（基础数学专业论文）在离散动力系统中平均跟踪性与极限弱反跟踪性的研究.pdf

摘要 内容摘要：伪轨跟踪性是动力系统理论研究中十分重要的概念，它与 系统的稳定性有着密切的联系，在动力系统的定性理论中起着重要的 作用基于理论和应用的需要，人们从不同的度量标准出发相继提出 了不同的跟踪性概念，如极限跟踪性、弱跟踪性、平均跟踪性、反跟 踪性等人们对各种各样的跟踪性进行了大量的研究 本文讨论的是一个同胚( 连续满射) ，所诱导出的离散动力系统的 各种伪轨跟踪性，主要研究了平均跟踪性与极限弱反跟踪性本文共 分为三章第一章介绍了伪轨跟踪性和几种常见的跟踪性的概念和研 究成果，以及陈述了本文的主要结果第二章研究平均跟踪性，介绍了 平均跟踪性的概念和其他人的研究结果，证明了平均跟踪性的几个基 本性质，并日讨论了逆极限空间上的平均跟踪性第三章研究的是极 限弱反跟踪性与n 一稳定之间的关系，介绍了有关n 稳定的一些基本知 识及其相关概念，证明了具有极限弱反跟踪性的，d i f f ( m ) 的集合 的g 1 内部和彤上似稳定的微分同胚的集合是相等的 关键丽：伪轨跟踪性；平均跟踪性；逆极限空间；极限弱反跟踪性； n 一稳定 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h es h a d o w i n gp r o p e r t yi sav e r yi m p o r t a n tc o n c e p ti n v e e - t i g a t e di nd y n a m i c a ls y s t e m s i th a sc l o s er e l a t i o n sw i t ht h es t a b i l i t y o ft h es y s t e m sa n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h eg e n e r a lq u a l i t a t i v e t h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m s o nt h eb a s i so ft h en e e do ft h et h e o r y a n da p p l i c a t i o n ，p e o p l es h o wd i f f e r e n ts h a d o w i n gp r o p e r t i e sf r o md i f - f e r e n tm e a s u r e ds t a n d a r d ，s u c ha st h el i m i ts h a d o w i n gp r o p e r t y , t h e w e a ks h a d o w i n gp r o p e r t y , t h ea v e r a g es h a d o w i n gp r o p e r t y ，t h ei n v e r s e s h a d o w i n gp r o p e r t ya n ds oo n p e o p l ed om u c hr e s e a r c ho nv a r i o u s s h a d o w i n gp r o p e r t i e s i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h es h a d o w i n gp r o p e r t yo fd i s c r e t ed y n a j t l i c a ls y s t e m si n d u c e db ya h o m c o m o r p h i s m ( c o n t i n u o u se p i m o r p h i s m ) ，w em a i ns t u d yt h ea v e r a g es h a d o w i n gp r o p e r t ya n dt h el i m i tw e a k i n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t y t h e r ea r et h r e es e c t i o n si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t sa n dt h er e s u l t so ft h e s h a d o w i n gp r o p e r t ya n do t h e rk i n d s0 fs h a d o w i n gp r o p e r t i e s i nt h e s e c o n ds e c t i o n ，w er e s e a r c ho nt h ea v e r a g es h a d o w i n gp r o p e r t y , w e i n t r o d u c et h ec o n c e p ta n dt h er e m f l t so fo t h e rp e o p l ea b o u tt h ea v e r a g es h a d o w i n gp r o p e r t y ，w ep r o v e , s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ea v e r a g e s h a d o w i n gp r o p e r t y , a n dd i s c u s st h ea v e r a g es h a d o w i n gp r o p e r t yo n t h ei n v e r s el i m l ts p a c e i nt h et h i r ds e c t i o n ，w es t u d yt h er e l a t i o n sb e - t w e e nt h el i m i tw e a ki n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t ya n dt h eq - s t a b i l i t y , w ei n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tt h en s t a b i l i t ya n dt h er e l a t e dc o n c e p t s ，w ep r o v et h ec 1i n t e r i o ro ft h es e to fd i f f e o m o r p h i s m s w i t ht h el i m i tw e a ki n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t yc o i n c i d e sw i t ht h es e t o fg t - s t a b l ed i f f e o m o r p h i s m s k e yw o r d s ：s h a d o w i n gp r o p e r t y ；a v e r a g es h a d o w i n gp r o p e r t y ； i n v e r s el i m i ts p a c e ；l i m i tw e a ki n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t y ；n s t a b i l i t y 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导r 所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的扁示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明井表示谢意， 龅论文储繇鸯卿 日期： 学位论文版权使用授权书 砌7 、 | 6 7 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并i 柚困家有关部门或机构送交复印什和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行榆索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名 易卿 i 指导教师签名： 日期： 在离散动力系统中平均跟踪性b 极限弱反跟踪性的研究 在离散动力系统中平均跟踪性与极限弱反 跟踪性的研究 1引言 微分动力系统是一门有关系统演化规律的数学学科，着重于整体性和大范围 的研究，主要研究的是当系统有某种扰动时，有哪些不变性质，以及其反面，有哪 些突变性质。不变性质即各种所谓“稳定性”，突变性质即所谓“分支”直至瞬 息万变的“湍流”这与力学、物理、工程、生物乃至经济都有重要的联系 上世纪末到本世纪初，p o i n c a r d 等人从经典力学和微分方程定性理论的研究 中，提出了动力系统的概念b i r k h o f f 又以三体问题为背景扩展了系统的研究，并 出版了专著动力系统这标忐着动力系统理论的正式诞生2 0 世纪3 0 年代， m a r k o v 总结了b i r k h o f f 的理论，提出了动力系统的抽象概念，进一步推动了动力 系统的发展微分动力系统的现代研究，则始于2 0 世纪6 0 年代初，存以s m a l e 为首 的一批著名学者的倡导和推动下，微分动力系统的基本理论取得了重大进展，其 影响历久不衰 伪轨跟踪性是伴随着结构稳定性理论的研究与发展而产生的经过3 0 多年 的研究与发展，伪轨跟踪性不仪成为动力系统理论研究中十分重要的概念，而日 也成为了动力系统理论中最重要的动力性质和技术性工具从文献中可以看到 与其相关的研究几乎涉及到动力系统的各个内容，如稳定性理论、混沌现象的存 存性、近似计算和误差估计等 1 - 1 伪轨跟踪性简介 我们研究的是一个同胚映射，所诱导出的离散动力系统的伪轨跟踪性，它与 系统的稳定性有着密切的联系，存动力系统的定性理论中起着重要的作用，存数 值分析上也有着广泛的应用c o n l e y 存文献中给出了“伪轨”的概念，而关于 伪轨跟踪性的早期工作可见文献【2 】和【3 】下面将给出伪轨及跟踪性的定义 以下设( x ，d ) 为紧度量空间，：x x 为同胚，z 表示整数集，z + 表示非负 整数集 定义1 1 1 设6 0 ，如果x 上的序列 就) 。z ，对任意的i z ，满足 联，( 翰) ，坼1 ) 0 ，存在6 0 ，使得，的任意一个6 一伪轨 z ) 拒z 可 以被x 中某点z 所跟踪，即 d ( r ( $ ) ，z i ) 0 ，0 0 ，使得，的任一矗伪轨 礼) i z 能 擞中某点非跟踪，即 a f r 乞，移向 戤) zc ( s ，o ( u ，) ) ， 一p 7 ”“。” 则称，具有弱跟踪性 c o r e l e s s 和p i l y u g i n 存文献【9 】中构造了2 维环面p 上的一个具有有限非游荡 集的微分自同胚妒，给出了妒具有弱跟踪性的等价条件s a k a i 存文献f l o 中证明了 存光滑闭曲面m 上，如果w s p ( m ) 表示m 上具有弱跟踪性的微分自同胚所构成 的集合，贝j j w s p ( m f f l 其有拓扑的c 1 内部中的每一元都满足公理a 和无环条 件 u 1 2 3 平均跟踪性 存考虑统计意义下的稳定性时，就要考虑平均跟踪性文献 1 1 】和1 12 中， b l a n k 弓j 入了平均跟踪性的概念，并证明了公理a 系统存其基本集上具有平均跟 踪性s a k a i 存文献1 3 1 中利用平均跟踪性刻画了a n o s o v 微分同胚的性质，并证明 了二维闭流形上具有平均跟踪性系统的集合的a 1 内部等于a n o s o v 微分同胚的集 合文献【1 4 】，【1 5 ，【1 6 都集中研究了紧度量空间上具有平均跟踪性的自同胚的一 些性质 本文将在第二章具体讨论平均跟踪性，在这里就不多提及了 3 在离散动力系统中平均罪踪性与极雕弱反跟踪性的研究 1 2 4反跟踪性 众所周知，跟踪性考虑的是系统的伪轨附近是否有真正的轨道反跟踪性是 从其反面提出来的，即系统的真正轨道能否被伪轨所跟踪具体定义如下： 定义1 2 4 我们把j 一伪轨族咒称为，的一个6 一方法把一个方法的集合0 = ) 称为一个方法类，简称为类 定义1 2 5 如果对任意的e 0 ，存在6 0 ，使得对任意点z 以及任意的方 法而0 ，存在一个6 一伪轨 z k ) k z 恐满足 d ( f ( z ) ，口k ) 0 ，( 又，a ) 是由( x ，) 生成的逆极限空间，a i 是x 上 由，生成的转移同胚，若，具有平均跟踪性，则4 ，也具有平均跟踪性 定理2 3 2 设( 置d ) 为紧度量空间，：x x 为同胚映射，_ 1 满足l i p s c h i t z 条 件，具有l i p s c h i t z 常数l 0 设( 又，刁) 是由( x ，) 生成的逆极限空间，盯，是牙上的 由，生成的转移同胚，如果口，具有平均跟踪性，则，也具有平均跟踪性 第三章研究的是极限弱反跟踪性与q 稳定之间的关系，存第二节中我们证明 了具有极限弱反跟踪性的f d i f f ( m ) 的集合的c 1 内部和m 上似稳定的微分同 胚的集合是相等的 5 在离散动力系统中平均跟踪性工j 极雕弱反跟踪性的研究 2 平均跟踪性的一些性质 2 1 平均跟踪性的概念及相关结果 以下设( x ，d ) 为紧度量空间，若不加说明本章中，：x x 为连续满射， z + 表示非负整数集，z 表示整数集 定义2 1 1 如果x 上的序列 瓤i e z + ，对给定的j 0 ，存存自然数n 7 = j 、r ( j ) ，使得对v n n 7 ，m z + ，满足 1 n ：d ( m 件t ，i ) ，x i + m + 1 ) 0 ，存存j 0 ，使得，的每一个j 一平均伪轨 z t ) 讵z + 均 可以被某点z x 平均跟踪即 煅：砉( 籼心 则称，具有平均跟踪性 文献f 1 4 l 证明了紧度量空间上的具有平均跟踪性的同胚只有一个链分支，这 个链分支就是全空间特别的，每个点是链回归的文献1 5 1 证明了紧致度量空 间中具有伪轨跟踪性的d i s t a l 同胚不具有平均跟踪性，并给出了具有平均跟踪性 的同胚是极小的一个充分条件文献1 6 1 证明了紧致度量空间上具有平均跟踪性 的l y a p u n o v 稳定同胚是完全传递的，而不是拓扑混合的 2 2 平均跟踪性的几个基本性质 定理2 2 1 设x 是紧度量空间，是x 上的连续满射日满足l i p s c h i t z 条件， 具有l i p s c h i t z 常数l 0 ，则，具有平均跟踪性的充分必要条件是对任意的正整 数k ，f k 具有平均跟踪性， 证明 必要性文献1 5 】中的引理2 2 已经证明过，是x 上同胚的情况，只要 将其证明中的z 改为z + 即可得出本命题必要性的证明 充分性我们不妨假设l 1 对于垤 0 ，3 0 6 ，满足，的平均跟踪 性令6 1 = 南设 嚣t ) 讵z + 是，的6 1 一平均伪轨，即存在自然数n = n ( 6 ) ，使得 对v n n ，m z + ，满足 以 卅十 z 0 6 以， 烈 。il l n 在离散动力系统中平均跟踪性l j 极戳弱反跟踪性的研究 这里我们不妨设7 ：o k o g q f 数由，的l i p s c h i t z 性，对比，y x 及o i 0 ，满 黾d ( f ( z ) ，( 3 ，) ) d ( z ，可) 令玑= z 珠，则对n 譬有 ：d ( ，。( 挑佃) ，鼽槲，) 2 ：d ( f ( z o 删k ) ，z ( 件 件1 ) k ) 寺k 1 ( m ( 件m ) ) ) ，b 1 ( 茹( 酬，) ) + d ( ，“2 ( ，( z o + ，i 脚1 ) ) ，广一2 ( z a 删h 2 ) ) + + d ( ，( 茁o + m ) 七+ 七一1 ) ，z ( t ，n ) 七+ 七) 】 l k 一1 五：正 所以 玑) 讵z + 是，的d 一平均伪轨 由，。的平均跟踪性，珊x ，使得 鬯攀：喜酽矧 己 令d ( f i ( v ) ，甄) = 白，d ( f ( z ) ，x i + 1 ) = 最，i = 0 ，1 ，- 则对l z + 有 d ( y 4 ( ! ，) ，。诸) e 弛 d ( ，墙+ 1 ( 可) ，。，七+ 1 ) 0 ，满 足，g 的平均跟踪性设 瓤) 炬z + 是，的耋一平均伪轨，) i e z + 是口的g 一平均伪轨， 则存在自然数肌= 肌( g ) 0 = 1 ，2 ) ，使得对v n 1 ，m z + ，满足 去妻d i f ( x , + m ) ，x i - t c n + 1 ) ；仃_z 对v n 2 n 2 ，m z + ，满足 ；妻比( 玑+ m ) ，鼽，) n 7 ，有 ；矿( ( ，g ) ( 坼。，鼽+ 。) ，( z t + m + 1 ，鼽+ t ，冲- ) ) = ：毫m 州( m 。一，甄1 ) ，此( ) ，+ 1 ) 0 ，同时 满足，和9 的平均跟踪性设 ，雏) ) t 。z + 是，夕的j 一平均伪轨，即存在自然 数n o = i ( j ) ，使得对v h2n o ，m z + ，满足 ：矿( ( 歹扪( 戤机，挑+ ，i ) ，溆州，挑+ m + 1 ) ) ， n 2 去m a x d ( ，( 觑+ ，i ) ，戤+ m 十1 ) ，d ( f ( 肌概) ，玑+ m + 1 ) ， 6 ：喜d ( ，胁- m 三砉她( 酬，- 川 即 翰) 讵z + 和 鼽) z + 分别是，和9 的矗平均伪轨 由，和9 的平均跟踪性，孔x 和3 鲈y ，使得 1 塑磐：d ( ，( z ) ，乳) s ， n _ 竹鲁“ 和 n l i m s u p 磊i d ( g i ( y ) ，玑) 毛 n 叫扎= 。 则 1 翌罂；矿( ( ，9 ) ( 舢) 息执) ) = l i m + s u p - 1y _ 二m “ d ( ， ) ，瓤) ，t gt v ) ，鼽) ) 0 ，| 伽z + ，满足雨1 0 满足，的平均跟踪性令6 = 设 铲) k z + 是叉上吖的乒平均伪轨，1 1 1 1 存在自然 数n = n ( 6 ) ，使得对v h n ，m z + ，满足 元1 蚤n 劲妒) ，矿川， ：喜狮执帮+ 1 ) 沙拈扎 即 砖。) k 6 9 + 是x 上，的j 一平均伪轨 由，的平均跟踪性，3 y x 使得 1 翌罂：蚤d ( ，( 珐z 纛) 扎0 时，归纳地取玑f - 1 ( 玑一1 ) ，则可= ( ) i z + 叉日= y 则有 1 罂磐：善a ( 砖( - ) ，妒) = - 黯：喜雹唑攀+ ；未，d ( f f ( 。y ，o , w ? ) 。1 l i r as u 。p - ：毒) 【盟盟乒业+ 盟黜学芝业 + + 鲎噤盥】+ m 妻虿1 ( 三m + t i n o - 1 + + 孑1 i ) l s u p l li m s u p i d ( ，( f ) ，z ) + ； 0 ，j 6 1 o ，满足a ，的平均跟踪 性设伽z + ，使得，虿1 0 ，使得对v n n 7 ，m z + ，满足 ；d ( m 枷) ，卫槲1 ) d 这里取6 = 务，其中= 1 + 考+ + 雾设谚= ，一( $ ) ，i z + ，则 有矿= ( 罅) 。；叉日站= k 因此 1 z d ( f ( y 0 + m ) ，站槲1 ) j 另外 刁( 吖渺枷) ，可m + 1 ) = 国盟学+ 盟每螋 。d c f ( y 鬈+ “) ，蝶州) 。虽d ( ，( 砖”) ，y k + m + 1 ) 1 十十虿磊一十厶百一j 漕盟学+ 巡型等堂 + + d - n o k + m 手- n o k - o n 型+ l1 + m 南 o f l 0 j o ， ( ；+ 鲁扣+ 筹n o ) 唁萎nd ( f c y o 飞结1 ) 】+ 鲁 n 因此 矿 k e z + 为吖的6 1 一平均伪轨 由盯，的平均跟踪性，匆= ) 又使得 l i r ，m 4 s u p - o o 三刁( 砖( - ) ，矿) s k 则有 = l t i ms u p l 。z 。i ，町 0 ，0 a 0 和z a ，有0o f 4l 毋0 - q “ n t l ， 我们就说基本集q l j - ，毗形成一个环如果存q = n ( ，) 的基本集中不存存任 何环，我们就说，满足无环条件 设，( m ) 是具有c 1 邻域“cd i 砸m ) 的f d i 钺m ) 的集合，满足对任意g “， 夕的每一个周期点是双曲的h a y a s h i 在文献 2 1 中证明了，( m ) 包含在满足无环 条件和公理a 的微分同胚的集合中众所周知，是q 稳定当日仪当，满足公 理a 和无环条件 定义3 1 1 0 如果对每个e 0 ，存存j 0 ，使得对任意的6 一伪轨t l z ， 当一o o 时，有 d ( f ( x n ) ，z ，件1 ) 0 ， 则存在一点y m 弱跟踪 z 。) 。z ，使得当川一o o 时，有 d ( ，o ( y ，一0 则称，具有极限弱跟踪性 当我们研究微分动力系统( 微分同胚) 定性理论时，以往关于类的反跟踪性的 概念中的要求较强，给我们的研究带来不便下面给出另一种类型的反跟踪性的 概念 设m 是g ”闭的n 一维流形，日具有由t m 上的黎曼度量0 0 所诱导的度量d ， 设d i f f ( m ) 表示具有g 1 度量d l 的c 1 微分同胚空间对任意d o 和，e d i f f ( m ) ， 满足d l ( ，g ) 0 ，存在6 0 ，使得对乃( 中任意参方法妒和 任意点$ m ，存存点y m 满足 d ( 妒( 掣) 。，f “( ) ) 0 ，存在6 0 ，使得对乃( 6 ) 中任意j 一方法妒和 任意点茹m ，存在点y m 满足 妒( ) c ( ，d ( z ，) ) ， 则称，关于类乃具有弱反跟踪性 定义3 1 1 3 我们把一个渐近乒伪轨族称为，的一个渐近6 方法 定义3 1 1 4 如果对任意e 0 ，存在j 0 ，使得对任意渐进6 一方法妒乃和 任意点z m ，存存点y m ，满足 妒( ) c ( e ，d ( 茹，) ) ， 日 d ( ， ( ! ) 。) ，妒( ) 叶1 ) 一0 ，n 一， 满足 d ( 妒( 箩) ，d ( z ，) ) 一0 ，n o o ， 则称，关于类乃具有极限弱反跟踪性 文献 2 2 】研究的是弱反跟踪性与n 一稳定之间的关系，证明了具有弱反跟踪性 的微分同胚的集合的c 1 内部和n 一稳定微分同胚的集合是相等的，同时证明了具 有轨道反跟踪性的微分同胚的集合的c 1 内部和结构稳定的微分同胚的集合是相 等的。 3 2 极限弱反跟踪性与q 一稳定之间的关系 这一部分的目的是为了研究关于类7 j 具有极限弱反跟踪性的微分同胚集 合的e 1 内部的微分同胚的动力学以下我们将“关于类7 j 具有极限弱反跟踪 性”简写成“极限弱反跟踪性”，我们记l w i s ( m ) 为具有极限弱反跟踪性的，e d i f i r ( m ) 的集合 定理具有极限弱反跟踪性的，d i f f ( m ) 的集合的c 1 内部和m 上q 稳定的 微分同胚的集合是相等的 下面我们来证明定理 首先，我们证明d i f f ( m ) 中具有l w i s ( m ) 的c 1 内部的每个元素，属于，( m ) ， 即l w l s ( m ) o 的每一个元素，属于，( m ) 利用反证法，我们假设存在，e l w i s ( m ) o 9 v c m ) 选取l w i s ( m ) o 中，的c 1 邻域“和取具有非双曲周期点p 的 1 5 在离散动力系统中平均跟踪性与极限弱反跟踪性的研究 一个微分同胚“设m 是点p 的周期通过，到它的g 1 小的扰动厂，我们假设 导数d ( ，) “p ) 具有属于1 的特征值 如文献1 2 3 】定理3 2 中的讨论，我们找到中的，的一个g 1 小扰动( 仍用，表示) ， 具有下列性质： ( 1 ) p - 是f 的周期点，具有周期m ，表示为p = ，) ，i = 0 ，m ； ( 2 ) 如果a l ，k 是导数d 歹“( 力的特征值，则a i = 1 日ibl l ，对j = 2 ，n ； ( 3 ) 我们引入点p i 的不相交邻域阮的局部坐标妒= ( y l ，) ，使得鼽是玩中 的源点而目 ( 3 1 ) 如果是d ，”( p ) 的特征值a 1 对应的切空间耳m 的子空间，则空间 口= d ，“岛， i = 0 ，m 一1 与相应的邻域中的坐标形成的子空间 b 彤：y 2 - t - o 是相等的 ( 3 2 ) 存存数n o 满足映射妒，即，存叫= 仉n 引yi 4 d ) 上的限制，它 把“映到以+ 1 上( u = ) ，并日，由公式 妒“( 彭) = ( 版可1 ，目；! ，) 给出，这里y = ( y 2 ，鲰) 由于，是微分同胚，我们有0 ，对t = 0 ，m 一1 从( 2 ) ，( 3 1 ) 和( 3 2 ) 可知b h k 一1 = l 而日矩阵b = b m 一1 b 0 是双曲的设 k 1 = r a i n 】一1 b i ， o i _ r n - - 1 1。 配= 唧m 如a x 。l “叭k = 急 容易构造一个微分同胚鲰“，在u k 一1 外与，相等，满足鲰存吒一1 上的限 制枞( ) 由公式( 4 1 ) 枞( 爹) = ( 搬，b t n 一1 ) 给出这里o k o k l k 一2 a ；p 0 取微分同胚鲰“，日d 1 ( ，肌) sd ，设 ：(罢u，0xo 一，o ) 2 【瓦u j 注意对任意点( u o ) o ( x o ，) ，它的第一坐标尸) l 是由 一l _ 2 a 1 6 在离散动力系统中平均跟踪性b 极限弱反跟踪性的研究 得到的，对某个消了三i ( m o dm ) ，而只满足不等式 2 e = 甄瓦2 a - 0 ，对任意渐近j 一方 法妒和任意点正m ，存在点y m ，只 d ( ，( 妒( 可) 。) ，妒( ) 。+ 1 ) 0 ，竹+ 0 0 ， 满足 d ( 妒( f ) ，o ( x ，) ) 一0 ，竹一o o ， 那么也就有 妒( ) c ( e ，o c x ，) ) 成立则由文献【2 l 】的结果可知，是m 稳定的e p b t 得若f l w i s ( m ) o ，则，是q 一 稳定的， 下面证明每个q 一稳定的微分同胚具有极限弱反跟踪性假设f d i 联m ) 是m 稳定的，凡设n 1 ，是，的基本集则有 n ( f ) = n l u u 设o t = m i n d ( g , ，) ：i 歹) 日o 等由于每个绣是，的闭双曲不变 集，存d i f f ( m ) 中，我们能选取，的一个c 1 邻域阮，和一个连续映射虫：玩一 伊( n ；，m ) 满足 ( 1 ) 电( ，) ( n t ) = g ； ( 2 ) 哦( 9 ) ( n 。) 是g 的一个双曲不变集，g 玩； ( 3 ) 也( 9 ) ( g ) 是n 。到蛾( g ) ( q 。) 的同胚，h fh 和9k ( n 。) 是拓扑共轭的 f 4 ) 存存常数觑满足 d o ( 圣t ( 夕) ( q ) ，垂i ( ，) ( q t ) ) 0 ，对每个t 满足b d 。( 氐，) c 巩，设 扣，m 。m 。 6 , ，云) ， 这里 且d ，( 文，) = 曰d i f f ( m ) ：d l ( ，g ) ) 一o 这就意味着，具有极限弱反跟踪性至此定理证明结束 1 8 参考文献 【1 lc o n l e y , c s o m e a s p e c t s o f t h e q u a l i t a t i v e t h e o r y o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d y n a m - i c a ls y s t e m s a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k 1 9 7 6 【2 】2b o w e n ，& o na x i o mad i f f e o m o r p h i s m s c b m sr e g i o n a lc o n f s e r i nm a r c h 1 9 7 8 ，3 5 1 3 1c o v e n ，e m ，k a n ，1 ，a n dy o r k e ，j a p s e u d o - o r b i ts h a d o w i n gi nt h ef a m i l yo f t e n tm a p s t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 8 8 ，3 0 8 ：2 2 7 - 2 4 1 【4 】r b o w e r e q u i l i b r i u ms t a t e sa n dt h ee r g o d i ct h e o r yo fa n 0 6 0 vd i f f e o m o r p h i s m a l e t l l r en o t e 8i nm a t h e m a t i c s ，s p r i n g e r ，1 9 7 5 【5 】r b o w e m w - l i m i ts e t sf o ra x i o mad i f f e o m o r p h i s m s j d i f f e q 聃，1 9 7 5 ，1 8 ： 3 3 3 - 3 3 9 【6 1t e i r o l a ，o n e v a n l i n n aa n ds y u p i l y n g i n 。l i m i ts h a d o w i n gp r o p e r t y n u m e r f t m c t a n a l o p t i n a l ，1 9 9 7 ，1 8 ：7 5 - 9 2 【7 】朱玉峻，何连法两类具有极限跟踪性的双曲系统系统科学工j 数学，2 0 0 3 ，2 3 ：3 2 1 3 2 7 【8 】赵俊玲动力系统中伪轨跟踪性的研究，【博士学位论文1 浙江杭州：浙江大学数学系， 2 0 0 3 1 9 c o r l e s sr ，p i l y u g i nsy a p p r o x i m a t ea n dr e a lt r a j e c t o r i e sf o rg e n e r i cd y n a m i c a l s y s t e n j m a t ha n a la p p l ，1 9 9 5 ，1 8 9 ( 2 ) ：4 0 9 - 4 2 3 f l o 】s a k a ik d i f f e o m o r p h i 8 r i l 8i nd y n a m i c a ls y s t e m s b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 9 【1 1 jb l a n kml m e t r i cp r o p e r t i e so fc - t r a j e c t o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m sw i t hs t o c h a s t i c b e h a v i o r e r g o d i ct h e o r yd y n a m i c a ls y s t e m s ，1 9 8 8 ，8 ：3 6 5 - 3 7 8 【1 2 1 b l a n km1 s m a l lp e r t u r b a t i o n so fc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m r u s s i a nm a t h s u r v e y , 1 9 8 9 4 4 ：1 - 3 3 【1 3 】k s a k a i d i f f e o m o r p h i s m sw i t ht h ea v e r a g e - s h a d o w i n gp r o p e r t yo nt w od i m e n - s i o n a lc l o s e dm a n i f o l d s r o c k ym o u n t a i njm a t h ，2 0 0 0 ，3 q ( 3 ) ：1 1 2 9 - 1 1 3 7 【1 4 1z h a n gy o n g o nt h ea v e r a g e - s h a d o w i n gp r o p e r t y 北京大学学报自然科学版，2 0 0 1 ， 3 7 ( 5 ) ：6 4 8 - 6 5 1 【1 5 j 赵俊玲平均跟踪性l j 伪轨跟踪性高校应用数学学报a 辑，2 0 0 4 ，1 9 ( 3 ) ：3 1 1 3 1 4 【1 6 】郑婷婷，顾荣宝平均跟踪性与完全传递，安