（工程力学专业论文）半无限域及层状介质边界元方法及程序开发.pdf

山东科技大学硕士学位论文摘要 摘要 本文在传统边界元程序中加入无穷边界单元以及将单区域、线弹性程序改成适用于 计算层状材料的多区域程序，并对出现的一系列问题进行了研究，进行了算例验证。取 得如下成果： 1 在现有程序基础上，引入无穷边界单元，利用其研究三维半无限域问题，并将计 算结果与传统边界元法的计算结果进行比较，验证了公式和程序的有效性。根据远场位 移的特性，用衰减函数描述远场位移；根据面力核函数在远场域上的反对称特性，将面 力核函数在无穷域上的面积分转换成线积分，并用解析法求出，从而避免了因面力核函 数在远场强奇异积分所造成的数值积分困难。 2 在离散形式的边界积分方程的形成过程中，需做大量形函数和核函数乘积的积 分，在实际计算中，这些积分的计算占总计算量的一半以上，本文采用的等精度高斯积 分可以确保积分精度和节约计算时间；并在此基础上编写了自适应积分程序。 3 在线弹性情况下，在现有的单区域程序基础上，编制相应的程序，利用边界元多 区域法对层状材料的力学性能进行研究。利用界面上的位移连续和面力平衡条件，建立 经分域再组合系统方程组：并较好地处理了角点问题角点处位移唯一，而面力却并 不唯一。本文根据平衡微分方程和应力的对称性建立辅助方程，成功地解决了由于面力 多值性所造成的方程个数少于未知量个数的难题。 4 研究了现有的弹塑性边界元方法。在此基础上，给出了弹塑性迭代公式，为今后 从事这方面研究提供方便。 关键词：边界元法自适应积分无穷边界单元半无限域多区域法层状材料 角点 山东科技大学硕士学位论文摘要 a b s t r a c t a ni n f i n i t ee l e m e n ta p p r o a c hf o rt h r e e d i m e n s i o n a lb o u n d a r ye l e m e n ta n a l y s is o fh a l f s p a c ep r o b l e m si sp r e s e n t e d a n da ne f f i c i e n t1 i n e a rt h r e e d i m e n s i o n a l m u l t i r e g i o nb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da t g o r i t h mw h i c hc a nd e a lw i t ha r b i t r a r i l y m a n yr e g i o n si sp r e s e n t e d t h ei 1 1 u s t r a t i v er e s u l t sd e m o n s t r a t et h eg o o d e f f i e i e n c ya n da c c u r a c yo ft h e s es u g g e s t e dm e t h o d s t h ef o l l o w i n ga c h i e v e m e n t s h a v eb e e ng a i n e d ： a c c u r a t ea n de f f i c i e n ti n t e g r a t i o no ft h e d i s p l a c e m e n t a n dt r a c t i o n i n t e g r a l so v e rt h es u r f a c eo ft h ep r o b l e md o m a i ni sv i t a l l yi m p o r t a n t b e c a u s e t h ek e r n e lf u n c t i o n sm u s tb ee v a l u a t e dm a n ym i l l i o n so ft i m e s ，s i g n i f i c a n t i m p r o v e m e n t si nr u nt i m e sc a nb er e a l i z e db yc o d i n gt h ea r i t h m e t i ce f f i c i e n t i y s ot h ea d a p t i v ei n t e g r a t i o nt h a td e li v e r sh i g ha c c u r a c ya tm i n i m u mc o m p u t a t i o n a l c o s tisa d o p t e d t ot r e a th a l f - s p a c ep r o b l e m sr a t i o n a l l y ，t h ei n f i n i t eb o u n d a r ye l e m e n ti s i n c o r p o r a t e di n t ot h ec o n v e n t i o n a lb o u n d a r ye l e m e n ta n a l y s i s i nt h ea n a l y s i s o fl i n e a rh a l f s p a c ep r o b l e m s b o u n d a r ye l e m e n tn e e do n l yb es p e c i f i e do nt h e s u r f a c eo ft h es e m i i n f i n i t ed o m a i n d e c a yf u n c t i o ni sa d o p t e dt or e p r e s e n tt h e a s y m p t o t i c b e h a v i o ro fd is p l a c e m e n t si nt h ef a r f i e l d o nt h eb a s i so f a n t i s y m m e t r yo ft r a c t i o nk e r n e l ，t h ei n t e g r a lo v e rt h ei n f i n i t es u r f a c e sa r e t r a n s f o r m e di n t o 1 i n ei n t e g r a l sw h i c hf o r mac l o s e dc o n t o u ra n da r ee v a l u a t e d a n a l y t i c a l l y u s i n gt h i sf o r m u l a t i o n ，t h en u m e r i c a li n t e g r a t i o n so v e rt h ee n t i r e r e g i o niso b vi a t e d t a k i n gi n t oa c c o u n tt h ei n t e r f a c ee a u i l j b r i u ma n dc o m p a t i b j li t yo n n d ；：j o p s t h es y s t e m se q u a t i o n so fm u i r i r e g i o nb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da r ed e v e l o p e d s i n c ed i s p l a c e m e n t sa r eu n i q u e l yd e f i n e db u tt h et r a c t i o n sa r em u l t i v a l u e da t c o r n e r s ，t ot r e a tc o r n e r sr a t i o n a l l y ，i ti sn e c e s s a r yt oi n t r o d u c ea d d i t i o n a l n o d e sa n dt h e nd e v e l o pa u x i l i a r ye q u a t i o n sw h i c ha r ed e r i v e df r o mt h es y m m e t r y 山东科技大学硕士学位论文摘要 p r o p e r t ya n dt h ee q u i l i b r i u me q u a t i o n so ft h es t r e s s t e n s o rt od e t e r m i n et h e a d d i t i o n a lu n k n o w n s o nt h eb a s i so ft h ea b o v e ，t h ep r o g r a mi sc o d e dw i t hf o r t r a n 9 0a n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s og i v e nt os h o we f f e c t i v e n e s so ft h ep r e s e n t e d m e t h o d i na d d i t i o n ，t h eb o u n d a r ye l e m e n tf o r m u l a t i o no fe l a s t o p l a s t i c i t yi s p r e s e n t e di nd e t a i l t h ef o r m u l a t i o nc a nb eu s e dt ow r i t et h ec o r r e s p o n d i n g f o r t r a nc o d e k e y w o r d s ：b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，a d a p t i v ei n t e g r a t i o n ，i n f i n i t eb o u n d a r y e l e m e n t ，h a l f s p a c e ，m u l t 卜r e g i o nm e t h o d ，l a y e r e dm a t e r i a l ，c o r n e r s 声明 本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公 认的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于 其它任何学术机关作鉴定。 硕士生签名： 日期： a f f i r 刑【a t i o n fj 、，扣 如占，世 id e c l a r et h a tt h i sd i s s e r t a t i o n ，s u b m i t t e di nf u w d l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ea w a r do fd o c t o ro fp h i l o s o p h yi ns h a n d o n gu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , i sw h o l l ym yo w nw o r ku n l e s sr e f e r e n c e d o fa c k n o w l e d g e t h e d o c u m e n th a sn o tb e e ns u b m i t t e df o rq u a l i f i c a t i o na ta n yo t h e ra c a d e m i c i n s t i t u t e s g n a 钿m ：飞k 吣h n d 8 t 8 ： 尊”r 6 u砂”s 6 u 山东科技大学硕士学位论文 鳍论 1 绪论 1 1 引言 2 0 世纪5 0 年代以来，随着科技的飞速发展，对材料的性能要求越来越高，尤其是 在诸如超高温、超低温、超高压等极限环境下更要求零件有特殊的性能。世界各国的学 者积极地寻找传统材料的替代品，于是各种新材料也就应运而生。诸如复合材料、智能 材料等。所谓复合材料是指由增强相、基体与填加剂，通过人工复合工艺制造的具有多 相细观结构的有特殊性能的新型材料系统；组分材料除界面外没有发生化学变化。复合 材料按其结构分为单层复合材料、层状复合材料与填充骨架型复合材料。此外，由于成 岩过程中的地质作用，矿层往往表现为层状结构，如赋存于沉积岩中的煤层。当前层状 复合材料已在许多工程领域得到应用，因此对层状材料的力学性能进行研究具有重要的 工程实际意义。 许多岩土工程问题可作为无限域或半无限域问题来处理，如结构岩体相互作用、 岩土边坡、地下工程( 如巷道、峒室的开挖) 等。因此对半无限域的研究也存在很重要 的工程意义。 1 2 国内外研究现状 在工程和科技领域中，对于许多力学问题和物理问题，人们可以给出它们的数学模 型，即应遵循的基本方程( 微分方程、积分方程或代数方程) 和相应的定解条件。近代 力学的基本理论和基本方程在1 9 世纪末和2 0 世纪初已基本形成，寻求各种具体问题的 解，便成为力学家和工程师追求的目标其手段可分为解析法和数值计算方法。 1 2 1 解析法 解析方法解决问题的能力和范围是有限的，通常需要利用各种各样的简化假设。 z h a n g d l 利用级数求和以及叠加方法，采用三角级数描述层间应力，得到复合材料杆、粱、 接头的层间应力精确解。c h e r t 【2 3 】利用积分变换的方法( 付立叶变换) 得到了半无限域 接头的层问应力精确解。c h e r lb 一3 】利用积分变换的方法( 付立叶变换) 得到了半无限域 坐至型塾奎兰婴主兰竺丝兰堕笙 的层状材料( 最多三层) 在线弹性范围的应力、位移的精确解。但这种方法并不总是可 行的，在很多情况下，如由于过多的简化将会导致不正确甚至错误的结果。对于大多数 问题，由于方程的非线性性质，或由于求解域的几何形状比较复杂，这只能采用数值方 法求解。 1 2 2 数值方法 数值方法主要包括有限差分法、有限元法和边界元法。这些方法的是将偏微分方程 的边值问题化成代数方程问题，然后用计算机求出有限个点上基本未知量的值。另外， 诸如离散元方法、不连续分析方法、无单元方法，近几年也得到了快速发展。下面主要 介绍前三种方法的基本原理和应用情况。 1 22 i 有限差分法 有限差分法是微分方程的一种近似数值解法，其特点是直接求解基本方程和相应定 解条件的近似解。有限差分法的求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网 格的节点上用差分方程来近似微分方程。当采用较密的网格，即较多节点时，近似解的 精度可以得到改进。借助于有限差分法，能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建 立于固结在空间的坐标系( 欧拉坐标系) 的流体力学问题，有限差分法有自身的优势。 因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。但是对于固体结构问题，由于方程通常建 立在物体上的坐标系( 拉格朗日坐标系) 和形状复杂，则采用其它的数值分析方法较为 合适。目前，在岩土工程中广泛使用的软件f l a c 就是采用有限差分法。 1 2 2 1 有限单元法 有限元法卜6 】这一名称是1 9 6 0 年美国的c l o u g h l 4 1 在一篇名为“平面应力分析的有限 元法”论文中首先使用的。4 0 多年来，有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空 间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题，分析对象 从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、 传热学、电磁学等领域。有限元法的基本思想是：用一个较简单的问题代替复杂的问题 后再求解。在有限元法中，将物体表示为一些小部分( 称为有限元) 的集合。这些单元 可认为是在一些称之为节点处彼此连接。这些节点通常是置于单元边界上。并认为相邻 2 生查型垫查堂堡圭堂垡堡塞堕笙 单元就是在这些节点上与它相连的。由于不知道连续介质的内部场变量( 如位移、应力 等) 的真实变化，所以假设有限元内场变量的变化可用一种简单的函数来近似描述，这 些近似函数可以由场变量在节点处的值来确定。通过和原问题数学模型等效的变分原理 或加权余量法，建立系统方程，新的未知量就是场变量的节点值。求解方程组即得场变 量的节点值，继而求出整个单元集合体的场变量，最终求得位移和应力的近似解。 有限元法的主要优点是：选用的单元形状可以是多种多样的，因此它具有很大的灵 活性和通用性，对于各种复杂的因素如复杂的几何形状、任意的边界条件、不均匀的材 料特性，杆件、板、壳、块体等各种类型构件及其组合结构均能灵活地加以考虑，而不 会发生处理上的困难；另一方面，有限元法作为微分方程的数值方法，以成为应用数学 的一个分支，通过数学家们研究解的存在性、收敛性、稳定性和误差估计。为有限元法 奠定了坚实的理论基础。加之，各种商业软件发达如a n s y s ，所以有限单元法是且前工 程应用最为广泛的数值方法。但对某些问题如断裂力学问题、无限域问题、半无限域问 题，该方法有其局限性。对于线弹性断裂力学问题，由于裂纹尖端的应力奇异性以及有 限元法需要在元内插值，故精度较低；再加上用有限元研究裂纹扩展问题时，裂纹每扩 展一步，在裂纹区域的有限元网格就需要重新调整和划分。而边界元方法对于这些问题 都可以很好地加以解决。 对于无限域、半无限域问题，有限元法只能靠截取“足够大”的介质范围以及相应 的边界约束条件来近似的处理。这种做法有明显的缺点：由于所模拟的介质范围较大， 增加了计算工作量；不能满足实际问题在无穷远处的边界条件，特别在处理动力学问题 时，由于波在所取边界处的反射效应会导致极严重的误差。一种行之有效的方法是将无 穷元与有限元耦合，无穷元的基本概念最先是由u n g l e s s 7 l 和b e t t e s s 8 j 提出的，无穷边界 单元的基本思想是适当地选择单元形函数，使局部坐标孝_ 1 时，相应的整体坐标趋向 无穷大，从而实现计算范围伸向无穷远点，合理地选择位移函数，使掌寸1 时，位移趋 向零，从而实现无穷远处位移为零的边界条件。在用无穷元和有限元耦合模型求解工程 中的实际问题方面，z i e n k i e w i c z & b e t t e s s l 9 j 求解了流体与固体相互作用问题；b e e r & m e e k 用无穷元研究岩石中孔洞周围的应力分布问题；z h a o z h a n g i ”】用无穷元模拟 半无限平面弹性地基，z h a n g z h a o i ”】利用七节点超参无穷元与等参有限元耦合对断层 3 山东型技大学硕士学位论文绪论 对重力坝地基应力的影响进行了研究，z h a o & z h a n g ! ”l 用无穷元与有限元耦合系统研究 三维拱坝地基。在解决波动力学方面，b e t t e s s & z i e n k i e 、i c z 川首先解决了介质中单一波 数的波传播问题；c h o w & s m i t h f l “，m e d i n a & t a y l o r 1 6 l 进而对求解介质中多种波数( 如尺 波，s 波和j d 波) 的波传播问题进行了有意义的探讨：z h a o & z h a n g ”j 对动力无穷元的 基本原理进行了研究；z h a o & z h a n g ”j 用映射动力无穷元模拟非均匀介质几何特性以及 介质中具有名种波数的波传播问题。 1 2 2 2 边界积分方程边界元法 边界积分方程边界元法 z 9 - 2 3 l 是在有限元法之后成为对固体力学所得数学模型 的种有效的数值计算方法，同时也用于流体力学以及电磁场计算等其他物理领域。它 的最大特点是降低问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以在需 要时根据边界未知量求出。这种方法通常具有较高的精度，而且在一些情况下比有限元 更为有效。因此，这种方法受到国内外许多专家学者的重视。 把偏微分方程的边值问题化为求解边界积分方程，早在十九世纪就有不少物理学家 和数学家提出了各种形式的边界积分公式，其主要思路是利用基本解作为特殊的权函数， 按加权余量格式列出积分方程，再借助于高斯公式得到域内任意一点尸的解用边界变量 表示的表达式，最后将基本解的奇异点尸趋于边界点p ，得到边界积分方程。但形成有 效的分单元数值计算方法还是在上世纪六十年代开始的。 边界积分方程可以用公式表示成两种不同的但有紧密联系的形式。直接方法：在边 界积分方程中出现的未知函数是问题中实际的物理量。在弹性问题中这些未知的函数是 位移和面力域。间接方法：在积分方程中包含有未知的虚密度函数，这些虚密度函数没 有物理意义。但一旦在积分方程的解中得到它们，物理问题中的变量就可以在积分中得 到。在过去的几十年当中，通过边界单元方法来求解边界积分方程解的数值方法已经越 来越广泛的用在了各种工程问题中。边界单元方法是种最有效的求解边界积分方程的 数值计算方法。边界单元方法的优点是问题的维数被降低了一维，而使得系统方程同有 限元相比较显得小。在数据准备上有实质性的减少，对裂纹问题，由于问题的维数减少 了一维，应力集中可以被简单的进行模拟。再者，由于内部的离散是不必要的，所以可 4 些变翌垫查兰堡主堂竺堕壅 堕堡 以提供连续的内部模拟。这样就导致了精度很高的内部应力和位移的解。 基本上，这种数值计算方法只是将表面域离散成单元，而不去考虑域内的问题，具 有较高精度、计算量较小等特点。但同时也在数值计算上引起一些新问题，由于系统方 程是由边界上每个点的积分关系组合得到。每个积分关系将个点的解同边界上所有 其他的点联系起来，从而形成的系数矩阵是非对称的满阵，而且每个矩阵的元素要经过 复杂的数值计算才能获得，这也是边界元欠缺的地方。而有限单元法一般导致对称的剐 度矩阵，而且在适当的节点编号下可得到非零元素集中于对角线附近的带状稀疏矩阵。 将边界元方法应用于无限域的情况是方便的，因为这时为了建立域内量与边界量之 间的关系就已选用了适用于无限域的基本解。对于边界元应用于半无限域的情况，t e l l s & b r e b b i a 2 4 l 用适用于半无限域的基本解如m i n d l i n 解( 或m e l a n 解) 代替k e l v i n 解，实 践证明，这种方法有很大局限性。一种更为有效的方法是在传统的边界元法中加入无 穷单元，w a t s o n 2 6 j 第一次将无穷元应用到边界元分析中，提出无穷边界单元的概念：后 来b e e r ，w a t s o n & s w o b o d a t 2 7 l 将无穷单元应用于隧道的三维分析；z h a n ge ta 1 【2 b 】用无 穷边界元模拟坝基问题；另外，还有许多无穷边界单元在地基结构相互作用中的应 用 2 9 - 3 】。b e e r & w a t s o n 2 5 】为利用面力核函数的反对称性将无穷单元引入半无限域，d a v i s & b u 3 2 - 3 a l 提出用基于圆形区域的不考虑远处半解析的方法来处理面力核函数在远场上 积分，后来o a o d a v i s i a 4 】又进一步将无穷区域的面积分转化为线积分，进而可以通过 解析的方法求出，从而完成了将无穷元加入传统的边界元所面临的数值算法问题。 当边界元应用于非均质情形时，一种方法是沿不同介质的分界面将整个问题分成几 个区域，每个区域内均可视为各向同性体，然后对每个分区建立离散化的边界积分方程， 并考虑子域之间的内边界上的相容条件及平衡条件，建立系统方程进行求解 1 9 , 2 d , 3 5 - 4 0 】： 另一种方法是采用适合于各具体问题的基本解 4 , - 4 2 l ，这种方法的前提是找到适合该类问 题的基本解。此外。为了充分发挥有限元方法和边界元方法的优点，许多研究者将这两 种方法耦合，如t a n s o n g l 4 m 利用有限元和边界元耦合对深部围岩巷道稳定性进行了数 值模拟。 5 山东科技大学硕士学位论文 绪论 1 3 本文研究内容 本论文的主要工作包括以下几个部分： i 用无穷边界单元分析三维半无限域问题 ( 1 ) 在边界积分方程离散的基础上，由于在远场边界满足面力为零的条件，所以对 于远场，只须对位移进行插值。根据远场位移的特性，用衰减函数描述远场位移。根据 面力核函数在远场域上的反对称特性，将面力核函数在无穷域上的面积分转换成线积分， 并用解析法求出，从而避免了因面力核函数在远场奇异积分的强奇异性所造成的数值积 分困难。在现有程序基础上，引入无穷边界单元编制适合于半无限域线弹性问题的计 算机程序，通过算例验证公式和程序的可靠性。 ( 2 ) 在离散形式的边界积分方程的形成过程中。需做大量形函数和核函数乘积的积 分，在实际计算中，这些积分的计算直接影响到对所得结果的精度，采用等精度高斯积 分可以确保积分精度和节约计算时间。并在此基础上编写了自适应积分程序。 2 用多区域法分析非均质情形 ( 1 ) 在角点处，位移是单值的，但由于边界曲面或曲线本身方向导数的不连续性， 面力是多值的。由于边界积分方程对每个节点每一自由度只能提供一个方程，所以在角 点处方程的数目不够，需要特殊处理。根据平衡微分方程和应力的对称性建立辅助方程， 从而成功地解决了由于面力多值性所造成的困难。 ( 2 ) 在线弹性情况下，在现有的单区域程序基础上，编制适合于多区域的程序，通 过算例验证程序的可靠性。利用界面上的位移连续和面力平衡条件，对每个子域建立边 界元支配方程；然后消除非界面上的未知量，根据各区域界面上的局部编号与界面上的 共同编号的关系，建立只有界面上未知量的系统方程；最后利用高斯消除法求解，再通 过反代求出非界面上的未知量。 3 弹塑性边界元方法 在这一部分，通过学习文献，给出了弹塑性边界元公式，对弹塑性迭代进行了较深 入的探讨，为今后这方面的工作奠定了基础。 上述数值方法的实现是在杜庆华1 2 2 】提供的三维弹性问题边界元程序基础上开发的。 该程序已具备基本的输入输出功能，并解决了弱奇异积分和强奇异积分的计算。 6 山东科技太学硕士学位论文 边界积分方程边界元法简介 2 边界积分方程边界元法简介 2 1 引言 边界单元法又称边界积分方程边界元法，是继有限元法之后成为一种有效的数 值方法，在固体力学、流体力学、电磁场等领域内得到了广泛的应用。 早在1 9 世纪就有不少物理学家和数学家把偏微分方程的边值问题化为求解边界积 分方程。1 9 6 7 年ej r i z z o 在应用数学季刊上发表了第一篇边界元方法的文章，此 后，边界元方法才逐渐发展成一种数值方法。ta c r u s e ，c a b r e b b i a ，h gb r a d y , j w b r a y , s l c r o u c h 等都对其发展和应用作出过贡献。我国自7 0 年代进行岩石力学边界元 的应用研究。在岩石渗流问题、地下工程支护、岩体稳定性分析等方面做出了有意义的 成果。 边界单元法的最大特点是降低了求解问题的维数。由于采用边界变量表达物体内部 变量，一般情况下只需在物体的外表边界上进行离散即可，这样原有问题用边界元法求 解降低了一维。另外，这种方法具有较高的精度。由于采用的基本解是无限域( 或半无 限域) 内的满足微分方程和无限域( 或半无限域) 边界条件的解析解。因而在用边界量 求解内部物理量的过程中引入的误差较小。边界积分方程本身所讨论的问题也是一种精 确提法，其误差仅来自于离散化的处理。 边界积分方程可通过两种途径来建立，即直接法和间接法，相应地称为直接边界元 法和间接边界元法。直接边界元法中，积分方程内出现的未知量是真实的物理变量，如 弹性力学问题中以全部系统边界上的全部张力和位移为未知量建立直接边界元格式求 解，而物体内部的张力和位移则可通过数值积分由边界值推算出来。本文所采用的方法 便是直接法。而间接边界元法采用类似于弹性力学中的应力函数或流体力学中的流函数 等为未知函数( 如单层势、双层势、虚应力等) ，利用辅助变量构造边界元格式求解，一 旦这些辅助变量求解出来，所求的真实物理量就可以通过辅助变量表达出来。 采用有限元法时。需要将域内划分成有限单元。而采用边界元时，是对边界进行离 散化，区域q 的边界由边界单元代替。把偏微分方程转化成积分方程，再把积分方程中 的域内点趋向边界，建立边界积分方程，然后利用边界单元建立线性方程求解。 7 山东科技大学硕士学位论文 边界积分方程边界元法简介 2 2 线弹性静力学问题的边界元法 2 2 1 线弹性静力学的墨本方程 线弹性力学的基本方程包括( 用张量表示) ： 平衡方程：盯+ z = o ，0 l j = v ( q ( 2 1 ) 几何方程：白= i 1 ( “，+ ”，扛& = 占 v o ) q ( 2 2 ) 本构方程：= 2 g 勺+ 五毛 v ( x ) q ( 2 3 ) 边界条件：“，= 玩v l ( 2 4 ) r 。= n j = v l ( 2 5 ) 其中，q 为所讨论问题的域，r 为其边界，l 为给定位移的边界，l 为给定面力的边界， 并且有：r 。u f , = r ，r 。n r , = 。( 空集) o g 为剪切模量，g = 夏毒西，a 为拉梅常 数，五= 鼍，e 和y 分别为杨氏弹模和泊松比，岛是k r o n e c k e r d e l t a ： l 一2 l ， 岛= o骂 边界元法求解弹性力学问题时，通常用位移作为基本未知量。以位移表示的平衡方 程和边界条件为： ( 名+ a ) u t 冉+ g u i 址+ z = 0v ( d e o ( 2 6 ) 甜，= 玩v ( d l ( 2 7 ) g i ( d l d + j j , ，) + 南帆。卜= v r i ( 2 8 ) 其中，订是指边界外法线方向余弦。 2 2 2k e l v i n 基本解 8 些查型垫查兰堡_ 圭兰竺丝兰 垄墨塑坌塑堡二二望墨兰婆箜! ! 线弹性静力学常用的基本解为k e l v i n 解。k e l v i n 基本解是指在各向同性介质中，源 点上作用集中力，在场点所产生的位移、应力和应变场。基本解满足如下方程： ( z + g ) “吾冉( p ，q ) + g “；址( j p ，q ) + 8 口a ( p ，9 ) = 0 ( 2 - 9 ) 其中，a 为d i r a cd e l t a 函数，p 为源点，q 为场点。 在三维情形下，位移基本解的表达式为： “；( p ，q ) = i 赤 ( 3 - 4 v ) 6 0 + i ，i 。 ( 2 1 0 ) ：( 尸，q ) 表示在p 点x 方向上作用单位集中力，在q 点x ，向上引起的位移。 与( 2 1 0 ) 式相对应，在q 点x ，方向引起的面力为： 钒舶卜丽”z v 即，v 鼍娟刮v ，w ) ) 式中，r 为尸点和q 点的距离。= 瓦o r ，i ，2 面o r 。 2 2 3 积分方程 2 2 3 1b e t t i 定理 本节采用b e t t i 定理建立弹性力学的积分方程。b e t t i 定理认为：假定弹性体分别作 用两组体积力和表面力，处于两种平衡状态，每一状态所包含的力学变量可写为： 第一组： ；”，f j ”，盯? ，? ，o 第二组：“j ”，j ”，盯弘s ，牡 那么，第一组力在由第二组力所引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力所引起 的位移上所作的功。于是： “地+ 妒“_ d r = “；2 m + p “j 2 a t ( 2 1 2 ) 利用平衡方程和边界条件，( 2 1 2 ) 式的左端可进一步写成： 一盯男拯+ 霄, n j u _ 1 d r = 一f 样- - g , j “；”拯+ e ( 盯跏h ，棚 = 西2 “搿地 ( 2 1 3 ) 式( 2 1 2 ) 右端也可写成类似( 2 1 3 ) 式的形式。式( 2 1 2 ) 可写成： 9 些堕型墼查兰璺主兰垡堕苎一一 望墨璺坌查堡= 二望墨墨垦塑坌 口跏搿m = 口牡孑硷 ( 2 1 4 ) 2 2 3 2 积分方程 假定b e t t i 定理中的第二个状态为k e l v i n 解，即 “；2 ) - u o ( p ，q ) f ：2 = f 。s ( j p ，q ) 将( 2 1 5 ) 式代入( 2 1 2 ) 式，注意带上标( 1 ) 的为真实状态，略去上标，于是 乃( g 弦；( p ，q ) d f f ) f q ) + f ，( 孽) ；( 尸，q ) d f ( q ) = 疗( p ，q ) o ( q ) 矗n ( 9 ) + f ，：( p ，苷) 叶( g ) 订( g ) 注意到( j p ，9 = 磊( j p ，q ) ，利用d e l t a 函数性质可得到： ( j p ) = 乃( 9 ；( j p ，q ) d f 2 ( q ) + f ，( g ) z ，；( 只g ) 盯( 可) 一f 取只g ) 甜，( 可) 订( 可) 式( 2 1 7 ) 就是含体积力的积分方稗。 2 2 4 边界积分方程 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 为获得边界积分方程，将域内点p 趋于边界点p 。以p 点为中心，作半径为的圆 弧或球面，分段积分，可得到边界积分方程： q ( p ) “( p ) = ( q ) “；( p ，q ) 旅) ( q ) + f r ，( g ) “；a p ，q ) d f ( q ) 一f “，( g ) 巧( p ，q ) d f ( q ) ( 2 1 8 ) c 。( p ) 为与点p 处的边界几何形状有关的系数，在光滑边界上c q ( p ) = 皂。如果把边界r 分成l 和l ，那么( 2 1 8 ) 式可改写为： c ，( p ) ”，( p ) = 上乃( 9 “；( ，9 c 西2 ( 9 + l ( 9 ) ”；( b q ) d f ( q ) 一乃( 9 ) 瞄( 朋) 订( g ) + l - f ，( g ) 材；( p ，q ) d f ( q ) 一甜，( p ) ，：( p ，q ) d f ( q ) ( 2 1 9 ) 0 些至型垫查兰堡主兰焦望壅 望墨堡坌查堡= = 望墨垄生堡立 式中，0 和巧分别为边界r r 和l 上已知的面力和位移，r ，和“，分别为边界l 和r 上未 知的面力和位移。 2 2 s 边界积分方程的离散化 边界积分方程建立后，采用与有限单元法的类似的方法发展边界元法。在式( 2 1 9 ) 中，把整个边界上的积分以边界单元上积分和代替。边界单元上的函数和函数的导数， 可用插值的方法获得。将整个边界离散化，求解边界积分方程的数值解。把整个边界分 成h 个单元： r = 一+ 一 ( 2 2 0 ) j 2 l，。nr + i 其中单元l ，2 ，n , n f ，单元啊+ 1 ，i t + 2 ，a _ + 胛。属l ， t + _ ，。= n 。 边界单元可分为常单元，线性插值单元，二次插值单元等类型，在局部坐标中，每 个边界单元内的位移和面力的插值公式为： j ( 矗，乞) = 州”( 点岛) 坼( 口j ) 。i - 1 ( 2 2 1 ) m f 趴舌，掌：) = j 1 ( 点，善：) r ，( 扩) ，；i 式甲，所为单兀的币点数，( 卣，善2 ) 为局部坐标系，f ( 点，f 2 ) 为二维插值函数，日为 第k 个单元内部，个节点。 将( 2 2 1 ) 式代入( 2 1 9 ) 式，对于无体积力问题，离散后的边界积分方程； 勺( p ) _ ( p ) = l ”1 ( 螽，善：) ( g ”“。s ( p ，q ) d f ( q ) t ；i 。i = 1 一。妻。善州帕( 点，岛) 乃( 秽) ) ，；( b g ) 打( g ) + 。耋，善( 卣岛) f 加埘( b 口) 刃( d 一喜善( 知f ：m ( ) ) r ；( p ，g ) 订( g ) ( 2 2 2 ) 单元内任一点的局部坐标与节点的坐标的关系可表示为： 山东科技大学硕士学位论文 边界积分方程边界元法简介 x j ”( 夤，卣) = m ( 氧，炙) x ( q f ”) ( 2 2 3 ) 这里单元的形函数 呼”( 茧，邑) 和( 2 2 1 ) 式中未知量的插值函数相同，称为等参元。将式 ( 2 2 2 ) 中积分转换为局部坐标系的积分，于是： 咏咖如) 2 善l 善f ”黝咏硝川瞄z 瞒鹄砸叫 +=窆n，+i降li = i 州小时川知蝴呜吖 汜。， 一。柰。 薯f 州( 氧岛k ( p 胡，( 知乞) 蟛骘z 巧( ) j 一善 喜m ( 卣，最蟛( p 固i ，( 卣，邑) 鹭- 蟛z “加) 式中，下标表示单元编号，f 为单元节点编号。式中同时以边界位移和边界面力为独立 变量。根据( 2 2 4 ) 式，可建立含3 n 个方程的线性方程组。将方程组的内已知项和未知项 重新排列，可得到线性方程组： a x = f ( 2 2 6 ) 式中，爿为非对称的满阵，z 含节点位移和面力的未知量，f 为常数项。解式( 2 2 6 ) 便 可得到边界上未知量。 对于有体积力的线弹性静力学问题，边界积分方程( 2 1 8 ) 中含有体积力的域内积分。 这样，在边界离散化的同时，应对域q 划分单元。这种作法类似于有限元法的网格划分， 但并没有增加任何内部未知数，这与有限元的概念是不同的。在线弹性静力学的实际问 题中，体积力的分布规律通常是比较简单的，因此不难求出有体积力的非齐次方程的特 解玩，以及相应的r ，将真实的待求解表示成它和齐次方程的解之和： “，= 玩+ “， ( 2 2 7 ) 式中，：，为待求的满足边界条件的非齐次方程的解，玩为并不单独满足边界条件的非齐 次方程的特解，这里用“表示齐次方程的解。 2 2 6 域内位移和应力 当边界上所有未知量求得以后，可根据式( 2 1 7 ) 获得域内任意一点j d 的位移。利用 1 2 山东科技大学硕士学位论文边界积分方程边界元法简介 ( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，可确定内点的应力分量 叮，( p ) = f f ；( 孽姐盆( 尸，q ) d f ( q ) 一f “；( g ) f 盏( p ，q ) d f ( q ) + 上 ( q ) “盏( 尸，q ) 打( g ) 式中 “。= 南k l _ 2 v ) ( 嘛螺& 1 吒) 哆m 】 铲丽导 s 笔陋v 一( 啦，+ 啊) _ 5 v + 3 v ( n 。l j l i + n j l ，l i ) + ( 1 2 v ) ( 3 n k r r ，+ h j 甄+ n , j 一) 一( 1 4 v ) n t 8 , j ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 式( 2 ，2 7 ) 可进一步写成离散化的形式，利用解线性方程组( 2 2 6 ) 得到的边界上节点的位 移和面力值，代入式( 2 2 7 ) 离散式中，便可得到域内任意一点的应力。值得注意的是， 基本解为两点函数，当p 和9 不重合时，可利用般的高斯积分得出积分值，而当两点 重合时，出现奇异性，应采取特殊的数学工具，以保证积分的精度。 2 - 3 本章小结 本章简单介绍了边界元法的发展过程及其特点，从直接边界元法的推导过程入手， 对线弹性问题的边界积分方程的形成及其离散过程做了简单介绍。为下一步工作打下必 要的基础。 1 3 山东科技大学硕士论文 用无穷边界元分析三维半无限域问题 3 用无穷边界元分析三维半无限域问题 3 1 引言 大多数岩土工程问题如结构岩体相互作用、岩土边坡、地下工程等都涉及到无 限域或半无限域。由于问题复杂，要想用弹性理论给出这些问题的解析表达式几乎是不 可能的，一般只能求助数值解法，如差分法，有限元法或边界元法等。前两种方法属域 内法它必须人为地划出一定的计算区域作为影响范围，假定这个区域以外部分对域内 不产生影响。从无限域中截取有限区域并进行网格划分，往往给数值分析增加许多困难， 并使计算精度受到影响。用边界元处理此类问题和有限元方法相比，具有明显的优越性。 对于无限域问题，由于k e l v i n 基本解自动满足无穷远处的边界条件，所以只需在问题的 有限表面进行离散，不会产生新的困难。对于半无限域问题，当采用m e l a n 和f l a n m a n t 基本解时，可以方便地解决边界规则的半无限域问题。然而，当半无限域的边界属非 规则时，或为四分之一无限域和任意楔形无限域时，基于m e l a n 基本解的边界元法就不 再适用。这时只能截断部分边界，把问题转为有限域问题求解。 对于半无限域问题，一种更为有效的方法是在传统边界元中加入无穷边界单元。本 章根据边界元理论，给出了基于k e l v i n 基本解处理三维半无限域的一种方案，并编制了 相应的计算程序，通过系列数值算例来验证其精度和效率。 3 2 无穷边界单元及位移衰减函数 无穷边界单元的基本思想是适当地选择单元形函数， 使局部坐标己斗l 时，相应的整体坐标趋向无穷大，从而 实现计算范围伸向无穷远点，如图3 1 ；合理地选择位移 函数，使毒一l 时，位移趋向零，从而实现无穷远处位移 为零的边界条件。 在线弹性问题中，只须在半无限域问题的边界进行离 1 4 图3 1 无穷边界单元 f i g31 l n f