（基础数学专业论文）矩阵理论的历史研究.pdf

山东人学硕t 学位论文 摘要 矩阵是数学中重要的基本概念，是代数学的重要研究对象之一，也是数 学与其它领域研究与应用的一个重要工具。本文在前人工作的基础上，以矩 阵理论时俺l 发展的先后顺序和矩阵思想的形成过程为线索，对矩阵的历史发 展进行了全面的分析与研究。主要成果如下： 一、详细阐述了矩阵的萌芽过程及其孕育的数学思想。矩阵的思想萌芽 历史悠久，我国古代解线性方程组用的是筹算，算筹的排列即为矩阵最早的 雏形。矩阵在中国古代的萌芽，孕育了丰富的数学思想与方法，推动了中国 社会政治和经济的发展，奠定了中国传统数学在世界数学发展史上的地位。 但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，因 而没有将它作为一个独立的概念加以研究。 二、详细探讨了矩阵的早期发展以及重要数学家的矩阵理论。探讨了矩 阵早期发展的社会和文化背景，指出众多数学家在二次型、微分方程以及行 列式等方面的工作孕育了矩阵的思想，并重点论述了西尔维斯特关于矩阵理 论的早期研究工作。矩阵的理论起源，可追溯到1 8 世纪，见于著作则是在1 9 世纪。西尔维斯特最先使用矩阵一词，引进了与矩阵有关的一些基本概念， 给出了矩阵的一些重要结论与著名定理，为矩阵理论的发展做出了重要的贡 献。 三、详细考察了矩阵理论的创立与矩阵思想的形成过程。介绍了凯莱、 西尔维斯特与弗罗伯纽斯等人的矩阵理论。阐述了矩阵理论对数学发展的影 响。矩阵从零散的知识发展为系统的理论体系，众多的数学家做了大量的工 作。凯莱作为矩阵理论的创立者，首先脱离行列式与方程组对矩阵本身进行 研究。西尔维斯特同凯莱等人一起发展了行列式和矩阵的理论，共同奠定了 不变量的理论基础。弗罗伯纽斯等人在矩阵论的发展史上做出了不可磨灭的 贡献。 四、考察了矩阵的后期发展及应用。阐述了矩阵的现代理论以及在各个 领域中的广泛应用。凯莱把超复数视为矩阵的思想在1 9 世纪末至2 0 世纪初 德到发展，出于积分方程的发展以及近代物理的需要数学家们开始了对无限 矩阵理论、元素属于抽象域的矩阵的研究。矩阵方程论、矩阵分解论和广义 逆矩阵等矩阵的现代理论也逐步发展起来。 五、详细阐述了矩阵在中国的传播。概括性地描述了1 9 世纪中国代数学 的发展状况，考察了矩阵在中国的传播过程。矩阵概念的最早萌芽虽然在中 国，但中国古代学者并没有将矩阵作为一个独立的对象进行深入的系统研究， 山东大学硕：t 学位论文 没有上升到理论的高度。1 9 世纪5 0 年代以后，中国在保留了传统数学的同时 吸收了西方数学之精华，从而使矩阵这一数学概念在历经翻译、教学、研究 多方结合的情况下，伴随着其它数学知识一起传入中国。 关键词：矩阵；矩阵理论；矩阵思想；西尔维斯特；凯莱；弗罗伯纽斯； 传播 山东大学硕i + 学位论文 ar e s e a r c ho ft h em a t r i xt h e o r y a b s t r a c t a saf u n d a m e n t a lc o n c e p ta n da ni m p o n a n to b j e c to fs t u d y ，t h em a t r i xt h e o r y h a sm a n y 印p l i c a t i o n si nv a r i o u sm a t h e m a t i c sb r a n c h e sa sw e l la si no t h e r s c i e m i f i cf i e l d s t h ep u 印o s eo f t h i sd i s s e r t a t i o ni st oa i l a l y z et h ed e v e l o p m e n to f t h em a t r i xt h e o r ya c c o r d i n gt ot w oc l u e si nc h r o n o l o g i c a ls e q u e n c ea n di d e o l o g i c a l p r o g r e s sb a s e do na 1 1 a l y s i so fo r 珥n a lm a t e r i a l s 锄di n v e s t 远a t i o no fp f e v i o l l s r e s e a r c h e si nt h i sf i e l d t h em a i nr e s u l t sg a i n e di nt h i sd i s s e n a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h ep r o c e s sa n di d e o i o g yi ns e e d so ft h em a t r i xt h e o r ya r ee i a b o r a t e di n d e t a i l t h es e e d so ft h em a t r i xt h e o r yh a sal o n gh i s t o r y ， a n dt h es “口门c d “i n “f n pc 厅印f e 坩矿4 ，f 抽埘e f 耙”w a st h ee a r l i e s te m b r y o n i cf o 瑚o fm a t r i x t h e n l d i m e mo fm a t r i xi nt h ea n c i e n tc h i n ah a sc o n d e n s e da b u n d a n tm a t h e m a t i c s m o u g h t s 蚰dm e t h o d s ，p r o p e l l e dp o l i t i c a 王a i l de c o n o m i cd e v e l o p m e mo fc h i n e 辩 s o c i e t y ， a n dh e l di m p o r t 锄ts t a t u si nt h ew o d dm a t h e m a t i c sh i s t o r y a sa p e 姗u t a t i o nf o r m ， t h em a t r i xc o n c e p th a so n l ys o l v e dp r a c t i c a lp r o b l e m sb e c a u s e i th a s l r tb e e nt h em a t r i xt h e o r yi n d e p e n d e n c e 2 t h ec o u r s eo fd e v e l o p m e n ti ne a r l i e rp e r i o da n dt h em a t r i xm e o r y0 f i m p o r c 锄tm a t h e m a t i c i a n sa f ed i s c u s s e di n 铲e a td e t a i l h i s t o r i c a lb a c k g r o u n do f t l l es o c i e t ya n dc u l t u r ei sd e s c r i b e d ，t h em a t r i x h o u g h ta c c o m p a n y i n gt h ew o r ko f q u a d r a t i cf o 加 d i f r e r c n t i a l e q u a t i o n a i l dd e t e r m i n a n ti s p o i n t e do u t ， a n d j j s y i v e s t e r sm a t r i xt h e o r yi nt h ee a r l i e rp e r i o di se l a b o r a t e d t h em a t r i xm e o r y o r 噜i n a t e d f r o mt l l e l 妒c e n t u r ya i l d b u i l ti nt h e1 9 廿1 c e n t u r y i n b o o k y f o 咖j j s y l v e s t e rf i r s tu s e dt h ew o r d“朋a ，船”，i n t r o d u c e ds o m ef u n d a m e n t a l c o n c 印t sr e l a t e dt om a t r i x ，o b t a j n e ds o m ep r i n c i p a lr e s u l t sa n df 抽o u st h e o r e m s ， a n dm a d ei m p o r t a n tc o m r i b u t i o n sf o r t h em a t r i xt h e o r y 3 t h ep r o c e s s0 ft h ef o l l l l d a t i o na j l dt h ef o m l a t i o no ft h em a t r i xt h e o r yi s i n s p e c t e di ng r e a td e t a i l t h em a t r i xt h e o r yw h i c ha c a y l e yj j s y l v e s t e ra n d g f r o b e n i u sf b l l n d e di se l a b o r a t e d ，a n di t si n f l u e n c ei si n t r o d u c e d m a n y m a t h e m a t i c i a l l sd i ds u c hag r e a tm a s so fw o r km a tt h em a t r i xt h e o r yc o m p l e t e da r i p es y s t e mf r o ms c r a p so fi n f o r n l a t i o n a st h eo r i g i n a t o ro ft h em a t r i xt h e o w ， a c a y l e yf i r s ts e p a r a t e dm a t r i xf r o md e t e m l i n a n to rs y s t e mo fe q u a t i o n sa i l d s t a r t e dt os t u d y a c a y l e y ，j j s y l v e s t e r 觚do t h e r sd e v e l o p e dt h em a t r i xt h e o d ， l a i daf o u n d a t i o no ft i l ei n v a r i a n tt h e o r ) r ，锄dg f f o b e n i u sd i d 柚i n d i s p e n s a b l e c o n t l j b u t i o n i i l 山东人学硕t 学位论文 4 t h el a t t e r d e v e 】o p m e n ta n da p p j j c a t i o n s o ft h em a t r i xt h e o r ya r e i n s p e c t e d a c a y l e y sm o d e mt h o u g h tt h a tl o o k e dm a c r i xu p o na sah y p e r c o m p l e x d e v e l o p e dt o t h ee a r l yd a y so ft h e2 0 咖c e n t u r yf r o mm ee n do ft h e19 i h c e n t u r y i n f i n i t em a t r i xt h e o r ya n dt h em a t r i xt h e o r yo na b s t r a c t r e g i o n i n v e s t i g a t e d f u r t h e rs i n c e 也ed e v e l o p m e n to ni n t e g r a le q u a t i o na n dm o d e m p h y s i c s u pt i l ln o w ，t h em a t r i xt h e o r yh a sm a n ym a t h e m a t i c sb r a n c h e ss u c ha s m a t r i xe q u a t i o n s ，m a t r i xf a c t o r i z 砒i o n ， g e n e r a i i z e di n v e r s em a t r i xa n ds oo n 5 t h cs p r e a do fm a t r i xt h e o r yi nc h i l l ai se l a b o r a t e d t h ec o n d i t i o no f a l g e b f ad e v e l o p m e n to ft h e1 9 “c e n t u r yi nc h i n ai sd e s c r i b e dg e n e r a l i t y ， a n dt h e c o u r s eo fs p r e a do fm a t r i xt h e o r yi nc h i n ai si n s p e c t c d t h es e e d so fm a t r i xl a yi n c h i n a ，b u tt h es c h o l a r si nc h i n e s eh i s t o r yd i d n ts t u d ya sa ni n d e p e n d e n to b j e c t a l l dr a i s ec x p e r i e n c et ot h el e v e lo f t h e o r yy e t a r e rt h e1 8 5 0 s ，t h em a t r i xt h e o r y w a ss e l e c t e di nc h i n af b l l o wt h ew e s t e mc r e a mo fm a t h e m a t i c su n d e rt h e c i r c u m s t a n c e so f t r a n s l a t i o n ，e d u c a t i o n ， s t l l d ya n d0 t h e r s k e yw o r d s ：m a t r i x ：m a t r i xt h e o f y ；m a t r i xt h o u g h t ；j j s y i v e s t e r ；a c a y l e y ； g f r o b e n i u s ；s p r e a d i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下。 独立进行研究所取得的成果。除文丰已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 耋互董 日期： 塑2 出盛 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：董亟莹导师签名：燃 日期：髦! z ：生垄 山东大学硕t 学位论文 引言 “矩阵( 胁驴西) ”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。 1 9 世纪5 0 年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由肌行h 列元素 组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先 为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后，弗罗伯纽 斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。然而，矩阵思想 的萌芽由来已久，早在公元前l 世纪中国的九章算术就已经用到类似于 矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有 建立起独立完善的矩阵理论。1 8 世纪末到1 9 世纪中叶，这种排列形式在线性 方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展 的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。2 0 世纪初，无限矩 阵理论得到进一步发展。 矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域，矩阵也是高等代 数中最重要的内容之一，矩阵的初等理论现已作为高中数学的选修内容。由 此看出，矩阵理论在科技发展以及教育教学中的重要地位。因此，研究矩阵 的历史发展及其完整的思想背景具有重要的现实意义。我们知道，数学教材 是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的 数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就 必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化 的各种因素。同样，矩阵的历史发展也并非严格按照逻辑顺序而来。本文将 通过对矩阵理论的历史研究，试图梳理出矩阵发展的原貌，揭示出其发展过 程蕴含的思想方法，借以提升教师的教学、学术研究能力，丰富师生的数学 文化素养，激发学生的学习兴趣。因此，本课题的研究具有一定的理论意义 和应用价值。 目前，对于矩阵的历史研究国内外做的还很少，有的也只是对单个数学 家如凯莱、西尔维斯特、弗罗伯纽斯等个人的研究，也有一些矩阵的历史发 展零散地出现在各种数学史著作中。比如李继闵先生、李俨先生、钱宝琮先 生等在中国古代数学史中都或多或少地涉及到矩阵的萌芽过程；李文林先生 对中国古代方程术的研究、对矩阵作为线性方程组系数的排列形式的研究； 吴文俊先生对中国传统数学的东方色彩的研究等。这些都使我们对中国古代 数学家的研究内容和成果有了全面的了解，为我们下一步整理矩阵萌芽中的 数学思想与文化提供了充足的文献。就现在收集的资料来看，专门研究矩阵 理论历史发展的著作有c c m a c d u f f e e ：7 钆砌口d 秽矽m a f ，f c p j 这本著作详细 山东人学颁 + 学位论文 阐述了矩阵的理论体系，内容丰富，为我们全面了解矩阵的历史发展提供了 充足的资料。不足之处是，它没有矩阵思想的发展背景，没有阐述矩阵理论 的发展渊源，对于重要数学家没有论述其系统的矩阵思想。美国莫里斯克莱 因( m o r r i sk l i n e ) 的古今数学思想有关于行列式与矩阵的单独章节，为 我们了解矩阵的历史发展提供了思路，但它同样具备前一著作的不足。关于 其它零散的矩阵内容及数学家的论著、论文，比如c b b o y e r ：4 厅括f d 秒 l 口，而p 聊口f f c 占：m u i r t h o m a s ：丁饨p ， 已d ，) ，d p f p ，州f 栉口栉船f ，lf 矗p 括f d ，f c 4 ，d ，c 把rq ， 如v p ，d 口m p 掰等等，为我们梳理矩阵的历史发展、了解矩阵产生的文化背景、 数学家思想的形成过程提供了研究资料。其它不再一一列举。 本文在前人研究的基础上，以数学史资料为研究实例，以矩阵理论发展 的时间进展为主线，系统梳理了矩阵的历史发展过程，分析了不同历史时期 重要人物的生平、思想与贡献，阐述了数学家及其矩阵理论对数学发展的影 响；以矩阵思想的形成过程为第二线索，探讨了整个矩阵理论发展的完整的 背景过程，揭示了其发展过程蕴含的矩阵思想。本文分五部分进行论述： 第一部分是矩阵的萌芽时期。矩阵概念的萌芽历史悠久，早在公元前1 世纪我国的九章算术就已经用到类似于矩阵的名词，但那时并没有明确 提出矩阵概念。九章算术方程术中线性联立方程组的遍乘直除算法，用算 筹将系数和常数项排列成一个长方阵，这就是矩阵最早的雏形。这罩重点讲 述矩阵由古到今的渐变过程以及我国传统数学的文化底蕴。 第二部分论述矩阵的早期发展。我国古代的方程术仅是用矩阵的排列形 式解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。1 8 世纪末到1 9 世纪中 叶，高斯和艾森斯坦等人的工作进一步孕育了矩阵思想，他们在矩阵领域取 得了许多重要成就。而矩阵一词最初是由英国数学家西尔维斯特最先使用的。 这一部分主要介绍矩阵早期发展的社会与文化背景，不同领域中孕育的矩阵 思想，以及西尔维斯特的生平、思想与对矩阵的早期发展。 第三部分阐述矩阵理论的创立。这是矩阵理论从零散的知识发展到系统 完善的体系阶段，从矩阵概念的引入、相关概念的定义、运算的定性与求法 以及重要课题的发展与结果都是这一阶段的产物。在矩阵的早期发展中，数 学家们仍没有将矩阵理论系统化，因此关于矩阵的知识是零散的，直到凯莱 在研究线性变换下的不变量时，把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，矩 阵才作为独立的理论加以研究。本部分将详细论述矩阵的理论体系以及重要 数学家的生平、思想与贡献。主要讨论凯莱的矩阵理论、西尔维斯特对矩阵 的进一步研究、弗罗伯纽斯等在矩阵论的发展史上的不可磨灭的贡献，以及 他们的理论对数学发展的影响。本部分是论文的核心部分之一。 第四部分简要介绍矩阵的后期发展及应用。矩阵理论的发展非常迅速， 2 山东人学硕上学位论文 到1 9 世纪未，矩阵理论体系已基本形成。到2 0 世纪矩阵理论得到进一步的 发展。矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在己成为独立的 一门数学分支矩阵论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个 领域。这一部分主要介绍元素属于抽象域的矩阵理论以及无限矩阵理论的发 展，并且简要介绍矩阵理论在数学与其它科学中的广泛应用。 第五部分详细探讨矩阵理论在中国的传播。矩阵在中国古代的萌芽为中 国数学写下了光辉的一页，矩阵这种阵列形式以中国传统数学为载体传遍世 界各地。欧洲随1 5 世纪的文艺复兴，到1 9 世纪前半叶，伴随不可交换代数 的出现，打开了近代代数的大门，使矩阵理论在欧洲的创立成为必然。1 9 世 纪5 0 年代以后，随着西学东渐，西方数学比较系统地传入中国，中国在保留 了传统数学的同时吸收了西方数学之精华，从而使矩阵这一数学概念在历经 翻译、教学、研究多方结合的情况下，伴随着其它数学知识一起传入中国， 给中国传统数学注入了新的活力，推动了中国数学的传播与发展。这一部分 考证了矩阵名词的翻译过程以及从教学、研究两个方面阐述了数学家们在矩 阵理论的传播中所做的贡献。 大量的文献与著作为本文探讨矩阵的历史发展提供了前提。矩阵理论的 历史内容丰富，本文只是做了初步的探讨，由于研究文献与资料不够全面， 限于水平，文中一定会有不足之处，恳请各位专家批评指正。 山东人学硕 ：学位论义 第一章矩阵的萌芽时期 矩阵概念产生于1 9 世纪5 0 年代1 ，是为了解线性方程组的需要而产生的。 然而，矩阵概念的萌芽历史悠久，早在公元前l 世纪中国的九章算术就 已经用到类似于矩阵的名词。九章算术方程术中线性联立方程组的遍乘直 除算法，用算筹将系数和常数项排列成一个长方阵2 ，这就是矩阵最早的雏形。 因此，矩阵的萌芽寓于中国古代解方程组的方法中。由于那时没有明确提出 矩阵概念，因而没有将它作为一个独立的概念加以研究。矩阵在中国古代的 萌芽，孕育了丰富的数学思想与方法，推动了中国社会政治和经济的发展， 奠定了中国传统数学在世界数学发展史上的地位。 矩阵在中国古代的萌芽过程 1 1 算筹的排列即为矩阵最早的雏形 矩阵作为线性方程组系数的排列形式源于九章算术。九章算术包 括了算术、代数、几何大多数初等数学知识，全书共2 4 6 题，分属九章。其 中第八章方程章共计1 8 个题，二元的8 题，三元的6 题，四元、五元的各2 题。方程章“方程术”属于代数方面，涉及方程的矩阵表示和直除法消元。 每一题都是借助于算筹进行遍乘直除。所谓遍乘就是用常数乘某一行中各数， 所谓直除就是要消去乙行某未知数系数，使用甲行同一未知数的系数乘乙行 所有的数，然后用甲行一次次对减乙行，直至乙行该系数为零。下面以九 章算术方程章第一题为例。 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉， 下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问 上、中下禾实一秉各几何? 答日：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四 斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三术日：置上禾三秉，中禾二秉， 下禾一秉，实三十九斗，于右方中，左行列如左方3 以右行上禾偏乘( 即遍乘) 中行，而以直除( 这里“除”是减，“直除” 即连续相减) 又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者，遍乘左行，而以 直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘 中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以 法乘右行下实，而除下禾、中禾之实余如上禾秉数而一，即上禾之实。实 皆如法，各得一斗。 九章算术方程章中所谓“方程”与现在方程的含义并不相同。刘徽为 s y l v e s t e l j a m c sj o 辩p h 砌e c o 舶m d 如f k 舢l 妇，脚州v o i 1 ) 【m 1 c 枷b r i d g cu n j v c r s 时 p 陀s s 1 9 0 4 1 4 5 2 钱宝琮中国数学史【m 1 北京：科学出版社，1 9 “5 2 李文林数学史概论【m 】| t 京：高等教育出版杜，2 0 0 2 7 3 4 山东人学硬 学位论文 i3 x + 2 j ，+ z = 3 9( 1 ) 2 x + 3 y + z = 3 4( 2 ) 【x + 2 y + 3 2 = 2 6 ( 3 ) 李继阂九章算术 导读与译注i m l 西安：陕西科学技术出版社，1 9 9 8 2 7 4 山东大学预仁学位论文 b cd 然后移动算筹，逐步进行筹算( 如图卜1 ) 。按方程术文，用算筹演算程序 如下： 用图卜l ( a ) 右行上禾( x ) 的系数3 “遍乘”中行各数，然后从所得结果按 行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就得到图卜1 ( b 、c ) 。以图 卜l ( c ) 右行上禾( x ) 的系数3 “遍乘”左行各数，然后从所得结果按行分别“直 除”右行，就得到图卜l ( d 、e ) 。以图卜1 ( e ) 中行中禾( j ，) 的系数5 遍乘左行 各数，从所得结果直除中行，又 ：导到图卜1 ( f 、g ) 。最后，按方程术文计算 步骤如下： 下禾一秉之实= 罢= 2 ； 中禾之实：型羔孥二丝：1 5 3 ： 上禾之实= 翌兰堑二霎l 二三型翌：3 3 3 ； 中禾一秉之实= 等= 4 丢： 上禾一秉之实= 等= 9 按方程术的“遍乘”、“直除”的程序演算到底，“用算繁而不省，所以别 为法，约也一。l 6 郭书春古代世界教学豢斗刘徽【m 】济南：山东科学技术出版社，1 9 9 2 山东人孝硕 学位论文 按刘徽注：“列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位去矣。各 以其余位之秉除其下实，即斗数矣”。按此注，遍乘直除的过程如图卜2 ： 困卜2 以图卜1 ( g ) 左行约分，得图卜2 ( h ) ，以图卜2 ( h ) 左行下禾( z ) 的系数4 遍乘两行，得图卜2 ( i ) ，以直除，得图卜2 ( j ) ，重复“遍乘直除”“遍约” 程序，最后得到图卜2 ( k 、1 ) 。 将筹算数码换作阿拉伯数码即得遍乘直除的变换如下： l2 23 3l 2 63 4 45 8l 3 92 4 2 0 44 l l9 6 2 9 33 2 61 0 2 2 05 4 0l 1 9 52 4 1 2 2 08 4 l l 8 51 4 5 2 l 3 9 3 2 l 3 9 4 4 l l 1 71 4 5 4 l l1 73 7 3 65 9l 7 82 4 s 4l l l2 4 如果将方程组系数的方阵横着写，就是现行教材中线性方程组系数的增 广矩阵，筹算过程就是现行矩阵的行初等变换。然而由于当时筹算过程的程 式化与机械化，需要多次反复的演算，使得筹算过程相当繁琐，并且又由于 受到直除是以少行减多行的限制，常常使变换无法施行。但正是基于这种程 序化的演算，才出现了小数“直除”大数的情形，从而促进了负数的产生和 正负数加减法法则的形成，随之变换过程得以施行且越来越简捷。随着数系 7 3 2 3 2 ” 4 一 一 4 、，、， 3 2剪，3 2 ，扣 ， 5 m 5 m 1 ，2 ，拍 弘孵 位0 3 2 。 3 2 ” 心8 4 既 山东大学硕 学位论文 ；i ! 蓁 一eii 蓁 一 | 三三虽 一巴i 三蓁 一 r l 23 2 6 、 io l51 8i 一 【o o4 l l j l07一1 0 ol51 8 ool 旦 4 lo 0 olo 0 oi 3 7 _ 一 4 1 7 _ 一 4 1 1 j 一 4 1 3 算筹的演算为矩阵的变换奠定了理论基础 现今矩阵变换中的一些性质，诸如，对方程组的增广矩阵进行初等变换 不改变方程组的解，对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩等，在方程术及刘 徽注中都有其理论依据。 前面的方程组按方程术演算如下： 用( 1 ) 式x 系数3 遍乘( 2 ) 式，得缸+ 9 y + 3 z = 1 0 2( 4 ) 从( 4 ) 式“直除”( 1 ) 式，也就是( 4 ) 一( 1 ) 2 ，得5 j ，+ z = 2 4( 5 ) 同样用( i ) 式x 系数3 遍乘( 3 ) 式，得3 x + 6 y + 9 2 = 7 8 ( 6 ) 从( 6 ) 式“直除”( 1 ) 式，也就是( 6 ) 一( i ) ，得4 y + 8 z = 3 9( 7 ) 同样用( 5 ) 式y 系数5 遍乘( 7 ) 式，得2 0 y + 4 0 z = 1 9 5( 8 ) 从( 8 ) 式“直除”( 5 ) 式；也就是( 8 ) 一( 5 ) 4 ，得3 6 z = 9 9( 9 ) 用9 约( 9 ) 式两端，得4 z = 1 1 ( 1 0 ) 求工和j ，还是用“遍乘直除”的方法。用( 1 0 ) 式z 的系数4 遍乘( 5 ) 式，得 2 0 j ，+ 4 z = 9 6 ，直除( 1 0 ) 式。得2 0 j ，= 8 5 ，用5 约两端，得4 j ，= 1 7( 1 1 ) 用( 1 0 ) 式z 的系数4 遍乘( 1 ) 式，得1 2 x + 砂+ 4 ：= l s 6 ，直除( 1 0 ) 式，得 1 2 x + 8 j ，= 1 4 5 再直除( 1 1 ) 式，得1 2 x = l l l ，用3 约两端，得4 x = 3 7 ( 1 2 ) il l 最后由( 1 0 ) 、( 1 1 ) 、( 1 2 ) 式计算得x = 9 ，y = 4 ，z = ； | 现行教材中的高斯消去法就是这里“遍乘直除”的解法。用高斯消去法 解线性方程组，需要进行三种初等变换：互换两个方程的位置；用一个非零 数乘某一方程：把一个方程的倍数加到另一个方程上方程组的算筹解法始 终保持右、中、左三行，是为了运筹演算比较便利遍乘直除的变换也就是 后两种变换。古代对。方程”用方程术演算相当于筹算，现在对线性方程组 施行初等变换相当于对其增广矩阵进行初等变换，进一步说明算筹是矩阵雏 山东大学硕十学位论文 形。关于遍乘直除变换的理论根据，刘徽给出解释：遍乘就是“齐”，即同组 各率扩大或缩小相同倍数，“其义然矣”。“举率以相减，不害余数之课也”。 是说，直除是对应的率相减，故由余数组成的新行代替旧行不会改变方程的 解，从而保证了方程解的存在性。高斯消去法解线性方程组的理论根据，即 线性方程组施行初等变换不改变方程组的解与刘徽注是一致的。 刘徽的“方程”注释，除了为方程定义外还有对方程解的唯一性的定论。 “行之左右无所同存，且为有所据而言耳”。是说“方程”中不能有两行相同 或成比例，每行中的数据都有实际依据。这就保证了“方程”有唯一解，从 而数据与实际问题相符。若“方程”中有两行相同或成比例，那么系数矩阵 的秩就小于增广矩阵的秩，不可能出现唯一解。这和现行教材中线性方程组 解的理论是一致的。由此说明，我国古代数学家注重“经世致用”的思维方 式，以及富含把实践作为理论出发点和归宿的务实理念。也证明，我国古代 数学在算法方面已经达到了一个很高的水平。 j | 2 矩阵萌芽过程中的数学思想 九章算术矩阵的萌芽过程，从具体的实际问题到抽象的数目语言与 符号语言，由数数算法到筹算，从复杂的筹算到加减乘除的法则的出现，直 到用矩阵形式解线性方程组，经过了漫长的年代，凝结了丰富的数学思想与 方法。 2 1 算法的思想 “方程术”充分体现以算为主，寓理于算的中国古代数学体系的特征。算 筹是中国直到宋元时期的主要计算工具，具有简单、形象、具体等优点，但 也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点。 算筹数字有纵横两式1 ( 如图) ，在十进位值制表示数时，个、百、万用 纵式，十、千、十万用横式。用算筹计算，便是筹算。中国古代数学家 祖冲之父子就是借助筹算，计算圆周率精确到小数点后第六位，得到 3 1 4 1 5 9 2 6 嘲 3 1 4 1 5 9 2 7 。成为当时世界上最精确的冗值，比法国数学家韦达 的相同成就早了l 1 0 0 多年。 纵式i _ l 一 t tt 掇式i上l奎 l 23 456789 昊史俊，搴迪中国数学史大系【m 】北京：北京师范大学出版社，l 卵8 3 7 6 9 山东大学硕士学位论文 中国古代数学就是在筹算的基础上取得了辉煌的成就，筹算直到十五世 纪元朝末年才逐渐为珠算所取代。珠算，它继承了筹算五升十进与位值制的 优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点。宋元时期，农业、手工业、 商业相当繁荣，科学技术的发展特别是造纸与印刷术的发达，加速了数学知 识的流传。筹算的发展达到高潮，为珠算盘的产生准备了条件。但由于当时 乘除算法仍然不能在一个横列中进行，算珠没有穿档，携带不方便，因此没 有普遍应用。后来乘除算法以及方程解法等方面的成就，加上唐代的算法改 革使乘除法可以在一个横列中进行运算，珠算的优越性才发挥出来。中国宋 元数学随着计算技术的改革达到鼎盛与繁荣，从明代开始除珠算外，数学发 展逐渐衰落。元朝末年珠算即是穿珠算盘，即已形成一套完善的算法和口诀。 由于珠算具有“随手拨珠便成答数”的优点，至今在各行各业的财务管理等 方面还广泛使用。 2 2 符号化思想 矩阵的演变伴随着漫长的符号化进程，符号化也是使问题代数化的重要 一步。矩阵作为一种数学符号虽然“没有深刻她影响数学的进程，然而已经 证明这两个概念是高度有用的工具”，1 并且“优良的数学符号和生动的概念 是数学思想产生的动力和钥匙”。2 一方面，算筹作为矩阵的雏形是词语到符 号的进化。算筹利用筹码不同的位来表示不同的值( 十进位值制) ，利用筹在 算板上的各种相对位置，将实际应用问题抽象出数再排列成特定的数学模式 这种演算对象由“词”到“数”再到“式”的过程，就是词语到符号的过程， 因而筹式本身就带有代数符号的性质。另一方面，筹算这种特定的数学模式， 决不限于简单的数值计算，而且借助筹的使用。发展了一套内容十分丰富的 “筹式”演算。因而，“方程术”所解线性方程组，所描述的实际问题转化为 代数中的线性问题，即是计算中的符号化问题。矩阵的产生，从算术的数的 运算过渡到代数的符号运算，这对数学是一场革命性的变化。 数学符号的产生，为数学科学的发展提供了有利的条件。符号代数学的 划时代著作是韦达( e t 6 ，f 啪c o i s ，1 5 4 0 一1 6 0 3 ) 在1 5 9 1 年出版的分析方法 入门( 如爿r 据小4 门口眵f f c p 小厶口g 口g f ，1 5 9 1 ) 。分析方法入门第一个系统地对 未知量进行运算。使代数成为研究一般的类和方程的学问等。韦达的革新被 认为是数学史上的重要进步，为代数学的发展开辟了道路，因此他被西方称 为“代数学之父”约1 2 世纪，欧洲人通过阿拉伯人学习了中国的造纸术， 1 5 世纪中叶。发明了活字印刷术，加速了知识的传播。此后，各种数学书籍 。m 克藁闪古今数学思想【m 】i ：海：i ：海科学技术h 版杜2 0 0 2 1 9 7 2 1 青建数学史简编【m b 京：科学i l i 版社，2 0 0 4 1 1 1 1 0 山东人学硕i ：学位论文 相继印刷出版，对数学知识的普及和数学符号的改革均有重要意义。例如德 国维德曼( j w i d m a n n ，1 4 6 0 _ 一约1 4 9 9 ) 在1 4 8 9 年的书中首次出现印刷形式的加 减符号“+ ”、“一”，波兰一奥地利数学家鲁多尔夫( c r u d o l 仃，约1 5 0 0 一约1 5 4 5 ) 在1 5 2 5 年引入了表示方程根的符号“”，德国施蒂费尔( m s t i f e l 约1 4 8 7 一1 5 6 7 ) 于1 5 4 4 年用字母表示未知数，法国笛卡尔( r d e s c a n e s ，1 5 9 6 一1 6 5 0 ) 改进了韦达的符号系统：用口、6 、c 等表示已知量，用x 、y 、z 等表示未知 量。这些符号的革新与普及使代数符号有了较大发展并沿用至今。 中国数学史上首次引入符号是用天元( 相当于x ) 作为未知数符号，列出 高次方程，并用符号运算来解决建立高次方程的问题，这种解决问题的方法 古代称为天元术。现存最早的天元术著作是李冶的测圆海镜。从天元术 推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的 创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的四元玉鉴。 朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，是线性方程组解法的重大发展，比西 方同类方法早4 0 0 多年。 2 3 程序化思想 算筹的摆列作为最早的矩阵雏形，筹算的遍乘直除相当于矩阵的初等变 换。那么，矩阵的初等变换与筹算一样在算法上都具有一定的模式或程序， 有人将算筹比作电子计算机的“硬件”，筹算算术比作电子计算机的程序设计， 相当于“软件”。中国古代筹算中的“术”，都是在成套的程序语言控制下的 程序化算法。这种程序化算法随不同的问题采取不同的“术”，构造不同的筹 式，从而设计不同的“程序语苦”。筹式演算时，随着实际问题的不同而取不 同的值，利用筹码不同的位表示不同的值。这种算法形式最终以解决具体问 题为构造模式。由于演算过程重在反复操作运演，并且一边计算，一边不断 地重新布棍，一边念口诀，从而决定了这种算法模式解决问题的程序化，同 时多种感官的协调运用也体现了中国古代算法注重应用强化效率的特征。 中国古代数学对方程算法的程序化研究，正如科学发展和技术进步的一 面镜子，折射出科学文明的源远流长。九章算术的数学思想方法是针对不 同的问题，编写一段相应的程序，然后按照程序的编排，通过一步步的筹算 来求得结论。刘徽的方程思想实质是程序化思想，具体的算法思想是“消元”， 其基本程序是逐行减少未知数的个数，以至使方程组化归为一元方程，逐步 解出未知数。这恰恰是现今计算机的程序算法。古老的数学靠纸和笔手工运 算，现在计算机成了新的工具，由人工到机器是一项巨大的技术进步。中国 著名数学家吴文俊教授曾指出：“由于现代计算机的出现，其所需的方式方法， 山东大学硕士学位论文 正与九章传统的算法体系相符合。九章所蕴涵的思想影响，必将r 益 显著，在2 l 世纪中必将凌驾于原本之上。”1 3 矩阵萌芽过程中的数学文化 3 1 矩阵萌芽的历史背景以及社会历史作用 中国传统数学从形成和发展的过程看，对推动中国社会政治、经济的发 展起着基础性的不可替代的作用。九章算术是中国传统数学中最重要的著 作，集中地体现了中国古代数学体系的特征：以筹算为基础，以算法为主， 寓理于算，广泛应用。这些特点是同当时社会的发展情况与学术思想密切相 关的。九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总 结，秦汉时期，切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社 会生产服务，强调数学的应用性，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数 学问题及其解法。宋元时期，农业、手工业、商业相当繁荣，科学技术的发 展特别是造纸与印刷术的发达，加速了数学知识的流传，使得筹算的发展达 到高潮。宋太祖赵匡胤统一中国后，大力倡导“天子重英豪，文章教尔曹； 万般皆下品，唯有读书高。”强化文化在精神统治、思想规范、行为引导等方 面的教化力度。筹算的发展，矩阵的萌芽，使得传统数学具有很强的理论性 和概括性，而且具有很强的思想性和规范性，从而形成了宋朝文化的空i ；i 繁 荣，夯实了宋王朝统治的政治根基。 3 2 矩阵萌芽过程中的数学文化 数学是一种文化，中国传统数学是一种传统文化。一定的文化是一定社 会政治和经济的反映，而数学在其发展的各个时期都与人类的实际生活及社 会活动密切相关。从九章算术可以看得出，中国数学文化起源于人的实 际需要，比如丈量土地、测量容积等。它以社会生活与生产实际为研究对象， 以解决实际问题为目标，围绕建立算法与提高计算技术而展开，强调由具体 算术运算过渡到抽象符号运算，在分析归纳的基础上得出程序化算法。这种 算法化、符号化、程序化的数学文化传统使矩