（化工过程机械专业论文）固体力学、流体力学及管理学方面的代数显式解析解.pdf

摘要 解析解在理论上的价值是不可替代的。各个学科的基本方程的解析解，在历史上 对该学科的发展起到过至关重要的作用。由于解析解精确表达了某一方程在特定的初始 条件和边界条件下的情况，因此可用它来检测各种数值计算方法的准确度、收敛度与有 效度，以及作为理论基础来研究数值解法，启发应如何优化其差分格式、网格生成等等。 所以，即使对各种计算学科，解析解的作用也是不可忽视的。而代数显式的解析解( 解 中不含特殊函数和无穷级数) 特别适用于理论方面的研究及作为标准解检验数值计算的 结果。尽管如此，因解析求解各种偏微分方程在数学上有一定的难度，所以，国际上的 公开文献中关于代数显式解析解的报道少之又少。本学位论文主要研究固体力学、流体 力学、管理学等方面的解析解，通过其基本方程来分析、研究、优化与其过程有关的问 题：甚至更进一步深入探讨更新与创建方面的问题。主要研究内容包括：理想塑性平面 问题的解析解，理想塑性轴对称平面问题的解析解，松散介质力学基本方程解析解，有 体积力时弹性力学平面问题的几族无限多个严格解析解，矩形薄板弯曲的严格简明解析 解，双平行自由边界矩形薄板弯曲的严格简明解析解，四维能源供需系统的简明严格解 析解，能源需求子系统的简明严格解析解，峰后岩石非d a r c y 渗流的一维非定常严格简 明解析解。 关键词 代数显式解析解，理想塑性问题，薄板弹性弯曲，能源管理，非d a r c y 渗流 a b s t r a c t a n a l y t i c a ls o l u t i o n sh a v ei r r e p l a c e a b l et h e o r e t i c a lv a u l e s m a n ya n a l y t i c a ls o l u t i o n s h a v ep l a y e di m p o r t a n tr o l e si nt h ee a r l yd e v e l o p m e n to fs o m ed i s c p l i n e s i na d d i t i o nt ot h e i r t h e o r e t i c a lm e a n i n g s ，a n a l y t i c a ls o l u t i o n sc a na l s ob eu s e dt oc h e c kt h ea c c u r a c y ，c o n v e r g e n c e a n de f f e c t i v e n e s so fa l lk i n d so fn u m e r i c a lc o m p u t a t i o nm e t h o d sa n dt oo p t i m i z et h e i r d i f f e r e n c i n gs c h e m e s ，研dg e n e r a t i o nw a y sa n ds oo n t h i si sb e c a u s ea n a l y t i c a ls o l u t i o n sc a n e x p r e s se x a c t l yt h es p e c i f i c a ls i t u a t i o no fo n ee q u a t i o nu n d e rc e r t a i ni n i t i a la n db o u n d a r y c o n d i t i o n s t h e r e f o r e ，t h ef u n c t i o no fa n a l y t i c a ls o l u t i o n sa r en o tt ob ei g n o r e di nd e s p i t eo f t h ev a r i o u sc o m p u t a t i o n a ld i s c p l i n e s a l g e b r a i c a l l ye x p l i c i ta n a l y t i c a ls o l u t i o n s ( n o ti n c l u d e p a r t i c u l a rf u n c t i o n sa n di n f i n i t e s e r i e si ns o l u t i o n s ) a r ee s p e c i a l l ys u i t a b l ef o rt h e o r e t i c a l r e s e a r c ha n dt ob ea p p l i e dt oc h e c kn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa sb e n c h m a r ks o l u t i o n s e v e ns o ， a l g e b r a i c a l l ye x p l i c i ta n a l y t i c a ls o l u t i o n sc o v e r e di no p e nl i t e r a t u r e sa r ev e r yf e wu pt on o w ， o na c c o u n to fm a t h e m a t i c a ld i f f i c u l t i e si na c c o r d a n c ew i t ha n a l y z i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h ed i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e sa l g e b r a i c a l l ye x p l i c i ta n a l y t i c a ls o l u t i o n so fs o l i d d y n a m i c s ，h y d r o d y n a m i c s ，a d m i n i s t r a t i o na n ds oo n u s i n gt h e i rb a s i ce q u a t i o n st oa n a l y s e p r o b l e m sc o n c e r n i n gt h e i rp r o c e s s e s ，e v e nt oc r e a t ea n dr e n e wt h e m t h em a i n c o n t e n t sa r ea s f o l l o w s ：a n a l y t i c a ls o l u t i o n so fi d e a lp l a s t i c i t y , a x i s y m m e t r i c a l2 一da n a l y t i c a ls o l u t i o n so f i d e a lp l a s t i c i t y , a n a l y t i c a ls o l u t i o n so fp o r o u sm e d i u md y n a m i c s ，a n a l y t i c a ls o l u t i o n so f e l a s t i c i t yd y n a m i c si n c l u d i n gb o d yf o r c e ，s o m ec o n c i s ee x a c ta n a l y t i c a l s o l u t i o n so f r e c t a n g u l a rp l a t eb e n d i n g ，s o m ec o n c i s ee x a c ta n a l y t i c a ls o l u t i o n sf o rb e n d i n go fr e c t a n g u l a r p l a t e w i t hap a i ro f p a r e l l e l f r e e e d g e ，s o m ec o n c i s ee x a c ta n a l y t i c a l s o l u t i o n so f f o u r - d i m e n s i o n a le n e r g yd e m a n d i n gs y s t e r m ， a n a l y t i c a l s o l u t i o n so fe n e r g yd e m a n d i n g s u b s y s t e r ma n du n s t e a d y1d e x a c ts o l u t i o n so fn o n - d a r c yf l o wi np o s t - f a i l u r er o c k k e y w o r d s a l g e b r a i c a l l ye x p l i c i ta n a l y t i c a ls o l u t i o n s ，i d e a lp l a s t i c a lp r o b l e m ，r e c t a n g u l a rp l a t ee l a s t i c a l b e n d i n g ，e n e r g ym a n a g e m e n t ，n o n d a r c yf l o w 2 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：基丛篷指导教师签名：迭勇 加哆年6 月蝈j 叫车多月，2 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 6 二 思。 学位论文作者签名：冀0 竣 声呻年多月，天日 两北大学硕上学位论文 1 1 课题背景和意义 第一章绪论 对很多学科而言，研究方法原则上分为实验测量与理论分析两大部类。在实验的基 础上，理论分析可以建立并得到更深入的、更概括的结果。而对已经比较成熟的学科， 基本上可以利用数学方法把理论概括为若干基本方程或称主控数理方程。对这些主控方 程的建立、验证与改进，以及利用这些主控方程来分析、研究、了解与优化研究对象， 也是该学科工作的主要内容之一。 对自然规律进行研究，其基本方法是理论分析，数值计算及科学实验。这三种方法 之问通过相互协同，相互促进，不断推动着对各种复杂现象的认识。不同研究方法“协 同”作用的一个典型例子就是利用解析解对数值计算进行校验。在文献 1 中指明，在 本质上，数值解包含了各种近似的因素，用计算程序来求解模型方程时，首先要考虑的 问题是其准确度。而与此相反，解析解是模型方程的绝对精确的解。从本质上说，解析 解可以用来检验各种数值计算方法的有效度、收敛度与准确度，以及可以用来启发如何 优化其差分格式、网格生成等等。但实际上，并不是所有的解析解都能在上述目的中发 挥作用。在此，以有限杆的热传导问题为例 2 1 ，它的主控方程及边界条件、初始条件为 _ g 3 u _ a 2 _ a 2 了u = o o z o 现a “k = o ，【略+ 办扰l = o 甜l f = o = 矽( x ) 0 0 ，n 0 。 上述式( 9 7 ) 式( 9 1 0 ) 就是最简单的解，但本解中所有变数均为常数， 概括的范围 较小。 9 4 其它严格解析解的示例 基于上节的思路，原则上还可以推得无限多的解。下面对x ，选用若干最基本的简 明函数为例，给出一些严格简明解析解的示例。 9 4 1 当x 3 = c 3 t + c 4 ， 算得 工：尘掣竺掣， ( 9 1 1 )。 口4 ( c 3 t + c 4 ) 、 与 ，1 一r 3 工22 ， 口4 一：一土( 吒+ 口，p r + 勺) 。 口2 9 4 3 当x 3 = l n c 3 t ，算得： 6 1 一一r 2 ( 9 1 2 ) 口2 ( 9 1 3 ) ( 9 1 4 ) + ： 、l，e一马 得c 窜 算 p 鸭 组眈 。 。 = l l b 当 、， 与 第九章能源需求予系统的简明严格解析解 与 1 一r 3 t l n c 3 t 而2 i 1 2 _ t i n c t ( 9 1 5 ) 五：- l n ( c 3 t ) - 1 - a 3 t _ ( 1 n ( c 3 t ) ) 2 f + a 3 r 3 t i 2 丁( i n ( c 一) ) 3 一一r e ( 9 16 ) a 2 tl n ( c 3 t ) 一口2 r 3 t2 ( 1 n ( c 3 f ) ) 2a 2 9 4 4 当x 3 = s i n ( c 3 t ) ，算得： 与 x 2 ：旦c t g ( c 3 f ) 一一r 3 口4口4 x ，：一生堕霉l 一生s i n ( c 3 t ) 一一r 2 1 a 2 c 3 c t g ( c 3 t ) 一以2 r 3a 2 a 2 9 4 5 当石3 = s i n h ( c ，f ) 时，n - 与上n ，只是将所有三角函数换位双曲函数。 9 4 6 所有上面各式中k 的通式可示为 k = 去l以x _ r 云棚l _ 屯 ( 9 1 7 ) ( 9 1 8 ) ( 9 1 9 ) 例如，当x ，为指数函数时，代入有关数据，可得k 示式为： k ：_ 1 焉j 巡坐竺兰二_ 一 ( 9 2 0 ) 一( 吃+ a 3 e h 勺) ( - a 2 a 4 - i - a 2 以4 + a i a 2 一a l a 2 r 3 ) 一a 2 a 4 r e 、7 9 5 结束语 本章对管理科学中一个具体能源需求模型，导出了其一系列的简明严格的代数显 式解析解。这些解既有其理论上的价值，而且作为标准解还可以用来检验相应数值解的 精确度、收敛性与稳定度，以及发展数值解的各种方法与技巧。 参考文献 1 】r i c h a r ds ，h o v ea ，s h u l m a np a n a l y s i so fu se n e r g y s c e n a r i o s ： m e t a - s c e n a r i o s ，p a t h w a y s ，a n dp o l i c yi m p l i c a t i o n s j t e c h n o l o g i c a lf o r e c a s t i n g & s o c i a l c h a n g e ，2 0 0 3 ，7 0 ( 4 ) ：2 9 7 3 15 2 r e i n h a r dh ，s c h 口p e rl r e s i d e n t i a le n e r g yd e m a n di no e c d c o u n t r i e sa n dt h e 6 2 西北大学硕士学位论文 r o l eo fi r r e v e r s i b l ee f f i c i e n c yi m p r o v e m e n t s j e n e r g ye c o n o m i c s ，19 9 8 ，2 0 ( 4 ) ：4 21 4 4 2 3 e d i g e rsvt a t l l d i lh f o r e c a s t i n gt h ep r i m a r ye n e r g yd e m a n di nt u r k e ya n d a n a l y s i so fc y c l i cp a t t e r n s j e n e r g yc o n v e r s i o na n dm a n a g e m e n t ，2 0 0 2 ，4 3 ( 4 ) ：4 7 3 - 4 8 7 【4 】p e r s a u daj ，k u m a ru a ne c l e c t i ca p p r o a c hi ne n e r g yf o r e c a s t i n g ：ac a s eo f n a t u r a lr e s o u r c e sc a n a d a s ( n r c a n s ) o i la n do u t l o o k j e n e r g yp o l i c y , 2 0 0 1 ，2 9 ( 4 ) ： 3 0 3 3 1 3 5 】中国社会科学院数量经济与技术经济研究所中国2 1 世纪能源展望：中国现代化面 临的能源问题 e b o l h t t p ：w w w c h i n a e n v i r o n m e n t c o m c h i n e s e p o w e r x i a n z h u a n g c a 1 3 h t m ，2 0 0 8 - 0 6 - 1 0 2 0 0 8 - 0 7 - 1 4 6 】魏一鸣，吴刚，刘兰翠等能源一经济一环境复杂系统建模与应用进展 j 管理学报， 2 0 0 5 ，2 ( 2 ) ： 1 5 9 1 7 0 【7 】蒋书敏，田立新，丁占文能源需求子系统的建模与分析 j 管理学报，2 0 0 8 ，5 ( 5 ) ： 6 5 9 6 6 1 8 】李元媛，蔡睿贤四维能源供需系统的简明严格解析解 j 能源技术与管理，2 0 0 8 ， ( 3 ) - 1 2 6 1 2 8 9 蔡睿贤非定常可压等熵流非线性方程显式解析解的推导 j ，工程热物理学报， 2 0 0 1 ，2 2 ( 2 ) - 1 5 9 - 1 6 2 【10 c a ir z h a n gn s o m ea l g e b r a i c a l l ye x p l i c i ta n a l y t i c a l s o l u t i o n so fu n s t e a d y n o n l i n e a rh e a tc o n d u c t i o n j t r a n s a s m ej o u r n a lo f h e a tt r a n s f e r , 2 0 0 1 ，1 2 3 ( 6 ) ：1 1 8 9 1 1 9 1 11 】c a ir z h a n gn e x p l i c i ta n a l y t i c a ls o l u t i o n so fc o u p l eh e a ta n dm a s st r a n s f e rs e tf o r d r y i n gp r o c e s s j t r a n s a s m ej o u r n a lo f h e a tt r a n s f e r , 2 0 0 3 ，1 2 5 ( 1 ) ：1 7 5 1 7 8 6 3 第十章峰后岩石非d a r c y 渗流的一维非定常严格简明解析解 第十章峰后岩石非d a r c y 渗流的一维非定常严格简明解析解 10 1 引 言 研究采动岩体中渗流的解析解，对岩土工程有重要的理论意义和实用价值。而水 在峰后岩石( 应力超过岩石强度极限，岩石内产生大量裂隙) 内的渗流，还不服从d a r c y 定律而服从a h m e d s u n a d a 关系 1 】。其渗透率比峰前增长数个量级，渗流系统是非线性 的，更希望能得到其基本的方程的简明严格解析解。既可作为渗流理论的基础，尤其是 还可以作为a h m e d s u n a d a 型渗流的基准解( b e n c h m a r ks o l u t i o n ) ，以发展相应的渗流 理论与验证有关数值解的准确度、收敛度、稳定性。但是，已有常用的求出偏微分数理 方程的严格解析解的方法( 例如常规的分离变量法) ，是不可能找出a h m e d s u n a d a 关 系的简明严格解析解的。因此，本章利用近来新发展的求解偏微分数理基本方程的加法 分离变量法，对a h m e d s u n a d a 型渗流求出其一维非定常非常简明而绝对严格的解析解， 以促进本学科的发展。 10 2 峰后岩石a h m e d s u n a d a 型非d a r c y 渗流系统的一维非定常基本方 罩口 j 窿 峰后岩石a h m e d s u n a d a 型非d a r c y 渗流系统的一维非定常基本方程组，缪协兴等 【1 1 已按孔祥言1 2 给出的普遍三维非定方程简化后导出其无量纲表达为： 望：一了o w ( 1 0 1 ) _ = = 一= o ta x 挲，警一a ，( 一w 1 2 ) = 一口一，i wl a t l 8 x ” ( 1 0 2 ) 在式( 1 0 1 ) 与式( 1 0 2 ) 中，除一维简化外，还忽略了体积力，流体的可压性与源、汇。 式中各参数的物理意义是 p=oc，p(103) w = 挑 ( 1 0 4 ) t=utpoflkl(zo5) x = x lz(10。6) 西北人学硕士学位论文 a l = 岛2 k 2 ( 巳唬c j 2 ) a 3 = p z c o ( 1 0 7 ) ( 1 0 8 ) 而其中p 是流体压力；丸是孔隙率；q 是流体的综合压缩系数，在忽略流体的可压性后， 它相当于孔隙压缩系数；是非d a r c y 流因子；k 是渗透率；w 是动量密度，即w - - - - , c o v ， 其中岛是流体的质量密度，v 是渗透速度；是流体的动力粘度；f 是时间坐标；x 是 几何坐标；，是基准长度；巳是加速度系数。各参数上面加一平线的是无量纲量。在本 文中认为除p ，w ，t 与x 外，其它参数均为常数。 本节的一维非定常基本方程组，看似简单，但实际上求解简明严格解析解并不容易。 主要是因为在式o o 2 ) 中除有动量密度w 的偏导数项外，还有w 本身及其平方项，用常 用的经典分离变量法是难以进行分离变量的。必须另创新法，才能找到此方程组可能有 的简明严格解析解以供实用。 1 0 3 加法分离变量法 经典的分离变量法的核心思想是假设待求函数f ( x ，y ) 可表达为两个一元函数f ( x ) 与g ( y ) 的乘积：f ( x ，y ) = 厂( x ) g ( y ) ，然后代入基本控制方程，再设法将含x 的项与含 y 的项分离，将原偏微分方程降为常微分方程以求解。在历史上它对求解不少领域( 如 振动力学、导热学等等) 的偏微分方程中都起了很大的作用。 但是经典的分离变量法也不是万能的，对不少偏微分数理方程它都不能分离变量。 近年来我们发现如果将上述分离变量法中的乘号改为加号，即设f ( x ) = 厂( x ) + g ( j ，) ， 就可分离变量且得到不少领域( 如导热、对流、干燥、层流、多孔介质渗流、非牛顿流、 弹性力学、塑性力学等等) 中不同基本方程的简明显式严格解析解”1 。 由于本章的目的并非要导出具体情况( 问题) 的解析解，而主要是要找a h m e d s u n a d a 关系的非d a r c y 渗流中，可能有的代数显式( 不包括无限级数与特殊函数) 严格解析解， 以作为基准解( b e n c h m a r ks o l u t i o l + i ) 。所以下面求解过程与常规的不一样，不是根据已 有的初始边界条件通过基本方程求出满足这些条件的解；而是先按基本方程找出可能确 的简明解析解，然后在有需要时定出其相应的初始条件与边界条件。 6 5 第f 章峰后岩石非d a r c y 渗流的一维非定常严格简明解析解 其实本章求解的是一维非定常问题，定出这些条件也是很简单的，下面己将之省略。 1 0 3 1 简明严格解析解之一 上节所述加法分离变量法，令式( 1 0 1 ) 与( 1 0 2 ) 中的歹= x p ( i ) + 乙( f ) 与 万= x 。( 刁+ 瓦( j - ) ，并将之代入式( 1 0 1 ) 与( 1 0 2 ) ，即可得 r p = 一x ， ( 1 0 9 ) t 。= - a 。) - a ，( 瓦+ k ) + 口3 ( l 2 + 2 l l + 扎2 ) ( 1 0 1 0 ) 由式( 1 0 9 ) 很容易导得 乃= c 1 hc 2 ( 1 0 1 1 ) 与 z 。= c 3 - q x ( 1 0 1 2 ) 式中各c f 为不同常数，后同。 将式( 1 0 1 1 ) 与( 1 0 1 2 ) 代入式( 1 0 1 0 ) ，可得 t w = - q x p 一q l f 1 3 ( c 3 一q ；) + 巳 乙2 + 2 t 。( c 3 一q - ) + 巳2 2 q c 3 一x + c 1 2 ；2 ( 1 0 1 3 ) 式( 1 0 1 3 ) 仍不能分离变量。为了能够分离变量，以求得简明的严格解析解，对式( 1 0 1 3 ) 做两种假定：一个是设乙为常数，另一个是设q = 0 。 在本条先按乙为常数来求解。这时有 瓦2c 0( 1 0 1 4 ) 将式( 1 0 1 4 ) 代入式( 1 0 1 3 ) ，可得 a i x p = 一色一a 3 c 3 + a 3 q x + a 3 c 0 2 + 2 a 3 c o c a 一2 a 3 c o q x + a 3 c 3 2 2 a 3 q c 3 一x + a 3 q 2 ；2 ( 1 0 1 5 ) 对式( 1 0 1 5 ) 进行同类项合并且对t 进行积分，可得t 的示式： _ = 吩 ( c 0 + 巳) 2 一c o c 3 p q ( 1 也一2 c 3 ) x 2 2 + q 2 x 3 3 a ，( 1 0 1 6 ) 将式( 1 0 1 1 ) 与( 1 0 1 6 ) 相加，即可得无量纲动量密度p 的示式： 万= 巳 ( + 乞) 2 一气一c 3 x + q ( 1 2 一2 c , ) x 2 2 + q 2 ；3 1 3 l a l + q t + 乞( 1 0 1 7 ) 两北人学硕士学位论文 同样，将式( 1 0 1 2 ) 与( 1 0 1 4 ) 相加，即可得无量纲动量密度w 的示式： w = c 3 一q x ( 1 0 1 8 ) 需要说明的是：对加法分离变量法，两个函数相加很可能出现两个常数相加，实 际上其中有一个常数出现即已足够。所以式0 0 1 8 ) 中可以省掉式( 1 0 1 4 ) 中的。 在此，我们已导出一套非定常一维a h m e d s u n a d a 型非d a r c y 渗流简明的严格解析 解。它可以作为基准解( b e n c h m a r ks o l u t i o n ) 以发展计算渗流力学。而且它也有其理 论意义，例如证明了比