毕业论文次调和函数.doc

楚雄师范学院本科论文（设计） 编号：楚 雄 师 范 学 院本 科 生 毕 业 论 文 题 目 次调和函数的性质初探 专 业 数 学 与 应 用 数 学 年级、班级 07级1班 学 号 20071021130 学 生 姓名 黎 丽 辉 指导教师： 李云霞 职称： 教授 教 务 处 印 发9楚雄师范学院本科论文（设计）目 录摘要II关键词IIAbstractIIIKey wordsIII前言11 预备知识11.1 柯西积分公式11.2 解析函数平均值定理12 调和函数与次调和函数的定义13 次调和函数的性质24 次调和函数的性质应用举例5结论8参考文献8致谢9次调和函数的性质初探摘要：本文根据调和函数与次调和函数的定义，探讨了次调和函数的性质及其应用举例.关键词：调和函数；次调和函数；狄利克雷问题；最大值原理Some Properties of Subharmonic FunctionAbstract：According to the definition of the harmonic function and subharmonic function，This paper gives some properties of subharmonic function and its applied examples.Keywords：Harmonic function；Subharmonic function；Dirichlet problem；Maximum principles.楚雄师范学院本科论文（设计）次调和函数的性质初探前言次调和函数是一种很重要的函数,调和函数与次调和函数有着密切的联系，研究次调和函数可以解决复分析中的一些问题.在区域内找一个调和函数其边界值为给定的连续实值函数的问题称为狄利克雷问题.解决狄利克雷问题，要推广调和函数,而次调和函数又是调和函数的一种特殊情况，因此研究次调和函数十分重要.在文献1利用均值性质定义调和函数，利用次均值性质定义了次调和函数,并介绍了次调和函数的一些基本性质.文献2介绍了解析函数与调和函数两个概念之间的关系，并进一步研究了调和函数的性质. 文献3和文献4介绍了次调和函数的一些性质. 文献5根据调和函数与次调和函数的概念,对调和函数与次调和函数作了进一步的研究，并给出了关于调和函数与次调和函数的几个性质定理. 文献6介绍了调和函数的最大值原理和其他一些性质.本文总结了次调和函数的性质,并介绍了次调和函数的性质定理的简单应用.1.预备知识1.1 柯西积分公式定理1.1 2 设区域的边界是周线（或复周线），函数在D内解析，在上连续，则有 .1.2 解析函数平均值定理定理1.2 2 如果函数在圆内解析，在闭圆上连续，则 ，即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数.2.调和函数与次调和函数的定义定义2.12 设在圆上连续，使得，那么称为上的调和函数.定义2.21 设在圆上连续，成立不等式，那么称为上的次调和函数.定义2.32 是一种运算记号，称为拉普拉斯算子.注3 设为区域内具有二阶连续偏导数的函数，在内满足拉普拉斯方程则称为区域内的调和函数.3.次调和函数的性质定理3.11 设在区域内是次调和函数，则也是次调和函数.证明 因为在区域内是次调和函数，所以于是故也是次调和函数.推论3.1 在区域内是次调和函数，那么也是次调和函数.定理3.23 设在区域内是次调和函数，则也是次调和函数.证明 设，则：故是次调和函数.推论3.21 在区域上次调和，那么也在上次调和.定理3.3 设在区域内是次调和函数，在区域内是调和函数，则是次调和函数.证明 因为在区域内是次调和函数，则由定义得又在区域是调和函数，则即且故从而与是次调和函数.由定理3.1知，是次调和函数.定理3.41 次调和函数满足最大值原理，即非常数的次调和函数不能在区域内达到最大值.定理3.54 设为区域上的非常数的是连续函数，则在区域D上次调和的充要条件是：对于D内的任意一个子区域以及上的任意一个调和函数在区域上满足最大值原理.证明 设为区域D上的非常数的连续函数，并且对于任意子区域以及上的任意调和函数，使得在区域上满足最大值原理，对于存在正数使得当时，函数，在内调和，在内连续，且时，所以：.反之，设为区域D上的非常数的次调和函数，对于D内的任意一个子区域以及上的任意一个调和函数，因为是区域上的次调和函数，在区域内满足最大值原理.定理3.61 设是有界域上的次调和函数，且存在常数使得：那么.证明 记，按上确界的定义，在中存在点列使得.由于为有界序列，所以存在子序列收敛于一点.如果，那么.设，取充分小使得，由于次调和，成立不等式：，故.这表明点集是开集，由的连续性，点集也是开集，但，所以又是的闭集，所以或者等于，或者是空集，由假设的点集非空，因此在上.由，利用次调和函数的最大值原理得：.定理3.71 设是定义在上的二次可微函数，那么是次调和函数的充要条件是.证明 充分性 设，取任一点，在点的泰勒展开式为：.记，两边对从0到积分，再除以后得到：由于以及是高阶无穷小，故：，因此次调和.如果，设，则，令，于是：，故次调和.必要性 设在上次调和，如果有一点使得，那么由的连续性，在的某个邻域上有，在上次调和，则在上调和，应该成立，矛盾.定理3.81 连续实值函数在上次调和，当且仅当对，以及在上调和且连续至圆周的每个函数，在上有，必在上.证明 设在上次调和，对于在上调和并且连续至边界的函数，在上满足最大值原理.因此，如果在上有，那么在上也有.反之，在上连续，但对于中每个圆盘以及在上调和并且连续至圆周和函数，在上满足时必在上.在上次调和.4.次调和函数的性质应用举例例题1 设是上的解析函数.证明对于每个，它的模都是上的次调和函数.证明 由柯西积分公式有，所以对于每个，由定义2.1知它的模都是上的次调和函数.例题2 设是上的解析函数.证明在上次调和.证明 设，则所以， ，由于是上的解析函数，由方程得，的任意阶导数仍然是解析的，于是由方程得，所以，所以，由定理3.7知，在上次调和.例题3 设在区域内是次调和函数，在区域内是调和函数，用定理3.7证明是次调和函数.证明 因为是次调和函数，是调和函数，所以，所以.由定理3.7知是次调和函数.例题4 下列的函数哪些是次调和函数？(1); (2) ; (3) (4); (5) ; (6) 解 （1），由定理3.7知是次调和函数.（2），由定理3.7知是次调和函数.（3），由定理3.7知是次调和函数.（4），由定理3.7知是次调和函数.（5），由定理3.7知不是次调和函数.（6），由定理3.7知是次调和函数.例题5 证明函数是复平面上的次调和函数.证明 令，于是 ，.当时，当时，由定理3.7知函数是复平面上的次调和函数.例题6 设.证明在上次调和.证明 令，于是.所以 ，因为，于是，所以.证明在上次调和.例题7 设.证明函数是次调和函数.证明 令，于是.所以.由于，所以.故函数是次调和函数.结论本文总结了次调和函数的一些性质，并应用次调和函数的性质解决一些关于次调和函数的问题.首先给出了柯西积分公式，解析函数平均值原理及调和函数与次调和函数的定义，然后总结并应用了次调和函数的性质.参考文献1张锦豪,邱维元.复变函数论M.北京：高等教育出版社,2001:156-192.2钟玉泉.复变函数论M.北京：高等教育出版社，2003:120-122.3李锐夫,戴崇基,宋国栋.复变函数续论M.北京：高等教育出版社，1989:187-193.4庞学诚,梁金荣,柴俊.复变函数M.北京：科学出版社，2007：106-108.5金瑾.关于调和函数和次调和函数的几个性质的研究J.贵州教育学院学报,11-12.6J.B.康威.单复变函数M.上海：科学技术出版社，1985：321-327.致谢楚雄师范学院数学系李云霞教授在百忙之中给予我精心的指导和大