（系统理论专业论文）三类非线性偏微分系统解的存在性和唯一性.pdf

1 究工作 的地方 包含为 获得亡壅垫查塑整堂堕或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 本人完全了解广东技术师范学院有关保留、使用学位论文的规 定，u p ：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同 意亡壅垫盎塑整堂堕将本人的学位论文提交清华大学中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社全文出版和编入a 岖i 中国知识资源总库， 传播学位论文的全部或部分内容。 囹公开口保密(年月)( 保密的学位论文在解密后 应遵守此协议) 学位论文作者签名：筮爱导燧名靠鲰 签字日 期：丝! 哇翻兰么旦 签字日期： 一 i一 分方程， 类非线性 伪抛物方程。本文第一部分研究了一类n 维非线性伪抛物方程的柯两问题 j u 。- u 。- a u = f ( u ) ，x r “，t 【o ，t 】， i u ( x ，o ) = 烈x ) ， x r o 利用g a l e r k i n 方法通过细致先验估计证明了柯两问题整体广义解的存在性和唯 一性。 伪双曲方程是从动物神经传播，具有粘性效应杆纵振动等生物，力学中提出 的一类重要的非线性偏微分方程。它的研究具有重要的理论与实际意义，在本文 第二部分研究了一类n 维伪双曲方程的柯西问题 i u 。批u 。- b ( t ) a u - - f ( u ) ，x r ，t 【o ，t 】， u ( x ，o ) = 烈x ) ， x r “， l a t ( x ，o ) = v ( x ) ， x r “ 利用g a l e r k i n 方法通过细致先验估计证明了n 维伪双曲方程柯西问题整体广义解 的存在性和唯一性。 在本文第三部分研究了一类n 维非线性伪双曲方程组的初边值问题 u 。n 一彳矗。一b ( ，) 矗= 亍( 矗。) ，x f 2 , t 【o ，t 】， 毗t ) b t 】2 5 ， u ( x ，o ) = 孤) ，x q ， u t ( x ，o ) = ( x ) ，x q 利用g a l e r k i n 方法通过细致先验估计证明了n 维伪双曲方程组初边值问题整体广 义解的存在性和唯一性。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st os o l u t i o n so ft h r e et y p e so f e v o l u t i o ne q u a t i o n sb yt h eg a l e r k i nm e t h o d 。 p s e u d o p a r a b o l i ce q u a t i o ni sak i n do fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf r o m p h y s i c s i nt h ef i r s tp a r to f t h i sp a p e r a u t h o rh a ss t u d i e dt h ec a u c h yp r o b l e mo fa c l a s so fn - - d i m e n s i o n a lp s e u d o - p a r a b o l i ce q u a t i o n i u 。- a u 。- a u - - f ( u ) ，x r “，t 【o ，t 】， 1u ( x ，o ) ：烈x ) x r n ， a n dp r o v e dt h eg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o nb yt h e g a l e r k i nm e t h o d o p s e u d o h y p e r b o l i ce q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tc l a s so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 。i ta p p l i e si nt h ea n i m a ln e r v et r a n s p o r ta n dt h er o dl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o n w i t ht h ev i s c o u se f f e c t i t sr e s e a r c hh a st h ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dt h ep r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e i nt h es e c o n dp a r to f t h i sp a p e r , a u t h o rh a ss t u d i e dt h ec a u c h y p r o b l e mo fa c l a s so fn d i m e n s i o n a lp s e u d o h y p e r b o l i ce q u a t i o n f u 。- a a u 。- b ( t ) a u = f ( u ) ，x r “，t o ，t 】， u ( x ，o ) = 纵x ) “r n ， lu t ( x ，o ) = y ( x ) ， x r “， a n dp r o v e dt h eg l o b a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o nb yt h e g a l e r k i nm e t h o d o i nt h et h i r dp a r to f t h i sp a p e r ，a u t h o rh a ss t u d i e dt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fac l a s so fn - d i m e n s i o n a lp s e u d o h y p e r b o l i cs y s t e m 矗。一彳赢一b ( ，) 矗- - ( 矗，) ，x a o ( 1 1 ) 【z ，( x ，o ) = u 0 ( x ) ，x r “，( 1 2 ) 若k 0 ，( 1 1 ) 叫做伪抛物方程( t i n g 46 】，s h o w a t e r ) 。 伪抛物方程描述了很多重要的物理过程，例如同类流体通过有裂缝的岩石 的渗流【4 7 ( k 是有裂缝的岩石的特征参数，k 的下降对应着块维度的减少和裂 痕程度的增加) ，非线性分散长波的单向的传播 6 ，4 5 】( 甜是典型的高度或速 度) ，人口的族聚【4 1 】( 材代表人口密度) 。方程( 1 1 ) 可以用于有源半导体的 非固定进程系统 3 7 ，3 8 ，其中七_ a a - u 一害对应自由电子密度率，a ”对应自由 电荷流的线性散逸，掰p 描述了自由电子荷流的一个源。更进一步的，方程( 1 1 ) 可以看作s o b l e v 型方程或s o b l e v g a l p e r n 型方程【43 】。 非线性伪抛物方程最先是由b e n ja m i n 、b o n a 和m a h o n y 在非线性色散系 统的研究中所提出的一类重要的非线性偏微分方程( 6 ) 。此类方程已有部分结果： 在t i n g 【4 6 ，s h o w a t e ra n dt i n g 【4 9 】和g o p a l aa n dt i n g 【3 6 中， 作者研究了线性伪抛物方程的初边值问题和柯西问题，证明了解的存在性和唯一 性。从那时起，很多人开始关注非线性伪抛物方程的研究，甚至包括单一伪抛物 方程和退化伪抛物方程( 例如【1 9 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 9 ，4 0 ，4 2 ，4 4 】所附的参考 文件) 。不仅得到了解的存在性和唯一性结论，还研究了一些解的特性，例如解的 渐进性和规律性。在这些著作中，k a i k i n ae ta 1 3 4 】研究了柯西问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 在p l 时的超线性情形，证明了解的存在性和唯一性。更进一步证明如果 广东技术师范学院硕士学位论文 p 1 + 2 n 并ru o 足够小，则柯西问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 存在唯一全局解。 2 0 0 6 年，涂慧、刘超、江成顺在( 2 ) 中讨论了一类具有较强应用背景二维 半线性伪抛物方程： l u 晷v ( p ( 五y ) v 材，) + v ( p ( y ) v u ) - ( q ( x ，少) + 1 ) 坼- q ( x ，少) 甜 三z ，鲁v ( p ( x ，y ) v u ，) + v ( p ( 工，y ) v u ) - ( q ( x , y ) + 1 ) u ，一q ( x ，y ) u = f ( x ，y ，材) ， x ，j ，q ， o ，】 u ( x ，y ，) = o工，y 孢， o 州， u ( x ，y ，o ) = ( x ，y ) x ，y 五， 其中v = ( 昙，专) 为h a m a i l t o n 算子，五= 【】【】，p ( _ y ) ，口( y ) ，厂( 易y ) 及 右端项f 满足如下条件： ( 日1 ) p ( x ，y ) ec i ( 五) ，g ( x ，y ) c ( 五) ，p ( x ，y ) 0 ，9 ( 墨少) o ； ( 日2 ) 厂( x ，y ) c ( 五) ，且满足连接性条件( x ，o ) = 厂( o ，y ) = o ，工，y 五； ( h 3 ) f 为连续函数，且关于各变量存在连续的一阶偏导数。 作者在( 2 ) 中设计了求解此类方程对应的初边值问题的隐式差分格式。并基于离 散泛函理论和先验估计证明了相应差分格式解的存在唯一性，收敛性和稳定性。 2 0 0 8 年，吴建成、黄清龙教授在( 3 ) 中研究了三阶伪抛物方程的初边值问题： ( a i d ( 甜+ 坼ll 。+ 包一一厂( x ，) = f ( _ f ，”，) ，( ，) d ，( 1 ) u ( x ，o ) = o x q ，( 2 ) u ( x ，f ) = o ( z ，t ) e 孢x o ，r 】( 3 ) 其中表示函数甜关于各空间变量的偏导数，系数q ，包是和空间变量有关 的有界可测函数，q ，是对称的且存在常数r 0 ，使得任意刀维向量孝r ”，有 鸳2 专缶( 4 ) 还假定系数q 是充分正则的以保证不等式y ( 口u k l 出= 一q ，出成立。 2 1 导论 在( 3 ) 中作者对此方程给出了h i l b e r t 空间中相应的强制不等式，利用同胚理论 及推广的反函数定理，得到了非线性方程初边值问题解的大范围存在定理。对于 相应的半线性方程给出了初边值问题解的大范围存性、唯一性定理。 1 9 9 3 年肖黎明在【l 】中研究了一类高阶多维非线性伪抛物组的初边值问题 u 。+ ( 一1 ) 村吖吾。+ ( 一1 ) m m u 一= 一f ( 矗) ，x q ，t 【o ，t ， d 7 矗( 圳k 1 2 - ，o - 0 ， ( 1 1 ) v ( x ，o ) 2v o ( x ) ，x r ，( 1 2 ) v 。- a v x x l - ：v 。= g ( v ) - a g ( v ) 爆，x r ，t o ，( 1 3 ) v ( x ，o ) = v o ( x ) ，x 心( 1 4 ) 若7 = o ，= l 且厂( s ) = 够( s ) = o ，( 1 1 ) 简化为 v t - a v 。埘= g ( v ) + f ( v ) ，x r ，t 0 ， ( 1 5 ) v 毗2 2 v 。+ f ( v 。) ，x r ， ( 1 6 ) 其中f ( y ) = 一口 g 。( v ) + g ( v ) k ， ：v 。= 羔正笋， 办为间隔距离。 在( 5 0 ) 中作者用数值方法解出了方程( 1 5 ) 并把结果与离散方程( 1 6 ) 进行 比较。 若厂( s ) = 缈( s ) = o ，( 1 1 ) 简化为 v t a v x x t v 。+ yv ，+ f ( v ) 。= 0 ，x r ，t 0 ，( 1 7 ) ( 5 1 ) 中作者主要研究了方程( 1 - 7 ) 的柯西问题的解，该解从有限能量衰减到零。 3 广东技术师范学院硕上学位论文 若y = o ，= i ，( s ) = 9 ( s ) = o ， g ( ，) = o 但g ( 1 ，) 。40 ( 1 1 ) 简化为v 。- 口v 煳2a g ( v ) 。，x r ，t 0 ， ( 1 8 ) 这是一个人口动态模型。在( 5 2 ) 中，若存在万 0 和光滑函数缈( s ) 满足 缈( o ) = 伊( o o ) = o ，o 0 ，作者证明了方程( 1 8 ) 的病态 结构问题解的存在性和稳定性 今v ( 墨，) = 甜( 击五r ) 柯西问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 变为 u - u 煳一垒u 。+ ；u ，+ 1f ( u ) 。：下1 矽( ；u 。) 。+ g ( u ) 唱( u ) 。，x r ，t o ，( 1 9 ) 仅 q a0 aq aq a u ( x ，0 ) 2u o ( x ) ，x r ，( 1 1 0 ) 在( 4 ) 中，u c 1 ( 【0 ，) ；h 5 ) ，当s 2 时柯两问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 在c ( 【0 ，) ；h 5 ) 中有 唯一的全局广义解。当s 妄时柯西问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 在c ( 【o ，o o ) ；h 3 ) 中有唯一的全 二 局古典解。当n j 塑时柯两问题( 1 3 ) ( 1 4 ) 在c 2 ( 【0 ，) ；w r n r ) 中有唯一的全局广 义解。当m 2 + z 时柯西问题( 1 3 ) ( 1 4 ) 在c 2 ( 【0 ，) ；w 唧n r ) 中有唯一的全局古典 p 解。 但还未见过有人研究高维伪抛物方程柯西问题解的情况。本文主要在n 维空间中 研究伪抛物方程柯西问题 f u i - a u 。- a u - - f ( u ) ，x r “，t 【o ，t 】， 1 u ( x ，o ) = 烈x ) ， x r n 整体广义解的存在性和唯一性。 伪双曲方程是从动物神经传播，具有粘性效应杆纵振动等生物、力学中提出的 一类重要的非线性偏微分方程。它的研究具有重要的理论与实际意义。此类方程 已有部分结果：文【7 】研究了一类高阶非线性伪双曲方程组，但空间变量是一维的。 文【8 】研究了一类非线性伪双曲方程材。- a u , - - f ( u ) 的整体解，肖黎明在【9 】中究了一 类高阶多维非线性伪双曲方程的初边值问题 u 。+ ( 一1 ) m 彳 ，u 。+ ( 一1 ) mb ( ，) ，u = f ( u ) ， d r u ( x ，t ) b 盯】= o ，o _ 0 ， l u 。- a u 。- a u - - - f ( u ) ，x r ”，t 【o ，t 】， ( 1 i ) 【u ( x ，o ) 2 伊( x ) ，x r “ ( 1 2 ) 其中， f c 1 ( r ) ，厂( o ) = o ，( 1 3 ) 存在6 0 o ，协，l 厂( j ) 怿。 ( 1 4 ) 注：满足条件( 1 3 ) ，( 1 4 ) 的函数( 甜) 有许多，例如( 甜) = s i n 甜，( z ，) = 1 - c o s u ， 厂( ”= a r c t a n 材，厂( 甜) = l n ( 1 + 材2 ) 等。 记( “，v ) = l 材眺，i n f = ( 甜，”) ，【z ，y 】= f ( 材，v ) 峦，删= 【越，甜】， ( 谚= ( v ) + ( 砜叫。 2 2 先验估计与解的存在性定理 由于h 1 ( ) 是一个可分空间，可取日1 ( 尺”) 的一组基 哆i 江l ，2 ， ，对任何固 定的m 在由 q ，哆， 所张成的有限维空间中用下列方式确定( 1 1 ) 的近 似解 ( x ，) = g 。小) q ， ( 2 1 ) 扛i ( x ，o ) = 绋= 厶畔， ( 2 2 ) 6 2 一类n 维非线性伪抛物方程的柯西问题 记( x ，) = ，使其满足 ( u 皿，哆) 一a u 叫，哆) 一a u m ，哆) = ( f ( u m ) ，哆) ，x r n , t 0 ，t 】， ( 2 3 ) u m ( x ，o ) = ( x ) ，x r “，( 2 4 ) j = l ，2 ，m 由于缈1 ( 掣) ，可选厶，( 江l ，2 ，坍) 使当搠一时j 缈在日1 ( ) 中强收 敛。 由于厂c ( r ) ，由常微分方程理论知( 2 3 ) ( 2 4 ) 存在局部解材。 为得到整体解，下面作解的先验估计： 引理l ：若条件( 1 3 ) ( 1 4 ) 成立，则有估计式 l i ( 旷) + l v 一。2 r ( 旷) c o n 5 f ( 与无关) ( o ，r ) 。 证( 2 3 ) 中方程两边同乘g 耐( ，) ， ( u r m , g 阿( ，) 哆) 一a u 帆，g 阿( f ) 哆) 一a u 。，g 阿( f ) 哆) = ( f ( u 。) ，( f ) 哆) ， 关于_ ，从1 到m 作和，并利用g r e e n 第一恒等式得： ( ，“。) + ( v l f 肼，v u 。) + ( v 甜，v u 。) = ( 厂( 材。) ，甜。) ， ( f ( u 。) ，“。) = ( 厂( 甜。) 一厂( o ) ，) ( 厂( 钰。) ，) ( ，) ， ( 甜。，“。) + ( v z ，v u 。) + ( v 甜。，v u 。) ( u m “。) 。 v o t g ，从( o ，) 积分得： 三( z ，甜。) + 丢( v 甜。，v z ，。) ( 【，】+ v u , n , v u , , ) + j 1 ( ( 工) ，( x ) ) + j 1 ( v ( x ) ，v ( x ) ) 6 0 ( k ，】+ 【v v u 。】) + c 。， 由g r o n w a l l 不等式，我们有k 巴( ) + i v 巳( ) c o n s t ( o ，丁) 。 引理2 ：若条件( 1 3 ) ( 1 4 ) 成立，我们有估计式 粕+ i v 叫2 胪) c 。n s t ( 与u r n 无关) ( o ，丁) 。 证明( 2 - 3 ) 中方程两边同乘g ( ，) ， 7 广东技术师范学院硕士学位论文 ( u 眦，g 阿7 ( ，) 哆) 一a u 肌，g 州( r ) 哆) 一a u 。，g 彬( ，) 哆) = f , u 。) ，g 彬( ，) 哆) ， 并关于从1 到m 作和，并利用g r e e n 第一恒等式得： ( u m l ) 。，) + ( v “。，v u 。，) + ( v 材。，v u r a ) = ( ( z ，。) z l m t ) 。 由( 1 3 ) ( 1 4 ) 和引理1 得 ( 厂( 材。) ，) = ( 厂( 甜。) 一厂( o ) ，甜。，) = ( 厂( 锄，) ”。，”删) ( ) + 石1 ( 厂( 阮。) 厂( 觎，) 甜。) ( 。，甜。，) + ( ) + 箬以) 旦 2 c i i - ( v u m , v u m t ) 畴( v v ) + 去( v v ， 所以有( - 一舭小( 一鲁) ( v v ) 石c i + 去( v v 。 令毛= 乞= 1 ，并由引理1 得 一1 。1 。_ _ _ 一 2 一类n 维非线性伪抛物方程的柯西问题 论知( 2 5 ) 有整体解，( ，) ，所以( 2 3 ) 有整体解甜，。 由引理1 ，引理2 知( c o n s t 与m 无关) ： m ( ) _ c o n s ，m ( ) 删， l v 甜。l ：( 矽) c o n s t ，i v 一，2 ，j 2 r ) c o n s f 。 由弱紧性可得：存在 的一个子序列，不妨仍记为 ) ，使得当历一时 弱宰收敛到材在r ( 【0 7 】，r ( 尺“) ) 中， ( 2 6 ) 甜。，弱 收敛到u t 在r ( o ，】，r ( 尺”) ) 中， ( 2 7 ) v 弱叫殳敛到砚在r ( 【o ，】，r ( j r ”) ) 中， ( 2 8 ) v u m l 弱奉收敛到v 在r ( o ，】，r ( 尺”) ) 中。 ( 2 9 ) ( ( ) 一厂( 甜) ，哆) = ( 厂( z ，+ 0 ( u m z ，) ) ( 一甜) ，哆) 。 d a a = l f ( z ，+ 口( 一甜) ) l 6 0 所以( ( 甜+ 秒( 一甜) ) ( 一“) ，q ) 介于 ( 6 0 ( - u ) ，哆) 与一( 6 0 ( 材，一材) ，哆) 之间， 但由( 2 6 ) 知。l i m ( ( 一”) ，哆) = o ， 所以l i m ( ( ) 一厂( z ，) ，哆) = o ， 即坍j 时( ( ) ，哆) 一( 厂( 甜) ，哆) 。 ( 2 1 0 ) ( 2 3 ) 中利用g r e e n 第一恒等式并令m jo o ， 由( 2 6 ) 一( 2 1 0 ) 知：对任何有 ( u t , r - o j ) + ( ，v 哆) + ( ，v 哆) = ( f ( u ) ，哆) 。 ( 2 1 1 ) 注意到哆eh 1 ( r ”) ，上式可改写为 ( ( u 。- u 。- u ，q ) ) = ( ( f ( u ) ，q ) ) ， 其中( ( ，) ) 表示在日_ 1 ( 肜) 和1 ( 彤) 空间之间的对偶内积。 i 主i t - t o , l i ：1 ，2 ，) 是h 1 ( 尺“) 的一组基，由( 2 1 1 ) 得 u 。_ u ；缸f ( u ) 于r ( 【o ，】，h 。1 ( r ”) ) 中。 9 广东技术师范学院硕士学位论文 甚pz ，为方程( 1 1 ) 的解。 由( 2 6 ) 一( 2 9 ) 容易得到1 1e w 1 8 ( o ，丁】，h 1 ( 月”) ) 。 再证明1 1 满足初始条件( 1 2 ) 。事实上，由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可知 形k 2 ( 【o ，】，r ( r ”) ) ，f hs o b l e v 嵌入原理得c ( o z l ，r ( r ”) ) ，所以当 m - o o 时u 。( x ，o ) 弱收敛到“x ，o ) 于r ( 彤) 中。又已知所- o o 时，( x ) 辛妒( 工) 在( r ”) 中强收敛就得到了u ( x ，o ) = 缈( x ) 。 所以( 1 1 ) ，( 1 2 ) 存在全局广义解“w 。”( 【o ，丁】，h ( 尺”) ) 。 为得到( 1 1 ) ，( 1 2 ) 更高正则性的解，令缈日2 ( 只“) ，如( 2 1 ) ，( 2 2 ) 构造 近似解。其中 q l f = l ，2 ，) 是2 ( 彤) 的一组基，对任何固定的m ， “。= l g 。( 以f ) = 小) q ， ，= l ( x ，o ) = = 磊，q ， f = l 使其满足 ( u 眦，哆) 一( u 皿，哆) 一( u m ，哆) = ( f ( u 。) ，哆j ，x r “，t 【o ，t 】， ( 2 1 2 ) u m 伍o ) = ( x ) ，x r “，( 2 1 3 ) j = 1 ，2 ，m 其中( ，) 表示1 ( 尺”) 空间中得内积，( 叫= ( v ) + ( 砜叫。 由于缈2 ( 科) ，可适当选择岛，使一缈在日2 ( 彤) 中强收敛。 引理3 ：若条件( 1 3 ) ( 1 4 ) 成立，我们有估计式 陋。i ：( 矿) + l v | 2 2 胪) + l l ：( 矿) c o n s f ( 与无关) ( o f r ) 。 证明：( 2 1 2 ) 中方程两边同乘g 耐t ) ， ( u 佩，g 阿( ，) 哆) 一a u 假，( ，) 哆) 一a u m ，岛( ，) q ) = ( f ( u 。) ，g 州( f ) 哆) ， 关于_ ，从l 到m 作和，并利用g r e e n 第一恒等式得： 1 0 m ) ) 6 0 ( 1 u 。l ：( 矿) + l v 一。，2 f ( 矿) ) ， ( 2 i s ) 把( 2 1 5 ) 代入( 2 1 4 ) ， ( u 戚，u m ) + ( m ，矾m ) + ( 乳眦，v u 。) + ( u 似，a u m ) + ( 珊。，孔。) + ( u 。，u 。) 6 0 ( 1 u m + l 吼。赫) ) o 两端从0 到t 积分得 丢( ，) + ( v ，v ”，) + 昙( z l 。，幽。) + 【姒。，血。卜i v 材。，v 钍。】 昙( ，) + ( v ，v ) + 昙( ，) + ( 【，】+ v u ，v 】) ， 即 三( ，) + v u ，v t i ) + 三( 魄，蛾) + 【蛾，蛾】+ 【砜，】 如( 【，】+ 耽，耽】) + g e hg r o n w a l l 不等式得 k ，l ：( ) + i v ”。巳( 舻) + i 甜。巳( ) c o n s ， ( o ，丁) 。 引理4 ：若条件( 1 3 ) ( 1 4 ) 成立，我们有估计式 l 材肘，i ：旷) + l v ”删巴( 矿) + l 血删i ：( 矿) 一( a u 似，g 阿( ，) 吁) 一a u m ，g 阿( ，) q ) = f ( u 。) ，g 柳7 ( r ) q ) 关于j 从1 到m 作和，并利用g r e e n 第一恒等式得： ( u 咖，u 眦) + ( v u 眦，v u 栅) + ( v u 。，v u 眦) = ( f ( u 。) ，u 嘣) 。 ( 2 1 6 ) 广东技术师范学院硕士学位论文 由( 1 3 ) ，( 1 4 ) 和引理3 得： ( f ( u 。) ，u 咖) = ( f ( u 。) ，u 眦) + ( f ( u 。) v u 。，v u 肌) ， ( f ( u 。) ，甜，) = ( 厂( 材，) 一厂( o ) ，甜删) = ( 厂7 ( 秒“。u 。， 。，) ( + 去( 厂( 锄。) 厂( ) 材。) 如。，) 嗟2 ( ) 弛。，) + c l ， ( f ( u 。) v u 。，v u 帆) ( v u 眦娜吣) + 虿l ( f ( u 。) v u m ，f ( u 。) v u 。) ( v u m l v u m t ) + 差2 ( v v ( v u 眦，v u 。) + 乞， ( u m t , u 眦) + ( v u 肌，v u 帆) + ( v u 。，v u 眦) = ( 甜。，甜删) + 2 ( v 甜删，v u 肼) + ( 血删，a u 棚) + ( v u 。，v u 肌) + ( u 。，a u 吣) ， 所以，由( 2 1 6 ) 得 【甜，。，j + 2 ( v u _ ，v u ，j + ( a u 。，a u _ ，) 拿( ，) + ( v u 。，v u m t ) + c + ( 一v u 。，v u 。) + ( 一u 。，u 。) s ( ，) + ( v u 。u 。) + ( 一v u 。，一v u 。) + 击( v u 。u 。) + ( - u m ，- u m ) + 五1 。( a u = t , a u = , ) “ ( ) + 了e 2 ( v u 。册。) + 去( v u 。 v u 。) + 击( u m i u 。) + c 即( - 一鲁) c ，+ ( 2 一号一去) c v ，v ，+ ( - 一去) c z ，。，c 。 令毛= s 2 = 毛= 毛= l ，得 卜脚i ( ) + l v 一幡2 ( ) + i 材删l ( ) c o n s t ( 与无关) ( o ，丁) 。 定理2 ：若条件( 1 3 ) ( 1 4 ) 成立，且伊h 2 ( 尺”) ，则( 1 1 ) ( 1 2 ) 存在全局广义 1 2 2 一类n 维非线性伪抛物方程的柯西问题 解u e 矿2 ( 【o ，r 】，h 2r ”) ) 。 证明： 将( ，) = z g 。，( ，) q 代入( 2 1 2 ) ，则g ，( f ) 满足下列常微分方程组 扛(鹕)一耘(，)(她，哆、一豁(，)(她崞=i=i厂( 墨i = i ( ，) 劬) ，吁：) ( 2 、扛l括l? 、- - ， 【( o ) = 磊 由引理3 ，引理4 的估计知f l ( ，) ql ，哆，：+ g o ( f ) ( 嘭，吁有界，由常微分方 f - t，i = l 程理论知( 2 1 7 ) 有整体解g 删( ，) ，所以( 2 1 2 ) 有整体解甜。 由引理3 ，引理4 知( c o n s t 与，无关) ： m 雨) c 。n s t ， k ) c o n s t ， i v ) c o n s t ， i v r l 2 2f 矿) c o n s t ， i 血，) 0 为常数，b ( ，) ，b ( ，) 有界，对于函数1 ， ( a i ) ( b ( 少( x ) ，v ( 工) ) 一6 0 ( v ( x ) ，v ( x ) ) ( b o o ) 。 厂满足：f c ，l f l k o ( k 为正常数) ，厂( o ) = o 。 注：满足上述条件的函数( z ，) 有许多，例如f ( u ) = s i n u ，( 材) = i - c o s u ， f ( u ) = a r c t a n u ，厂( ”) = l n ( 1 + u 2 ) 等。 记( 州) = s r n l l v d x ，阮= ( 州) ，】= f ( 州) 西，n u l l = 【刚】。 3 2 先验估计与解的存在性 若伊日2 ( 彤) ，沙2 ( r ”) 。由于2 ( 尺”) 是一个可分空间，n - - j i y 汉, h 2 ( ) 的一组基 哆i ，= l ，2 ， ，对任何固定的聊在由 q ，红，) 所张成的有限 维空间中用下列方式确定( 1 1 ) 的近似解 ( x ，i f l ) - - - - d m = 小) 略， ( 2 1 ) i f i ( o ) = = 厶哆， ( 2 2 ) 1 6 伪双曲方程的柯西问题 u m t ( x ，o ) = = i q ， ( 2 3 ) 扛l 使其满足 fs t a r t ，哆) + a ( v u 矾，v 哆) + ( 曰( ，) 。，v 哆) = ( f ( u 。) ，哆) ，x r “，t 【o ，t 】， ( 2 4 ) ju 。( x ，o ) = ，( 2 5 ) lu 眦( x ，0 ) = ，( 2 6 ) l j = i ，2 ，m 由于妒日2 ( r ”) ，j c ，日2r ”) ，可选，( f - 1 ，2 ，所) 使一妒在日2 ( 尺”) 中强收敛，j y 在h 2 ( r ”) 中强收敛。 由于厂c ( r ) ，由常微分方程理论知( 2 4 ) 一( 2 6 ) 存在局部解“。( x ，r ) 2 。 为得到整体解，下面作解的先验估计。 引理2 1 ：若b ( ，) ，b ( f ) 有界，f c 1 ，l f l s k o ，( a i ) 成立，则有估计式 l l ：( ) + i 栅e ( 胪) + l v 甜。l ( ) + l l v ”删i i ： _ c o n s t ( 与( 工，) 无关) ( o ，丁) 。 证： 方程( 2 4 ) 两边同乘9 0 ( t ) ， ( u m l i ，g , , j ( t ) c o j ) + a ( v u 麒，g 二( ，) v 哆) + ( b ( f ) v u 。，g j ( t ) v c o j ) = ( f ( u 。) ，g ( f ) 哆) ， 关于_ ，从i 到坍作和， ( 甜。，) + 么( v 材删，v ) + b ( f ) ( v 材栅，v u 。) = ( ( ”，) ，材栅) 。 两端从0 到t 积分，并利用g r e e n 公式得 丢( ，) + 4 v ，v 甜。卜了1 口( f ) ( v ，v ) = 芎i ( ( x ) ，5 c ，。( z ) ) + b ( o ) ( v ( x ) ，v ( x ) ) + 乳( f ) v ，v + ，( ) ， ， f ( u 。) ，“棚 - 1 - ( , 。) ，厂( z ，) + 【材删，甜。】 = 厂( 甜。) 一厂( o ) ，厂( 甜。) 一厂( o ) + 【材删，z ，。，】 = 厂( 抛。) u 。，厂( 砌。) 材。 + h ，】 k 0 2 k ，】+ 【材棚，甜删】 1 7 广东技术师范学院硕士学位论文 两边加上【，卜( 6 0 + 1 ) 【v ，v u 卅，】， r 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 。_ - 。_ 。 3 一类n 维非线性伪双曲方程的柯西问题 i 。- - 。- - - - - - - - - - 。- 。- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 。- 一 关于从l 到m 作和得： ( u m t l t 。) + a ( v u 。，v u 。玎) + ( b ( ，) v u 眦，v “舢) + ( b 7 ( ，) v u 。，v u 舢) = ( f ，( u 。) u 眦，甜。仃) ， 三丢( u 一删) + a ( v u m t t , v u , , , t t ) ( f 舢。) u 眦，z ，舢) 一( 口( ，) v u 眦，v u m u ) 一( j 6 f 7 ( t ) v u 。，v 柳) 。 根据引理2 1 的条件及结论得： ( f ( u 。) u 。，材舢) ( f ( u 。) u 。，f ( u 。) u 。) + ( 甜r a t t 甜删) ( u r n , z ，。”) + k 。2 ( u n i t , u 。) ( u m t t9 材。) + c l ， 一( b ( ，) v u 咖，v u 。，) 去( 一b ( ，) v u 肌，一b ( ，) v u 咖) + 鲁( v ，v ) ， 一( ( t ) v u 。，v ) 云l ( 一( ，) 矾。，彬( ，) v u 。) + 号( v ，) 詈( 阢，v ) + g ， 所以有 三罢( u 神+ ( a - 拿一鲁) ( v u ， ( ) + 玄( 一b ( f ) v u 哪，书( ，) v u 皿) + c o 取蜀，岛充分小：ae 2 , 一垒2 詈，两端从。到t 积分得： 主( u 眦，) + 含【，】 三( u 眦( 葺o ) ，( 五o ) ) + 【，】+ 云1 书( ，) 砜，书( ，) 砜 + 0 0 下面先证( u 舢( x ，o ) ，“。 ( x ，o ) ) 有界。 方程( 2 4 ) 两边同乘g ：( f ) ， 1 9 广东技术师范学院硕士学位论文 ( u r a a , g 品( ，) 哆) + a ( v u 喊，g 二( ，) v 哆) + ( b ( ，) v u 。，9 0 ( ，) v 哆) = ( f ( u 。) ，g 品( ，) 哆) ， 关于歹从1 到m 作和得： ( u m t t , 材。) 一a ( a u 眦，z ，。盯) 一( b ( ，) u 。，甜，) = ( f ( u 。) ，甜删) ， 令，= 0 得： ( u m a ( 五o ) ，a m ，t ( x , o ) ) 一a ( ，( 五o ) ) 一( b ( ，) ，( x ，o ) ) = ( f ( ) ，( 五o ) ) ， a ( a 5 c ，m ，( 墨o ) ) 鲁( ( 五o ) ，( 五o ) ) + 去( 以，彳) ， ( b ( ，) ，甜删，( 五o ) ) 拿( ，( 工，o ) ，材舢( 五o ) ) + 去( b ( ，) ，b ( r ) ) ， ( f ( ) ，z ，。( 工，o ) ) = ( f ( h ( o ) ，“删( 工，o ) ) = ( f ( 饥) ，z ，舢( x ，o ) ) 詈( z ，。玎( 工，o ) ，u m t t ( 五o ) ) + 西9 0 2 ( ，) 。 所以有 ( ，- 鲁一号一办小o ) 刈删) 去( 彳，以) + 瓦l ( b ( ，) ，b ( ，) ) + 筹( ，) 取q ，岛，毛充分小：l 一鲁一鲁一鱼2 1 2 ，由缈日2 ( 尺”) ，j c ，日2 ( r ”) ，b ( f ) 有 界得：i “舢( x ，o ) 囟) c d 埘r 。 所以 主( u 硼，)