（基础数学专业论文）动力系统中非紧致集合的拓扑压.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了动力系统中的一类非紧集合的拓扑压的变分原理论 文大致框架如下 第一章，主要介绍了拓扑熵以及拓扑压的一些研究现状 第二章，主要介绍了拓扑动力系统和遍历理论中的一些基本概念和结论 第三章，我们在紧致度量空间上对于一类非紧集合的拓扑压给出了变分 原理 第四章，在紧致度量空间上非紧集合上拓扑压和紧致集合上拓扑压的一 些关系 关键词：非紧集合的拓扑压；变分原理；极限次可加连续函数列；压 函数 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h e v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rt h et o p o l o g i c a l p r e s s u r eo fc e r t a i nn o n c o m p a c ts u b s e to ft h ec o m p a c tm e t r i cs p a c e 。i h ep a p e ri s o r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c e ds o m er e s u l t so f t o p o l o g i c a le n t r o p y a n d t o p o l o g i c a lp r e s s u r e i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa n dr e s u l t si n t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e ma n de r g o d i ct h e o r y i nc h a p t e rt h r e e ，w ee s t a b l i s ht h ev a r i a t i o n a l p r i n c i p l ef o rt h et o d m l o g i c a lp r e s s u r e0 fc e r t a i nn o n - c o m p a c ts u b s e to nt h e c o m p a c tm e t r i c s p a c e i nc h a p t e rf o u r ，w ei n t r o d u c et h er e l a t i o n s h i po ft h et o p o l o g i c a l p r e s s u r ef o rs o m en o n c o m p a c ts u b s e ta n dt h et o p o l o g i c a lp r e s s u r e f o rc o m p a c ts u b s e to nt h e c o m p a c tm e t r i cs p a c e k e y w o r d s ：t o p o l o g i c a lp r e s s u r ef o rn o n - c o m p a c ts e t s ；v a r i a _ t i o n a lp r i n c i p l e ；l i m i ts u b - a d d i t i v ef a m i l yo fc o n t i n u o u sf u n c t i o n ： p r e s s u r ef u n c t i o n 第一章前言 1 1拓扑熵与拓扑压的简介 1 9 5 8 年，k o l m o g o r o v 首先将熵的概念引入了遍历论，1 9 5 9 年，s i n a i 又将此 概念进行了改进紧致空间上不变集合的拓扑熵首先是由a l d e r ，k o n h e i m 和 m c a n d r e wf 2 3 1 提出的，这是一个重要的共扼不变量我们将此定义称为经典定义， 关于紧致集合的拓扑熵最重要的结论就是经典的变分原理，此定理表明紧致集合 的拓扑熵与取遍所有不变测度的测度熵的上确界相等熵的变分原理首先是由 d i n a b u r g 【2 4 】在有限维空间上证明的，g o o d w y n 【8 】将其延伸至一般的紧致度量 空间上，m i s i u r e w i c z 随后给出了一个简短的证明1 9 7 3 年，b o w e n 【4 】将此概念扩 张到了非紧的不变集合上，他定义的拓扑熵具有维数的特征，并证明了相应的变 分原理 拓扑压是热力学公式系统中的一个重要概念，在热力学的研究中具有重要的作 用决定系统势的连续函数的拓扑压，拓扑压的变分原理，平衡态的存在性和唯一 性问题一直是热力学公式系统研究的重要组成部分拓扑压是研究不变集合的维 数的重要工具，同时也对动力系统中的测度研究和维数理论中类似c a n t o r 集合 的维数的研究起着重要作用r u e l l ef 1 6 首先提出了拓扑压的概念，w a i t e r s 将此 概念延伸至一般连续函数，并系统的介绍了关于熵和拓扑压的一些概念和性质过 去的数年中我们的研究一直在可加性的前提下，近几年对一致双曲的研究出现了 次可加和几乎可加的情形，去年黄文和丰德军首次提出了极限次可加的情形，这使 得我们有必要谈论极限次可加情况下的变分原理r u e l l e 【1 6 】在文献中给出了经 典拓扑压的变分原理 紧致集合的拓扑压的变分原理设( x ，d ) 为紧致度量空间，t ：x _ x 为连续映 射，则对任一连续函数妒：x 一酞，有 ， p ( 妒) =s u p 【 ( t ，肛) + 妒d p ， p f ( x ，t ) ，x 其中p ( c p ) 为t 关于函数妒的拓扑压，h ( t ，肛) 为p 关于t 的测度熵特别地，当 妒= 0 ，即为拓扑熵h ( t ) = p ( o ) 的变分原理拓扑压变分原理的完整证明可见文 献【2 0 】 1 第一章前言 p e s i n 和p i t s k e l 1 4 推广了b o w e n 定义的具有维数特征的拓扑熵的概念，定 义了紧致度量空间上非紧集的拓扑压，并且证明了非紧集的拓扑压的变分原理 他们定义的非紧集合的拓扑压也具有维数的特征 设m ( x ) 是x 上所有的b o r e l 概率测度集m ( x ，t ) cm ( x ) 是所有p 不 变的概率测度集设zcx 为p 不变集e ( z ，t ) cm ( x ，t ) 为遍历测度集，且 满足p ( z ) = 1 ，弘e ( z ，t ) ，对于z x ，定义概率测度 n - 1 厶( z ) ：= 磊1 沫( z ) k - - o 厶( z ) 的极限点集用y ) 表示，则y ( x ) cm ( x ，t ) 非紧集合的拓扑压的变分原理若v ( x ) ne ( z ，t ) d ，比z ，则对任意实值连续 函数妒：x _ r ，有 ， p ( z ，妒) = s u p h ( t ，p ) + 妒d p ：p e ( z ，丁) ) jz 若妒= 0 ，即为非紧集的拓扑熵的变分原理若z 为紧致集合，则与经典 变分原理一致对于非可加的情况f a l c o n e r 2 5 在混合排斥予上建立了次可加的 变分原理，b a r r e i r a 2 6 介绍了紧致度量空间的任意非可加的变分原理，这个变 分原理推广了p e s i n 和p i t s k e l 1 4 】中在可加条件下关于非紧集合的变分原理 近期文献【27 】对r e p e l l e r 上乎可加序列建立了变分原理并且讨论了平衡态的存 在性和唯一性丰德军【2 8 】在有限型子位移下建立了矩阵函数序列的变分原 理，m u r m m e r t 2 9 给出了几乎可加的变分原理，曹永罗等人【3 0 】定义了次可加序 列拓扑压，并建立了不在任何假定可加条件下的变分原理2 0 0 9 年黄文和丰德 军【3 1 1 定义了极限次可加函数并且给出了极限次可加函数序列下熵的变分原理， 由此就想到是不是在这种特殊的非紧集合上它的压的变分原理也成立呢，本文就 在此基础上进行了研究 1 2 本文主要结论 主要结论及文章的结构安排如下 第二章中，我们主要介绍了本文中将用到的一些基本定义以及相关引理 第三章中，我们给出了在一类非紧集合毋( q ) 上的拓扑压的变分原理 2 第一章前言 第四章中，研究了在紧致度量空间上非紧集合上拓扑压和紧致集合上拓扑压的 一些关系 3 第二章基础知识 我们在此章介绍一些在本文中都将会使用到的基本定义设( x ，d ，t ) 为拓扑 动力系统，即( x ，d ) 为紧致度量空间，t ：x _ x 为连续映射m ( x ) 表示x 上 所有b o r e l 概率测度集，m ( x ，t ) m ( x ) 表示所有n 不变的概率测度集 2 1非紧集合的拓扑压 定义2 1 1 【1 】设( x ，t ) 是t d s ，且厂= 厶) 甚1 是定义在x 上一列连续实 函数，设甜是x 的有限开覆盖定义 w n ( t ，甜) = 【acx ： ju v 括n - 0 1 t 一甜s tacu ) 给定a 比( t ，甜) ，且a ，集合m t ( a ) = n ， 厅似) = s u p 厶( z ) 若a = ，则m t ( a ) = 0 ，乃( a ) = 一( 3 0 ，对每个集合zcx 和每个实数8 ，定义 m z ( t , s 一跏) 。r 之蕃e 一“砷忻 其中p z ( t ，“，n ) 是所有有限或可数的覆盖z 的r 的集合，且rcu 七 。w k ( t ，甜) ， 很显然m z ( t , 8 ，厂，i i ，佗) 是关于n 的单调递增函数，设 m z ( t ，8 ，厂，, ) = l i mm z ( t ，8 ，尸，礼) 更进一步，我们定义： 兄( t ，芦，“) = i n f s ：m z ( t ，8 ，厂，) = o ) = s u p s ：m z ( t ，8 ，“) = + o o ) 若x 的开覆盖甜，y ，且甜y ，则 兄( t ，芦，“) p z ( t ，厂，v ) 我们定义 p z ( t ，厂) 2 ：裟p z ( t ，厂，“) 2 出口瓣。o p z ( t ，歹，“) 蹦g 譬 ”n 郴广 4 第二章基础知识 我们称p z ( 丁，厂) 为厂在集合z 上的关于t 的拓扑压其中定义中的z 不必是 紧的或是不变的 引理2 1 1 【1 】拓扑压具有以下性质 ( 1 ) 岛( t ，厂) = 一o 。 ( 2 ) 若历易x ，则p z l ( t ，厂) p z 2 ( t ，歹) ( 3 ) 设五x ，i = 1 ，2 ，z = u t 芝1 历，则p z ( t ，厂) = s u p s _ 1 吃( t ，歹) 2 2极限可加和极限次可加性 在这一节中，我们介绍拓扑动力系统( x ，t ) 上的两种特殊的连续实函数列： 极限可加和极限次可加序列 定义2 2 1 设 c ( x ，r ) 。= _ 厂：尸= 厶) 箍1 ) 是定义在x 上的连续实函数列，对于厂= 厶 甚1 ，9 = 甄) 黯1 ，a ，b r 定义 。厂+ b 6 = a 厶+ 6 如】- 器1 ，显然a j ：+ b g c ( x ，r ) ， 设，= _ 【厶) c ( x ，r ) 0 。，我们称 ( 1 ) 可加性，若对m ，n n 和z x ，有厶+ n ( z ) = 厶( z ) + 厂m ( p z ) ( 2 ) 弱可加性，若对m ，佗和z x ，存在c 0 ，使得 厶( z ) + ，m ( p z ) c 厶+ nx ) 厶( z ) + ，仇( p z ) + c ( 3 ) 次可加性，若对m ，n n 和z x ，有厶+ 竹( z ) 厶 ) + ，m ( p z ) 我们用c ( x ，r ，t ) 表示c ( x ，酞) o o 上关于t 的所有可加性元素的集合， 用c ( x ，r ，丁) 孑表示c ( x ，酞) 上关于t 的所有弱可加性元素的集合，用 c ( x ，r ，t ) 7 表示c ( x ，r ) 上关于t 的所有次可加性元素的集合， 显然c ( x ，r ，t ) cc ( x ，r ，t ) 署cc ( x ，r ，t ) 7 ，c ( x ，r ，t ) cc ( x ，r ，t ) 7 ， 且c ( x ，r ，t ) ，c ( x ，r ，丁) 孑都是c ( x ，r ，t ) ”的线性子空间 对于芦c ( x ，r ) ，我们定义 = s u ps u x p1 1掣i n z x ， 第二章基础知识 和 t 护l i m s u ps u x p 掣i 下面我们定义c ( x ，酞) 上的等价关系一： 厂一夕i f | l 厂一9l i i i m = 0 对于厂c ( x ，r ) o 。，我们定义等价类： 旧= 9 c ( x ，r ) ：0 芦一9i i l i m = o ) 对于够【习，和x 的有限开覆盖“，我们有 兄( t ，g ，甜) = p z ( 正厂，“) 圪( 丁，9 ) = p z ( t ，一 我们考虑c ( x ，r ) 在等价关系一下的商空间n ( x ，r ) ，i e n ( x ，1 1 乏) = “习：厂c ( x ，r ) ) 显然n ( x ，r ) 是实线性空间 下面我们定义n ( x ，r ) 上的非负函数： l l 【习i i i i m ：= | l 歹i | l i mf o r 芦c ( x ，r ) 。0 不难发现”i i l i m 诱导出n ( x ，r ) 上非负函数d l i m ( ，) ，即对于厂，乡c ( x ，r ) d l t m ( 【习， 9 】) = i l 垆一9 】j l l t m 贝0d l i m ( ，) 满足： ( 1 ) 对于厂，夕c ( x ，r ) ，d l i m ( 【习，【纠) = 0 ，当且仅当【卅= 吲 ( 2 ) 对于歹，9 c ( x ，r ) o 。，d l i m ( 【习，【9 】) = 面i m ( 【9 】，【月) ( 3 ) 对于尸，鸟，7 - i c ( x ，r ) ，d l i m ( 【刁，【卅) d l i m ( 【月，眵】) + d l i m ( 【纠，m 】) 对于a n ( x ，r ) ，a 在d l 岫下闭包是集合 【习n ( x ，r ) ：刍【骁】a s 亡县恐d l i m ( 【卅，【鼠】) = o ) 6 第二章基础知识 我们用冗。( x ，r ，t ) 表示n ( x ，瓞) 中在如m 作用下 0 ，仇n 设 m 一1 ( 缸) = s 1 川2 一，r ) m ：nt 一玩( 1 ) 】 i = 0 引理3 1 2 2 】设z x ，p y ( z ) ，u 是x 的有限开覆盖对于e 0 ，存在数 仇 0 和充分大的数n ，使得己 n ，t 1 ，2 ，r ) 工，满足： ( x ) x n 等t 一阢( i ) ( 2 ) s l 妒( u ) l ( 妒d 肛+ r ( u ) + e ) ( 3 ) t 包含一个长度为= k m l 一仇的子链鱼， 即垒= ( a o ，a l ，a k 1 ) 砩( u ) ，满足： 1 表( u ) ( 鱼) 札( t ) + 引理3 1 3 1 若我们定义 则 酽h i ms u ps u x p 掣n + + z a ， ( 1 ) 卢( 一ru 一) ( 2 ) 万( 尸) = 砑( 厂) = s u p 【只( 肛) ：p m ( x ，t ) ) 并且存在遍历测度m 8 ( x ，t ) ，使得万( 厂) = 兀( ) ( 3 ) 下列条件是等价的： ( a ) p ( 户) = 一， ( b ) a r ( x ) = 一对所有的z x ， ( c ) 兀( p ) = 一o 。对所有的p m ( x ，t ) ， ( d ) 取( t ，芦) = 一o o 1 0 第三章 一类非紧集的拓扑压的变分原理 ( 4 ) 若万( 厂) 一0 0 ，则印( t ) + 万( 厂) p x ( t ，厂) - f i ( ；) 一0 0 更进一步， 若h t o p ( 丁) 0 ，使得 b ( z ) c ，和厶b ( z ) 咖( z ) = 只( p ) 特别地， - 3p 朋8 ( x ，t ) 时， 对p a e z x ，有a ，( z ) = 只( i “) 命题3 1 1f 1 4 】设( x ，刁是t d s ，z x 是d 不变集，对任意的z z ， y ( z ) nm ( z ) ，且u ( z ) = 1 ，妒c ( x ，r ) 有 ， p z ( t ，妒) s u p h p ( t ) + 妒舡，p m ( x ，t ) ，u ( z ) = 1 ) ， 】1 第三章一类非紧集的拓扑压的变分原理 ( 证明见1 1 4 】) 命题3 1 2 1 】设( x ，t ) 是t d s ，厂= 厶) 。0 0 ：l 是定义在( x ，t ) 上的极限次可 加连续函数列，妒c ( x ，r ) ，若q = 万( 厂) ，则 ， p 缸( 口) ( t ，妒) s u p h t , ( t ) + 妒d p ：肛m ( x ，t ) ，j ( p ) = 口 j 点( a ) ， = s u p h t , ( t ) + 妒咖：p m 8 ( x ，t ) ，只( p ) = q ) 证明：首先证明 s u p h 肛( t ) + 妒d p ：p m ( x ，t ) ，只( p ) = q ) j e x ( a ) 只须证明 = s u p h p ( t ) + c p d # ：p 朋8 ，t ) ，只( p ) = q ) ，跏似) s u p h u ( t ) + 妒d p ，肛m ( x ，t ) ，兀( p ) = a 】 j 正冶( q ) s u p h p ( t ) + 妒d p ，肛m 8 ( x ，t ) ，只( p ) = 口) j e ：r ( a ) 设p 朋( x ，t ) ，且只( 肛) = q ，p = l 。陇t ) o d m ( o ) 为p 的遍历分解 由引理3 1 5 ( 3 ) 知 ， q = 只( 肛) = 只( 口) 拥( p ) j m 8 ( x ，t ) 又o l = 万( 厂) ，m ( a ) = 1 ，其中q = p m 8 ( x ，t ) ：兀( p ) = q ， 1 2 第三章一类非紧集的拓扑压的变分原理 所以 吣t ) + 厶妒舡 ( h o ( t ) + c p d o ) d m ( o ) j m e ( x ，t )j e f ( a ) f n ( ( t ) + 1 1 9 d e ) d m ( 口) f s u p ( 札( t ) + q d # ：p m 8 ( x ，t ) ，兀( 肛) = q ) d m ( p ) ，毋陋) = s u p ( h p ( t ) + 妒d 1 t ：肛a 4 8 ( x ，t ) ，只( p ) = 口】 j e r ( a ) 所以 s u p ( h p ( t ) + 妒d p ：p m ( x ，t ) ，只( 肛) = 口) j e 芦他) s u p h p ( t ) + 妒d 肛：p m 8 ( x ，t ) ，兀( p ) = 口) j e f ( a ) 相反的不等式显然成立所以 s u p ( h p ( t ) + q v d t ：p m ( x ，t ) ，只( 肛) = q ) = s u p h p ( t ) + 妒础：p h 4 8 ( x ，t ) ，只( p ) = q ) j e r ( a ) 若- z ( r ) = 一。，则由引理3 1 3 ( 3 ) 知，对所有z x ，a ，( z ) = 一，有 所以有 易( q ) = z x ：入芦( z ) = q ) = x ( 口) ( t ，妒) = p x ( t , 妒) = s u p h j , ( r ) + ( _ p d p ：p m ( x ，t ) ) jx ， = s u p h p ( t ) + 妒d p ：p m ( x ，t ) ，只似) = 一。】 第三章一类非紧集的拓扑压的变分原理 所以结论显然成立 下面假设万( 歹) 一o o ，由引理3 1 3 ( 2 ) 知存在m 8 ( x ，t ) ，使得只( ) = a ， 设 c = s u p h p ( t ) + 垆d p ：p m ( x ，t ) ，只( p ) = q 】 - ，五( a ) 假设c 0 对于z 毋( q ) ，p y ( z ) ，存在仇_ + o o ，使得 n 。= 去篙1 s t , 茁一p 一l i m 掣矾) 又有引理3 1 3 ( 2 ) 知q = 只( 肛) ，所以 九p ( t ) + 妒舡c ，王活( a ) 由引理3 1 2 知，存在一个数m 0 和n 0 ，可以找到l t t ， t 1 ，2 ，r ) l 满足： ( 1 ) z n 哥t v t ( ) ( 2 ) 既妒( 坠) l ( fp d 丘4 - r ( u ) 4 - ) ( 3 ) t 包含一个长度为i 量i = k m l 一仇的子链 t = ( a o ，a l ，a k 一1 ) e 袅) 满足不等式 去日厶似) 佳) h u ( t ) + g m 7 1 4 第三章一类非紧集的拓扑压的变分原理 对于m n ，用表示集合【z ：z 毋( 乜) ) ，使得对任意的n 0 ，有l n ， t 1 ，2 ，7 l 满足： 1 ) mz n 耋孑t 一阢( i ) 2 ) m 既妒( 笪) l ( 正( 口) 妒d p + r ( u ) + e ) 3 ) mt 包含一个长度为i t l = k m l m 的子链 满足不等式 显然可知 t = ( q o ，a 1 ，a k 一1 ) 磙似) 用，u 表示集合z ， 满足：1 h ，2 ) m ，3 ) m 且 对于。k m u ，贝 磊1 ( 量) 札( t ) + 5 使得对某一p m ( x ，丁) ， 厶妒舡 u - - 6 , u + 6 】 “( t ) c u + e 选取入 c + 4 + 7 ( u ) ，固定仇，缸，对l 1 ，设。u ，l 表示所有t 1 ，2 ，7 ，工 的集合，使得存在z 满足：1 ) m ，2 ) m ，3 ) m 对t 鼠，缸 l ，相应的子链t 包含在r ( k ，m ( c 一心+ 2 ) ，( 让) ) 中其中l m k l 一仇，所以 c a r d ( 劫 ，r ( k ，m ( c 一仳+ 2 e ) ，e m ( u ) ) 由引理3 1 1 ，可得： 设l o n ，因为 k ：l m k l - m l i m s u p l o g ( c a r d f ( s i n 一, u j ) ) c u + 2 l + d l 一1 nt 一v t c i ) ：l l o ，t 鼠，缸，f ) r 七，u ( t ，1 4 ，l o ) i = 0 1 5 艮 = u 删 第三章一类非紧集的拓扑压的变分原理 - _ i _ i _ - _ i _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ l i l - - - i i _ _ i l _ o ，l - - - _ l ! i i ，! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ( 其中r 岛，u ( t ，甜，) 为，u 的覆盖) 所以有 ，。( t ，入，妒，1 4 ，l 。) e 砒+ 既妒“ l = l ot e s m u ，l c a r d ( 岛劫e - 地慨出 l = l o 孓- 、e l ( c u + 2 e ) e a l + l ( u + 2 + r ( u ) ) l = l o ：5 e l ( c a + 蚪r ( t i ) ) l = l o 岛1 一 一口 其中p = e c _ a + 缸+ ( u ) 1 当l o 充分大时 所以对任意的m ，让， 都成立 所以 所以 m 。( t ，入，妒，甜) = 0 a 。( t ，妒，“) a s u p p k , , , 。( t ，妒，1 4 ) ：m n ，u i 酣】= p 易( 口) ( t ，妒，甜) c + 4 e + r ( u ) 户缸陋) ( t ，妒，“) 让r ( u ) 一0 ，e _ 0 ，l u l _ 0 ，则有 c ( a ) ( t ，妒) 即 p e 3 , ( 口) ( z 妒) s u p h p ( t ) + 妒d p ：p m ( x ，t ) ，只( p ) = q ) ，印( a ) = s u p h p ( t ) + ( a ) 1 6 妒d 肛：肛a 1 8 ( x ，丁) ，只( 卢) = q ) 厶 第三章一类非紧集的拓扑压的变分原理 定理1 1 1 的证明 证明：( 1 ) 设p 朋。( x ，丁) ，且只( 肛) = q ， 由引理3 1 5 的( 4 ) 知，对卢a e ，z x ，有只) = a ，( z ) ， 所以 肛( 毋( q ) ) = 1 又 点( q ) = z x ：a ，( z ) = q 】l = z x ：l i m o on ( z ) = q ) 由命题3 1 1 知 尸易( 口) ( t ，妒) 札( t ) + 妒d p ，j e ( a ) 下面证明( 2 ) 设口= 万( 丁) ，则有命题3 1 2 和上面的( 1 ) 知 户缸( n ) ( t ，妒) = s u p h p ( t ) + ，妒咖：p m ( x ，t ) ，只( p ) = 口) ，正( 口) = s u p h p ( t ) + 妒d p ：p 朋。( x ，t ) ，只( p ) = 口) - ，五| ，( a ) 3 2 定理的推论和应用 应用前面的结论，我们可以推得以下结论： 口 推论3 2 1 若( x ，t ) 是t d s ，歹= 厶) 是( x ，t ) 上的极限次可加连续函数 列，妒c ( x ，r ) ，a = 万( 广) ，则 咧脚) - s u p 舞袱眦，丁m = q ) 由b s 一维数的定义可以推得以下的结论 推论3 2 2若( x ，d ，t ) 满足驴几乎乘积性质，则 九。印( 丁，易( q ) ) = s u p h ( t ，肛) ：# 6m ( x ，t ) ，只( p ) = q ) 第三章一类非紧集的拓扑压的变分原理 推论3 2 3设伊黎曼流形x 是一个扩张的且拓扑混合的c 1 w 共形映射t 的排斥子，则 d i m 日( 协( q ) ) _ s u p - - 0 0 q o o o 口 而且满足： ( 1 ) 对于任意的t 0 ，若o = p ( q a + 厂( + ) ) 或q = p ，( 妒+ 厂 一) ) ，则 ! i m 。e u 州川毋( 国妒) _ 口) u i n f ( p ( 妒+ g 厂) 一q g ) 其中尸( 妒+ ，( + ) ) ，p 7 ( 妒+ y ( t 一) ) 分别表示p ( v + q y ) # ：q - 口在t 处的右左导 数，p ( 妒十g 丁) = p x ( t , 妒+ g 一，当q = p 7 ( + ) 时第一个等式也成立 ( 2 ) 对于任意的t 0 ，q 【p ，( 妒+ y ( t 一) ) ，p 7 ( 妒+ ，( t + ) ) 】， 口 u i n f p ( 妒+ 口一一口q 】= 1 1 m o s u p h p ( t ) + 妒舡：# 6a 4 ( x , t ) ，1 只( p ) 一口i 0 ，若o z = p 7 ( 妒+ 歹( + ) ) 或o t = p ，( 妒+ 厂( 亡一) ) ， 则毋( q ) ，且 岛( a ) ( z 妒) 2 骋5 p ( 妒+ g 歹) 一口g 1 9 第四章 紧空问上的压和一类非紧压的关系 其中p ( c p + ， + ) ) ，p 7 ( 妒+ ，o 一) ) 分别表示尸( 妒+ q t ) 关于q 在t 处的右左导 数，p ( 妒+ 口丁) = p x ( t ，妒+ q 芦) ，当q = p 7 ( + o 。) 时上式也成立 ( 2 ) 对任意的q ( 1 i m t o + p ，( 妒+ 尸( 亡一) ) ，p ，( 妒+ 丁( t + ) ) ， 。i n f u 砌+ 旧一耐= m a x h 胛) + 咖：p m ( x ，t ) ，只( 口) = 乜) ( 3 ) 若t 0 ，使得t 厂有唯一的平衡态胁m ( x ，t ) ，则地是遍历的， p ，( 妒+ t 芦) = 只( 肌) ，毋( p 7 ( 妒+ 厂) ) 且 ( p 协+ t 习) ( t ，妒) ( t ) + 妒机 m a x 九p ( t ) + 妒d 肛：p 朋( x ，t ) ，兀( 肛) = p 7 ( 妒+ t 厂) 转5 p ( 妒+ 一p 7 ( 妒+ 口一g ) 4 2结论的证明 首先证明定理4 1 1 要证明这个定理需要以下几个引理和命题 命题4 2 1 【1 】设( x ，丁) 是t d s ，厂= 厶) 箍l 是定义在( x ，t ) 上的极限次可 加连续函数列，则 p x ( t , 歹) = s u p h p ( 丁) + 五( 户) ：芦m ( x ，丁) ，只( 卢) 一。o 注：对于p m 8 ( x ，r ) ，命题同样成立 推论4 2 1 设( x ，t ) 是t d s ，厂= 厶) 黯1 是定义在( x ，t ) 上的极限次可加 连续函数列，妒c ( x ，r ) 是可加函数，则 p ( 妒+ q 歹) = s u p 【 p ( t ) + 妒d 肛+ g 只( p ) ：肛m ( x ，t ) ，兀( 肛) 一) 证明因为妒是可加的，所以也是次可加的所以妒+ 矿就是极限次可加连续函 数，所以有上面的命题推论得证口 第四章紧空间上的压和一类非紧压的关系 命题4 2 2 【1 】设( x ，丁) 是t d s ，歹= 厶】是1 是定义在( x ，t ) 上的极限次可 加连续函数列，若p m ( x ，t ) ，且只( 弘) - - 0 0 ，z x ，且u ( z ) = 1 ，则 札( t ) + 只( p ) p z ( t ，) 引理4 2 1对任意的口r ，e 0 ，定义 g ( q c ) = z 驯丢 ( z ) 一ai n ) 则对任意的q 0 p c ( a ，n ，。) ( t ，妒) p ( 妒+ g 厂) 一( o l e ) g 证明固定q 0 ，要证明这个引理，只需要证明对任意的“嚷， p a ( 。 。) ( z 妒，甜) p g ( a ，n ，。) ( t ，i o + q y ，“) 一( a e ) g 即可对任意的n n ，s r ，和g ( q ，n ，e ) 的有限或可数覆盖r ， 且rcu 控帆( t ，“) ， 设acr ，若a 西，则m t ( a ) = 0 ，竹( a ) = s k 妒( a ) = 一o o ，( g 歹) t = 一o 。所以 有 一s m t ( a ) + ( 妒+ g 丁) 丁( a ) = - - 0 0 = - ( s 一( q o q ) m r ( a ) + 妒t ( a ) 若a 毋，则m t ( a ) n 佗，由g ( q ，佗，e ) 的定义知( g 厂) t ( a ) m t ( a ) q ( a - - e ) ， 所以 一s m t ( a ) + ( 妒+ 口厂) t ( a ) - ( 8 一( q e ) q ) m t ( a ) + 妒t ( a ) 所以 y 、e 一8 m t ( a ) + ( 妒+ t ( a 二一 a r 由r 的任意性 y 、e 一( 8 一( 口一e ) q ) m r ( a ) + 竹( a ) j 二一 a r m o ( 口，竹，。) ( t ，8 一( o l e ) 口，妒，甜，n ) m e ( n ，n ，。) ( t ，8 ，妒+ q y ，“，n ) 2m g ( 口，n ，。) ( zs 一( a e ) g ，妒，酣，n ) 2 1 第四章紧空间上的压和一类非紧压的关系 _ m | 一 i i _ i _ l _ _ i _ o 摹! ! ! _ ! ，! ! _ - _ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 设一o o ，有 所以有 即有 引理得证 m g ( 口 。) ( t ，8 ，妒+ g ，甜) m a ( a ，n ，。) ( t ，8 一( q e ) 口，妒，1 4 ) p a ( a ，n ，。) ( t ，妒，甜) p g ( q ，n ，e ) ( 正妒+ g 尸，甜) 一( o t e ) 口 p c ( a ，n ，。) ( z 妒) p ( 妒+ q y ) 一( q e ) q 口 推论4 2 2 设o t r ，e 0 ，毋( q ) = x x ，b ( z ) = o 】，则对任意的q 0 ， 凡口( a 一。，。“) 毋) ( t ，妒) p ( 妒+ q y ) 一( q e ) g 证明固定q 0 ，显然有 所以有 u毋( p ) ug ( 口，扎，e ) 卢( a e ，口+ e ) n = 1 日芦( 时。) 毋( p ) ( 丁，妒) = 凡笔，g ( a 。) ( t ，妒)，t j 黯l e ) l ，例 s u pp c ( 叩，。) ( t ，妒) n l p ( 妒+ 口厂) 一( q e ) g 口 引理4 2 2 设h t o n ( t ) 一o o ，设q 0 ，则对任意的e 0 ，存在 朋8 ，t ) ，使得 危p ( t ) + 厂妒d + g 只( ) p ( 妒+ g 一一e 证明设e 0 给定，由引理3 1 3 ( 2 ) 知，存在p m 8 ( x ，t ) ，使得 只( p ) = 万( 厂) 一o o ，而且由推论2 1 1 的注知，至少存在一个m 8 ( x ，t ) ， 使得 危p ( t ) + 厂妒d v + q y , ( ) p ( 妒+ 口厂) 一e 2 2 第四章紧空间上的压和一类非紧压的关系 命题4 2 3 【1 】设h t o p ( t ) 一o o ，则 尸( 妒+ g 尸) 【g 万( 户) 一c ，h t o p ( t ) + q - z ( ，) + q 是定义在 0 ，0 0 ) 上的实凸函数，且 附= 。鼍华嘲水r 口+ 口 证明因为x 是紧致度量空间，妒为c ( x ，r ) 上的连续函数，所以，妒批有 界，不妨设它的最大值为c ，又给定q 0 ，万( g 一= 扫( 歹) 一o o ， 所以由引理3 1 3 知 p ( 妒+ 口厂) q - f l ( t ) 一c ，h t 印( t ) + g 卢( 一+ q 所以p ( 妒+ q 5 r ) r 且 附龇= 。骧鼍粤嘲一r 下面证明p ( t + q 厂) 是关于q 在 0 ，+ ) 上的凸函数，事实上，由推论4 2 1 和 熵映射h 札( t ) ，和映射只的仿射性质和妒的连续性可知尸( 妒+ g 歹) 是关于 q 在【0 ，+ o o ) 上的凸函数命题得证 口 引理4 2 3 设h t o p ( t ) 一o o ，设t 0 ，则对任意的e 0 ， 设q = p 7 ( 妒+ 只抖) ) 或q = p 7 ( 妒+ 厂 一) ) ，则存在朋8 ( x ，丁) ，使得 i 兀( ) 一口i 0 ， 给定，首先假设p ( 妒+ 丁) 在t 处可导，设6 = m i n ，壹) ，选定r o 0 ，使得对 任意的0 iri 7 o ，有 l 丝韭型孕巡一q i 6( 2 1 ) 选取叼，使得0 叩m i n ( ，t f r o ，由引理4 2 2 知，存在m 。( x ，t ) ，使得 p ( t ) + 妒d + 幻l ( ) p ( 妒+ t t ) 一? 7 ( 2 2 ) 2 3 第四章紧空间上的压和一类非紧压的关系 又由推论4 2 1 知对任意的o l ，_ i r o ，有 危，( t ) + 妒d z ，+ ( t + r ) 只( ) p ( 妒+ ( t + r ) 一 ( 2 3 ) 联立( 2 2 ) 和( 2 3 ) 得：对任意的o iri r o ，有 p ( 妒+ ( t + r ) 厂) 一p ( 妒+ t t ) r 只( 工，) 一叼 所以有 盟型生堂上璺生塑只( ) 一旦 7 0 一 内 丝型生堂上业只( ) + 旦 一r o 再由( 2 1 ) 口- - j 得 1 只( ) 一qi 6 + 罴2 6 e 再由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可知 ，( t ) + 妒d z ，p ( 妒+ t 刀一t 2 ( u ) 一叼 p ( 妒+ t 一一亡( 口+ 2 5 ) 一叩 p ( 妒+ 一一0 f 一叩一2 6 p ( 妒+ t j z ) 一口一e 和 也( t ) + 妒咖p ( 妒+ t ，) 一t 只( ) p ( 妒+ t 尸) 一t ( q 一2 6 ) p ( 妒+ t 厂) 一q 亡+ e 即得： i 尼p ( t ) + 妒d 一( p ( 妒+ 厂) 一q z ) i e 下面假设p ( 妒+ t 在t 处不可导的情况 不失一般性，我们只须证明q = p 7 ( 妒+ 芦( + ) ) 的情况，对于o l = p 7 ( 妒+ 厂( t 一) ) ， 同理可证得由于p ( 妒+ 亡厂) 是【0 ，) 上的连续实凸函数，所以存在一列 如)