（概率论与数理统计专业论文）具有微分关系及边界条件的小波.pdf

、 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：瘟鳘痉日期：型丝：； 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期：竺! ：夕 摘要 摘要 小波g a l e r k i n 方法是微分方程数值解理论中的重要方法由于许多微分方 程是定义在有界区域上的边值问题，因而自然需要区域( 区间) 上具有边界条件 的小波众所周知，n a v i e r s t o k e s 方程是描述流体运动的重要数学模型d e r i a z 等人利用散度自由和旋度自由小波研究了这一模型，其小波构造严格地依赖于 b 一样条小波之间的微分关系本文研究直线( 区间) 上具有微分关系的小波以及区 间 o ，1 】上具有齐次边界条件和消失矩的双正交小波 在第二章，我们首先证明了两个负面结果：一是不存在具有微分关系的正 交小波二是尺度函数的插值性与简单微分关系不可兼容；其次，我们给出了具 有简单微分关系的尺度函数的一般表达式然后从原始尺度函数、小波及其对偶 出发，构造了与它们具有简单微分关系的尺度函数、小波及其对偶讨论了具有 最短支集的插值小波的性质，并说明它和c m i c c h e l l i 工作之间的关系；最后 是区间上具有微分关系的一对紧标架小波的构造，并用具体例子加以说明 第三章研究同时具有齐次边界条件和消失矩条件的双正交小波：通过简 单改造d a h m e n 等人的工作，得到了零边值小波，但它没有消失矩；为弥 补这一缺陷，我们从一个简单引理出发，构造了对偶尺度函数然后利用 d a h m e n 、k u n o t h 和u r b a n 的矩阵分解技巧给出了满足齐次边界条件及消失矩 的双正交小波，最后是两个具体的例子数值实验表明，这一小波在数值求解 某些具有齐次边界条件的微分方程时能取得好的效果那是因为小波的齐次边界 条件使得求解过程在边界处不产生误差，小波的消失矩性质提供了高效的计算 速度 - - i 北京工业大学理学博士学位论文 注意到前一章得到的小波结构一般比较复杂( 尽管两个例子是简单的) ，也由 于小波g a l e r k i n 方法求解微分方程时并不需要对偶小波，第四章只研究原始空 间中的小波：首先利用c o h e n 、d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 的小波只有一个半整 节点的性质，定义了左、右边界小波，并证明了直和分解定理：其次讨论了稳 定性，尽管理论证明并不完善，但数值实验表明对求解某些微分方程而言，它 和第三章中的双正交小波具有同样好的效果；最后是对b i t t n e r 工作的一个注 记，它说明边界小波的光滑性与节点结构之间的关系 关键词双正交小波；齐次边界条件；消失矩；微分关系；小波g a l e k i n 方法 一i i a b s t r a c t 曼! ! ! ! 竺! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 曼! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a b s t r a c t w a v e l e tg a l e r k i nm e t h o dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ns o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s w a v e l e t so nd o m a i n s ( i n t e r v a l s ) a r en e e d e d ，b e c a u s em a n yd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sh a v eb o u n d a r yc o n d i t i o n s i ti sw e l l - k n o w nt h a ta sam a t h e m a t i c a lm o d e l ， t h en a v i e r s t o k e se q u a t i o n sd e s c r i b ef l u i df l o w sw e l l d e r i a za n dp e r r i e rs t u d y t h o s ee q u a t i o n sb yd i v e r g e n c ef r e ea n dc u r l - f r e ew a v e l e t s ，w h i c hd e p e n dc l o s e l yo n t h ed i f f e r e n t i a lr e l a t i o n so fb s p l i n e t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e n t r a t e so nt h ew a v e l e t s w i t hd i f f e r e n t i a lr e l a t i o n s 嬲w e l la sw a v e l e t sw i t hh o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i - t i o u sa n dv a n i s h i n gm o m e n t s i nc h a p t e r2 ，t w on e g a t i v er e s u l t sa x ef i r s t l yp r o v e d ：( i ) t h e r ed o e sn o te x i s t ap a i ro fo r t h o n o r m a lw a v e l e t sw i t hd i f f e r e n t i a lr e l a t i o n s ；( i i ) t h ei n t e r p o l a t i o n p r o p e r t ya n dt h es i m p l ed i f f e r e n t i a lr e l a t i o n so fs c a l i n gf u n c t i o n sa r en o tc o m p a t - i b l e s e c o n d l y , w eg i v eag e n e r a lf o r mo ft h es c a l i n gf u n c t i o n sw i t hd i f f e r e n t i a l r e l a t i o n s b a s e do np r i m a ls c a l i n gf u n c t i o n s ，w a v e l e t sa n dt h e i rd u a l s ，w eg i v e t h e i rc o u n t e r p a r t sw i t hd i f f e r e n t i a lr e l a t i o n s i np a r t i c u l a r ，i n t e r p o l a t o r yw a v e l e t s w i t hm i n i m u ms u p p o r t sa r ed i s c u s s e d ，w h i c hr e l a t e st oc m e c c h e l l i f i n a l l y , w e c o n s t r u c tt i g h tf r a m e l e t sw i t hd i f f e r e n t i a lr e l a t i o n st h ei n t e r v a l s e x a m p l e sa r e p r o v i d e dt oe x p l a i no u rc o n s t r u c t i o n c h a p t e r3s t u d i e st h eb i o r t h o g o n a lw a v e l e t sw i t hb o t hh o m o g e n e o u s b o u n d a x yc o n d i t i o n sa n dv a n i s h i n gm o m e n t s as i m p l em o d i f i c a t i o no fd a h m e n sw o r k l e a d st ob i o r t h o g o n a lw a v e l e t sw i t hz e r ob o u n d a r yc o n d i t i o n s ，b u tn o th a v i n gv a n - i s h i n gm o m e n t s f o ro u rp u r p o s e ，w eb e g i nw i t has i m p l el e m m a ，f i n dd u a ls c a l i n g i i i 北京工业大学理学博士学位论文 f u n c t i o n sa n dt h e nc o n s t r u c tb i o r t h o g o n a lw a v e l e t sw i t hh o m o g e n e o u sb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dv a n i s h i n gm o m e n t sb yt h em a t r i xf a c t o r i z a t i o nt r i c kp r o v i d e db y d a h m e n ，k u n o t ha n du r b a n a tl a s t ，t w oe x a m p l e sa r ep r o v i d e d n u m e r i c a le x - p e r i m e n t ss h o wt h a tt h o s ew a v e l e t sa r ee f f i c i e n ti ns o l v i n gs o m ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s i th a p p e n sb e c a u s eb o u n d a r yc o n d i t i o n se n s u r en oe r r o ro nt h eb o u n d a r y a n dt h ev a n i s h i n gm o m e n t sp r o v i d eas p a r s er e p r e s e n t a t i o n n o t et h a tt h ew a v e l e t sc o n s t r u c t e di nc h a p t e r3h a v ec o m p l i c a t e ds t r u c t u r e s ( a l t h o u g ht w oe x a m p l e sa r es i m p l e ) ，a n dt h ed u a lw a v e l e t sa r en o tn e e d e dw h e n s o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hw a v e l e tg a l e r k i nm e t h o d t h e nc h a p t e r4s t u d - i e sp r i m a lw a v e l e t so n l y f i r s t l y , w ed e f i n el e f t ，r i g h tb o u n d a r yw a v e l e t sa n d p r o v e t h ed i r e c ts u n lt h e o r e mb yu s i n gt h en o d ep r o p e r t yo fc o h e n ，d a n b e c h i e sa n d f e a u v e a u s s e c o n d l y , t h es t a b i l i t yi sd i s c u s s e d a l t h o u g hm o r e w o r ki sn e e d e dt o h a v et h es t a b i l i t yt h e o r e t i c a l l y , t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ew a v e l e t sh a v e t h es a m ee f f e c ta st h o s ei nc h a p t e r3w h e ns o l v i n gs o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i n a l l y , w eg i v ean o t eo nb i t t n e r sw o r k ，w h i c hd i s c u s s e st h er e l a t i o n sb e t w e e n t h es m o o t h n e s so ft h eb o u n d a r yw a v e l e t sa n dt h es t r u c t u r eo ft h e c o r r e s p o n d i n g n o d e s k e yw o r d sb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ；h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ；v a n - i s h i n gm o m e n t s ；d i f f e r e n t i a lr e l a t i o n s ；w a v e l e tg a l e r k i nm e t h o d 一一 符号表 m t - - - o y = o ( 1 ) y = o ( 1 ) 4 ( r ) 岛( 【o ，1 】) 岛 s p a n a s u p p 西 ( g ) 西 z t c r 入( a ) p ( a ) 【t o ，t n 】 符号表 定义为 矩阵或向量m 的转置 收敛于 y 是有界变量 y 是无穷小量 r 上的p 次可积函数空间 区间【0 ，1 】上的p 次可积函数空间 p 次可和函数空间 集合a 的线性闭包 函数西的支集 函数，和9 的内积 函数西的f o u r i e r 变换 幂截算子 r 次连续可导函数 矩阵a 的最小特征值 矩阵a 的最大特征值 差分算子 一v 一 北京工业大学理学博士学位论文 一一 目录 目录 摘要 i a b s t r a c t i i i 符号表v 第1 章绪论 1 1 1 直线上的小波1 1 2 区间上的小波6 1 3区间上的紧标架小波1 1 1 4 背景与主要结果1 2 第2 章具有微分关系的小波1 9 2 1负面结论1 9 2 2 尺度函数2 2 2 3 小波及其对偶2 5 2 4 插值小波2 7 2 5 区间上具有微分关系的紧标架小波3 0 2 6 本章小结3 4 第3 章具有齐次边界条件的小波3 5 3 1关于d a h m e n 等人工作的注记3 5 3 2 一个引理3 8 3 3对偶尺度函数4 1 3 4 双正交小波4 6 3 5 本章小结4 9 第4 章边界小波的直接构造5 3 4 1 直和分解5 3 4 2 稳定性6 0 4 3 边界小波及光滑性6 4 4 4 本章小结6 8 结论及问题6 9 一i 一 北京工业大学理学博士学位论文 攻读博士学位期间的研究成果8 3 致谢8 4 一i i 第l 章绪论 第1 章绪论 本文研究具有微分关系及齐次边界条件的小波在本章中，我们介绍相关的 研究背景及本文取得的主要结果为此，首先引入必要的概念、符号及预备知 识 1 1 直线上的小波 小波分析产生于8 0 年代中后期i d a u b e c h i e s 借助于m a l l a t 与m e y e r 提 出的多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简记为m r a ) 概念，最先构造了直 线上具有紧支集的正交小波 本文中，我们用z ，r 分别表示整数集与实数集，岛( r ) p 1 ) 表示 l e b e s g u e 空间 岛( r ) = ，：| f ( t ) l p d t ) ， ，r 其中范数定义为i l y l l = ( 厶i f ( t ) l p ) ；当p = 2 时，l 2 ( r ) 是h i l l b e r t 空间，内积 为 ( 厂，夕) ：厂，p b 一( x ) d x 类似地，离散空间：= a 。) ：。l i i i p 0 使i 西( ) i c ( 1 + ) 一1 2 一，i $ ( ) l c ( 1 + ) 一1 2 一，则 咖，七( 正) ，j ，k z ) 形成空间l 2 ( r ) 的标架，其对偶标架为奶，七这里， 妒( z ) ：= 讵( 一1 ) n 元一州( 2 z + 礼) ，够( z ) ：= 讵z ( - 1 ) n h - + l $ ( 2 z + 仃) 进一步，吻阳咖，七为双正交对偶p d e s z 基的充要条件是，( z ) 孑 一k ) d x = 以 0 对于给定的节点o t 1 0 使得| i 咖，i 奶，k i i c ； ( c ) 呜与奶是局部有限；即，知：= s u p p 咖，七，与乃，七：= s u p p 咖，七，七j ， 满足释 七7 j ：乃，n 乃，知g ) - + - 榉 七7 今：吻，七，n 乃，奄g ) c 定理1 2 2 取自文献【8 】，它将在本文第三章中用到 定理1 2 2f 8 1 设屯函是一对细分函数，其中s u p p = 1 ，9 2 ，s u p p 享= 晤，磊】 且( 妒) 具有精度d ( d ) ，p 一z 1 ，口m ，：= ( 咖( 一m ) ，( ) 7 ) 定义 扛1 4 ，：= q 唧而，m i r + r = 0 ，i 一1 ， r n = 一如+ 1 则对7 = 0 ，i 一1 ， ，冉磊一1 、 舛如一2 “= 2 叫件v 2 l 红。，l 籼+ ，西+ ，m + 风，珏，m ， t n = z m = 2 “五 其中风，r ：= 2 一 ：三；卓1 ，r 一2 9 且戤是参的细分系数 一7 一 北京工业大学理学博士学位论文 通过观察文献【8 】中对此定理的证明，容易发现当= 一g l 时，e j 扛4 ，表达 式中的中间项变为零文献 8 】的作者选择参数万历来构造尺度函数，而我 们选取z = 一磊从秀膏的定义可以看出，它是b 样条函数截断以后的线性组 合在数值计算中，条件数是衡量一个基优劣的重要标准所谓条件数是指这个 基r i e s z 上下界的比值计算结果显示，按上述定理构造的小波具有很大的条件 数，它表明得到的基的稳定性较差p r i m b s 改用s c h o e n b e r g 样条来代替b 样 条，取得了理想的效果1 州 给定两个l 2 ( 【o ，1 】) 中的多分辨分析 巧b j o 和 髟b 如，k 与髟的维数 是舞 j ) ，且a jc 今+ 1 对j j o ，定义 ：= 抖l 今 与直线上的情况相同，我们希望找到两个维数为弁v j 的空间列 嵋) j 洳和 嵋b 豺。，它们满足 ， lk + 1 = ko ，上巧； 1y j + l 谚。奶，奶上k 为此，构造和嘭中的l ：t i e s z 基屿：= ( 咖，七：尼a j ) 和呜：= 西，k ：k 铷) ，使得 皿：= _ 【uu ) 和画：= 【蚝uu 屯) j j oj j o 形成l 2 ( 【o ，l 】) 的一对双正交的基 记v 如一l ：= 如，皿如一1 ：= 圣如，西j 0 一l ：= 墨如，且一1 ，七：= ，七，珏一1 ，七：= 蒜，七，则皿与面之间的双正交关系是 ( 奶南奶，七，) = 而j ，以， 其中j ，j 7 a o 一1 且k ，v j 在此条件下，其r i e s z 基性质等价于存在两个 正常数g ，q 使得对c = 勺，七b 如一1 ，七码， c ll l c b = ( z ) 刚勺，七咖，七i o ，1 】) 驯c z ) j = 咖一1 蜒v j 一8 一 第1 章绪论 且 何1i l c i | 。( z ) i | 勺，知西北：( ) c i - 1i | c i l ：( z ) j = j o 。- 1k e v j 因为w jc 巧+ l ，所以存在一个矩阵m j ，1 使得皿歹= 圣再1 屿 1 根据 直和性质， k + 1 有两个基q + l 和呜u 定义( 圣歹，皿芗) 为行向量 ( 咖，1 ，咖 2 ，奶，舞铷，咖，1 ，咖，2 ，奶，襻v ，) ，则 ( 哆，霍歹) = 圣再，( 坞，0 ，) ( 1 7 ) 记m j ：= ( 坞，0 ，坞，1 ) ，则坞就是两个基之间的过渡矩阵下面的定理对本文是 重要的 定理1 2 3 1 设 呜) 一致稳定且圣于= 略1 m j ，o ，则( 奶u ) ( 皿歹：= 垂再1 坞，1 ) 一致稳定的充要条件是存在矩阵坞，1 陋2 ( v j ) ，2 ( j + 1 ) 】，v j ：= a j + l j 使得坞：= ( 坞，0 ，坞，1 ) 池( juv j ) ，e 2 ( a j + 1 ) 】可逆且满足 i i 坞岈1 i i = o ( 1 ) ，j j o ( 1 - 8 ) 这里， ，y 】是线性赋泛空间x 到y 的线性有界算子给定坞，0 ，称坞，1 为 其稳定补，若朋j ，1 眨( v j ) ，2 ( j + 1 ) 】且( 1 - 8 ) 成立 若坞可逆，记何1 = ( 毒：) ，则西再= 垂歹岛，o + 掣t q 1 结合( 1 7 ) ，便得 到类似于直线上小波的分解重构公式但是，qu 屿的一致稳定性并不能保证 皿的r i e s z 基性质另一方面，还需要找到坞，0 的稳定补，以使得卫成为空 间l 2 ( 【o ，1 】) 的r i e s z 基下面的定理解决了这一问题 定理1 2 4n 2 1 设 呜) 和【屯) 致稳定且圣歹= 圣再1 坞，o ，蚤歹= 蚕再，飓0 ，若 必，1 是尬，0 的稳定补，则 坞 1 = ( j 一坞，o 朋- 卯t ) 鹏，1 也是屿，。的稳定补，且岈1 ：= ( 坞0 ，坞，) 一1 = ( 磬) 进一步，【呜。，u j 狲 与 墨m u j 知虬) 是双正交的，其中皿歹= 西再。坞，西歹= 蚤再。岛，1 下面简单介绍d a h m e n 等人构造区f q k r 度函数的方法首先，y o , 1 】 中的尺度函数呜= 办，k ：k j ) 由三部分构成，左边界尺度函数略= 一9 一 北京工业大学理学博士学位论文 咖，知：k 于) 、右边界尺度函数西尹= 咖，七：k 字) 、内部尺度函数 圣；= 九，七：k ；) 相应的对偶为奶= 圣于，毒于，嘭) 与对偶尺度函数相应的 指标集由以下方式确定 取j ，恐，则对偶尺度函数对应的指标集分别为厶 ：= 【j r 一五， r 一1 ) ， 厶；：= t ，2 j f p ( d ) ) ，厶尹：= 2 j i ，十1 一p ( d ) ，2 j f + a p ( d ) ) ，其 中p ( d ) = dm o d 2 令f ：= f 一( i d ) ，则尺度函数对应的指标集为 ：= l d ，z 一1 ) ， 钙：= 【l ，2 j l p ( d ) ) ，于：= 一f + 1 一p ( d ) ，2 j l + d p ( d ) ) 为 了表达方便，记妒：= ，9 ：= d 一对于r = 0 ，d 一1 ，定义左边界尺度函数 妈一d + r ：= ，m i i o ，1 】， 其中a m ，= ( 矿， 一m ) ，1 o ，1 】是，在区间【0 ，1 】上的限制 设r = 0 ，i 一1 ，定义对偶左边界尺度函数 - 1 椎4 ，：= ，西，。i i o ，1 】， m = 一易+ 1 其中a m ，= ( t ，妒 一m ) ) 对于r = 0 ，d 一1 ，右边界尺度 函数定义为易一f + d p ( d ) 一，：=a 嘉，仍，m 1 1 0 ，1 】 其中6 ，：= r n = 2 1 一f p ( d ) + 1 丘( 一z ) 7 9 一m ) d x 取直线上支集在【0 ，1 】内的尺度函数咖，七：= 醒， 免；作为内部尺度函数类似定义对偶内部尺度函数及右边界尺度函数 小波分析成功地应用于微分方程数值解【1 3 - 1 9 | 具有边界条件的算子方程可 以转化为具有齐次边界条件的方程事实上，正如文献【5 】中指出的一样，考虑非 齐次边界条件问题 f a u = ，在q 上； iu = g ，在0 f z 上 设u o h 是具有边界条件u o l o n = g 的函数，u + 是齐次边界条件问题 匕川粪篡 一1 0 第1 章绪论 的解，则u ：= 矿+ u o 是非齐次问题的解当用小波g a l e r k i n 方法求解齐次边 界问题时，就需要相应的区间上具有齐次边界条件的尺度函数和小波所谓函数 妒( z ) ，z r 具有d 阶齐次边界条件是指它满足( a q ) = 0 ，k = 0 ，d 一1 另方面，小波的高阶消失矩导出算子的拟稀疏表示i s ，这对快速的数值处理是 很重要的 1 3 区间上的紧标架小波 区间j 上的多分辨分析是如( ，) 上嵌套的单边无限的闭子空间列，即l 2 ( i ) 中的闭子空间列 v j b n 满足 c c c 巧c 一三2 ( ，) ； 且u = l 2 ( i ) ， j l 其中巧是呜= 咖，1 ，咖，叻】t 的线性闭包我们约定奶是一个列向量并记 吗= 1 ，m j ) 因为k 是巧+ 1 的子空间，所以呜巧可以由呜+ 1 线性表 出，即存在叻m j + 1 阶的矩阵弓使得 圣j = 弓圣j + 1 矩阵弓称为细分矩阵为了应用上的需要，标架尺度函数需要某种局部性当 j _ 时，如果序列 ( 呜) ：= m a xi s u p p c j ，七i 收敛到零，则称函数列 呜b l 是 n 、- t n i 局部支撑的，其中吲表示z 的测度设锄是x + 1 阶的矩阵，其中唧n 定义 屿：= q 哆+ 1 设呜cl 2 ( i ) 为有限集合，其基数为，对称半正定( s p s d ) 矩阵 岛= s f j 。) l 七，幻心对应的二次型t j 定义为 乃，：= ( 厂，咖，七) 乏m j 岛【( ，咖，k ) 】挺叻，f l 2 ( j ) ， ( 1 9 ) 对应的核珞；定义为 k s , ( z ，秒) ：= s 毁奶，t ( z ) 咖，( 可) ( 1 1 0 ) 一1 1 北京工业大学理学博士学位论文 定义1 3 1 设 奶b 1 是局部支撑的集合并且& 是一个s p s d 矩阵若乃是按 ( 1 - 9 ) 定义的二次型，则称集合 b 1 = q 呜+ 1 j ) l 构成l 2 ( i ) 上对应于岛 的m r a 紧标架小波，如果下式 乃，+ i 0 ，则 田于b 1 是l 2 ( i ) 中的关于矩阵s i - 的m r a 紧标架小波， 且具有微分关系皿于= b 田7 区间小波的构造始于二十世纪九十年代，许多学者通过调整直线上的正交小 波来构造区间上的正交小波【9 8 引由于区间上正交小波的稳定性，消失矩等条件 难于验证，文献i s 6 及【8 7 】构造了半正交的区间小波该小波在原始空间中具 有很好的条件数，但在对偶空间中的逼近效果并不理想 1 9 9 9 年，d a h m e n 等人给出了一种构造区间上双正交小波的方法引，他 们的小波及其对偶都具有很好的消失矩性质，但条件数却很大为此，许多学 者进行了改进( 8 8 删2 0 0 7 年，p r i m b s 结合半正交方法邮1 和d a h m e n 等人的工 作，用s c h o e n b e r g 样条代替b 样条构造了区间上的双正交小波尽管改进了 条件数，但只具有一阶的齐次边界条件j i a 基于他在直线上所构造的弱正交小 波町1 构造了区间上的弱小波，其优点是小波的导数具有基的性质，但缺少消失 矩b i t t n e r 基于他对直线上样条小波的观察【9 9 1 构造了三类区间上的小波虽然数 值实验表明其条件数较好，但仍需从理论上证明小波系的稳定性 由于微分方程数值求解的需要，本文第3 章借助文献i s 】及【1 2 】的方法构 造了区间【o ，1 】上同时具有齐次边界条件和消失矩的区间小波，具体方法如下： 定义彭：= 西，七：一历k 2 j 一忍) ，始_ 扣：= 差二艺+ 。口吖而，m | 【o 】， 略一如一，( z ) ：= 磁吨+ ，( 1 一z ) ，由矩阵耽：= ( ( 吆t ，蛙七，) ) 蚰i 。，l 的可逆性知， 圣j ：= 咖，k ：= 醒七：一2 1 忌分已2 ) 与蚤j ：= 戤一n + r ：r e ) u 蚕；u 】5 一 北京工业大学理学博士学位论文 【略一c ：一，7 e ) 可双正交化双正交化后的细分矩阵分别为m j ，o 必，o 令 g ：= 00 1 o0 0 弗a j + l d + l ，- d + l 脚瞄l 删 吗是与坞，o 有关的酉矩阵( 引理3 4 1 ) ，则可证明鹏，1 ：= 町1 乃是坞，o 的稳 定补进一步利用定理1 2 4 可得到同时具有齐次边界条件和消失矩的双正交小 波当( d ，d ) 等于( 2 ，2 ) ，( 3 ，5 ) 时，我们给出了具体例子，见例3 4 1 和例3 4 2 注意到第3 章中给出的双正交小波结构复杂，第4 章利用c d f 小波的特 殊结构，尝试直接构造理想的小波该章主要结果是 定理4 1 1 - 设e m = ( 0 ，0 ，0 ，o ) t ，( m = 0 ，1 ，亿一2 ) ，其维数为 、。，。一 ，n + 1 d + 2 d 一1 若矩阵三与兄是可逆的，定义扩：= l - 1 e 。，护：= r e m ， d + 2 d 2 d - t - 2 d 2 豫( z ) ：= 娩c 7 ( 2 x 一粤+ 吼螺( z ) ：= 扼嚣咖( 2 ( z 一1 ) + 岛+ 七) ， 里于= 略，m = 0 ，n 一2 ) ，皿尹= 略一m 一。，m = 0 ，n 一2 ) ，其中 妒( 。) ：= 2 坛( 2 j z ) ，妒易一m l ( z ) ：= 2 媚( 2 ( z 一1 ) + 1 ) 则皿j ：= 皿j l uy j i uy j r 具有齐次边界条件和d 阶消失矩，且巧。嵋= 巧+ l ，其中= s p a n 屿) 定理4 2 i - 设x = _ 【。1 ，x 2 ，z n ，y = y l ，y 2 ，骱 是h i l b e r t 空间h 中的两个序列，记xuy = z 1 ，x 2 ，z 。，y l ，y 2 ，鼽) ：= e l ，6 2 ，6 2 n ) ， ，ab 、 g = ii 为x uy 的g r a m i a n 矩阵，其中a ，d 分别是x ，y 的g r a m i a n 矿d 矩阵，若a ( a ) a ( d ) 肛( b b + ) ，则xuy 是r i e s z 序列且有r i e s z 界 唧( 矿错州d ) 和叫厶( 俨将川珊 推论4 2 1 ：设b l 与6 2 是内小波皿；，歹j o 的一致p d e s z 上下界，若入( a ) b 1 一1 6 0 0 0 o 0 1 1 o 0 m i n 【a ( a ) 一 u ( b f b r ) ，6 1 ) 和m a x p ( a ) 一 a ( b - b t ) 6 2 ) 尽管稳定性的讨论并不完善，但数值实验表明对求解某些微分方程而言， 它和第三章中的双正交小波具有同样好的效果 一1 7 北京工业大学理学博士学位论文 第2 章具有微分关系的小波 第2 章具有微分关系的小波 本章研究具有微分关系的一对一元小波首先，给出两个负面结论；其次 从原始尺度函数、小波及其对偶出发，构造了与它们具有简单微分关系的尺 度函数、小波及其对偶我们给出了具体例子，尤其指出了其中一类例子与 m i c c h e l l i 工作之间的联系；最后利用c h u i 、h e 和s t o c k l e r 的结论构造了区间 上满足微分关系的紧标架小波 2 1 负面结论 本节给出两个负面结论：微分关系与尺度函数的正交性或插值性质不可兼 容所谓具有微分关系的尺度函数咖1 ，如与小波矽1 ，妒。是指他们满足如下关系： 烈( z ) = c 七咖o o 一七) 和妒i ( z ) = d k 妒o ( x 一七) kk 一种自然的想法是选择舛( z ) = c o ( z ) 与妒i ( z ) = d 讥 ) 但这是不可能 的事实上，令咖1 ( z ) = e kh k 咖l ( 2 x 一七) ，则科( z ) = k 2 h k i ( 2 x 一七) 它与 妒i ( z ) = c 咖0 0 ) 一起推出了如( z ) = k2 h k 粕( 2 z 一惫) 因为k 和2 饥是尺度函 数的系数，这与标准化要求矛盾基于这种观察，最简单的选取方法是 科( z ) = 砂o ( z ) 一o ( z 一1 ) 和妒；( z ) = d 砂o ( z ) b 样条及其对应的双正交小波就具有这一性质本章将讨论更为一般的函数 在数值计算时，我们希望尺度函数具有插值性一个连续尺度函数具有插值 性是指) = “，o 一种等价的定义是h 2 n = 以，0 ，其中 h ) 是细分方程的系数 但是下面的结论说明，对于紧支集尺度函数不可行 定理2 1 1 设九与妒1 是两个紧支撑的尺度函数，若咖。是连续的且 科( z ) = c o o ( z l ) + c l o ( 。一m ) 其中厶m z ，c o ，c 1 0 ，则九与1 不能同时具有插值性质 一1 9 北京工业大学理学博士学位论文 证明：因为1 具有紧支集，所以i 厂i ( x ) d x = 0 利用厂九( x ) d x = 1 和已知条件 咖i ) = c o o ( z 一己) + c 1 咖o ( x m ) ，我们得到0 = c o + c 1 ，从而 ：( z ) = c o o ( z 一三) 一o ( z m ) 】( 2 - 1 ) 两边做f o u r i e r 变换，( 2 _ 1 ) 变为 t u $ 1 ( u ) = c o ( e 一山一e - i m w ) $ o ( u ) ( 2 2 ) 由于如和1 是尺度函数，故$