（应用数学专业论文）分形理论中若干结果的推广及应用研究.pdf

目录 声明 本人郑重声明；本论文的所有研究工作都是在导师一商朋见教授的悉 心指导下，由本人独立创作完成论文中所引用的已知结论均可参见相应文 献，参考文献已在每章的最后列出特别，未经作者本人许可，任何擅自更 改、抄袭或剽窃本论文之内容的行为，都将承担相应的学术和法律责任 目录 摘要 2 分形是- - n 新兴的数学分支，它的基础是分形几何分形几何主要是研 究不规则以及复杂的集合或几何体分形几何提供了一种研究复杂事物的 新理论和方法，现在已被广泛应用于各个学科领域本文在分形理论的基础 上，主要是对分形几何的一些结论和定理作了相应推广，并且最后与实际结 合将分形理论应用于交通流分析本文共分五章： 第一章，先回顾了分形几何的定义、理论及发展，并且主要介绍了分形 中最重要的维数定义一豪斯道夫维数 第二章，在经典的豪斯道夫测度和维数定义下，对维数的乘积公式在 r 空间上进行了推广及证明；然后研究了无穷维上一类分形集的豪斯道夫 测度和维数，并将所推广的公式用于求分形集的维数 第三章，本章讨论了带有概性质的齐次自相似集在满足开集条件下，它 的各种多重分形谱都相等，从而得到了重分形谱的一种算法，最后给出了两 个例子 第四章，本章首先将s t a s a k i 等人引入的d er h a m 方程推广为广义的 d er h a m 方程，然后讨论了其分形性质，并且在压缩比相等的条件下求出 了它的分形维数 第五章，先引入分形插值函数，并介绍了分形插值的方法，然后利用分 形插值的方法分析了交通流的分形性质，提出了一种交通流预测方法。 关键词：分形几何；豪斯道夫维数；多熏分形；齐次自相似集；d er h a m 方程；分形插值函数；交通流 目录 a b s t r a c t 3 t h ef r a c t a lg e o m e t r yi st h eb a s eo ff r a c t a lt h e o r y , w h i c hi s b e i n ga p - p l i e dt oo t h e rf i e l do fs c i e n c e sm o r ea n dm o r ew i d e l y t h em a i ns u b j e c to f f r a c t a g e o m e t r y i st os t u d y8 0 1 7 1 ei r r e g u l a rs e t sa n dal o t so f n o n l i n e a r ，c o r n p l i c a t e dp h e n o m e n a i nt h i sp a p e r ，w eh a v es t u d i e da n dg e n e r a l i z e dm a n y f r a c t a lt h e o r i e s ；a tl a s t ，w ed i s c u s s e ds o m ef r a c t a lp r o b l e m sa p p l y i n gt h e s e t h e o r i e s t h ep a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w er e v i e wb r i e f l yt h ec o n c e p t sa n dt h e o r i e sa n dd e v e l o p m e n to ff r a c t a lg e o m e t r y s p e c i a l l y , w ei n t r o d u c et h em a i nd i m e n s i o no f f r a c t mg e o m e t r y - - h a u s d o r f fd i m e n s i o n i nc h a p t e rt w o ，f o l l o w i n gt h ed e f i n i t i o no ft h ec l a s s i c a lh a n s d o r f fm e a - - s u r ea n dd i m e n s i o n ，t h ep r o d u c to fh a u s d o r f fd i m e n s i o ni nr i sp r o v e d t h e nw ec o m p u t et h eh a u s d o r f fd i m e n s i o n so fs o m ef r a c t a ls e t si nr a p - p l y i n gt h e s ef o r m u l a s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h em u l t i f r a c t a ls p e c t r ao ft h eu n i f o r m l y c o n t r a c t i n g s e l f - s i m i l a rs e t sa 】l dp r o v et h a ta l lk i n d so ft h em u l t i f r a c t a is p e e - t r ao fv a l u e si se q u a li ft h e0 s ci ss a t i s f i e d f i n a l l yt w oe x a m p l e 8a r eg i v e n i nc h a p t e rf o u r ，f i r s t l yw eg e n e r a l i z e dt h ed er h a me q u a t i o na c c o r d i n g t ot h et h e o r yi n t r o d u c e db ys ，t n s a k ie t ；t h e nw ed i s c u s st h ef r a c t a lp r o p e r - t i e so ft h eg e n e r a l i z e dd er h a me q u a t i o na n dc o m p u t ei t sf r a c t a ld i m e n s i o n w h e nt h ec o n t r a c t i o nr a t i o si so fe q u a lv a l u e i nc h a p t e rf i v e f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n sc a i lb ee x p l i c i t l yd e f i n e d t h e nw ep r e s e n tt h em a i nm e t h o do ff r a c t a li n t e r p o l a t i o na n da n a l y z et h e t r a f f i cf l o wa p p l y i n gt h i sm e t h o d 目录 4 k e y w o r d ：f r a c t a lg e o m e t r y ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；m u l t i f r a c t a l ；u n i f o r m l y c o n t r a c t i n gs e t s ；d er h a me q u a t i o n ；f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s ；t r a f f i c f l o w 第一章绪论 1 1 分形理论的发展简介 人类面对的自然界是多么丰富多彩，天空中漂浮着变幻莫测的云彩，地 球表面覆盖着雄浑壮阔的地貌，海洋上翻滚着风起云涌的滔天巨浪，以及参 差不齐犬牙交错的海岸线等等对于这些奇形怪状的自然现象，多年以来， 人们习惯于用传统的几何思维和分析方法来描述然而，这种描述常常与客 观事物所表现的不规则性相差很大诸如云层的边界，山脉的轮廓，飞舞的 雪花，绵延的海岸线等等都是“不规则”的几何形体，很难用经典几何中的 直线，光滑曲线及光滑曲面来描述或逼近它们 在自然科学领域中，人们长期的研究发现存在着大量的各种类型的不 规贝0 现象与几何对象像现代数学中不光滑和不规则的集或函数以及非线 性问题；还有动力系统中出现的吸引子，物理中临界现象与相变，流体力学 中的湍流，化学中酶与蛋白质的构造，生物中细胞的生长，工程技术中的信 号处理，噪声分析等等，这种不规则现象无处不在多年以来，一方面，人 们试图将这些不规则事物纳入经典几何的框架中研究，结果发现由此导出 的理论或模型即使在近似的情形下，无论在理论上还是实践中，都难以处理 所接触的实际情形而另一方面，人们已注意到这些不规则集或现象往往能 更好的反映许多自然现象 2 0 世纪7 0 年代中期，随着美国著名数学家曼德勃罗特( b b m a n d e l b r o t ) 几本专著的问世，一种新颖的理论和几何语言诞生了，这就是分形理论，而 分形理论的基础就是分形几何分形理论及分形几何恰好为研究各种各样 的不规则集或复杂现象提供了一种研究思想，分析方法和处理技巧分形几 何，这门新的数学分支自一创立，就一直受到学术界的重视，在过去的二十 第一章绪论 6 几年里，分形已有了很大的发展特别是近年来，这一新兴学科在纯数学、 物理学、化学、材料科学、地质勘探、生物学、医药学、股价预测、工程技术 以及计算机和信息科学等许多领域中，都得到的广泛的应用并且由于分形 几何方法的引入，使一些原已死寂一般的老的学科方向焕发了新的生机，也 使一些正在蓬勃发展的新兴学科获得了巨大的推动力分形几何与计算机 科学的结合就是一个明显的例子而不断发展的其他学科所提出的新的和 重大的问题，更刺激了分形理论及分形几何的深入发展，同时也为分形的发 展提供了广阔空间 1 2 分形及分形定义 分形理论属于非线性范畴，分形几何研究的对象是许多具有不规则性 的几何形体或图形一方面，这类几何对象往往很难甚至不能用经典几何的 理论方法来处理；另一方面，这类几何对象常常具有某些相对“较好”的性 质，可以为我们的研究提供一定的依据，从而能达到实际应用的目的为了 清楚地阐述上述意思，下面先来考察两个简单的分形例子 首先看一个人们最了解也最容易构造的集合一三分康托集，它是从单 位区间出发，通过一系列不断地去掉中间三分之一予区间的过程构造出来的 ( 如图1 1 ) 设昂是闭区间【0 ，1 】，即e o = 【0 ，1 】( 【n ，6 】表示满足a 函sb 的实数x 组成的集合) ，e 1 表示由晶除去中间a 3 之后得到的集，即日 包含f o ，i 1j 和睦，1 两个区阉然后，再分别去掉这两个区间的中间v 3 而 得到e 2 ，即e 2 包含【0 瑚、【；，瓠、【i ，5 】、【，1 四个区间按此方法 继续下去，毋是2 由个长度各为3 “的区间组成于是，三分康托集f 是由属于所有b 的数组成的，确切地说，f = n 展，f 可以看成是集 序列风当k 趋于无穷时的极限显然，不可能画出带有无穷小细节的f 自身，所以f 的图形实际上只是一个而充分大时对f 较好逼近的玩的图 第一章绪论 形 0 o o ；j 1 岛 r 一e 2 百 1 一一日 一一一既 f 图1 1 三分康托集f 的构造，由反复地去掉区间的中间1 3 而得到 7 从上图可看到，在三分康托集的构造过程中，已经去掉了 0 ，1 区间中 的那么多点，似乎没留下什么事实上，尸是一个无穷集( 并且的确是不可 数的) ，在它的每一个点的邻域内都包含集内的无穷多个数。 下面列出三分康托集的一些性质，许多分形集也具有类似的性质： ( i ) f 是自相似的，很明显，在区间 0 ，；】和皤，1 】内的f 的部分与f 是几何相似的，相似比为1 ：3 ；进而马的四个区间内f 的部分也与f 相 似，相似比为1 ：9 ；依此类推，三分康托集包含许多不同比例的与自身相 似的样本； f i i lf 有“精细结构”，即它包含有任意小比例的细节，越放大康托集 的图，间隙就越清楚地呈现出来； ( i i i l 虽然f 有错综复杂的细节结构，但f 的实际定义是非常简单明了 ； i 二：三 第一章绪论 8 的； ( i v ) f 是由一个迭代过程得到的，它的结构是由反复地去掉单位闭区 间中间1 3 ，持续的步骤得到的邑是f 的越来越好的逼近； ( v ) f 的几何性质难以用传统的几何术语来描述，它既不是满足某些简 单条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集； ( v i ) f 的局部几何性质也是很难描述的，在它的每点附近都有大量被 各种不同间隔分开的其他点； ( v i i ) 虽然f 在某种意义上是相当大的集( 是不可数无穷的) ，然而它的 大小不适于用通常的测度和长度来度量，用任何合理定义的长度，f 总是 长度为零 第二个典型的分形例子是t 科赫( v o nk o c h ) 曲线 设岛是单位长度的直线段，且是由昂除去中间1 3 线段，而代之以 底边在被除去的线段上的等边三角形的另两条边所得到的集，它包含四个 线段把同样的过程应用到墨的每个直线段而构造出e 2 ，依此类推，于是 最是把最一。的每个直线段中间1 3 用等边三角形的另外两边取代而得到 的当k 充分大，曲线b 和圾一t 只在精细的细节上不同，而当k 一。o ， 折线序列趋于极限曲线e ，称e 为科赫( y o nk o c h ) 曲线( 如图1 2 ) y o nk o c h 曲线在许多方面的性质与三分康托集列出的那些性质类似。 它由四个与总体相似的“四分之一”部分组成，但比例系数是1 3 它在任 何尺度下的不规则性反映了它的精细结构然而，这个错综复杂的构造却 源自于个基本的简单结构虽然称e 为曲线是合理的，但它是如此不规 则，以至于在传统的曲线意义下它没有任何切线简单的计算表明e t 的长 度为( ) ，令k 趋于无穷，意味着e 的长度是无穷大而另一方面e 在 平面内的面积是零，所以它的长度和面积对e 的形状大小都没有提供很有 效地描述 第一章绪论 01 岛 o1 毋 f 9 图1 2y o n k o c h 曲线f 的构造 许多集也都可以由类似的迭代过程来构造，例如s i e r p i n s k i 垫是从一个 初始的等边三角形反复去掉( 相反方向) 小等边三角形得到的；康托尘的构 造是从单位正方形开始，每一步都是把正方形等分成1 6 个小正方形，保留 其中4 个而把其余的去掉；另外，还有j u l i a 集，w e i e r s t r a s s 函数，随机 第一章绪论 1 0 v o l lk o c h 曲线等等，都具有与康托集和v o nk o c h 曲线相似的性质，可参 见文献【1 ，2 中叙述所有这些集，普遍地都被称为分形 分形一f r a c t a l 一词，是由美籍法国数学家曼德勃罗特从拉丁文f r a c t u s 创造出来的，原意是断裂、破碎、分裂的意思，在这里用来描述一些非常不 规则以至于不适宜视为经典几何研究对象的物体经典的几何方法已经不 适合用来研究分形，需要种新的方法分形创始人曼德勃罗特在刻划自然 界中的分形时，通过下述三个要素，即：形( f o r m ) 、机遇( c h a n c e ) 与维数 ( d i m e n s i o n ) 人们可以毫无困难的区分一片枫叶与一片柳叶，因为它们的 形不一样；人们亦可认为两片大小不同的枫叶是“一样”的，因为它们有相 同的形分形的起源，还与海岸线的研究有关，然而可看到科赫曲线与海岸 线非常近似，但由科赫曲线的生成过程可知，它较海岸线“规则。，这种差 异的产生是由于实际的海岸线受到自然界随机因素的影响而显得更为“复 杂”，也更为自然，这种复杂性究竟如何刻画与量度，就是维数所应解决的问 题人们已经习惯的认为，一条直线是一维的，一个平面是二维的，而一个 球是三维的很粗略地看，维数给出了一个集充满空间程度的描述，它是在 用很小比例下观测一个集时，这个集的不规则性的极好度量，一个维数包含 相应集合的几何性质的许多信息分形几何的主要工具是它的许多形式的 维数，比如豪斯道夫维数( h a u s d o r f fd i m e n s i o n ) 和盒维数( b o x - c o u n t i n g o r b o x d i m e n s i o n ) 在定义了分形维数的基础上，可以看到三分康托集具有的 维数是l 0 9 2 l 0 9 3 = 0 6 3 1 ，y o nk o c h 曲线具有维数l 0 9 4 l 0 9 3 = 1 2 6 2 ，这 个数与曲线大于一维( 具有无限长度) 和小于二维( 具有零面积) 是一致的 由此引入了分数维，而这样引入的维数在分析类似康托集的集合时。更好的 反映了集的不规则性，因此，定义分形维数具有一定的合理性在目前对于 分形的研究中，维数起着极为重要的作用，而且关于维数的研究结果也较为 丰富和深入 第一章绪论 关于分形的定义，在曼德勃罗特最初的论述中，他定义分形是其豪斯遭 夫维数严格小于拓扑维数的集合，这个定义不太合理，因为它把一些明显应 当是分形的集排除了人们还提出了各种不同的定义，人们比较认同的是下 面的定义 称集f 是分形，即认为它具有下面典型的性质t i f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节； i i f 是如此的不规则以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来 描述； n f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的； i v 一般地，f 的“分形维数”( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数； v 在大多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，可能由 迭代产生 自然界中很多现象都可以用分形来描述，像云彩的边界，地表的形状。 海岸线等等，这些例子虽然没有一个是定义中的分形，但在一定比例范围 内，它们表现了许多类似分形的性质，而在这样的比例下，它们通常可以被 看成是分形m a n d e l b r o t 在最初的著作中强调指出了自然界的分形与通常 描述的数学中的“分形集”的区别，但这个区别似乎稍微被弄模糊了实际 上，自然界中没有真正的分形，正如生活中没有真正的直线和圆对于分形 的研究，传统几何为我们提供了思路分形维数的引入，不仅突破了一般 拓扑集的整数维，而且为度量分形集的“不规则”程度提供了一种客观的工 具分形维数许多种。下面我们介绍一种重要的维数定义 第一章绪论 1 3 豪斯道夫测度和维数 1 2 在被使用的各种分形维数中，以c a r a t h e o d o r y 构造为基础的豪斯道夫 定义是最早的也是最重要的一种豪斯道夫维数具有对任何集都有定义的 优点，而且它还是建立在相对比较容易处理的测度概念基础上，因此也比较 容易理解 我们知道，如果u 为n 维欧几里德空间r ，中任何非空子集，u 的 直径定义为；l u l = s u p i x y l ：z ，y u ) ，即u 内任何两点距离的最 大值如果 阢) 为可数( 或有限) 个直径不超过6 的集构成的覆盖f 的集 类，即fcu 以，且对每一i ，郡有0 0 ， 定义： o o 硪( f ) = i n f l v , j 3 ： 阢) 为f 的乒覆盖)( + ) t = 1 考察所有直径不超过d 的f 的覆盏，并试图使得这些直径的s 次幂的和 达到最小当6 减少时，式( t ) 中能覆盖f 的集类是减少的，所以下确界 域( f ) 将随着增加且当6 0 时趋于一极限记； 日5 ( f ) 。舰h 2 ( f ) ( + + ) 对i p 中的任何子集f ，这个极限都存在，但极限值可以( 并且通常) 是0 或o o 我们称h 5 ( f ) 为f 的s 一维豪斯道夫测度通过一定的努力可以说 明日s 为一测度，豪斯道夫测度还具有一些很好的性质，参见文献【1 】 设f c 础，：f r ”为一映射，使得对常数c 0 ，有 i f ( x ) 一，( ) l c i 茁一y i ( 。，y f ) 第一章绪论 则称f 为李h 希兹映射；对于映射，若存在常数c 。，c 2 ，使得 1 3 c i f x y i f ( x ) 一，( ) isc 2 i z y i ( x ，y f ) 成立，这里0 c 。c 2 c x ) ，就称，为双李h 希兹映射， 在式( ) 中，容易看出对任何给定的集f 和0 s ，若h 。) o ) = s u p s ：h 5 ( f ) = o o ) 日5 ( f ) = s u p s ：h 。( f ) = o ) 所以，若s d i m h f ，则( f ) = o 。；若d i m h f s ，则日。( f ) = 0 如 果s = d i m hf ，则h 5 ( f ) 可以为零或者无穷或者满足0 h 8 ( f ) o 瑶( e ) ， 称日3 ( e ) 为e 的8 一维h a u s d o r f f 测度这个定义适用于任意度量空间，可 用日8 表示定义在任意度量空间上的广义的5 一维h a u s d o r f f 测度 定义2 2 2 设( g t ，p ) 为一度量空间集ecq ，e 的h a u s d o r f f 维数定 义为： d j m z r 曰= s u p s ：1 1 8 ( e ) = s u p s ：日5 ( f ) = o 。 = i n f s ：日5 ( e ) 0 ，有f ，( z ) 一，( ) i c f z y i 成立，则 称，为李h 希兹映射 二、相关定理 我们引入以下定理，这些定理可参见文献【1 - 6 定理2 2 1 ( a ) 若f c 舻，映射，：f r ”( m 为一自然数) 为李h 希 兹映射，即对于常数c 0 ，任意z ，yef ，有 1 ，( z ) ，( v ) l 墨c j z y 1 成立，则 d i m h f ( f ) 茎d i m n f ( b ) 若f c r ”，映射f ：f r ，( m 为一自然数) 为双李卜希兹映射， 即对于常数c 1 ，c 2 ，任意z ，y f ，有 c - i x y f f f ( x ) 一，扣) l c 2 1 x y f 成立，则 d i m h f ( f ) = d i n a h f 定理2 2 2 设( q ，芦) ，( 硝，p ) 是度量空间e c q ，定义映射，：e n 。 ( i ) 对任意z ，y e ，若，满足： p ( ，( z ) ，( g ) ) b - p ( z ，y ) 其中6 为一有限正数，则对每一个8 芝0 ，有 h 5 ( ，( e ) ) 曼矿日3 ( e ) ( i i ) 若，满足 a u ( x ，y ) 肛( ，( z ) ，( y ) ) c - 肛( z ，y ) ( z ，y e ) 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r f f 测度和维数 其中a 和c 为有限正数，则对于8 0 ，有 n 5 日5 ( e ) sh 。( ，( e ) ) c 3 h 5 ( e ) 定理2 2 3 设集c 1c 【0 ，1 】cr 是自相似集，它的相似变换为： s 。( z ) = ( x 2 ) = ，s 2 ( x ) = ( x 2 ) = + ( l v 2 ) ，其中0 入 1 ，则有 d i m 盯c 1 = 一i n 2 l n ( a 2 ) ，h 。( e 1 ) = 1 这里s = d i m h ， 定理2 2 4 设集只= z = ( 2 i ) ：q = 0 ，1 ) cr ，则有 1 d i m f t = 1 ，h 1 ( r ) = 去 定理2 2 5 设集g = z r ：2 = 蹀。a a 一 ) ，a j = 0 ，l 则 g = 【一；，扎并且有 d i m g = 1 ，h 1 ( g ) = 1 定理2 2 6 设对每一个i 1 ，集霹= h r ，2 r 一，- 一，。r 一) cr ， 其中r 是正整数，0 n 茎2 v ，而且k 1 ，k 2 ，k 。1 0 ，1 ，2 r 一1 ) 和 k l k 2 k 。则集e r ：矗霹c r n 的h a u s d o r f f 维数是： 则 s = d i m ( e ) = 丽l n n ，。 0 ，使得l e is m 定义映射g ：e f e xf ( f ) = exf cr ，+ ”= r 1 + “， 即对任意( 霉，y ) e f ，有 g ( z ，剪) = ( z ，( 掣) ) ， 其中( y ) f ( f ) = f cr m 于是，对任意( z ，f ) ，( ，y ) exf 1 9 ( z ，y ) 一g ( z ，掣，) i i z z l + f i ( y ) 一f ( y ，) f s i z 一l + c p ( y ，y 7 ) b p ( ( z ，可) ，( z ，可) ) 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o m 测度和维数 成立，这里b = c ( 14 - m ) 为一常数，则g 为李h 希兹映射 由定理2 2 1 可知： d i m ( e f ) 三d i m h g ( e f ) 一d i m , h ( e ，( f ) ) = d i m h ( e f ) 2d i m h e + d i m hf = d i m h e 。d i m n f 所以 d i m n ( e f ) d i m h e + d i m h f ( 2 ) 若e 无界设b = e n 一礼，n 】，那么 e = u ( e n - ，h i ) = u 既 nn 对于每一个e n ( n 1 ) 都为有界集，由前面的证明可知 d i m h ( b f ) 2d i m h 最+ d i m 日f 根据维数的可数稳定性，于是有 d i m h ( e f ) d i m h ( ( ue n ) f ) n = d i m h ( u ( r f ) ) n = s u p d i m ；( 鼠f ) ) r i 之l 2s u p d i m h e 。+ d i m n f ， n l s u p d i m h e ： + d i m 抒f “三1 = d i m n ( u 风) 十d i m h f n = d i m n e + d i m h f 2 1 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r f f 测度和维数2 2 综上( 1 ) ( 2 ) 可知，当n = 1 时，有 d i m h ( e f ) d i m h e + d i m h f 对高维( n 2 ) 情况可类似证明定理2 3 4 的维数乘积公式成立 推论2 3 5 在定理2 3 4 中，如果映射，为双李h 希兹映射，即对任意 z ，y f 及某确定常数c l ，c 2 ，有 c j p ( x ，y ) sl ，z ) 一，( 萝) c 2 p ( x ，y ) 成立，这里0 d i m f 其中下标b 为盒维数的标志符 则可知exf c r 选取8 和t ，使 首先，对于8 d i m s e ，由盒维数的定义可知：存在一常数5 0 0 ，对所 有的5s5 0 ，使e 可被眼( e ) s6 。个r j 中直径最大为d 的集所覆盖 设 巧 是f 的任意矗覆盖由前面t 的选取可知t d i m f 根据 h a u s d o r i t 维数的定义，可假设这里的k 满足条件矿( ) o ，设集列 m ，) 警。为覆盖e 的( 巧) ( e ) 个直径为p ( 巧) s6 的 集，则e v j 可被p ( k ) ( e ) 个直径为5 ( p ( v j ) ) 的集 k jxk ) 所覆盖 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r f f 测度和维数2 3 所以e xf c 0 ( 0 k ，jxk ) t j 于是，有 又因为 硪s ( + ，( t 嵋) ) ( e f ) se e p 5 + ( k ，巧) t j _ 1 9 ( v j k ) = s u p p ( ( x ，可) ，( z 7 ，) ) ：( z ，y ) ，( x 7 ，可) p 噻揣+ i 曼 ，。：k ，j ，玑，：k ) 壹旺掣+ p ( k ) = 1 。 k ，j k ) l 玑一鲥f l2 ( 1 + i 玑一鲥1 ) p ( v a e 击+ 户( k ) t = 1 。 = ( 2 一熹) p ( k ) = 6 ( p ( u ) ) 所以有 蟛s ( + p t ( u ) ) ( e f ) ee p ”( ，j k ) j s e ( 峙) ( e ) ( 2 一去) 5 + 。矿+ ( k ) j s ( 2 一去) ”。p 。( k ) 矿州( k ) 一 j s ( 2 一去) 蚪矿( k ) ( 2 一去) 州 d i m h f ，就有h 叶旧xf ) o o ，也 就有d i m u ( e f ) s + t 再由s ，t 的任意性，得 d i m h ( e xf ) 一d i m b e + d i m h f 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r l f 测度和维数2 4 2 4 应用举例 利用上一节推广的乘积公式可求一类无穷维上的分形集的h a u s d o r f f 测 度和维数，以下举例说明 例1 设fcf 0 ，1 cr 是三分c a n t o r 集，又集 f 1 = x = ( 墨) ：q = 0 ，1 ) c r 记f 2 = f f lcr n ，则集蜀的h a u s d o r f f 维数是 d i m uf - 2 = 1 + l 0 9 2 l 0 9 3 证明：定义映射，：f 1 1 0 ，1 3cr ，即对任意x r ，有 f ( x ) ：主要 l = l 。 那么对任意的。，y a ，则有 i f ( z ) ，( ! ，) i 墨一量l x i 。- ；y d 2 p ( x , y ) 2 p ( x y z ) ，( ! ，) i 墨。一 。， f = j 成立由定义2 2 ，4 可知，为李h 希兹映射 由定理2 2 4 知 d i m n 日= 1 = d i m 0 ，1 】= d i m u ，( e ) 又根据定理2 3 4 得 d i m h f , 2 = d i m ( f f 1 ) d i m h f + d i m 日f l 由定理2 3 6 可知 d i m h 恳= d i m 日( f f 1 ) d i m b f 十d i m nf l 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r f f _ i | ! | 度和维数2 5 根据盒维数与h a u s d o r f f 维数的关系，可知 于是有 所以 一d i m b f = d i m hf = l 0 9 2 l 0 9 3 d i m n 咒= d i m h ( f f 1 ) 曼d i m b f + d i m h r = d i m n f + d i m n f i d i m nf 2 = d i m n f + d i m r r = 1 + l 0 9 2 l 0 9 3 例2 设fc 【0 ，1 】cr 是三分c a n t o r 集，集口为定理2 2 6 中定义 的集合记最= f e cr 。，则集玛的h a u s d o r f f 维数是t 幽甘r = 器+ 筹 证明：据文献【3 】可知，映射，：e 7 一嚷。胁，岛，即对任意茁e ，有 o o m ，( z ) = 等= n i ( 2 r ) 1 = 1 “i = 1 其中，a i = k l ，k 2 ，k 。关于集g ，如，k 的讨论可见文献【6 | 于是，满 足： m ) 一舳) is 妻乓掣 i = 1 。 o o 2 r i = l岔( 1 + f x t y , i ) = 2 r p ( x ，y ) 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r f f 测度和维数 2 6 由定理2 3 4 可得 同例1 的讨论，可得 d i m h f 3 = d i m h ( f e 7 、 d i m h f + d i m h e 7 = 鳖l 0 9 3 + 坐i n 2 r d i m h r = d i m h ( f e 7 ) d i m h f + d i m h e 7 例3 设集f 4 = x = ( 孔) ：x i = 0 或( - 1 ) ) cr ，则集f 4 的 h a u s d o r f f 维数是 1 d i m n 乃= 1 ，h 1 ( 乃) 2 i 证明：对日中每一点z 都有唯一表示：z = ( 墨) ，这里缸= 嘶( 一1 y 其中a = 0 ，1 定义映射，： 一g ，即对任意z f 4 ，有 m ) ：妻笔 = 1 。 这里的集g 是定理2 2 5 中所定义的集合，于是，对任意有x ，y 只，有 l m ) _ ，i 圣掣 z 霎揣 = 2 p ( x ，y ) 由定理2 2 2 ，得 0 1 = h 1 ( g ) = h 1 ( ，( f 4 ) ) 墨2 h 1 ( f 4 ) o 汹 第二章一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r f f 测度和维数2 7 所以 h 1 ( f 4 ) 二1 为了证明h 1 ( r ) 1 2 ，对每一个1 ，设集合p ：螽最cr n ，其 中，日= 0 ，( - 1 ) ) cr 集合p 有2 个点，并且对任意i 1 都成立 那么 一= u k ， 其中k = z 9 ：y 矗目) 于是 户( k ) = s u p p ( x y ，z z ) ：y ，z n 翻- = s 州；耋，茄蔷：y l , z i e 蜀， 冬；。塞。去；2 - k = 5 c n 当s = l 时，有( ；) 5 = i ，则 嘲础( f 4 ) 52 耳- ( 互1 2 一耳) 3 = j 1 当七+ 。时，式两边取极限，得 1 ( 只) ； 定理2 4 1 设集c 1c 【0 ，1 1cr 为定理2 2 3 所定义的集合，集合 f 4cr 如例3 中定义的集，则集f 5 = c 1 f 4 的h a u s d o r f f 维数是 s = d i m hf 5 = 1 一( i n 2 ) ( i n ( a 2 ) ) 一 证明：考虑函数j f ：f s = c 1 xf 4 一c 1 x 卜2 3 ，1 3 ) cr 2 ，即对任 意z r ，有 ，( z ) = ( 畚) 第二章一类无穷维空问上分形集的h a u s d o r f f 测度和维数2 8 于是对于任意。，y 民，则有 d ( ，( 贯) ，( 可) ) 旧咱i + 耋簪 2 c o 盥2 7 掣4 p ( 。，g ) 由定理2 2 2 ，可得 o1 4 。日5 ( f 5 ) h 3 ( g 1 一；，；】) b h s t ( c 1 ) h 1 ( 【一；，；1 ) = b ， u u 这里b 和6 ，都是正常数，且s 7 = i n 2 ( i n v 2 ) 下面来证明( 咒) o o 首先，对于所有k 1 ，考虑c 1 的自然覆 盖由c 1 的构造可知，第步构造中c 1 可被2 个长度为( j 2 ) 的区 间所覆盖，这些区间记为集列 华) 。2 k 。 另外，设集p = n 髦劈2 o ，( 一1 ) 0cr 舶，那么p 中有2 k o + 1 个元素， 其中k ) 为满足k o k ( 3 1 ) k o + 1 的正整数则 又 2 k 风cuu k ，k i = y x z ：y f ，z f 4 ) t = 1z e p _ d ( ) = s u p p ( y x z ，y x z ) ：f ，y 7 胪，z ，z f 4 ) 细p 鹄m 口嘲+ ，烹。虿1 ! 2 一1 2 =三 2 a 一 2 a 一 2 a 一 2 ( 护 ) k + i ) k + i 1 ) + ； = 6 ( k ) 9 一( 耳o + 1 ) 2 - 耳( s 1 ) 尚k l 百j 第二辛一类无穷维空间上分形集的h a u s d o r f f 测度和维数 于是，有 日赢) ( 最) 2 2 + 1 - ( ( ；) ) 8 s2 9 “2 鲁( ：) 耳s = 2 + 1 ( ；) 一筒( ：) s = z ( ；) “s ( 护观 当k 0 0 时，取极限，得h 5 ( 见) 2 综上可知结论成立，证毕 2 5 结束语 本章主要讨论了h a u s d o r f f 维数的乘积公式在r 空闻上的推广，并举 例说明了其应用在分形几何中，h a u s d o r f f 测度和维数占很重要的地位， 然而，证明和计算或估计它的值却是一件比较困难而相当复杂的事情本章 对r 空间上一类无穷列分形集在存在李卜希兹映射的条件下，应用推广 了h a u s d o r f f 维数的乘积公式，计算和证明了它的h a u s d o r f f 维数利用这 种方法，对一类特殊的分形集，在计算它的h a u s d o r f f 维数时，可简化计算 和证明过程，并能求得它的h a u s d o r f f 维数，具有一定的理论意义 参考文献 【l 】1 【英】肯尼思- 法内科尔分形几何一数学基础及其应用【m 1 曾文曲等 译沈阳：东北大学出版社，2 0 0 1 5 7 - 5 8 ；1 2 6 - 1 2 8 f 2 】s h a n gp e n g j i a n ，a r n o l dz a k s h a u s d o r f fm e a s u r ea n dd i m e n s i o no f s o m ef r a c t a l si n r f j 】n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 1 ，4 5 ：8 1