（运筹学与控制论专业论文）仅有两个数字恰好各出现两次的图序列.pdf

仅有两个数字恰好各出现两次的图序列 摘要：如非负整赦不增序列d = ( d l d 2 ，d 。) 中仪有 k 夸数字恰好务虫王霓t 次，英它数字拨此奎不柱等，嚣d 为躅黟梦唾， 则称d 为g ( n ，k ，t ) 蠲序列本爻讨论了g ( n ，2 ，2 ) 萄序翔， 得到非负整数不增序列d 为g ( n ，2 ，2 ) 图序列的觅要条件 关键翊：度痔筑麓序秘g 强，2 ：芴谨薅_ 斑 o nt h eg r a p h i cs e q u e n c ew h i c hc o n t a i no n l yt w o n u m b e s a p p e a r i n ge x a c t l yt w i c er e s p e c t i v e l y x uj i a nh a o a b s t r a c t ：l e td = ( a l l ，d 2 ，d n ) b ean o n l n c r e a s i n gs e q u e n c e o f n o n n e g a t i v ei n t e g e r s ，i n w h i c ho n l yh u m b e rka p p e a rt t i m e s r e s p e c t i v e l y ，a n da l io t h e rn u m b e r s o ft h es e q u e n c ea r ed i f f e r e n t ，a n ddi sa g r a p h i cs e q u e n c e ，t h e ndi ss a i dag r a p h i cs e q u e n c eo fg ( n ，k ，t ) i n t h i sp a p e r ，id i s c u s st h eg r a p h i cs e q u e n c eo fg n ，2 ，2 ) a n do b t a i ns u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n 。 k e y w o r d s ：d e g r e es e q u e n c e g r a p h i cs e q u e n c e g r a p h i cs e q u e n c eo f g ( n ，2 ，2 ) 娃- 仅有两个数字恰好各出现两次的图序列 l引言 本文仅讨论蕊单图咒来加定义的术诿符号同【2 】 匿g 煮h 个顶点，它的发数序剜d * ( d l ，d 2 ，d 。) 称为图 序列，如果存在简单图g 以d 为其顶点的度序列翻g 称为d 的熨现 目前有关翻序列的研究主要分三个方向 方向一磅窕菲受整数魏不增寒刭d = ( d i ，d 2 ，d 。) 麓爨穿 荆的条件d 为图序列的第一个充要条件是由h a v e l 6 h a k i m i ( 7 s e n i o r 8 k l e i t m a na n dw a n g 9 相继完成第二个充要条件由 e r d 6 s g a l l a i 1 0 】得到。这一结论叉由c hz , n gh a i s o n ( u 运用 f u l k o r s o n ，h o f f m a a n dm a ca n d r w 1 2 j 绘凄男一诞鹾方法 g l 理1 1 非负蹩数的不增席列d = ( d 1 ，d 2 ，靠。) 为图序列的必 要条件是量a l t 为偶数- 本文魏冀它g l 理，定壤审邃省略冀妊要条簿。 _ 疆1 2 e r d 6 s g a t l a i ) n 稚受整数的不增序列d = ( d ， d 2 ，d 。) 为图序列的究舞条件是： ch d ，t ( t 1 ) 4 - r a i n l ，d ， ， ( 1 # 一l 成立，( * ) l * l+ l 引理1 3 2 】序列d = ( d 1 ，d 2 ，d 。) 是j e 负整数的不增序 列，令d = ( d 2 1 ，d 3 l ，d d + l 一1 ，d j + 2 ，d 。) 贝4d 为 鲻序列当且仪恣d 7 为嚣序列。 方向二辩究潜p 一翻窍嘲，强p 一强彦列 一个图净列d 称为潜p 一图序列，如至少存在序列d 的一个实现圈 g ，且g 具有性质自 一个图摩列d 穆秀强p 一强痔列，翔窿列d 静经意戆实瑗爨g ，g 都具有性疆 晟早研究潜p 一图序列鼹e d m o n d s ，他在文 1 3 中得到潜 一边 t 滋通的图序列的充要条件，目前在这方僦已有许多成需，部分成祭可见 文【i 4 2 5 + 方向三研究蓬痔判酾憔瑗 图序列d * ( c ，1 ，d 2 ，d 。) 称为g ( a ，t ) 图序列，如图 岸则d 中仪搬k 个数字恰好每个数字均难现次，篡它数字彼此念不 襁莓。 最早磷究遮个问题酌魑b e h z a d 、c h a r t r a ，z d ，彳墩们在文e 3 中获 莩睁g ( ，z ，1 ，2 ) 图序列的究要条件谯这方面，目的只有g ( 扎l ， # ) 鲍成果，2 时，无任拇结论， $ 理1 ，4 t 3 e 融a d ，c h a r t r a n d 【3 3 设2 ，存在一令援有数字j 恰好出现二次的g ( 1 ，2 ) 图序列的究要条件为： 等一1 j 罢 l 疆i ，5 h u t c h i n s o n ； 4 1 霸n 4 ，弼存在一个仅有j 稔好寝残 置次的g ( 1 ，3 ) 图序列的充要条件为： 等3 j 曼 g l 疆t ，6 积侧、p i o t r o z , s k i 、s h r e 口e ； f 5 】；设摊1 ，辩存在一 个仅有数字j 恰好出现t 淡的g ( 1 ，t ) 图序列的巍要条件为： 赫，一t 一毽焉“+ 2 圭要缝桊 如图序列d ；( d d 2 ，d 。) 中仅有两个数字恰好各出观丽 次，其它数字镀越都不籀等，鲻黎虽窟d 鸯g 轧2 ，2 銎序弼 2 1 茏弧藏点麓gt n ，2 。2 ) 隰潦翔 由鸽笼原瑗知，图序列d = ( d 1 ，d 2 ，d 。) 为无孤立点的g ( 牲，2 ，2 ) 图蹿鳓辩必要条悔：d 一2 ，羽( d 。2 耩以无孤立点懿 g n ，2 ，2 ) 蕊痔懿麴臭鸯下弼三静幸翥蕊： ( 1 ) d 1 = “一2 ，d 。= 1 ，( 2 ) d l = n l ，d ，。= 2 ( 3 ) d l = ”一1 ，d 。= l 2 1 1d l = ，f 一2 ，d 。l 显然，露这种情况下，1 ，2 ，3 ，”一2 这n 一2 个数字中每个 数字在序列中麓少出现一次 定理2 i 如， 7 ，镪歪整数j ，l j l 旦则存在一个仪有 i ，( i j ) 桧驽各出袋二次静g ( ”，2 ，2 ) 嚣穿弼的充要条 拳为： l ! 早j j i l 掣j + j 证明：分鼹大步 第一步令w = 2 k ( 女为正整数) 蒯：l - 翌 上= 女一l 必要性如：i ( k 1 ) + j ， 则： 破一i + ( 2 女一l 一) 一毒( 3 2 5 k + 2 ) + i k ( k 1 ) + 妻m i 。 ，矗小：3 k 2 一了5 + 女 因为k + j i + 1 ，所以蠢件( * ) 不成立 女li ( 女一i 一j 凳l ： 莹吐：k - i 一川。了3舡可5(2k 1 1 5 女十1 吐= 一一f ) = 百女2 一了女十 ( 1 一t ) ( 一2 ) + 妻m i n 女一l ，t = 了3 女2 一了5 + l + i + j + l 困为i 十j + 1 女，掰戳条件( * ) 不戎立 充分性分四种情况： i j = 1 ，l i 2 k 一2 i ，1 j = 女一1 ，k 一 i 2 k 一2 ，壤懿矮数弱大小分下列露耱重毒凝： i 2 k i l t 如：妻( 2 一1 一。) ：一丢z + 2 k 一寻 ( 卜1 ) + r a i n h d 。卜一了l 2 + 2 k t 一可1 1 m 逸氟 卅) 十扛一言# 2 i 1f + 2 k 卜2 k + l 十f 根据i - 2 k 一2 ，验算知满足条件( * ) l = 走l ， i 斗2 女一1 m ) 。( 。1 n 。蚤；蝴”r | = k ( k + l ，+ 喜女 奄一l 壤蘧i 2 纛一2 ，霉器潢瀑袭孬 * 。 渤k + l c 2 女一1 ，蚤2 + 薹m l 删，* 2 k # 善2 扣量2 卜3 詹牟 ”l m 1 1 。 。 一l 牛蕊鞲 珠； = 吾2 一号2 瓤牛2 k ：蠢 根据f 2 自一2 ，可诫满足条件( * ) 三一；，j 。女t ，l i 女一l 。根据碳羧 蜒太小努下烈蹬静错溱； 国 i 善一1 m ) m 一吾“2 k z 一兰z l 一 赫赫f | ，蟊 一一睾1 2 2 k t ，喜 4 o 显然蒲鬟拯季孝 * 2 盎 w 一吾s ：2 k , 一喜； 。蚤，删m 如7 。一吾“2 k t i 3 = r 十j脚z 矗 蠢，辟 o 酞2 。 i 一 t l 自 一，ln 一 一2 妒 一 3 2 ，l1 = 氏 髋 如 ，h 亳一 ： 蠡 o ；d d 。= 1 + ( 2 k 一”t ) = 1 + 告( 一1 ) ( 4 k 一卜w 2 ) 。一1 ) + r a i n f ，d 。 一( 一1 ) 十( 2 k 一i ) ( 2 k 一# ) + i d 。= i + ( 一i ) + ( 2 k 一1 一，) t ( f 一1 ) 斗m i n h d ，1 = t ( t 1 ) + 寺( 2 女一) ( 2 k 一十1 ) 窑d 。= 寰( 2 一l 一训。一吾f z + 2 越一寻 t e 。、；，- 。誊。n n i n ；t ，c z 。， = = ：妻：i ：喜：2 2 女k t 。，：5 妻。i ， ”1 l 一， 2 一导+十ff 壹d 。：h t - i ( 2 一l 一神：一吾z 一 + 2 肌一2 k + l + i ，。蠢 、，f 一喜弘主t + 2 k 。 t j 一l+。善hlin罐m2一善。一t+2ktl1 i+ ，。， m 。f + ， 。，j 根据i 2 k 一3 ，验算知满足条件( * ) 女 t 2 k j 。( j 1 ) 壹厶：f + 萎( 2 一1 一。) 。吾z 一了1 + 2 k 一2 k + l i ( 一1 ) 十奎m i n ，d 。l ：i 3 2 一了1 + 2 k 2 2 k f k + ， 根据i k l + j ，四诞满足条棒( * ) 2 k j 1 ) 竞矗。，：i 十j + j2 ( 2 一l 一。) ：2 k + 丢一毒2 4 k + 】+ l 十， ( f 一1 ) + 奎m i n ，d 。 ：百3 2 一i 3f 一2 k + 2 k 2 + 一t + 1 “。 根据 i 女一1 + j ， k l ，可证满足条件( * ) 。 缘台一知1 i 。2 巍分缝拔立。 掇。l - j k 一1 且j j + 1 ，k l j i k 一1 m 1 1 j k 一1 且i j 十1 ，i = k 一1 ，显然此为i 中的一部分 m 。2 1 j k l 且i j 十l ，6 一l j i k 一1 蔹瑗数t 麴大西分六静猿况： l f i 宴如= 奎( 2 一i 。) 。一了1f z + 2 k 一芸f t ( t 1 ) + 毫m i n h d 。i ：一吾2 一丢+ 2 k m = ，_ 1 。 显然，满足条件( * ) + j i 塞靠= 2 ( 2 k l 一。) ：一要2 + 2 女一李。 li 。o t ( t 1 ) + 宴m i n f ，d 。净一喜2 一i 3 + 2 k f + j 显然，满怒条件( * ) ， i f k l 6 d 。= ( 2 k l m 一w l 昙+ 2 k t 1 ) + 奎m i n d 。 = 一虿1 。2 彳3 q - 2 k + i 十j 一 一r 1 。 医为i + j ，所以满足条件( * ) k 一1 2 k i 一1 d 。= 2 一l m ) 。一言2 + 2 觚一号 ( # 一1 ) + 塞m i n 涵d 。b 丢2 + 毒一2 艇+ 2 k 2 十一3 + ；+ j 肼” 一一 壤据i + i k i 基。为磁整数，褥戮证明满跫强纷( * ) ， 2 女一i 一1 t 2 k j( j 1 ) f1 i d 。* i + 一每( 一1 ) ( 4 a 一一2 ) 4 - i 册= im = i t ( 一1 ) + m i n h d 。l = z ( z 1 ) 十专( 2 k 一一1 ) ( 2 女一) 十j 根据i 女一1 且i l ，可以证明满足条件( * ) + 2 女一j 1 ) 。 c f 。= i 十+ ( 2 1 一 z ) = 寺( 一2 ) ( 4 k f 1 ) + i 十j lm2 1 f 一 ) + m i n l t ，如| 叫f f 1 ) 毒( 2 蠢一t ) ( 2 k 一 m 1 一 根据i k l 且j l ，可证满愆条件( * ) 综合2 中一知究分性成立 羔v ，l j k l ，j ) i + l ，k 一1 一j i k l ，鼗即： k 一1 一i ， k + j ，则： + 7 嚣( 2 k 川* 主3n 吾* + ： 一1 ) * 百女2 一吾 + z 。l 一一 k ( k 一】) + m i n 女，d 。 = 百3r k 2 一毒女+ j t * 十1 。“ 显然不满足条件( * ) 妇i k j 则： 奎也。壹一。) ：吾 ：一吾 t ( k 1 ) + 童m i l l ，d 。b 寻女2 一寻 十i + ， l2 l “。 显然不瀵是条孛争( * ) + 充分性，分四种情况： i j = k ，i i 2 k 1 1 1 j = & ，k i 2 女l 。 粳据磺数鹩大小分下弼靼静特撼： l f 2 k i d 。= ( 2 k 一。t 卜一喜f 2 一要+ 2 k mw t。l 山l t ( t 1 ) + m i n f ，d 。卜一百1 2 + 百1 + 2 k z 显然满足条件( * ) 2 k i k d 。= i + ( 2 自一”1 ) = 鲁( 4 一t ) ( 一1 ) + ： m 一1i o f ( 一1 ) + m i n z 。卜一妻2 + + 2 k 攫据i 2 女一1 ，验算鲡满足条箨( * ) 。 t = k + l d 。 f ( t 一1 ) + r a i n f t ，d 。 一+ i = k ( k + 1 ) 十告 ( k 十1 ) 8 + = d 。 ”一是2 。一 + 根据i 2 女l ，验算知渊足条件( * ) 、 k _ t 2 k d 。= ( 2 女j ) “ k = 如z 2 ) ( 4 k 一# 十1 ) + ：十女 t ( t 1 ) + 乏：m n ，d 。 一t ( t 1 ) 牛( 2 k 十l f ) ( 2 女+ 2 。，) 臻囊i 2 女一l ，可迸满避条嚣 * ) i 。2 j = k ，1 i 女，根榴嗽数t 的犬小分下列四种情况： l i 矗= 2 女一一喜2 丰2 k t 。，喜z f ( i ) + r a i n f ，d 。l * 一喜，2 + 2 k t 十占， 疆然瀵楚燕转* ) ， f d 。= ( 2 k 。) 寻一 2 k 。嘉l # 一 ) 戳i 羟；| ，森 兰喜z 2 2 k 委! 显然满足璐件( * ) 女 2 女+ l i ( i 1 ) 墨靠一囊譬2 一m ) = 女毒( t ) ( 4 k 一 p ( 卜j ) + m i n h d 。 s ，( 一1 ) 十耳1 ( 2 女一) 一+ mi mo t舶 褒蘩i l ，验冀簿辩礁麓条器* + 固2 十l i 2 女( i 1 ) 。蚤d 。= j 十 + 薹牡“托叫( 4 女一十1 )m l l m = l | 硪k 毒。 一 o 一 专毒( 2 聃l ( 2 2 z ) 一f l 4 依据 i k ，可证满燃撩件( * ) + 擘 “1 j k ，女i 十j 1 i 1l i k ，i = k ，显然筵鸯it p 熬一邦分。 h 2i j k ，k i + j ，根据项数t 的太小分成下列斟种情况 i t 2 k i 奎如：塞( 2 女一莉：一吾z ：一毒z + 2 艇 ( f 一1 ) 十r a i n d 。 显然，满足条件( * ) 。 2 k i t k 妻g 。；t - i ( 2 女一。；) + 汪i + i - ( 4 k ) ( 一1 ) t c t t ，+ ，。摹；n 、i n z ，“。 = 一l2 ；1 ：i ：+ j f + l j t j 奎d 。：i + t - i ( 2 女m ) ：一了1 2 + 2 艇+ ：+ f 一2 k + i m 叫) 十。耋，r a i n 州， = 詈卜吾f + 2 k 2 十女一2 k h j一i + 1 。 依据，f k + j 且f 为难整数，可诫满足条件( * ) 。 2 一j + l 1 ) 2 2c z 。= i + j + ( 2 k 一) = “1 一2 ) ( 4 k h1 ) + i + j ( 一1 ) + m l n lf ，d 。 = t ( t 一1 ) + l ( 2 k + l 一) ( 2 女+ 2 f ) 依据，i 十j 3 k ，可诫满足条件( * ) 1 l i 1 j + z 女 女 2 2 + +f 0 2 t 2 + 一 2 2 t 一2，2 一 一 ，、，l | t h i 1l j k 且i j + l ，i = = k ，显然此为i 中的部分。 瓣21 j k 盈i j 十i ，k 一，i k 。镶矮数t 缝大，| 、分f 残 6 种情况： l t j 2 如= 妻一莉= 一虿1t 2 2 k e 一吉t 。i 一 f ( 一1 ) + 妻l n i n h ( f 。卜一| _ 1 2 + 2 k h 可1 量然，满足条件( * ) 。 j i ，塞d 。= 耋扣一墨产慨卜吉z ( 一1 ) + 壹溉。h d mb 一丢：+ 2 k 一jh j 显然，满足条件( * ) i t k 矗。= ( 2 女一，n ) 一i 1f ( 4 k 一一1 ) ( t 1 ) + 妻。i 。 州。，卜一吉z 一；f + 2 k + j + j 依据，i + j k 且f 女一1 ，可证满足条绛( * ) k 2 k i d 。= ( 2 一w ) 一告( 4 k f 一1 ) t ( t 一1 ) + r a i n i ，d 。| = i 3 2 一彳1 卜2 k t + 2 k 2 一k 手iq - j 依据，i + j k ，可试满足条件( * ) 2 k i 2 k + l j( j 1 ) 矗。= ( 2 女一) ；= i + i i 一1 ) ( 4 女一) ( f 1 ) + r a i n f ，d 。 _ t ( t 一1 ) + 告( 2 自一) ( 2 女一，+ i ) j 依据，i k 且j l ，谢泛满烂条秘：( * ) 2 女i j 1 ) f r 一2 ， ( f ，= i + ，+ ( 2 一) = f 十j + 寺( f 一2 ) ( 4 k f + 1 ) 一l ”r i 一1 ) + 嘶1 f ，d 。l = f ( 一1 ) + 专( 2 女一 + 1 ) ( 2 一f + 2 ) m 。l l 。 依据i k 且i k l ，可证满怼条件( * ) 1 j k 且j i + 1 ，一j i ，此即： k i j k 且j i + l ，t i 女瞻班2 和i 知结论成立。( 将珏l 。2 中的i ，甄换) ， 综合i 一知”= 2 k 十【时命题成立 定理2 2设，t 为奇数，即，一= 2 k 十1 ( ”7 ) ，任意的越憋数i ， 女f 2 k 一1 ，赠存在一个仅有i ，j ( i j ) 恰好卷爨褒蕊次的( ；( “ 2 ，2 ) 图序列酌充要条评为：i 一j 3 k i 证明：必腰性如7 3 k i ，则： + l女一1 蕊= ( 2 一f ) + i + j = 鲁女( 女一 ) + i + j t2 l j 一1 一 ( k + 1 ) 女+ 芝：r a i n k 十1 ，, t l = k ( k + i ) + 告 ( k + i ) t k 2 。 显然不溅霪条锌( * ) 充分性，分下列四种情搅： i i = k ，l j 2 k j ，由定理2 1 鳓二步第1 种情况知命题成立， u + 女 i 2 k 一1 ，i k 籍| k i 2 k l ，j = 女莼邵为第l 审豹一部分。 2 k i 2 k l ，i k j k ，此即为： i k 十j ，i ， k 由定理2 1 第二步2 知命题成立 - 1 2 f一是2 ( 。h 十 i 2 一1 ，女 ，3 女一i ，丑i j + l ，依埂数的大小分成 下翻强瓣德瑟： l t 2 k i 2 d 。：奎( 2 t ) = 2 。一吉t 2 一虿1 ( 卜i ) + m i n l ，d 。卜一i t 2 + 2 k t + 三1 f 显然满足条件( * ) 2 k i k + 1 ) 奎氐：i + j + t - 2 ( 2 。t ) = 2 艇一 f 2 + 兰一l 一4 a + i + t ( 1 一1 ) + m 1 1 1 叫。卜一圭f2 + 2 女十圭。 根据i + i 3 k ，可知满足条件( * ) ， k f 2 k 奎：i + + t - 2 ( 2 a z ) = 2 k 一争2 十吾t l 一4 女斗f + f ( 一1 ) + 奎d 。：可3 2 一萼t 一2 k + 2 女2 + 3 k + l 摄据i + ，3 ，可汪满足条件( * ) 综合一知的充分性成立 i 2 一l ，k j 3 一i 髓j i 十1 ，即为： 女 i 3 女一j ，女 j 2 k i1 1 ，i + 1 ，灵褥1 1 1 l 泌i ，j 互换， 就得l v v , j 证明 综合i 知充分性成搬 恶瑾z ，o驭7 1 7 5 黼馓，邵”= z 盘t ，l 甚) ，仕正整数i ，盎i 2 女一2 ，则存在个仪有i ，j ，( 污6 j ) 恰好各出现二次的g ( 扎2 ， 2 ) 图序列的东舞条p ：先：i k + l j 3 k i 一1 。 证臻：努蘩蛙热j 3 女一i 一1 ，则： 譬矾= i + j + 鬟( 2 女一1 一t ) = 寻女z 一喜k + i + j 。善d t 2 + j + ，善；( 2 女一一t ) 。羞6 2 一薹+ + j ( 手i ) 女霉m i n 女+ i ，d 。i ：善女2 十毒 t ” + ：z 显然不满恩条件( * ) 竟努性涔滤下磷鹾静壤隰： l ，i = 女，l j 2 k 一2 i 1 i = k ，1 j k ，出定理2 1 第一步的结论知，任意给定的 饿懿数j ，1 j 女一l ，盎“粜：女一l 一i 女一1 + j ，则存在仅有i ，i ( i j 嫠好轰避袋二凌懿g ( ”，2 ，2 ) 懋穿舞。嚣然，不等式：k l 一，女一1 j ，j c ；i 2 - 任意给定酌磁熬数j 均成立，因此i ：= k ，1 j k 时充分恍成立 1 2 i = 女，k ，2 k 2 ，伥项数t 憋太小分下列三兰靴惦配； l f 2 k i t 童l d m = 。三。( 2 l _ ”i ) * 专f2 + 2 k t i 3 t t ( t i ) 主，m 汛 ，d 。；。毒f 2 十2 k t t 1 辫，t lz 显然满足条件( * ) 2 k j 一1 o k 羹，磊= 羔，( 2 k l m ) j 一主# 2 一i z + 2 k 一2 k 手l + j 。l m l 。 z ” 1 4 - z ( z 1 ) + 。妻。，m 沁 z ，矗一一一圭t 2 一去z + 2 k z 根据j 2 女2 ，可知满怒条件( * ) k t 2 k 一1 童，厶= j + 女+ 薹；( 2 k l ：) 一2 k + 芗1 卜主1 卜3 女+ l + ， m 1 ) + 。兰+ m i l l 。 = 量z2 一吾z 一2 艇+ 2 k 1 2 + + 依据j 2 k 一2 ，可知满足条件( * ) t i k i 2 k 2 ，i k 丰1 j k i i 1k f 2 女一2 ，j = k ，显然此为i 中的一部分 1 i 2 k i 2 k 一2 ，i k + l j 女，即为：k i k 一1 + j ， l j k 一1 ，此即定理2 1 第一步中第i 、i l 情况 1 1 1 。k i 2 k 一2 ，k j 手1 德壤数t 懿大零分 成一f 剐四种情况： 1 t 2 k i 一1 羹，厶= l ；( 2 k l 沁2 k 。1 1p 吾 z i r 1 ) + 叠+ ，n l i r m 以 = 2 舡一言z2 一吉t 最然满足条件( * ) 2 k i l 2 女j ，专。d 。一f + ，耋 一l 一”z ) = t 一，一2 一告+ l 一 十i l ，i 1 = l ( 2 k 2 k z 1o2kl t ( t 1 ) + 童。n l i n l ，d 。 。一i _ 1 2 十2 k 一i 1 m = f + |上 因为i 2 k 一2 ，所以满足条件( * ) 2 女一j f k 羹，d 。= i + + 煮t - 2 ，( 2 k l m ) 一；f 2 + 2 趣+ 吾 + l 4 “+ ， m l m loz 4 。( f 一1 ) + 1 1 1 抽 州。 = 一i 1f2+2k1f 妄f”r iz 根据i 十j 3 k 一1 且括；k ，所以满足条件( * ) 塾壹 d 2 d k 一1 呶d 旷k + 1 d 扩k + 2 d 。l d 。 且 堡i i 堡# o 涯疆：鞫缡法。k = 2 ，矗穗验谣翔当d i = d 2 或d ，i = d 。时，净别 d 嚣( d i ，d 2 ，d 3 ，d 。l ，d 。) 不：魁g ( ，z ，2 ，2 ，2 ) 匿i 序梦u ， 因此蠢 d 2 ，d 。一j d 。础令序列d = ( ”一1 ，”一2 ， 一2 ，i ， i ，3 ，1 ) ；霹舞d = ( ”一t ，g 一2 ， 一2 ，i ，i ，3 ，l 为g ( 2 ，2 ，2 ) 图牟列当且仪当d * ( ”一3 ，”3 ，2 ) 为 g ( ”一2 ，2 ，2 ，1 ) 图序列，由推论2 。l 知： | 7 翌；! i l 旦2 一! 臣| i ： 旦i 等! 即k = 2 时，命题成立 假设k = t 命题成立，则k = ，+ i 时有： 因为d = ( d l ，d 2 ，d 3 ，+ 2 ，t ，d ，2 ，d l ，d 。) 为 g ( ”，2 ，2 ，t + 1 ) 瞄l 序，当且仅当d7 = ( d 2 一i ，d 3 1 ，t 十l ，t 一1 ， ，d 。一2 1 ，d 。一l 1 ) 为c ( ，f 一2 ，2 ，2 ，) 图序列，由假设知：d 2 一j d 3 一l d 。一1 d ，+ l 一1 ，d 。一，一1 d ，一1 d i 一1 日! 早i l 生此即：d 2 d 3 d ， d ， ( _ f d + 1 d h ，掣i 旦# 赢接验证知，d l = d 2 或d 。一l = d 。，d 小是g ( 7 1 ，2 ，2 ) 图序列， 故命题成立 定理5 如k 不出现，2 k 堡( ，f 7 ) d “d j ，任正整 数j ，k + 1 歹l 半j + k ，存在仅有i ，j 恰好各出现二次的g ( 2 ，2 ，k ) 图序列的充要条件为： d l d 2 d 3 d k 一1 d k ，d 。k 1 d 。k ，2 d 。1 d 。 l 半j j + 2 k i l ! i _ j + ， 证明：归纳法k = 2 时，直接验证知当d l = d 2 或d i = d 。序列 d = ( d l ，d 2 ，d 3 ，d 。_ j ，d 。) 不是g ( 2 ，2 ，2 ) 图序列 因此可令d = ( ”一l ，”一2 ，i ，i ，j ，j ，3 ，1 ) ，d 是 g ( ，z ，2 ，2 ，2 ) 图序列当且仅当d7 = ( 一3 ，i l ，i 一1 ， j i ，j 1 ，2 ) 为g ( 1 1 2 ，2 ，2 ，1 ) 图序列，由推论2 2 知， l 字j _ j + 4 i l 掣j + j 假设k = t 时，命题成立，当k = t + 1 时，因为d = ( d l ，d 2 ， c f3 ，。一，t + 2 ，t ，d 。一3 ，d 。一2 ，d i ，d ，) 为g ( ，2 ，2 ，f + 1 ) 图序歹0 当且仅当d 7 = ( d 2 1 ，d 3 一l ，一，t + 1 ，t i ，一，d 一2 l r l ，d 。l 一1 ) 为g ( ”一2 ，2 ，2 ，t ) 图侉列，由假没知，d z 一1 d 3 一l d f + i l ，d 。 一1 d 。一 i 一1 d 。一l 髓t 羔二2 。- 2 t 。! 一j 十l 十2 t j l t 丝二二丢二呈曼j ，一l 觑珏f ： d 2 d 3 d f 。l d ， d f + l ，d ，f d 。一r 十l d # 一 l 竖姜咎越卜j 一2 ( h ) i l 坚兰掣量j + j 直接验证知净列d 为g ( 2 ，2 ，t + 1 ) 图序势j 虚满足条件d 。 d 2 ，d 。一 d 。因此k = t + l l $ ，命题成立 京遴6 翔数字式不爨袋，2 k 等兰，为鹅数，建焱 d k + t 魏g 矗 任正糕数i ，冬i ”一k 一1 则存在仪有i ，j 恰好各出现两次 ( 封，2 ，2 ，k ) 罄跨列熟篦簧条 孚为： 矗盏 矗3 矗k ，d 。k t d 。k 2 d 。l d 。 且 2 + i + k 一，；j 3 2 l k z 谖麟：袄凝聚谂2 3 葶辇掰定簇5 粒诞裂方法辩瑶 建瀵7魏数学k 幂壤琥，2 菇等量， 海奇数+ 置奴 呶+ l ，任正整数f ，等+ l ”k1 则存档仅鸯i ，j 髂好备f l 斑豫 凌鹣g ( ，2 ，2 ，k ) 爨枣鳓构楚要蠢转为， 矗j 矗2 器3 蠢k ，d 。一“+ l d 。n 十2 ， d 。】 d 。 矬 专十s 十k 一囟挚一k i + 喜 诞鹈：交据接潦2 。4 ，剿热定理5 熬涟竣方茨溪搿。 2 2 含祷撒程点的( ；( 2 ，2 ) 闰席捌 鼹然孤立焱最移为嚣个。 2 ，2 。 瓣令霰建焱弱g 轧2 ，2 ) 鬻垮瑚 个点除嚼个孤立点外有，# 2 个点，最大度数为”一3 ，出l ，2 ， t 1 9 ， 3 ，”一3 熬 一3 个数巾选”一2 个数组成仅袁一个数字恰如戏二次 躲嚣净囊+ 鄹”一2 个煮鳓g * 一2 ，i ，2 要穿烈，盎零l 瑾| 4 辩褥 推论2 5 推论2 5 设4 ，d 。一d ，1 = 0 ，则存在一个假f ，0 ( i ( ) ) 恰 餐塞理疆次黪躁窿磺翡充要祭滓为：冬2 i 罢一l 山 2 2 2 一个孤立点的g ( ，z ，2 ，2 ) 网序列 有一个孤立点的g ( ，2 ，2 ) 图序列与龙孤立点憋g ( ”l ，2 ， 2 ) 曩枣建褶溺后一毒裁程2 i 中逆转了谨缨谤论。 3 有待进一步研究的问题 1 ) 非负憋数不增整序剐d 为g ( ，2 ，f 匿序列( 3 ) 的条件 + 一黢选，嚣受整数不疆彦刘d 中套一氐数字i 重复是凌，舅一个数字i 蕊复k 次( i 7 6 一j ) ，其它数字彼此都不捆嗣，矗为图序列的条件( 如h = 2 ，k = 3 ) 2 ) 非负整数不增序列d 为g ( 舛 k ，f ) 鼹廖触的条镬：( k 3 ， f 2 ) ， 3 ) g ( n ，k ，) ( n 1 ，f 2 ) 图序列的实现方式，这螋网的 性质 4 ) g ( 虬k ，) k l ，f 2 ) 瞬i f - 强懿磅巍结果在其它辍壤 秘痣薅。 致谢：衷心感谢导师壤缀巾教授、赵东方付教授糨李德英老师程本 文撰写过程中秘悉心播导帮帮黠 - 2 主要参考文献 1 b b o l l o b a s ，e x t r e m e dg r a p ht d o n ) l 1 d 1 9 7 8 p 7 8 2 j a b o n d ya n du s r m u r t y ， m a e m i l l a np r e s sl t d 1 9 7 6 f 31m b e h e a da n dg c h a r t a r a n d m o n t h l y7 4 ( 1 9 6 7 ) 9 6 2 9 6 3 h e o r y a c a d e m i cp r e s si n c ( l o n g r a p h l h e o r yw i t ha p p l i c a t i o n s ，t h e n og r a p hi s p e r f e c t a m e r m a t h 4 j p h u t c h i m s o n ，w h e nt h r e ep e o p l es h a k et h es a m em u n b e ro f h a n d s a ne x e r c i s eo nd e g r e es e q u e n c e s ，c o n g r e s s u sn u m e r a n t i u m9 5 ( i9 9 3 ) 3 l 一3 5 5 g c h e n ，w p i o t r o w s k ia n dw s h r e v e ，d e g r e es e q u e n c e sw i t hs i n g l e r e p e t i t i o n sl o n g r e s s u sn u m e r a n t i m n ，1 0 6 ( 1 9 9 5 ) ，2 7 3 6 6 v h a v e l ，ar e m a r ko nt h ee x i s t e n c eo ff i n i t eg r a p h s ( h u n g a r i a n ) ，c a s o p i sp m a t 8 0 ( 1 9 5 5 ) 4 7 7 4 8 0 7 s ih a k i m i ，o nr e a l i z a b i l i t yo fas e to fi n t e g e r sa n dt h ed e g r e e so ft h e v e r t i c e so fal i n e a rg r a p h 一1 、1 1 ，s i a m j a p p i m a t h ，1 0 ( 1