（基础数学专业论文）非线性二阶微分方程边值问题正解的存在性及结构.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。掘我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 阿家计 i 导师签字 学位论文版权使用授权书 乏纷 本学位论文作者完全了解堂蕉有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 墼可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 田辱计 导师签字 签字日期：2 。缶k 月p 日 签字日期：2 。肉犷h 够 年 乏o 山东师范大学硕士学位论文 非线性二阶微分方程边值问题多个正解的存在性及结构 田家财 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 非线性泛函分析是近几十年来才发展起来的一门新的学科，是人们在研究医学、 生物学、古典和现代物理学、经济学等过程中发展起来的非线性问题是现代科学 基础知识之一，非线性泛函分析为研究非线性问题提供了理论工具非线性泛函分 析的基本方法有拓扑方法，变分法，解析方法，半序方法和单调方法等郭大钧教 授在文中对非线性泛函分析的几个重要课题及其应用，诸如某些典型的非线性算 予，h a m m e r s t e i n 积分方程，常，偏微分方程，迁移方程，锥理论及非线性算子方程 的正解，非线性算子拓扑度和不动点定理及固有值，解的个数与分支，都做了系统的 概括和总结 抽象空间常微分方程理论是近二、三十年发展起来的一个新的数学分支，它把微 分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析的方法来研究抽象空间的微分 方程在运用这些方法来解决实空间中的微分方程时，经常是将微分方程化为积分 方程，并从积分方程中抽象出算予，然后通过讨沦算子的全连续性，求出算子的不动 点，从而得到原方程的解 奇异问题最早是在研究大气对流、天体演变及一些流动力学问题中提出来的，经 过转化变成了对边值问题 ， u u 嘲( t ) + t - u a u 一。卜o ) 的研究，后来，研究重点开始围绕微分方程 僻妊l u i 卜。 t ( 0 ，1 ) ： a t o , 0 t ( 0 ，1 ) 所谓奇性是指函数f 在某些点的无界性 本文第一章考虑b a n a c h 空间中一类比较广泛的二阶脉冲奇异边值问题正解的存 在性及多解的存在性该问题源于刘衍胜教授在文【4 】中讨论的奇异边值问题，本章 将 4 中的函数，( t ，z ) 变化为，( t ，z ，z t ) ，基本空间由p g z e 】变化为尸e 1 z e 】，利用锥 山东师范大学硕士学位论文 上的不动点定理得到了解的存在性 第二章本文利用不动点指数理论讨论了二阶非线性常微分方程组耦合系统的奇 异边值问题多个正解的存在性，得到了两个正解的结果该问题起源于a g a r w a i 和o ，r e g a n 在文【2 6 l 和 2 7 1 中考虑的微分系统，他们利用l e r a p s c h a u d e r 理论研究了非线性常微分 方程组耦合系统解的存在性，本章在其基础上讨论了某些特定条件下奇异边值问题 多个正解的存在性 第三章讨论了一类奇异边值问题正解的确切个数以及解的性质，该问题起源于 l 刍a g a r w a l 和o r e g a n 1 2 中提出的一个问题，a g a r w a l 和o r e g a n 1 2 中证明了对于充 分小的d 0 ，方程 j g ”( ) + d 妇一“( ) + 4 ( t ) + 1 ) = 0 ，t ( o ，1 ) 【( o ) = ( 1 ) = 0 ， 有一个非负解，其中oso 0 ， j y ”0 ) + d ( y 一。( t ) + y f l ( t ) + 1 ) = o l ( o ) = 可( 1 ) = 0 ， t ( 0 ，1 ) ， w h e r e0 口 1 0 i sap a r a m e t e r t h i sc h a p t e re d u c et h ee x a c t n u t u b e ra n dp r o p e r t y 。fs o l u t i o nb a s e do np a p e r 1 2 k e yw o r d s ：n o n c o m p a c t n e s sm e a 8 u r e ；i n i t i a lv a l u ed r 。b l e m ： b o u n d a r yv a l u e ；p o s i t i v e8 。l u t i 。n ：c 。n e c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 8 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章b a n a c h 空间中非线- i $ - - 阶奇异脉冲微分方程混合 边值问题多个正解的存在- | 生 1 1引言及预备知识 脉冲微分方程理论及抽象空间微分方程理论都是微分方程的重要分支，它们在生 物学、医学、经济学及航天领域都有广泛的应用，近年来获得迅速发展对两者的结 合，郭大钧教授在文 3 中进行了深入的研究但对抽象空间中奇异边值问题的研究， 尤其是带奇异的具脉冲作用的边值问题正解的个数及存在性，研究的人不多，刘衍胜 教授在文f 4 中做过一些探讨，本章在其基础上讨论下面一类比较广泛的二阶脉冲奇 异边值问题正解的存在性及多解的存在性，并给出例子髓明我们的条件是合理的 设( e ，| | 1 ) 是实b a n a c h 空间，令，= 0 ，1 ，0 t l t 2 t 。 1 ，p c i j , e = z ：o 是j 到e 的映射，x ( t ) 在t t 处左连续且右极限存在，k = 1 ，2 ，m ，容易 看 , j j p c i j , e 】在范数| | zi l = s u pf lx ( t ) | | 下成为一个b a n a c h 空间p c i e 】= z ：z 是jn e 的映射，z ( t ) 在t t 处连续可微，在t = t 处左连续，且。寸，g ：一，z _ 都存 在，= 1 ，2 ，m ) ，并记。( 扎) = 茁( 坛) ，( “) = 。也i ) 显然p c i 【z e 在范数| 12 c1 1 p c - = m a x ( x f p c ，i fz | j p c 下成为一个b a n a c h 空间 设p 为e 中的一个正规体锥，不妨设正规常数是1 ，引入e 中一个偏序关系，。9 当且仅当一。p ，同样可由尸引入尸c 1 m 司中的一个偏序关系，。，y p c i 【z p l ，x y 当且仅当v t 正x ( t ) s ( t ) 本文考虑二阶脉冲奇异两点边值问题： i 一茁”= f ( t ，o ，) ，0 t 1 为一常数 为了证明该定理，我们先给出下面几个引理 引理1 2 1 。为系统( 1 i 1 ) 的非负解当且仅当z 为下面带脉冲的积分算子 ( a 。) ( t ) ：( 1 s ) 巾，。( s ) ，z 如) ) d s + 陬( 。“) + ( t - “) l ( z ( 删一圣了k ( z ( t ) ) ” o k ! 。 8 ( 1 2 1 ) 在p g l p 中的不动点 8 m 喘脚 舭 舭 z 山东师范大学硕士学位论文 其中 a ( t ，s ) = m i n t ，s ) ，0 兰t ，ss1 证明由f 1 中引理4 3 1 0 易得 从( 1 2 2 ) 可以看出， 龇轳f ： o t 8 1 ， f 1 2 3 1 0 s t 0 ，算子a ：b 凡i 1p c i 【以p 】斗 p c i 【z p 】连续有界 证明：眭j ( h 4 ) 知 ，瓦将有界集映成有界集，再由( 皿) 知对地b r ，v t ( 0 ，1 ) ， i l ( a z ) ( t ) | | = | | g ( t ：s ) ，( s ，。( s ) ，。( s ) ) d s + 【厶( 茹“) + o t k ) i k ( x ( t k ) ) 一t 冗( z ( 靠) ) | | = v ( t ，s ) f o ，z ( s ) ，一( s ) ) d s + ( z “) 一t k 瓦( z ) 。 o t k s o t k 9 一t 瓦( 。“) l i “兰1 |j，(s，茁(s)，x(s)dsii+|厶“)li+il“瓦(。)jo o 五_ ( to 三五- + t z k ( z “) | | t t k 1 m 尉8 ) 如+ 副删圳i + i i z t ( 酬) 1 1 ) 其中n z = s u p i | 妒( z ，z 7 ) | | ：z ，z 7 尸，l 石| | r ，l iz | | r ) ( a 批) 1 1 i i f o ia ( t 刚m ) ，z 如) ) 扣。曩，附“) ) m f l g ( 。) 如+ 量i i i i 了。( z ( “) ) i l m 上g ( 3 ) 如+ 至几( 酬) i l t j ( 4 z n ) ( 。7 ) 一( a ) ( ) i t _ 1 1 o 一) ，( s ，。( s ) ，z 和) ) 如一，( f 一t ) f ( s ，z ( s ) ，z 如) ) 0 f s + ( t 7 一t ) a ( x ( t 4 ) 一( t 7 一t ) 7 k ( z ( 靠) ) | j r 7 0 0 设bcp c i f z p n b r ，由引理1 2 2 的证明可知( a ( b ) ) cp c i 正p 是有界的，( b ) ) 7 在每一个以，( k = 1 ，2 ，m ) 上是等度连续的，所以 凸! p 。，( a ( b ) ) = m a x s u p a ( ( 以( b ) ) o ) ) ，s u p 8 ( ( 4 ( b ) ) 7 ( t ) ) ) t e jt e j 令d = 詹g o ，s ) f ( s ，。( s ) ，z 7 ( s ) ) d s ：。b ) 0 d a = ，g ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) ，z ( s ) ) d s ：z b ) ，其中o 5 m i n t 1 ，1 2 ，1 m ( h 1 ) ，对比b ，有 1 0 ( 1 2 4 ) k ) 山东师范大学硕士学位论文 i i 上g ( 。，s ) m ，z ( s ) ，。( s ) ) d s 一上o ( t ，s ) m ，z ( s ) ，z 协) ) 如i i 曼m o ( t ，5 ) 9 ( s ) d s + mf ，g ( ，s ) g ( s ) d s j 0 j 1 一d ! m 1 0f ( s ) 如+ m 上一j 9 ( s ) 如， ( 1 2 5 ) 其中 彳= s z 巾 妒( z ，z ) ；z ，。p l i x l 玉r ，l i x 川sr ) 从而d 与d d 的h a u s d o r f 距离d h ( d d ，d ) - - ) o ( 5 - o + ) ，故有 瑚l i m + ( 玩) = ( d ) ( 1 2 - 6 ) 下面估计血( d d ) ： 。】， 因为z 1 6g ( t ，s ) ，( s 。( s ) ，z ( 5 ) ) d 5 ( 1 2 d ) 西5 ( ( ；( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) ) ：s d ，l 一 所以 o ( d 6 ) 玉( 1 2 d ) ( 面( g ( t ，s ) f ( s ，。( s ) ，z ( s ) ) ：8 5 ，1 一卅，。b ) ) ) s 。( 丽( g ( t ，s ) f ( 8 ，z ( s ) ，z ( s ) ) ：8 d ，1 一d 】，。b ) ) ) so ( ，( ( 如) b ( 如) b ( 西) ) ) ) 其中如= 5 ，1 一 再由( 上b ) ，( 上如) 及o ( b ( 如) ) s2 a p g - ( b ) ，o ( b ( 西) ) s2 a p g - ) 得 ( j ) a 1 n ( b ( 以) ) + a 2 ( b ( 而) ) 2 a l o e p c i ( 口) + 2 a 2 p g ( b ) 令j 0 + ，m ( 1 2 6 ) 得 又由于 ( d ) ( 2 a l + 2 a 2 ) o p g t ( b ) ( 1 2 7 ) o ( i k ( z , 。) + 0 一如) 瓦( z ( 如) ) 】一t 瓦( 口( 轧) ) ) o t k ! = 1 m = “( 厶( 。“) 一t j k ( z ( t k ) ) 一t 瓦( 口( 靠) ) ) o t j a ! o t k 靠， d ， d ，畋 d k 及 满足 并且当z b ，n p 时 o 7 1 m a x 6 ，2 f l 钆o t l ( 1 2 8 ) x 知+ 耋。， ，l 讯 d ，g ( t ) d t + 3 d ： 1 j u k = l i 妒( z ，z ) 0 c l i x l l p c t ，i l 厶( z ) f f z l l - p c ，i i 瓦( 茁) f f 【。i l p g - 当l l z i p c - r 2 且z p 时 i i 妒( 茁，。引lsd l l x l l p c - ，i i i k ( 。) l l d ：l l x l i p o - ， | 瓦( z ) l l d t l l x l i p c 从而我们有忱尸满足 l i 妒扛，z 7 ) 1 1 d i i z t l p c - + m ，i 【氏扛) l 畋i i z i i ，口+ m ， 【了k ) i i d ：l i x l i p c t + 们 ( 1 2 9 ) ( 1 , 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) 其中m = m a x m o ，m 1 ，m m l ，m o = s 印删妒( z ，川l ，z b r 2 n p ) ， 呱= m ( s 印慨( z ) 唧慨( $ ) l ：。耳。n p ) ( k = 1 ，2 ，m ) 令r 3 = r 2 + ( 1 一b ) g ，这里g = m ( f g ( v ) d r + 3 m ) ，b = f l g ( t ) d t + 3 d ：令 巩= z p c i z p l ：i l z | | p c - r l ， = z p c i z p ： z f j p c r 3 ) ， u 3 = 茁p c i m p 】：l i x t l p 口 1 依赖于z t 2 山东师范大学硕士学位论文 显然仉，巩，为p c i z p 】中的非空有界凸开集( ( 1 2 8 ) 蕴含着2 u o 骗，故u 3 o ) 且利用( 1 2 8 ) 击1 1 u tcu 2 ，u 3cu 2 ，仉n u 3 = 0 由引理1 2 3 知a 为映瓦到p g l ( p 的严格集压缩算子，对z 瓦m ( 1 2 1 2 ) ， ( 1 2 1 3 ) 知 ( a z ) ( t ) l lsi i tc ( t ，s ) f ( s ，z ( s ) ，茁( s ) ) d s l l + | | 厶( z “) + o 一“) 瓦 ( 靠) ) ” 0 ( t t , t m t 瓦( z ( “) ) | | g 叭删z 如) ) d s | | + | 。乏。 地) - t j m ( 酬) 一t 瓦( 。( “) ) i t “1 冬o9 ( s ) 搬( a l l 批i + m ) + 善( 3 孙+ 3 m ) s ( z 1 ) d s x d+薹3哟忙ii删+m(z19()ds+3mg(s)ds d g ( s ) d s ) s ( 3 d 圳z 删+ m ( ju k 一1 j u b i i x l l p c l + g bra+gn ( a 珊) 1 1 墨吆g m ) 舯( 彬( s ) ) 如。篆，砌训 s 上9 ( s ) d s ( d l l z + m ) + k = l ( 划z + m ) 茎( 上9 ( s ) 融4 + 蚤驯批l + m ( 上9 ( s ) d s + m ) 茎b l i x i i p c + g b r ，+ g 1 为常数证毕 注1 ：若( h 1 ) ，( 凰) ( i ) ，( 风) 及( 甄) 成立，则系统( 1 1 1 ) 至少存在一个正解 注2 ：若( 1 t 1 ) ，( 日。) ( i i ) ，( 凰) 及( h 4 ) 成立，则系统( 1 _ 1 1 ) 至少存在一个正解 1 4 一 0、j z ， 4 ，【 些查堕垫奎堂堡主堂堡堡茎 1 3 应用 例1 3 1 考虑有限维奇异脉冲微分系统的初值问题 1 ：= 尚( c o s 2 z ：+ s i n 2 x 。+ l + 2 ( 1 锄) 州2 确) + 丁x n + 1 ) ， 麓融翁l 。t 雾 。：= z n 十1 + s i 礼2 茁n + 1 ， ( ：= ；) ， 这里。m + n = g 。，= 1 ，2 ，m ) ，显然z 。三0 ( n = 1 ，2 ，m ) 为( 1 3 1 ) 的平凡解 结啦奇异脉冲微分初值问题( 1 3 1 ) 至少有两个正解，x 1 。( f ) 和 z 2 。( z ) ) ，：1 ，2 ，一，m ) 满足t f ；，1 时而” 1 证明：令j = o ，1 ，e = 舻= z = 扛l ，。2 ，z 。) ：z 。r ，礼：1 ，2 ，m 并赋以范数忪f 2 。m 。a 。x 。i x n ，尸= f ( z z ，z 。) ：o ，佗= 1 ，2 ，7 n 为刀中的 - - + 锥 1 9 e 的体锥，则在e 中考虑问题( 1 3 1 ) ，将其形成系统( 1 1 i ) 的形式，相当 于，( t ，z ，z ) = ( f l ，2 ：一，厶) ，厶( t ，茁，z ) = 了善兰( c o s 2 x ：+ s i n 2 茁卅l + 2 ( i + 2 t ) t k 2 + z ：) 十号旦) ( 佗= 1 ，2 ，m ) ，它在f = 1 附近有奇性，只有一个脉冲点1 ：i 1 ，( z ) ： ( ，( z ) ，一，k ( z ) ) ，k ( 。) = 。“+ 抚( 1 + z l 。) ，了o ) = ( 了- 扛) ，一，l ( z ) ) ，l ( z ) = ；z 。+ 。+ s i n 2 。n + l ( n = 1 ，2 ，m ) 。 o 下面验证它满足定理1 2 1 的所有条件，取 卵) 2 箍，咖) = ( 洲巩，( 圳 妒n 。) = c d s 2 z ：+ s 概2 + i + 2 ( 1 + 2 句z 佗( 2 + ) + ：g n ；+ 一l ，( 仃= 1 ，2 ，一，价) 显然有l i ，( t ，z ，z 引 s9 ( 圳( 妒( 。，。m i | ，t ( o ，1 ) ，zee ，即( 甄) 满足，又因 磊l i m 糯裂= 磊l i m 鹄掣= ； 磊l i m 揪= 磊l i r a = ； 磊黜= 孟l i 州r aiii ( x ) i j t = ； 1 5 山东师范大学硕士学位论文 而 z 1 箍拈； 。 知( 日5 ) 成立 由定理l 2 1 即得结论成立 山东师范大学硕士学位论文 第二章二阶非线性常微分方程组耦合系统 的奇异边值问题正解的存在性 2 1引言及预备知识 二阶常微分方程奇异边值问题近年来得到了很大发展( 见1 1 ，| _ 7 1 ，f 8 及其后的参考 文献) 很自然地j 我们希望获得关于二阶常微分方程耦台系统的奇异边值问题的一些 比较好的结果2 0 0 2 年：安玉坤在文 6 利用临界点理论得到了解的存在性2 0 0 4 年，安 世全和安玉坤在文【5 中考虑常微分方程耦合系统的奇异边值问题，利用s c h a u d e r 不 动点定理得到了一个解的存在性a g a r w a l 和o r e g a n 在文 2 6 1 和2 7 1 中也考虑微分系 统，他们在2 7 1 中利用l e r a y s c h a u d e r 理论研究了 ”( t ) + f ( t ， ( f ) ) = 0 ， , o f t ( t ) + 9 ( t ，钍( t ) ) = 0 ， a l u ( 0 ) 一卢l u ，( 0 ) = 0 ， 7 l _ u ( 1 ) + 5 1 u ，( 1 ) = 0 ，7 a 2 v ( o ) 一z 2 v 7 ( o ) = 0 ， 7 ：v ( 1 ) + 5 2 v ”) = 0 ， o e t ( 0 ，1 ) a e t ( 0 ，1 ) ( 2 1 1 ) 并且得到了系统( 2 11 ) 解的存在性本章利用锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了二 阶非线性常微分方程组耦合系统的奇异边值问题多个正解的存在性 引理2 1 1 【1 】 设q l ，q 2 是e 中有界开集，k 是e 中的锥，口西1cq 2 ，a ：k n ( 孬2 q 1 ) _ k 全连续若满足条件： ( i ) l i a 。l i z i i ，z k n a q l ；j i a x l l l i x l l ，x k n a q 。； 或 ( i