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摘要 摘要 自适应回波抵消算法的研究 硕士研究生蔡萍导师邹采荣教授 东南大学无线电工程系 回声抵消是现代通信系统( 如会议电视系统和会议电话系统) 中必须要解决 的问题。在会议电视、电话系统中，由于会议室体积一般较大，而且吸声处理不 是很完善，因此长混响的回声抵消问题显得尤为重要。 现在已有的回声抵消算法有l m s 算法，r l s 算法和a p 算法等。传统的l m s 类算法存在收敛速度慢，收敛性能较差的缺点。而r l s 类算法又存在运算量太大 的问题。a p 类算法兼有收敛速度快和运算量较小的优点。有较好的应用价值。 本文对以上几种自适应回波抵消算法进行了仿真与比较。 双端对讲情况下的回声抵消是自适应回声抵消技术的一个难题。在双端对讲 情况下的远端语音信号作为自适应算法的于扰，易导致自适应算法发散。本文对 互相关检测，相干检测，最大长度相关序列检测等技术进行了仿真与比较，指出 各种算法的优缺点。 最后，论文完成了自适应回波抵消算法的定点化过程。 关键词：回声抵消，自适应滤波，双端检测 a b s n a c t r e s e a r c ho na l g o r i t h m so f a d a p t i v ee c h oc a n c e l l a t i o n c 髓d i d a t c ：c a ip i n g ，s u p e r v i s o r ：z o uc a 曲n g d e p a 衄l e n to f r a d i oe n g i n e e 血瞎，s o u t l l e a s tu 1 1 i v e r s i t y ，c h i n a a c o u s t i ce c h oc 柚c e l l a t i o ni sab o n l e n e c ki i lc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，f o re x a i n p l em e c 蚰f 咖n c es y s t e m t h ec o n f e r e n c er o o m sa r cu s l l a l l ym u c hl a r g e rt h 锄m ei i i l e m a t i o n a ls t a n d a r d r o o m s ot l l ee c h ot i m e sa 阳o f i e n 船l o r 培e ra s3 0 0 m s a st h cr e s u ht l l e a c o u s t i ce c h o c 锄c e l l 砒i o ni sm u c hm o r ei m p o r t a l l ti nc h i n a sc o m m u n i c a t i o 邮s y s 把m s t h e 嘲s t i n ge c h oc a l i c e l i n ga l g o 削= i l l l si n c l u d el m s ，r l sa n da 只e t c t 叫n i 彻a ll m s a l g o r n h mh a sn a w ss u c ha s1 0 wc o n v e 峰e n c er a t ea n db a dc o n v e r g e n c ep e r f b n n 锄c e r l s a l g o r i m mh a sh i 曲c o m p u 诅t i o nc o m p l e m 吼a pa 1 9 0 r i t h a st 1 1 ea d v 孤诅g c so f h i 曲c o n v e 玛e i l c e r a t c 粕dg o o dc o n v 盯寥n c ep e r f 0 h n 锄c e ni sw o r t h yo fh i g l l 印p l i e dc o s t s i m u l a 土i o n 锄d c o m p 撕s o no f 廿1 e s ea l 酬廿u ma r em a d e i nt 1 1 i sp a p “ e c h oc a n c e l l a t i o nu n d e rt h ec i r c u f i i s t 柚c eo fd o u b l et a l k i n gi sab a 砌e n e c ki na d a p d v ee c h o c 锄c e l i a t i o nt e c l l l l i q u e 而e 鹏a h n ds i 印a 1o fd o u b l et a l k i n gi sa p tt og e n c r a l et h ea l g o r i m mt o d i s p e r s e ，a sj n t c r f 咖n c es i 印a 1 s i m u 蜥0 n 舭dc o m p a r i s o no f s u c hd o u b l e d e t e c ta l g o r i t l l m sa s c r o s s c o r r e l a d o n ，c o h e r e n c ea n dm l ca f em a d ei 1 1 血i sp a p e ls o a r et h ea d v a n 扭g e sa n d d i s a d v 锄t a g e so f t l l e s et e c h n i q i l c s i nt l l ee n d ，订a n s f b n n a 廿o nf m mn o a tp 0 m tt of - p o i n to 九h ep r o g r a mi sc o m p l e t e d k e y 帅r d s ：e c h oc a n c e l l a t i o n ，a d a p t i v cf i l t d o u b l ed e t e c t i l 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：一日 期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文 的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名：日期： 东南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 论文的研究背景【1 】 通信技术综合化、数字化、智能化和个人化的飞速发展，以及计算机网络技 术的日益成熟，在单一网络平台上实现语音、数据、图像等多种业务的融合已经 成为通信行业发展的目标和必然趋势。从目前情况看，v o i p ( v o i c eo v e ri p ) 技术是综合业务的最好方案。如此同时，随着信息技术的飞速发展，人们对网络 通信的需求不断提高。希望不论在何时、何地，与任何人都能够进行包括数据、 话音、图像等任何内容的通信。对高速、多种业务、具有灵活移动性的通信需求 的提高和i n t e r n e t 的高速发展，进一步推动了w l a n 的飞速发展。伴随着v o i p 技 术的不断发展、w l a n 的日益成熟和人们对移动通信能力需求的不断提高，v o i p 技术和w l a n 技术的融合是通信技术发展的必然趋势。可以预计w l a n 上v o i p 技术 将是下一代通信世界中的关键技术之一。尽管未来v o i p 技术超出了“v o i p 就是 在i p 网络上传输语音业”的传统概念，成为一个正在演进的多媒体服务平台， 但不可否认，w l a n 上v o i p 语音业务仍是未来w l a n 上v o i p 综合业务的先导。 回声是影响v o i p 通信质量的一个主要因素。v o i p 语音通信系统的回声可以 分为两类：一类是声学回声，它是由于声音从话音终端的扬声器反馈到拾音传声 器而引起的：另一类是电学回声，它是由二四线转换电路引起的( 因为阻抗不 匹配造成的信号泄漏) 。电话网络中，由于用户与电话交换中心间通信距离较近， 传输损耗小，为了降低电话交换中心与电话用户之间的连线成本，从交换中心到 用户间的本地环路通常采用二线制，也就是说发送信号和接收信号通过同一条二 线电路来传输；而电话交换中心间远距离通信的传输损耗大，通常要采用中继功 率放大，因此采用发送和接收分开的四线制( 数字连接都是虚拟四线连接) 。二 线到四线的转换是在当地交换中心通过二四线转换电路实现的。如果二四线转 换电路中的匹配阻抗与电话终端的阻抗不匹配，二四线转换电路的输入信号就 会部分的泄漏到输出信号中。具体地说，对用户来讲就是讲话者的声音信号在二 四线转换电路处从发送信道泄漏到接收信道，从而导致讲话者又听到自己的声 音。 人类的听觉特性决定人类不能感知延时很小的回声，也就是说延时很小的回 声不会影响通信质量；而当延时超过5 0 m s 时，回声就会导致通信质量的下降。 由于v o i p 网络中的延时很大，即使不大的回声也会导致通信质量的大幅度下降， 因此，在v o i p 语音通信系统的设计过程中必须考虑回声消除问题。 目前大多采用自适应回声抵消技术来消除回声。而双端对讲情况下的回声抵 东南大学硕士学位论文 消是自适应回声抵消技术的主要难题之一。由于双端对讲时的远端语音信号是回 声路径自适应建模的干扰信号，它将使自适应算法的收敛速度降低甚至导致不收 敛。因此，传统的自适应回声抵消技术都是通过在双端对讲情况下冻结或放慢滤 波器系数调整的方法来解决这一问题的。具体地说，就是通过信号检测技术确定 通信双方的讲话状态，一旦检测到通信双方同时讲话，就禁止自适应滤波器系数 的调整更新。 1 2 回声产生机理 与传统电话相比，v o i p 的致命弱点就是语音质量较差。影响因特网语音质 量的因素是多方面的，关键因素之一是回声的影响。回声对通信质量的影响取决 于两个因素 2 6 ：回声强度和回声延时。一方面，只有接收到一定强度的回声 才会导致通信质量的下降，强度很小和接收不到的回声不会影响通信质量。另一 方面，延时很小( 几毫秒) 的回声不会给人带来烦恼，只有延时较大( 几十毫秒) 的回声才会导致通信质量的下降。若回声的延时达到几百毫秒时，不仅会带来更 大的通信干扰，甚至会导致通信不能正常进行。回声导致通信质量的下降是这两 个因素共同作用的结果。 通信系统的回声主要有电学回声和声学回声两种。 1 2 1 电学回声产生机理 用户交换杌中的二四线混合器一直被认为是导致回声的罪魁祸首。在普通 公用电话交换网( p s t n ) 中，用户与电话交换中心间采用二线制，也就是说发送 信号和接收信号通过同一条二线模拟电路来传输；而在电话交换中心间的远距离 信号传输中，采用发送和接收分开的四线制，为了实现四线二线间的信号转换， 交换机中使用了一种叫做混合器的设备。如果混合器中的匹配阻抗与二线本地环 路的阻抗精确匹配，混合器就能完成二线四线信号的无泄漏转换。但在电话系 统中，通常一个四线传输线路要完成多个用户的通信业务，而不同的用户有着不 同的本地环路阻抗，因此，通常只能选择一个折中的阻抗匹配电路。这样，对一 次具体的通信来说，就存在着阻抗不匹配问题。这种阻抗不匹配使发送信号通过 混合器时会产生一定程度的泄漏，使得部分发送信号又传回讲话者。这样用户就 又能听到自己的声音。这种因电路阻抗不匹配导致的回声，通常称为电学回声。 图1 1 给出了电学回声产生的基本原理。 2 东南大学硕士学位论文 图1 1 电回波产生机理 电学回声是由于电路阻抗不匹配造成的 7 8 ，其主要特点是回声路径变化 慢，对一个具体的用户来说，电学回声路径的变化通常比较小。另外，电学回声 路径冲激响应持续时间比较短，一般为几个毫秒，自适应建模滤波器的阶数一般 比较低。这些特征使得电学回声的消除相对来说比较简单。当然，如果电缆的长 度足够长，电学回声的影响也是很明显的。图1 2 给出了典型的电学回声路径冲 激响应 9 1 0 。 图1 2 典型的电学回声路径冲激响应 1 2 2 声学回声产生机理 在免提全双工通信系统中，当远端麦克风被放置在能够直接接收到远端扬声 器发出的声音或者是它经周围临近物体反射的反射声时，远端扬声器播放的本地 语音信号就会部分地通过远端麦克风传回到本地用户，这样本地用户就又听到了 自己的声音。这种由扬声器与麦克风耦合导致的回声，称为声学回声。图1 3 给 出了声学回声产生的基本原理。 东南大学硕士学位论文 奉埔扬声 本地话霄 孝地声童信号 图1 3 声学回声产生机理 远端信号通过本地扬声器放出的声音，经过外部声学系统后，又传回到话筒 上，和本地用户声音信号一起，通过混合变换器传回远端用户，形成声回波。这 种由于扬声器与麦克风之间的声学耦合引起的声回波，易受到多种环境因素的影 响。 1 3 回声抵消的基本原理 回声消除从贝尔发明电话起就成为通信技术人员要解决的重要问题之一，而 且随着通信技术的不断发展，回声消除技术一直是通信领域的一个研究热点。早 在2 0 世纪2 0 年代，c l a r k 和i l a t h e s 就提出了回声抑制器 “ 。回声抑制器的 基本原理如图1 4 。 1 ! 一 厂 l 电话机 幽芦揶科譬 图1 4 回声抑制器的基本原理 简单地说，回声抑制器就是在远端发送话路中设置一个开关。通过检测本 地和远端用户的通话状态来控制开关。当检测到只有本地用户讲话时，开关断开， 于是任何信号都无法传回到本地，自然也就没有回声了；当只有远端用户讲话时， 开关闭合，于是远端用户的话音可以毫不受损地传向本地；而当本地用户和远端 用户同时讲话( 双端对讲) 时，为了不影响远端的语音信号的发送，开关必须闭 合，这样本地用户就既能听到远端用户的话音，又能听到自己的回声，这时回声 4 东南大学硕士学位论文 抑制器就无能为力了。这给回声控制技术提出了新的挑战，自适应回声抵消技术 正是在这种挑战中应运而生的。 如图1 5 所示的一个实用的回声抵消电话系统。双端对话检测主要任务是检 查电话系统是否工作在双端情况下。如果是的话，它将停止自适应滤波器的系数 调整，使它保持在上一个采样点的情况之下。这是因为语音信号对自适应滤波器 来说，是一个噪音，它将使误差函数变大，导致错误的调整滤波器系数。舒适噪 声是一个模拟近端环境噪声的算法，它使当非线形处理器断开通路的时候，使入 有电话没有被挂断的感觉。 竺竺翌兰竺竺r 广_ 一定 焉堂#自适应算 虫l 三7 - 广 萼困1 r 回声 辩 径 h ( 坊 d ( 玎) 埭 图1 5 实用的回声抵消系统 回声抵消器的基本思想是利用输入语音信号x ) 和自适应滤波器帆功产生 一个与真实回声d ( 打) 近似的回声估计信号d ( 行) ，然后从返回信号y ( 功中减去回 ：，、， 声估计信号d 【哪，进而产生传往远端的输出信号8 ( 哪。若图1 5 中的自适应滤 波器w ( ”) 与回声路径矗( 玎) 精确匹配，回声估计信号矗( 哟就是回声信号d ( 玎) 的精 ，o 确估计。这样，x ) 产生的回声就能被回声估计信号d 【功完全抵消，而对本地 语音信号8 【埘不产生影响。由此，我们可以简单地认为自适应回声抵消器的基本 原理就是用自适应滤波器w 【卅来建模回声路径 ( 行) 。 由图1 5 可见，实用的自适应回声抵消器一般包括以下几个功能部分： ( 1 ) 自适应滤波器，用于产生回声估计信号0 ( 订) 。真实回声d ( ，) 与回 声估计信号孑( 聆) 相减后能大幅度地降低回声强度。在自适应回声 抵消系统中，自适应滤波器一般采用简单、稳定的横向咒r 滤波 器。 ( 2 ) 自适应算法，按某一准则自动调整自适应滤波器的系数，使其达 到最优滤波的目的。 东南大学硕士学位论文 双端对讲检测器，在双端对讲情况下，近端语音信号j ( 力作为自 适应算法的干扰，易导致自适应算法发散，传统的自适应回声抵 消系统都是在双端对讲检测的基础上，根据双端对讲状态控制自 适应滤波器的调整方式。一旦出现双端对讲情况就暂停或者放慢 自适应滤波器系数的调整。 非线性处理器，实际应用中，由于种种原因自适应回声抵消器并 不能将回声完全消除，残余回声总是存在的，通常用回声抑制技 术对残余回声进行非线性处理，进一步减小残余回声的功率。 舒适噪声产生器，用回声抑制技术对残余回声进行非线性处理时， 话路的断开常常给本地用户造成一种完全寂静的感觉，会使本地 用户误认为线路中断而退出通话。为避免这种情况的发生，需给 本地用户提供一个与远端背景噪声类似的噪声，该噪声称为舒适 噪声。 其中，自适应算法与双端对讲检测一起构成自适应回声抵消系统的核心。本 文将讨论回声抵消系统中常用的自适应算法和双端对讲检测技术。 6 ) ) ) “ 东南大学硕士学位论文 第二章自适应回波抵消算法 2 1 最小均方算法( l m s ) 最小均方算法 1 l 】【1 2 】是基于最小均方误差准则的自适应算法。其基本思想 是通过调整滤波器系数使均方误差最小。目前最小均方算法的改进算法多种多 样，下面仅简要讨论几种具有代表性的最小均方算法。 2 1 1 l m s 算j 去 l m s 算法是线性自适应滤波算法。一般来说，它包含两个过程： 1 ) 滤波过程( a ) 计算线性滤波器输出对输入信号的响应； ( b ) 通过比较输出结果与期望响应产生估计误差。 2 ) 自适应过程根据估计误差自动调整滤波器系数。 为了讨论方便，假定图1 5 中的远端语音信号力为零。则回声信号 j ( 以) = 矿( n ) x ( ) ( 2 1 ) 回声估计信号 d ( 行) = 矿( 以) x ( 栉) ( 2 2 ) 其中，自适应滤波器的输入向量x 0 ) = b ( 月) x 0 一1 ) x ( 疗一上+ 1 ) 】7 ；回声 路径冲激响应向量r | i l ( 疗) = 魄( 栉) 啊( 盯) 吃一。( 行) r ；自适应滤波器的系数向 量w ( 开) = ( ”) ( n ) m h ( 以炉；远端输出信号y ( 疗) = d ( 甩) + s ( 聆) ；在远 端语音信号删为零情况下，“砂= 彳( 功；误差信号口( 疗) = y ( 聆) 一矿( 竹) 工( 打) 。 定义目标函数 ，( ) = e e 2 ( 玎) = e i ( d ( 一) 一矿( 疗) x ( 栉) ) 2i ( 2 3 ) 对w 求导，并令导数等于零，即可得到最佳滤波器权矢量 。= 五- 1 p ( 2 4 ) 其中，p = e p ( 刀) 善( 疗) 是期望信号巧与输入信号矢量x ( 功的互相关向量； 胄= e l ( 胛) ，( 栉) 是输入信号矢量x 的自相关矩阵。 上式求解过程包括运算量很大的矩阵求逆运算，为方便实现，通常在目标函 7 东南大学硕士学位论文 数的定义中用误差平方代替均方误差。 估计。即定义目标函数： ，( 玎) = e 2 ( 珂) 对目标函数求导可得到 v ，( 珂) = 2 x ( 弹) 口( 栉) 可以证明 1 3 】误差平方是均方误差的无偏 ( 2 6 ) 由最速下降法可得： w ( 川) = w ( ，) 专 一v 柏 - w ( 珂) + ( 疗) e ( 疗) 占7 ) 这就是l m s 算法的迭代计算公式。 保持系统稳定的耀论取值范围为o l 五。，实际应用中，一般取 o 1 打氓，五h 是自相关阵r 的最大特征值。 2 。1 。2 归一化l m s 算法 l m s 算法的最大不足是收敛速度慢。使用时变步长的n 】j m s 算法 1 4 】 1 5 】 能在 一定程度上改善其收敛速度。其滤波器权矢量更新公式可简单描述为： p ( 万+ 1 ) = w ( 月) + 否j ：。：辆x ( 栉) p ( 疗) ( 2 8 ) 为保证算法的稳定收敛，一般选取步长因子o ” 。控制函 数的取值范围；( 刀) 和8 【栉j 的函数曲线如图2 1 ，图2 2 所示该函数比s i g m o i d 函数 简单，且在误差。妲) 接近零处具有缓慢变化的特性，克服了s i g m o i d 函数在自适应 稳态阶段步长调整过程中的不足。 图2 1 卢( 力与8 ( ) 的关系曲线( 口不同，卢相同) l o 东南大学硕士学位论文 图2 2 【川与。”j 的关系曲线( 口相同，卢不同) 变步长l m s 算法还包括另一类变步长算法比例l m s ( p n l m s ) 算法【1 9 】。 严格地说，n 儿m s 算法是一种独立步长算法，其基本思想是给不同的滤波器系 数赋予不同的步长因子，对大的滤波器系数采用大的步长因子，以此来提高算法 的收敛速度。这种比例步长因子调节，能使活跃滤波器系数( 大的滤波器系数) 比非活跃滤波器系数( 小的滤波器系数和零滤波器系数) 得到更快速的调整。 2 1 5 仿真结果 e c h o c h ：回波路径 触di n p u t ：远端语音 o u q ) u t ：滤波器输出 a d a p t i v ef i l 屯e r ：滤波器系数 e c h o ：回声 e r l e ：回声信号与残余回声信号的平均功率比 以下各图横轴为采样点数，纵轴为幅度 n l m s 算法： 运算复杂度：( 3 l ) 姒c + 1 d i v 东南大学硕士学位论文 s v 】瑚s 算法： 运算复杂度：( 5 l + 2 ) m a c + 2 d i v 东南大学硕士学位论文 p n l m s 算法： 运算复杂度：( 2 l + 2 ) 姒c + l d i v b 呻自h 董d l 叫 x 1 萨 h o x 1 0 4 臼日e 三田三圈三豳 l m s 算法是所有自适应算法中应用最广泛的，而且它具有其它算法所没有 的简单性。但是l m s 算法的收敛速度比较慢，因为它仅仅使用了一阶信息。影 响l m s 滤波器收敛速度的两个主要因素就是：步长参数和抽头输入向量相关 矩阵r 的特征值。 2 2 最小二乘算法( r l s ) 2 2 1 最小二乘( l s ) 算法【1 j 1 3 东南大学硕士学位论文 由0 ( 月) 的定义知： 刍( 拧) ：矿( 。) x ( 疗) ：芝( 。) ，o 一，) 按最小二乘准则定义代价函数： j ( 行) ：窆俐：杰k ) 一粕 2 ，- 1- llj 对滤波器系数嵋( 疗) 求导弗令其为o ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 器= 刮小z 蓑拍) 啪) _ 0 ，1 ( 2 1 6 ) 其中，输入信号的自相关函数磊。( 抖) = x o i ) x o 一脚) ，z ，掰= o ，l ，一l ； ，l l h 输入信号与期望信号的互相关函数6 l ( ，) = d ( 0 工( ，一，) ，f = o ，l ，一l 。 ，t i 令： 妒0 ) = o ( 甩)他。i ( ) 工_ 1 ( 叻 仍o ( 矽仍，- ( 力 仍卜1 ( 力 ! ； ； 吼一( 栉) 纯- 1 1 0 ) ，l l ( 栉) p ( 露) = 嗡( 珂) 岛( ) 眈一。( 疗) 】r w ( n ) = ( ) m ( n ) ( 行圹 则由( 2 1 6 ) 可得到： ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 矿( 力w ( 刀) = 口( 力 ( 2 2 0 假定矩阵似功是非奇异的，其逆矩阵存在，则可求得最小二乘白适应滤波的 最优权矢量为 w ( 珂) = 伊一( n ) 目( 珂) 其中，妒。( 玎) 是自相关矩阵妒( 行) 的逆矩阵。不难证明，当输入信号与期望信号 均为平稳随机信号、滤波器的输入信号长度趋于无限大时，滤波器权矢量的最小 1 4 东南大学硕士学位论文 二乘估计接近于维纳最优解。 2 2 2 递归最小二乘( r l s ) 算法1 2 0 】【2 1 l 该算法的目的在于选择自适应滤波器的系数，使观测期问的输出信号y ( 帕与 期望信号在最小二乘的意义上最匹配。自适应横向滤波器有两路输入，一为 x ( 珂) = 【x ( 丹) 善一1 ) 珂一工+ 1 ) r ，另一为期望信号 d ( ，1 ) = 【d ( 疗) d ( 撑一1 ) d 一+ l 汗，其中，l 为滤波器的阶数。 我们可以得到自适应横向滤波器按最小平方准则设计的目标函数是； ( 行) = 8 2 0 ) = a ”“【d ( f ) 一，( 帅( 功】2 ( 2 2 1 ) 其中，w ( 珂) = 【w 0 ( 珂) ，w l ( 力，屹( 行) 】7 为自适应滤波器系数向量，p ( f ) 为f 时刻的后 验输出误差。参数0 旯s l 为指数加权因子，该参数也称为遗忘因子，因为过去 的信息对系数的更新来说，其可忽略程度是不断增加的。 每一个误差是由期望信号和采用最近的系数w ) 得到的滤波器输出之差所 组成。将( 哟相对于以力求导，可以得到 鬈等- 2 骞粥晰h ( 州酬 ( 2 2 2 ) 令上式等于零，则可以通过如下关系找到使最小二乘误差最小的最优向量w ) ： r o r 兄“f ) ，( i ) w ( 功+ a “x ( f ) 矗( i ) = i ；l ( 2 2 3 ) hhli 脚 ioj 从而得到最优系数向量 rht l ” 以，1 ) = i a ”哟，i 五”。f ) d ( o = 对( 功p _ o ) ( 2 2 4 ) 其中，( 功称为输入信号的确定性相关矩阵，p b ( 心) 称为输入信号和期望信号 之间的确定性互相关向量。 在式( 2 2 4 ) 中，假设如( 刀) 是非奇异矩阵。然而，如果( 以) 是奇异矩阵，则 应该采用广义逆矩阵，以便得到使( ，z ) 最小的以胛) 的解。由于我们已经假设在 大多数实际应用中，输入信号具有一致激励性，应该指出的是，如果当疗 o 时， 东南大学硕士学位论文 输入信号为零，则对于刀 的情形( 即在初始化阶段) ，如( 开) 将总是奇异矩阵。 在这个阶段，系数的最优值可以通过后向代入算法计算出来。 如果直接计算r 。( 胛) 的逆矩阵，则算法的计算复杂度为d i 3l 。在传统的 i 也s 算法中，通过采用矩阵求逆引理阴+ b c d 】l = 彳一一彳。研删- 1 四十c - 1 r 1 删。 ( 其中，丘b ，c ，d 是具有合适维数的矩阵，并且矩阵，蕾和c 是非奇异矩阵) 避免计 算逆矩阵。我们可以得到如下形式的计算确定性相关矩阵的逆： 州c 哟2 抽川卜絮需糌 表2 1 传统的r l s 算法 初始化： 品卜1 ) = 艿，( 这里占可以是输入信号功率估计的取反) p d ( 一1 ) = “一1 ) = 【oo o r 计算：当七2 0 = 耐= 舭驴等端觜 d ( ，力= 五( 即一1 ) + 吠玎) x ( ，力 ”k 村) = 芦d ( 玎) p d ( 行) “力= w 7 ( 拧) x ( 力 p ( 力= d ( 力一，( 力 下面介绍几种常用的r l s 快速算法： 1 ) 快速l ( a l 嘲n 算法： 假设我们知道增益 g 。( 玎一1 ) = r ：( 嚣一1 ) x ，( 撑一1 ) 我们要在下一时刻用新数据( i 。( 功，砌) 调整g 。0 一1 ) 来计算增益： g 。( 功= r ：( 功x 。( 功 如果通过矩阵食埘+ ( n ) 的分块公式求矩阵的逆，我们有 叻= 弦讣南一 毗刊 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 1 6 东南大学硕士学位论文 嘶功= 陋品 + 南b 卜c 功】 根据输入数据矢量的移不变性： k 舸，= 去珏 x 罡， 仁3 。， 由式( 2 2 8 ) 、式( 2 3 0 ) 中的第一次分割，我们得到： 砌，= p + 舔一 其中，占：( ，力= x ( 胛一圻) + b ：( ) x 。( ，1 )( 2 3 2 ) 它提供了增益矢量g 卅( 拧) 的纯阶数修正。同样的，根据式( 2 2 9 ) 和式( 2 3 0 ) 的第二 次分割，我们有 ” g 。z 一1 ) + 黑 a 喜中，占：( 珂) = x ( 刀) + a ：( ) x 。( 珂一1 )( 2 3 4 ) 它提供了增益矢量( 功的阶数和时间的复合的修正。 如果给定增益矢量g 。( 行一1 ) ，我们首先通过式( 2 3 3 ) 来计算g 卅+ ( 疗) ，然后由 式( 2 3 1 ) 的前朋个等式计算增益( 力： g 。( 功= g ! 当( ，) 一g ：等1 ( ，力b 。( 珂)( 2 3 5 ) 这是因为由式( 2 3 1 ) 最后一个方程，我们有： 删= 糍 ( 2 1 3 6 ) 更新式( 2 3 4 ) 和式( 2 3 5 ) 需要预测器a 。( 胛) 和b 。( 万) 的时间更新，以及最小误 差能量( 帕和或( 力，它们分别是 a 。( 甩) = a 。( 万一1 ) 一g ，( 聍一1 ) p 二( 胛) ( 2 3 7 ) b 。( ，) = b 。( 玎一1 ) 一g 。( 一) e ：( ，磅( 2 3 8 ) e ：( 珂) = 元( 栉一1 ) + 口。( 玎一1 ) ip ：( 行) f ：( 2 3 9 ) 东南大学硕士学位论文 或( ，) = a 占：( 一1 ) + 口。( 功le ：( ，0 1 2( 2 4 0 ) 在式( 2 3 8 ) 中代入式( 2 3 5 ) 消去b 。( 肝) 得到 “功= 罢鬻帮 这种方法称为快速k a l 舱n 算法，这种算法每次更新需要g m 次运算。算法总结如下： p 7 ( 功= 颤栉) + a ( 村一1 ) x ( 胛一1 ) 占7 ( 以) = 颤，1 ) + a ( 力x ( 栉一1 ) e 7 ( ) = z 层7 ( 珂一1 ) + 占7 ( h ) e 7 ( 玎) 删艺出熬) 2 ， p 。( 一) = 双打一m ) + b 8 ( 打一1 ) x ( 玎) 酬= 訾鬻鬻铲 2 ) f a e s t 算法i 用相似的方式，我们可以用式( 2 3 3 ) 和式( 2 _ 3 1 ) 修正增益矢量： 吾。( 力= 矗i l 一1 ) x 。( 栉) 实际上，由式( 2 3 0 ) 下分割的式( 2 3 3 ) 和式( 2 3 0 ) 上分割的式( 2 3 1 ) ， 到 k = l 。一+ 躲k 。) k 舻弦 + 蒜n 一) 它提供了酞1 ) 和_ 埘( 哟之间的连接。从式( 2 4 5 ) ，我们得到 配= 础仰一蹴”b 。伽一1 ) 因为由式( 2 4 5 ) 最后一行有： ( 2 4 3 ) 我们可以得 ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 1 8 东南大学硕士学位论文 删( 哟= 番戋 ( 2 4 7 ) 占二t ，彳一i ， 式( 2 3 3 ) 和式( 2 4 5 ) 根本区别是，后者中的b 。伽一1 ) 的出现解开了增益矢量和后 向预测器之间的耦合。而且，式( 2 4 7 ) 可以通过 口：( 刀) = 五或0 一1 ) 季翁1 ( 帕( 2 4 8 ) 仅用两次乘法来计算。 后验误差可以由先验误差用转换因子： 瓦( 坊= l + 醪( 功x ( 珂)( 2 4 9 ) 来计算。这就导出了快速后验误差序列技术f a e s t 算法。f a e s t 只需要7 m 次运算。 总结如下： p ，( 栉) = x ( 行) + a ( 万一1 ) x ( 疗一1 ) = 蒜 a ( 坊= a ( 疗一1 ) 一飘以一1 ) 占广( 疗) e 7 ( 功= 旯e 7 ( 丹一1 ) + 占7 ( 疗) p 7 ( 疗) = ， + 蒜k 1 ) 矿( ，o = a 矿( 行一1 ) i 能：1 ( 行) 吾( 哟= 营豁( 帕一吾豁u ( 功b ( 万一1 ) 锄哪煅蒜 历( 以) = + ( 功一季翟等1 ( 功矿( 功 b ( ，o = b ( ”一1 ) 一季( 万) s ”( 力 矿( 功：挚 口t 撑， ( n ) = 旯e 6 ( 行一1 ) + 占6 ( 胛) p 扩( 疗) p ( 哟= y ( 行) 一c 8 ( 阼一1 ) x ( 功 咖) = 器 c ( 行) = c ( 疗一1 ) + 重( n ) 占( 坊 2 2 3 仿真结果 1 9 东南大学硕士学位论文 以下各图横轴为采样点数，纵轴为幅度 r l s 算法： i 【a l m a n 算法： f a e s t 算法 东南大学硕士学位论文 r l s 算法同样体现了较好的数值特性，有非常小的m s e 。但是，同样的，r l s 的最大弱点就是计算复杂度太高，不适合于实时应用。k a l n 算法的跟踪性能 与遗忘指数五的值是有关的。当遗忘指数a = 1 时，模拟的回波信号失真非常严重， 滤波器的跟踪性能丧失。旯通常的趋值在o 9 到1 之间，是因为若取得太小，虽 然可以快速的跟踪，但是这个跟踪是不好的，因为产生的误配误差很大。同时， 还要考虑到滑动窗口的有效长度问题。f a e s t 有最低的运算复杂度，但是从仿真 看，数值性能并不非常好。 2 3 仿射投影算法( a p ) 2 3 1 算法分析【1 1 a p 算法是n l m s 算法的一种多维推广形式，其迭代公式可简单描述为： w + 1 ) = w ( 功+ x ( 珂) 【x 7 ( 珂) x ( 力】- 1 p 伪)( 2 5 0 ) 其中，p 为步长因子；x ( 功= 【x ( 力x 伽一1 ) x 0 一+ 1 ) 】为脓上维的 输入信号矩阵；d ( 力= 【d ( 功d 0 一1 ) d 0 一+ 1 ) r 为似1 维的期望信号 向量；e ( 胛) = 【p ( 栉) p 一1 ) p 伪一+ 1 ) r 为 1 维的误差信号向量。 e ( 胛) = d ( 刀) 一x 7 ( 玎) w ( 胛) 同n l m s 算法一样，可将a p 算法修正为 2 l 东南大学硕士学位论文 w ( 一十1 ) = w ( 帕+ x ( 哟【x 7 ( 刀) x ( 一) + 】一1 p ( n ) 其中，6 为一小的正常数，i 为单位阵。如果a p 算法的阶数等于1 ，则输 入矩阵x ( 一) 就变为输入向量x ) ，矢量d ( 玎) 和p ( 帕也都分别成为模量d ( h ) 和 p ( 力。a p 算法的迭代方程可简化为： p ( 疗) = d ( 栉) 一x 7 ( ”) w ( 功 w ( 栉+ 1 ) = w ( 一) + x 7 ( 刀) 【万+ x r ( ，) x ( 栉) r 1 p ( 功 ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 显然，这就是n l m s 算法的迭代公式。 a p 算法的收敛速度和计算复杂度均介于l m s 和r l s 之间。只要满足 o 2 ，a p 算法单调收敛。增大a p 算法的阶数n ，可提高其收敛速度。 通过增加阶数n 来提高a p 算法的收敛速度是以增加计算复杂度为代价的。g a y 等提出的快速a p 算法 4 0 4 1 大大降低了a p 算法的计算复杂程度，进一步增强 了其实用性。在快速a p 算法中，采用滑动窗快速横向滤波算法计算预滤波向量， 避免了矩阵求逆运算。虽然快速a p 算法的计算复杂度降低了，但其存在数值稳 定性问题。为解决这一问题，d o u 9 1 a s 等提出了正交变换的快速a p 算法的近似 算法 4 2 ，改善了快速a p 算法在有限精度运算时的数值稳定性。 2 3 2 仿射投影滤波器 2 3 2 1 仿射投影滤波器原理【2 2 】 首先用数学形式将仿射投影滤波器设计准则表示为如下约束最优化问题： 最小化如下权值向量变化量的平方欧氏范数 ，谛( 甩+ 1 ) = 烈栉+ 1 ) 一1 ( 以) 其约束条件为 d ( ，l 一_ | ) = 1 ”( 一+ 1 ) 甜( 玎一的 对于k = o ，1 ，n 一1 式中n 小于输入数所空间( 或权值空间) 的维数m 。 ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) 这个约束最优准则将归一化l 惦滤波器作为其一个特例，n = 1 。我们可以将约束 东南大学硕士学位论文 个数n 看作仿射投影自适应滤波器的阶数。 根据附录c 的多约束拉格朗日乘子法，可建立如下仿射投影滤波器的代价函数 以珂) ：l l 讯一+ 1 ) 一谛( 玎) 8 2 + 窆r e 【正( d ( 玎一七) 一访一( 露+ 1 ) 材( 以一七) ) 1 ( 2 5 7 ) m 在这个函数中，拉格朗日乘子五属于多个约束。为了表示方便起见，引入如下 定义： n m 数据矩阵a ( n ) ，其埃尔米特转置定义为 彳8 ( n ) = 协( ，吩，”( 玎一1 ) ，( n 一+ 1 ) 】 ( 2 5 8 ) n 1 期望响应向量，它的埃尔米特转置定义定义为 d ”( 功= 瞄( 珂) ，d 0 一1 ) ，d 一+ 1 ) 】 n 1 拉格朗日向量，它的埃尔米特转置定义为 且”= 【凡， ， 一。】 利用式( 4 3 ) 的定义，可以用更紧凑的形式重新定义代价函数为 ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) 以吣：8 谛 + 1 ) 一谛( 功1 1 2 + 窆r c 【( d ( 坊一彳( 功以，+ 1 ) ) s 加 ( 2 6 1 ) t o 则根据复值向量的微分规得可见，代价函数j ( n ) 对权向量议疗+ 1 ) 的微分为 瓦式- 2 ( 协+ 1 ) 一坝砌搿棚 设该导数为零，可得 锨疗+ 1 ) = 圭以力a ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) 为了从式( 2 6 3 ) 中消去拉格朗日乘子向量a ，首先使用式( 2 5 8 ) 和式( 2 5 9 ) 的定义，以等价形式重写式( 2 5 6 ) 为 d ( 疗) = 4 ( 玎) 谛( ，l + 1 ) ( 2 6 4 ) 东南大学硕士学位论文 然后，在式( 2 6 3 ) 两边同时左乘以彳( ) 并使用式( 2 5 5 ) 和式( 2 6 4 ) 消去 更新的权向量谛伽+ 1 ) 。则得 矗( 咖= 。( ，) 访( 力+ 圭一( 力彳8 ( 坊a ( 2 6 5 ) 由此，可以推出如下结果： a ) 基于n 次迭代得到的数据d ( 疗) 与彳( 珂) 谛( 功之间的差是一个n l 误差向 量 e ( 功= d ( 功一彳( 力谛( 力 ( 2 6 6 ) b ) 矩阵乘积a ( 玎) ( 哟是一个n n 矩阵，它的逆为( 彳( 挖) ( 栉) ) 一。 因此，对拉格朗日乘子向量a 求解式( 2 6 5 ) ，得 旯= 2 ( 彳( 行) 4 8 ( 珂) ) - 1 e ( 功 ( 2 6 7 ) 将这个解代入式( 2 6 3 ) ，得到权向量的最优变化量为 万访吒阼+ 1 ) = 4 ( 栉) ( 彳( 一) 爿( 咒) ) 一1 p ( 力 ( 2 6 8 ) 最后，我们需要对从一次迭代到下一次迭工的权向量进行控制，但保持方向相同。 为此，把步长参数丘引入式( 2 6 8 ) ，结果得到 占坝”+ 1 ) = 彳( 栉) ( 4 ( 押) 4 ( 一) ) _ p ( 哪 等价地，可写出 颤，l + 1 ) = 帚( 行) + 卢4 h ( 栉x 4 ( 功彳( 疗) ) - 1 p ( ，o ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) 它就是我们所期望的仿射投影滤波器的更新方程。 2 3 2 2 仿射投影算子 更新的权向量坝，+ 1 ) 是仿射投影算子作用于坝玎) 的结果。为了确定该算子， 将式( 2 6 6 ) 代入式( 2 。7 0 ) ，得到 东南大学硕士学位论文 钡月十1 ) = 【，一