ( m o d 4 、，由引理1 的2 、) 知，f 7 1 给出 ( 争旷= 彳的定义见引理1 取_ r = 3 ，；= 1 + 1 1 _ 1 1 + l l _ 2 l ，这里元= 3 ，又l 暑3 ( m 。d 4 ) ，( 8 ) 给出 ( 9 ) 当y 三4 ( m o d l1 ) 时，有y 2 + y + 1 量一l ( m o d l1 ) ，符合( 1 1 ，厶) = 1 ，但它不满足( 9 ) 式 兰hy - - 5 ( m o d l1 ) 时，取，= 7 ，此时( 1 l ，厶) = l ，号= 昔+ 茬+ 葺，a = 3 ， ( 8 ) 式给出 ( 舡l ( 1 0 ) 但l 7 三6 ( m o d l1 ) 与( 1 0 ) 不符。以上证明了( 4 ) 式不能成立 第三章几个形如a x2 + b = y “的丢番图方程解的讨论 或 现设( y l ，z 寻) ：p ，由( 2 ) 式可得 1 ，一l y 小，等叩2 ，x = p u v j ，一l y - l = p u z , 万y p - 1 = 1 l p v 2 x = p u v 因为2y ，故y 兰o ( m o d 4 ) 或y 三2 ( m o d 4 ) ，由引理2 知( 1 1 ) 式不能成立， 由前面对( 4 ) 的讨论知，对于( 1 2 ) 式只需证明p