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小学五年级奥数教程(1)2008-09-01 22:30:56|分类： 默认分类 |标签： |字号大中小订阅 2008年育苗杯复赛试题(用90分钟答卷)13006+3006+3006+3006：()22008200882008若商取10001余数是()3一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得的两个数，其差为792，则原来的小数是()4有红、黄、绿、白四种颜色的小球各许多个，每个人可以从中任意选择两个，那么需要()个人才能保证至少有两人选的小球颜色相同5小明前几次数学测验的平均分是80分，最近这次测验如果是100分，他的平均分就会提高到84分那么，最近这次测验是第()次6，大勇和小云有同样多的钱大勇买卡通书用去22元；小云买彩色笔用去7元这时小云剩下的钱是大勇剩下的钱的4倍那么，大勇和小云原来各有()元7由3、4、5所组成的所有三位数的和除以这三个数的和，商是()8，右图中，共有长方形()个。9大伟家在学校东边，小红家在学校西边，两家相距1420米上学时，大伟每分钟走75米，小红每分钟走65米如果大伟比小红提前4分钟上学，两人就可以同时到校请回答：大伟家离学校有()米10全班同学参加野外露营活动，领到帐莲若干个如果少领一个，每个帐蓬9人用；如果多领一个，每个帐蓬6人用请回答：该班有()人参加活动11已知：令+令：O十十O+O+O：+令+O+：400算出：令：()；O：()；二()12小红、小华和小刚各有一些奥运小福娃，小红给小华3个，小华给小刚5个后，三个人的福娃个数同样多，小华原来比小刚多()个13一个阶梯电教室一共有24排座位第一排的座位有36个，往后每一排都比前一排多2个座位那么，最后一排有座位()个，这个电教室一共有座位()个14甲、乙、丙三人各出同样多的钱一起买回一批练习本分配时，甲要的练习本比乙多16本，乙要的练习本比丙少2本甲退还给丙240元，还要退还给乙()元15.长方形ABED被分成六个正方形(如图所示)，如果其中最小的正方形的面积是4平方厘米，算一算，长方形ABED的面积是()平方厘米(注：图中AF：FE) 1AB3927，A+B（ ）。其中A、B都是两位数的整数。 雪帆提示：将3927分解成两个两位数的成绩，你可以先试着分解质因数。 提示，分解质因数，一般用一些常见数的整除特征来判断，这样会很简单。 例如，3927一定是3的倍数，但不是9的倍数。 2、分母是1996的所有最简真分数的和是多少？ 雪帆提示：两种方法，一种方法是通过容斥原理结合数列求和解决 另外一种方法，可以通过容斥原理求出最简真分数的个数，然后用一种非常特殊的规律处理。 3、一部83集的韩国电视连续剧，从星期三开始在中央8台每天播出1集，但是周六周日不播，那么大结局会在星期（ ）播出。 雪帆提示：这道题属于周期问题，不难，做做吧 4、由35个基本小长方形组成的大长方形中，则包含两个阴影在内的由小长方形组成的长方形有（ ）个。 简单统筹规划例谈 我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，取得了可喜可贺的成绩，使数学直接为国民经济发展服务。在这一讲，我们通过几个简单的“最优化”问题使大家对统筹规划思想方法有个初步了解。例1一只平底锅上只能煎两只饼，用它煎1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。问：煎三只饼需几分钟？怎样煎？解因为这只平底锅上可煎两只饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟。但这不是最省时间的办法。因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟。例26个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？解第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候；第6个人接水时，只有他1个人等候。可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是364554637210=100（分）。例3如右图，有甲乙两个工厂各自需要15吨钢材，而丙丁两个仓库正好分别有12吨、18吨这种钢材，问如何调运可使甲乙两个工厂都正好得到各自所需要的钢材而又能使运输费用最省（假设钢材的运费每吨公里相同）。解因为运费的多少决定于每吨钢材所运的路程，所以只需计算所有钢材被运的路程，并使总路程尽可能的少。设所有钢材被运路程为S（单位：吨公里）。设从丙仓库运往甲工厂钢材m吨，则所剩（12-m）吨钢材将运往乙工厂，且丁仓库将运往甲工厂（15m）吨，剩余的（1815m）吨应运往乙工厂。所以S800m500?（12m）400?（15-m）300?（18-15m）200m12900由上式可看出要使运费最省而又要两个工厂都得到所需钢材，只需S最小即可，而S的大小取决于m。故m最小时S最小，所以m应为0。这时的具体调运方案为：由丁仓库运15吨钢材到甲工厂，运3吨钢材到乙工厂，丙运12吨钢材到乙工厂。说明此题数量关系比较简单，凭借直观亦能得出正确的答案。然而本题旨在介绍一下统筹规划的一般研究方法：即对具体问题进行抽象，列出满足题目条件的关系式，利用数学方法研究使关系式达到最大或最小的条件，实际问题的数学模型方法。想想练练1.妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水要1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要1分钟，洗茶杯要1分钟，拿茶叶要2分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能彻好茶了？2.在一条公路上有4个工厂，任意相邻的两个工厂距离相等（如图所示）。现在要在这条公路上设一车站，使得这4个工厂的所有工人步行到车站的总路程最少，这个车站应设在_号工厂门口。3.北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如下表：（单位：百天）上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？借来还去 小宁在计算19998199819818这道计算题时，只用20秒钟就报出了得数是22212。她为什么算得这么快呢？小宁告诉小兵：“我用了借来还去的方法”。原来，小宁一看19998，1998，198，18分别接近20000，2000，200，20。她就先借来了4个2，分别加到19998，1998，198，18上得到20000+2000+200+2022220可是借来的4个2（=8）要“还”，也就是要从22220中减去，这样，正确的答案应该是：22220-822212小宁的思考方法可以从下面的式中看出来：199981998+19818=（199982）（19982）（1982）+（182）-（2222）=20000+200020020-24这种“借来还去”的思考方法不仅在计算上，而且在解决一些实际生活问题上也很有用！问题1一位农民卖鸡蛋，第一次卖去篮中的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个后，剩下一个。请问：篮中原有多少个鸡蛋？这道题的解法有好几个，但是只有一个是最简单的。你想想看，一篮子鸡蛋分了一半出现了半个，说明鸡蛋个数是奇数。为了避免出现半个鸡蛋，这位农民应当事先向别人借1个鸡蛋放在篮子里，这样，每一次都不会出现半个鸡蛋了。也就是说，第一次卖去篮中的一半，第二次卖去剩下的一半，剩下2个。于是，篮中的鸡蛋为（222=）8（个）。刚才借了一个鸡蛋再还给人家，这位农民篮子中原来有（81=）7（个）鸡蛋。当然，农民卖鸡蛋不会只卖7个。但是，从上面巧算中，我们能找出一个规律。比如说每次卖一半又半个，共卖了五次后剩一个，那么农民篮子里原有鸡蛋数为（261641）63（个）。借一还一，大大简化了计算。少元？这道题可以假定会计把张师付和李师付应得钱数的零头借来放在剩余款中。这样剩余款为（84162）102（元）。这时，这个量所对应的再还给他2元，共（242）26（元）。这道题会计把张、李二位师付劳务费的零头先不发，就容易得到量率的对应关系了，题目就好解了。先算这篮桃有多少个。假如小明向奶奶借来2个桃，借给小聪4个桃，那小明还有（62哥，自己分4个，问这篮桃有多少个？根据题意，可得这篮桃共有这道题假如不用借来还去的方法解，解起来是相当费事的。无论真借真还，还是假借假还，目的是一个，使问题中的数量关系更加明晰，使解法由复杂变简单。想想练练2卖冷饮的小店规定：5个空汽水瓶可换1瓶汽水。某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩的空瓶换来的。那么，他们至少要买多少瓶汽水？提示：用“借来还去”法可求得，每买4瓶汽水，加上“借”来的一只空瓶，又可喝到1瓶汽水。如果买120瓶，实际可喝到（1201204）150瓶；如果买128瓶，实际可喝到（1281284）160瓶，还差1瓶 奇怪的无穷多 整数有多少个？无穷个。偶数有多少个？无穷个。这样的回答是正确的。如果我问你：整数与偶数，哪一种数多？恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗？你认为这样的回答有道理吗？16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：“整数和偶数一样多”。这似乎违背常识。不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大于部分”无可争议。从1到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。看起来，我们得另想办法。据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过3，但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办法是，早上开圈放羊时，让羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。显然，羊的个数和小石头的个数一样多。傍晚，放牧归来，每进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中仍掉一块石头。如果羊全部进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了“一对一”的办法，两堆物体只要能建立起这种一对一的关系，就可以说明两堆物体的数量一样多。这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是：01234246810按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，都可以找到一个自然数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以我们说：“整数与偶数一样多”是正确的。这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”却未必成立。 柳暗花明又一村 有些问题乍一看不像是数学问题，又觉得难以入手，解题无门，真是“山穷水尽疑无路”。但我们经过分析，把问题中的不同事物进行分类，加以染色，把问题数学化，把“非数学”的问题转化为数学问题，解题的途径豁然开朗，“柳暗花明又一村”。因此，染色是我们把问题数学化、简单化的重要手段，在解题中经常使用。问题如图1是一个展览馆，有24个展室，只有出入口两个展室与外面相通，能否设计一条既不重复又不遗漏的参观路线？分析与解参观的路线情况很多，要找到符合条件的路线，似乎难以入手，注意到条件“既不重复又不遗漏”，即走出一个展室（除出入口外）必进入与之相邻又有门相通的另一展室，我们把“进”与“出”这两个“性质”不同的展室涂上黑、白不同的颜色，如图2所示，共有12个展室涂白，12个展示涂黑，若符合条件，则参观路线必然是（入口）白黑白黑黑（出口），即出入口两展室必异色，因此是不可能找到这样一条符合条件的路线的。请读者思考：该展览馆的出入口应怎样设置，才会出现一条符合条件的参观路线？并把它找出来。 称球趣题称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。例1有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。解依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。例2有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。解第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。例3把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。解把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如BC，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如BC，仿照BC的情况也可得出结论。（2）若AB，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或BC（BC不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如BC，仿前也可得出结论。（3）若AB，类似于AB的情况，可分析得出结论。练习有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗？ 连续数 变换 任给一个自然数n，如果n是偶数，则将它除以2；如果n是奇数，则将它乘以3，再加上1，我们称这种作法为对于数n的变换.例如，对于数5，按照上述规则进行一次变换得到。35116.对16施行变换得1628.将这种变换继续下去，有824，422，221，1314，422，221，有趣的是，对于数5，按照上面所要求的规则不断变换下去，最终出现形如421421的重复.还可以以6为例按上述指定规则进行变换，得到63105168421421再如18，18928147221134175226134020105168我们发现在这种指定变换下，无论开始是哪个自然数，最终总得到形如421421的循环、重复.遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数，就断定对任何自然数n都具备这种性质。事实上，到目前为止，还没有谁能证明这一点。在竞赛中我们会遇到一些类似的变换，有时候是对一个数连续进行某种指定变换，有时候是对一组数连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中，却隐藏着某种规律，而我们解决这些问题的关键，就在于透过表面现象，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。例1对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：18，4218，2418，612，66，6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？解如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。说明这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例2在图1中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次变换。经过若干次变换后，图1变为图2。问：图2中A格中的数字是几？解每次变换都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图3）。因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内数字之和的差保持不变。因为图1的这个差是13，所以图2的这个差也是13。由（A12）1213得A13。例3黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其它两数之和减1，这样继续下去，最后得到3，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？解答案是否定的。注意到2，2，2按照题设中的方式首先变换为2，2，3，再变换下去必定其中两个为偶数，一个为奇数（数值可以改变，但奇偶性不变）。但3，1997，1999是三个奇数，所以2，2，2永远不会按照所述方式变为3，1997，1999。想想练练1.黑板上写着115共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会剩下一个数，这个数是几？2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次变换。问最多经过多少次变换，黑板上就会出现2？3.口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样做后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？4.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半弧分别二等分，在分点标上相邻两数的平均数3（图4）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？三角形的分割图形中的部分与整体 五年级奥数牛吃草问题(1) 牛吃草问题是英国大物理学家牛顿提出来的数学名题,也叫牛顿问题。这类题是讲牛在一片匀速生长的草地上吃草，假设每头牛每天的吃草量相同，那么草地上除了原有的草，还有新长出来的草，而且又被牛每天消耗一部分，也就是说随着时间的变化，我们考察的量也在不断的变化，这就给我们解答这类应用题带来了难度。此类问题，由于解题思路具有一定的规律和模式，只要认真学习，仔细分析，就能掌握这类问题的特点和解答方法，正确解答。解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；一段时间内草场均匀生长而新增的草量。因此，我们在解答这类题时必须设法找出这两个量来：即原有的草量和牧场上新增的草量。然后将牛分出一部分吃新生长的草，另一部分牛吃原有的草，吃原有草所用的时间就是这片草地能吃多少时间。分析解答这类应用题时，可以将一头牛单位时间的吃草量设为1份。 准备题：有一堆草,可供8头牛吃6天,那么这堆草可供12头牛吃几天?例1 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，如果这片牧场每周生长的草量恰好能满足15头牛的吃草量，那么这片草地够21头牛吃多少周？练习1：小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供10头羊吃20天，如果牧场每天新长的草够4头羊吃。小军家养了24只羊，这片牧场可以吃几天？例2牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么这片草地够21头牛吃多少周？练习:2.一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.问：可供25头牛吃多少天？3.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？4.一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？5.有一口水井，持续不断地涌出泉水，每分钟涌出的泉水量相等，如果使用8架抽水机抽水，30分钟可以抽完；如果使用5架抽水机抽水，60分钟可以抽完。现在要在18分钟内抽完水，需要多少抽水机？复习:(第一讲练习4)一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？例1：(第一讲练习5)有一口水井，持续不断地涌出泉水，每分钟涌出的泉水量相等，如果使用8架抽水机抽水，30分钟可以抽完；如果使用5架抽水机抽水，60分钟可以抽完。现在要在18分钟内抽完水，需要多少台抽水机？例2一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？例3人民商场9时开门营业，开门前就有人等候入场，如果从第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数都同样多。那么开4个门等候的人全部进入商场要8分钟，开6个门等候的人全部进入商场只要4分钟，问第一个顾客到达时是几时几分？例4：两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？练习题:1、一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？2、自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个性急的孩子嫌扶梯走得慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒种向上走1级,女孩每3秒走2级。结果男孩50秒到达楼上，女孩60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？3、某天早晨8点，东方火车站进站处已有450名旅客等候检票进站。此时，每分钟还有若干人（每分钟同样多）前来进站处准备进站。这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客，现在要求5分钟放完旅客，则需要设立多少个检票口？4、冬冬沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同的时间内，恬恬沿着自动扶梯从底走到顶共走了50级。如果冬冬同一时间内走的级数是恬恬的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？5、工人文化宫开设了一个邮展，上午8时30分开门入场。每分钟到达工人文化宫门口的人数相等。如果开4个门，8时35分门口的观众可全部进入展厅；如果开5个门，8时33分观众就可以全部进入展厅。问第一个到达邮展门口的观众是几时几分到达的？同一片牧场中的牛吃草问题。一般的解法是：两种吃草方式的草总量之差时间差=生长速度一种吃法的草总量-一段时间草生长总量=原有草量原有草量（牛的头数-吃新生草牛头数）=能吃的时间或：原有草量所需牛的头数+吃新草头数=所需牛的头数例1:东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天,或者供27头牛吃8天。如果东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,6天中可供多少头牛吃草?例212头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？例3:甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的煤炭，甲仓库用一台电动输送机和12个工人，5小时可将甲仓库里的煤炭搬完；乙仓库用一台电动输送机和28个工人，3小时可将仓库内的煤炭搬完；丙仓库现有2台电动输送机，如果要在2小时内把丙仓库内的煤炭搬完，还要多少工人？（每个工人每小时工作效率相等，每台电动输送机每小时工作效率相等，另外电动输送机与工人同时往外搬运煤炭。）1.三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养21头牛，可以维持9周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？2有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？3、有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛24天可以吃完。现在有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛可再吃两天将草吃完，问原来有多少头牛吃草？（草均匀生长，每头牛每天吃草量相同）4、一片牧草，如果让马和牛去吃，45天可将草吃尽，如果让马和羊去吃，60天将草吃尽，如果让牛和羊去吃，90天可将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量和等于马每天的吃草量。现在让马牛羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？五年级奥数相遇问题 例1AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？【边学边练】AB两地相距119千米，甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，并连续往返于A、B两地。甲车每小时行42千米，乙车每小时行28千米。几小时后，两车在途中第三次相遇？相遇时甲车行了多少千米？例2小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？【边学边练】甲、乙辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地80千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车达到B地，摩托车到达A地后都立刻返回，两车又在途中距B地20千米处第二次相遇，A、B两地间的路程是多少千米？例3客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米？【边学边练】甲城、乙城相距90千米，小张与小王分别从甲、乙两城同时出发，在两城之间往返行走(到达另一城后马上返回)。在出发后2小时两人第一次相遇。小王到达甲城后返回，在离甲城30千米的地方两人第二次相遇。小张每小时走多少千米？小王每小时走多少千米？例4甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。【边学边练】甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米，甲从A地，乙丙两人从B地同时相向出发，甲遇到乙后2分钟又遇到丙，A、B两地相距多少米？【课外拓展】1、甲乙两地相距258千米。一辆汽车和一辆拖拉机同时分别从两地相对开出，经过4小时两车相遇。已知汽车的速度是拖拉机速度的2倍。相遇时，汽车比拖拉机多行多少千米？2、甲乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，第一次相遇时在距A站28千米处，相遇后两车继续前进，各自到达B、A两站后，立即沿原路返回，第二次相遇距A站60千米处。A、B两站间的路程是多少千米？3、小张与小王早上8时分别从甲、乙两地同时相向出发，到10时两人相距112.5千米；继续行进到下午1时，两车相距还是112.5千米。问两地相距多少千米？4、甲每分钟走80米，乙每分钟走60米。两人分别从A、B两地同时出发，在途中相遇后继续前进，先后分别到B、A两地后即刻沿原路返回，甲乙二人又再次相遇。如果AB两地相距420米，那么两次相遇地点之间相距多少米？【走进赛题】1、小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40千米处第一次相遇。相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15千米处第二次相遇，甲乙两地相距多少千米？（哈尔滨市第十一届数学竞赛试题）2、甲乙两站相距360千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。客车到达乙站后停留0.5小时，又以原速返回甲站，两车相遇地点离乙站多少千米？（全国第三届“新苗杯”试题）3、小张、小王两位运动员进行竞走训练，小张从甲地、小王从乙地两人同时出发，在两地之间往返行走（到达另一地后就马上返回）。在离甲地3.5千米处他们第一次相遇，又在小张离开乙地3千米处第二次相遇。这样继续下去，当他们第四次相遇时，距甲地多少千米？（2002年吉林省第八届小学数学邀请赛试题）4、如图，A、B是圆上直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C离A有80米，在D点第二次相遇，D点离B点有60米，求这个圆的周长。五年级奥数追及问题 例1一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇? 分析 当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。解：甲乙的速度差：300-250=50（米） 甲追上乙所用的时间：30050=8（分钟）答：经过8分钟两人相遇。【边学边练】两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？例2一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？分析 要求一共要多少分钟，必须先求出从队尾赶到队头要多少分钟，再求出从队头到队尾要用多少分钟，把这两个时间相加即可。解：赶上队头所需要时间：350（3-2）=350（秒） 返回队尾所需时间：350（3+2）=70（秒） 一共用多少分钟？350+70=420（秒）=7（分）答：一共要用7分钟。【边学边练】一支队伍长450米，以每秒3米的速度前进，一个通讯员骑车以匀速从队尾赶到队头用了50秒。如果他再返回队尾，还需要多少秒？例3某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？分析 要求一共要用多少分钟，首先必须求出队伍的长度，然后可以参照例2解题。解：这支路队伍长度：（2022-1）0.5=50(米) 赶上队头所需要时间：50（5-3）=25（秒） 返回队尾所需时间：50（5+3）=6.25（秒） 一共用的时间：25+6.25=31.25（秒）答：一共要用31.25秒。【边学边练】有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。队伍行进速度是每秒3米，前后两排的间隔距离是1.2米。现有一通讯员从队头赶往队尾用了16秒钟。如果他再从队尾赶到队头送信还需要多少时间？例4甲、乙、丙三人都从A地出发到B地。乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？例4 甲、乙、丙三人都从A地出发到B地。乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？设丙的速度为1米/分钟. (1)当乙追上丙时，丙共行了1（40+10）=50米，由此可知乙行50米用了40分钟，乙的速度为5040=1.25（米/分钟）； (2)当甲追乙时，乙已经先出发走了20分钟，这时甲乙的距离差为1.2520=25（米），甲乙的速度差为25100=0.25（米）; 甲的速度为1.25+0.25=1.5（米）; (3) 当甲追丙时，丙已经先出发走了10+20=30分钟，这时甲丙的距离差为1(10+20)=30米，速度差为1.5-1=0.5（米/分钟），追及时间为300.5=60(分钟)。【边学边练】小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6时小明、小峰两人一起从甲地出发，小明每小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同时到达乙地。小光什么时候追上小峰？1、甲乙两人在周长400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100米，问多少分钟后，甲可以追上乙？2、一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:甲乙两地相距多少千米?3、自行车队出发12分钟后，通讯员骑摩托车去追他们，在距离出发点9千米处追上了自行车队。然后，通讯员立刻返回出发点，随后又返回去追上了自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，试求自行车队和摩托车的速度。相遇问题几种特殊解法解答一般的相遇问题，我们常规的思路是，抓住相遇问题的基本数量关系：（甲速+乙速）相遇时间=路程来解答。但有一些相遇问题的已知和所求比较特殊，如果仍采用常规的解题思路就难以解决问题，针对各种不同的情况，本文介绍几种特殊的思维方法。一、抓住两个数量差并采用对应的思维方法例1 小李从A城到B城，速度是5千米/小时。小兰从B城到A城，速度是4千米/小时。两人同时出发，结果在离A、B两城的中点1千米的地方相遇，求A、B两城间的距离？分析与解：这道题的条件与问题如图（1）所示。要求A、B两城的距离，关键是求出相遇时间。因路程是未知的，所以用路程（李速+兰速）求相遇时间有一定的困难。抓住题设中隐含的两个数量差，即小李与小兰的速度差：5千米/小时-4千米/小时=1千米/小时；相遇时小李与小兰的路差：1千米2=2千米。再将其对应起来思维：正因为小李每小时比小兰多走1千米，所以小李多走2千米所花去的时间2小时不正是小李、小兰相遇的时间吗？因此，求A、B两地距离的综合算式是：（54）12（5-4）=18（千米）。二、突出不变量并采用整体的思维方法例2 C、D两地间的公路长96千米，小张骑自行车自C往D，小王骑摩托车自D往C，他们同时出发，经过80分两人相遇，小王到C地后马上折回，在第一次相遇后40分追上小张，小王到D地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相遇？分析与解：依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图（2）。这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。但可根据题中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和在相距96千米两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维。从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王走的路程是CDCDDG，小张走的路程是CG，两人走的总路程是3个CD，所花的时间是803=240（分）。可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：803-80-40=120（分）。列车行程问题有关两列火车的相遇，追及问题，是行程问题中的一种。在考虑速度、时间、路程三个量之间关系的同时，还必须注意到列车本身的长度。因此，两列火车的“追及”、“相遇”这两个概念与原来就不一样。两列火车“追及”情况，请看下图：两列火车A与B，图（1）表示A已经追上B，图（2）表示A已经超过B。从“追上”到“超过”就是一个追及的过程，比较两列火车的火车头，可看出，A的车头比B的车头多行的路程是B的车身长与A的车身长的和，因此，A车追上到超过B车所用的时间是：（A的车身长+B的车身长）（A的车速-B的车速）。两列火车相遇的情况，请看下图：两列火车A与B，图（3）表示A与B碰上，图（4）表示A与B已错过，根据前面类似地分析，可以看出，A、B两列火车从碰上到错过所需的时间是：（A的车身长+B的车身长）（A的车速+B的车速）。例1 慢车的车身长是142米，车速是每秒17米，快车车身长是173米，车速是每秒22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间？分析：根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及情况，只要直接利用公式计算即可。解：（142173）（2217）63（秒）答：快车从追上到完全超地慢车需63秒。例2一列客车长190米，一列货车长240米，两车分别以每秒20米和23米的速度相向行进，在双轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需要多少时间。分析：根据题目的条件可知，本题属于两列火车相遇的情况，用公式可直接计算。解：（190240）（2023）=10（秒）答：需要 10秒。例3长72米的列车，追上长108米的货车到完全超过用了10秒，如果货车速度为原来的1.4倍，那么列车追上到超过货车就需要15秒。货车的速度是每秒多少米？分析：根据题目的条件，可求出两列火车原来的速度之差，当货车速度为原来的1.4倍后，也可求出列车与加速后的货车速度之差，再根据前后两次速度之差的变化，就可求出货车的速度。解：两列火车的长度和：72+108=180（米）列车与货车原来速度差：18010=18（米）列车与加速后货车的速度差：18015=12（米）货车的速度是：（18-12）（1.4-1）=15（米）答：货车的速度是每秒15米。例4长180米的客车速度是每秒15米，它追上并超过长100米的货车用了28秒，如果两列火车相向而行，从相遇到完全离开需要多少时间？分析：根据题目的条件，可求出客车与货车的速度差，再求出货车的速度，进而可求出两车从相遇到完全离开需要的时间。解：两列火车的长度之和：180100=280（米）两列火车的速度之差：28028=10（米）货车速度：15-10=5（米）两列火车从相遇到完全离开所需的时间：280（155）14（秒）答：从相遇到完全离开共需14秒。例5快车长106米，慢车长74米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过1分钟才超过慢车；如果相向而行，车头相接后经过12秒两车完全离开。求两列火车的速度。分析：根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差和速度和，再利用和差问题的解法求出快车与慢车的速度。解：两列火车的长度之和：10674=180（米）快车与慢车的速度之差：18060=3（米）快车与慢车的速度之和：1801215（米）快车的速度：（153）2=9（米）慢车的速度：（15-3）26（米）答：快车每秒行9米，慢车每秒行6米。练习：1.在双轨铁路上，甲乙两列火车同向而行。甲车长210米，乙车长180米，甲车每秒行16米，乙车每秒行11米。甲车追上乙车后，再经过多少秒超过乙车？2.有两列火车，一列长130米，每秒行23米，另一列车长250米，每秒行15米，现在两车相向而行，从两车相遇到离开需要多少时间？十一 相遇和追及（一）在行程问题中，有时要讨论两个或几个运动物体（人、车、船等）行进的关系，当它们在同一段路两个不同的地点相向而行时，如果同时到达一个地点，通常叫做相遇；当它们同向而行时，如果后面的行进速度比前面快，后面的与前面的同时到达同一地点，通常叫做追及。例1：小明上午8时骑自行车以每小时12千米的速度从A地到B地，小强上午8时40分骑自行车以每小时16千米的速度从B地到A地，两人在A、B两地的中点处相遇，A、B两地间的路程是多少千米？解：这是一个相向而行相遇求路程的问题。但两人不是同时出发，如果能转换成同时出发，并且求出行多少小时相遇，就可以用数学课学的方法解答。两人在两地间的路程的中点相遇，但小明比小强多行了40分钟，如果两人同时出发，相遇时，小明行的路程就比小强少126040=8（千米），就是当小强出发时，小明已经行了8千米，从8时40分起两人到两人相遇，由于小明每小时比小强少行1612=4（千米），说明两人相遇时间是84=2（小时），那么，A、B两地间的路程是8（1216）2=64（千米）。答：A、B两地间的路程是64千米。例2：甲、乙两村相距35