（机械设计及理论专业论文）可调机构的函数再现综合研究.pdf

可调机构的函数再现综合研究 机械设计及理论专业 研究生：隆飞指导老师：林光春 多杆丌链式机器人当仅用于有限个相似任务时，其灵活性没有得到充分发 拍：维护赞用较大。另一方面，传统的自动化机构在结构上相对简单，但缺乏 父活性，即使是任务改变得很小，也必须重新设计机构。可调机构是指其某些 机构尺寸和或位置连续调节或手动调节，以实现输出多个任务的机构。它结合 了前两者的优点而克服了它们的不足，在生产实践中逐渐获得应用。本课题对 可调机构的综合以及综合非线性方程组的求解进行研究，取得的主要成果如下： 在平面多杆可调机构的函数再现综合方面，提出了平面六杆瓦特型机构、 平面六杆滑块机构和平面七杆二自由度机构的函数再现的综合模型。建立了各 机构运动综合的非线性方程组。对平面六杆瓦特型机构中间杆固定铰链中心位 置的调节进行了分类，并给出了约束方程。分析了各机构实现函数个数、精确 点数、附加约束个数与任选变量个数问的关系。针对各机构实现两任务的情况， 对优化综合的数学模型进行了求解。 在空涮r s s r 函数再现可调机构的综合方面，构建了输入与输出旋转轴线 央角为9 0 。的r s s r 机构的函数再现综合模型，根据共面和等长条件建立了机 构综合的多元非线性方程组。建立了实现函数个数、精确点数、附加约束个数 与任选变量个数阳j 的关系。针对实现两个函数，每个函数四个精确点的r s s r 机构，通过结式消元法消元，得到三元高次多项式方程组，并采用计算机图解 法，在一定值范围内解出了方程组的全部实数解。 四川大学硕士学位论文 提出了求解运动综合方程组的计算机图解法。针对所得三元高次多项式方 程组，采用数学分析软件m a t h e m a t i c a 编制程序，以一定的步长增量，在一定 范围内取一个变量的值，并将其代入方程组中，求解其中一个方程分别与另外 两个方程联立的方程组的解，将得到的实数解绘制成两条空间曲线，其交点即 为原二二元方程组的解。对于方程组中有一个二元方程的特殊情况，还可首先给 该二元赋值，然后代入另外两个三元方程，将求得的实数解沿该二元方程的柱 面轮廓线展丌，得到便于观察的二维图形，通过该两条交线的交点找到其相应 的空问交点。以这些空间点为初始值，利用无约束优化，得到在一定值范围内 的原方程组的全部精确实数解。 关键词：可调机构函数再现精确综合消元法计算机图解法 l i 四川大学硕士学位论文 a s t u d y o nk i n e m a t i c s y n t h e s i so f a d j u s t a b l e m e c h a n i s m sf o rf u n c t i o ng e n e r a t i o n m a j o r ：m e c h a n i c a ld e s i g n a n d t h e o r y p o s t g r a d u a t e ：l o n gf e i a d vis o r ：l i ng u a n g c h u n m u l t i - a x i so p e n - l o o pr o b o t sa l eu n d e r - u t i l i z e da n dt h ec o s to fm a i n t e n a n c e1 s r e l a t i v e l yh i g h ，w h e nt h e y r e u s e di nl i m i t e ds i m i l a rt a s k s o nt h eo t h e rh a n d ， c o n v e n t i o n a la u t o m a t i o nm e c h a n i s m sa r ec o m p a r a t i v e l ys i m p l e ri ns t r u c t u r e ，b u t l a c ki n f l e x i b i l i t y e v e nt h o u g ht h ea d j u s t m e n t o ft h et a s ki s v e r yl i t t l e ，t h e m e c h a n i s m sh a v et ob er e d e s i g n e d i na d j u s t a b l em e c h a n i s m s ，t h ed i m e n s i o n s a n d o rt h ep o s i t i o n so fo n eo rs e v e r a lp a r t i c u l a rl i n k sc a nb ea d j u s t e ds ot h a tt h e m e c h a n i s m sc a ng e n e r a t ed i f f e r e n tt a s k s t h e yh a v et h ea d v a n t a g e so fa b o v et w o w h i l eo v e r c o m et h e i rd i s a d v a n t a g e s t h i sp a p e rt a k e sa d j u s t a b l el i n k a g e sa sr e s e a r c h o b j e c t s ，a n di n v e s t i g a t e sk i n e m a t i cs y n t h e s i s o fa d j u s t a b l el i n k a g e sf o rf u n c t i o n g e n e r a t i o n a n ds o l u t i o n st o h i g h l yn o n l i n e a rs y n t h e s i se q u a t i o n s t h e o u t c o m e s o b t a i n e da r ea sf o l l o w s ： k i n e m a t i cs y n t h e s i sm o d e l so fp l a n a r6 - 1 i n kw a t t - t y p el i n k a g e ，p l a n a r6 - 1 i n k s l i d e rl i n k a g ea n dp l a n a r7 - l i n k2 - d o fl i n k a g e sf o rf u n c t i o ng e n e r a t i o na r es e tu p a s e to fn o n l i n e a re q u a t i o n so f p r e c i s es y n t h e s i so f e a c hl i n k a g ea r ee s t a b l i s h e d t h e a d j u s t m e n to f p i v o tp o s i t i o no f t h e m i d d l el i n ki np l a n a r6 - 1 i n kw a t t - t y p el i n k a g ei s c l a s s i f i e d t h ec o r r e s p o n d i n gc o n s t r a i n te q u a t i o n so f e a c hm e c h a n i s ma r ep r e s e n t e d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m b e ro ft h et a s k s ，p r e c i s i o np o i n t s ，c o n s t r a i n t sa n d f l e ec h o i c e so fv a r i a b l e si ne a c hm o d e la r ea n a l y z e d t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so f o p t i m a ls y n t h e s e s a r es e tu pa n ds o l v e df o rs p e c i a lc a s e i i i 四川大学硕士学位论文 ak i n e m a t i cs y n t h e s i sm o d e lo fr s s r l i n k a g ei nw h i c h t h ea n g l eb e t w e e ni n p u t a n do u t p u ta x e si sr i g h ti ss e tu pf o rf u n c t i o ng e n e r a t i o n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h en u m b e ro ft h et a s k s ，p r e c i s i o np o i n t s ，c o n s t r a i n t sa n df r e ec h o i c e so f v a r i a b l e si s a n a l y z e d as e to f n o n l i n e a r e q u a t i o n so f p r e c i s es y n t h e s i sa r ee s t a b l i s h e df o rs p e c i a l c a s e a c c o r d i n g t o c o p l a n a l i t y a n d e q u a l d i s t a n c ec o n d i t i o n s b y r e s u l t a n t e l i m i n a t i o n ，3p o l y n o m i a le q u a t i o n sc o n t a i n i n g3v a r i a b l e sa r eo b t a i n e d a l lo ft h e g r o u p so fr e a l s o l u t i o nw i t h i nac e r t a i nv a l u er a n g ea l eg e n e r a t e dw i t hc o m p u t e r g r a p h i cm e t h o d i no r d e rt os o l v et h ea b o v e3 - v a r i a b l e p o l y n o m i a le q u a t i o n so fh i 【g ho r d e r , a p r o g r a m i sm a d ew i t ht h em a t h e m a t i c a la n a l y t i c a ls o f t w a l e - m a t h e m a t i c a av a l i a b l e i ss a m p l e di nac e r t a i ni n c r e m e n t , a n di n t r o d u c e di n t ot h ee q u a t i o n s t h e r ea r et w o s e t so fa n yt w oe q u a t i o n st ob es o l v e d t h er e a ls o l u t i o n so ft h et w os e t sa l e p r o t r a c t e di ns p a t i a lc o o r d i n a t es y s t e mt oo b t a i nt w oc u r v e s ，s ot h a tt h ei n t e r s e c t i o n p o i n t so f t h et w oc u r v e sc a nb ef o u n d 鹬t h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a le q u a t i o n s f o r t h es p e c i a lc a s eo n eo f o r i g i n a le q u a t i o n sc o n t a i n so n l yt w ou n k n o w n s ，t h e s et w o v a r i a b l e sc a nb es a m p l e df i r s t l y , a n dt h e ni n t r o d u c e di n t ot h eo t h e rt w o3 - v a l i a b l e e q u a t i o n s t h er e a ls o l u t i o n so b t a i n e da l es p r e a da l o n g t h ec y l i n d r i c a lc o n t o u rc u r v e s ot h a tat w od i m e n s i o n a l g r a p h w h i c hi s e a s y t oo b s e r v ei s g e n e r a t e d t h e c o r r e s p o n d i n gs p a t i a lp o i n t s o fi n t e r s e c t i o na l ef o u n d t h r o u g ht h ep o i n t s o f i n t e r s e c t i o no ft h et w oc u r v e si nt h i sg r a p h b yt a k i n gt h e s es p a t i a lp o i n t sa si n i t i a l g u e s s ，a l le x a c tr e a ls o l u t i o n sw i t h i nac e r t a i nr a n g eo f v a r i a b l e sa l ef o u n du s i n g u n r e s t r a i n to p t i m i z a t i o n k e yw o r d s ：a d j u s t a b l em e c h a n i s m ；f u n c t i o ng e n e r a t i o n ；p r e c i s i o ns y n t h e s i s ； e l i m i n a t i o nm e t h o d ；c o m p u t e r g r a p h i cm e t h o d 叫川大学坝士学位论文 1 前言 i ，1 课题的目的和意义 多杆开链式机器人当仅用于有限个相似任务时，其灵活性没有得到充分发 挥，另一方面，传统的自动化机构，如连杆机构、凸轮机构虽具有较高精确性、 可重复性和高速性能，但在自动化生产的许多方面缺乏灵活性。因而当使用传 统机构进行自动化生产时，我们不得不因为生产中类似的任务，哪怕是小小的 一点调整而重新设计。可调机构是指其某些机构尺寸和或位置连续调节或手动 调节，以实现输出多个任务的机构。它结合了前两者的优点而克服了他们的不 足。 i l _ j f 是闭卅：机构，不需要象开链机器人那样在每个杆件上安装驱动马达， 且易于实现模块化，运动件的惯性小，因此与机器人相比，可调机构具有较高 的可靠性、较好的刚性和精确度、较低的能耗和成本，且更易操作和维修。而 与传统自动化机构相比。可调机构有较高的利用率，对相同的任务数而言，具 有较低的成本等优势。因而其应用前景广阔。 对可调机构的综合问题的研究是推广使用可调机构的前提。机构的建模及 求解是研究的重要内容之一。可调连杆机构的独立设计参数个数有限，一般只 能实现有限个精确点。机构的复杂程度与它所实现的任务的复杂程度是一致的。 随着构件数和可调参数个数的增加，机构能完成较复杂的任务，误差也会降低。 然i m 过多的参数会给机构的综合带来麻烦。而目前对复杂可调机构的建模和求 解还不太多。因此，探索能实现复杂任务的可调机构的模型及其构建方法，尽 可能方便地通过调整少数独立设计参数，来实现尽可能多的任务，且有较理想 的精度，并引入合适的算法，以获得最优的结果，具有重要理论意义和实用价 值，也是本课题的目的。 1 2 可调机构的研究现状 1 2 1 机构类型和调节方式 从基本作用来看，刚体导向、实现轨迹和再现函数仍是可调连杆机构的三 大任务。实现的轨迹又可分为封闭曲线和平面中的直线形、l 形和圆弧形。再 现的函数可分为单输入单输出和多输入单输出。由这些任务出发，从最初的可 四川大学硕士学位论文 调平面四杆机构，到平面齿轮多杆机构，再发展到较复杂的平面多杆机构，以 及更为复杂的空间可调机构r r s s 和r s s r r s s 。随着综合出的机构逐渐变复 杂，其实现的任务也日益复杂多样。可调机构的调节方式主要分为调节杆长和 固定铰链中心位置两种。调节杆长又可分为调节输入杆、输出杆、连杆和基架 以及它们的组合。m c g o v e m 和s a n d o r ( 1 9 7 3 ) t 1 , 2 1 对实现函数和实现轨迹的可调 平面四杆机构、齿轮五杆机构、齿轮六杆机构进行了运动综合及高阶综合，并 分别采用调节杆长和调节固定铰链点的位置的方式。s h i m o j i m af 1 9 8 3 ) 3 】等综合 了产生几条互相平行的直线形和l 形轨迹的可调四杆机构和多杆机构，并对轨 迹输出进行了分类，他们首先对可调四杆机构进行综合，在此基础上添加杆组 综合出可调多杆机构，并采用计算产生的轨迹与理想轨迹所包围的面积来得到 结构误筹。s h i m o j i m a ( 1 9 8 4 ) 4 1 等对通过调节中间杆固定铰链中心的三种实现函 数的、1 2 嘶可调六杆机构进行尺寸综合，对调节参数与输入输出关系进行了分类， 提出了四个输出的特性对称性、固定摆心、线性性和静止输出，以定量地 分析这些关系，并得到满足这四个量的运动条件。s h i m o j i m a ( 1 9 8 6 ) i s l 等又进一 步研究了输出摆角可调的平面六杆停歇机构的综合。先综合出具有对称连杆曲 线的四杆机构，再在其上添加杆件成为六杆机构。他们采用分析特征参数的图 形方法，在特征图上选择最佳结构参数与调节参数。s h i m o j i m a ( 1 9 8 9 ) 峥j 对多自 由度的可调机构的数综合与尺寸综合进行了系统研究。针对可调输入为部分冗 余输入且并不起决定输出运动的作用，而能优化如机构的尺寸和形状、运动时 问和驱动马达的能量消耗等特征的情况，他根据机构自由度、独立设计变量数 以及叮调与冗余输入个数进行分类，然后数综合与尺寸综合出可调机构。并定 量分析了工作空间、输入转矩和铰链受力与杆长比等参数的函数关系，从而综 合出既满足运动要求，又实现了结构与能耗的最优化的机构，使其更为满足生 产需要。s a n d o r 等( 1 9 8 6 ) t7 】综合了实现两条轨迹的空间可调机构r s - s r r - s s 刚 体导引。该机构的巧妙之处在于：两个紧邻的回转副中，一个作为任务间调节 用，使调节时另外一个回转副调整到一个新的位置固定下来，而与它相连的球 面副的位置保持不变，从而使各任务的初始点重合。因而这种机构很适用于将 物体从同一位置分送到不同的目的地。s a n d o r 等( 1 9 8 7 ) 隅】又完成了对实现三条 轨迹的空间可调机构r s s r r - s s 刚体导引的综合。c h u c n c h o m 和k o t n s ( 1 9 9 2 ) 四川大学硕士学位论文 【lo 提出了实现轨迹的空间可调机构的一般模型。该模型有两个驱动马达分别安 装在水平面上的可调平面齿轮五杆机构和机架上，分别驱动它们做工作平台的 平面运动和垂直与工作平台的移动的叠加来实现可调空间轨迹。模型的建立还 涉及连杆曲线分类、模式识别技术、齿轮五杆机构的“个精确点综合和统计分 析。c h u e n c h o m 和k o t a s ( 1 9 9 4 ) i l l 基于对可调的由两杆和三杆构成的杆组的综 合，组合得到可调疆杆机构或可调齿轮五杆机构，并克服了以前复数法的一些 局限，推广了设计可调机构的一般分析综合方法。f u n a b a s h i ( 1 9 8 6 ) 【1 2 】等综合了 曲柄长度调节机构，他们在分析了曲柄长与曲柄上直线形或弧形移动副的位移 之间的关系之后，数综合出曲柄长度调节机构。s h a oj i e w a n g 和 s o d h i r s ( 1 9 9 5 ) t h 】采用调节动铰链点的方式，综合出多相刚体导引的可调平面 四杆机构。k e v i n 和s o d h i r s ( 1 9 9 9 ) ”副综合了刚体导引的可调r r s s 机构。它 也采用调节动铰链点的方式，将曲柄和从动连架杆的长度固定，并指定该机构 的旋转轴，从面使约束方程数大为减少而可自由选择的量增加。c h a n g cf ( 1 9 9 9 ) 1 1 6 研究了通过在固定直线上调节曲柄长度的方式产生圆弧，并满足一 定圳线速度的可调四杆机构的综合。由速度与结构参数之间满足的一定的关系 建立约束方程，其约束方程和实用的机构特性由交b e ( 杆长比的比值) 这一概 念而得。 1 2 2 综合模型的建立 连杆机构的尺寸综合，主要有作图法和解析法。在早期可调机构的研究中 主要是作图法( b o n n e l l ( 1 9 6 4 ) t 1 7 1 ，h a n d r a - l u c a ( 1 9 7 2 ) t 1 引，t a o 和b o r m e l l ( 1 9 6 8 ) t 1 9 1 ， p r e s s m a n 和m o t h e r w a y ( 1 9 7 4 ) e 2 0 1 ) ，其中h a n d r a - l u e a ( 1 9 7 2 ) t 1 8 】设计出带有可调输 出摆角的六杼机构。t a n 和k r i s h n a m o o r t h y ( 1 9 7 8 ) 2 q 综合出实现具有双点的可变 对称连杆曲线的四杆机构。但是作图法较为复杂，且精度不高，尤其是对于空 m 机构，山于它是利用投影几何学的方法，其运动副类型较多，机构类型也相 应较多，使作图更为困难。s h a oj i ew a n g 和s o d h i r s ( 1 9 9 5 ) 综合的多相刚体导 引的可调平面四杆机构【l ”，采用数值法辅以图形分析解出在运动瞬心位置的 解，并利用类似于w i l h e l m ( 1 9 8 9 ) t 1 4 l 提出的数值法寻求出其它解。随着计算机技 术的快速发展，现今多采用解析法或两种方法相结合，并以解析法为主的方法， 四川大学硕士学位论文 它主要采用位移矩阵法和复数法这两种描述运动的分析方法。位移矩阵法是研 究连杆机构分析和综合的基本方法，它便于数值计算，特别在涉及空间运动的 问题中，用位移矩阵法尤其方便。姚进和徐礼矩( 1 9 9 3 ) 9 改进了实现三条轨迹的 卒m 可调机构r s s r r s s 网i i 体导向综合的方法。他们在前人采用位移矩阵法， 以等距条件建立s s 杆组的精确综合方程；以共面和等距条件建立r s 杆组的精 确综合方程的基础上，建立起整个空间可调机构的优化综合数学模型。该方法 具有设计变量和综合方程少的特点。复数方法适用于平面多杆机构的分析与综 合。b o n n e l l 和c o f e r ( 1 9 6 6 ) 吲采用了复数方法来综合实现函数的可调铰链四杆机 构。前面提到的多篇文献 1 , 2 , 1 0 , 1 1 】也采用复数法来描述运动。总体来说，可调机 构的运动综合方法比较完善。但对于可调机构的调节范围、可调的结构对机构 的运动性能和动力性能的影响的研究有待于进一步完善。 1 2 3 综合方程组的求解 位置综合的约束方程通常为一组非线性方程，其常用的求解方法有优化法 和消元法等。 优化法的特点是编程容易，已有许多成熟的软件，缺点是要有好的初始值 j 能保证收敛。随着遗传算法被引入到机构综合中来，使得结构误差得到有效 反映，避免了选择相应比较点的困难，不再需要建立分析函数以决定如何选择 参数，计算容易，能寻求到全局最优解。z h o u h 和t i n g k l ( 2 0 0 1 ) 田1 采用遗 传算法综合了实现连续轨迹的可调曲柄滑块机构。他们取曲柄滑块在理想状态 下运动导轨的最大最小偏心距之差为目标函数。邹慧君等( 2 0 0 2 ) 【2 4 筇】采用遗传 算法分别综合了实现连续轨迹和函数生成的可调四杆机构，两机构分别取曲柄 连杆在理想状态下从动连架杆的最大最小长度之差，和理想与实际输出角之差 的最大值分别乘以权重之和为目标函数。混沌模式优化方法是根据混沌现象的 研究而得。混沌现象是指在可确定的物理和数学系统中，系统随时间变化的运 动状态对系统的初始条件非常敏感的现象，它具有三个性质：1 ) 随机性；2 ) 遍 历性：3 ) 规律性。混沌用于优化设计的根本点在于混沌的一个轨道可以在其吸 t 川r f | 稠密，当时问足够长，这根轨道能以任意精度逼近吸引子的任意点，混 沌现象的遍历性使混沌方法能得到全局最优解。冯春和陈永( 2 0 0 2 ) b 6 j 将混沌优 4 四川i 大学硕士学位论文 化方法应用到平面四杆机构轨迹的优化综合上。 常用的消元法有结式消元法、数学机械化方法和b u c h b e r g e r 算法等。结式 消元法是用于求解多项式方程组所有解的方法，通过一定的结式消元步骤设法 获得一元输入输出方程后，回代求解其余未知变量，从而得到原方程组的所有 解。其不足之处在于消元时技巧性较强和高阶结式的展开较困难，从而影响了 它在机构问题中的应用。数学机械化方法也是一种用于求解多项式方程组全部 解的方法。它是由我国吴文俊教授创立的。该法通过对变量的排序、多项式分 组、约化、构成基列、求余等运算，可将一个非线性多项式方程组化简为一个 等价的三角化方程组，从而得到原方程组的封闭解。它除了具有结式消元法的 优点外，还有一个突出的特点，就是它的消元结果既不增根、也不失根。其主 要不足是消元过程中多项式的个数会迅速膨胀，有时会导致消元运算中途夭折。 由于机构综合中的非线性方程组大多较复杂，从而影响了该法在机器人和机构 学领域中的应用和发展。林光春( 1 9 9 8 ) 2 7 1 将数学机械化方法用于平面四杆机构 的函数综合，求得了综合方程的全部解。b u c h b e r g e r 算法首先由b b u c h b e r g e r 于1 9 6 5 年在他的博士论文中提出了有关c _ r r o e b n e r - b a s e s ( 又称标准基) 理论及方 法，后经k a l k b r e n e r , n t a k a y a m a , j m o s e s 等和他本人的进一步完善，使该法成 为川j ：求解：啦线性多项式方程组全部解的有效方法，其基本思想是在原非线性 多项，系统所构成的多项式环内，通过多项式进行约简，生成一个与原系统等 价的且便于直接求解的三角化的标准基，从而避免了数值迭代解法的种种问题。 b u c h b e r g e r 算法的主要不足在于变量排序困难，有些排序甚至求不出标准基。 另外，在约简过程中多项式的个数会迅速增加，有时也会导致求不出标准基。 李立等i 2 州将b u c h b e r g e r 算法用于平面四杆机构综合问题，但要将该法推广到其 它更复杂问题的求解，仍需进一步的研究。 近几年出现了一种机构运动特征参数设计法【2 9 】。已成为平面机构综合的重 要工具。它的基本思路是：1 ) 产生样本：将各种运动尺寸的机构的有关运动特 性提取出来，使运动特性和机构的几何运动尺寸形成一个一一对应的关系；2 ) 根据设计要求的运动特性，按照上述形成的关系得到所要设计机构的运动几何 j t 、j 。在进行连杆轨迹综合的时候，这种方法能够较好解决曲线的形状问题。 m 符种机构运动特征参数法都有各自的特点，其中比较明显的区别之一是： 四川人学硕士学位论文 如何由已有的样本，根据设计要求，得出设计结果。一种方法是在样本库中利 用优化方法，或模糊图形匹配方法，找出与设计要求最为接近的样本，即“检 索法”和“基于实例推理的方法”；还有一种方法就是利用神经网络技术。王知 行等 3 0 】采用前者综合出了六杆间歇机构。 1 2 4 应用 s h i m o j i m a ( 1 9 8 1 ) p l 】等通过将实现轨迹的可调四杆机构连接在驱动源上， 将其应用到自动传送机上。在理论上和试验中研究了机器在载荷波动下的动力 学特性，从而使机器快速而准确地传送和定位成为可能。r y a n 和h u n t ( 1 9 8 5 ) 口2 】 将产生直线形轨迹的可调连杆机构应用于腿形运载装置的设计中。另一方面， 许多计算机辅助工具已被开发以分析和仿真复杂的机构，如a d a m s 、d r a m ( c h a c e1 9 7 8 ) t 33 1 ，和综合机构如i m p ( s e t h1 9 7 2 ) t 3 4 1 。c h u e n c h o m 和k o t a s ( 1 9 9 4 ) 基于其前述方法开发了综合可调机构的通用软件c a d a r m 1 3 5 。 1 3 可调机构研究发展趋势 由于前面提到的机构运动特征参数设计法在进行轨迹综合的时候，能够较 好地解决曲线的形状问题，因而将该法应用到实现轨迹和实现函数的可调连杆 机构的综合求解上，并引入专家系统以及神经网络技术，极有可能成为可调机 构综合的一个重要发展方向。另外，由于结构简单的可调机构所实现的任务的 复杂程度一般较低，因此，可调机构必将向较为复杂的平面多杆机构和空间机 构发眨。在综合模型的求解方面，由于各种消元法都存在一些明显不足，影响 了其在机构学领域的应用和发展，但可将消元法与计算机图解法相结合，虽不 一定能得到全部解，也不失为一种好的选择。 1 4 课题的来源和论文的主要内容 本课题得到了四川省科委应用基础研究项目“可调机构及其设计理论的研 究”的资助。 首先从机构类型和调节方式、综合模型的建立、综合方程组的求解和应用 p u 个力i 对州渊机构的研究现状进行了归纳和整理。依据自身的研究提出了可 6 四川大学硕士学位论文 2 机构分析与综合的相关知识 2 1 结式消元法 结式消元法是用于求解多项式方程组所有解的方法。该法从给定的方程组 构造出一具有足够多个方程的导出方程组，然后把这个导出方程组看作为诸未 知元各不同幂积的线性方程组，从而利用已得到充分发展的、丰富的“线性方 法”来研究原来的非线性方程组。较之别的方法，结式消元法一般具有较低的 复杂度和简明的表达式。它已在机构分析和综合中得到了较多应用。下面介绍 结式消元法的些基本概念和定理。 2 1 1 定义 记x i , x 2 ，“：x 。为变元。对于m 元实系数多项式f ( x l ，j 2 ，) = 羔口正来说 t l ( 式中，r = 1 7 x ，幂指数如均为非负整数，本文约定多项式中的同类项己 j 。l 合并，且待消去的变元的下标按从高到低的顺序已经排好) ， 1 多项式f 中变量的最大下标m ，称为多项式的类，记作m = c l s ( f ) 。对于只 含有非零常数的多项式，定义c l s ( f ) = o 。多项式的类也就是多项式的变量维数。 2 设多项式f 的类为m ；，变量的最高幂指数d 。= m a x k 。) 称为多项式的 度，记作d m = d e g ( f ) 。对于常数多项式，定义d e g ( f ) - - 0 。 3 a i t t 和研乃为多项式f 中的两项，若此两项中有一项为常数项，则称非常数 项为上述两项中的高项。设乃和乃中变量的最大下标分别为m i 和竹，若棚f 竹， 则称m ，、m ，中较大者所对应的项为上述两项中的高项：否则，若幂指数不相等 的最大下标为r ，即k i r “，k i q = p 0 d e g ( f ) = m 0 ，d e g ( g ) = k 0 ，则 f ( x i ，工2 一，x 。) = a 0 ( 工i ，工2 ，x n - i ) x ? + a l ( x i ，x 2 + 口一l ( x l ，。2 一，x n - 1 ) 工 + 口m ( 工i ，x 2 一，x n - i ) g ( x l ，工2 一，x n ) = 6 0 ( 耳l ，x 2 一，x n 1 ) 工：+ b l ( 工i ，工2 + b kl ( x l ，x 2 一，x n - i ) 工 + b k ( x l ，工2 ，x 月- 1 ) 定义：称多项式行列式 l a oa l a m 0 “0 l0 。j l ；，。o 尺c x 一，x ：，一，x 。一。，= l l 0 a 巩o 0 ：翟 卜o 。_ ：i 1 00 b ob l b i ( 2 2 ) ( 2 3 ) 为式( 2 2 ) 多项式f 和g 的结式。结式r o 。如”：粕) 就是从式( 2 - 3 ) 中消去后所 得的结果。 2 1 3 多项式方程组的消元过程 利用结式的消元功能，可对方程组( 2 1 ) 逐次消去而，x n 1 ，x 2 ，最后得到 只含x ，的代数方程；然后回代，求得方程组的所有解。其求解步骤如下： 1 从方程组( 2 1 ) 的月个多项式以x ，瓢“二南) ，f 珂中挑选出所有类为疗的 函数，并组成集合( p s i ) ，记为岛) = g 缸。地”j ) ，i k ) 。把方程组( 2 - 1 ) 中挑 剩的所有函数组成集合( 尸s ：一。) 。利用厶1 个结式从中，) 消去。，可得厶- 1 个只含x i , x ：，如一l 的函数，并把这毛1 个函数的全体组成集合( p s ：一。) 。 2 从集合( p s ：一。) 和( p s ：一。) 中挑选出所有类为n - 1 的函数，并组成集合 ( p s 一1 ) ，记为( j p 品一1 ) = 肛l ，x b ”：粕) ，i k 1 ) 。若妒晶一1 ) = o ，则令h i = 0 ，转步 9 四川大学硕士学位论文 5 ；否则，将( p s ：一。) 和( p 一。) 中挑剩的所有函数组成集合( p s ：一：) ，利用k 1 个结式，从( 尸晶一1 ) 中消去x n 1 ，可得函数集( 尸s ：一，) 。 3 重复上述步骤n - 2 次，可得函数集( e s o 和( e s i ) ，从( p 墨) 和( ，哦) 中 挑选出所有类为2 的函数，并组成集合( p s 2 ) ，记为( p ) = g 。 b x 9 ，i 恕) 。若 ( p ) = o ，则令q l = 0 ，转步5 ；否则，把( 尸受) 和( 船；) 中挑剩的函数组成集合 ( 邢。) 。利用如- 1 个结式，从( p s g e p 消去x 2 ，得函数集( 尸s ? ) ，并把( p 叫) 和( ，吲) 合并成一个新集合( p s i ) ，记为( p s l ) = w ，0 ) ，i k 1 ) 。若( p s l ) = g ，则令w i = 0 。 若( p s l ) 中有一个函数为常数，则转步5 ；否则，转步4 。 4 若k i 1 ，i t ( p s i i ) e p 有2 个函数的结式不等于零，则方程组( 2 1 ) 无解， 停止：否则，求出( 尸s 1 ) 的所有公共解，即求出同时满足k 1 个方程w 缸。) = o ，i k i 的所有解x 1 ) ，x ，将z f “，h e s l 分别代n ( p s 2 ) ，求, q 4 , ( p s 2 ) 的所有公共解， 即对每一个x p ，求出同时满足如个方程吼( x f “，x ：) = o ，i k ：的所有解。如此 做法，最后通过求解( p 蜀) 可得方程组( 2 1 ) 的所有解，停机。若在求解过程中， 某一( 鹏) 无公共解，则方程组( 2 - 1 ) 无解，停止。 5 若( p s t ) 中有一个函数为非零常数，则方程组( 2 1 ) 无解，停机；若( p l 劝中 有一个函数为零，则通常表示方程组( 2 1 ) 有无数个解，停止。 2 2 位移矩阵法 位移矩阵法，顾名思义，用矩阵的形式来描述刚体位移的方法，是由苏庆 华( c h s u h ) 在坐标变换矩阵用于机构分析的基础上提出的用于综合机构的方 法。该法内容较多，在此只介绍本文曾使用过的绕直角坐标轴的刚体旋转矩阵 和刚体位移矩阵。 2 2 1 绕直角坐标轴旋转的刚体旋转矩阵 图2 1 表示固连在旋转刚体上的一个定长向量绕z 轴的旋转。向量v 在位 移前后的所有分量都是相对于固定的x - y 轴参考系来度量的。 0 凹川大学硕士学位论文 0 v 1 x x 图2 1 向量相对于固定的z 轴的旋转 刚：瓣- s i n g 蕺 卧鞠鞠 卧瞄 2 2 2 刚体位移矩阵 定义 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 1，j j ， z u h h 丌o o o o o 皿 v o量 一 c 四川大学硕士学位论文 有限旋转中心：当一个平面从位置l 以给定的转角转到位置2 时，该平面 上总是存在一个位置不变的点。此平面可以看作是在绕固定平面上的这一点旋 转，该点通称为有限旋转中心。 基本旋转矩阵方程式( 式( 2 5 ) 一( 2 7 ) ) 描述了任何一个固连在刚体上 的向量的旋转，这个向量通常用刚体上的两个点来表示，其中一个参考点p 位 于向量的尾端，而另一个要求解的点c l 位于向量的头端。对于刚体平面运动( 图 2 2 ) ，我们可以把( 2 - 5 ) 改写成 q ，- p ， c o s ? - s i n oo l q , ，p l ， 1q ，一以h s i n 8c o s o0 9q 旷p i ，l ( 2 8 ) l 0 jl o0 1 北0j 式中目是刚体相对于固定坐标系x - y 的转角。 旧9 7 图2 2 刚体平面位移 式( 2 - 5 ) 可用简洁的形式写成 ( g p ) = r oj ( g l p 1 ) 由式( 2 6 ) 求解q 得 q = r oj ( g i p 1 ) + p 重新整理式( 2 7 ) 各项，可求得其另一形式 q = k 】q 。一k 】p ，+ p 对平面位移可把上式写成3 x 3 的矩阵方程 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 四川大学硕士学位论文 件瞄- 咖s i n p 8 麓裟2 肆：= l o jl o01 j 脚炒蚓q l x m 。捌 上式中3 3 矩阵【d 】即为平面位移矩阵。这种位移矩阵方程对反复数值计 算是有利的，因为其中所有矩阵元素都是根据参考点p 的已知位移和刚体的角 2 3 采用位移矩阵法时导向杆的约束方程 一个完整的刚体导向机构( 函数再现机构运用运动倒置原理可转化为一个 相当的刚体导向机构) ，通常包含具有不同约束数的构件。 2 3 1 球一球( s - s ) 构件 球一球构件是用于空间刚体导向的最简单的一种两个运动副组合形式。s s 构件通常必须至少和另一个约束数较高的导向杆联合使用。s s 构件只须 满足定长条件。假定固定铰接点为蜘，且其相应动铰接点为4 ，则得s s 构件 位移约束方程为 ( a 一a o ) 。( a ，- a o ) = ( a t 一口o ) 。( 口i 一矗o ) 产2 ，3 ，丹 ( 2 - 1 2 ) 式中 口o _ ( 口缸，a o y , 伽：) a l 。( a l d 口舢口1 0 田= d 胡口1 由于有a o x 、锄，、t 2 0 r 、a 小a l ，和口l z 六个未知量，最多能给定刚体七个有 限分离位置。 四川大学硕士学位论文 23 2 转一球( r - s ) 构件 r s 构件可视为另外又加了一个约束的s s 构件，这个另加的约束使球面 剐的柑划运动限于仅能在垂直于回转副轴线的一个平面内旋转。上述转动轴线 必须给定一点，可以把口。定在球面副的旋转平面和转动轴线的交点。则得r s 构件位移约束方程为 ( d ，一a o ) 7 ( a ，一a o ) = ( 口l a o ) 7 ( 口l a o )产2 ，3 , - - , n “o 。( a ，一a o ) = 0产l ，2 , 3 ，n 1u o = 1( 2 1 3 ) 代入毋= d l j a l 后，得到一组具有甜吣u o y 、a o x 、a o y 、a o z 、i ：1 x 、a l y 和口l ：九个未知量的非线性设计方程。当给定刚体四个位置时，最多可得到八个 设计方程式。当给定五个位置时，可得十个方程式，但此时无解。当给定四个 位置有八个设计方程式时，可自由选择九个未知量中的一个作为已知。 2 4m a t h e m a t i c a m a t h e m a t i c a 是一种数学分析软件，它处理符号的功能特别强，可得到解析 符号解和任意精度解。本课题是利用该软件所提供的符号运算、数值计算和图 形的功能来完成消元、有约束优化以及求解一定值范围内的全部实数解的。 2 4 1m a