（运筹学与控制论专业论文）随机阻尼sinegordon方程的动力学行为.pdf

上海师范大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本文旨在考虑具有齐次j q e u m a n n 边界条件的随机阻尼s i n e g o r d o n 方程的解的渐近行 为主要研究随机吸引子的存在性及其结构问题 首先证明，对任意正阻尼系数和耗散系数，方程的解确定的随机动力系统存在唯一的随 机吸引子，并且这个吸引子吸引相空间中所有的拟缓增随机集但是由于无法控制方程的 解关于空间变量的均值，方程的随机吸引子是在广义意义下存在的，即该随机吸引子具有 不变性和吸引性，但没有紧性事实上，当与方程相对应的环面上的方程存在随机吸引子时， 该方程的随机吸引子存在 其次，通过考虑相应于零特征值的不变流形及其稳定叶层结构，证明了当阻尼系数和耗 散系数充分大时，方程的随机吸引子是一维的，并且是一条随机水平曲线，并且随机吸引子 的这种结构与噪音的强度无关因此，方程的动力系统的行为不是混沌的 最后，利用随机概率测度及遍历论的相关理论，在阻尼系数和耗散系数充分大的条件 下，给出了方程的旋转数的存在性，这说明方程的解最终按照相同的频率振荡，也即所谓的 频率锁定得以实现 关键词：随机阻尼s i n e g o r d o n 方程；随机水平曲线；一维随机吸引子；旋转数；频率锁定 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es t o c h a s t i cd a m p e ds i n e g o r d o ne q u a t i o nw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n m o r ep r e c i s e l y , t h ee x i s t e n c e o fr a n d o ma t t r a c t o ra n di t ss t r u c t u r e i ti ss h o w nf i r s tt h a tf o ra n yp o s i t i v ed a m p i n ga n dd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t s ，t h er a n d o md y n a m - i c a ls y s t e md e t e r m i n e db yt h ee q u a t i o np o s s e s s e sau n i q u er a n d o ma t t r a c t o r , w h i c ha t t r a c t sa l l p s e u d o - t e m p e r e dr a n d o ms e t si nt h ep h a s es p a c e ，i nag e n e r a ls e n s eb e c a u s eo ft h eu n c o n t r o l l e d s p a c ea v e r a g eo ft h es o l u t i o n s m o r ep r e c i s e l y , t h ee q u a t i o nh a sa r a n d o ma t t r a c t o rw h e ni t s c o r r e s p o n d i n ge q u a t i o no nt o r a sh a sa r a n d o ma t t r a c t o r m o r e o v e r , b ys t u d y i n gt h ei n v a r i a n tm a n i f o l dc o r r e s p o n d i n gt ot h ez e r oe i g e n v a l u ea n di t s s t a b l ef o l i a t i o n s ，w es h o wt h a tw h e nt h ed a m p i n ga n dd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t sa r es u f f i c i e n t l yl a r g e ， t h er a n d o ma t t r a c t o ri sao n e - d i m e n s i o n a lr a n d o mh o r i z o n t a lc u r v er e g a r d l e s so ft h es t r e n g t ho f n o i s e h e n c ei t sd y n a m i c si sn o tc h a o t i c f i n a l l y , i ti sa l s os h o w nb yu s i n gr e l a t e dt h e o r yo fr a n d o mp r o b a b i l i t ym e a s u r ea n de r g e d i c t h e o r yt h a tt h ee q u a t i o nh a sa r o t a t i o nn u m b e rp r o v i d e dt h a tt h ed a m p i n ga n dd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t s a l es u f f i c i e n t l yl a r g e ，w h i c hi m p l i e st h a tt h es o l u t i o n st e n dt oo s c i l l a t ew i t ht h es a m ef r e q u e n c y e v e n t u a l l ya n dt h es oc a l l e df r e q u e n c yl o c k i n gi ss u c c e s s f u l k e yw o r d s ： s t o c h a s t i cd a m p e ds i n e g o r d o ne q u a t i o n ；r a n d o mh o r i z o n t a lc u r v e ；o n e d i m e n s i o n a lr a n d o ma t t r a c t o r ；r o t a t i o nn u m b e r ；f r e q u e n c yl o c k i n g 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：日期： 论文使用授权声明 - ) 秒io s ，彳 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名： f ，f 名 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 第一章前言 1 1 b r o w n 运动与随机微分方程 b r o w n 运动最初最为对水中花粉颗粒的无规则运动的描述，它的发展离不开b a c h e l i e r , e i n s t e i n ，s m o l u h o w s k i ，o r n s t e i n ，p l a n c k ，l a n g e v i n ，w i e n e r , l e v y 等众多科学家的贡献，文 献【3 9 】较详细地描述t b r o w n 运动的发展历史。作为一类特殊的随机过程，b r o w n 运动的重 要性不言而喻，有关b r o w n 运动的文献和书籍也数不胜数( 参考【6 ，2 2 ，2 5 ，2 6 ，3 4 等) ，它的应 用也遍及物理，化学，生物，金融等各个领域，其中最为著名的莫过于m e r t o n 和s c h o l e s 将其 应用到经济模型中，从而获得了n o b e l 经济学奖下面简单介绍一下b r o w n 运动的数学描述 及与其相关的随机微分方程这里只考虑一维的情况，对于多维的，甚至是无穷维的，参 考 1 6 ，4 0 ，4 3 ，5 9 等 定义1 1 1 ：定义在某个概率空间( q ，只p ) 上的随机过程w = ( ) ，t o 称作相对于代 数流( 五) t o 的b r o w n 运动如果满足以下条件： ( 1 ) 对每个t 0 ，( t ) 是五可测随机变量； ( 2 ) 对0 s o 使得 d ) c t x ：i i u 一让o l l x r ( u ) ，0 , 3 q 成立，那么随机集h 刁) 称为是有界的 ( 2 ) 若对p - a s u q ， 1 i r ae 一彤s u p l l b l l x ：b d ( 8 一t u ) ) = 0 ， p 0 ， l 则称随机集uhd p ) 是缓增的 ( 3 ) 若对任意的缓增随机集uhd p ) ，存在t o ) o 使得 垆( t ，9 一t o ) ，d ( 8 一t “，) ) c 口( u ) ，t 钿( u ) ，u q 成立，那么随机集u b ) 称为随机吸收集 ( 4 ) 若对任意的缓增随机集hd ( u ) ，有 1 i r ad h ( 妒( ，8 - t 甜，d ( 8 一t ) ) ，b i ( u ) ) = 0 ， 彬q ， 则称uhb 1 ) 是随机吸引集 ( 5 ) 随机紧吸引知ha 0 ) 若满足妒( t ，u ，a ) ) = a ( t g t w ) ，u q ，t 0 ，则称为随机吸引 子 定理1 2 3 ：设妒是( q ，f ，p ，( 。r ) 上的连续随机动力系统如果妒具有一个缓增随机紧集， 那么妒具有唯一的随机吸引子uha ) ，满足 a ( u ) = n u 妒( 丁，p r u ，b 1 ( p r u ) ) ，u q t o r 2 t 证明：参考【11 ，定理1 8 1 】 1 3 随机概率测度 本节为第4 章中证明斜积半流的不变测度的存在性给出一些关于随机概率测度的基 础知识，参考【1 ，1 2 1 沿用1 2 中的记号，x 是可分i - i i l b e r t 空间，b ( x ) 是) ( 上的b o r e l 伊代数， ( q ，p ) 是一概率空间 定义1 3 1 ：若映照 p ( ) ：8 ( x ) q 一【0 ，1 】，( b ，u ) h 儿( b ) s 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 对任意b 召( x ) ，uh ( b ) 是可测的，并且对p - a su q ，( ) 是x 上概率测度，那么就 称它为x 上的随机概率测度，记为uh 触并记空间( x ) 为x 上的随机概率测度全体 记映照知：xxq _ q 为x xq 到q 的标准投影，空间p r ( xxq ) 为x q 上的概率测 度全体若p 尸r ( x q ) 并且和p = p ，那么就称乘积测度p 具有边际测度p ，其中砌p 表示 由丌n 诱导的q 上的测度，定义为( 7 r n p ) ( b ) = p ( 7 r 矗1 b ) ，b 尹记 p r p ( xxq ) = p 尸r ( xxq ) ：r n z = p ) 由【1 2 ，命题3 3 】知，对任意h p 豫( x ) ，映照 p ：b ( x ) 圆芦_ 0 ，1 】，ah 1 a ( x ，u ) 饥( z ) 皿) 是xxq 上的概率测度，并且丌n p = p ，即弘p r r ( xxq ) 反之，由【1 2 ，命题3 6 】知，对任 意p p r r ( xxq ) ，存在p - a s u q 唯叫h 儿p r n ( x ) 使得 上qh ( x , 0 9 ) 咖( z ，u ) = 上上 ( z ，u ) 札( z ) 四( u )j x x nj nj x 对任意有界可测函数h ：x q _ r 成立因此，若把p a s u q 相同的x 上的随机概率测 度看成是一样的，那么p ( x ) 和p r p ( xxq ) 是两个同构的凸集，并且这个同构保持凸结构 回忆，若( b ) ) = 1 ，p - a s u q ，那么就称随机集u b ( u ) 支撑随机概率测 度uh ( 或uh 儿被“，hb ( u ) 支撑) 此外，uh 儿p r n ( x ) 是妒的不变测度，如果相关 的p p r p ( xxq ) 是( e ) t o 一不变的，c o o f p = p ，t 0 并且，uh 关于妒是遍历的，若相 应的p 关于( e 。) 。 o 是遍历的 本文会用到以下定理 定理1 3 2 ：设hb ) 是紧随机集 ( 1 ) 若hb p ) 是妒的正向不变集，并且p - a su q ，b ) d ，那么存在被uhb ) 支 撑的妒的不变测度 ( 2 ) 集合 p 一p r n ( x ) ：。h 枇hb ) 支撑并且是汐的不变测度 的每一个端点都是遍历的 证明：参考 1 2 ，推论6 1 3 ，引理6 1 9 6 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 1 4阻尼s i n e g o r d o n 方程 s i n e g o r d o n 方程是描述连续j o s e p h o s n 节的数学模型( 参考【3 1 】) ，一般具有如下形式 + a u t k a u + s i n u = f ( 1 4 3 ) 它早已被广泛的研究( 参考【4 】，【5 】， 7 1 ，【1 7 】， 2 0 1 ，【2 1 】，【2 3 】，【2 8 】，【3 l 】，【3 8 】，【4 8 】，【4 9 】， 5 2 1 ， 【5 4 1 ，【5 5 1 等) 诸如次调和分支，混沌行为等各种有趣的动力学想法在有阻尼的s i n e g o r d o n 方程上得到证实( 参考【4 ，5 ，3 8 等) 注意到，对于耗散系统，有趣的动力学行为发生在 它们的全局吸引子上( 如果存在) 因此，研究阻尼s i n e g o r d o n 方程全局吸引子的存在性及其 结构维数是很有意义的 我们知道，具有各种边界的确定性的阻尼s i n e g o r d o n ，j 程存在有限维的全局吸引子( 参 考【2 3 ，2 4 ，5 0 ，5 2 ，5 4 ，5 5 】等) 此外，吸引子维数的一些上界估计在【2 3 ，5 2 ，5 4 ，5 5 1 等中给 出在 4 9 ，5 0 1 中，在n e u r n a n n 边界条件下证明了，当阻尼系数适当大时，广义意义下的全局 吸引子( 满足不变性和吸引性，但不是紧的) 的维数是一维的，正好说明了阻尼系数适当大 的s i n e - g o r d o n 方程的动力学行为不是混沌的 最近，有一些关于随机阻尼s i n e g o r d o n 方程的随机吸引子的存在性的研究( 参考【7 ， 2 0 , 2 1 1 ) 例如，作者在【2 0 】中证明了在d i r i c h l e t 边界条件下，具有可加白噪音的阻尼s i n e g o r d o n 方程存在有限维的随机吸引子然而，已有的工作只是关于具有d i r i c h l e t ：i 2 界条件的 随机阻尼s i n e g o r d o n 方程具有n e u m a n n 边界条件的情况在物理上更有意义因此，研究具 有n e u m a n n 边界条件的随机阻尼s i n e - g o r d o n 方程的随机吸引子的存在性及其结构是很重 要的 最后，应当指出具有形式( 1 4 3 ) 的各种系统的动力学行为都被研究过例如，对于常微 分方程，有【4 纠8 】；对于偏微分方程，有 4 9 ，5 0 】；对于随机( 具有随机参数的) 常微分方程， 有【9 ，4 4 ，5 1 在以上文献中，主要研究的两个问题是吸引子的结构和频率锁定现象例如， 在【5 l 】中，研究了一类具有噪音的非线性振子系统，证明了随机吸引子是一族水平曲线及旋 转数的存在性这两个问题也是本文研究具确- n e u r n a r m 边界条件的随机阻尼s i n e g o r d o n 方 程的主要问题，因此为本文的写作提供了一些启发和参考 1 5 主要工作和内容组织 本文在第一章首先给出一些必要的基础知识，其中包括b r o w n 运动及有b r o w n 运动驱 动的随机微分方程，随机动力系统的基础理论以及随机概率测度的相关知识然后就阻 尼s i n e g o r d o n 方程，给出了一些已有的结果，及对本文的写作有启发性的一些结果 7 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 第二，三和四章是本文的主体部分，考虑如下具有齐洳q e u m a n n 边界条件的随机阻 尼s i n e - g o r d o n 方程的动力学行为 ， m l 妣+ a d u + ( - k a u + s i n u ) d t = f d t + h j d w j ，( z ，t ) u r + ， 列 ( 1 5 54 ) 【象- 0 ( 叫) a u 时 第二章首先给出了关于问题( 1 5 4 ) 的基本设定，进而证明t ( 1 5 4 ) 在广义意义下存在随 机吸引子，即该随机吸引子具有不变性和吸引性，但它本身不是随机紧集 第三章考虑( 1 5 4 ) 的随机吸引子的结构司题在阻尼系数和耗散系数充分大的条件下， 证明了( 1 5 4 ) 的随机吸引子是一维的，并且是一条随机水平曲线，所以( 1 5 4 ) 的动力学行为 不是混乱的 第四章考虑( 1 5 4 ) 的旋转数问题在阻尼系数和耗散系数充分大的条件下，证明存在方 程( 1 5 4 ) 的旋转数，从而说明方程的解最终按照相同的频率振荡 本文的主要结果已发表在j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 4 8 ( 2 0 1 0 ) ，1 4 3 2 1 4 5 7 8 上海师范大学硕士学位论文第二章随机吸引子的存在性 第二章随机吸引子的存在性 设( q ，厂，p ) 是概率空间，其中 2 1 准备工作 q = u = ( 忧，0 1 2 ，t o r n ) c ( r ，r 讥) ：u ( o ) = o ) ， q 上的b o r e l 盯代数厂由紧开拓扑生成( 参考【l ，附录a 】) ，p 是歹上的w i e n e r 澳4 度定义q 上的 转移映照族( 0 d t r ： 巩u ( ) = u ( + t ) 一“，( t ) ，t r 于是，( q ，厂，p ，( 巩) 。r ) 成为遍历的度量动力系统 考虑如下具有有限可加白噪音的随机阻尼s i n e - g o r d o n 方程： m d v k + a d u + ( - k a u + s i n u ) d t = f d t + h j d w j ，( z ，亡) u r + ， ( 2 1 1 ) 具有齐次n e u m a n n 边界条件 蒙= o ，( 础) o u r + ( 2 1 2 ) 其中uc 渺是具有光滑边界a u 的有界开集，t = 牡( z ，t ) ，z u ，t 0 是实值 函数，q 0 ，k o f f 别为阻尼系数和耗散系数，f h 1 ( u ) ，吩h 2 ( 妙) 并 且筹i a u = 0 ，j = 1 ，m ，以及 嵋 饕l 是( q ，歹，1 f b ) 独立的双边实值w r e i n e r 过程这里 把叫( ) 和( ( t ) ，w 2 ( t ) ，w i n ( t ) ) 看作是一样的，即， u ( t ) = ( 矾( 舌) ，( 芒) ，( ) ) ，t r 接下来给出关于( 2 。1 1 ) ( 2 1 2 ) 的基本设定，证明它的解生成一个连续随机动力系统定 义无界算子 a ：d ( a ) 三ueh 2 ( u ) ：篆i 鲫= o ) _ 三2 ( v ) ，让h k a u ( 2 1 3 ) 显然地，4 是自伴非负定算子，它的谱只包括非负特征值，记为九，满足 0 = 知 o 此外，令p ( t ，y ) ：= f ( o t w ，y ) ，易证f u ( ，) ：r + e _ e 对任意q 关于t 连续，关于y 全局l i p s c h i t z 连续由微分方程解的存在唯一性的经典理 论，得到( 参考 4 1 ，5 2 1 ) 上海师范大学硕士学位论文 第二章随机吸引子的存在性 定理2 1 1 ：考虑( 2 1 7 ) 对任意u q 和k e ，存在唯一的y ( ，u ，k ) 6c ( 【0 ，+ o o ) ；e ) 使 得y ( 0 ，。，碥) = 碥以及y ( t ，y o ) 满足如下积分方程 ，t y ( t ，u ，碥) = e c t i o + e c ( 一8 ) f ( 以u ，y ( s ，u ，y o ) ) d s ( 2 1 8 ) j o 此外，如果碥6d ( c ) ，那么存在y ( ，u ，碥) c ( 【o ，+ 。) ；d ( c ) ) nc 1 ( ( 取+ ，+ o 。) ；e ) 满 足( 2 1 8 ) 并且y ( t ，y o ) 关于t 和砀二元连续，可测于是，y ：旷qxe _ e ( 或强旷x q d ( c ) _ d ( c ) ) 是一个连续动力系统 定义映照：珏旷xq e _ e ( 或r + q d ( c ) 一d ( c ) ) ， 咖( t ，u ，加) = y ( t ，y o ( u ) ) + ( 0 ，z ( 口t ) ) 。， ( 2 1 9 ) 其中如= ( 咖，t 1 ) t ，y 0 0 ) = ( 咖，u l 一名0 ) ) t 易知，是由问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 生成 的e ( 或d ( c ) ) 上的连续随机动力系统 刚定义的连续随机动力系统具有如下重要性质 引理2 1 2 ：设册= ( 2 7 r ，o ) t ( 2 1 8 ) 中的随机动力系统y 鼢一平移不变的，即 y ( t ，u ，碥十娜) = y ( t ，u ，k ) + p o ，t 0 ，u q ，y o e 证明：因为= 0 ，f ( t ，u ，y ) 关于y 勘? 周期的，y ( t ，u ，y o ) + p o 是( 2 1 7 ) 具有初值k + 如的 解于是，y ( t ，u ，) + p o = y ( t ，u ，碥+ p o ) 2 2 等价范数及技术引理 注意到，当q _ + o 。时，p _ 0 ，这会导致一些困难为了克服它们，引进e 上的一 个新范数，它与( 2 1 5 ) 中定义的范数1 1 日t 驴等价这里只给出关于这个新范数的一些 结果，关于细节可参考【5 0 】因为c 至少有两个实特征值0 和一q ，相应的特征向量分别 为7 o = ( 1 ，o ) t 和叩一1 = ( 1 ，一a ) t 令毋= s p 觚 伽 ，五l l = s p 柚 耻1 ) 及e n = e l + 五l 1 对 任意u6l 2 ( u ) ，定义面= 南丘，t ( z ) 如，即，u 的空间均值，再令l 2 ( u ) = i t6l 2 ( u ) ：面= o ) ， 雷1 ( 矽) = h 1 ( u ) n 三2 ( ) 以及五汤= 扈1 ( 矽) 三2 ( ) 易见，e = 蜀1o 互和蜀是d 不变的 现分别定义易l 和五汤上的双线性形式对m = 他，) t6 晶l ，i = 1 ，2 ，令 ( h ，k ) e ，= 筹( t 1 ，t 2 ) + ( 詈让l + t ，1 ，善地+ 现) ， ( 2 2 1 0 ) 其中( ，) 是l 2 ( u ) 上的内积，并对k = ( 讹，仇) t6 如，i = 1 ，2 ，令 ( m ，k ) e 2 。= 似u 1 ，a u 2 ) + ( 等一6 a 1 ) 缸1 ，t 2 ) + ( 詈u 1 + 移- ，詈u 2 + 忱) ， ( 2 2 1 1 ) 第二章随机吸引子的存在性上海师范大学硕士学位论文 其中a = 厕( 关于a 的定义，参考( 2 1 3 ) ) ，艿( o ，1 】由p o i n c a r 6 不等式 0 a i l 训| 2 a 1 i l u l l 2 ，v u 膏1 ( c ，) ， ( 2 2 1 1 ) 是正定的注意到，对任意y e ，少= l y ( z ) d x 置1 y f - g y 一穸如，于是定义 ( 2 ) ( 2 2 1 2 ) 是e 上的内积，且相应的范数i i 1 i e 与( 2 1 5 ) 中定义的范数i | i i - t l z 等价，其中 l l y l i e2 ( 薏i | 训1 2 + l i 詈u + 口1 1 2 + l i a 5 ( u 一面) 1 1 2 6 入i l 乱- l 面f 1 2 ) 5 ( 2 2 1 3 ) = ( 知1 1 2 + l i e u + v i l 2 + i i a u i l 2 棚，i l u - - 1 1 2 ) 砉， 引理2 2 2 ：( 1 ) x e i 任意y d ( c ) f l 易，有( c vy ) e - a l l y i l 刍，其中 口= 詈一 料 1 5 ) ( 2 2 1 5 口2i l i 一f i 。 由象e q y = e c t c y = o 知e 优y = e c o y = y 所以，d ( a ) f 3 匠在毋中的稠密性，e c t y = y ， e - e l i r ( w ) r ( o ：o ) e , i i r ( u ) ，t r ，u q ( 2 2 1 7 ) 上海师范大学硕士学位论文第二章随机吸引子的存在性 证明：对歹 1 ，2 ，m ) ，因为i 乃( ) i 是缓增的并且映照thi n i 勺( 巩) i 是p - a s 连续的， 由【l ，命题4 3 3 】知，对任意勺 0 ，存在缓增随机变量乃( 畸) o 使得 南i z j ( o j ) l 吩( 哟) ， 其中吩( ) 对p - a s u q 满足 e 一勺m 巧( ) 勺( 吼“) e 勺乃( “台) ，t r ( 2 2 1 8 ) 令e l = e 2 = = f m = ，得到 i i z ( e ) l l i 巧( 以屿) i i i m i 勺( 以o , 了) l l h j l lse e i t l , j ( o - j ) l l h j l l j = lj = 1j = 1 再令r p ) = 凳1r j ( u j ) l l h j l l ，( 2 2 1 6 ) 成立，( 2 2 1 7 ) f l ( 2 2 1 8 ) 易得 推论2 2 4 ：对任意c 0 ，存在缓增随机变量r ，：qh 珏旷使得 0 a 名( 巩u ) 0 e , i 。i r ( u ) ，t r ，u q ， 其中，0 ) = 銎1 ( 屿) 0 a b0 满足 e 一忙i r 7 ( ) ，( 巩) e 4 l ，( u ) ，t r ，u q 推论2 2 5 ：对任意e 0 ，存在缓增随机变量r ，：qhr + 使得 a z ( o t u ) l i e l i r ( u ) ，t r ，u q 其中，p ) = 凳。吩( 屿) l l a i l 满足 e - e l 。i r ( ) r ( 仇) e f 陋i r ( u ) ，t r ，u q 2 3 随机吸引子 这一节证明随机吸引子的存在性设矶= 2 7 r ，7 ；d = ( 2 7 r ，o ) t 毋，6 ( 0 ，1 】使得口 0 ，其 c a 在( 2 。2 1 5 ) 中给出在这一节末将会说明这样的6 总是存在的 空间d ( c ) 被赋予图范数， l w i i ；= l i y i i e + l t c y i i e ，y d ( 1 3 第二章随机吸引子的存在性 上海师范大学硕士学位论文 因为c 是闭算子，d ( e ) 在图范数意义下是b 锄a c h 空间把( d ( c ) ，0 雌) 记为巨并令岛= e n 易，岛= en 赐 由引理2 1 2 及算子c 有一个零特征值，定义由y 诱导的环面上的随机动力系统y 那么 由y 在岛上的耗散性，就能证明y 具有随机吸引子于是，可以说y 具有一个无界随机吸引 子接下来定义y 令t 1 = e 1 p o z 及e = t 1 e 2 对于y o e ，以y o ：= y o ( 仃w d p o ) = y o + p o zce 表 示的等价类，它是e 中的一个元素e 上的范数为商范数，即 i i y o l i e = 虫l 1 1 + v i l e 注意到，由引理2 1 2 ，y ( t ，u ，k + k p o ) = y ( t ，u ，y o ) + 慨，v k z ，t 0 ，u q 以及e 由这些，定义映照y ：r + qxe _ e ， y ( t ，y o ) = y ( t ，u ，y o ) ( m o d 伽) ， ( 2 3 1 9 ) 其中y o = y o ( m o d p o ) 容易验证y ：r + q e e 是一个随机动力系统 类似地，由( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 生成的随机动力系统( 在( 2 1 9 ) 中给出) 也诱导一个e 上的随机 动力系统圣由( 2 1 9 ) 及( 2 3 1 9 ) ，圣定义为 西( t ，u ，圣o ) = y ( t ，u ，k ) + 乏( o t w ) ( m o d p o ) ， ( 2 3 2 0 ) 其中垂o = 如( m o d p o ) ，乏( o t w ) = ( 0 ，名( 巩u ) ) t 及k = 圣。一三( u ) ( m o d p o ) 这一节的主要结论为： 定理2 3 1 ：( 2 - 3 1 9 ) 中定义的随机动力系统y 有唯一的随机吸引子uh a o ) ，其中 a o ( u ) = nu y ( r ，0 一r u ，b - ( 口一r u ) ) ，u q ， t 0 r t uh b x ) 是y 中的缓增随机紧集 推论2 3 2 ：( 2 3 2 0 ) 中定义的随机动力系统西有唯一的随机吸引子uha ) ，其中a ) = a o ( u ) + 三( u ) ( m o d 伽 ) ，“，q 证明：由( 2 3 2 0 ) 及定理2 3 1 易得 为了证明定理2 3 1 ，首先介绍随机拟球的概念，并证明拟缓增随机吸收拟球的存在性 定义2 3 3 ：设r ：q _ r + 是一个随机变量半径为叫h 冗p ) 的随机拟球u qhb ( u ) c e 是这样一个集合 u 卜_ + b ( u ) = 6 ( u ) e ：i i q b ( o j ) l l e r ( u ) ) 1 4 上海师范大学硕士学位论文第二章随机吸引子的存在性 此外，随机舅跏hb ) ce 是拟缓增的，如果hq b ) 是e 中的缓增随机集，m p 对p - a s u q ， t l 。i r a 。e - 卢t s u p 1 q b l l e ：beb ( 以) ) = o ，p 0 注意到，e 中的任意随机拟球uhb ) 都具有形式_ h 易q b ( w ) ，其中u 卜 q b p ) 是易中的随机球，所以uhb p ) 是可测的 由定y z 3 3 知，若uhb ) 是e 中的随机拟球，那么hb ) ( 仇d d 册) 是e 中的随机 有界集，而且若uhb ) 是e 中的拟缓增随机集，那么uhb ) ( 仇d d 册) 是e 中的缓增随 机集 引理2 3 4 ：设a 0 那么存在e 中的缓增随机集“，h 上b ( u ) ：= 岛) ( m d d 如) 使得对任 意e 中的缓增随机集uh b ) ：= b ( “，) ( m d d 伽) ，存在t s c w ) o 使得 y ( t ，p 一心，b ( o t w ) ) c1 3 0 ( u ) ，t 丁b ( u ) ，u q ， 其中uh 玩) 是半径为uh 岛) 的e 中的随机拟球，叫hb ( u ) 是e 中的拟缓增随机集 证明：对任意u q 由( 2 1 8 ) 得 ， y ( t ，u ，k ( 。) ) = e c y o ( w ) + e c ( 卜s ) f ( 以，y ( s ，y o ( w ) ) ) d s ( 2 3 2 1 ) j 0 ( 2 3 2 1 ) 在易上的投影为 ，i q y ( t ，u ，k ( u ) ) = e c t q y o ( w ) + e c ( 一3 ) q f ( o w ，y ( s ，u ，y o ( w ) ) ) d s ( 2 3 2 2 ) - ，0 在( 2 3 2 2 ) 中用0 一w 代替u 得 q y ( t ，0 一f u ，y o ( o t u ) ) = e c 。q 碥( p t o ) ) + e c ( 扣。q f ( 6 1 8 一t u ，y ( s ，伊一t u ，y o ( o t u ) ) ) d s ， ， j 0 考虑到引理2 2 2 及q 2 = q ，得到 i i q y ( t ，o - t w ，y o ( o 一) ) 怯 s e 一疵i i q ( 秒一。u ) o e + a ( o te - ( t - s ) o f ( 以一，y ( s , o _ t w , y o ( p 一。u ) ) ) l i e d s g 3 2 3 1 5 第二章随机吸引子的存在性 上海师范大学硕士学位论文 由( 2 2 1 3 ) ，引理2 2 3 及在推论2 2 4 中令e = ， i i f c e 。一t u ，y ( s ，口一t u ，r o ( o 一u ) ) ) i i e = ( 筹恢以一) 1 1 2 + 1 1 ( 1 一詈) z ( 0 8 一) 一s i i l ( k ) + 州2 + 悄z ( 以一) 1 1 2 6 a 1 i i z ( 0 s 一) 一厕2 ( o r - - 3 口+ 3 ) 1 1 名( 以一。u ) 0 2 + s l ls i n ( k ) 0 2 + 3 1 1 f l l 2 + i i a z ( 以一) 0 2 ) 。 ( ( q 2 3 口+ 3 ) e n o s p ( u ) ) 2 + e 4 0 一。( r 7 ( u ) ) 2 + 3 1 u i + 3 1 1 f l l 2 ) 壶 a l e 詈( 一s ) r ( u ) + e 詈( t 一5 ) r ( u ) + a 2 ， 其中k 满足y ( s ，o - t u ，r o ( o t u ) ) = ( k ，k ) t ，n l = x a 2 - 3 a + 3 , 眈= 孤玎干研以 及i u i 是u 的l e b e s g u e 测度由( 2 3 2 3 ) 得到 i i q y ( t ，口圳，碥( 口圳) ) i i e e i i q y o ( o 一) 怯+ 三( i - * - t ) ( 口1 r ( u ) + ，( u ) ) + 詈( 1 _ e - a t ) 现对任意0 3 q ，定义 岛( u ) = 兰a i r ( u ) + ，( 训+ i 2 a 2 那么，对e 中的任意拟缓增随机集uhb ) 及任意碥( p t w ) b ( o 一) ，存在( u ) 0 使 得对任意t ) ， 从而 q y ( t ，口一t 0 3 ，y o ( 口一t u ) ) 0 e 风( u ) ，u q ， y ( t ，p t o ) ，b ( o 一u ) ) c 岛( u ) ，t