（信号与信息处理专业论文）时频双正交小波变换在图像编码中的应用研究.pdf

中文摘要 自2 0 世纪8 0 年代以来，小波变换因其特有的多分辨率分析能力而被广泛应 用于图像和视频编码领域，并取得了很好的效果。而矢量量化是一种高效的数据 压缩技术，以压缩比大、解码简单和失真较小著称，已被广泛应用于图像和语音 压缩领域。 本论文主要研究时频双正交小波变换及矢量量化在图像压缩编码中的应用。 首先简要地介绍了一维小波变换，并讨论了m a l l a t 算法实现中的边界延拓问题。 接着研究了二维m a l l a t 算法，编写c 语言程序对图像做二维小波变换，使用 m a t l a b 6 5 分析了可用于图像编码的小波系数特性。然后介绍了三种典型的小波 图像编码算法。矢量量化方面，详细阐述了其基本原理，深入探讨了矢量量化的 关键技术之一一码书生成，研究了已有的典型算法，并对其进行了改进。 在讨论m a l l a t 算法实现中边界延拓问题的基础上，给出了对称延拓方式下有 限长信号不需逐级计算而直接得到双正交小波系数的分解矩阵和由这些双正交 小波系数重构原始信号的重构矩阵的构造原理，详细介绍了相应于9 7 双正交小 波的分解矩阵和重构矩阵的构造过程，并给出了其基向量和基图形。 最后在v c 6 0 环境下，编写c 语言程序，使用大小分别为3 2 3 2 和6 4 6 4 的对称延拓方式下9 7 双正交小波变换矩阵对经典测试图像进行分块小波变换， 对变换后的系数进行e z w 编码。实验结果表明，用6 4 x 6 4 的矩阵进行压缩编 码重构后的图像质量较好：而选用6 4 6 4 的矩阵做压缩时，将其与使用二维小 波变换时得到的实验结果做比较，在比特率为0 o l 1 0 时，前者得到的压缩效果 较好，重建图像的峰值信噪比平均提高约0 5 一1 5 d b 。在m a t l a b 6 5 环境下，设计 程序实现了利用6 4 x 6 4 对称延拓方式下最大深度小波矩阵对图像进行小波变 换、系数重排及矢量量化，比较基本的s o f m 算法和改进的s o f m 算法的实验 结果，验证了改进算法的有效性。 关键词：双正交小波变换；图像编码；矩阵构造；e z w 编码算法；矢量量化； s o f m 算法 a b s t r a c t s i n c e19 8 0 s ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r mh a sb e e nw e l la p p l i e di ni m a g ea n dv i d e o c o d i n gf o ri t ss p e c i a lc a p a b i l i t yo f m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s w a v e l e tc o d i n gi san e w a n dv i t a ld e v e l o p m e n td i r e c t i o ni nt r a n s f o r mc o d i n g a sa l le f f i c i e n td a t ac o m p r e s s i o n t e c h n i q u e ，v e c t o rq u a n t i z a t o n i sk n o w nf o ri t sl o wb i tr a t e ，s i m p l ed e c o d i n ga n dm i n o r d i s t o r t i o n i th a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt oi m a g ea n ds p e e c hc o m p r e s s i o n i nt h i sp a p e r , t h ea p p l i e ds t u d i e so ft i m e f r e q u e n c yb i o r t h o g o n a lw a v e l e t t r a n s f o r ma n dv e c t o rq u a n t i z a t i o ni ni m a g ec o d i n ga r em a i n l ys t u d i e d f i r s to fa l l ， o n e d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mi sb r i e f l yi n t r o d u c e d ，a n dt h e nt h eb o u n d a r y e x t e n s i o np r o b l e mi nm a l l a ta l g o r i t h m sr e a l i z a t i o ni sa l s od i s c u s s e d s e c o n d l y , t w o d i m e n s i o n a lm a l l a ta l g o r i t h mi ss t u d i e d t w o d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mo f t h e i m a g e i si m p l e m e n t e dw i t hcp r o g r a m ；a n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fw a v e l e t c o e f f i c i e n t sa p p l i e dt oi m a g ec o d i n gi sa n a l y z e du s i n gm a t l a b 6 5 w i t ht h eb a s i ci d e a o fw a v e l e tt r a n s f o r mi m a g ec o d i n g ，t h r e et y p i c a lw a v e l e ti m a g ec o d i n ga l g o r i t h m sa r e i n t r o d u c e d a b o u tv e c t o rq u a n t i z a t i o n ，i t se l e m e n t a lp r i n c i p l ei se x p o u n d e di nd e t a i l w h a t sm o r e ，o n eo fi t sk e yt e c h n i q u e ，c o d e b o o kg e n e r a t i o n , i sd e e p l ye x p l o r e d i n t h i sp a p e r , p r e s e n tt y p i c a la l g o r i t h m sa r es t u d i e d ，a n dm o d i f i e da l g o r i t h mi sp r e s e n t e d a t t h es a m e t i m e o nt h eb a s eo ft h ed i s c u s s i o no fb o u n d a r ye x t e n s i o np r o b l e mi nm a l l a t a l g o r i t h m sr e a l i z a t i o n ，t h i sp a p e rp r o p o s e san e w m e t h o dt oc o n s t r u c td e c o m p o s i n g a n dr e c o n s t r u c t i n gm a t r i c e so fw a v e l e tc o e f f i c i e n t sw i t h o u ti t e r a t i v ec a l c u l a t i o ni n s y m m e t r i ce x t e n s i o nf o rf i n i t el e n g t hs i g n a l m o r e o v e r , t h i sp a p e rd e s c r i b e si nd e t a i l t h ec o n s t r u c t i o np r o c e s so fd e c o m p o s i n ga n dr e c o n s t r u c t i n gm a t r i c e so f9 7w a v e l e t a n dc o r r e s p o n d i n g l yg i v e si t sb a s ev e c t o r sa n db a s i si m a g e s f i n a l l y , w a v e l e tt r a n s f o r mi sp e r f o r m e di nb l o c ko nc l a s s i c a lt e s ti m a g e sb y9 7 b i o r t h o g o n a lw a v e l e tm a t r i c e si ns y s m e t r i ce x t e n s i o n w h o s es i z e sa r e3 2 3 2a n d6 4 x6 4 a f t e rt h a t w a v e l e tc o e f f i c i e n t sa r ec o d e db ye z w t h ec o u r s em e n t i o n e da b o v e i sr e a l i z e dw i t hc p r o g r a mi nt h ec o n s o l eo fv c 6 0 t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w t h a tt h eq u a l i t yo fr e c o n s t r u c t i o ni m a g e si sb e r e t , g a i n e db y6 4 6 4m a t r i c e s p e r f o r m i n g t h ec o m p r e s s i o n w h a t sm o r e ，t h er e s u l t sa l s o i n d i c a t et h a ti t s c o m p r e s s i o ne f f i c i e n c yi sb e n e rt h a nt h er e s u l t so fu s i n gt w o d i m e n s i o n a lw a v e l e t t r a n s f o r ma n de z wa tl o wb i tr a t e s ( 0 0 1 1 0 b p p ) ，a n dt h ep e a ks i g n a l t o - n o i s er a t i o ( p s n r 、o ft h er e c o n s t r u c t e di m a g e sa r eh i g h e rt h a nt h a to f t h el a t e ra b o u t0 5 - 1 5 d b m o r e o v e r , w a v e l e tt r a n s f o r mi sp e r f o r m e do n t e s ti m a g e sb y9 7b i o r t h o g o n a lw a v e l e t m a t r i c e si ns y m m e t r i ce x t e n s i o n ，w h o s es i z ei s6 4 6 4 a f t e rt h 她w a v e l e t c o e 蚯c i e n t sa r er e s e ta n dv e c t o rq u a n t i z e d t h i sc o u r s ei sr e a l i z e di nt h ec o n s o l eo f m a t l a b 6 5 a f t e rt h ec o n t r a s to fe x p e r i m e n t a lr e s u l t su s i n gb a s i cs o f ma l g o r i t h ma n d m o d i f i e ds o f ma l g o r i t h m , t h ev a l i d i t yo fm o d i f i e da l g o r i t h mi sp r o v e d k e yw o r d s ：b i o r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m ；i m a g ec o d i n g ；m a t r i xc o n s t r u c t i o n ； e z wa l g o r i t h m ；v e c t o rq u a n t i z a t i o n ；s o f ma l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：委在耄签字日期：v _ 年j 月哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤室盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权本盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：凄锅怨 导师签名： 侄龛 签字日期：犷7 年，月谚日 签字日期：年j 一月哆日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 静止图像编码技术的研究现状 图像压缩编码技术是在保证图像质量的前提下，用尽可能少的比特数来表 示数字图像中所包含信息的技术。图像信息之所以能够压缩，在于原始图像中存 在着大量的信息冗余。图像编码技术是在信道容量有限的条件下，解决由于图像 数据量庞大带来的存储和传输困难的主要措施，在军事和民用的许多领域中都具 有重要的研究价值。半个世纪以来，图像编码技术早已走出实验室，广泛应用于 信息社会的各个领域。 图像编码技术的研究一直循着两条主线索不断展开，一是对图像信源特性的 不断认识；二是对人类视觉系统特性的不断认识。对两方面的不断深入研究都推 动着图像编码技术的进步。对于涌现出来的编码方法，不同的学者按照各自的理 解对它们进行了不同的分类，比如根据图像信源的运动方式，可分为静止图像和 活动图像两大类，本文主要研究前者；从信息保持的角度看，又可分为无失真编 码和有损编码两大类；按源数据的构造模型划分，还可分为波形基 ( w a v e f o r m b a s e d ) 编码和模型基( m o d e l b a s e d ) 编码。 在对静态图像编码技术探索的道路上，不仅出现了许多经典算法，包括 h u f f m a n 编码、游长编码、算术编码和l e m o e l z i v 字典编码，还产生了大量基于 人眼视觉系统和去除图像自相关性的混合编码方法，并产生了非常优秀的p e g 国际标准，其被称之为“图像编码4 0 年研究成果的结晶”。 区别于经典图像编码技术，现代图像编码技术最大的特点是引入了新的数学 工具和理论，从8 0 年代末到9 0 年代中期，大量崭新的数学理论成果被引入图像 编码领域，为图像编码技术的发展注入了活力，这些数学工具是：小波理论、分 形几何理论、神经网络理论和计算机视觉理论。 小波理论在9 0 年代受到众多领域科技工作者的高度重视，作为数学和工程 应用等学科共同研究的结晶，小波变换在信号分析、图像处理、地震勘测、量子 物理和非线性科学等诸多领域得到了广泛应用。小波理论为各种信号及图像处理 方法提供了一种统一的分析框架，成为当前信号与图像处理等众多领域的研究热 点。 在图像编码领域，由于具有描述非平稳信号的独特优点小波变换可将图像 信号分解成不同空间分辨率、不同频率特征和方向特征的子图像信号，这便于在 第一章绪论 失真编码中综合考虑人的视觉特性，同时也利于图像的渐进传输。另外，它作用 于图像的整体，在有效去除图像的全局相关性的同时，使量化误差分散到整个图 像中，避免了j p e g 方法带来的“马赛克”方块效应。所有的这些优势使得它成 为一种很有前途的编码方法，它所具有的高压缩潜力也正不断为各国学者的研究 成果所证实。近年来涌现出来的些基于小波变换的压缩算法，结合特定的量化 和编码方法，普遍能够在高压缩比下获得比j p e g 更为理想的压缩性能，其中最 为突出的是s h a p i r o 提出的嵌入式零树小波【l 】编码方法和s a i d 与p e a r l m a n 提出的 多级树集合分裂2 】算法。 分形图像编码【3 】的主要数学基础是迭代函数系统理论( i f s ) 、b a t h 分形变换和 拼贴( c o l l a g e ) 定理。7 0 年代中期，法国数学家m a n d e l b r o t 在其创立的分形几何 学中指出：分形物体具有分形维数、自相似性、无限可分性的特点，并提出用分 形维数来度量分形物体的不规则程度。1 9 8 7 年，b a m s l e y 等人首先使用i f s 对图 像进行分形压缩，算法对某类图像取得了惊人的压缩比。1 9 8 9 年，j a c q u i n 首次 提出了基于局部仿射变换的全自动分形压缩算法用来对自然图像进行编码，取得 了较为理想的效果。但令人遗憾的是，分形编码的压缩效率至今仍无法达到所期 望的目标。 随着8 0 年代中期人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k , a n n ) 研究的兴起， 许多学者开始尝试将a n n 引入图像压缩领域。a n n 本质上是一种大规模的非线 性动力学系统，它模仿及延伸人脑功能的信息处理系统，并借鉴了生物神经网络 的一些主要结构特点，具有自学习特性、大规模并行处理、非线性处理特性和分 布式存储等优点。其中，自组织映射神经网络完成图像压缩的方式类似于矢量量 化，编码效率和l b g 矢量量化算法不相上下，同时还具有收敛特性不受初始码 书的影响、生成码书鲁棒性较好等优点。但迄今为止，a n n 在图像编码领域尚 未进入真正实用阶段，主要原因有两点：一者在于神经网络的工作机理仍在探索 之中，二者是其工作过程的数学解只能通过迭代产生，收敛速度较慢。 1 9 8 3 年，瑞典学者f o r c h h e i m e r 等提出了模型基编码【4 】的思想，它建立在计 算机视觉、模式识别和形态学等多种理论的基础上，突破了s h a n n o n 的信息理论 框架，通过对图像主体建立模型，用少量参数来表征整个图像，是实现低比特率 编码的有效方法。模型基编码又分为语义基编码和物体基编码两种，前者的景物 是确知的，在编码过程中利用图像的先验知识来提取参数，多用于视频电话中人 的面部编码；后者的景物模型不确定，利用柔体运动、阴影和运动误差来判别模 型，适合于一般的活动图像编码。 总而言之，现代图像编码技术的特点是： ( 1 ) 编码技术建立在更广泛的理论基础上，吸收和继承了前期阶段的成果。 2 第一章绪论 特别注重各种算法的相互渗透和补充，使现代图像编码技术达到了更高的性能。 ( 2 ) 随着对图像信源和人类视觉系统的深入理解，现代图像编码技术更加强 调编码质量的视觉无失真要求，侧重于图像的可理解性和视觉上的信息无损，而 不过分强调精确的数字表示。 ( 3 ) 现代图像编码的另一重大成就是图像编码技术的硬件实现。随着v l s i 技术的发展和逐步成熟，更高性能的数字信号处理器和可编程逻辑器件不断涌现 并应用于图像编码领域，使得实时编码成为可能，这将带来图像通信的迅速发展。 然而，图像编码技术仍在成长和完善的过程中。我们相信，通过各国学者的 共同努力，在不久的将来一定会有令人振奋的结果出现，它所展示的美好前景也 必将吸引越来越多的研究人员投入。 1 2 图像压缩的基本原理 第一代图像压缩技术是以香农信息论为出发点，用统计概率模型来描述信 源，以消除图像数据相关冗余为目的，以显示器为图像系统的最后环节，编码实 体是像素或像素块。静止图像压缩标准j p e g 的制定及其对多媒体产业的巨大影 响有力地证明了第一代图像编码技术的巨大成功。但是，第一代图像压缩技术并 未考虑到信息接收者的主观特性、图像信息的具体含义和重要程度等，只是力图 去除数据冗余，这是一种低层次的编码技术。第二代压缩技术则以去除图像内容 冗余为目的，考虑人眼作为信息接收者的特性，是目前一个比较活跃的研究领域。 本节主要对图像压缩进行概述，讨论了图像压缩的必要性和可行性、图像压 缩方法的分类以及图像质量的评价标准。 1 2 1 图像压缩的必要性和可行性 近十几年来，随着多媒体系统和i n t e r n e t 的迅速发展，人们对多媒体业务的 需求不断增加，对服务质量的要求也越来越高，而其中的图像信息数据量庞大， 如果不进行有效地编码，根本无法满足现有存储和传输的条件和要求。 例如，存储一幅中等大小、5 1 2 x 5 1 2 像素、2 4 位真彩色的图像，需要0 7 5 m b 的空间；而视频信号通常要每秒钟3 0 帧，一秒钟的n t s c 彩色视频需要2 3 m b 的空间。由此可见，无论从经济角度还是技术角度，图像编码都是必要的，可以 节省存储空间、c p u 时间和传输时间。 另外，虽然表示图像需要大量的数据，但这些数据往往都是高度相关的，这 些相关性会引起信息的冗余，因此可以通过去除冗余信息来实现对图像数据的压 缩。图像数据的冗余信息主要有信息熵冗余、结构冗余、知识冗余和视觉冗余等， 3 第章绪论 这些冗余，是压缩图像数据的出发点，图像编码方法就是要尽可能的消除这些冗 余信息，以降低表示图像所需的数据量。 1 2 2 图像压缩方法的分类 图像数据压缩编码方法根据不同的依据可产生不同的分类。根据质量有无损 失，分为有损编码和无损编码；根据其作用域在空问域或频率域，分为空间方法、 变换方法和混合方法；根据是否自适应，分为自适应编码和固定编码。一般来说， 每一个编码方法都有其相应的自适应方法。下面是几种典型的图像编码方法。 1 预测编码 编码器记录与传输的不是样本的真实值，而是它与预测值的差。这一方法 称为差分脉冲编码调制【5 ( d i f f e r e n t i a lp u l s ec o d em o d u l a t i o n ，d p c m ) 方法。预测 值由欲编码图像信号的过去信息决定。通常采用线性预测【6 】，比例系数由其统计 特性估计得到。预测不仅可以在相邻像素值之间进行，而且可以在行与行之间进 行。由于空间相关性，真实值与预测值的差值变化范围远远小于真实值的变化范 围，因而可以采用较少的位数来表示。另外，若利用人的视觉特性对差值进行非 均匀量化，则会获得更高的压缩比。 2 变换编码 其主要思想是利用图像块内像素值之间的相关性，把图像变换到一组新的 基上，使得能量集中到少数几个变换系数上，通过存储这些系数而达到压缩的目 的。在变换编码中，由于图像中像素问距离越远，相关性越弱；另外，出于对内 存大小的考虑，一般把原始图像分成许多个矩形区域子图像独立进行变换。常用 的变换有卡亨南。洛维变换( k a r h u n e n l o e v et r a n s f o r m ，k l t ) ，离散余弦变换 ( d i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m ，d c t ) ，离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ， d w t ) 。其中，k l t 是消除相关性最有效的变换，但是由于其计算量较大而很少 被采用。d c t 变换消除相关性的效果接近k l t 变换，而且存在快速的算法，所 以被人们普遍接受。选取适当的小波基函数，d w t 变换对图像信号进行多尺度 分解，其变换结果十分符合人眼视觉系统特性，是现在和将来的发展重点。 3 统计编码 最常用的统计编码是h u f f m a n 编码。它对于出现频率大的符号用较少的位 数来表示，而对出现频率小的符号用较多的位数来表示。其编码效率主要取决于 需编码的符号出现的概率分布，越集中叹0 压缩比越高。另一个较好的统计编码是 算术编码方法。每一符号对应 0 ，1 ) 上的一子区间，区间长度为该符号出现的概率。 该方法将被编码的符号串( 数值串) 表示成实数0 到1 之间的一个区间。初始把它 设为整个区间 0 ，1 ) 。当出现一个新的待编码符号，先把完整的 0 ，1 ) 区间映射到上 4 第。一章绪论 一次形成的区间，然后在新区间上取原 0 ，1 ) 上新符号对应区间所映成的像。解码 时，根据区间的覆盖性来逐一解出原符号串。 算术编码的优点是可方便地使用自适应编码，即根据当前接收的数据不断 地更改概率模型。当信源符号概率比较接近时，一般使用算术编码，而不使用 h u f f m a n 编码，这是由于此时h u f f m a n 编码效率较低。j p e g 成员对多幅图像的 测试结果表明，算术编码比h u f f m a n 编码能提高5 的效率。 游程编码实际上是一维信号的分段常数逼近，是一个相当简单的编码方法。 编码器不断比较一维的相邻元素值的变化幅度，一旦发现有明显的变化，就称一 个游程( r u n ) 开始了。编码器对每一个游程需要确定两种信息：游程的起点位置和 该游程对应的信号值。由于游程是连续的，一个游程的终止是下一个游程的开始， 所以游程的位置信息和信号值都可以用两种方式记录：差分方式和绝对数值方 式。一般情况下，差分方式具有较高的效率。对游程编码来说，游程越长则效率 越高。 4 混合编码 它是指合并变换和预测技术的编码方法。通常有两种编码形式，第一种为在 某一方向上进行酉变换( 例如x 方向) ，而在另一方向( 例如】r 方向) 上用d p c m 对 变换系数进行预测编码；另种形式是对动态图像而言，二维变换再加上时间方 向上的d p c m 预测。 1 2 3 图像质量的评价标准 对于有失真的压缩方法，应该有一个评价标准，对压缩后的图像质量给予评 判。常用的评价准则有两种【7 】：一是客观准则，一是主观准则。 客观准则是对压缩还原后的图像与原始图像的误差进行定量计算，一般是对 整个图像或图像中一个指定的区域进行某种平均计算，以得到均方误差。 设一个原始图像为 口( f ，) ，0 f m - 1 ，0 j n 一1 ) ，相应的压缩后的还原图 像为 a ( f ，) ，0 f m - 1 ，0 j n - 1 ，误差图像为如( f ，) = a ( i ，j ) - h ( i ，j ) ， 1 m - i ，- 1 0 i m - 1 ，0 j n - l ，那么，均方误差表示为e r a s e = 百1 磊e 2 ( f ，) ，有时 j 坦vf = o ；o 也会用均方根误差，它是= 】2 。 最常片j 的是信噪比表示，它用分贝表示压缩图像的定量性能评价。基本信噪 比定义为 艺窆口：( f ，) s n r = 1 0 1 9 l 两名 唑 i ，j ) - f t ( i ，川2 第一章绪论 另一种信噪比的定义是首先对原始图像取均值，定义如下： 硎，= 去篆势力 ，一l _ 一l 口( f ，j ) - - f f ( i ，) 】2 s n r - 1 0 1 9 i 茉蔫 一 l z a ( i ，j ) - 五t ( i ，) 】2 文献中最常用的是峰值信噪比( p e a ks i g n a l - n o i s er a t e ，p s n r ) ，设 口衄= 2 x - 1 ，k 是表示一个像素点用的二进制位数，则 p s n r = 1 0 1 9 j m n2 蒜 在许多图像的应用中，常取k = 8 ，所以在一些文献中，直接将口一= 2 5 5 代 入到上式。在实际图像质量评价应用中，当p s n r 超过3 0 d b 时，人的视觉很难 分辨出原始图像与重构图像的差异。 对压缩图像质量的第二种评价标准是主观准则，它是选择一组评价者给待评 图像进行打分，对这些主观打分进行平均，获得一个主观平均分。表1 1 所列是 两种典型的评分标准。 设每一种得分记为e ，每一种得分的评分人数为吩，则一个被称为平均感 觉分( m e a no p i n i o ns c o r e ，m o s ) 的主观评价得分为 k n ，c f m o s = 号- 一 吩 i = l 例如，一段视频节目的评分为4 5 ，这说明图像质量相当好。 表1 1 对图像质量的主观评分标准 得分第一种评价标准第二种评价标准 5非常好 感觉不到失真 4好 感觉到失真，但没有不舒服感觉 3一般稍有感觉到不舒服 2 较差不舒服 1差非常不舒服的感觉 评价图像压缩效果的另外一个重要指标是压缩比c ，它指的是表示原始图像 每像素的比特数同压缩后平均每像素的比特数的比值，也常用每像素比特值( b p p ) 6 第一章绪论 来代表压缩效果。 1 3 本论文的研究内容及组织结构 本论文选题来自于高等学校博士学科点专项科研基金项目“双正交变换理论 研究及其编码应用”( n o 2 0 0 6 0 0 5 6 0 5 1 ) ，主要研究时频双正交小波变换在图像压 缩编码中的应用。论文首先介绍小波分析和图像压缩编码的发展现状，接着分析 了一维小波变换m a l l a t 算法和二维小波变换m a l l m 算法及目前几种常用的小波 编码算法；然后研究了矢量量化技术，重点研究自组织特征映射神经网络码书设 计算法；在此基础上了研究了对称延拓方式下时频双正交小波变换矩阵的构造原 理，针对双正交9 7 小波，设计了信号长度为= 8 时的最大深度小波变换分解和 重构矩阵，同理可以构造出l = 3 2 和l = 6 4 时的最大深度分解和重构矩阵，对应 的矩阵大小分别为3 2 3 2 和6 4 6 4 ；并将这两个小波变换矩阵用于图像的多分 辨率分解，对小波变换后的系数特点进行研究，为了有利于嵌入式零树小波编码， 首先对这些小波系数进行重排；接着用c 语言设计程序实现了使用对称延拓方 式下小波变换矩阵对图像进行变换然后进行e z w 编解码，反变换重构图像，给 出了典型图像的实验结果，并与9 7 小波变换的e z w 编码算法做了分析比较。 另外，用m a t l a b 语言设计程序实现了使用对称延拓方式下小波变换矩阵对图像 进行变换然后进行系数重排和矢量量化，给出了典型图像的实验结果，验证了改 进的s o f m 算法的有效性。本论文具体的章节安排如下： 第一章是绪论部分，主要讲述了静态图像压缩编码的研究现状，图像压缩的 基本原理，包括图像压缩的必要性和可行性、图像压缩方法的分类以及图像质量 的评价标准。 第二章详细介绍了小波分析理论。首先介绍了多分辨分析和一维m a l l a t 算 法，研究了m a l l a t 算法实现中的边界延拓问题，接着介绍了二维m a l l a t 算法， 选择常用的9 7 双正交小波，编写c 语言程序对图像做二维小波变换，使用 m a t l a b 6 5 将得到的小波系数进行统计分析与能量分布分析，分析了可用于图像 编码的小波系数特性。 第三章结合小波图像编码的基本思想，重点介绍了三种典型的小波图像编码 算法，包括嵌入式零树小波编码，多级树集合分裂算法，最优截断嵌入式块编码 算法。 第四章介绍了矢量量化的基本原理和关键技术，重点研究了自组织特征映射 神经网络码书设计算法，并给出了一种改进算法。 第五章研究了对称延拓方式下时频双正交小波变换矩阵的构造原理，并以信 7 第一章绪论 号长度l = 8 为例，设计了最大深度9 7 小波分解和重构矩阵，并给出了基向量和 基图形。 第六章在v c 6 0 环境下，编写c 语言程序，实现了利用对称延拓方式下最 大深度双正交小波变换矩阵对图像进行小波分解、小波系数重排、e z w 编解码 和小波反变换重建图像。对经典的测试图像做压缩，将得到的实验结果与二维小 波变换e z w 小波编码算法做比较并得出结论，接着用m a t l a b 语言设计程序实现 了使用对称延拓方式下小波变换矩阵对图像进行变换，系数重排，矢量量化，采 用分裂法生成初始码书，然后分别用基本的s o f m 算法和改进的s o f m 算法训 练码书，给出了典型图像的实验结果并进行了分析。 s 第- 奄小波分析理论 第二章小波分析理论 本章主要介绍小波分析理论，着重介绍了一维m a l l a t 算法及其实现中的边界 延拓问题和二维m a l l a t 算法，另外，分析了小波变换系数所具有的特性，这些是 第五章构造对称延拓方式下双正交小波变换矩阵的理论基础，也是后文第六章中 部分实验的理论基础。 2 1 多分辨分析和一维m a l l a t 算法 小波分析理论作为多学科共同的研究成果，正日益受到学术界和工程界的密 切关注，成为多种领域的研究热点。尤其在信号分析中所表现出的优良特性，使 得小波成为这一领域强有力的研究工具。 1 9 8 9 年，m a l l a t 创造性地将计算机视觉领域中的多尺度分析【8 ，9 】方法引入到 小波基的构造中，首次统一了以前s t o m b e r g ，m e y e r ，l e m a r i e 和b a t t l e 等提出 的各种小波的构造方法，并研究了小波变换的离散形式，给出了m a l l a t 塔式分解 和重构算i 去【8 9 1 ，从而为小波理论的工程应用铺平了道路。 2 1 1 多分辨分析 多分辨分析又称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上的理论。多分 辨分析的基本思想就是用一簇具有不同分辨率的近似函数来对给定函数 f ( x ) r ( r ) 进行逼近，而这些近似函数可以通过对f ( x ) 使用选择的滤波函数进 行平滑滤波而得到。 定义2 _ l r ( 碾) 空间中的一闭子空间 _ ) 凇，若满足： ( 1 ) 单调性：c 巧一c _ c 巧+ ic ，w z ： ( 2 ) 完备性：n 一= o ) ，u _ = r ( r ) ； ，e z e z 。 ( 3 ) 伸缩性：f ( x ) 一营f ( 2 x ) 一+ l w z ； ( 4 ) 吾平移不变性：厂( x ) 巧厂( 工+ 告) 巧，v k z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在( 工) ，使得 ( 工一后) lk z ) 是圪的一个 r i e s z 基，则称( 工) 生成一个r ( 爬) 的多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 巧) 膻，且称矽( 力为尺度函数( s c a l i n gf u n c t i o n ) 。 9 第二章小波分析理论 由c l 一，c 巧c 巧c ，z 的包含关系，知矽( x ) = 甄o ( 戈) kck 可以 用巧空间的基函数兹，。( 工) = 4 互# ( 2 x - k ) ，七z 展开，令其展开系数为 n ) ， 七z ，贝0 有 ( 工) = 2 p 。( 2 工- k ) ( 2 - 1 ) 另一方面，引入闭子空间 杉) 旭，且杉是_ 在巧+ 。空间中的补空间，即： l = _ + ，j z ( 2 - 2 ) 显然，r ( 瓞) 空间可表示为子空间序列 嘭) 衄的直和，即 r ( r ) = 彬= + 彬l + 甄+ 彬+ ( 2 3 ) j e 以 设 蚧，t ( x ) = 2 加y ( 2 7 x - k ) ，j ，k z 构成乃的r i e s z 基，其中沙( z ) 是尺度函 数( 工) 对应的小波。 由于k = v o + ，故少( x ) = 妙o o ( x ) ck ，这意味着小波基函数缈( 工) 可以 用k 子空间的r i e s z 基办。( x ) = 2 ( 2 工一七) ，k z 展开，令其展开系数为 纵) ， 七z ，贝0 有 ( 劝= 4 2 q _ | q k ( 2 x - k )( 2 - 4 ) 如e z 式( 2 - 1 ) 和式( 2 4 ) 分别称为尺度函数和小波函数的两尺度关系( t w o s c a l e r e l a t i o n ) ，其中 p k t 。z ， 吼) 。ze 1 2 称为两尺度序列( t w o s c a l es e q u e n c e ) 。 2 1 2 一维m a l l a t 算法 在上述多分辨分析的理论框架下，信号与图像处理专家m a l l a t 提出了基于滤 波器组的小波分解和重构算法一m a l l a t 算法，该算法也被称为快速小波变换算 法。该算法的提出，使得小波分析从理论研究真正走向实用。 考虑2 1 1 节讨论的多分辨分析和小波的一般结构，其中 由某个尺度函 数妒r ( r ) 生成，而 彬 由某个小波吵r ( r ) 生成，根据u l = r ( r ) ，任一 、 j e z f r ( r ) ，能够对某个n z ，用厶非常接近地逼近，其中 为在空间 上的投影。因为巧= 一。+ 形一。对任何j z 都成立，厶具有唯一的分解 厶= 厶一。+ g - l ，其中，厶一。一，g n 一。一。因为对于正整数m ，有 = 一l + k 一，= = 一。+ 一2 + + 甄一肘+ 一( 2 - 5 ) 重复上述过程，厂( x ) 有唯一分解 厶( z ) = g ，一l ( x ) + g 一2 ( z ) + + 瓢村( z ) + 厶一i i ，( z )( 2 6 ) 式( 2 - 6 ) 中的唯一分解称为小波分解。其中，g j ( x ) 形，j = n m ，一1 ， 厂一村( 石) 氏一材；m 代表小波分解级数，般根据实际分辨率要求而确定。 下面，我们讨论把厶表示为它的分量g _ 叫，g 一肘与 ，村，并由这些分量 l o 第二章小波分析理论 重构 的m a l l a t 算法。 再次写出矽( 工) 与( 工) 的两尺度关系，存在两个序列 p k ) ， 吼) e1 2 ，使 f ( 力= , p k # ( 2 x - k ) 1 吣) ：吼 ) iy ( x ) = 吼) 7 lk 对所有的x 碾成立。其中，为了讨论方便，我们省掉了不必要的倍数乏。 另一方面，因为( 2 工) ，矽( 2 x 一，) k ，且k = v o + 甄，所以存在两个序列 a 。) ， b ，2 ，k z 使 矽( 2 x z ) = a l - 2 k 矽( x 一七) + 6 一2 女少( x 一七) ，z( 2 - 8 ) 式( 2 8 ) 称为矽( x ) 与( x ) 的分解关系。 现在我们有两对序列( 吼) ， 仇 ) 与( 以) ， 吼) ) ，它们全部是唯一的。这些序 列常用来表示下列分解和重构算法，其中， a k ) 与 吮) 称为分解序列， p 。) 与 吼 称为重构序列。 1 分解算法 f j ( x ) v j 和g ，( z ) 形都具有唯一的级数表示 i 乃( 工) = c m ( 2 x - k ) ig j ( x ) = d ，i ( 2 7 x 一后) 其中， 勺，。) ， 嘭。) z 2 ，代表小波分解的级。这里有意识地隐藏了规范化系数 2 7 陀，用( 2 7 x - k ) ，y ( 2 7 石一七) 代替，( x ) ，y 肚( x ) 。 乃+ 。( 工) = 军勺+ 1 ，( 2 1 x 一，) = ；勺+ l ，l 口7 2 t 矽( 2 7 工一，) + 吃一2 t y ( 2 7 x - 1 ) l = 军 莩a ，一：。q + ，2 j x - 1 ) + 手6 f 一：。勺扎， ( 2 ，工一d 又乃+ ，( j c ) 2 乃( 工) + g 小) 2 莩勺，t ( 2 j x - k ) + 莩屯i u ( u x - k ) 勺，女2 ；q - 2 女c j + 1 = 军嘶廿勺+ l 嘭，t2 莩岛一：t 勺扎，2 莩岛一t c j 叱， ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 于是，分解算法可描述为：用分解序列 吼) ，纸 与被分解序列 c j + l 。 先进 行滑动内积，然后向下二采样得到 巳，。 ， d j ，女) 。这里的向下二采样是指隔一取 一，仅保留偶数点。 对于有限带宽信号厂( x ) ， m 广 ，1