概率统计学复习题及答案.doc

概率论与数理统计综合练习题第一章事件与概率1 事件之间的关系与运算：事件的积、和、差，事件的包含，尤其是对互不相容（互斥）事件，互逆（对立）事件，事件的独立性等概念的理解及其应用；交换律，结合律，分配律，对偶律等的运用例1设AB是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中哪些是正确的：（B、D）A、P(AB)=P(A)P(B), B、P(A+B)=P(A)+P(B), C、P()=0, D、P(A-B)=P(A), E、P(AB)=1， F、P(AB) 0解：由题意：P(A)0, P(B)0，A、B互不相容有P(AB)=0，A中，P(AB)=0，而P(A)P(B)0,不正确，当A、B独立时选项A是对的；A不对；B中，由加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)= P(A)+P(B)，或根据有限可加性直接得到，B对；D中，由减法公式P(A-B)=P(A)- P(AB)= P(A)，D对；可类似讨论其他选项均不对。2古典概型的计算：公式P(A)=N(A)/N()例2将四个不同的球随机地放入五个不同的杯中，求(1)出现四个空杯的概率；(2)杯中球的个数最多为一个的概率。解：此题为古典概型中的分房模型：将四个不同的球放入五个不同的杯子，每个球有五种不同的放法，则中含有54个基本事件，即N()= 54，(1)事件A：出现四个空杯，即四个球放入同一个杯子中，将五个杯子选出一个放入四球，共有五种选法，即N(A)= C，由公式得P(A)=N(A)/N()= C/ C4！=1/125.(2)事件B：杯中球的个数最多为一个，即四个球放入四个不同的杯子中，还剩一个空杯，即先从五个杯子中选出四个，共C种选法，再把四个不同的球放入，共有4！种方法，根据乘法原理得N(B)= CA，由公式得P(B)=N(B)/N()= CA/ 54=24/125.3伯努利概型，二项概率公式的应用，其公式：XB(n,p), PX=k= Cpk(1-p)n-k, k=0,1,2,n。例3一批产品的次品率为p (0p1)，则检查4件产品中（1）恰有一件次品的概率为多少；（2）至少有一件次品的概率为多少。解：X：4件产品中次品的个数，则XB(4,p)(1)PX=1= Cp(1-p)3=4p(1-p)3，(2) PX1=1- PX1=1-PX=0=1-(1-p)44全概率公式，贝叶斯公式，事件独立性例4某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中70台是甲厂生产的，20台是乙厂生产的，10台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？解：B：所取冰箱合格,A1：冰箱取自甲厂，P(A1)=0.7, P(B|A1)=0.9,A2：冰箱取自乙厂，P(A2)=0.2, P(B|A2)=0.6A3：冰箱取自丙厂，P(A3)=0.1, P(B|A3)=0.8(1) 由全概率公式：P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=0.70.9+0.20.6+0.10.8=0.83(2) 由贝叶斯公式：P(A1|)= P(A1)P(|A1) /P()=0.70.1/(1-0.83)=0.4118例5若甲盒中有三个白球，二个黑球，乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一球。（1） 求从乙盒中取得一个白球的概率；（2） 若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。解：（略）参照第一章课后习题23题。第二章随机变量与概率分布1随机变量X的分布函数、密度函数的定义及其性质；掌握常见的离散型随机变量的分布律，并会用离散型随机变量分布律求分布函数和概率。例6设随机变量X的概率密度为f(x)，则f(x)下列哪些是正确的：(C、F)A、0x1 B、PXx= C、=1 D、f(-)=0E、f(x)在(-,+)上单调增加 F、f(x) 0解：由密度函数的性质直接得到。D、E选项分别是分布函数的性质。例7设随机变量X的概率分布为 , 求：(1) X的分布函数F(x)；(2) PX2。解：（1）由分布函数的定义：F(x)=PX x，得：当x1时，F(x)=PX x= PX 1=0;当1x2时，F(x)=PX x= PX=1=1/2;当2x3时，F(x)=PX x= PX=1+ PX=2=1/2+1/3=5/6;当x3时，F(x)=PX x= PX=1+ PX=2+ PX=3=1/2+1/3+1/6=1.综上可得：（2）或。2连续型随机变量的密度函数的性质，f(x)0 , f(x)dx=1；掌握常见的连续型随机变量的密度函数，并且利用密度函数求概率； 例8设随机变量X服从正态分布N(m, s2)，(1)若密度函数f(x)= e，求m, s2的值。 (2)若密度函数为f(x)= e，则m, s2的值各为多少？解：（1）由正态分布的密度函数（2）由正态分布的密度函数例9设随机变量X服从区间 4, 7上的均匀分布，求P5X1/ 2。解：由d. f.f(x)的性质： =有例11. 设连续随机变量X的概率密度为f(x)= 试确定常数k，并求PX3。解：由密度函数f(x)的性质：1=f(x)dx=ke-6xdx=-e-6x|= ，得k=6； PX3= 6e-6xdx =-e-6x|= e-18。第三章二维随机变量与概率分布1二维离散型随机变量的联合分布律的性质，边缘分布律，随机变量独立性的概念例12设二维随机变量(X,Y)取下列数组(-1,0), (-1,1), (0,0), (1,0)的概率依次为3/(4c), 1/(2c), 3/(4c), 1/c，其余数组概率为0，求c的值。解：由二维离散型随机变量联合分布律的规范性PX=xi,Y=yj=1知：3/(4c)+1/(2c)+3/(4c)+1/c=1，3/c=1，c=3.2二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布，联合密度，边缘分布，边缘密度等；已知联合密度求边缘密度；随机变量独立性的概念例13设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求(1)PY1的积分表达式；(2) PX1= dyf(x,y)dx=dxf(x,y) dy； (2) PX1=dxf(x,y)dy=dyf(x,y)dx例14设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=，求X、Y的边缘概率密度函数fX(x)，fY(y) .解：当0 x 3时，fX(x)= f(x,y)dy=e-7ydy= -e-7y|=，否则，fX(x)=0所以fX(x)= ；当y0时，fY(y)= f(x,y)dx=e-7ydx=7e-7y，否则，fY(y)=0所以fY(y)= 。例15设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x,y)= ，求：(1)X、Y的边际概率密度fX(x), fY(y)； (2)P0X1/4；(3)X与Y是否相互独立?解：(1)当0 x 1时，fX(x)= f(x,y)dy=(x+y)dy=(xy+)|=x+，得fX(x)= ，同理可得：fY(y)= ；(2) P0X1/4= fX(x)dx= (x+)dx=(+)|=；(3)因fX(x) fY(y)= f(x,y)，所以X与Y不独立。例16设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x,y)=，求：(1)X、Y的边际概率密度fX(x), fY(y)； (2)P0X0,i=1,2,.,F(x)为标准正态分布的分布函数，则对于任意实数x，求：(1)P2, (2) Px解：（1）（2）例23设X1,X2,Xn,是相互独立且同分布的随机变量序列，其分布律为, i=1,2,，0p0是未知参数，记 =Xi，求q的矩估计。解：由XUq,3q，得所以是的矩估计。例27. 设总体XN(m,1)，其中m为未知参数，X1,X2,X3为X的某个样本，设 =X1+aX2+X3 , =bX1+X2+X3 , 都是m的无偏估计，求a,b的值；并确定哪一个无偏估计是最有效的。解：由，都是m的无偏估计，得又所以更有效。2单个正态总体均值方差的区间估计例28用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶中维生素C的含量为随机变量X（单位：mg）。设XN（，2），其中，2均未知。.现抽查25瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求的置信度95%置信区间。（附：t0.025(24)=2.0639，t0.025(25)=2.0595）解： =20.80，S=1.60. 1-a=0.95, a=0.05,n=25由于s2未知，利用t= t(n-1)，且ta/2 (n-1)= t0.025(24)=2.0639得的置信度95%置信区间为：(-ta/2 (n-1)，+ta/2 (n-1)=(20.80-2.0639，20.80+2.0639)=(20.1396，21.4604)例29某次考研的数学统考卷中，从答卷中随机抽取25份，算得平均分数为80分，样本方差s2=400，又据历年资料知统考分数服从正态分布N(m, s2)。求该次统考的平均分数m的置信度为0.95的置信区间。(精确到三位小数，t0.0