（概率论与数理统计专业论文）关于马尔可夫不等式和切比雪夫不等式的一类推广.pdf

摘要 在数学科学的几乎所有的分支中，不等式常常起着重要的甚至是关键的作 用，在很多场合，它的重要性甚至超过等式，对概率统计学科而言，情况也是如 此，在该学科的论文和著作中，一些基本的概率不等式频繁地出现并被运用，选 取和创建有效的不等式常常是解决问题的关键步骤 马尔可夫不等式和切比雪夫不等式是概率论中最基本的不等式，证明虽然 简单，但是它们在概率论发展过程中发挥了巨大的作用然而，随着概率论这门 学科的迅速发展，各种新问题的提出，以前的知识也有必要作进一步的补充和完 善现在，关于这两个不等式已经有很多不同形式的改进和推广本文一方面对 马尔可夫不等式和切比雪夫不等式作一个总结，一方面在借鉴前人方法的基础 上，把切比雪夫不等式推广到形如 齐口 p ( x 一肛i ) l = l 的形式 本文共分为三章，第一章介绍马尔可夫不等式和切比雪夫不等式，并论证了 几个不等式等号成立的充要条件第二章阐述形如 的马尔可夫不等式第三章推广了切比雪夫不等式，得到级数型切比雪夫不等 式，以及由此衍生出的两个推论最后讨论了形如 的单边切比雪夫不等式 关键词：马尔可夫不等式，切比雪夫不等式 十 肛 一x 一 pn 。瑚 x 一 一x p a b s t r a c t a l m o s ti na l lb r a n c h e so fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e ，i n e q u a l i t i e so f t e np a l ya n i m p o r t a n to re v e np i v o t a lp a r t i ns o m eo c c a s i o n ，i t si m p o r t a n c ei sl a r g e rt h a n t h a to fe q u a l i t i e s a sf a ra sp r o b a b i l i t yt h e o r yi sc o n c e r n e d ，t h es i t u a t i o ni s s a m e ，i nt h ep a p e ra n dl i t e r a t u r eo ft h i sk n o w l e d g e ，s o m eb a s i ci n e q u a l i t i e sa r e i n t r o d u c e df r e q u e n t l y , s oc h o o s i n ga n de s t a b l i s h i n ge f f i c i e n ti n e q u a l i t yi so f t e n t h ek e yt os o l v i n gp r o b l e m m a r k o v si n e q u a l i t ya n dc h e b y s h e v si n e q u a l i t ya r eb a s i ci n e q u a l i t i e si n p r o b a b i l i t yt h e o r y , t h o u g ht h ep r o o fo ft h e ma r eb o t he a s y , t h e yp l a y e dv e r y i m p o r t a n tp a r ti nt h eh i s t o r yo fp r o b a b i l i t yt h e o r y h o w e v e r ，a l o n gw i t hr a p i d d e v e l o po fp r o b a b i l i t yt h e o r y , i t sn e c e s s a r yt og e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ef o r m e r k n o w l e d g e n o wt h e r ea r em a n yd i f f e r e n tk i n d so fg e n e r a l i z a t i o no ft h e s et w o i n e q u a l i t i e s ，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h e mo no n eh a n d ，e x t e n d st h ec h e b y s h e v s i n e q u a l i t yt os u u l 8o ft h ef o r m a i p ( t i i x p i t i + i ) i = 1 a n d o o p ( x p t ) i = 1 o nt h eo t h e rh a n d t h i sp a p e ri n c l u d e st h r e ec h a p t e r t h ef i r s tc h a p t e ri sap r e f a c e i tg i v e s a ni n t r o d u c t i o nt om a r k o v si n e q u a l i t ya n dc h e b y s h e v si n e q u a l i t y , a tt h es a m e t i m e ，i td i s c u s s e st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee q u a l i t i e sh o l d i n g t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l yi n t r o d u c e st h em a r k o v si n e q u a l i t yo ft h es u l t 塔o ft h e f o r m n a i p ( t i x 0 使得等号成立的充要条4 牛) o p ( x = 0 ) = 1 一p ( x = t o ) 证明不等式的证明不再阐述，下面证明定理的后半部分 先证明充分性，如果随机变量满足x 满足p = 0 ) = 1 一p ( x = t o ) ，则 e x = t o p ( x = t o ) + o p ( x = 0 ) = t o p ( x = t o ) ， 即得尸( x = t o ) = e t 0 x 蒯r p ( x2t o ) = 里警充分性得证 再证明必要性，设随机变量x 的分布函数为取( z ) ，由题设知道t o p ( x t o ) = e x ，而 e x = x d f x ( z ) + x d f x ( z ) d o z t o 侧t p ( o x 0 ，贝 j f o t o p ( x t o ) ， d o x ：t 0 这与题设矛盾，故p ( o t o ) 0 ，则正 如x d f x ( z ) 0 ，得到 e x = t o p ( x = t o ) + = d f x ) t o p ( x = t o ) ， d z t o 这与题设矛盾，故p ( x t o ) = 0 ，必要性得证 口 第一章经典结果 2 命题1 2 ( 切比雪夫不等式) 设x 为概率空间( q ，尸) 上的随机变量，有有限期望p 和有限方差盯2 ，则对任意 的 0 2 p ( i x p i t ) i 存在t o o 使得等号成立的充要条件为p 伍= p t o ) = 纽2 ，e ( x = 肛+ t o ) = 导，其中p = p ( x = p ) 证明不等式的证明不再阐述，下面证明定理的后半部分 先证明充分性，如果随机变量满足p ( x = 肛一t o ) = 孚，p ( x = p ) = p ， p ( x = p - t - t o ) = 孚，则 p ( 1 x p i t o ) = p ( i x p l = t o ) = p ( x = p + t o ) + p ( x = p t o ) = 1 一p ， 盯2 = e ( x 一肛) 2 = 夸l 寻里+ ( 一如) 2 1 吾里+ 0 2 p = ( 1 一p ) t 3 因此可以得到 疗2 p ( i x p i t o ) = j 。0 下面证明必要性，设随机变量x 的分布函数为取( 茹) ，由题设知道t 3 p ( i x p l t o ) = 盯2 ，而 盯2 = ( z 一肛) 2 d f x ( x ) + ( 。一p ) 2 d f x ( x ) j o l z p l t o 假设p ( o i x p f 0 ， f o t 2 0 p ( x p f t o ) ， j o l x - , “l t o 这与题设矛盾，故p ( o 0 ，则得到尼一纠 t 0 扛一p ) 2 d f x ( x ) 0 ，于是 盯2 = t 3 p ( i x p i = t o ) - i - ( 。一p ) 2 d f x ( x ) t 3 p ( i x p i = t o ) ， j i x - p l t o 这与题设矛盾，故p ( i x p l f ；o ) = 0 ，于是我们得到p ( x p i = f ；o ) = 1 一p ( i x p | = 0 ) = 1 一p ，又因为e x = p ，可以推i 出p ( x = 肛一t o ) = 纽2 ， p ( x = p ) = p ，p ( x = p + t o ) = 宇证毕 口 第一章经典结果 3 如上所知，马尔可夫不等式和切比雪夫不等式虽然在概率论这门学科的发 展过程中曾经起到非常重要的作用，但是其等号成立的前提是随机变量的分布 为离散型的随机变量，而现实生活中的随机变量，大部分是连续分布下的随机 变量，所以，很多概率论学者在对随机变量的分布作了一定限定后，得到了很多 不同形式的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式其中f r d c h e t 在1 9 5 5 年发表的一 篇文章中对各种不同形式的切比雪夫型不等式作了总结，随后，g o d w i n 在“o n g e n e r a l i z a t i o n so ft c h e b y s c h e f si n e q u a l i t y 这篇文章中详细地讨论了各种不同 分布下的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式，本文将不再阐述本文所讨论的 一切不等式，将不对随机变量的分布有所限定，即它可以是任意分布下的随机变 量 在介绍了马尔可夫不等式和切比雪夫不等式后，我们给出一个相关的不等 式，它是切比雪夫不等式的推广 命题1 3 ( 单边切比雪夫不等式) 如果x 为概率空间( q ，芦，p ) 上的随机变量，e x = p ，y 口r x = 盯2 则对任意 的t 0 。 ，r 2 p ( x p t ) 石 = _ 存在t o o 使得等号成立的充要条件为尸( x = t o + 肛) = 孑毫，并且p ( x = 鲁+ p ) = 禹 证明不等式的证明可以参见参考文献 1 】，现证明定理的后半部分 先证明充分性如果随机变量x 满足p ( x = 如+ p ) = 孑熹和p ( x = 等+ p ) = 嘉耘，贝i j e x = 肛，v a r x = 盯2 ，p ( x2t o + ) = p ( x = t o + p ) = 毒毛， 充分性得证 下证明必要性设随机变量x 的分布函数为乃r ( z ) ，由题设知道 一2 p 僻一p t o ) 2 雨。虿 而 第一章经典结果 4 则 于是 现在假设 矿 瑶+ 盯2 一e ( x 一卢+ 案) 2 一面矿 喾t o 吲z ) ( + 等) 2 “ p ( o l 锄时笋嘶) p ( 一p + 誓) 2 ( t o + 学) 2 ) p ( x p + 等2 t o + 罢) = p ( x 一“ t o ) ， 与题设矛盾，故 p ( o 。， 则 和g 2= p ( 一p + 等) 2 + i u 2 ) 2 ) p 一肛+ 杀t 。+ 苦) ， 这与题设矛盾，因此 尸僻一p + 等= 。) + p 一p + 等= + 杀) = 000 即 e ( x = 一；+ 肛) + p ( x ：t o + p ) ；1 x i 酗e x = # $ 1 v a r x = 盯2 ，解方程可以得到 p ( z = t 。+ p ) 2 孺0 - 2 并且 跑= 等刊= 禹 此外，令t = 盯，我们得p ( x e x + 盯) 设m ( x ) 为随机变量x 的中位 数，则由中位数的定义推得m ( x ) e x + 盯由对称性，我们得到l e x m ( x ) i 第二章级数型马尔可夫不等式 2 1引言 马尔可夫不等式和切比雪夫不等式在概率论发展过程中曾经起了很重要的 作用，很多概率论相关理论的证明都会用到它们，但是，它们毕竟不是万能的， 在一些特定场合，它们也会显现出一定的局限性 1 9 9 8 年，o w i n g s 在“a m e r m a t h m o n t h l y ”期刊里面提出这样一个问题： 对任意一个期望为1 的非负随机变量x ，求最小的常数c ，使得p ( x 4 ) + p ( x 9 ) c 成立 如果应用马尔可夫不等式，我们很容易得n p ( x24 ) + p ( x 9 ) i 1 + i 1 ， 但是这不是理想的答案，令人感到好奇的是，d a w s o n 和c h a p m a n 和n e s t e r 等 几个人分别用了不同的方法，得到了一致的结果“c ；i 1 ”，而这恰好和第一 项p ( x 4 ) 用马尔可夫不等式求得的上界吻合随后，c h a p m a n 和n e s t e r 两个人 验证了这个现象，得到了如下结论： 已知x 为非负随机变量，期望为1 ，则对一列单调上升的实数列t 1 ，t 2 ， ，其中t l 1 ，那么：1p ( t i x t 件1 ) 的最小上界为m a x l 9 ( 丢) ( 当m a x ( 丢) = 丢时，该结论就回答t o w i n g s 的问题) 在第二节中，我们主要讨论更普遍的关于级数型的马尔可夫不等式，它 把c h p a m a n 和n e s t e r 的结论推广到如下的级数： nn h a i - 1 ) p ( x 如) = a ip ( h x t i + 1 ) ， ( 2 1 ) i = 1i = 1 其中0 0 = 0 ，并且o l ，a 2 ，a n 是任意的常数，0 t i t n k + 1 = o o ( 如 果a o 0 ，则定义t o = 0 ，我们有： n 吼p ( t i x 蠡+ 1 ) = 口0 + ( 啦一n o ) p ( 屯x t 件1 ) ， i = 0i = 1 则相关结果仍然可以从( 2 1 ) 式推出) 第二章级数型马尔可夫不等式 7 2 2 级数型的马尔可夫不等式 这一节介绍级数型的马尔可夫不等式，在给出定理之前，先引入一个定义： 定义2 1 在级数偿 中，如果a e = 0 ，a 1 ，眈，是一列任意的常数，0 t l 0 贴 啦尸( 屯x t i + 1 ) s 字 ( 2 3 ) i = l 一饥 侣别式中等号成立的充分必要奈件是p ( x t ) = 1 一p ( x = 0 ) ，其中t = 岛： 詈= 磬) 俐：如果o ps ，受 3 存在随机变量x a ，使得式国夥中的等号成立 例j 如果o t 。 p ，则对a 。中的任意随机变量，式偿剀中的等号不会成 立 可以看出，马尔可夫不等式是式( 2 3 ) 中凡= 1 的特殊情况我们注意到， 当0 t p 的时候，用马尔可夫不等式就会得到p ( x t ) 芋，由于概率测 度本身就是小于1 ，所以这时候马尔可夫不等式的不足之处就显现出来同 样，当0 肛时候，命题2 1 中的不等式( 2 3 ) 也显现出相同的不足于是， b k g h o s h 又给出下列定理，作为对定理2 1 的补充 在给出定理之前，我们先给出一个定义： 第二章级数型马尔可夫不等式8 定义2 2 在式偿纠中，如果a o = 0 ，a 1 ，a 2 ，是任意的常数，0 t 1 v n ，使得a i o 。成立，则定义k 为满足如下等式的最大整数 m a x f a i - j a - v n = 丁a l n 了- - a v ( 2 4 ) v n + l o h ，并且九 p 如，这 个时候式( 2 1 ) 的最小上界又是多少呢? 答案是与式( 2 5 ) 相仿的，这里不再详细 阐述 第三章级数型切比雪夫不等式 3 1级数型切比雪夫不等式 这一节将对b k g h o s h 的结论作进一步的推广，得到了关于形如 n n ( 吼一啦一1 ) p c i x 一肛l 岛) = 啦p ( 岛i x p i 岛+ 1 ) ( 3 1 ) i = 1 i = 1 的级数型的切比雪夫不等式其中= 0 ，并且n l ，n 2 ，是任意的常数， 0 t l t 。 t 。+ l = 。o ( 如果a o 0 ，则定义t o = 0 ，我们有： nn 口tp ( 如i x p i t i + 1 ) = 咖- 4 - ( 啦一蜘) 尸( 岛i x p l t i + 1 ) t = 0i = 1 则其结果可以仍然可以从( 2 1 ) 式推出) 在给出定理之前，先引入一个定义： 定义3 1 在级数p 纠中，如果0 0 = 0 ，o l ，眈，是任意的常数，0 t 1 0 ，我们有。 0 ，并且对任意的i v n ， 有a i 0 ，则 n a ip ( t i i x p i t ) t 0 盯2 ( 3 3 ) = 1 等号成立当且仅当p ( i x 一肛i t ) = 1 一p ( x = p ) ，其c t = 似：啦彳2 = t 0 ) 俐j 如果o 盯2 壤，则存在随机变量x 4 ，扔使得式似圳中的等号成 立 例j 如果o t 嚣 盯2 ，则对4 ，一中的任意随机变量x ，式似砂中的等号不 会成立 证明( a ) 可n a 从命题2 1 中的( a ) 推出 现证明( b ) 如果盯2 = o 。，则式( 3 3 ) 显然成立，如果盯2 = 0 ，则_ p ( x = p ) = 1 ， 式( 3 3 ) 中左右两端均为零现在假设o 仃2 。o 定义j = i ：a t o ) ，并设随 机变i x 的分布函数为取( 茹) ，则 妻吼p ( 如i x p i 如+ 1 ) 2 争l l 。- t , l t , + l d f x ( z ) 若啦厶刊。吲 s 若b # 2 嗯娜l t 。叫) 2 慨扛) 8 搿若如刊姐+ 。( 护舻吲z ) 其中式( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 8 ) 中的等号成立的充要条件为： p ( i x p i = 岛) = 1 一p ( x = p ) t j 式( 3 7 ) 中等号成立的充要条件为：对任意的i i a f ( 2 = a v 。t 0 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 第三章级数型切比雪夫不等式1 1 定理的( b ) 部分得证 下证( c ) 如果o t 毛盯2 ，则os 爰1 ，可定义一个与a 1 ，a 2 ，a n ；t l t 2 ，如相应的随机变量x 满足 p ( x ：p 帆) ：p ( x ：p 吨) ：妥：生等型 一。 一 这时，e x = 地v a r x = 0 - 2 ，且 o ip ( t i x p i t i + 1 ) = 盯2 i = l 最后证明( d ) 如果5 0 t ：。 o - 2 时存在a 。：中的随机变i x ，使得 式( 3 3 ) 中等号成立，则式( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) ，( 3 8 ) 中等号均成立，由( b ) 部分的证明 可以知道 p ( t x pj = 岛) 1 p ( xp ) t 并且对任意的i i a i 玎。= 而由的定义知道，对任意的i i ，南t v , ，于是 0 - 2 = e ( x 一) 2 0 - 2 得到矛盾因此，当t ：。 a 。则定义k 为满足如下式子 的最大自然数 一m a x 如凌2 棼专 c s 。， + l t 。磁2i 氡。 【3 9 j 第三章级数型切比雪夫不等式1 2 定理3 2 设a 。，z 为概率空间( q ，p ) 上的随机变量族，由期望为弘，方差为盯2 的随机变量 组成，如，的含义如前所述，如果壤s 盯2 ，则 倒? 如果a = m a x v 。 v n ，使得o t n ，则 n 乏二。tp ( 如t x 一肛l v n ，使得口 a ，并且盯2 t i 。，a a 。= m a x ) , 。s n o i ， 则口 。为何纠式的最小上界 证明先证明( a ) ，假设。= m a x f 如啦由 。的定义可以知道o = m a x l 啦 故a = m a , x l i na ，于是 a ip ( t t i x 一肛i t 件1 ) u r n p ( 屯i x 一肛i t i + 1 ) o 。 i = 1i = 1 如果t 嚣盯2 盯2 时， r i = i 这时候e 五= 肛，v a r x = 盯2 ，并且当i 一+ 。时候，( 3 1 ) 式趋向于a v n 第三章级数型切比雪夫不等式 再证明( b ) 设随机变量x 的分布函数为取缸) ，由于 故当i v n 时，有 当i v n 时，由 a i o 。+ ( o 。一) o i 。一毫) 一1 ( t ? 一毫) ( o 。一a oc t ：o t ? ) 一1 a v 。t 0 ( a a 。一n 。) ( ；。一壤) 一1 依然可以推出 a z o 。+ ( o h 一啦。) ( t i 。一t 乙) 一1 ( t ；一t ：。) 因此，对任意的1 i n ，恒有 a i + ( 口h 一) ( t ；。一t 墨) 一1 ( t 一t 复) ( 3 1 1 ) 于是 妻吼p ( 南i x p i t i + 1 ) = 啦p ( t t i x p l t i + o + ( o h g 。) ( t ；。一t 扩1 ( t 一t 乙) d f x ( x ) 1 = 0 j 如s l 一p i t “1 2 + ( 一m k t 嚣) 。1 上外- 川。“。( 砰一t 羡) d 取( z ) 5 + ( 。h 一m 毛一圮n ) q 善矧州。 僻一肋2 一2 】d 段( z ) 如果t 嚣 盯2 呒，则 0 ( t i 。一盯2 ) ；。一毫) 一1 1 第三章级数型切比雪夫不等式 1 4 故可定义一个与。l ，a 2 ，a n ；t “t 2 ，k 相应的随机变量x ，使得 p ( x = 肛+ t 。) = p ( x - - # - t 。) = 夏t 巧2 习- - 0 - 2 ； 尸( x = p + t h ) = p ( y = p t h ) = 这时e x = p ，v a r x = 盯2 ，并且 盯2 一t l 。 2 ( t i 。一t 乱) 啦p ( 厶i x - l , i ； l m s i 口严吼n 纵n2 曼黑毗 嗑 = 吼一_f“ 燃 第三章级数型切比雪夫不等式 于是 如果t k 扩 t i 。+ 1 ，可定义一个随机变量x 满足 p ( x = p + 盯) = 尸= u - o ) = 互1 这时候y 口r x = 盯2 ，e x = p ，并且 e a ip ( 岛i x - u l 盯2 时，几= i 这时候e 五= 儿v a r x i = 0 * 2 ，并且当i 一+ o 。时候，( 3 1 ) 式无限趋向于a v 口 注记： 当盯2 t 品时，a v 。0 盯2 a 。故定理3 2 ( a ) 中所得上界是对式( 3 3 ) 的改进 由的定义可以知道o h t - 。2 a v n t 0 或o k t 敖。t i 。，由此可以推出 a a 。吃一壤炙一t 2 进一步可以推出 ( a a 。一) ( t k t 乱) 一1 t 0 这等价于 + ( a - 。一u r n ) ( t 畚一t ：。) 一1 ( 盯2 一壤) a v + u r n t 0 ( 盯2 一壤) = 8 h 盯2 因此，在盯2 t 矗的情况下，定理3 2 ( b ) 也是对式( 3 3 ) 的改进 k o 一 + 肛 一x 一 p 。斟 h 0 一 十 p x 一0 p0 。斟 第三章级数型切比雪夫不等式 1 6 论 当盯22t 。时，a v n t 0 盯22a a 。东c r 2 o 。，故定理3 2 中( c ) 也是对式( 3 3 ) 的 改进 在定理3 1 和定理3 2 的基础上，我们可以在某些特殊情况下得出以下两个推 推论3 1 设a 。z 为概率空间( q ，只p ) 上的随机变量族，由期望为p ，方差为盯2 1 的随机 变量组成，如果随机变量x a 。：，则有 p ( i x p i i ) 仃2 ( 3 1 2 ) t = 1 并且存在a 。，。：中的随机变量x ，使得上式中等号成立 证明 尸( i x p i i ) i = 1 n = ( 啦一a i - 1 ) p ( i x p i 南) i = 1 n = o tp ( t i i x p i t m ) t = 1 其中当0 i n 时，啦= i ，t i = t ；t 。+ 1 = o o 因此 l m s t a 9 x 虿2 1 m t a 如x 石2 1 m i a 如x i a i 2 1 01 故= 1 ，t 乱= t = 1 ，如果盯2 1 ，即盯2 f 苏，运用定理3 1 中的( a ) 和( b ) ，即可 得证如果盯2 = 1 ，即2 = t 友，运用定理3 2 中的( b ) ，有 n a tp ( t t t x - p l 1 的随机 变量组成，如果随机变量x a 。，则有 妻p ( 1 x p l i ) s _ a 2 广+ 2 ( 3 1 3 ) l = l 并且当1 盯2 4 的时候，存在a ，一中的随机变量x ，使得式p j 砂中的等号成 立 证明 p ( 1 x 一肛i i ) i = 1 = ( 。t n ) p ( i x 一川如) i = l n = 啦p i x p i 1 = k 运用定理3 2 中的( b ) ，可以得到 f = 1 1 = 1 p “x p i i ) 口p ( 岛i x p i 如+ 1 ) + ( a a 。一) ( t k t 苏) 一1 ( 盯2 一t ：。) = 1 + ( 2 1 ) ( 2 2 1 2 ) 一1 ( 盯2 1 ) 盯2 + 2 2 丁 因为t 毛= 1 ，t i 。= 4 ，因此由定理3 2 中( b ) 的表述可以知道，当1 盯2 4 的 时候，存在4 ，。中的随机变量x ，使得式( 3 1 3 ) 中的等号成立 口 第三章级数型切比雪夫不等式 3 2级数型切比雪夫不等式的进一步推广 3 1 节所讨论的切比雪夫不等式中，我们也可以把盯2 = e ( x p ) 2 看 成e f ( x 一弘) ，把；看作是，( t t ) ，这里，( z ) = z 2 事实上，不仅仅对，( 。) = z 2 ，对 一类与，( z ) = x 2 有相同性质的函数，我们都可以得到如前讨论的结果 设，( 。) 为r 上的偶函数，当z 0 的时候， ) o 并且严格单调上升，在这样 的假设下，我们给出一个定义： 定义3 3 设如：0 ，0 1 ，啦，是任意的常数，0 t 1 0 ，我们有。 0 ，并且对任意的i _ a p ( t i x p i o 的时候 严格单调递增，故可以知道p ( j x p i = 0 ) = 1 ，式( 3 1 5 ) 中左右两端均为零现 第三章级数型切比雪夫不等式 1 9 设0 盯2 。，定义j = i ：a 2o ) ，设随机变量x 的分布函数为取( 。) ，则 e 汹a , p ( 蚓x p l a v ，则定义k 为满足如下 式子的最大自然数 。+ m 。a x ；。7 i i a j i i - - ：而a v n 2 j l i a ：) 、j n i - - 二丽a v ( 3 1 6 ) 有了以上定义，下面给出级数型切比雪夫不等式的第二个推广定理 定理3 4 设x 为概率空间( q ，p ) 上的随机变量，t ，v n ，k 的含义如前所述，如果，( t 。) e ( x p ) ，则 如果n = m 瓯h i 。a i ，则p 式恒小于等于口 例如果存在一些i y n ，使得a t o ，则 砉啦即t i x p i 杆。) + ( 。h 一) 旦筹亏掣( 3 1 7 ) 第三章 级数型切比雪夫不等式 证明( a ) 的证明如定理3 2 所述，下证明( b ) 由于 m a x! l 二竺! ! ：竺i ! 二塾 。+ 1 曲一f ( t i ) - - f ( v ) 2 币翥确。 故有当i v n 时，有 a i n 。+ ( o h o 。) 【，( 以。) 一f ( t 。) 】一1 【，( 屯) 一f ( t 。) 】 当i 时，由于 ( n 。一a i ) f ( t 。) 一，( 屯) 】一1 o 。，( t 。) 一1 兰( n h n 。) 【，( o h ) 一( t 。) 】一1 依然可以推出 a i a v 。+ ( o h n 。) 【，( a 。) 一f ( t 。) 一1 ，( 屯) 一f ( t 。) 】 因此，对任意的1 i n ，恒有 啦吼。+ ( o h o 。) 【，( a 。) 一，( “。) 】- 1 f ( t i ) 一f ( t 。) 】，( 3 1 8 ) 于是 妻m p ( 屯f x p i t ) ：妻啦p ( t ；sl x p i t + 。) 吾“纵n 一) ( ，( “j j _ 1 仃。一“”以外刊。d 取 h = + ( n h 一) 【，( t 。) 一( t 。) 】一1 【，( 岛) 一，( 如。) d f x ( x ) 篇j t l _ l x p l t l + l + ( o h 一) ，( t h ) 一，( t 。) 】一1 芝二 l 厂( x p ) 一f ( t 。) d f x ( x ) 面j t 。 i x p i 0 ， 则 砚p ( t i x l t ) 。【巾。) 1 一e l ( x ) ( 3 1 9 ) 定理3 6 设x 为概率空间( n ，尸) 上的随机变量，t l ，v n ，k 的含义如前所述，假设厂( t 。) e l ( x ) ， 例如果o = m a x 。 a ，则 娄吡缈i “) + ( a ) 、n - a v n ) 黼( 3 2 。) 有时候，我们也关心如下形式的级数和的上界估计 n 乏：( 毗一a i - 1 ) p ( x p 如) = 。tp ( t x p n ，贝l j m n n ( n + 1 ) ， 、面椰时，m n 0 2 0 ，并且m 一几 0 ，于是 竹m 丽一面干孑 扎m 2 + 2 m n a + n a 2 一m n 2 2 m n a m a 2 ( n + o ) 2 ( m + o ) 2 仃 礼( m 一礼) 一a 2 ( m n ) + o ) 2 ( m + n ) 2 一( 撇一a 2 ) ( m n ) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 + o ) 2 ( m + o ) 2 0 如果m n ，贝1 m n n 一1 ) ，故当、面丽o 、承丽时，m n a 2 0 ，并且m n 0 ，则 口 第三章级数型切比雪夫不等式 倒j 当七、，) l 币f = 可盯2 南v 偃可丽时， 壹x - # i p ( x ) 品 ) 南 = 1 俐j 当南狮丽 k ，于是 其中当o isn 时，a ；= i ，t = i ；t + 1 = o o 设x 的分布函数为f x ) ，对任意 的a 0 ，有 a t p ( t x 一肛 t i + 1 ) = i p ( t i x p t i + 1 ) 2 善匕m + ，蠊 ) 2 吾l 怀“m d f x ( 善t i + 2 + a ) 2 d 吲功 善南t ) 2 肿) 2 慨卅舻( x - # + a ) 2 蛾( z ) 脚m a 引x , ；- - - - 南- - = 善l ) 2 m ) 2 ，删( x - # + a ) 2 诹( z ) 黼高而】e 一p + n ) 2 2 船南( 盯2 + 口2 ) + 一 p x p 斟 第三章级数型切比雪夫不等式 令 坤) 2 南( a 2 + a 2 ) f ( 口) 2 麟 ( o ) 则如前所述，对任意的n 0 ， 下证当屉、南( 南一1 ) 矿s 七 七( 七+ 1 ) 时， 删m i n + f ( 。) = 品 由引理3 2 ( a ) 知当 硬同o 可丽时， f ( 口) = ( n ) 2 赤i ( 盯2 + 矿) i 1 - uj 一 对 ( o ) 求导，得到 以( 。) = 1 2 k ( k 了a - 矿a 2 ) ( 3 2 4 ) 即当o 口譬时， ( o ) 单调递减；当n 譬时， ( o ) 单调递增，所以当口o 的 时候，函数 ( 8 ) 在譬取得最小值又因为 因此 故 厕s 譬k ( v 砸- 7 1 ) m i nf ( a ) 、( 一1 ) a 、( + 1 ) = m i n ( o ) 、七( 七一1 ) 。 知( 詹+ 1 ) = = r a i n a ( a ) 妨 p 一 p x p 汹 爹一 第三章级数型切比雪夫不等式 假设存在a 0 ，a 百o 2 ，使得f ( a ) 品，则由f ( o ) 的定义知道 觯) f ( a ) k ，于是 其中当0 ism 时，a i = i ，t i = i ；t m + t = o 。由( a ) 中的证明可知，对任葸 的o 0 ，有 p ( x p i ) f ( o ) ， 其中 f ( 口) 21 m 。翳 ( o ) ； 删2 南( 盯2 + 。2 ) 下证当后 可丽 盯2 ( k + 1 ) 珂丽时， 。m 。兄i n + f ( 口) = ( 厕) = + - ( 厕) = i 芳瑞 一 p xp 僦 一 p xp 埘 有 + 1 令 + t 一 p xp m 僦 第三章级数型切比雪夫不等式 由引理3 2 ( a ) 知道当、，压丽= 可o 取丽时 f ( a ) = ( 口) =万(盯2+口2)k ( + o ) 2 一7 当、历厕o 抓丽了厕时， 即) = 加( 。) = 揣( a 2 + a 2 ) 由引理3 。2 ( b ) 知道 ( ) 与 + 。( o ) 相交于o = 取瓦f 砸b ，因此如果令 g = k 0 2 a 2 、i ：至嬲 则当、厢矿面口墨识丽面丽时 又 f ( a ) = o ( a ) 七狐丽 口2 厕；而o - 2 厕 若口 、压网，则 于是 因此 。 网 未 = 坐等等型 。 础r a i n + g ( ) 刊俪碉= 番豢南 第三章级数型切比雪夫不等式 即 r a i nf ( a ) 、k ( k 一1 ) 口 、( 知+ 1 ) ( 七十2 ) = r a i ng f