（电力系统及其自动化专业论文）计及不确定性的电力系统静态安全分析.pdfVIP

a b s t r a c t a st h em o d e ms o c i e t yi sd e v e l o p i n ga l lt h et i m e ，t h ed e m a n do fe l e c t r i cp o w e ri s i n c r e a s i n gf a s t , w h i c hm a k e st h es c a l eo ft h ep o w e rs y s t e mg r e a t e rd a yb yd a y t h e m o r ec o m p l i c a t e dt h ep o w e rs y s t e mb e c o m e s ，t h eh i g h e ra l lk i n d so ff a u l tp r o b a b i l i t y b e c o m e s i ft h ef a u l tc a n tb es o l v e ni nt i m e ，i ti sp o s s i b l et or e s u l ti nal a r g es c a l eo f p o w e rf a i l u r ea n ds e v e r es t a b i l i t yp r o b l e m t h e r e f o r e ，t h es t a t i cs a f e t ya n a l y s i so f p o w e rs y s t e mb e c o m e sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t s t a t i cs a f e t ya n a l y s i si su s e dt o j u d g ew e h t h e ro v e r l o a do ro v e r - v o l t a g ec a s ea p p e a r sa tt r a n s m i s s i o nl i n e s i n a l l u s i o nt oas e to fa s s u m e da c c i d e n t so rn o t b e c a u s et h eu n c e r t a i nf e a t u r eh a sb e e n i n c r e a s e ds e v e r e l y , t h ew e a kn e s so ft h ec l a s s i c a ln o d e - t o - - n o d ea n a l y s i sm e t h o di s e x p o s e d ，a n dt h eu n c e r t a i na n a l y s i sm e t h o db e g i n st oc a t c hp e o p l e sa t t e n t i o n i n t e r v a la n a l y s i sm e t h o di sa p p l i e dt ot h es t a t i cs a f e t ya n a l y s i so fp o w e rs y s t e m c o n s i d e r i n gu n c e r t a i n t yi nt h i sp a p e r t h em a i nw o r ki n c l u d e s ： 1 ) d i s c u s s i n gt h ei n t e r v a lo p e r a t i o na n di t sb a s i ca p p l i c a t i o n ；i n t r o d u c i n gt h e i n t e r v a le x p a n s i o ns t y l eo ft h el i n e a re q u a t i o ns e t ；s t u d y i n gi t ss o l u t i o n m e t h o d ；r a i s i n gt h ei n t e r v a ln u m b e rs o r t i n gt h e o r y , t h a ti st h ec r e d i b i l i t y m e a s u r i n gf u n c t i o nf o rt h eg r e a t e ri n t e r v a l 2 ) p u t i n gf o r w a r d sa ni m p r o v e dr e l i a b i l i t ym e a s u r i n gm e t h o df o ri n t e r v a l c o m p a r i s o n 3 ) c o n s t r u c t i n gt h ei n t e r v a la l g o r i t h mm o d e lf o rd i r e c tp o w e rf l o w ；u s i n gt h e e x a m p l eo f 3 阳n o d ea n d3 0 mn o d em e a s u r e ds y s t e mi su s e dt oc o m p a r et h e c o n s e r v a t i s mw i t ht h er e s u l to fm o n t ec a r l os i m u l a t i o na l g o r i t h mt op r o v e t h ec o r r e c t n e s sa n df e a s i b i l i t yo ft h ei n t e r v a la l g o r i t h m 4 ) a p p l y i n gs t a t i cs a f e t ya n a l y s i sw i t ht h el i n eb r e a km o d e lo ft h ed i r e c tp o w e r f l o wi n t e r v a la l g o r i t h m ；o b t a i n i n gt h ei n t e r v a lo ft h es t a t i cs a f e t ya c t i v e p o w e ra c t i o ni n d i c a t o r ；u s i n gt h er e l i a b i l i t ym e a s u r i n gm e t h o df o ri n t e r v a l c o m p a r i s o n ，s o r t i n gt h ef a u l ts e v e r i t yl e v e lf r o mt h em o s tt ot h el e a s t a tt h ee n do ft h ep a p e r , t h ec o n c l u s i o ni sr e a c h e d ：i tc a nr e f l e c tt h ef a u l ts e v e r i t y l e v e lo b j e c t i v e l yt oa p p l yt h ei n t e r v a la n a l y s i sa l g o r i t h mt ot h es t a t i cs a f e t ya n a l y s i so f p o w e rs y s t e mc o n s i d e r i n gu n c e r t a i n t y t h e r e f o r e ，i ti saf e a s i b l ea l g o r i t h m k e yw o r d s ：i n t e r v a la n a l y s i s ，u n c e r t a i n t y , s t a t i cs a f e t ya n a l y s i s ，i n t e r v a l g a u s s i a ne l i m i n a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：试乏。夸 签字日期： 泗7 年，月弓口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 导师签名： 三匀抛 签字日期：爻妒7 年，月乃d 日 上了日 ，” d 忠 月 文 ， ： 年 名 7 签 们 豁 加 作 ： 文 期 论 日 位 字 学 签 第一章绪论 第一章绪论 1 1 本课题研究的目的和意义 国民经济发展水平的重要标志是电力工业。现代社会的不断发展，促使用电 需求急速增长，造成电力系统的规模日益扩大。联合电力系统的运行具有明显的 优越性：有利于解决资源和负荷分布的不平衡；采用大容量机组、超高压远距离 输电，降低基建和运行费用。可见，形成联合电力系统是电力工业发展的必然趋 势。然而，联合、复杂、大规模电力系统的形成，大机组、超高压远距离输电的 出现，以及电厂类型的多样化，对电力系统运行的安全、经济和电能质量的要求 更加严格，分析计算更加困难。 日益复杂的电力系统，发生故障的概率也在增加，某些扰动可能导致大面积 停电和稳定性问题尖锐化。特别是发生稳定性破坏和不可控制的恶化连锁反应 时，停电范围大、时间长，对社会的政治、经济、文化及人民的生活都将产生无 法估计的严重后果。因此，电力系统的运行人员迫切需要强有力的电力系统安全 分析软件以帮助进行电力系统运行方式的分析，提高系统运行的安全水平，为事 故处理提供相应的对策，防患于未然。 电力系统静态安全分析( s t a t i cs e c u r i t y a n a l y s i s ) ，对系统在预想好事故后的 稳态运行情况进行分析，如当线路和发电机开断后，是否会引起其他线路的过载， 是否会引起节点电压的越限：并且，对应一定情况的过载和越限，给出可供选择 的系统调整策略。 静态安全分析主要有静态预想事故评定( c o n t i n g e n c ye v a l u a t i o n ) 和预防控 制组成，可以确定系统是否安全，同时给出了某些必要的预防对策，使系统在预 想事故集情况下出现的不安全状态转变为安全正常状态。通常，预防控制对策， 往往带有经济目标，从而可以获得同时满足网络等式约束和不等式约束的有功、 无功功率经济调度。 如果预防控制可行，而且控制对策的代价很小，运行人员可以把控制对策投 入运行；如果投入经济代价较高，而且可能出现的静态紧急状态并不严重，运行 人员也可以在事故真正发生以前不采取任何预防对策。如果预防控制不可行，可 以在假象出现了紧急状态的情况下，以负荷卸除最少、或各机组偏离原经济运行 状态最小为目标函数，进行最优潮流的计算，即校正对策分析( c o r r e c t i v es t r a t e g y a n a l y s i s ) 。 上述可见，在计算机技术及软件技术日益完善的今天，在电力系统静态安全 第一章绪论 分析理论十分成熟的条件下，研制开发电力系统静态安全分析实用化软件具有重 大的现实意义。 1 2 电力系统分析中的不确定性问题 1 2 1 问题的提出 潮流计算是求解电力系统稳态运行的最基本计算。自从1 9 5 6 年w a r d 等人 编制了实际可行的计算机程序以来，为了改进收敛特性、加快解算速度和减少内 存需量，曾开发过多种优异算法。其中，v a nn e s s 等人提出了直角坐标n e w t o n 算法、h a r t 等人提出的极坐标n e w t o n 算法；s t o t t 等人提出的快速解耦算法； 1 w a m o d o 等人提出的保留二阶项直角坐标n e w t o n 法以及r a o 等人提出的带二阶 项快速潮流法，使得电网的潮流计算获得极大成功。 传统上的潮流计算方法多采用点迭代法得到系统电压、电流和功率流的精确 值。随着电力市场的出现，电力系统规划和运行中的不确定因素大大增加，传统 的确定性逐点分析方法日益暴露出局限性，不确定性分析方法开始受到重视。 电力系统的不确定性主要来源于g 1 ) 系统中各线路和变压器参数的计算或测量错误 2 ) 系统母线负荷需求数值估计错误 即便参数的不确定性不再是一个问题，电力系统潮流的计算结果不过是一个给定 瞬间的“快照”。得到的解只是在一个单一的特殊系统结构和操作条件下有效，而 系统却是随着时间变化的。这样看起来，与其求出所有似是而非的系统状况，这 些系统状况按照需求条件和系统参数下将可能遭遇的期望不确定性得到，倒不如 得出一个系统在指定瞬间大概是什么样的。这样，负荷和其他参数就不只是用一 个数值表示而是一组数值，一个区间l i 。j 。 研究这样一个带有区间参数的系统，可以使用重复的仿真，也可以使用区间 算法。重复仿真的方法考虑了众多参数的组合，并且使用了需要2 。个解的蒙特 卡罗( m e n t e c a r l o ) 方法来达成目的，胜于穷尽的极值搜索。这个方法类似于研 究生产成本的消耗。但是蒙特卡罗技术经常需要大量案例才能得出对于变量的方 差和影响的正确估计。 减少仿真次数的实际方法就是选择有限数量的独立负荷变化。由于负荷是相 互关联的，所以这样选择是合理的。负荷关联性的选择是任意的并且主要取决于 工程师的经验。 这一问题另一个解决方法是利用表征不确定性的随机技术。取代被严格限定 第一章绪论 了的准确区间的假定参数，这里假定参数根据一些可能的分布变化。通常用一些 普通分布。随机电力系统潮流模型的优点有： l 、所有的输入都是统计值。 2 、传统电力系统潮流算法可用。 3 、支流可以按概率分布函数得到。 随机电力系统潮流模型有以下缺点： 1 、节点负荷和支路潮流的非线性关系很难处理。 2 、计算量较传统潮流计算方法更大。 面对着潮流计算数据的不确定性问题，区间算法考虑了支路参数和系统负荷 的不确定性，并且提供了严格的上下端边界；所有可能出现的解也都用区间表示， 并被限制在严格的边界内。区间潮流算法用来处理负荷和发电机的原始数据虽不 能精确知道，但知道其一定包含在某给定的区间范围内的情况。其优点是，如果 已知各个输入变量的精确区间，则通过区间运算就可得到包含所有可能输出的解 区间。区间潮流可以方便求得任意时间段上( 而不仅仅是瞬间) 的系统状态，因 而更能全面反映系统的真实情形。另外从一次计算结果可以直接得到系统状态变 量( 线路潮流和节点电压等) 受节点功率注入变化的影响。 1 2 2 不确定分析方法的研究现状 目前，概率方法、模糊方法和区间方法是不确定性建模的三种主要方法。 一、概率方法f 螂】 在电力系统不确定性建模中，最常见的是把结构参数视为随机变量来对问题 进行建模与分析，即采用概率方法。在这种情况下，所有不确定结构参数的联合 概率密度函数都应该是已知的。但是当没有足够的数据来验证这些随机变量( 或 相关的函数) 的概率密度的正确性时，概率方法可能难以可靠地得到满足精度要 求的计算结果。 采用概率方法的电力系统潮流模型的优点为： 1 ) 所有的输入都是统计值； 2 ) 传统的电力系统潮流算法仍可用； 3 ) 支流可以按概率分布函数得到。 但是，它也有以下缺点： 1 ) 节点负荷和支路潮流的非线性关系很难处理； 2 ) 计算量较传统潮流算法更大。 二、模糊方法 采用基于模糊集理论的方法来描述不确定性时，也需要知道不确定结构参数 第一章绪论 的隶属度函数。与概率方法相比较，在很多情况下，确定隶属度函数甚至更为困 难，使用者往往不得不带有很大主观性地选取相应的隶属度函数。这样的分析结 构的可靠性也值得怀疑。 模糊潮流计算利用模糊数建受期流计算的模型，利用模糊隶属函数处理一部 分不确定信息【9 - 1 4 。模糊潮流除了更能反映系统的真实情况外，还可以从其计算 结果直接得到线路潮流和节点电压对不确定的节点注入功率的灵敏度。但是模糊 潮流在细致刻画问题的同时也使问题复杂化，使计算量大大增加。 三、区间方法 在信息不够充分的条件下，描述工程问题不确定性的一种方法就是把这些不 确定的参数视为未知变量，它们在具有一直边界的区间内取值，这就是所谓的区 间分析法。 当负荷和线路参数的原始数据虽不能精确知道，但可以知道其一定包含在某 给定的区间范围内时，区间数学是很好的工具，于是区间潮流算法 1 5 - 1 6 】就应运而 生。区间分析法已经在电力系统潮流计算中得到了应用，对具有区间参数的系统 可以在区间算术的基础上采用各种区间迭代法来求解。区间代数可以解决数值计 算中舍入误差累积的问题，区间算法的最终目的是获得尽可能小的解区间。根据 迭代过程中所采用的迭代算子的不同，区间迭代法又可以分为区间牛顿法、 k r a w c z y k m o o r e 区间迭代法和k r a w c z y k h a n s e n 区间迭代法等。文【5 】首先采用 区间牛顿算子将区间非线性方程组线性化，然后再采用区间高斯赛德尔法来求 解线性化后得到的区间线性方程组。为了保证收敛，这种方法要求雅可比矩阵是 个m 矩阵，如果不是m 矩阵，则要进行预处理，在方程两边同乘以一个预处理 矩阵，以使之转化为m 矩阵。当变量给定的初始区间较小时，能保证收敛，当 区间增大时，由于雅可比矩阵将不再是m 矩阵，导致算法的收敛性变差，甚至 不收敛。 区间运算的保守性问题，即超宽度问题是制约区间算法发展的关键因素。目 前尚缺少系统性的理论研究，但已有一些零星的探索性成果，如设法变换函数的 表达形式，建立函数的自然区间扩展，则可以消除超宽度【i 。刁；也可以寻求其它形 式的区间扩展及相关算法，如文 1 8 】采用了中心型扩展、中值型扩展：文 1 9 】和 文 2 0 1 将反演理论引入区间分析中，提出了区间运算的反演公式，也可以在一定 程度上减少超宽度。文【2 1 】将复平面上区间数的三种不同表达方式，即方形域表 达、圆盘域表达和扇形域表达引入区间潮流，来研究它们对区间潮流结果保守性 的影响。 第一章绪论 1 2 3 蒙特卡罗法 对于研究解决随机问题，最直接的、最有效的方法是采用蒙特卡罗 ( m e n t o c a r l o ) 法1 2 2 1 。蒙特卡罗法是一类统计方法，它与有限元方法的联合使 用形成统计有限元方法。在具体实施时，蒙特卡罗法通过在计算机上产生的样本 函数来模拟系统的随即输入量的概率特征，并对于每个给定的样本点，对系统进 行确定的有限元分析，从而得到系统的随机响应的概率特征。 与其他分析方法相比，用蒙特卡罗法解决随机问题的结果，当样本容量足够 大时，将更可靠也更精确。然而它的缺点如同它的优点样明显，由于大量的统 计取样及统计模拟，蒙特卡罗法的计算工作量是十分庞大的。目前对蒙特卡罗 法的抽样模拟已经提出了很多减少计算量的措施。另外，还有一些学者将随机场 组合到有限元中，用有限元法确定一系列系数，而随机反应则是这些系数与随机 变量组成的级数，通过模拟随机变量而得到的随机反应。所有这些改进方法的使 用都有一定的局限性，推广起来都存在一定的困难。 1 3 电力系统静态安全分析的研究现状 自上个世纪6 0 年代以来，大面积停电事故时有发生，在经济上造成了巨大 的损失，因此，各国对电力系统的安全性分析，开始给予了足够的重视，成为了 上世纪七、八十年代非常活跃的研究领域。这些年以来，国外的一些控制中心也 配备了具有实时功能的静态安全分析软件，表明本课题的研究已进入实用化阶 段。 1 ，3 1 静态安全分析的基础潮流分析 截止目前，常规的潮流算法已经非常完善。其中，有代表性的有牛顿一拉夫 逊法、快速解耦法。牛顿法【2 3 】具有计算精度高、收敛性能好的优点；快速解耦法 【2 4 】结合电力系统的特点，对纯数学的牛顿法进行了解耦和合理的简化，便其在内 存需求和计算速度上都有提高。 1 3 2 传统的分析方法 在传统的静态安全分析软件中，由于要保证计算速度，所以在开断计算中， 并不是采用精确潮流计算。已经成熟的方法有：直流法、分布系数法和补偿法。 关于这些方法的介绍可参阅文【2 5 】的有关章节。 直流法简单快速，能给出满足工程要求的有功潮流分布，不考虑无功分布的 第一章绪论 影响；基于直流潮流算法的分布系数法是一种能快速估计开断影响的方法，分布 系数法分为线路开断分布系数和发电机开断分布系数。线路开端分布系数表示了 开断线路潮流与所求线路潮流变化量的直接关系。发电量转移分布系数则建立了 发电量的变化与线路潮流交化的关系，在此基础之上的广义发电量分布系数能 在不同的系统发电水平下求出发电机开断对线路潮流的影响；补偿法是在网络线 路开断的情况下，假设该线路未被开断，而在其两端节点处引入虚拟功率来模拟 线路开断的等效注入方法。 1 3 3 预想事故自动选择 预想事故自动选择( a u t o m a t i cc o n t i n g e n c ys e l e c t i o n ) 是通过快速的开断潮 流计算分析所有的可能事故( 一台或多台发电机开断，一条或多条线路开断) ， 按每一种可能的预想事故对系统所导致的后果严重程度的顺序，排列出预想事故 一览表。预想事故对系统的影响，用各种行为指标( p e r f o r m a n c ei n d e x ) 来标志。 比较具有代表性的分析方法由快速解耦潮流一次迭代法和分布系数法。 1 3 4 校正对策分析 校正安全分析或校正对策分析，就是通过系统中可控变量的再安排，移去潜 在的( 即因预想事故而引起的) 约束条件越限现象。对安全性提高问题目前常用 的有两种解算方法：灵敏度分析方法和最优化方法。 1 4 本文的主要工作与成果 本硕士学位论文结合电力系统潮流计算中存在的不确定性因素，对电力系统 直流潮流的区间算法，以及考虑不确定性的静态安全分析进行了研究。 本文用区间分析方法，在对电力系统存在的各种不确定性因素做了详细分析 的基础上，建立了计及不确定性的直流潮流区间算法模型，运用区间高斯消去法 求解模型中的区间线性方程组；然后采用直流潮流区间算法的断线模型，得到静 态安全有功功率行为指标的区间，运用本文中制定的区间数比较在大于情况下的 可信度函数对静态安全有功功率行为指标一览表进行排序，得到按事故严重程度 从大到小排序后的一览表。 本文主要完成了以下工作： 1 ) 确定引起电力系统存在不确定性的因素：各线路和变压器参数、母线负 荷需求数值。本论文中主要考虑的是系统母线负荷需求数值的不确定性。 第一章绪论 2 ) 介绍线性方程组的区间扩展形式区间线性方程组，研究其求解方法。 比较现有各种求解区间线性方程组算法的优劣。 3 ) 建立了电力系统直流潮流的区间算法模型。通过与蒙特卡洛仿真法得到 的结果比较，验证该算法的准确性与可行性。 4 ) 采用直流潮流区间算法进行静态安全分析，得到静态安全有功功率行为 指标的区间，并按事故严重程度，对各预想事故的静态安全有功功率行为指标的 区间值从大到小进行排序。 第二章区间分析法及其基本应用 第二章区间分析法及其基本应用 为理解和讨论问题的方便，本章简单介绍一下本论文所涉及的区间数学施2 7 】 的基本知识。 为了清晰起见，在下面的章节中，凡是区间数和区间函数都加了方括号以示 与点值的区分。 2 1 区间分析产生背景 众所周知，计算误差一直是数值分析中一个比较麻烦的问题，它主要来源于 数据误差、截断误差和舍入误差。在大型复杂结构的计算中，由于计算误差的积 累，可能是计算结果失去意义。为使计算结果尽可能精确，人们一直努力控制计 算误差，使计算结果保证在所要求的精度内。然而，数值分析领域中长期的研究 发现，有时我们不仅需要知道近似的计算结果，还需要顾及计算结果的精确度， 即要知道近似结果的误差。正是在解决这个问题的过程中，区间分析法便应运而 生。它最早就是对顾及误差研究而提出的，区间分析法提供了一种简便的方法， 它考虑到各种计算误差，同时，作为计算结果，得到一个包含精确结果的区间， 这就可能实现数值分析所希望结果的问题，即计算机程序能同时计算出两个数 值：近似值和误差界。 尽管b u g a k o v 在1 9 4 6 年就提出采用输入范围预测响应范围的方法，但是并 没有引起人们的注意，直到1 9 6 6 年第一本关于区间分析的专著1 2 8 1 才由m o o r e 编 著问世，它的发展很快，且有着广阔的内容。目前，区间分析法已成为数学领域 中的一个崭新分支，它的研究范围已经扩展到其他许多领域。m o o r e 在他的书中， 奠定了区间分析法的理论基础，文献 2 9 列举了区间分析法在一些领域中的应 用。进入九十年代以来，区间分析已成为数值分析中一个比较活跃的分支，举办 过多次国际会议。 区间分析的两个基本研究领域是1 3 0 ： 1 ) 数值分析中可靠界限的计算； 2 ) 给出问题的为直接的界限。有时我们并不能精确知道一个问题的原始数 据，而知道它包含在给定的界限范围中；有时一个给定物理过程的理论原理并没 有得到完善，但一直近似描述该过程的方程。对于这两种情形，区间数学都能够 第二章区间分析法及其基本应用 给出这些问题的未知解的界限。 目前，概率方法、模糊方法和区间方法是不确定性建模的三种主要方法。其 中最常见的是把结构参数视为随机变量来对问题进行建模与分析，即采用概率方 法。在这种情况下，所有不确定结构参数的联合概率密度函数都应该是已知的。 但是当没有足够的数据来验证这些随机变量( 或相关的函数) 的概率密度的正确 性时，概率方法可能难以可靠地得到满足精度要求的计算结果。采用基于模糊集 理论的方法来描述不确定性时，也需要知道不确定结构参数的隶属度函数。与概 率方法相比较，在很多情况下，确定隶属度函数甚至更为困难，使用者往往不得 不带有很大主观性地选取相应的隶属度函数。这样的分析结构的可靠性也值得怀 疑。在信息不够充分的条件下，描述工程问题不确定性的一种方法就是把这些不 确定的参数视为未知变量，它们在具有一直边界的区间内取值，这就是所谓的区 间分析法。 2 2 区间数及其运算 2 2 1 区间数及其相关定义 定义2 1 对于给定的数对x ，x r ，且兰x ，则 【x 】= 【x ，硝= x r l x x s x _ ( 2 1 ) 称为有界闭区间数，简称区间数。其中x ，x 分别称为区间数【x 】的下端点和上端 点。实数域r 上所有有界闭区间数的集合记为，( 尺) 。 若两个区间数【朋= l x ，x 】和【明= 【弘j ，】相应的端点相等，即兰= y ，x = y 时， 则称此两个区间数相等，记为 x 】【y 】。 若在区间数【x 】= 匦，x 】中，有x = x = x ，则称【x 】= 【兰，x 】为点区间，记为 【x 】- 【x , x 】。因此i ( r ) 是实数系统的扩展。 如果区间数】= 匦，x 】满足兰= ，则称此区间数为对称区间数。 定义2 2 对于任意区间数 x 】- x ，x 】s ( r ) ，定义如下： 1 ) 区间数的中点( 不确定量) ：m i d ( x ) = q + x ) 2 ； 2 ) 区间数的半径：尺耐( 【x 】) = ( x - o 2 ； 3 ) 区间数的宽度：聊d ( 【x 】) = x - x ； 4 ) 区间数的绝对值：i 【x 】| - m a x i z i l x 【x 】 ； 5 ) 区间数的上确界s u p ( x 】) = x ，下确界i n f ( x 】) = 兰。 第二章区间分析法及其基本应用 2 2 2 区间运算及其相关性质 定义2 3 对于任意区间数i x 】= f x ，x 】和 y 】- - _ y ，y 】，其区间四则运算法则定 义如下： x + y = 【x + y ，x + y 】 ( 2 2 ) 一 一 x - y = 【卜y ，卜纠 ( 2 3 ) 一 一 x 木y = 【m i n ( x * y ，矿y ，矿y ，矿少) ，m a x ( x 宰y ，矿y ，y ，妒y ) 】 ( 2 4 ) 一 一 一 一 一 一 一 一 x y = 【x ，x 】宰1 1 y ，1 y 】，且0 叠y ( 2 5 ) 当0 y 时的除法尚未定义。 显然，区间四则运算满足实数四则运算的一些代数性质，例如，相加、相乘 的结合律和交换律。然而分配律不总是成立的，一般情况下，不成立等式 x j ( t r j + 【z 】) = f 。y 】【】，】十l y 】f 。r 】 z 】 ( 2 6 ) 但下面的包含关系成立： 【x 】( 【明+ 【z 】) 【x 】【卅+ 【x 】【x 】【z 】 ( 2 7 ) 这里的记号“是包含关系，【朋【y 】是指j ，x x y ，即区间数 明包含区 间数【x 】，式( 2 7 ) 通常称为次分配律，这是区间运算所特有的性质。 但是亦存在使分配律成立的例子： 1 ) 设区间数 x l ，i t ，【卅i ( r ) ，其中【x 】为点区间，则成立 【y 】( 【】，】+ 【，】) = x 】f 】，】+ 【y 】【，】 ( 2 8 ) 2 ) 若区间数i x ，j r ，【卅i ( r ) 为对称区间，则式( 2 6 ) 成立 3 ) 设i x 】_ 匦，x 】，【y 】_ y ，y 】，如果成立 工 z 由定义知i x 】 y ，则有【r l 0 ，则式( 2 6 ) 成立。 定义2 4 两区间数i x 】= i x ，叫和【y 1 = y ，y 】相交，若x y 或y x 成立，则 得到空集，即 x 】n 【y 】= 。否则，得到的仍是区间数，这时 【x n r 】= 【m a x y ) ，m i n ( x ，力】 ( 2 9 ) 如果两区间数的交集是非空集，两区间的并运算得到的仍是一区间数 【x u r 】- 【m i n 乜，力，m a x ( x ，y ) 】 ( 2 1 0 ) 显然，【x 】【y 】，【x 】【明，【x r 】，【x 】r 、【川， x w r 】i ( r ) 。 通过以上的讨论，可知区间运算是封闭的，而对于区间的集合运算也是封闭 的，但它们的代数性质与点值得代数性质还是有区别的，由于这种差别以及区间 第二章区间分析法及其基本应用 运算的其他特殊性质，在进行区间运算时，下面几个表达式要特别注意： 【x 卜【x 】0 【x l l x 】l0 引x 】 【x 】【x 】( x 】) 2 2 3 区间向量与区间矩阵 定义2 5 设 z 】_ k ，x ，】，( r ) ( f = l ，刀) ，则称 x = i x i ，x l 】 p 2 ，x 2 】 k 。，x 。】 x ，】 ：】 为区间向量。它是r ”中的一个”维长方体，所有r ”上的区间向量所构成的集合 记为z ( r ”) 。 定义2 6 设x = f x ，x 】i ( r ”) ，则称 m i d ( x ) = ( + x ) 2 和 r a d ( x ) = ( x 一) 2 分别为区间向量x 的中点和半径，其中 x = ( 工l ，x 2 ，x 。) 。 和 x = ( x i ，x 2 ，x 。) 。 定义2 7 如果刀2 个元素均为实区间数 口，】= 【口矿，a 】，( r ) ，则由此刀2 个元 素构成的”刀矩阵 a = ( p 扩】) = 【a i i 】【a 1 2 】 a i 。】 【a 2 i 】【a 2 2 】【口2 。】 【a 耐】陋。2 】【a 。】 称为区间矩阵。所有r “”上的区间矩阵所构成的集合记为i ( r ) 。 定义2 8 设彳= ( 【口口】) = ( 陋 ，a 口】) i ( r 棚) ，则称 m i d ( a ) = 也+ 彳) 2 和 r a d ( a ) = ( 彳一少2 分别为区间矩阵彳的中点和半径。其中 第二章区间分析法及其基本应用 和 4 = ( 口驴) = 彳= ( 口盯) = 2 4 实函数的区间扩展 口i ia 1 2 口2 l0 2 2 口 l口h 2 - i 拉2 nl l i i 口。l 定义2 9 设f ：r ”_ r ，如果存在区间值映射i f 】：j ( r ”) 专i ( r ) ，它对任意 z ， 墨】“= l ，刀) ，成立 f i ( x l ，x l 】，【x 。，z 。】) = f ( x l ，x n ) 则称旧是函数的区间扩展。显然【f ( x 】) 】是一个以区间向量 【x 】= ( 【x 。】， x 。】) 丁为变量而取值是区间数的函数。 定义2 1 0 设f ：i ( r ”) 专z ( r ) ，而【棚，【y 】z ( r ”) 且满足【加【明，如果 成立 f ( f 戈】) f ( 【明) 则称区间值映射f 具有包含单调性。 引理： 若【f i ( x d 是厂的具有包含单调性的区间扩展，则厂的值域 ( 【柳) c 【用( 【x 】) ，且存在区间值函数e ( x 】) 使 耽d ( 旷】( 】) ) = 删( 厂( x 】) ) + 聊d ( e ( 【x 】) ) 称臃d ( e ( 瞵】) ) 为厂( 】) 的超宽度( c x c c s sw i d t h ) 。 容易证明，区间的四则运算具有包含单调性。若f 为有理区闯函数，则f 的这种包含单调性同样成立。原因是任何一个有理区间函数，总是由有限个区间 的四则运算组合而成。就厂的值域与其扩展，之间的关系而言，下面的结论总是 成立的：如果区间值函数f 是实值函数厂的具有包含关系单调性的区间扩展，则 必有包含关系 杪( x l ，x 。) iv x ，【x ，】，f = l ，刀j 互f ( 【x l 】，【x 。】) 以上结论表明，厂的区间扩展f 具有包含单调性，则厂的值域的上下界就可 以通过计算f ( x 】) 近似求得。当然，这里存在一个误差问题，就是f ( 【x 】) 与定 一一一 第二章区间分析法及其基本应用 义在 x 】上的厂的值域差别多大，这个问题自六十年代以来一直是“区间分析 的一个重点，到目前为止，仍没有得到完全解决，但有些结论还是很有价值的。 下面列举了一些结论： 1 ) 一般来说，如果在函数f ( x l ，一，x 。) 的表达式中，每个自变量只出现一次， 则成立 l 厂( x l ，x 。) i v x ，【x ，】，f = l ，以j = f ( 【x l 】，【x 。】) 2 ) 利用次分配律尽量先加减后乘除。例如，对区间多项式 【a o 】+ f 彳i z 】+ 【彳2 】f 义】f x 】+ + f 4 。】f x 】 x 】【x 】 可按 【a 。】+ ( 【彳】+ + ( 【么。一。】+ 彳。】) 【x 】) 【x 】 进行计算。 在区间多项式f ( f ) 中，将变量r 换成区间 a s b 就可以计算f ( 口，6 】) ，由此可 以为含在f ( t ) 中所有的函数定界。计算过程中通过数值上对一个区间的左端点向 下舍入、右端点向上舍入的方法，使所得区间包含定义所规定的精确结果，这就 是所谓的舍入区间运算。这一性质在计算检验算子方程解的存在性和收敛性以及 提供界的误差方面是十分有用的【3 1 j 。 2 5 区间数学的应用 目前，区间数学在优化方面的应用取得了很大成功，应用区间分析方法， b m a c h e s t 和r k r a w c z y k 先后结合单纯形法解线性规划问题，r d u s s e l 讨论了 凸规划问题，s m ，r o b i n s o n 讨论了非线性规划问题1 3 2 1 。在国内，刘蕴华等探 讨了一类求总体极值的区间方法【3 3 】，张乃良、王海鹰和刘蕴华等在多自由度体系 固有频率的区间牛顿法、非线性规划的区间方法等方面取得了一定的成果p 引。 此外，在文 3 4 】中，还介绍了一种由于输入不确定性而弓l 起的外部荷载有限 元分析方法。k n i c k e l 介绍了一种用有限元方法求解两点边界处置问题的解的 边界的构造。文 3 5 3 6 1 中，介绍了一种用区间变量描述不确定性参数的结构位 移的估计方法。 区间数学在优化方面己取得了很大的成功，但对于区间线性方程组的求解仍 缺乏一种行之有效的方法，尚需进一步的研究，本文则对这个问题进行了进一步 的研究，并取得了一定程度的成果。而将区间数学应用到有限元计算分析中，则 为不确定性分析提供了一种新的思路，这也是区间数学优待与发展的一个新的方 向。 第二章区间分析法及其基本应用 2 6 小结 本章首先介绍了区间数学的产生背景以及现在的发展情况，然后简单介绍了 区间数学的基本概念和理论。通过对区间数学基本概念和理论的介绍，可以得知， 区间变量描述的是一定范围内的数，在实际工程中，可以根据部分实测资料或专 家经验确定出不确定性结构参数的区间范围，然后应用区间数学进行分析。 第三章电力系统直流潮流的区间算法 3 1 引言 第三章电力系统直流潮流的区间算法 在配电系统中，由于配电网是辐射型结构，采用前推回推潮流算法时，可以 通过将传统的加减乘除四则运算用区间数的加减乘除运算来替代，从而实现配电 网的区间潮流计算方法l m 6 1 。而且，区间方法在大规模配电系统的应用也不成问 题。然而对高压输电网来说，一般是多环结构，输电网潮流方程求解属大规模非 线性方程组解决的问题，直接用区间数运算替代一般的四则运算来实现区间潮流 计算是行不通的。文献 4 采用区间牛顿算子将区间非线性方程组线性化，然后 采用区间高斯塞德尔法来求解线性化后得到的区间线性方程组。但没有解决区间 方法在大规模系统的应用所面临的困难，因而只提供了该算法对一个5 节点系统 的应用实例，且所得结果显得过于保守，跟实际相差较远。 区间方法在大规模输电系统的应用是一个比较困难的问题。本章从易到难， 首先从电力系统中应用比较广泛的直流潮流算法的区间方法实现开始。电力系统 的直流潮流算法采用近似的数学模型，虽然不是精确的潮流算法，但它的计算速 度快，特别适合于安全分析中的大量预想事故筛选。本章将区间分析法应用于求 解不确定情况下的输电系统直流潮流问题，采用区间高斯消去法求解区间线性方 程组，得到节点电压相角和支路有功功率的上下限，并与蒙特卡罗仿真的结果做 了比较。 3 2 直流潮流模型 传统的电力系统潮流计算大都采用精确的非线性交流模型，所得结果虽然精 确，但耗时较长。而在有些场合，如系统规划设计和大量的预想事故筛选等，在 计算精度和速度这一对矛盾中，后者占了主导地位，因此就产生了采用近似模型 的直流法潮i j f c 【3 弼9 1 ，其计算速度在所有潮流算法中最快。 第三章电力系统直流潮流的区间算法 土g 自地 图3 1 交流支路的等值电路 对于支路( f ，) ，如果忽略其并联支路，例如忽略线路充电电容或非标准变 比变压器支路的等值并联支路，则支路的有功潮流方程可写成： 弓= ( 印一u q c o s 岛) 岛一v s i n 9 扩b , j ( 3 1 ) 图3 1 中，6 f d 、咖、勖、6 l 分别为交流支路的f 端对地电纳、，端对地电纳以及支 路电导和电纳。 在直流潮流法中，我们采取如下的假定： ( 1 ) 对于支路( f ，歹) ，i g o l b o - i ，可以忽略其并联支路，并有 b ；= 一1 x 玎 ( 3 2 ) ( 2 ) 根据电力系统运行的特点，节点电压在额定电压附近，支路两端相角 岛及研的差值很小，超高压电力网线路电阻比电抗小很多。因此，可作如下假设， 即： r , j 2 0( 3 4 ) ( 3 ) 忽略所有对地支路及变压器非标准变比的影响，即b i 。= b l o = 0 ( 4 ) 巧= 巧= l 于是支路潮流可写为： 弓兰也( 谚一e ) = ( 谚一够) 勃 ( 3 5 ) 和 级兰0 ( 3 6 ) 这样，式( 3 1 ) 的非线性有功潮流方程就变成了式( 3 9 ) 的线性直流潮流方程。 如果用导纳阵的互导玩表示，节点f 的注入有功功率等于与节点相关支路功 率之和，即 z = 巴= _ 毛 一嘭) 】= 岛( 谚一嘭) ( 3 7 ) ) ，j3 巳 一 只 l i i 巳 一 只 n 豇 = l i l 吼嘭 咖 啷 和 第三章电力系统直流潮流的区间算法 色= 也 ( 3 8 ) 这样，用矩阵形式表达，就得到1 i 节点电力系统的直流潮流数学模型 p s e = b n 0 ( 3 9 ) 式( 3 9 ) 中，尸舻，秒都是行维列向量。 由于直流电流流过电阻不产生电流损耗，即对支路( f ，) 有弓+ 巴= 0 ，由基 尔霍夫电流定律有： 只= o i = l 或 n - 1 只= 一只 i = l 可以看出，不独立，由另外r 1 个有功功率( 电流) 的代数和表示。另外， 托个相角变量中有一个应事先给定，选为参考点，令节点刀的相角见= 0 。给定 量尸卵和待求量口都减少一个对应节点，l 的分量，于是鼠中应划掉节点n 所