（流体力学专业论文）船尾迹的波动理论.pdf

摘要 摘要 当船在水面上移动时，在船的后面会有一个v 形尾迹，这个尾迹的角度是 3 8 5 6 ，称为经典k e l v i n 尾迹，k e l v i n 尾迹波系由扩散波和横向波组成，在两 条k e l v i n 臂上这两个波系相交，这里波浪起伏最为明显，s a r ( 合成孔径雷达) 的图像能显示k e l v i n 尾迹，对此许多学者作了研究。 本文着重研究船行波几个问题，从理论的角度上进行分析，解释和发现了有 关船行波的一些现象，本文创新之处和主要结果有： 一、 消除了粘性流体中船行波临界边的奇性。 本论文获得了粘性流体中的船行波模态，而且可以清晰的看到粘性对船行波 的影响，当粘性渐渐增加时，发现扩散波的影响渐渐消失，变成以横向波为主。 还得到了船行波的速度场，速度在跨过临界边时连续变化，在i 缶界边的外侧，色 散关系虽然没有实数解，因而没有波动，但是仍存在扰动。 二、 对窄船行波的形成进行了初步的探索和研究。 我们参考了有限翼展水翼的升力理论，建立了马蹄涡与自由面相互作用的模 型，发现马蹄涡跟自由面作用的时候，在尾迹上中间是一个相对平坦的区域，过 了一定的角度范围，变成相对强烈震荡得区域，我们很准确的得到了这个角度的 很简单的代数关系式，怀疑这个平坦区域到震荡区域的交接处可能对s a r 得有着 重要的影响。另外，考虑到水下物体( 如水下潜艇) 的情形，有可能存在圆涡， 我们也初步研究了圆涡与自由面的相互作用。 三、研究在有限水深理想流体中的船行波 有限深船行波得到解析式很难，因为有双曲函数的关系，我们推广了r a d k o 的方法，研究了f r o u d e 数对船行波态的影响，搞清楚了一些规律。 关键字：船行波，窄尾迹，有限深，a i r y 函数。 a b s t r a c t a si sw e l lk n o w n ，w h e nas h i pm o v e so nt h ew a t e r ，t h e r ea r es t e a d y v - s h a p e dw a v e sb e h i n di t t h ew a k ea n g l ei s 3 8 5 6 a n di su s u a l l yc a l l e d t h ek e l v i ns h i pw a v e t h ek e l v i nw a v es y s t e mi s c o m p o s e do f d i v e r g i n gw a v e sa n dt r a n s v e r s ew a v e s a tt h et w ok e l v i na r m sd i v e r 百n g w a v e sa n dt r a n s v e r s ew a v e si n t e r s e c t t h e r et h eu n d u l a t i o ni se s p e c i a l l y o b v i o u s s y n t h e t i ca p e r t u r er a d a r ( s a g ) i m a g e so ft h es e as u r f a c ec a n s h o wt h ek e l v i nw a k e sw i t hm a n ys t u d i e so ni t m a n ys c h o l a r sh a v ea l s o s t u d i e dt h ew a v e si n c l u d i n gr e g a r d i n gt h ew a t e ra sa ni n v i s c i df l u i da n d a sv i s c o u sf l u i d s o m ep r o b l e m sa b o u ts h i pw a v e sa r ei n v e s t i g a t e da n da n a l y z e d 山e o r e t i c a u yi nt h i sd i s s e r t a t i o n s o m en e wp h e n o m e n aa b o u ts h i pw a v e s h a v eb e e ne x p l a i n e da n do b h a i n e d t h eo r i g i n a l i t i e sa n dt h em a i nr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o na l e ： 1 t h es i n g u l a l i t ya tt h ec r i t i c a ll i n e so fs h i pw a v e so nav i s c o u sf l u i d i sa v o i d e d t h es h i pw a v e sm o d eo nav i s c o u sf l u i dh a v eb e e no b t a i n e d t h e e f f e c to fv i s c o s i t yo ns h i pw a v e sc a nb e e ns e e nc l e a r l y w h e nt h e v i s c o s i 哆b e c o m eb i g g e r , t h ee f f e c to fd i v e r g i n gw a v e sd i s a p p e a r s s l o w l ya n dt r a n s v e r s ew a v e sd o m i n a t e s t h ev e l o c i t yf i e l d sa r ea l s o o b t a i n e d 1 n h ev e l o c i 哆c h a n g e sc o n t i n u o u s l yo nt h ec r i t i c a ll i n e s a t t h eo u t s i d eo ft h ec r i t i c a ll i n e s ，t h ed i s p e r s i v er e l a t i o nh a sn or e a l s o l u t i o n ，b u tt h ed i s t u r b a n c e ss t i l le x i s t 2 t h ef o r m a t i o no fn a r r o ws h i pw a v e sh a sb e e ne x p l o r e da n ds t u d i e d n e p a p e rm a k e sr e f e r e n c et ot h el i f t i n gt h e o r yo ft h es u b m e r g e d h y d r o f o i lo ff i n i t es p a na n de s t a b l i s h e sam o d e lo ft h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nas u b m e r g e dh o r s e s h o ev o r t e xa n daf r e es u r f a c ef a rf t o m t h es h i p s m o o t hr e g i o n i nt h er e g i o nw i t ha ni n c l u d e da n g l eo f j u s ta f e wd e g r e e st h ef r e es u r f a c ei ss m o o t h t h e nt h ef a s to s c i l l a t i o n b e g i n sw h e nt h ea n g l eb e c o m e sl a r g e r w eg e tt h ee x a c ta n g l e e x p r e s s i o n i ti st r u s t e dt h a tt h i sr e g i o nh a si m p o r t a n te f f e c to nt h e s a ri m a g eo fn a r r o wv - i m a g e s i na d d i t i o n ，t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e n as u b m e r g e dc i r c l ev o r t e xa n daf r e es u r f a c eh a sa l s ob e e nc o n s i d e r e d t h ec i r c l ev o r t e xc o u l db ee x i s ti ft h es u b m e r g e db o d ys u c ha sa s u b m a r i n em o v e su n d e rt h ew a t e r 3 s t u d y t h es h i pw a v e so na r ti d e a lf l u i do ff i n i t ed e p t h i t sd i f f i c u l t yt oo b t a i nt h ee x p r e s s i o no fw a v ee l e v a t i o nb e c a u s e o ft h e h y p e r b o l i c f u n c t i o n w ee x t e n d e dr a d k o sm e t h o da n d s t u d i e dt h ee f f e c t so ff r o u d en u m b e ro ns h i pw a v em o d e sa n dm a d e s o m ep h e n o m e n ac l e a r k e yw o r d s ：s h i pw a v c s ，n a r r o ww a k e s ，f i n i t ed e p t h ，a i r yf u n c t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：鬏厶伯 论文使用授权声明 嗍碑么- 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名： 基型2 盘 导师签名： 作者签名： 塾型f 坠 导师签名： 第一章引论 第一章 引论 船行波的研究虽然可以追溯到十九世纪末期，一百多年来，船舶的水动力 学研究走过了一条慢长的道路，理论研究并不容易，最近，由于s a r ( s y n t h e t i c a p e r t u r er a d a r ) 的兴起，可以用星载或机载s a r 海表图象中的船行波来识别运 动物体，因此研究船行波的兴趣越来越大。有很多人开始又在理论上研究船行波。 r e e d 等人( 1 9 9 0 ) 和其它学者详细阐述了船尾迹的雷达图像。刘等( 1 9 9 7 ) 报 道了使用s a r ( s y n t h e t i ca p e r t u r er a d a r ) 的海洋遥感能探测到南中国海沿海 导弹试验时台湾海峡中的船只。对船只和潜艇的探测一直是军事领域的一项关键 技术，常规的声纳探测技术往往难以进行大范围迅速机动的搜索，这正是海 洋遥感技术的优势所在，由于其重要的军事背景，公开发表的资料很少。吴锤结 ( 1 9 9 7 ) 讲到实验：当水下涡对上升至水面时，会在自由表面处产生两大类痕迹， 其中一类称作横向条纹( s t r i a t i o n s ) ，它是水下主涡直接与自由表面相互作用 的结果，而另一类称作纵向沟槽( s c a r s ) ，它是由水下主涡及二次涡与自由表面 相互作用的结果更进一步的研究表明，这些纵向沟槽其实是由分布在横向条纹 周围的小涡所组成的与这些小涡对应的是一些短波，而s a r 测到的正是这些短 波信号。国内的孟等( 2 0 0 1 ) 也研究了船行波的遥感问题。在2 0 0 2 年，r e e d 等人 在( a n n u a lr e v i e w o ff l u i dm e c h a n i c s ) 上发表了一篇文章对船行波的s a r 成像做了一些总结。 在使用s a r 技术时其散射回波来自于海面微尺度波动的b r a g g 后向散射截面 ( 如图1 ) ，微尺度波动又依次在方向、能量和运动方面受更大尺度波动的调制， 具 帅 图1 1b r a g g 波示意图 体分为三种：a ) 因自由面倾斜而导致的散射面元局部入射角的变化( t i l t ) ；b ) 短波与长波之间的流体动力学相互作用( 调制短b r a g g 波的波数、能量) ；c ) 长 波轨道速度造成后向散射面元平移并进而在回波信号中产生成像平面的方位向 露 第一章引论 上的位移而水动力学研究人员和海洋学家在其中很多方面可以做很多的工作。 特别是这些年来能发现被用于很多海洋动力学过程，例如，海流边界、内波、表 面波、切变波、中尺度涡旋、锋等的观测研究。 要通过研究船行波的s a r 成像来了解船行波的信息，需要研究船行波的速度 场和波高场等信息，因此开展此项研究不仅是理论上有意义，在实际当中也有一 定的参考价值。 1 1 船行波的研究历史和背景 也许研究船行波的兴趣是源于经常能在水面上看到这个现象( 如图1 2 ) ， 最早要追溯到k e l v i n ( s i r 吼t h o m s o n1 8 8 7 ，1 8 9 1 ) ，他讨论了静水中移动的压 力点源兴波的问题，实际上正是这个研究使他发展了驻相法，他考虑当g r u 2 这 个参数比较大的时候给出了船行波的张角( 船行进时在船后面形成的v - 型尾迹 的张角3 8 。5 6 ) 和两个波系( 横向波和扩散波) 的波高分布，两个波系在数学 图1 2 水面上的船行波 上是跟两个驻点相联系的，在船行波v - 型尾迹内侧，波幅以，刈2 衰减。之后， 许多的学者接着k e l v i n 的分析，包括e k m a n ( 1 9 0 6 ) ，h a v e l o c k ( 1 9 0 8 ，1 9 3 4 ) ， h o g n e r ( 1 9 2 3 ) 以及p e t e r s ( 1 9 4 9 ) ，这几位学者都通过用压力源代替船来找到 压力源远处的表面波形状的渐近形式。l a m b 的“h y d r o d y n a m i c s ”和s t o k e r 的 “w a t e rw a v e s ”等书中对经典k e l v i n 波系作了详细的介绍。1 9 6 0 年，w e h a u s e n 和l a i t o n e 把船作为一个点源也给出了在无粘流体中船行波波高的表达式。上述 这些研究在尾迹的部分区域内存在困难以及结果不太满意，表达式在船行波临界 边( 即上面提到的船行波v 一型尾迹的张角的两条边) 上都具有奇性( 即振幅在临 界边上趋向于无穷大) ，有研究者一开始考虑采用高阶驻相法。而且在尾迹中心 线附近也存在一定的奇性。u r s e l l ( 1 9 6 0 ) 讨论了理想流体中波高场的奇性问题， 2 第一章引论 推广了p e t e r s ( 1 9 4 9 ) 的方法，得到了这些区域比较好的结果，他用a i r y 函数 来渐近表示，而不用驻相法的结果，在临界边内侧附近，波幅以，。1 归衰减，而在 外侧呈指数衰减。c u m b e r b a t c h ( 1 9 6 5 ) 把u r s e l l 的方法推广到了粘性流体中，但 得到的结果还是不能用于临界边外侧。我们的第一部分工作就是对船行波的消奇 性进行了详细的讨论，得到了很多有趣的现象，比如粘性对波态的影响等。 c r a p p e r ( 1 9 6 4 ) 考虑了几种情形的理想流体中的船行波，包括有限深和考虑表 面张力的情形。研究在一开始考虑都是无粘流体中的船行波，都是把船作为无粘 流体中的点源来分析船行波。研究船行波的另一方法是根据位势原理的，例如 p l e s s e t w u ( 1 9 6 0 ) 、n e w m a n ( 1 9 7 0 ) 和b e s s h o ( 1 9 9 4 ) 。t u c k 等人( 1 9 7 1 ) 在 k e l v i n 驻相法的基础上计算了船行波态，他们是用两个点源来模拟抛物型船的， 一个位于船首，一个位于船尾，显示在低速情形下以横向波为主，速度变高时以 扩散波为主。有趣的是我们平常看到比较明显的却是扩散波。n e w m a n ( 1 9 7 7 ) 提供 了一个对k e l v i n 波态特别有说服力的推导，他从一个简单的动力学关系出发， 首先做了一个启发式的推导，然后用驻相法做了严格的分析，发现大家熟知的波 传播方向0 和位置极坐标中的极角a 之间的关系： t a n 口! 圭巫 4 t a n a 口的最大值可由此方程得到t a n a - 1 1 2 , 压，即口一1 9 0 2 8 ，相应的值为 t a n o = 1 4 2 ，即0 - 3 5 0 1 6 。，由方程可以看出，当口1 9 0 2 8 时，对应有两个0 值， 一个小于3 5 0 1 6 ，另一个则相反，可以知道小的0 角度对应横向波，大的0 角度 对应扩散波。y o u n gk w u nc h u n g 等( 1 9 9 1 ) 重新回顾了k e l v i n 船行波态，讨论 了水上和水下船行波的两种情形，认为u r s e l 消奇性的方法在全区域上是不适用 的，他在边界上用了高阶驻相法，画出了船行波态。y i h z h u ( 1 9 8 9 ab ) 仅利 用色散关系在预测扰动引起的波态时进行了一个精彩的分析，他们利用了三个基 本的关系：驻相关系；等相线垂直于波数矢量；局地相速必等于定常扰动速度在 波数矢量方向的分量，仅靠这三个波动力学关系式，他们得到了各种条件下的波 态。这些波态包括无限深、有限深、分层流体以及薄层上有毛细波的情况。m a z y a 和v a i n b e r g ( 1 9 9 3 ) 对船行波的经典理论的限制进行了讨论，同时对船行波的 远场渐近解进行了严格的数学分析。f o n t a i n e ，f a i t i n s e n c o i n t e ( 2 0 0 0 ) 考虑 到船的形状和大小，求解了在无粘流体中的船行波问题，所特别之处是既考虑了 远场的波高和近场的波高，然后再采用摄动理论中的匹配法将远场的波高和近场 的波高两者相互匹配。 3 第一章引论 在理想流体中，由于忽略了粘性，只加上边界条件解并不唯一，在研究定常 表面波问题所采用的势流框架下，需要加一些很强的辐射条件，比如在不考虑表 面张力影响的时候，要求表面波只存在于扰动的下游，施加这样的辐射条件的必 要性仍然存在争论，为了避免这样的条件，r e y l e i g h ( 1 8 8 3 ) 引入了一个耗散因 子，正比于相对来流速度，流动的无旋特性得以保留，后来很多学者( g r e e n ， s t o k e r ，d e p r i m a 和w u ) 都指出，在这个问题中，可以转换为初值问题考虑，时 间趋向于无穷大的时候，获得定常解。r e y l e i g h 的因子实际上是时间极限因子。 而在粘性问题中由于引入了粘性，数学的解就被决定了，不需要施加辐射条件或 引入耗散因子。 在粘性流体中，w e h a u s e n & l a i t o n e ( 1 9 6 0 ) 讨论了粘性流体中的小振幅波 理论，并做了简要的总结。但是，问题比较复杂，原因是以前对位势理论的大量 理论和数学工具都不能使用了。这给研究带来了一定的困难。c u m b e r b a t c h ( 1 9 6 5 ) 使用了u r s e l 的方法以及压力点源来研究粘性的船行波。a l l e n ( 1 9 6 8 ) 通过考虑 点源分布相互作用来推广了c u m b e r b a t c h 的工作。d u g a n ( 1 9 6 9 ) 研究了在二维粘 性流体中由一奇点表示的物体的运动，讨论了物体在自由面运动时的粘性阻力。 而a m i c h t ( 1 9 7 9 ) 推广了他的工作，考虑了表面张力的影响。w i i s o n ( 1 9 7 1 ) 研究了点源通过带有自由面粘性流体的运动。为了保留数学上简单而同时考虑粘 性对自由面的影响，d e b n a t h ( 1 9 6 9 ) 研究了两维自由面的s t o k e s 流，目的为了数 量上研究有粘性消耗的水波。当一个物体在粘性流体中运动时，b a t c h e l o r ( 1 9 6 7 ) 指出移动物体的下游的主要粘性影响位于尾流内。他的解释是：涡量不断被移动 物体产生和通过对流传到下游中。不论雷诺( r e y n o l d s ) 数多少，尾流是一个慢而 薄的流动区域，尾流与自由面相互作用，就是k e l v i n 船行波的产生机理。在研 究船行波的尾流与自由相互作用细节之前，必须考虑一个在无界流场中移动物体 的下游所产生的尾流。对于物体在粘性流体中定常运动时，即使在低雷诺数，不 能采用s t o k e s 对n _ s 方程近似所作的，这由于忽略了流体惯性项，对于远场来 说显得不适合了，这一点p r o u d 啮n 和p e a r s o n ( 1 9 5 7 ) 曾指出过，认为采用 o s e e n 方程是一个适合近似。为了简化问题可以采用奇点法，就是采用线性偏微 分方程的格林函数。实际上它被广泛应用于稳定s t o k e s 流，例如b l a k e c h w a n g ( 1 9 7 4 ) 、c h w a n g w u ( 1 9 7 4 ，1 9 7 6 ) 和d a b r o s ( 1 9 8 5 ) 。这种方法的困难在于如 何使适当格林函数的空间分布来满足物面上的边界条件。然而，我们认为它是目 前为止最为有效方法。对于粘性流的船行波的研究，c h a n c h w a n g ( 1 9 9 6 ) 用奇 点法研究了无限深的水下运动物体的情况，他们给出一个定常解。对于有限水深 的情况下，c h a n c h w a n g ( 1 9 9 7 ) 研究了水下运动物体的情况，但结果不理想， 它是一个四重积分表达式，这对于使用它，很不方便，而且理论研究没有体现 4 第一章引论 f r o u d e 数的影响。 至于分层流中的船行波也是非常热门的话题。要产生一个有组织的结构的内 波场需要有一个内在的当地源，其中之一是移动的物体，就象对表面船行波一样， 产生的内波场也有v - 型结构，但有区别的是它的v 一型张角取决于分层情况和船 速。也许研究分层流的早些时候的结果是h u d i m a c ( 1 9 6 1 ) 得到的，他考虑了两 层流体，其中一层为无限深，在这种情况下，除了表面波模式之外，存在与经典 k e l v i n 波模式相似的内波模式，当源的速度小于一些临界值的时候，内波模式 也有扩散波和横向波组成，当速度慢慢增大的时候，将会只剩下扩散波。c r a p p e r ( 1 9 6 7 ) 通过一个简单的分析方法推广了h u d i m a c 的理论，指出分层对表面波模 式影响很小，而内波的振幅依赖于上层的深度以及分层之间的密度差异，可以非 常大。c c m e i 和t y w u ( 1 9 6 4 ) 研究了连续分层流的情形，只有在很浅的水面下 运动时，表面波模式才显得比内波模式重要，表面波模式是随着深度指数型衰减 的，在很大的深度范围内内波模式可能会充分激发，而表面波变得可以忽略。为了 检验船行波模式，射线理论是非常成功的，k e l l e r g d h u n k ( 1 9 7 0 ) 提供了一个获得 内波模式的普遍的方法，只需要知道自由波模式的色散关系，他们找到了在源路 径附近区域的内波模式的显式表达式，主要集中在超临界速度下的内波模式上。 后来y i n & z h u ( 1 8 9 8 ) 简化了射线方法，同样也考虑了亚临界的情形，他们考虑 了一层以及两层( 其中一层同样为无限深) 的情况，然而，射线理论几乎不提供 作为各参数变量函数的扰动振幅的信息。t u l i n q 曲l i l o h ( 1 9 9 1 ) 估计了船在超临 界速度下谱函数形式的内波幅值。值得注意的是大多数理论研究集中在超临界速 度下的情形，船速大于内波的相速。最近y e u n g & n g u y e n ( 1 9 9 9 ) 考虑了更通常 的情况，流体为两层有限深，假设密度差很小( 等价的是目标速度与内波速度相 比较大) 。这些作者详细考察了船行波的两种模式( 内波模式和表面模式) ，发现 在慢速情况下，每一种模式限制在角口 1 9 0 2 8 ，看上去于k e l v i n 尾迹一样，随 着速度增加，角度逐渐变大直至对于特定的临界速度达到9 0 0 。当速度再进一步 增加时，船行波的角度反而开始减小，但是船行波的模式仅由扩散波构成。t i m o u r r a d k o ( 2 0 0 1 ) 推广了y e u n g & n g u y e n 的结果，并且用了好几种方法推导，他们研 究了水下物体在n 层( n 任意) 常密度分层流体中移动产生的表面波和内波，水 下物体假设为水下任意一层中的作用在有限体积流体中的质量力。这个模型允许 我们去分析各种类型波的幅值，它依赖于所在物体的位置，例如所在深度和层数， 作者首先考虑了速度小的时候，得到了表面波和内波模式的显式表达式，显示在 这种情形下内波模式和表面波一样，角度限制在口c 1 9 0 捃，由扩散波和横向波 构成，此时分层对表面波模式影响不大，当物体在水下足够深( 层数苫2 ) 时， 5 第一章引论 自由面的的扰动比起表面模式来，更多的是由长内波模式决定，当考虑物体的振 动时，可以观察到行进的表面波和内波叠加在船行波模式上，这篇文章估计了表 面波和内波( 各界面波) 的幅值，把以前学者的单层和双层的结果推广到更复杂 的流体系统( 比如多分层的情况) 中。国内的魏岗等人采用理论分析和实验模拟 相结合的方法研究了分层流体中运动潜体所产生的k e l v i n 界面波，平孤立内波 以及代数孤立波，初步阐明了运动源致内波的特定结构及其对自由面产生的影 响。 由于近年来通过s a r 通常更多观察到的是窄尾迹，可以在船后面延伸到2 0 k m ， 船行波的张角小于经典k e l v i n 尾迹，张角因船而异，依赖于船速，也依赖于雷达 波长，这个发现很令人惊讶，因而纷纷希望对于窄尾迹的形成做出解释。要知道， s a r 得到的图像是b r a g 后向散射的结果，任意b r a g g 波的空间分布可以通过倾斜调 制、动力学调制和速度聚束等效应被长重力波所调制。因为s a r 的波长为厘米或 分米量级，所以，b r a g g 波属于毛细重力波或短重力波。这些波并不是k e l v i n 波 的成分，一个猜想是在温跃层上船产生了内波，该内波比表面波的相速要小，尾 迹角正比于内波相速与船速之比，是要小于k e l v i n 尾迹，该内波场对海洋表面的 b r a g g 波产生调制。然而，进一步研究表明，内波调制产生的雷达后向调制是幅 值的一阶或二阶量，小于所观察的，因此，内波可能跟窄船行波无关( s h e m d i n 1 9 8 7 ) ，至少在微风条件下是如此( l y d e n 等1 9 8 8 ) 。另一个观点是窄尾迹主要 受船后的一些内在点源影响( m u n k 等1 9 8 7 ) ，这是一个比较简单的模型。然而， 我们知道船后面的正是强烈的湍流，可能会存在一个强烈的内在结构，湍流中的 小尺度扰动消失，只在尾迹中留下大尺度结构。为了阐明这个机理，6 ud a i f a n g p h i l l i p s ( 1 9 9 4 ) 观察了在微风时的船尾迹，发现尾迹有两个区域组成：一个 区域是由于船身前移而造成缓慢后退尾迹，该区域布满了旋涡；另一个区域是由 于螺旋桨产生的强紊流射流，该射流沿着缓慢后退尾迹的中央向后冲。紊流射流 中的旋涡结构，强度和平均速度依赖于船速，船形以及运动路径，动的强度强烈 意味着雷达图像中明亮两臂中的后向散射的产生源位于船后的湍流中，作者认 为，湍流和相邻的无旋区域的震荡边界产生和激发了小尺度波，因此可以认为波 是由紊流区域边界上的速度脉动产生的。研究涡，湍流与自由面的相互作用是当 前流体力学中一个十分活跃的前沿领域的研究课题，它具有深刻的理论意义和重 要的实用背景，受到人们的广泛注意。另一方面，自由表面湍流与正在发展的具 有重要战略意义的潜艇非声学探测方法息息相关。由于当代反潜技术的发展，用 传统的声学方法来探测潜艇的运动已经不能适应现代军事对抗形势的发展，遥感 等探测潜艇的非声学方法需要去做研究。我们对窄尾迹也进行了初步的探索，发 现了一些现象，但在这个研究方向上还有工作要做。 6 第一章引论 研究有限深的船行波也是有理论和实际意义的。在这个领域只有粗略的一些 参考文章声称获得了某些结果。早期研究的有e k m a n ( 1 9 0 6 ) 和h a v e l o c k ( 1 9 0 8 ， 1 9 5 1 ) ，h a v e l o c k 指出f r o u d e 数( ，r - c 厂g h ) 对船行波态有很大影响，当f r o u d e 数超过一定值得时候，点源扰动引起的横向波不会存在，船行波只有扩散波系构 成，随着f r o u d e 数从从0 到1 ，作为f r o u d e 数函数的船行波契角( w e d g ea n g l e ， 船行波张角的一半) 从1 9 0 5 6 变化到9 0 0 ，而f r o u d e 数从1 到无穷大的时候， 船行波契角从9 0 。变化到o o ，他给出了契角与深度的曲线，各种深度的波态。而 后来一些作者考虑了他的速度势描述，给了一些结论。w e h a u s e n ( 1 9 8 6 ) 研究了 浅河道有限宽度的移动源引起的波。b r o e c k ( 1 9 9 6 ) 对有限深船行波也做过很多 研究，从边界积分方程出发，主要是数值计算，得到了f r o u d e 数和波的一些变 化特点。在这里，我认为一篇重要的文章是l a n z a n o ( 1 9 9 0 ) 发现很多对船行波 模式的结论。还有一篇做得细致的文章是r w y e u n g ( 1 9 9 9 ) 写的，研究的是两层 都有限深度的分层流中移动源引起的波，得到了很多结果，虽然是分层流，但其 中的方法在研究普通有限深流体的时候很可以借签的r a d k o ( 2 0 0 1 ) 研究了分 层流中的船行波，但在一开始考虑的也是单层有限深的情况，他得到了小f r o u d e 数情形下的渐近表达式，并且得到了船行波临界角的数值表达式，画出了临界角 度随f r o u d e 数的变化图。在c h a n c h w a n g ( 1 9 9 7 ) 也做了有限深的船行波，但 结果是四重积分表达式，比较复杂，也没有体现f r o u d e 数的影响。t o r s v i k 和 d y s t h e ( 2 0 0 6 ) 考虑了浅水中变化的f r o u d e 数对船行波的影响，数值上研究了 跨临界速的情形，显示在跨临界的时候f r o u d e 数增大还是减小的趋势对波幅影 响很大，而且，波态不仅仅是由f r o u d e 数决定，比如说加速或者深度的变化也 影响波态。我们在理论上对有限深流体中的船行波进行了推导，得到了体现 f r o u d e 数影响的结果。 近年来，定常势流问题的求解日趋完备，非定常势流问题的求解成为势流理 论的一个重要发展方向。已经有不少文献作过研究。非定常兴波问题的研究虽然 相对来讲少一些，但仍有一些学者致力于这方面的研究，并且它将得到更多的关 注。b e n t w i c h m i l o h ( 1 9 7 8 ) 指出：如果速度逐步改变，那么流场能分为两个 部分。当无量纲化的时间比较小的时候，流场能够采用不定常s t o k e s 方程。当 时间大时候，即当涡扩散到一个足够距离时，b e n t w i c h m i l o h ( 1 9 7 8 ) 和 l o v a l e n t i b r a d y ( 1 9 9 3 ) 指出：在这个区城里，流动是由不定常o s e e n 方程决 定。然而，对于任意时间或者空间，这两个方程的解仍然比较难求得。国内的刘 敏嘉等人研究了瞬态船行波，发现：假设区域i 为上游无波区域，区域i i i 也是 一个无波区域，此时瞬态船行波还没有达到，而区域i i 是瞬态船行波，其形状 为等腰三角形，里面的波高分布就是对应稳态船行波的波高，两腰为稳态船行波 7 第一章引论 的两侧，底边随着时间的推移向后移到，其速度为无量纲速度l 。与在无粘流 体中的水下物体瞬态船行波相比之下，在粘性流体中水下物体的瞬态船行波多了 一个过渡区间在无粘流体中，不存在过渡区间，它直接由无波演变成有波，过 程就象激波一样；而在粘性流体中，从无波变成有波是经过一个过渡区间，如图 1 3 所示。 o 斗1 毒 1 2 论文的安捧 ， h “吣 一酌j 石 。7 b j ， r ：毫t 图1 3 理想流体和粘性流体中瞬态波的区别 在本论文中我们考虑了船行波的几个问题，着重于从理论的角度上进行分 析。主要对船行波的远场尾迹进行了研究，通过一些应用数学方法得出了一些有 意义的结果。 论文内容分为五章： 第一章为引论部分，介绍船行波的问题背景、前人的工作和研究历史。 第二章研究经典船行波在两条临界边上的奇性问题， 第三章，研究有限深流体中的船行波，对不同的f r o u d e 数的影响进行了分 析。 第四章中，研究窄船行波理论，认为船引起的涡与自由面相互作用会导致窄 船行波的出现，研究了马蹄涡和圆涡与自由面的相互作用。 在第五章中，总结了整篇论文工作，并给出了需要进一步研究的问题。 1 3 论文的创新之处 本文着重研究船行波几个理论问题，进行了分析，消除了船行波的奇性，得 到了有关有限深船行波和窄船行波的一些结果。本文创新之处有： 8 第一章引论 一、消除了船行波临界边上的奇性。使用u r s e l l 的方法，获得了粘性流 体中的船行波模态，显示了粘性对船行波模态和幅值的影响，但粘性对船行 波的相位没有影响。还得到了相应的船行波速度场。在临界边的外侧，色散 关系虽然没有实数解，因而没有波动，但仍存在扰动。 二、对窄船行波进行了初步的探索和研究。参考了有限翼展水翼的升力 理论，建立了马蹄涡与自由面相互作用的模型来研究窄船行波，结果显示在 船行波轴线附近有一个波面相对平坦区域，得到了这区域张角的解析表达 式，在其边界附近，波面振荡相当剧烈，对解释窄尾迹s a r 成像的一些机理 提供了重要的思路和方法。 三、研究了有限水深无粘流体中的船行波。我们推广了r a d k o 的方法 分别讨论了f r o u d e 数小于1 和大于1 两种情形下的船行波，可以得到船行 波角度随f r o u d e 数变化的规律。 9 第二章经典k e l v i n 波系的奇性问题 第二章 经典k e l v i n 波系的奇性问题 在推导经典k e l v i n 波系的波高表达式的时候，经常采用l i g h t h i l 两步法， 最后一步为驻相法，使用驻相法的时候，振幅表达式中分母上存在二阶导数，在 临界边上两个驻相点重合在一起，二阶导数为零，振幅出现奇异性，在这里也就 是侧向波峰和横向波峰交成尖角而相遇的地方，在这里，相位发生了z 2 的跳跃。 在1 9 6 0 年，u r s e l l 使用多项式变换把船行波用a i r y 函数来表达，消除了临界 边上的奇性。1 9 6 5 年，c u m b e r b a t c h 把u r s e l l 的结果推广到粘性流体中去，得 到了一个波高表达式，并就在尾迹中心线附近和两侧边上分别进行讨论，在两侧 边上采用取表达式相位函数的展开式的三阶项的方法，在口一只上得到波高场 的近似表达式，但未就两侧边的附近进行讨论。 其后很长一段时问都没有讨论奇性问题。自从有报道使用s a r ( s y n t h e t i c a p e r t u r er a d a r ) 探测船行波，船行波两侧边上的奇性会给使用带来很多不便， 因此消除船行波的两侧边上的奇性不但有理论意义而且还有使用价值。 袁( 1 9 9 7 ) 给出的b r a g g 后向散射截面为： - 三0 0 t 嵋 溉1 脚e 卜枞分1 一三卺- 1 】 这里一是雷达的入射角，f p ) 是能由b r a g g 散射理论计算的散射系数，与入射 角，雷达波长，极化方式等参数有关，肼，是与波一波非线性相互作用有关的常 数，埘， ，是常数，h 为风的摩擦速度，c 是波的相速，七，g o 分别为波数和频 率，t 表示波的方向张量， u 。) 是水流的水平速度。括号中的三项分别表示大 尺度风场、波的能量耗散以及流场对表面短波的调制。表达式包含了速度的导数。 因此刘和陶( 2 0 0 3 ，2 0 0 1 ) 讨论了船行波中的速度场。此外，卢( 2 0 0 3 ) 也研究了船 行波的水平速度场。然而上述提到的工作中无论是船行波的升降还是水平速度场 都在船行波的临界边上含有奇性，因此使用起来不方便。 实际上u r s e l l ( 1 9 6 0 ) 在1 9 6 0 年通过一个复杂的变换解决了船行波波高的奇 性问题。在一开始当中我们应用u r s e l l 的方法来消除速度场在i 临界边上的奇 性，保证了速度场的平滑过渡。c r a p p e r ( 1 9 6 4 ) 认为在临界边的外侧色散关系没 有实数解，因此不存在波动。我们也得到它的表达式。因此便得到了一个完整的 速度场。接下来再讨论粘性流体中的波高场和速度场的问题。这些结果可以见我 1 0 第二章经典i 珏l v i n 渡系的奇性问题 们在物理学报和水动力学上的文章。 2 1 无粘和粘性流体中的波高场的讨论 c ( 1 + u2 ) c x 加0 肌 ( 2 1 ) ，0 ，一) - ( c o s 8 一球s i n 口n i + “2 ( 2 2 ) 先找出( 2 2 ) 式的中的鞍点，也就它的极值点的位置，当h 4 = p ) 时， a f “。，口) 缸0 。将( 2 2 ) 式通过变换 f ( u ，0 ) 置- v 3 + p ( 口) y + t ，( p ) ( 2 3 ) 使得与a i r y 函数相对应。最后将( 2 1 ) 式渐近化为 2 面c x “一脚v v ( 8 ) 扯n - w p 。p n f ( 柏p p ) ) + n - 2 3 q 。( o ) a i ( - 驴p 胼 ( 2 4 ) 其中系数卢p ) 和，p ) 由下面式子决定 p ( u 。，0 ) 一号p 2 ( 口) 一 ( 口) ( 2 5 ) 而系数p 。p ) 和吼p ) 由下面式子决定 傍) 。嘞p ) t p v 2 p ) ( 2 e ) 。：嘞；p ) 泣z ， 而a i ( x ) 是a i r y 函数，其定义为 彳r b ) 托c x 冉z ( ；t 3 + x t ) t ( 2 8 ) 它可以化为贝塞尔函数 础巾嚏措h 非憾 亿。， 第二章经典l ( c m n 波系的奇性问题 接着c u m b e r b a t c h ( 1 9 6 5 ) 将其方法推广到在粘性流体中的情况下，但只对临 界边和内部有效，得不到波高图。 如何考虑在粘性流体中的两条边的奇性问题是没有解决的。以后对于这个问 题再也没有详细讨论两条边的奇性如何消去了，即使c h a r t 和c h w a n g ( 1 9 9 6 ) 研究 水下物体的稳态船行时，对此问题也是采用最速下降法处理，也就是说没有对它 解决。 2 2 无粘流体中的速度场 在研究船行波的过程当中我们通常会注意船行波的升降。然而当使用s a r 技术在海面上探测船只时，我们也需要知道上面提到的船行波的水平速度场。 我们考虑船在水面上运动的问题，假设坐标系建立在船上( 图2 i ) ，u 是相对来 流速度。船作为压力点源p 6 “弘g ：) ，假设扰动速度势为；，合成速度势为 妒- + 妒，线性化自由表面条件是当y o 时， 詈州詈+ 塑o t ，丝a t 埘詈+ 扣2 + 聊吾6 “弘也) 却祝阮2 。 p 令- + i u 2 t ，则上述2 个方程可以被写成 塑o t 州詈一詈- o ，丝o t 州鼍+ g ，7 - 一号6 “弘也) ， 祝却虹。p 无限水深的边界条件是当y 一一m 时，妒一0 在运动坐标系中，变成 西= 喁一2 t + 妒。我们得到了如下的控制方程 l图2 1 分析模型 塑+ u 粤一罢0 ( y - o ) ( 2 1 0 ) o t 觚 a ， 譬+ u