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上海交通大学博士学位论文 基于主动模糊图像的运动特征分析理论与方法 摘要 基于视觉图像的运动参数估计问题是计算机视觉研究中的一个重要课题，也 是近年来研究的一个热点问题。为了实现对高速运动的运动参数估计，目前基于 序列清晰图像的运动测量方法一般是采用高速摄像技术来避免目标图像的模糊， 因此造成系统复杂度与设备成本的提高，很大程度上限制了该方法在工业场合的 应用。所以，设计一种高性能、低复杂度、低成本、高效率的运动参数估计方法 是利用计算机视觉实现运动参数估计实用化的重要保证。与传统的复原方法将运 动模糊视为图像的退化不同，本文从运动模糊图像出发，把运动模糊作为图像运 动估计的一种视觉提示，设计了一种基于主动模糊图像的运动参数分析理论及方 法，针对运动参数估计过程中的常见问题，从运动模糊图像的频域、时域和空域 上分别对运动特征分析方法进行了系统而深入的研究。 1 介绍并分析了在图像获取过程中，运动目标在图像平面上产生的运动模糊携 带了目标物体在该曝光时问问隔内的运动信息这一重要特点。在对运动模糊 图像的成像原理以及空域的运动模糊数学模型进行分析的基础上，利用正交 l e g e n d r e 矩的重建特性对图像运动模糊的线扩展函数( l i n es p r e a df u n c t i o n ， l s f ) 进行统计分析，实现对运动线扩展函数的l e g e n d r e 矩重建表达。突破 了现有的运动线扩展函数只针对几种常见的简单运动形式表达的局限，同时 为后面的运动模糊图像运动特征分析打下了良好的基础，对运动模糊图像的 复原和运动特征分析都具有非常重要的意义。 2 为实现工业应用中常见的运动形式( 直线运动、圆周运动和高频简谐振动) 的运动参数测量，在运动模糊图像含有运动信息这一性质的基础上，分析了 直线运动和振动模糊图像的频域数学模型，提出了通过获取该类运动模糊图 像频谱图中所出现的一系列与运动信息相关的暗条纹位置信息，实现对相应 运动特征的提取。进一步，在建立面内圆周运动和直线运动几何关系的基础 上，仿照人类视网膜的多分辨率原理，设计了一种准极坐标变换方法。利用 该变换方法可以实现将二维面内圆周运动模糊降为一维直线运动模糊，简化 了运动模糊形式，扩展了利用运动模糊频域分析的方法实现运动参数分析的 应用范围。通过对图像处理方法的设计，不仅可以实现圆周运动模糊转化为 直线运动模糊的目的，同时也可以实现对运动模糊频谱图中平行暗条纹位置 信息的提取。本文中通过数学模型的分析、数值仿真和实际实验，都说明了 摘要 利用频域分析运动模糊图像的方法，可以简单有效地利用单帧运动模糊图像 实现对直线运动、圆周运动和振动模糊图像的运动特征提取和参数估计。 3 为进一步实现对速度变化量的有效估计，以运动模糊图像的空间成像机制为 研究对象，导出了运动函数正交l e g e n d r e 矩定理以及运动函数l e g e n d r e 矩 与运动模糊图像l e g e n d r e 矩之间的递推关系，并利用该递推关系获得平移运 动、高频、低频振动模糊图像的l e g e n d r e 矩与运动函数l e g e n d r e 矩之间的 函数关系，在此基础上实现了基于模糊图像的运动特征分析和参数估计。理 论的计算、分析、仿真和实际实验都说明了可简单地利用单帧运动模糊图像 和静止图像的l e g e n d r e 矩，实现目标面内运动参数的估计。由于l e g e n d r e 矩函数较好的抗噪能力，所以该方法具有较好的鲁棒性。 4 为实现基于模糊图像的通用运动函数形式的参数估计，在运动函数正交 l e g e n d r e 矩定理基础上导出l e g e n d r e 矩的空间平移不变性，利用l e g e n d r e 矩的空间平移不变性对运动模糊图像进行时域的分析，以序列运动模糊图像 为研究对象，建立运动函数的l e g e n d e r 矩与序列运动模糊图像的时域关系， 导出序列运动模糊图像与运动函数的递推关系。进一步利用所获得的递推关 系提出了一种基于序列运动模糊图像的通用面内运动参数估计方法。计算结 果表明，利用序列运动模糊图像可以实现对运动参数更有效的估计。 5 为验证本文所提出的利用主动模糊图像实现运动特征分析方法，在对生物视 觉系统研究的基础上，设计了一套可以有选择地、主动获取感兴趣的运动模 糊信息的主动视觉系统，该系统可以主动调整摄像机的参数如曝光时间、采 样周期和孔径等参数，获取单帧或序列运动模糊图像。并能主动获取各种形 式的模糊图像，同时对该系统的各类参数进行了讨论，为更有效利用该系统 实现各种运动形式的参数测量提供理论基础。 关键词 运动模糊图像；运动参数估计；运动点扩展函数；l e g e n d r e 矩；主动视觉系统 上海交通大学博士学位论文 a n a l y s i st h e o r ya n dm e t h o d so fm o t i o nb a s e do na c t i v e l y b l u r r e di m a g e s e s t i m a t i o no f m o t i o np a r a m e t e rb a s e do ni m a g e si sav e r yi m p o r t a n ts u b j e c to f c o m p u t e r v i s i o ni nr e c e n ty e a r s i no r d e rt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r so fh i g h - s p e e dm o t i o n , c u r r e n tm e a s u r i n g m e t h o db a s e do ns e q u e n c ee x p l i c i ti m a g e si sg e n e r a l l yu s e dh i g h - s p e e dc a m e r at oa v o i db l u r r e d i m a g e s ，t h a tc a u s e ds y s t e mc o m p l e x i t ya n dc o s t so fe q u i p m e n tr i s ea n dl i m i t e dt h eo c c a s i o n si n t h ei n d u s t r i a la p p l i c a t i o n s t h e r e f o r e , t h ed e s i g no f ah i g h - p e r f o r m a n c e ，l o wc o m p l e x i t y , l o wc o s t , e f f i c i e n tm o t i o np a r a m e t e re s t i m a t i o nm e t h o di sa l li m p o r t a n tg u a r a n t e et oa c h i e v ep r a c t i c a l m o t i o np a r a m e t e re s t i m a t i o nb a s e do nc o m p u t e rv i s i o n d i f f e r e n tw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o do f b l u r r e di m a g er e s t o r a t i o nt h a tr e g a r d si m a g eb l u ra si m a g ed e g r a d a t i o n , t h i sp a p e rr e g a r d sm o t i o n b l u ra sv i s u a lc u e sf o rm o t i o ne s t i m a t i o n i nt h i sp a p e r , e s t i m a t i o nt h e o r ya n dm e t h o d sw a d e s i g n e dt oe s t i m a t et h em o t i o np a r a m e t e r sa n dw ep r o p o s e de f f e c t i v em e t h o d st oe s t i m a t e t r a n s l a t i o n ，v i b r a t i o na n dr o t a t i o nu s i n gas i n g u l a rb l u r r e di m a g ei nf r e q u o n c yd o m a i na n da n y m o t i o np a r a m e t e r su s i n gb l u r r e di m a g e sv i al e g e n d r em o m e n t si ns p a t i a ld o m a i na n dt e m p o r a l d o m a i n 1 i nt h ei m a g ea c q u i s i t i o np r o c e s s ，t h em o t i o no fm o v i n go b j e c to nt h ei m a g ep l a n er e s u l t s t h ei m a g eb l u rt h a tc o n t a i n sm o t i o ni n f o r m a t i o ni nt h ee x p o s u r et i m ei n t e r v a l b a s e do n a n a l y s i so fi m a g i n gp r i n c i p l e ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so f b l u r r e di m a g ei nt h ef r e q u e n c y d o m a i na n ds p a t i a ld o m a i nh a v e b e e ne s t a b l i s h e d s t a t i s t i c a l a n a l y s i sw a su s e dt o r e c o n s t r u c tt h el i n es p r e a df u n c t i o n ( l s f ) b a s e do no r t h o g o n a ll e g e n d r em o m e n t s t h e e x i s t i n gm e t h o d so ft h el i n es p r e a df u n c t i o nd e a hw i t hs o m es p e c i f i ct y p e so fm o t i o n i n t h i sp a p e rw ep r e s e n tan u m e r i c a lm e t h o dt o d i r e c t l yc a l c u l a t el s fv i ai 端e n d r e m o m e n t sa n dc a no b t a i n e dl s fd i r e c t i o nf o rm o t i o no f a n yk i n d 2 t r a n s l a t i o na n dm t a r ym o t i o ni sc o m m o nf o r m so fm o v e m e n ti ni n d u s t r i a la p p l i c a t i o n s b yu s i n gm o t i o n - b l u ri n v o l v e dm o t i o ni n f o r m a t i o n , w ea n a l y z e dt h el i n e a rm o t i o n - b l u ri n t h ef r e q u e n c yd o m a i na n df o u n dt h es p e c t r m no ft h em o t i o nb l u r r e di m a g oi sm u l t i p l i e d b yas i n cf u n c t i o nf o rt r a n s l a t i o n ，w h i c hh a sz e r o sa tp o s i t i o n sr e l a t e dt ot h el e n g t ho ft h e b o x c a r w h e nt h e s ez c r o sa r ef o u n d e d , t h ep a r a m e t e r sa n dd i r e c t i o no fi m a g em o t i o nc a n b ee s t i m a t e d i na d d i t i o nt oe s t a b l i s h i n gt h eg e o m e t r i cr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h er o t a r y m o t i o na n dt r a n s l a t i o n ，i n s p i r e db yt h em u l t i r e s o l u t i o np r i n c i p l eo fh u m a nr e t i n a , t h e q u a s i - p o l a rc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nm e t h o dw a su s e dt od e c o m p o s et h er o t a r ym o t i o n b l u ri n t ot r a n s l a t i o n - b l u r t h e r e f o r e ，as e r i e so fd a r kp a r a l l e lr i p p l e sw h i c ha p p e a ro nt h e i i i 摘要 s p e c t r u mo ft h et r a n s l a t i o n b l u ri se x a c t l yr e l a t e dt ot h em o t i o np a r a m e t e r s u s i n gt h e i m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d sp r o p o s e di nt h i sp a p e r , n o to n l ym o t i o nc e n t e ro ft h er o t a r y b l u rb u ta l s ot h el o c a t i o n so fp a r a l l e ld a r ks t r i p e so nt h es p e c t r u mc a nb ee s t i m a t e d a c c o r d i n gt ot h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ed a r kr i p p l e sp o s i t i o na n dt h em o t i o n i n f o r m a t i o n ，t h el i n e a rd i s p l a c e m e n ta n dv e l o c i t yp a r a m e t e rc a nb ee s t i m a t e d f u r t h e r , b a s e do nt h eg e o m e t r i c a lr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w o - d i m e n s i o n a lr o t a r yb l u ra n dt h e o n e - d i m e n s i o n a lt r a n s l a t i o nb l u r , a n g u l a rd i s p l a c e m e n ta n dt h ea v e r a g ea n g u l a rv e l o c i t y c a l lb ee s t i m a t e d i nt h i sp a p e r , b a s e do na n a l y s i sm e t h o di nt h ef r e q u e n c yd o m a i n , e s t i m a t i o no ft r a n s l a t i o na n dr o t a t i o np a r a m e t e r sc a nb es i m p l i f ya n de f f e c t i v e l yo b t a i n e d b yu s i n gs i n g u l a rb l u r r e di m a g ea n da tp r e s e n t , t h ee x i s t i n gm o t i o na n a l y s i sm e t h o d sn e e d t w om o r ei m a g e s m e a s u r e m e n ta n da n a l y s i so fv i b r a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es y s t e md y n a m i c s a n a l y s i sa n dt h ea m p l i t u d eo ft h eo b j e c ti sa ni m p o r t a n tp a r a m e t e rf o rm e a s u r i n gv i b r a t i o n b a s e do nt h em a t h e m a t i c a lm o d e li nf r e q u e n c yd o m a i no fh i g hf r e q u e n c yv i b r a t i o n ， s i m i l a rw i t ht h et r a n s l a t i o nb l u as e r i e so fd a r kp a r a l l e lr i p p l e sw h i c ha p p e a ro nt h e s p e c t r u mo fh i g hf r e q u e n c yv i b r a t i o nb l u ri se x a c t l yr e l a t e dt ot h ev i b r a t i o na m p l i t u d e i n t h i sp a p e r , w ed e s i g n e dt h ei m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d st od e t e c tt h ep o s i t i o no ft h e s e r i p p l e st oe f f e c t i v e l ya n df a s te s t i m a t et h ev i b r a t i o na m p l i t u d e i n s p i r e db yt h eb i o l o g i c a l v i s u a ls y s t e m , w ed e s i g n e daa c t i v ev i s i o ns y s t e mt oa c t i v e l yo b t a i nb l u r r e di m a g eb y a d j u s t i n gt h ec a m e r ap a r a m e t e r s ，s u c ha se x p o s u r et i m e ，s a m p l i n gc y c l ea n dp o r es i z e t h es y s t e mc a nt a k et h es i n g u l a rb l u r r e di m a g ea n ds e q u e n c eb l u r r e di m a g e s t h i ss y s t e m c a nb eu s e dt oo b t a i nh i g hf r e q u e n c yv m r a t i o nb l u r r e di m a g ea n de s t i m a t e dt h ev i b r a t i o n a m p l i t u d eb yt h ea n a l y s i si n 也ef r e q u e n c yd o m a i n b a s e do nt h ea n a l y s i si nt h ef r e q u e n c yd o m a i n , i nt h i sp a p e r , b a s e do ns p a t i a l - t e m p o r a l i n t e g r a t i o nm e c h a n i s m so ft h ei m a g i n gs y s t e m , w ep r o p o s e dt h et h e o r e mo fl e g e n d r e m o m e n t so fm o t i o nf u n c t i o na n de s t a b l i s h e dt h er e c u r s i v er e l a t i o n sb e t w e e nt h el e g e n d r e m o m e n t so fm o t i o nf u n c t i o na n dl e g e n d r em o m e n t so fb l u r r e di m a g e sb a s e do nt h e t h e o r e m t h e r e f o r e ，r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h el e g e n d r em o m e n t so ft r a n s l a t i o n , h i g h - f r e q u e n c ya n dl o wf r e q u e n c yv i b r a t i o na n dt h el e g e n d r em o m e n t s o f b l u r r e di m a g e s a r eo b t a i n e d , r e s p e c t i v e l y t h em o t i o np a r a m e t e r sc a l lb ec a l c u l a t e db ys o l v i n gt h e s e a l g o r i t h mr e l a t i o n s t h ep r o p o s e dm e t h o d sc a ne s t i m a t et h em o t i o np a r a m e t e r sf r o mo n l y o n eb l u r r e di m a g ea n do n es t a t i ci m a g e b a s e do nt h et h e o r e mo fl e g e n d r em o m e n t so fm o t i o nf u n c t i o n , w ep r o p o s e dt h es p a c e t r a n s l a t e di n v a r i a n to fl e g e n d r em o m e n t sa n db a s e do nt h es p a c et r a n s l a t e di n v a r i a n t , w e a n a l y z e dt h eb l u r r e di m a g ei n t h et e m p o r a ld o m a i na n dp r o p o s e dt h er e c u r s i v e i v 上海交通大学博士学位论文 r e l a t i o n s h i pb e t 、) v e e nl e g e n d r em o m e n t so fs e q n e n c e sb l u r r e di m a g e sa n dl e g e n d r e m o m e n t so fg e n e r a lm o t i o nf u n c t i o n t h ep a r a m e t e r so ft h eg e n e r a lm o t i o nf u n c t i o nc a l l b ec a l c u l a t e db ys o l v i n gas e r i e so fn o n - l i n e a re q u a t i o n s b e c a m eo ft h ea n t i - n o i s e c a p a b i l i t yo f l e g e n d r em o m 锄t s ，t h i sp r o p o s e dm e t h o dh a sb e t t e rr o b u s t n e s s k e y w o r d s b l u r r e di m a g e s ；e s t i m a t i o no f m o f i o np a r a m e t e r s ；l i n es p r e a df u n c t i o n , l e g e n d r e ；a c t i v ev i s i o n s y s t e m v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 日期：叼年夕月沙日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授 权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在解密后适用本授权书。 本学位论文属于 ， 不保密曲。 ( 请在以上方框内打“4 刀) 指导教师签名 日期：叫年 皮1 日 彩 妒 以 胪 签9 者 年 作 7 文论 劲 位 期 学 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景、目的和意义 运动是自然界中活动目标的重要特征。长久以来，人类穷尽各种方法实现对运动信息的 获取。最早是通过日常经验或自然现象粗略估计时间和长度来判断目标的运动速度。随着工 业技术的发展，运动的测量成为一个重要的研究领域，任何存在运动的场合都需要对运动进 行测量。而各种形式的测量技术、仪器的研究，也为实现对运动的精确估计提供了可能。 目前，在工业应用上常见的运动形式有平移运动、转动和振动。针对这几种运动形式， 根据测量方法，可以分为机械式测量、光学测量和频闪测量三大类。根据测量仪器与被测目 标是否接触，可以分为接触式测量和非接触式测量两大类 随着数字图像技术广泛地应用于基础科学和应用科学的各个领域，基于计算机视觉方法 的运动估计已经成为一种灵活、有效的运动分析方法。基于计算机视觉的运动分析方法主要 是对图像中感兴趣的目标进行特征提取，分析和建立特征与运动信息之间的关系模型，从而 实现对运动物体的运动特性估计该方法可以较直观地获得被测物体的运动情况，实现自动 或半自动的测量，可以广泛应用于各种工业测量、机器人导航、目标追踪等场合。计算机视 觉( 或者机器视觉) 着重于利用计算机或机器来实现类似于人的视觉功能，对图像目标的运 动进行表达和特征描述是图像分析与计算机视觉领域中的一个重要过程。 本文将开展关于利用计算机视觉系统实现基于运动模糊图像的运动分析问题的研究，该 项目得到国家自然科学基金面上项目 t o ，即曝光时间远远大于振动周期时，为高频振动；当t 。 t o ，曝光时间远 远小于振动周期时，为低频振动。 i ) 高频简谐振动 对于曝光时问远远大于振动周期的高频简谐振动，其线扩展函数可以通过求简谐运动的 概率密度函数来获得。 脚= 去h sd ( 2 4 5 ) z c q d 2 一x i i ) 低频简谐振动 对于低频振动，假设振动形式如式( 2 4 4 ) ，曝光过程在振动周期内发生时刻为等概率事 件，因此是一个随机过程。其中最小模糊值发生在波峰和波谷，如图2 3 所示。 图2 3 低频简谐振动不同曝光时间位置与模糊半径问的关系 f i g 2 3t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f f e r e n ts t a r te x p o s u r et i m eo f l o w - f r e q u e n c yh a r m o n i cv i b r a t i o na n db l u rr a d i u s 2 l 上海交通大学博士学位论文 “= d 1 - c o s 【矿2 9 尹t e 】) 最大模糊值发生在过零点的位置，即x ( f ) = 0 ： = 2 d s i n 【矿2 i g 秒t e ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 低频振动会产生相对高频振动更复杂的图像模糊，这是由于它更多依赖于曝光过程的初 始相位和曝光时间。由于初始相位的不同，使得图像模糊过程成为随机过程。设曝光的初始 时刻t 为概率密度函数的随机变量。因此标准化位移可以写成的函数。 兰盟： d c o s 等。s 等也瑚峨 扣 l + c o s l + c 0 s c o s 等也一s 等 手一乙 手一 墨一垒 互 (248)22 2 jp ， s t o 一乞 瓦一乞f j 瓦一等 瓦一鲁f i 瓦 根据式( 2 4 8 ) ，以为变量，计算在【0 ，瓦】范围内的位移量d 纯) 。如果把乙t o 也 看作变量的话，从式( 2 4 8 ) 可以看出，曝光时间越短，所产生的模糊越小。如图2 4 所示， 相对较小的，。瓦的值，产生较小的模糊半径。如果增加曝光时间，会导致产生最小模糊半 径的起始时间离瓦2 的位置越来越远。 低频简谐振动的线扩展函数与曝光时间和曝光的起始时间有关，如图2 4 所示 乞 + 也 望瓦丝写 乞 + 也 堡瓦堡写 s s 0 0 c c 一 一 第二章基于运动的图像运动模糊模型 图2 4 模糊半径与t 几之间的关系 f i g 2 4t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nb l u rr a d i u sa n dt 几 2 3 基于l e g e n d r e 矩的运动线扩展函数统计分析方法 “矩”最初是统计学和力学等领域中的一个重要概念矩在统计学中用于表征随机量的 分布，而在力学中用于表征物体的空间分布。矩在图像分析、模式识别以及计算机视觉领域 的广泛应用。概括地说，把函数投影到实数域或复数域的多项式基底上，所得到的投影系数 都可以认为是函数矩。按多项式基底在其定义域上的正交性与否，我们可以把函数矩分为非 正交矩和正交矩。典型的非正交矩包括几何矩和复数矩等；正交矩则主要包括l e g e n d r e 矩、 z e r n i k e 矩、t c h e b i c h e f f 矩、k r a w t c h o u k 矩等其中正交矩具有可逆的反变换，函数能够方 便地从它的正交矩特征中进行反变换重建：正交矩由于其正交性，所以具有信息冗余度很低 的特点。 因此，本节将利用l e g e n d r e 矩的重建特性，对图像运动线扩展函数( l s f ) 进行基于 l e g e n d r e 矩的统计分析，获得对任意运动形式线扩展函数的解析表达。 2 3 1l e g e n d r e 矩及其基函数 l e g d r e 矩是方形连续域上典型的正交矩，于1 9 8 0 由t e a g u j s 6 ) 提。它的矩定义域 为卜l ，1 】，是由连续正交的l e g e n d 舱多项式系统构造而成 2 3 上海交通大学博士学位论文 一维信号触) 的拧阶l e g e n d r e 矩定义为嗍： 厶= 半。驰小蚺( 玎- 0 ，l ，2 ) ( 2 4 9 ) 其中l e g 锄击e 矩基底函数为l e g 锄d r e 多项式，是区间【- l ，1 1 上一套完备的正交基函 数，第加阶l e g e n d r e 多项式可以表示为( g r l ： 其中： 一 只( 功= c , , k x 士x e - i ，1 】 ( 2 5 0 ) 铲( - l r 叫2 古蒋如娜伽胛 ( 2 - 5 ” 如果a x ) 为分段连续函数，其l e g e n 出e 矩都存在，一维l e g c n d r e 矩的反变化定义为嘲： o ) = 厶 ) ( 2 。5 2 ) 如果给定前阶l e g e n d r e 矩，可以从一套有的l e g e n d r e t 交矩中近似重建原信号加c ) ： f ( x ) - - - f r ( x ) = 厶只( 磅 2 3 2 线扩展函数的l e g e n d r e 矩表达 根据l e g e n d r e 矩的正交特性，将任意运动函数蝴映射到【- l ，l 】区间： 双，) ：2 x ( t r ) - 一a f + 乞 d 2 5 3 ) ( 2 。5 4 ) 其中 a = + a n d b = 一，且= m 嘶似阮，i + 乞】) ， 毛岫= m i n ( x ( t ) ，【，+ t 】) 在曝光时间f | 内，物体的运动满足： f 。_ 2 ( f ) 出 佃 因此根据式( 2 4 9 ) ，运动函数i o ) 的线扩展函数l s f 的l e g m d r e 矩为： ( 2 s 5 ) 垆= 学f 。p , , ( x - ) l s f ( x - ) a 配，- 【_ l ，l 】 ( 2 嘞 z 是与变量堵关的随机函数，并且线扩展函数为运动函数的概率密度函数，由式( 2 s o ) 第二章基于运动的图像运动模糊模型 可得： 垆习= 莩f 。p 。( x - ) l s f ( x - ) c s f = t 2 n + l 台士f ，尹卿( 习方 ( 2 5 7 ) ：2 兰窆e ( _ i )2 _ - 乙厄j 驴二嚣篇季妻窘广】仁卿= 莩砉扣，付) 孚胪锄 一 - ，= e ( x k 一) = 矿。( f ) z o ) 西= f 1r x - ( t ) d t ( 2 5 9 ) 其中z o ) = l 匕为时间的概率密度函数( p d f ) 攀鳓2 n 、+ l 号。- , c 时m 。 m ：亭翻爿争气啦护。渺( 2 6 0 ) 由式( 2 5 3 ) 和式( 2 6 0 ) 可得： l s f ( x - ) 兰l s f n ( x - - ) = 擎p a x - ) ：羔p 障窆撕窆。叫 2 6 1 n = o l k = ot j 由于l s f ( x ) 是运动函数螂的概率密度函数( p d f ) ，l s f ( x - ) 是一( d 的概率密度函数， 根据式( 2 5 4 ) 的线性映射关系以及概率知识，式( 2 6 1 ) 中l s f s 可以表达为； 姆c 力= 詈薹降砉坂窆k f f i o 圭i = 0 州，7 ( a 孚柏卜蚴 由式( 2 6 2 ) 看 r i ，运动函数的线扩展函数可以通过计算像平面上运动的有限阶l e g e n d r e 矩重建得到，即运动的线扩展函数可以表达为有限个运动函数的指数序列求和的形式。因此， 上海交通大学博士学位论文 运动函数的光学传递函数( o t f ，l s f 的傅立叶交换形式) 也可以很容易的获得。式( 2 6 2 ) q 。， 运动函数的刀阶l e g e n d r e 矩可以通过曝光时间内的运动函数的统计矩计算获得。因此利用 l e g e n d r e 矩方法所获得的解析线扩展函数，可以实现任意运动形式的线扩展函数的解析表 达，对运动模糊图像的运动分析和恢复都具有非常重要的意义。 2 3 3 线扩展函数的数值计算方法 对于运动形式已知并可以用解析表达式表达的运动函数来说，运动的线扩展函数可以 通过式( 2 6 2 ) 计算获得解析表达。但在很多实际应用场合，运动函数没有解析表达式，只能 通过离散采样序列的方式进行描述，因此不能直接通过式( 2 6 2 ) 直接计算获得。本节将论述 如何实现非连续运动采样序列的线扩展函数的数值计算方法。 设在曝光时间厶内，运动的采样序列为( 产j ，2 ，固。式( 2 5 9 ) 中的z 阶运动统计可以 表达为： 聊= 土q - x t x ，, ( 2 6 3 ) 将式( 2 6 3 ) 代入式( 2 6 2 ) ，可以得到离散采样序列的线扩展函数的数值表达。 2 3 4 匀速直线运动的线扩展函数 对运动速度为，的匀速直线运动x ( 0 - z ( ，) = v t f + 乞 其中为曝光的起始时间，厶为曝光时间。对 ，0 ，根据式( 2 5 4 ) 归一化处理： 口= “毛+ 乞) + v t , = 2 v t , + v t , b = 1 ，纯+ 乞) 一啊= 式( 2 5 9 ) 中的七- 厮运动统计矩即为。 刃曙。一= 丢f j + 。( y r ，7 d z = j = j ；：! 篙l ：+ i t 代入式( 2 6 1 ) ，可得： = 莩薹如i = 0 淼 i t ，一z 一、 ，v 聃，王r，、- ，- h 曲l 一， ； 其中： 2 k a ( 2 t , + 乞) ，鲰+ ) 一一h “ e + 1 ( 七一，+ 1 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 o a ) ( 2 6 7 ) 孚 c 矿 卜 。脚丝2 鼋 第二章基于运动的图像运动模糊模型 鸠= 丢噶牟出 ( 2 6 8 ) 其中( 2 v f 一，6 是将运动函数伊叫影射到 - 1 ，l l a 问的映射函数，因此( 2 w 一口) 6 为轴对 称函数，则，当七为奇数时，m k = o ；同时，根据式( 2 5 0 可知对于所有n - k 为奇数的情况，c 越卸。 因此，实际上只需要计算l ，4 的l e g e n d r e 矩 匀速直线运动的线扩展函数为： 脚= 荟nen驴kuk = o ) j ( 华( 计一 m 由，o o ， ” 为了验证本文所提出的基于l e g e n d r e 矩的线扩展函数统计分析方法，利用式( 2 6 9 ) 对匀 速直线运动m o t i o n l , 2 分别进行计算( m o t i o n i ：x ( t ) = l t 和m o t i o n 2 ：x ( t ) = 2 t ( 1 k 1 ) ，即位移 分别为l m m 和2 m m 的匀速直线运动，如图2 5 ( a ) 所示) 图2 5c o ) 为利用n = 5 阶l e g e n d r e 矩方法计算匀速直线运动m o t i o n l 和m o t i o n 2 的删结果。其中实线为利用式( 2 3 哪f 算的 结果，虚线为n = 5 阶l e g e n d r e 矩所计算的结果。从图中可以看出，与式( 2 3 9 ) 所获得的匀速 c o ) 圈2 5 匀速直线运动的l e g e n d r e 表达 f i g 2 5l s fo fl i n e a ru n i f o r mm o t i o nb a s e do nl e g e n d r em o m e n t s 2 7 一 嵴掣尚却 上海交通大学博士学位论文 直线运动点扩展函数比较，利用5 阶l e g e n d r e 矩就可以得到与式( 2 。3 9 ) 相同的结果。 2 3 4 匀加速直线运动的线扩展函数 假设运动速度为v 的匀速直线运动确： x ( f ) = v t + a , t 2f j f + 乇 根