（计算数学专业论文）修正kdv方程的精确解.pdf

论文主要包含如下内容： 摘要 1 讨论修正k d v 方程的w r o n s k i a n 解给出更广泛的w r o n s k i a n 条件，对w r o n s k i a n 条件进一步化简，给出若干情况下w r o n s k i a n 条件方程组的通解，并利用下三角t o e p l i t z 矩阵给出j o r d a n 块解的显示表示 2 用h i r o t a 方法求出了修正k d v 方程的二重极点解给出从h i r o t a 形式的2 n 孤子解到二重极点解的极限过程这个极限过程也可以应用于其它具有h i r o t a 形式多孤 子解的孤子方程 3 利用修正k d v 方程的l a x 对及共轭l a x 对，给出方程的b a r g m a n n 约束( 对称 约束) ，并将约束系统双线性化，进一步用h i r o t a 方法求出修正k d v 方程的孤子解 以及其l a x 对中的波函数的解 关键词：修正k d v 方程，双线性导数，w r o n s k i a n 技巧h i r o t a 方法，精确解，极限 解，b a r g m a n n 约束 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so nt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h em o d i f i e dk d v e q u a t i o n ， c o n s i s t i n gt h ef o l l o w i n gt h r e es u b j e c t s ： 1 f i r s t ，s o l u t i o n so ft h em o d i f i e dk d ve q u a t i o na r ei n v e s t i g a t e di nt e r m so fw r o n s k i a n w ed e r i v eaw i l d e rw r o n s k i a nc o n d i t i o na n df u r t h e rd i s c u s ss i m p l i c a t i o n so ft h e c o n d i t i o n g e n e r a ls o l u t i o n sf o rt h ew r o n s k i a nc o n d i t i o ne q u a t i o ns e ta r eo b t a i n e dw i t h r e s p e c tt od i f f e r e n tt y p e so fc o e f f i c i e n tm a t r i c e s ，w h e r e ，p a r t i c u l a r l y , e x p l i c i tf o r m sf o r j o r d a nb l o c ks o l u t i o n sa r eg i v e nb ym e a n so ft o e p l i t zm a t r i c e s 2 s e c o n d l y ，w ed e r i v ed o u b l e - p o l es o l u t i o n so ft h em o d i f i e dk d v e q u a t i o nb ym e a n s o fh i r o t am e t h o d t h e nw ed e s c r i b eal i m i tp r o c e d u r et or e l a t e2 n s o l i t o ns o l u t i o ni n h i r o t a sf o r ma n dt h eo b t a i n e dd o u b l 争p o l es o l u t i o n s u c hp r o c e d u r ei sg e n e r a la n dc a n a p p l yt oo t h e rs o l i t o ne q u a t i o n sw i t hb i l i n e a rf o r ma n dn - s o l i t o ns o l u t i o n si nh i r o t a s f o r m 3 f i n a l l y , w ef i r s tg i v et h eb a r g m a n nc o n s t r a i n t ( i ti sas y m m e t r yc o n s t r a i n t ) o f t h em o d i f i e dk d ve q u a t i o n ，u s i n gi t sl a xp a i ra n dg e n e r a lc o n j u g a t el a xp a i r t h e n w et r a n s f o r mt h eb a r m a n ns y s t e r mt ob i l i n e a rf o r ma n df i n a l l ys o l v ei t t h r o u g hh i r o t a m e t h o d n s o l i t o ns o l u t i o nf o rt h em o d i f i e dk d v e q u a t i o na n ds o l u t i o no fw a v ef u n c t i o n s i nt h el a xp a i ra n dc o n j u g a t el a x p a i ra r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：m k d ve q u a t i o n ，b i l i n e a rd e r i v a t i v e ，w r o n s k i a nt e c h n i q u e ，h i r o t am e t h o d ， e x a c ts o l u t i o n s ，l i m i ts o l u t i o n s ，b a r g m a n nc o n s t r a i n t 原创性声明 本人声明t 所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作 的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名；趑差袭日期：迎星：乏坦 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及 送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：邀差芸导师签名：l 鱼墅日期：丝翌：么么尹 第一章绪论 1 1 孤立子的历史回顾 孤立子理论是数学物理领域的一个重要组成部分近几十年来引起国际上数学界和 物理学界的充分关注，得到迅速发展孤立子往往也称为孤立波，它是指一大类非线性 偏微分方程的许多具有特殊性质的解以及与之相应的物理现象用物理的语言来说，这 些性质是 1 】：( 1 ) 能量集中在一个较狭小的区域；( 2 ) 孤立子之间相互作用时会出现弹性 散射现象，即每个孤立子在相互作用之后其波形和波速都会恢复原状孤立子具备了粒 子和波的许多性能这些特殊的性质使得它在许多的科学领域都有着重要的应用，如流 体力学、等离子体物理、超导物理、非线性光学、经典场论和量子场论等等都存在着孤 立子以及与孤立子理论密切相关的重要现象近年来，人们也在更广泛的意义下理解孤 立子这一术语，比如具有性质( 1 ) 的一些稳定解有时也称为孤子解 孤立子的发现可以追溯到1 8 3 4 年，是英国数学家s c o t tr u s s e l 于1 8 3 4 年8 月在一 次偶然的机会中观察到的他在1 8 4 4 年英国科学促进协会第1 4 届会议报告文集中 发表( 波动论一文【2 】，文中讲述他在运河里发现一个波形不变的水团，该水团在一两 英里之外的河道转弯处逐渐消失的奇观r u s s e l 认为它观测到的是流体运动的一个稳定 解，并称之为。孤立波”，但r u s s e l 本人当时未能从理论上对此作出论证，致使有关孤立 波的问题在物理学家中引起了长期而广泛的争论直到1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和他的学生 d ev r i e s 3 】提出了一个非线性演化方程( 即著名的k d v 方程) ，他们用该方程的行波解成 功地解释了r u s s e l 所观察到的孤立波现象 历史跨越了7 0 年，1 9 6 5 年，美国物理学家k r u s k a l 和z a b u s k y 4 】通过数值模拟方 法详细研究了k d v 方程两波相互作用的全过程他们对作用前后所得的数据进行分析后 发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散射的性质，所以k r u s k a l 和z a b u s k y 又将 这种稳定的孤波称为孤子从此一个研究非线性发展方程与孤子的热潮在学术界蓬勃发 展起来，随着研究的不断深入，孤立波现象在分子生物等多个领域不断被实验观察到， 孤子已经被人们看作是解释复杂非线性系统动力学行为的结构基础现在孤子已经形成 了自己独特的理论和研究方法，并且在科学的多个领域中寻觅到它应用的踪迹，其他相 关学科的发展也不断地补充和丰富着孤子理论【1 ，5 ，6 ，7 ，8 】 1 2 精确求解孤子方程的若干方法 孤子理论从各个角度研究了孤立子方程以及方程所涉及的数学内容，其中重要的一 1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 个方面就是如何求解孤立子方程以及讨论解的性质因此，寻求非线性偏微分方程的精 确解一直是孤子理论研究中的重要内容之一目前已经有许多成功的方法，如反散射变 换法 5 ，9 ，1 0 】、h i r o t a 双线性导数法【1 1 ，1 2 】、w r o n s k i a n 技巧【1 3 】、d a r b o u x 变换 【7 ，1 4 】，b 蕴c k l u n d 变换 1 5 ，1 6 】、对称分析【17 1 等 反散射变换法 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 1 0 】首次提出用反散射变换求解k d v 方程这一工作同1 8 3 4 年r u s e l l 发现孤立波现象，1 8 9 5 年k o r t e w e g d ev r i e s 建立单向 运动的浅水波方程( k d v 方程) 以及1 9 6 5 年k r u s k a l 和z a b u s k y 命名“孤立子。一样， 是孤子理论发展史中的里程碑该方法有其严格的物理背景和数学严谨性【1 0 ，1 8 】，而且 可以求出与同一谱问题相联系的整个等谱发展方程族的多孤子解，是精确求解非线性发 展方程的经典方法，也被称为非线性方程的f o u r i e r 变换方法 h i r o t a 双线性导数法 双线性导数法是由h i r o t a 1 l ，1 2 1 于1 9 7 1 年创造性地提出并成功应用于求解孤子方 程精确解的有效方法。是一种应用广、效率高的直接方法其一般步骤为：引入位势u 的 适当变换，将原孤子方程化为双线性导数方程然后将扰动展开式代入到双线性导数方 程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限项，得到线性指数函数形式的单孤子解， 双孤子解和三孤子解等具体表达式，并由此构造出孤子解的一般表达式( 并可以给出 数学证明) h i r o t a 双线性导数法以双线性导数为工具，且只与所要求解的方程有关，而 不依赖于方程的谱问题或l a x 对该方法操作简便，其适用范围几乎涵盖了多有反散射 变换可解的方程最近，陈登远、邓淑芳和张大军 1 9 ，2 0 】还利用h i r o t a 方法构造出孤 子方程的新解，并给出孤子解一般表达式的猜测 b 萏c k l u n d 变换 b h c k l u n d 变换也是寻求解的直接方法【1 5 】，它将求解高阶的微分方程转化为求解包 含解之间关系的较低阶的微分方程组利用b h c k l u n d 变换，可以从已知解出发，求出新的 孤子解，并可进一步以新解作为已知解，求出更新解，周而复始但该方法涉及到解微分 方程组，往往在求多孤子解时会遇到麻烦1 9 7 4 年，h i r o t a 【2 1 】给出一种b g c k l u n d 变换 的双线性导数形式这一形式可以从双线性方程得到 2 1 】，也可以从普通形式的b 五c k l u n d 变换和l a x 对得到 2 1 】，并且这些形式都是等价的 2 2 ，2 3 】 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 w r o n s k i a n 技巧 孤子解可以表示成w r o n s k i 行列式形式 2 4 ，2 5 w r o n s k i 行列式技巧也是寻找非线 性发展方程孤子解的一种直接方法，它以双线性方程为桥梁，可以直接带入方程进行解 的验证1 9 8 3 年，作为一种求解孤子方程的系统方法一w r o n s k i 行列式技巧一由f r e e m a n 和n i m m o 1 3 ，2 6 ，2 7 提出并建立起来该方法以h i r o t a 方法为基础，即首先要得到孤 子方程的双线性形式或双线性b a c k l u n d 变换；然后适当选择咖f 构成w r o n s k i 行列式 w ( 1 ，2 ，如) ；再将w r o n s k i 行列式直接代入双线性方程或双线性b 萏c k l u n d 变换中 进行验证由于b i c k l u n d 变换中所含导数的最高阶数比相应的方程要低，所以利用双线 性b i i c k l u n d 变换( 尽管是方程组) 来进行验证往往比较简单能够进行解的直接验证， 这恰恰是w r o n s k i 行列式技巧的优势所在 除孤子解之外，许多其它形式的解也可以表示成w r o n s k i a n 形式，例如：有理解、 p o s i t o n 解、n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解等1 9 8 3 年，n i m m o 和f r e e m a n 首先给出了k d v 方程w r o n s k i a n 形式的有理解f 2 7 1 9 8 8 年， s i r i a n u n p i b o o n 等人 2 8 】将w r o n s k i a n 元素所满足的条件( w r o n s k i a n 条件方程组) 进行了推广，他们将条 件方程组中z 部分的系数矩阵由对角阵推广到下三角阵，获得了k d v 方程( 后命名) 的 p o s i t o n 解，n e g a t o n 解，有理解以及混合解事实上，对p o s i t o n 解的命名以及详细研 究是1 9 9 2 年首先由m a t v e e v 2 9 ，3 0 】给出的k d v 方程的p o s i t o n 解对应于静态的线 性s c h r s d i n g e r 方程取正特征值的情况；类似的，n e g a t o n 解相应于取负特征的情况 2 0 0 2 年，马文秀【3 1 】首次给出了k d v 方程c o m p l e x i t o n 解的w r o n s k i a n 表示，它相应 于静态线性s c h r s d i n g e r 方程取复共轭特征对的情形，这种解实际上是一种呼吸子 3 2 】 近年来关于w r o n s k i a n 技巧有很多深入推广的工作例如，2 0 0 5 年，马文秀等首 先考虑了k d v 方程的w r o n s k i a n 条件方程组的通解，他们利用常数变易法，解决了当 w r o n s k i a n 条件方程组中系数矩阵为j o r d a n 块时如何获得通解的问题，并给出获得通解 的递推公式 3 3 ，3 4 】近来，张大军 3 5 】提出构造w r o n s k i a n 条件方程组解空间基的简单 方法，通解可以利用下三角t o e p l i t z 矩阵给出显式表示，并讨论了不同解之间的关系 另外，陈登远等提出利用矩阵代数直接求解w r o n s k i a n 条件方程组的方法【3 6 ，3 7 】在文 献 3 5 】中，还提出关于w r o n s k i a n 技巧的四项内容：1 - 给出尽可能广泛的w r o n s k i a n 条件；2 给出w r o n s k i a n 条件方程组的通解；3 明释不同类型解之间的联系；4 分 析解得动力学特征本文部分工作将就m k d v 方程的w r o n s k i a n 解讨论前两项内容 不同的方法得到的孤子解的表达形式是不同的例如h i r o t a 方法与w r o n s k i 行列式 技巧得到的、r 孤子解的形式是各异的，对于双线性b i c k l u n d 变换h i r o t a 形式的解和 w r o n s k i 行列式表示之间也存在同样的差异但解的这两种表示往往具有一致性对于 同一个方程用h i r o t a 方法得到的解和从b i c k l u n d 变换的h i r o t a 形式出发得到的解也是 一致的，事实上，w r o n s k i 行列式技巧就像一座桥梁，将孤子方程的多种求解方法紧密 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 地联系了起来 1 3 本文主要工作 本论文主要运用h i r o t a 双线性导数法和w r o n s k i a n 技巧，在前人工作的基础上讨论 m k d v 方程的解 第二章主要介绍双线性导数以及w r o n s k i 行列式的定义与性质，这些都是h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 技巧的基础 延续文献 3 5 】和 3 8 】对k d v 型及非线性s c h r 6 d i n g e r 方程w r o n s k i a n 解及双w r o n s k i a n 解的分析，在第三章中，我们讨论m k d v 方程，给出更为广泛的w r o n s k i a n 条件， 并分析w r o n s k i a n 条件方程组中相应于系数矩阵的多种不同情况下w r o n s k i a n 元素的通 解由于m k d v 方程的w r o n s k i a n 条件含有复运算，在处理时与k d v 方程有许多不同 在第四章中我们讨论m k d v 方程h i r o t a 形式的极限解，给出从h i r o t a 形式的2 n 孤子解到2 重极点解的严格的极限过程 在第五章，我们利用m k d v 方程的l a x 对及共轭l a x 对，给出方程的b a r g m a n n 约束( 对称约束) ，并将约束系统双线性化，进一步用h i r o t a 方法求出m k d v 方程孤 子解以及l a x 对中波函数的解 第二章预备知识 2 1 双线性导数的定义与性质 给定非线性偏微分方程，由于解的叠加原理不再成立，因此应用以f o u r i e r 分析为基 础的分离变量法求解是十分困难的为此，日本数学物理学家h i r o t a 提出了双线性导数 1 1 ，1 2 】，并成功地应用于求各种孤子方程的多孤子解 下面简要叙述一下双线性导数的定义与性质 设i ( t ，z ) 与g ( t ，z ) 是变量t 与z 的可微函数，引进微分算子d 。与眈，使得对任意 的非负整数m 和仃有 d d ：，夕= ( 侥一4 ，) m ( 巩一吃，) “，( ，z ) g ( t 7 ，z ，) l 。，：纽，：z ， ( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数，与夕对t 施行m 次d t ，对z 施行n 次d z 的双线性导数这种导 数具有以下性质： 性质2 1 1 函数( t ，z ) 与自身的奇数次双线性导数为零就是m + 扎为奇数时， d t ! d ：f ，= 0 ( 2 1 2 ) 性质2 1 2 交换函数( t ，z ) 与g ( t ，z ) 的双线性导数的j i 顷序，当导数是偶次时其 值不变，而导数是奇次时要改变符号 d d ：，g = ( - 1 ) m + n d td = g ， ( 2 1 3 ) 事实上，从定义可得 d 7 1 d ：f g = ( 侥一包，) 仇( o x 一吃，) n ( t ，z ) 夕( 7 ，z 7 ) i 。，：细，：z = ( 一1 ) m + n ( q ，一a ) m ( 吃，一以) n 9 ( 7 ，z 7 ) ，( t ，z ) l 拄。，z ：z ， = ( - 1 ) m + n d 7 1 d ；g ， 特别当m + n 为奇数且g ( t ，z ) = ，( ，z ) 时，公式( 2 1 2 ) 化为( 2 1 3 ) 性质2 1 3函数f ( t ，z ) 与数1 的双线性导数是通常的导数，即 0 7 珑，1 = 卵理l r g ， ( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是t 与z 的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 5 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 6 性质2 1 4两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当 倍数，即设 岛= + 向z + o o = 1 ，2 ) ， ( 2 1 5 ) 则有 d d ：e f l e f 2 = ( u 1 一u 2 ) 仇( 七1 一后2 ) n e 1 + 如( 2 1 6 ) 由此推得相同线性指数函数的双线性导数为零 d ：n d ：e 1 e 1 = 0 ( 2 1 7 ) 2 2w r o n s k i 行列式及其若干性质 2 2 1w r o n s k i 行列式的定义 一组可微函数= ( 1 ，砂2 ，咖j v ) t 的阶w r o n s k i 行列式定义为 ( ) = i 矿( 咖1 ，2 ，c n ) = 。 砂 。 彤。 ( 2 2 8 ) 其中硝= o d j o z 它常可写为一种紧凑格式 w = l ，( ，( 一1 i = 1 0 ，1 ，n i i ：i n 一- 1 1 ( 2 2 9 ) 更一般地，用i f l f 2 ，f p i 表示l 咖，( ，咖( 。，( 。) ，( 2 ，) i ，用l h l ，h 2 ，h 口l 表示 i ( ，e c h o ) ，咖( 引，咖( h e ) 1 w r o n s k i 行列式具有这样的特点：后一列是前一列的导数这使行列式在按列求导 ( 包括求高阶导数) 时，无论是过程还是结果都很方便简洁依照行列式按列求导法则以 及行列式的基本性质可知，一个w r o n s k i 行列式的导数所包含的项数与行列式的阶数 无关，而只依赖于导数的阶数 2 2 2若干性质 性质2 2 1 肛可若记m 为n ( n 一2 ) 矩阵，a ，b ，c 和d 都是n 维列向量，则 成立 i m ，a ，b l l m ，c ，d i l m ，a ，c l i m ，b ，d l + l m ，a ，d l i m ，b ，c l = 0 ( 2 2 1 0 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 7 事实上，构造2 n 阶行列式 = i a 口6c 0m bcd d i i 口c i 从后行的每一行减去前行的相应行得 ：i m o 州1 i mm0 0 0 0l ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 再将第、r 一1 列，列，2 n 一4 列依次加至第一列，第二列，第一2 列，有 =i彳。a。b舌d0 m 。1 i o 0 0 0i ( 2 2 1 3 ) 可见行列式的值为零将( 2 2 1 1 ) 按前行展开，应用著名的l a p l a c e 定理，即得所 要的等式( 2 2 1 0 ) 性质2 2 2p 可假设三是一个n n 矩阵，其列向量集为 弓) i ( 乃。) n 是一 个n n 阶算子矩阵，其列向量集合为 乃) ，且每个乃。是一个算子，则有： nn i 功率三i j = l = i ( p r ) j e t i t = l 其中对任意n 阶列向量a 与岛我们定义t 且i a t 奉三l = i 一1 ，弓一1 ，a 3o 弓，弓+ 1 ， ( 2 2 1 4 ) 性质2 2 3 肛珂设矩阵a = ( a i r ) n n = a l ，a 2 ，a n ，a t 为a 的列向量，向 量b = ( b 1 ，b 2 ，6 ) 丁，则成立 其中b a t 表示( b l a i r ，b 2 a 2 t ，b n a n t ) r 事实上，性质2 2 3 是性质2 2 2 的特例 ，口i = 川b i ， ( 2 2 1 5 ) i = 1 r m b a 巧 b 巧 a u b u a = 岛 o 卜 如两 h町町 b o 吼 纠 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 8 2 2 3下三角t o e p l i t z 矩阵的某些性质 为了讨论m k d v 方程的w r o n s k i a n 解，我们先研究一类特殊的矩阵t 下三角t o e p l i t z 矩阵其性质我们以命题的形式给出 命题1 j s = j s ( 七，k ) = 00 k0 00 ( 2 2 1 6 ) 是一个j o r d a n 块，k 是任意的非零复数，4 是一个sxs 阶复数矩阵，那么 4 j s = 以a ( 2 2 1 7 ) 当且仅当a 是一个下三角t o e p l i t z 矩阵，i e ，a 的形式如下： 其中 o j ) 封是任意复数 命题2 假设以如( 2 2 1 6 ) 所给，并且令 ( 2 2 1 8 ) 否s = 4 s s i4 以= j s a ) = s 阶下三角t o e p l i t z 矩阵) ， ( 2 2 1 9 ) g s = 4 ia 否s ，f 4 i o ) ， 那么，g s 关于矩阵乘法和逆形成一个a b e l i a n 群，g s 是一个含单位元的a b e l i a n 半 群( 么正半群) 命题3 3 5 】假设一4 是如( 2 2 1 8 ) 式所定义的一个t o e p l i t z 矩阵，妒( 尼) 与q ( 七) 是关 于克任意可导的复函数，并且 其中 q o = ( q o ，o q o 1 ，q o , s - 1 ) r ，苞o = ( 苞o ，o ，苞o 1 ，苞o ，s 一1 ) r = 务a 嗍磊j = 等碳( 啡) 蚶) ) 歹_ 0 ”一争1 ， s xs 、lj， 0 o 后 0 0 k 七 k 0 ss 、l， o o o 0 0 0 = _ 吼 0 0 一 弘 口 2 0 知吼 一 弘 0 1 0 1 2 一 o o 0 s o ，-i一 = a 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 k 为非零的复数，则我们有 q o = a q o ，a g s ， 且 = 等碳q ( 七) ，j = 0 ，1 ，s 一1 ( 2 2 2 0 ) 2 2 4 其他性质 命题4 考虑如( 2 2 9 ) 所定义的n n 阶w r o n s k i 行列式，( ) = ( ) ，并且它的 向量满足 也= b ( ) ，( 2 2 2 1 ) 其中b ( t ) = ( 鼠j ( t ) ) n 是一个nxn 矩阵，每个b i j ( t ) 是关于t 的函数且与z 无关， 那么我们有 = t r ( b ( t ) ) f ，( 2 2 2 2 ) 相应地 仍厂，= 【t r ( b ( t ) ) 一t 7 ( j e 7 ( ) ) 】，； 如果， t r ( b ( t ) ) = 丁7 ( b ( ) ) ；( 2 2 2 3 ) 则 d t ，= 0 ( 2 2 2 4 ) 这里，b ( t ) 表示b ( t ) 的复共轭 命题5 假设 b 巧( 亡) 】- c a ，6 j ，a ，6 ( 一。，+ 。) 则存在一个依赖于t 的n n 阶 矩阵h ( t ) 满足 凰( ) = - h ( t ) b ( t ) ( 2 2 2 5 ) 第三章修正k d v 方程的w r o n s k i a n 解 作为w r o n s k i a n 技巧的近期推广 3 3 ，3 5 ，3 7 】文献 3 5 】提出构造w r o n s k i a n 条件方 程组解空间基的简单方法，通解可以利用下三角t o e p l i t z 矩阵给出显式表示，并讨论了 不同解之间的关系 文献 3 5 】进一步提出关于孤子解w r o n s k i a n 表示的4 条相关内容：1 给出尽可 能广泛的w r o n s k i a n 条件方程组；2 给出w r o n s k i a n 条件方程组的通解；3 明释不 同类型解之间的联系；4 分析解得动力学特征按上述要求，文献【3 5 】集中对k d v 型双线性方程的w r o n s k i a n 解进行了分析另外，关于具有双w r o n s k i a n 结构的非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程的w r o n s k i a n 分析，也已经按上述四项要求完成 3 8 】本章工作将就修 正k d v ( m k d v ) 方程的w r o n s k i a n 解讨论前两项内容 m k d v 方程在双线性变换及w r o n s k i a n 条件上都与k d v 方程不同本章将讨论 m k d v 方程的w r o n s k i a n 条件，利用构造解空间基的方法给出m k d v 方程w r o n s k i a n 条件方程组在多种情况下的通解 3 1m k d v 方程的双线性形式 对m k d v 方程 4 0 】 u t + 6 u 2 乱霉+ 2 z z z = 0 ， 通过变换 u = t ( 1 n 务半产， 则得到双线性形式 4 0 ( d 。+ d ：) ，厂= 0 ， 哦 i = 0 。 其中i 是虚数单位，是，的复共轭函数 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 a ) ( 3 1 3 b ) 对于w r o n s k i a n 形式的解，我们给出以下命题 命题6 假设n n 的w r o n s k i 行列式，( 咖) = ( 咖) 和，( 砂) = w ( 砂) ，且向量满足 矽= p c ，其中p = ( p o ) 是一个n n 的非奇异矩阵，= r ( ) 是与z 无关而 关于t 的函数，那么我们有 ，( 砂) = i 尸l ，( 咖) ， 故如果，( 妒) 是( 3 1 3 ) 的解，则，( ) 和，( 砂) 通过变换( 3 1 2 ) 都是方程( 3 1 1 ) 的解 1 0 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 1 3 2m k d v 方程的w r o n s k i a n 验证 先来看m k d v 方程一个简单的w r o n s k i a n 解的验证 假设，= l 、r a 一1 l ，其元素九满足 3 9 】 审j 芦= 一k j 审j ， 咖，t = 一4 咖，z 2 z ， 其中磅是实数现在来证明方程( 3 1 3 ) 成立对于( 3 1 3 a ) 即要证明 由( 3 2 4 a ) 有 ( 3 2 4 a ) ( 3 2 4 b ) t l 一 t 七1 臻。 一3 z 。1 t 七3 1 2 1 z z 一11 矗拢= 0 。3 2 5 、 一，_ 、 ，= i ( 一1 ) i 南1-in i i2 乡i i = 了i 一1 a 一2 l ，( 3 2 屉) i l 其中了= 兀墨。( - k j ) ，= 1 1 , 2 ，1 根据w r o n s k i a n 性质及式( 3 2 4 ) ，易求得下列表达式 ，= i n 一1 1 ， 厶= l n 一2 ，y l ， 厶z = i n 一3 ，n 一1 ，n i + j n 一2 ，n + i i ， 厶z z = l n 一4 ，一2 ，n 一1 ，n i + 2 i n 一3 ，n 一1 ，n + 1 i + i 一2 ，n + 2 1 ， = - 手 i n 一3 ，n 一1 ，n ，n + 1 i l 一2 ，n ，n + 2 i + i n 一1 ，+ 3 i 】， a ，_ 、-a = ( 一4 ) i 一4 ，n 一2 ，n 一1 ，n i i n 一3 ，n 一1 ，+ 1 l + l n 一2 ，n + 2 1 ， ( 3 2 7 ) 以及 厶= 与l 一1 ，n4 - 1 1 ， 厶z = 专 i 一2 ，n ，n + lj + l n 一1 ，n - 4 - 2 f l ， ( 3 2 8 ) 五z z = 乡 i n 一3 ，n 一1 ，n ，n4 - 1 l + 2 i 一2 ，n ，n + 2 i + i n 一1 ，n4 - 3 1 1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 将上面所得代入( 3 2 5 ) 式，等式左边 ，j ，- - 、，- 一一- ， = 考i 一1 f 【i n 一3 ，一1 ，+ 1 f i 一2 ，+ 2 l + i 一1 ，+ 3 1 】 + - ) l ：v l 【i n 一4 ，n 一2 ，n 一1 ，八l i 一3 ，一1 ，v + 1 l + l n 一2 ，+ 2 l 】 + 专j 一1 i 【j 一3 ，一1 ，+ 1 l + 2 i n 一2 ，+ 2 l + i 一l ，+ 3 1 】 -上inlin一4，一2，一1，l+2in一3，1，+1i+ln一2，n+21a a 】 _，、 一号i 一2 ，i 1 一2 ，v 十1 i + i 一1 ，+ 2 1 + 一31 n 一1 ，+ 1 i 1 一3 ，一1 ，i + i 一2 ，+ 1 1 】 = 萼i 一l l i n 一3 ，一1 ，+ 1 l 一2 一2 ，+ 2 l + 一1 ，+ 3 1 】 + 导i 一4 ，一2 ，、r 一1 ，i 一2 i 一3 ，一1 ，+ 1 i + i 一2 ，+ 2 1 一乡i 一2 ，i 【l 一2 ，+ 1 i + i 一1 ，+ 2 1 】 + ：3 ，i n 一1 ，j v + 1 l 【l v 一3 ，一l ，i + i 一2 ，j v + 1 i 】 ( 3 。2 。9 ) 因为九，z = 一b 咖，所以咖，王= 一b 咖，且咖脚= 七；咖又虬= i n 一1 ，+ 1 1 ，利用 性质2 2 3 ，我们可得 利用 n ( 碍) i i z = 一l 简，一1 ，+ 1 1 + i 而，n + 3 i ， ( 3 2 1 0 ) j = 1 i v ( 碍) i 鸸，n i = 一l 倘，一2 ，一1 ，i + l a 一2 ，+ 2 i ， ( 3 2 1 1 ) i = 1 ( 碍) i 稿i = 一i a 一3 ，一1 ，i + i 硒，+ 1 1 ， ( 3 2 1 2 ) i = 1 n ( 碍) i 丽l = 一i n - 2 ，+ 1 1 十i 简，+ 2 1 ( 3 2 1 3 ) i = 1 n n ( 碍i 稿l z ) l 丙i = l 稿l z ( 磅l 费 ) ， ( 3 2 1 4 ) i = 1j = l 可以推出 ：酬笔，, n + 2 i - - 2 , nl - 1 一, n a n i l e 2n2n2 1n i i n 商1 ，n4 - - 2 i - l n 简2 ，n ，n + 1 1 ( 3 2 1 5 ) o 、，、，7 、一一il ，上uj =l 一，+ i l一， i 一， i l 一， ， + 、7 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 利用 n n ( 碍l 倘j 王) i 丙l = i n - 1 z ( 碍i i ) ， ( 3 2 1 6 ) j = l j = l e u 一_ 一i 燮一2 n + 2 1 一mn - 2 ，1 v i 】 ( 3 2 1 7 、i，、，、7 、u l - = i n 一2 ，n i i n 一1 ，+ 2 l i n 一2 ，n ，n + i i ， 、 可以推出 i n i i n 一- 4 ，- 2 , n - 一1 , n ( 3 2 1 s 1 ：inll一-2，+l一一-2，ni矿l-i，+li-2n 2n2n21n2n 2 ，n ，n + 1 l 】 7 = ，+ l 一，+ l 一， ，+ 1 l 】 若利用 ( 碍i 稿i ) i i 茁=- 1 1 ( 碍i i 。) ， ( 3 2 1 9 ) 即 可以推出 i n - 1 ，n + 1 1 i 一2 ，+ 1 1 - i 一3 ，一1 ，i 】( 3 2 2 0 )，_ - - ，、一一，、一，iu uj = i n 一1 i 【i n 一1 ，n + 3 i l n 一3 ，n 一1 ，n ，n + 1 i ， 、。 i 一1 ，n + 1 i l 一2 ，n + 1 i = l n 一1 ，n + l l l n 一3 ，n 一1 ，n i + l n i i n 一1 ，n + 3 i ( 3 2 2 1 ) 一l 一3 ，n 一1 ，+ 1 l 】 根据( 3 2 1 8 ) 式有 l 一4 ，一2 ，n 一1 ，n l 一2 i n 一3 ，n 一1 ，n + 1 l + i n 一2 ，n + 2 1 】一导i 一2 ，n i i n 一2 ，n ，n + 1 l + l 一1 ，n + 2 1 】 ( 3 2 2 2 ) = 号【i i i 、r 一3 ，n 一1 ，n + 1 l + i n 一2 ，n | i n 一1 ，+ 2 i l 一2 ，n + 2 1 1 n i ； 根据( 3 2 2 1 ) 式有 号i 一l l 1 一3 ，一1 ，+ 1 i 一2 i n 一2 ，+ 2 i + 1 1 1 ，+ 3 1 】+ 乡l 一1 ，+ 1 i i 一3 ，一1 ，i + l 一2 ，+ 1 i 】 ( 3 2 2 3 ) ，、，_ ，、，、 = 了- 6 【i 。r v i l l 一3 ，一1 ，+ 1 l i 一1 l l n 一2 ，v + 2 i i 一3 ，一1 ，i l 一1 ，、r + 1 i 】 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 4 所以( 3 2 5 ) 式左边 = 雩( 一1 ) 一2 f l 一3 ，o ，n 一1 ，n l t x 一3 ，n 一1 ，一2 ，+ 1 i i 一3 ，一1 ，一2 ，i l 一3 ，一1 ，o ，+ 1 i i n - a ，- 1 0 2 i n - 3 ，一1 型+ 1 l ( 3 2 2 4 ) ，- 一一，、- 一，- ，、l 一， i 1 z q - + i n 一2 ，n 一1 ，+ 2 i n 一2 ，0 ，n i i n 一2 ，n 一1 ，n i i n 一2 ，0 ，n + 2 i 、 7 一l 一2 ，+ 2 i i 一2 ，o ，一1 1 】 =0 至此证明了( 3 2 5 ) 类似的，方程( 3 1 3 b ) 也可以证明是成立的，此时我们利用了另外一个等式，即 nn ( 砖l 稿1 ) l i = j 稿j ( 碍j j ) 。 ( 3 2 2 5 ) j = lj = l 3 3w r o n s k i a n 条件的推广与简化 本节我们把( 3 2 4 ) 进行推广 定理