（基础数学专业论文）同伦范畴的一种三角范畴扩张.pdf

同伦范畴的一种三角范畴扩张 专业基础数学 研究生曹静指导教师彭联刚教授 摘要：p a s h a l l 和s c o t t 在1 3 1 中研究了三角范畴的r e c o l l e m c n t 的结构问题， 即将一个已知的三角范畴“分解”为两个三角“子”范畴，并且这两个“子”范畴 与原来的已知范畴有一些好的正合函子联系，也见( 1 5 ，【6 和【1 2 ) 反之，一个 自然的问题是，如何从两个已知的三角范畴构造出一个新的三角范畴，使之成为 已知的两个三角范畴的r e c o l l e m e n t 本文从同伦范畴的角度研究了这个问题，并 且给出了一个较为一般性的构造方法，更精确地说，如果当和e 是两个同伦范 畴且f ：b e 的正合函子，那么我们构造了一个新的三角范畴d ( 见定理1 ) ， 使得卯是当和e 的r c c o l l e m e n t ( 见定理2 ) 关键词同伦范畴，三角范畴，同伦交换，r e c o l l e m e n t a t r i a n g u l a t e dc a t e g o r y - e x t e n s i o no f h o m o t o p yc a t e g o r i e s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：c a o ，j i n g s u p e r v i s o r ：p e n g ，l i a n g a n g a b s t r a c t ：p a s h a l la n ds c o t th a v es t u d i e dt h es t r u c t u r eo ft h er e c o l l e m e n t i nat r i a n g u l a t e dc a t e g o r y ( c f 【3 ) ，t h e r et h er e c o l l e m e n tm e a n st od e c o m p o s e o n et r i a n g u l a t e dc a t e g o r yi n t ot w ot r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e sw h i c ha r er e l a t e db y s o m eg o o de x a c tf u n c t o r s ( c f 【6 l i 【1 2 ) o nt h eo t h e rh a n d ，an a t u r a lq u e s t i o n i sh o wt oc o n s t r u c tan e wt r i a n g u l a t e dc a t e g o r yf r o mt w ok n o w nt r i a n g u l a t e d c a t e g o r i e ss u c ht h a tt h en e wt r i a n g u l a t e dc a t e g o r yi sar e c o l l e m e n to ft h ek n o w n t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h i sq u e s t i o ni nt h ev i e wo f h o m o t o p yc a t e g o r i e s m o r ep r e c i s e l y i f 毋a n dea r et w oh o m o t o p yc a t e g o r i e s a n dfi sa ne x a c tf u n c t o rf r o m 当t oe w ec o n s t r u c tan e wt r i a n g u l a t e dc a t e g o r y d ( t h e o r e m1 ) ，a n dp r o v et h a td i sar e c o l l e m e n to f 当a n de ( t h e o r e m2 ) ， k e y w o r d ：h o m o t o p yc a t e g o r y ，t r i a n g u l a t e dc a t e g o r y ，h o m o t o p i cc o m m u n i t a t i o n ，r e c o l l e m e n t 致谢 y7 7 5 9 3 4 在研究生学习期间，导师彭联刚教授在学业上给予我悉心的指导，在生活 给予我热情的关心，在此表示衷心的感谢! 彭老师严谨的治学态度、深邃 想、对数学的热爱和对工作的热忱深深地影响着我，是我一生学习的榜样。 在研究生学习期间，承蒙彭联刚教授和谭友军副教授的谆谆教诲，以及数 院各位老师和各位同学的关心与帮助，在此，特向他们表示衷心的感谢! o 前官 在二十世纪六十年代，g r o t h e n d i e c k 引入了三角范畴的概念，并且由v c r d i e r 给出了这个概念的准确表述( 觅【1 ) 运用代数表示论的方法可以使某些三角 范畴变得更容易理解。三角范畴中最典型的例子是有界复形上的同伦范畴以及导 出范畴，即由同伦范畴的由拟同构确定的局部化导出范踌是代数几何，尤其是 对偶理论发展的工具，同时导出范畴理论也为线性偏微分方程的研究提供了一个 强有力的同调工具( 8 1 1 9 ) 一个典型的例子就是把微分方程的正则系与可构造 层恰当结合起来的r i e m a n n h i l b e r t 问题，仅仅在相应的导出范畴水平上得到了 令人满意的解决方法( 见【1 1 ) 此外，导出范畴对预层的研究也有十分重要的 作用( 见 2 ) 三角范畴在k a z h d a n - l u s z t i g 猜想( 见 加 ) 的正解中扮演了一 个重要角色( 见 1 ，( 4 】) 近年来，三角范畴的结构问题是大家比较感兴趣的问 题p a s h a l l 和s c o t t 在【3 】中研究了三角范畴的r e c o l l e m e n t 的结构问题，即将 一个已知的三角范畴“分解”为两个三角“子”范畴，并且这两个“子”范畴与原 来的已知范畴有一些好的正合函子联系，也见( f 5 】，【6 】和f 1 2 】) 反之，一个自然 的问题是，如何从两个已知的三角范畴构造出一个新的三角范畴，使之成为已知 的两个三角范畴的r e c o l l e m e n t 。本文从同伦范畴的角度研究了这个问题，并且给 出了一个较为一般性的构造方法，更精确地说，如果b 和e 是两个同伦范畴且 f ：b e 是正合函子，那么我们构造了一个新的三角范畴d ( 见定理1 ) ，使得 曰是当和e 的r e c o l l e m e n t ( 见定理2 ) i 同伦范畴与三角范畴 设以是加法范畴，6 ) 为以上有界复形的同伦范畴，函子t 为s h i f t 函 子，即对复形c ，( t c ) = g i + 1 且微分为一0 其中a 是g 的微分以下对 v n z ，记t “c = c 。m ，t ”，= ，h ，c h 的微分为( 一1 ) ”a a 中态射合成：x ，! 。y ! 。z ，记为，9 设，：c 一d 是以中的复形态射，定义新的复形c o n ( ，) 为，的映射锥， 如下： ，。叫d t 一1o 里d o g 冲1 上d 件1 0 9 + 2 一 2 其中驴一l = ( ：二二) ，伊= ( 一i + ，一耋+ ，) 其中a 。，：f a 2 1o 1 ，a t ：f a 2o 1 寸一伊，一，件1 一 以下把e m ，c ，的微分简记为( 二二) 下面回忆三角范畴的定义 设d 为一个加法范畴，d 中静六元组形如；x l + y l + z 生一x f l 如果。是三角范畴，那么按定义( 如见 7 】) ，存在它中的六元组的一个集合，其 中元称为三角，满足下列公理： t r l ) d 中每个与三角同构的六元组是三角；d 中每个态射，：x y 都可 以扩充为一个三角x 三一y ! 一z 立一x 卧x 一x 一0 一x 1 是三角 t r 2 ) 如果x 一y 墨一z l _ x f l 是三角，那么 y ! 一z ! 一x 1 l 二型+ y 1 1 也是三角， n 3 ) 对任意两个三角 y 上y 羔_ z 上x 1 1 】，x ，三y 上z ，三x ，f 1 】，及 态射札：x x 7 ， ：y y 7 ，若，7 = 如，则存在态射埘：z z 7 使得下图 蛩4 ) ( 八面俸公理) 对三角x ly 二- z ，二x 【1 1 。y 旦_ z 上x ，上y 1 1 x 乌z 上y ，三x 1 1 ，则存在态射u ：z 7 _ y ，”：y 7 叫x 7 使得下图交换且第三行为一个三角； 3 l 1 删卜邢 上 上 上 上y 吐 上 上 x 吐 换篷 y ， - 1 】旦当x x 小。t i ，i如i x i 一1 1 业y 上z 上x ，上y f l 】 t lt i8扣 z 7j iy _ 一x ，羔骂z 1 1 ，lj 下面是熟知的结果。 命题：设以是加法范畴，妒( 棚是以上有界复形的嗣伦范畴那么k b ( x 、 是三角范畴，其中的三角形如c l + d 。e ，g f 1 1 的六元组，使 得它与 c - 上d 旦三c o n ( ，) 啦c f 1 】 作为六元组同构 儿 墨本命越 命题：设一，k 5 ) 如上述定义对k 6 ) 中三角 x 上，l ，生旦e 。( ，) 坠x ， 1 t 和 x ，上生三咖( ，) 生x 1 】 及态射0 t ：x 一x + ，py 一y ，若o ，7 一耶( 以下“一”表示同伦) ，则存在 态射西( o ，卢) ：c o n ( ，) 一c o n 。( ，) 满足： 1 ) 下图是 ，6 ) 中的交换图： x ly 生三c o w 业x ( 1 1 n l口心c n ，口，i n c ， x oy7 生3c o n ( f ，) 堡lx f 1 ( 2 ) 如果o l 。x 一x ，卢7 ：p y 也使得a ，7 一，p 7 ，那么 4 ( 3 ) 如果在驴) 中还有三角 x ”y ”里骂c o n ( 尸) j ! lx “啪 ，0 、 及态射o g ：x7 。x ”，卢”：y 一y ”，使得a ”，”一，7 _ 8 ”，那么下图为6 ) 爿l ，生旦c o n ( ，) 堡lx 【1 1 n i月i 圣c a ，卢，i 。r 叫 x ，+ y 皇盟e o w ( ，) ! ! lx 。i q ，0 、 一”i蛐吖h t ， x ”! ：一y ”，j ! sc o n - ( ，) 羔o lx “【1 ，、 且有：西( 。o ”，p 卢”) = 西( o ，_ 8 ) 圣( ”，芦”) f 4 ) 如果n q 7 ，芦卢7 ，那么币( n ，p ) 垂( q 7 t 口7 ) 证明：( 1 ) 由d ，一邝知，存在8 使得阳一口，= s o + o s ( 以下记n 1 = 。) ， 舻( - - f ，s 删一u ， ( 二- 。0 ) ( 竺：) = ( 一，；：a 。：。) = ( 一。f 卢, a - 。口一0 。a ) 所以圣( n ，p ) 为6 ) 中态射 ( 二) 5 由 知命题( 1 ) 中的图为k 6 ( 以) 的交换图 【2 ) 由于7 ，也使厂一f , g ，因而存在一 使得，p 一n 7 f 7 = s 7 8 + o s ，则面( d 7 ，口) ，1 ：篙气巍“0q-心州川 f p + 口 1f 卢 o 1f p o 1 m ( a。，卢+ p 7 ) = ll = ll + l ，i 一( s + s ) o + o 7 一sa 一s a f 3 z ”一0 _ ”- ，= f 3 f l ”一a ，卢”+ a f 一o t o l ”，= s a 口”+ o s z ”+ c t t o + c e o t 舢”= ( - ( 5 三_ 又西c ，p ，垂c 。”，p ”，= ( 三：) ( ： 故由( o d ”，卢_ 8 ”) = 圣( a ，卢) 垂( 口”，卢”) o f o a ”= l 一( s 芦”+ “t ) “吐” 和 、 o ， p、 | | o l 、，f， 0 一一 卢、， ，l o d i|，、 、 1 | 0 a、卢q竺i二 、 d “ ， p q ，l， ( 4 ) 出a 一。7 ，一卢7 知，存在s s7 使得n d = s c 3 + o s ，口一口，：5 ，0 + 0 s 从而，f ( 3 卢7 ) 一( o l d 7 ) ，7 = f s 7 a + f o s 一5 a ，7 a 5 ， = g a + o r s 。一s f l 8 8 s = ( ，s 7 一s f ) a + a ( ，s 一s f 7 ) 因7 伊朋= = ( i ，- 。0 ) ( 5 0 7s 。) + ( 8 0 7 即圣( o o g ，卢一) 一0 而西( 。一a 7 ，卢一卢) = 垂( 。，口) 一西( 。，) 故垂( “，卢) 一圣( “，卢) m ，三) i i 定义新范畴 设以1 ，以。是两个加法范畴，k 6 1 ) 和k 6 2 ) 是相应的同伦范畴，令b ： k 6 - ) ，e = k 6 ( 以2 ) ，函子f ：b e 是个正合函子由毋和e 定义一个新 的范畴0 ，d 中的对象为x = ( x i ，恐，玛；m ，n ，f ) ，其中x i ，恐e ，x i 当 且n ，z 是e 中的态射，使得：x ij 上f 恐上码 1 l 是e 中 三角，d 中的态射，= 1 ，妒2 ，妒) ：x y ，其中妒l ，忱是e 中的态射，妒是曰 中的态射，且使得下图交换： 批_ 恐! 一f 硒ox i f l j ”l”i 脚i 硷! 冶型f 巧一f 1 易知，为d 中同构，当且仅当妒l ，妒2 是e 中的同构，妒是鸟中的同构；且f 保持映射锥，即：f c o n 似) 型c o n l ( f 妒) 事实上，设毋中的三角为； x l + y + c o n ( ，) 一x 。【l 】因为f 为正合函子，所以有e 中三 7 角：f x 三lf y _ + f c o n ( ，) 一f x 1 ，而e 中有标准三角： f x ，三of y c o n ( f ，) 一f x ，【1 】，故存在同构0 使得下图交换 一f c o n ( ，) - + f x 1 一ii i c o n ( f y ) 一f x 1 根据i i 中命题可定义d 中态射f ：x 一，的映射锥为下列同伦图( 1 ) 中 的第三行，记为c o n ( f ) x i 竺一玛二l ，f 撼上- +x i 【l 】 ，l，。i，咀l y l 2 k 2 f 玲一y i 1 ( ，。) 上( - 。) 上f ( 1 。) li ( 1 ) c o n ( 妒。) ! 堕3c o n ( 忱) 竺旦f c o n ( 妒) 竺2c o n - ( 妒，) f 1 ( ? ) l( ：) if ( ? ) li 删旦x i 1 l 旦聊】旦x 2 1 则c o n ( f ) 是0 中的对象，即c o n ( f ) 为e 中的三角，事实上，因为上图( 1 ) 中第一行和第二行分别同构于下列交换图中的第一行和第二行，这两行都是e 中的标准三角： x i - x i 生三g m ( 口t ) 堡lx i ( 1 】 ，l一。it m ，ii y l k 旦三c o n ( ) 旦y i a ) i) i即ii c o n ( 妒1 ) ! 塑c o n ( 妒2 ) 二! 一c o n ( 垂( 妒1 ，妒2 ) ) ! ! 一c o 仃( 妒1 ) 【1 ( ? ) i( ：) lp ( ：) il x i 1 】：! 一x j 【1 皇2g 口n ( m ) 1 ! x i 2 ，0 、 8 i 盯 卫 乌 x i x f f 卜( 2 ； 疗= c o n 。( 壬( m ，m ，) ) _ c o n ( 圣( 妒1 ，妒2 ) ) j ，仃n o 西 ，l ne 1 _ ) 2 妒 妒 西 ，l g 、， 0 0 0 1 o 1 0 o o 如1 o 1 “o o ，。，。，。一 ， = 构 口 同 令 0 0 o l 2 o l 0 o 0 o 1 o l 0 o l = _ | | 、， 0 1 0 幻 l “ ，一 | | 、， 0 0 o l o 1 0 o o 如 1 o 1 “ 0 o ，。一 、， 0 0 0 1 1 o ，ilil、 = 日 ( 且 a 记= ( iii ； ( ，； = ( ； = ( ：) c o n - ( 妒1 ) 竺蛆e 州( 妒2 ) 堡卫c o n ( 圣( ”l ，) ) 生c o n ( 妒1 ) 1 0 一il g 。州( 妒1 ) ! ! ! ! ：2g 。7 。( 妒2 ) 二l 斗c o 拜( 圣( j p l ，妒2 ) ) ! ! ，c o t l ( 妒1 ) 【1 醐7 ； ( 1 曩 卵2 ( l | m 01甜0 0 0 刁 g 。州( 妒1 ) ! ! ! ! ：! 土c o n ( 妒2 ) 二! _ c o n ( 雪( 妒1 ，妒2 ) ) 二! _ + e 。n ( 妒1 ) i l l 为e 中三角，因此c o n ( f ) 是e 中的三角 对v t 。x = ( x i l i l ，磁h 玛m l i ，州i ，z l i ) ，记为x q ，那么把d 中六 元组x l + y 生一g o n ( ，) 蔓一x 【1 1 定义为0 中的标准三角，如上列 图( 1 ) ，其中g2 ( ( 1o ) ，( 1o ) ，( 1o ) ) 记为( 1 o ) ；h = ( ( ：) 。( ：) ( ! ) ) 记为( ? ) i v 主要定理 定理1 ：d 如( i i i ) 中定义，则d 为三角范畴 证明：下面逐一验证三角范畴所满足的四条公理n 1 ) ，n 2 ) ，n 3 ) 和3 5 - 4 ) 。 t r l ) ： 1 ) 设d 中任意的六元组恐上y 2 与磊土局 1 】与d 中某 一个三角同构，设这个三角为x 。生一h 墨。z l ! - 置f 1 1 ，故存在标准 三角x ! 。y 旦卫c o n ( ，) x f l l 使得下图为同伦交换图： x y 旦三嘶l ( ，) 坠x 1 x 1 ly i 骂 其中，“，t ， t t l ，“i ，t ，仉均为d 中同构，所以 l “【1 1 - x l f l 恐上k 上易与x 2 1 为d 中三角 2 ) d 中任意的态射f ：x y 都可以扩充为三角： x ly 业a 。( ，) 生x 【1 3 ) 要证明x ! 一x + 0 - + x f l 】为d 中三角，只需要证明存 在d 中同构口，使得下图( 2 ) 为网伦交换图： x lx 业g 。n ( 1 ) 盟+ x 1 a ) 一方面，0 ! 一c o n ( 1 ) l0 显然，0 = ( o ，0 ，0 ) ，8 7 = ( o ，0 ，0 ) 为d 中态射，且哦雕一1 ，i = 1 ，2 ，3 1 1 ( 2 ) 卜孙_ 忍 g 丁 _ = u 托- 恐 孙j 一 0 一 y i i i 上y i i i 另一方面，c o n ( 1 ) ! 一0 ! 一c o n ( 1 ) ，即 c r m ( 1 ) 旦卫f c 伽( 1 ) 堡lc o n ( 1 ) 1 l蹦ii 0 上0 上0 如lf 如ii g m ( 1 ) 生三f c ( 1 ) 坠c o n ( 1 ) 1 彤哦一，= 。一1 。1 ) = 0 三) ( ：) + ( ：) ( 二三) 所以矾一1 ，i = l ，2 ，3 ，故0 为同构 ( ，。) 一。= ( 。一，) ( 二三) + a ( 。一- ) 所以( 1o ) 一0 ，同理0 ( 、o ) 一0 。因此图( 2 ) 是同伦交换图 1 2 、： 若x 上y 上z 上x 【1 为d 中三角，则 y 上z 上x 【1 】丑r i l l 也为d 中三角 不妨设这个三角为x ! y ! l 旦c 口n ( ，) 生x 1 1 】 上 l 阿l i 只需验证：存在同构o ：x i 一c 锄( ( 1o ) ) 使得下图( 3 ) 为同伦交换图 y 旦卫c o n ( i 一1 旦 l 1 二磐y f l f yj l 生c o 。( j + ) 生旦函。( ( 1 o ) ) 坠y f l 由i i 中命题知，存在下列同伦交换图 ( 3 ) 义i 兰一 x i 二二f 码上一 y i 1 ”im l唧i扣， 玢 三 硷 f b上 k - 1 j n c ，。) 上 即。，ll c o n ( ) 竺1 2 c o n r ( 妒2 ) 竺骂f c 。竹( 妒) 型土 c o n ( 妒1 ) f 1 】 c ，ic t 。，l即。) i i c o n ( ( 1o ) ) 墅塑塑三c o n ( ( 1o ) ) 型堕业f c o n - ( ( 1o ) ) 兰唑唑业c o n ( ( 1 o ) ) 【1 】 ( ：) l h 1 ( o ) i 型生 硷 1 p ( ? ) j 业 f y 5 1 因雨存在s 1 ，s 2 ，s 3 ，使得： 妒l r 7 1 7 一m 妒2 = s 1 0 + a s l ，妒2 r 1 7 一n ( f 妒) = s 2 0 + o s 2 ，( f 砂) f 7 一f 妒1 1 】= s 3 0 + o s 3 1 ) 定义0 = ( 口l 0 1 ：x i 1 】一c o n ( ( 1 0 2 ：恐【1 1 一c o n ( ( 1 如：坞f 1 1 一c o n ( ( 1 如，0 3 ) ：x i 】一c o n ( 0 ) ) 定义为：( o 1 o ) ) 定义为：( o 1 0 ) ) 定义为：( o 1 酬。m f 一：0 ，? 0 三0 ( 10 ) ) ， 一妒1 1 】 一q 0 2 1 13 一妒 1 】) ) = ( o 中 一0 坝f l 】 = ( 0 一aa 妒l 【1 】) = ( 一0 ) ( ol 一妒1 ( 1 】) 1 3 所以p 1 为e 中态射。同理可证如为e 中态射，如为b 中态射。 下证2 ( 日，d 2 ，乩) 为d 中态射，只需验证下图( 记为图( + ) ) 同伦交换 掣 三 酬土 哪 上 俐 吼l 、 p 。l 弛 i ( ( 1 0 ) ) 塑a ( ( 1o ) ) 攀f c o n ( ( 1 o ) ) 业业e 州 1 吼圣c m ，垂c m ，m 一m 如2 ，一m ，f ； =c。s-，(一耋-11；，i，)+ca，c。s。， 2)定义2徊i，铭，锈卜em“。，_x，其中雕定义为(i)。j-，z，。 r一 、 o o 彬 o m o ( i ) c 司，= ( ) = ( 一当叫? 0 二0 ) ( ：0 ) 吼m 一西c m ，圣c m ，m 呓2 ( o ( , n l o o = ( ：0 ) 一( 暑) = 。 一方面，因为8 l 口i = ( 0 l 川功( ；) “ 所以巩磋一1 同理，目2 呓一1 ，如璐一1 另一方面，因为 目i p l 一1 = = 妒， ，。一( ；) = ( 1 ；一曼，】) 圳二- 1 00 0 0 1 ) 所以8 i 口1 1 同理，钙如一1 ，以如一1 ，故口为同构 ， a 吼 o 0 _ 、-二二_，iii o 1 0、， ，l一1 0 0 4 ) - f i 正& y o i 蚕( 3 ) 为同伦交换图，只需要验证下列六个图为同伦交换图 对图( 4 ) 有 c o l , z , ( 妒。) 旦玛 1 l【巩i c o n 。( 妒。) j l 2c o n ( ( 1o ) ) ( 妒。) 吐 恐f 1 f如l c o n 旦三u g h ( ( 1o ) ) f c 洲( 妒) 旦瞒f 1 j f邢a i f c 伽( 妒) 生卫f c o n ( ( 1o ) ) x i 1 i 型ih 【1 】 乩i c o n ( ( 1o ) ) 旦洲 恐 1 】二! 蛆均【1 】 如l l c o n ( ( 1o ) ) 旦圳 f 玛 1 型马f y a 1 p 如i j l f c 一( ( 1o ) ) 里lf 玲 1 】 1 6 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( ：) 以一c ，。，= ( ：) 一咿- r - ，一 所以图( 4 ) 为同伦交换图同理，图( 5 ) 对图( 7 ) 有：一妒l f l 】一( 01 一妒l 【1 ) 00 10 0 一a o 卜o ，0 舂) ( ：0 。0 ) ) 也同伦交换 1 l = 妒1 f 1 】一妒l 【1 】= o 1 所以图( 7 ) 为同伦交换图同理，图( 8 ) ，( 9 ) 也同伦交换。 n 3 ) 设下图两行是d 中三角，且有u 一如， 上y 一 l 上k 一 则存在0 使得上图为同伦交换图。 不妨设这两行是i i l 中定义的标准三角 由i i 中命题知 x 上y 业g 。礼( ，) 盟x 1 】 u u 一li ( ，o ) x ，量一h 殳旦g ( ) 虫x i i x y 皇旦e 帆( ，) 啦x 1 】 1 0 、llf l o o 0 o 0 ，fl、j o o 1 0 n l a 川。 一 ，j一 、， l 0 0 0 o 0 ，j、 1 0 饥 一 0 0 0 o ，j-、 i | 6 o o l ，。 一 一 z 而 x 0 墨 和 x ，j - m 尘三c o n ( f 1 ) 分别是下列两个同伦交换图； j - 玛 - 。 o 毪 ( ， 。) l 竺! 卫e ( 妒。) 旦鹚【1 】 兰一 f 玛 刖i 上 f 蚝 即。) ! 坚盘f c o n ( 妒) i 2 吐f 恐【1 】 o x i 【1 l 上y 1 1 1 l 塑c o t t ( 妒。) 【1 l 旦x i 【2 】 x i l _ x 幻_f x i 3 i x i l 1 ”i i 妒；lf 妒l1 _ 比j of j 1 c - 。，n 。，i耶。“l c o n 。( 妒i ) 竺蛆c o n ( 妒：) 竺2f c o n ( 妒，) 塾2g 帆( 妒9 1 1 lli l x i l 1 1 坐lx i 2 【1 1 啦 f x i 3 1 3 虬x i i 圜 在下列图( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 中有： u l l p ：l p l j ，u 2 妒；妒2 “；， ( f 妒) ( f 妒) u 7 ，m 妒2 妒l 订一，o 妒；妒i n 由i i 中命题知存在西( 让l ，u i ) ，西( 地，“：) ，m ( u ，u 饥使得 下列图( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 为同伦交换图： 玛- u - “i l 坞。圪 卫卫c o t v ( 妒1 ) 坠x i 1 吣，一) ll ( 1 1 ) 卫2c o n ( 妒i ) 生玛1 1 】 墨0iu毗10啡墨叱咀毗10酬 g 卫均旦三c o n ( 妒。) 旦恐( 1 ”“钆 卟“：il ( 1 2 ) 玛。红比生卫c o t f ( 蜴) 生x i 。 1 f 鹚旦f 玲盟卫f c 洲( 廿) 亚f 尥 1 】 n 川l州一，l ( ，s ) f x i 3 骘f 旦卫f c 。n ( 妒，) 二亚f x i 。 1 】 x i 马旦卫c o w ( 妒1 ) 生x i f l 】 m “晰，m ，ll ( ，a ) 鹚生圪上2c o ，f ( 妒：) 虬弼 1 】 x i l lh 1 d一 川2 0 皇卫c o n ( 妒i ) 虫置， 1 】 帅，。州( 1 5 ) 生旦c o n ( 妒：) 生x i 2 f 1 】 令0 = ( p 1 ，0 2 ，如) = ( 圣( 虮，u i ) ，西( 2 ，：) ，圣( 。，口，) ) ，则日为d 中态射且使得上列 图( 1 0 ) 为同伦交换图，只用验证下图( 1 6 ) 为同伦交换图： c o n ( 妒1 ) 竺磐e d n ( 妒2 ) 竺业f c d n ( 砂) 型g 州( 妒1 ) 1 】 。- l 如，如l扣- ， ( - s ) c o n ( 【，i ) ! 坠2c o n ( 幔) 苎2f c 。礼( 1 i f ，) 堕gc 0 7 r ( 妒i ) 1 】 由i i 中命题知 0 1 i ( a ，o ) = 圣( u l ， i ) 圣( 。，。7 ) = 雪( “l 。，u ：) 西( 竹。，m 7 ) 如= 圣( ”i ，m ) 圣( u 2 ，；) = v ( m u 2 ， 1 7 ：) 又因为下列两个图是同伦交换的： 以- 托 f忱l + x i l 竺- _ 墨2 所以m u 2 “u l a ，m u ；一嵋o ，再由i i 中命题知：圣( m “2 ，m u ；) 一圣1 。，“j n 7 ) 即：口l 中( n ，0 7 ) 西( m ，r ) 臼2 ，同理日2 中( 6 ，6 7 ) 垂( n ，礼7 ) 6 b ，( f 0 3 ) 垂( c ，c ，) 虫( f ，f ，) 目l f l 故图( 1 6 ) 为同伦交换图 t r 4 ) 验证八面体公理：即验证存在qf ，使得下图( 1 7 ) 为同伦交换图 c o n ( g ) - 1 】一 xx e l ，i内 c 0 7 删一1 】一y 上z 业c o n ( 9 ) 一川 ) l) l f jl c o n ( f ) j _ c o n ( f g ) 型c | ( 9 ) le m ( ，) 1 一x f l 霸测0 ：3 0l 0 3 b 下河嘲)其中，吼= ( 兽；) ，一：= ( 哦：) ，= ( 。7 ：。) 4 ”。 ( 1 7 ) h = ( ：妒0 ，) ，6 = 1 兰) ，岛= i 乙) 吼= 0 “，s 使得图( 1 7 ) 为同伦交换图。 下面证明图( 1 7 ) 中第三行为三角，只用证明存在同构p ：g 。n ( 口) 一c o n ( g ) 使得下图( 1 8 ) 为同伦交换图： c o n ( f ) j - c o n ( f g ) j oc o n ( 口) g 。n ( 川l 】 j j ，f j ( - 8 ) c o n ( f ) 与c o n ( f g ) 上g ( 9 ) 上c o n ( f ) 1 t j ，s = c s t ，e 。，s 。，s ；= f ：o o o ) ，z = ，z ，s = c 啦啦，呓， 嗡2(主；j，呓= ( 毒； ，噶= ( ； 1)令p2，肋，p3，m。；，仇=(；荸，p3=(； 。2 c 。，如，蚰，哦= i 。0 o o ) ，。= ，z ，。 因为n吼一，=(i1j 0 ( ：；：) 一( 1 00 0=(；0_i01三0三0 = ( 辱妒： ? ：| i ) ( ；) + ( ：o oo o ) 一誊妒； 曼；) 所以p l q l 一1 ，同理，p 2 叮2 1 ，舶铂一1 ，1oo 又q l p l = i 0 01 =1 0 。) 所以q l p l 一1 同理，啦p 2 1 ，q 3 p 3 1 ，故p 为同构 2 ) 下面验证上图( 1 8 ) 为同伦交换图，只霈验证下面三个图( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 为同伦交换图： c o n ( 妒1 矗) - - l c o n ( 妒1 妒i ) - c o n ( 口1 ) m c o n ( 瞄) c o n ( 妒2 p ；) 三_ c o n 池) c o n ( 妒2 妒：) ic 口n ( 妒i ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) 、0， 0 m l o 1 o 0 0 ，。 、 0 0 f c o n + ( 妒妒7 ) l f c o n ( 妒1 】 ，7 ) 里一f c o n ( 口3 ) 却。l 旦一f c o n ( 妒，) c o n ( 一，) _ l m l c o n ( 妒i ) - c o n 。( 妒1 ) c o n ( 妒1 ) c o n ( 口2 ) 立。c o n p 2 c o n ( 弼) - c o n ( 妒2 ) 【l l ( 妒2 ) 【1 f c o n ( 砚) 旦lf c o n 1 1 唧d，l f c o n 。( 妒7 ) 卫- f c o r 。( 妒) 1 】 对图( 1 9 ) ：；f , e t p l = f 。01 0 10 0 m 协 = 1 小， 弘 ( 2 1 ) f 2 2 】 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 、0， 0 机1 0 1 0 0 0 ，。一 o 吼 1 o ，。 换 = 交、 电 o o d 0 1 心， 所以图( 2 2 ) 交换，同理，图( 2 3 ) ( 2 4 ) 也交换故图( 1 8 ) 为同伦交换图 口 现在我们考虑r e c o l l e m c n t ，首先回忆一下其定义( 见f 2 】) ： 设d ，口，o “均为三角范畴，若正合函子i ，= i ：d 一d ，= j ：d d ”，? ，l 。：口一d 7 ，九j + ：d ”一d 满足下列条件： ( a ) i + = i ! 有左伴随函子i + 和右伴随函子z ；j + = j2 有左伴随函子j f 和右 伴随函子 ； ( b ) 21 = 0 ，j * i 。= 0 ，z + m = 0 ； ( c ) i * i 型t + 羔i d a , 并且j + j ! 型j + 且釜t d 掣r ； ( d )对d 中任意的对象x ，存在三角耐x ，x + j + ，。x ，x f l 和j j x + x 一i , i + x j ! j5 x 1 】 则称卯有相应于d 和d “的r e c o l l e m e n t 我们有下面的结论； 定理2 ：d 如( i i i ) 中定义，则d 是当和e 的r e c o l l e m e n t 证明；令“= i j ：c 一( c 一g 一0 一g f l 】) i + ：( a i 一如一f b 一a i 1 1 ) 一如 ：( a i a j f b 一a i 1 ) 一a i j + = j5 ：( a i 一生一f b 一a i 1 ) 一b j + ：b 1 一( 0 一f b _ f b 一0 ) a ：b 一( 丁一f 日一0 一f b 。一f b ) 容易证明以上的六个函子为正合函予，这里仅验证“，其余五个函子的验证 类似 若q q q c i 1 j 为e 中三角，则下图为d 中三角： q 一研一。一c i 1 】 liii q 一q 一0 一q 1 j ilil b g 一0 一q 1 】 liil q 【1 一+ c i 1 】0 一c i 2 即i 。把e 中三角映成d 中三角，故i + 为正合函子。 ( a ) 这里仅证明i + 是i ，的左伴随函子，其余可类似证明 对e 中任意对象y 和9 中任意对象x 一( x i 二恐与f 尥上x i f l l ) 对任意，h a m e ( 矿x ，y 。) ，令q ：h o m e ( i + x ，y ) 一h o m d ( x ，i , y 1 ) ，使得 ”( 厂) = ( v ( i h ， ( ，) z ，v ( f ) 3 ) = ( m f ，f ，0 ) 即； x l _ - x i - 一f x i 一x i 1 m ，土，i 。ii y 一y ，0 一y 1 】 对任意g h o m d ( x ， 。y ) 即 x i _ i 蜀_ f 搦ox i 1 。- lm ln 吐扣- y 一y 一0 一y 【l 】 令”：t l o m v ( x ，i , y 。) 一h o m e ( i + x ，y ) 使得口( 9 ) z9 2 显然，目7 = 1 ，q 7 q = 1 ，故为自然同构，所以矿是i 。的左伴随函子。 ( b ) 对当中任意一个对象t 3 ，i5 矗b = t2 ( o f 口。一f 口一o ) = 0 对e 中任意一个对象g ，j * i ，c = j + ( g 一g 一0 一g 1 】) = 0 对b 中任意一个对象b ，i * j ! b = i + ( 丁一f 占一0 一f b 一，口) = 0 2 5 故z5 = 0 ，j + z 。= 0 ，i * j f = 0 ( c ) 显然 i * i 。型出。皇i d a , 并且j + a 兰j + 釜i d ( d ) 对。中任意对象x = ( x i 一恐一f 磁一x i p ) i ! i2 x x _ j + x i ! i 2 x 1 】即是： 显然是曰中三角； _ + x ： _ 弘 _ f x ； x i 1j l 一f 玛一x i f l l il f x j 一0 ll 一0 一x i f 2 1 叠一x x i , i + x j ! j2 x 1 即是 ill 瓢一x i f x i ll 搦一趣一0 i l f 坞- + 0 一f 焉f 1 显然也是。中三角 故d 是当和e 的r e c o l l e m e n t 口 h f x i 一x i 【1 j 一x i 【1 一f 玛 1 1 l 1 1 x x l o l 鲥 参考文献 1 】a b e i l i n s o na n dj b e r n s t e i n ，l o c a l i s a t i o nd e sg m o d u l e s ，c ra c a d s c i p a r i st 2 9 2 ( 1 9 8 1 ) ，s e r i ei ，1 5 - 1 8 【2 a b e i l i n s o na n dj b e r n s t e i n ，a n dp d e l i g n e ，a n a l y s ee t t o p o l o g i es u r i c s e s p a c e ss i n g u l a r e s ，a s t d r i s q u e1 0 0 ，s o c m a t h f r a n c e ( 1 9 8 2 ) 3 1 b r i a nj - p a r s