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西南大学硕士学位论文摘要 h i l b e r t 中渐进非扩张映射迭代 序列的收敛性 学科专业：应用数学研究方向：非线性泛函分析 指导教师：邓磊教授 研究生：何丽丽( 1 1 2 0 0 7 3 1 4 0 0 0 0 3 6 ) 摘要 本文引入了三个新的迭代算法并证明了由它们产生的序列的收敛性文章主 要从以下几个方面进行了讨论： 1 在h i l b e r t 空间中对渐近非扩张映射引入逼近不动点的新的迭代算法利用 混合方法，在适当假设下，证明了由此算法产生的迭代序列强收敛于渐近非扩张映 射的不动点 2 在h i l b e r t 空间中对两个渐近非扩张映射引入逼近不动点的新的迭代算法 在这两个映射交换的条件下，证明了由此算法产生的迭代序列强收敛于这两个映 射的公共不动点 3 在h i l b e r t 空间中引入以下迭代算法： 一”，志砉量魄 并证明了由此算法生成的序列( ) 强收敛与两个广义渐进非扩张映射s 和r 的公 共不动点 关键词：h i l b e r t 空间；渐近非扩张映射；广义渐进非扩张映射；公共不动 点；迭代算法 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o n v e r g e n c e a b o u ( a s y l - m a p p j i 】 o ft h ei t e r a t i v es e m a j o r ： s p e c i a l i t y ： s u p e r v i s o r ： n a m e ： q u e n c e s x p a n m v e a c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s p r o f e s s o rl e id e n g l i l ih e a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h r e en e wi t e r a t i v ea l g o r i t h m sa x ei n t r o d u c e da n ds t u d i e di nt h e f o l l o w i n gw a y ： i ns e c t i o n1 ，a n e wf i x e dp o i n ti t e r a t i v ea l g o r i t h mo fa s y m p t o t i c a l l yn o n e x - p a n s i v em a p p i n gi si n t r o d u c e di nh i l b e r ts p a c e u n d e rs o m ep r o p e rc o n d i t i o n ，i t p r o v e st h i ss e q u e n c ec o n v e r g e st ot h ef i x e dp o i n to ft h ea s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v e m a p p i n gb yh y b r i dm e t h o d i ns e c t i o n2 ，an e wf b 【e dp o i n ti t e r a t i v ea l g o r i t h mo ft w o a s y m p t o t i c a l l yn o n e x - p a n s i v em a p p i n g si si n t r o d u c e di nh i l b e r ts p a c e i tp r o v e st h i ss e q u e n c ec o n v e r g e st o t h ec o m m o nf i x e dp o i n to ft h i st w oa s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n gs t r o n g l y w h e nt h et w om a p p i n g sa r ec o m m u t a t i v e i ns e c t i o n3 ，i ti n t r o d u c e san e wi t e r a t i v ea l g o r i t h mi nh i l b e r ts p a c ew h i c hi s d e f i n e da sf o l l o w s ： z n 。：o z n x 0 - - - ( 1 - a n 两蠢丽 p k = ot + j = 知 a n dt h e np r o v e st h es e q u e n c e z n c o n v e r g e st ot h ec o m m o nf i x e dp o i n to ft h i st w o c o m m u t a t i v ea s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s w em a p p i n g ss t r o n g l y k e y w o r d s ：h i l b e r ts p a c e ；a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ；g e n e r - a l i z e da s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ；c o m m o nf e dp o i n t ；i t e r a t i v ea l g o - r i t h m 独创性声明 学位论文题目：h i ! 垒曼醴虫逝进韭芷韭哒挝造岱 庄夏! j 的蝮敛：眭 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：何丽丽签字日期：2 口p 年年月j 弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：函不保密， 口保密期限至年月止) 。 7 学位论文作者签名：_ 可甬丽导师签名：p 勺艮 签字日期：2o f o 年年月5 日 签字日期：2 口f 。口年斗月哆日 西南大学硕士学位论文前言 j 刖旨 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分，它与近 代数学的许多分支有着紧密的联系特别是在研究各类方程( 包括各类线性和非线 性的、确定或非确定性的微分方程，积分方程以及各类算子方程) 解的存在唯一性 问题中有着广泛而深入的应用 不动点理论的研究起源于b a n a c h ，b a n a c h 给出了第一个不动点定理， 耳p b a n a c h 压缩映射定理：压缩映射必有唯一不动点此后，b a n a c h 压缩映射 的概念和b a n a c h 压缩映射原理已经从各个方面和各个不同的角度有了重要的发 展，而且其中某些结果已被成功的应用于研究空间中许多方程解的存在性和唯一 性上这一原理实际上是经典的p i c a r d 迭代法的抽象表达，它是经典的代数型的不 动点原理根据这一原理，不仅可以判定不动点的存在性和唯一性，而且还可以构 造一个迭代序列在任何程度上逼近不动点因此b a n a c h 不动点定理在近代数学的许 多分支，特别是应用数学的几乎所有分支都有广泛的应用，并且还被成功应用于 随机算子理论和随机逼近理论等诸多领域 非扩张映射是b a n a c h 压缩映射的一种自然的推广这种映射在近代许多数学 分支例如非线性半群，遍历理论和单调算子理论等有许多重要的应用。一般来 说，非扩张映射不一定存在不动点，即使存在不动点，也不一定唯一寻求在 此映射下存在不动点的条件、公共不动点的存在性及唯一性以及构造各种迭 代序列，在不同条件下讨论它的收敛性成为很重要的一项工作并在此基础上 我们探求一种新型的非扩张性映射，努力找到在具体空间下迭代序列收敛不动 点的唯一性的充要条件，将其应用到其他领域非扩张映射不动点的构造是非 扩张映射理论及其应用关于非扩张映射不动点理论，特别是图象恢复和信号处 理中的一个重要课题许多专家学者做过很多深入的研究，例如早在六七十年 代，f e b r o w d e r ，w a k i r k ，r k a n n a n 等f l 1 等文献中分别讨论过定义 在b a n a c h 空间的凸集上的非扩张映射的不动点的存在性 渐近非扩张映像和广义渐近非扩张型映像的概念由g o e b e l - - k i r k 引入， 并深入研究关于非线性算子的不动点的讨论，是学者们一直所关心的问 题受b a n a c h 不动点定理的激励，在1 9 5 3 年和1 9 7 4 年m a n 和i s h i k a w a 分别引入称 为m a n n 迭代序列和i s h i k g w a 迭代序列的迭代程序，并在h i l b e r t 空间中用m a n n 迭 代序列逼近l i p s e h i t z 伪压缩算予的不动点 本文第一章在h i l b e r t 空间中引入了一种新的关于渐近非扩张映射的迭代算 1 西南大学硕士学位论文前言 c 任意选取， 嚣 = z n + ( 1 一) 南知，4 = 反z n + ( 1 一风) 南- - 。1 1 s i x 拜， = v c ：0 一v i i 2 l i x 一 1 1 2 + 氏) ， = c ：z n 一 ，2 7 0 一z n ) 2o ， = f n q 。( z o ) 其中如= ( 1 一) f ( 三务n 一1 ) + ( 1 一风) ( 磕n 一1 ) 磁n 】( d i 锄6 ) 2 ，l 正n = ；可三n 屯，三只n = 万丰1 妻s 本章在一定条件下，证明了由这种迭代算法产生的序列的收敛性 本文第二章在h i l b e r 乞空间中引入了一种新的关于两个交换的渐近非扩张映射 的迭代算法，具体如下； 黝c 任意选取， = q n z n + ( 1 - a n ) 而干柄喜；毒奄p z n ， g= c ：j j 一v i i 2 l i x n v i i 2 + 以) ， q n = u c ：( z n 一 ，z o z n ) o ) ， z n + l= p c n q 。( z o ) 其中p n = ( 1 - c r n ) ( 9 三一1 ) ( d i a m c ) 2 ，鲰2 雨葺桶三n ；“e ：知8 i 岛本章的目的 就是证明在一定条件下，由此迭代产生的序列( z 。) 强收敛于点p f ( 如) 本文第三章着力于证明一个关于两个交换的广义渐近非扩张映射的隐迭代算 法的强收敛定理此隐迭代算法按如下定义： 一啪。十( 1 - o r n ，南砉丕， 其中 d n ) 【0 ，1 】，l i m 口n = 0 t l + 两个映射的公共不动点的迭代逼近问题比单个映射的情形更复杂，同时也是 近年来在不动点逼近这个课题上研究较多的问题本文第二、三部分分别讨论了 两个渐近非扩张映射和两个广义渐进非扩张映射的公共不动点逼近问题 以上工作为不动点理论的研究提供了新的途径 2 -f-_-_-_-_i i艮， 如体具 法 “吼坼 西南大学硕士学位论文第1 章渐进+ 作扩张映射迭代算法的收敛性 第1 章渐进非扩张映射迭代算法的收敛性 1 1预备知识 设c 是h i l b e r t 空间日中的一个非空闭凸子集若存在序列t n _ l ( n _ o o ) 使得 l i t z t y l i t n i l z 一可l i ，vz ，可c ，n n 成立，则称t ：c _ c 是关于t n 的渐近非扩张的映射用f ( t ) 表示映射丁在c 中的 不动点集合本章中t 和s ：c _ c 分别是关于 t 。) 和 s 。) 的渐近非扩张映射假 设f ：寻f ( t ) nf ( s ) 毋显然f ( t ) 和f 都是闭凸的( 4 】) p k 表示从日到日的闭凸 子集k 上的度量投影，( z n ) 表示序列 z n ) 的弱极限点集 迄今，关于非扩张和渐近非扩张映射的不动点迭代包括m a n n 和i s h i k a w a j 塞 代已经被很多作者广泛而深入的研究它们被当作解决非线性算子方程以及变分 不等式问题的有力工具( 【5 _ 6 ，9 】) 然而，甚至在h i l b e r t 空间中我们也仅仅得到m a n n 和i s h i k a w a 迭代的弱收敛性( 【5 - 6 】) 对于任意z o c ，s h i m i z u 和t a k a h a s h i 【1 0 】研究了如下关于渐近非扩张映射 的迭代算法： z 竹= 啪。+ ( 1 一n n ) 高铲z 二 ( 1 1 1 ) 其中q n = 晶，万h 耋( 1 + 1 1 一ld -nbn - 卜e - i ) ， k 是丁的渐近系数并且 证明了由此生成的序列f z 缸 强收敛于点p f ( 2 ；o ) 。 近期，尝试对m a n n 和i s h i k a w a j 医代序列做出一些修正以期望得到它们的强 收敛性质p l u b t i e n ga n du n g c h i t t r a k o o l 【8 】引入如下关于两个渐近非扩张映射s 和丁的修正的i s h i k a w a 迭代算法： z oc 任意选取， 鲰= q n z “+ ( 1 一q n ) j r n 磊。， 夏三0 ：c 淼竺鬈忙nw 圳， 地， g= 口 ：j l 一训| 2 i l z n 一秒1 1 2 + 以) ， 、 q n= 仃c ：( z n t ，2 ；0 一z n ) o ) ， z n + l = p c n q 。( z o ) ， 其中口n = ( 1 一q n ) 【( 磋一1 ) + ( 1 一风) ( 5 ：一1 ) t ： ( d i a m c ) 2 _ 0m o o ) 并且证明 了序列( z 。) 强收敛于点p f ( 2 ；o ) 3 堕南大学硕士学位论文1 2 引理 在迭代格式( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 的基础上，本章引入了一个新的关于渐近非扩张映 射s 和丁的迭代算法： c 任意选取， q 鼎+ ( 1 一a n ) 南量， 风z n + ( 1 一风) 万h 互z n ， ( 1 1 - 3 ) c ：l i 一 1 1 2 i i x n 一钞1 1 2 + 6 1 1 ) ， 秽c ：( z n 一 ，t o z n ) o ) ， p c , n q 。( z o ) ， 其中靠= ( 1 一a n ) 【( l 务n 一1 ) + ( 1 一风) ( l 轰n 一1 ) l 务n ( d i a m c ) 2 ，l z n = 万h 妻匕l s n = 万h 姜鲇本章的目的是证明由此迭代生成的序列【二。) 强收敛于点p f ( z 。) 我们的结果推广和统一了文献f 6 - 7 】的相应结果 1 2引理 引理l 。2 1 在h i l b e r t 空间日中，对任意的z ，y h 和a 【0 ，l 】以下等式恒成立： 入z + ( 1 一a ) y l l 2 = a l l ：q 1 2 - 4 - ( 1 一, x ) l l y l l 2 一入( 1 一, x ) l l x 一可1 1 2 引理1 2 2 f 7 】设e 是h i l b e r t 空间目的一个非空闭凸子集那么对任意给定的z ，y ，z c 和b r 如下定义的集合d ：= 勘c ：恬- v i i 2 i i x v i i 2 + ( z ， ) + ”是闭凸的 引理1 2 3 1 0 】设t 是定义在h i l b e r t 空间日的一个非空闭凸子集g 上的渐近非扩张 婴祚n 号钟的序列使舴羽舄收敛于c 中某个点讲且 一羽1奎) 强 收敛于0 ，那么名f ( t ) 。 1 3渐进非扩张映射迭代序列的收敛定理 定理1 2 1 h 是一个h i l b e r t 空间c 是日中的一个非空闭凸子集t 和s ：c c 是两个渐近系数分别为 n ) 和 s 。 的渐近非扩张映射设对任意n 都有q n a 1 和o b 佛 0 使得，对所有i n 都 l 有慨一1 1 l 。又因， i i l t , n 一1 1 i i 击擎删 一1 1 i ，到卜1 1 1 ；量。箩 杆1 + 萧1 一 n +礼+ 所以l i ml t n = 1 同理可证l i ml s ，n = 1 显然，l i m 以= 0 n _ n _ n _ o o 接下来，将证明fc 瓯事实上，由引理1 2 1 可知，对任意p f 都有 i i 磊一p l l 2 _ 驯一p 旷+ ( 1 刊i | 专娄卅 一风( 1 一风) i i z n p i f 2 + 一风( 1 一尻) j | z 。一和0 2 + 5 z n x n | j 2 1 ) i x n p l l 2 z ，l x n i l 2 1 ) 1 1 z n p l i 2 ( 1 3 1 ) s o 鼬 s o 鼬 n!i肛n铷肛 一尾 一1 孱 1 一十 一1 一+ 一 西南大学硕士学位论文1 3 渐进非扩张映射迭代序列的收敛定理 一p l l 2s q n i x n - - p j j 2 + ( 1 - a n ) l l 南萎p 一p i l 2 8 n i i x n p l l 2 + ( 1 一q n ) 磕n i f 一p i l 2 = 0 z n p l l 2 + ( 1 一a n ) ( l 务n i i z n p i l 2 一i i x n p 0 2 ) j i x 。一p l l 2 + ( 1 一a n ) l 2 t n | | z n p i l 2 + ( 1 一风) ( l ，n 一1 ) l 务n i l z 得一p i j 2 一l i x n p l j 2 】 = 0 z n p l l 2 + ( 1 一o n ) ( l 孚n 一1 ) + ( 1 一风) ( 三轰n 一1 ) l 务n 川z n _ p 0 2 l i x n p l l 2 + 靠 这可推出f cg 然后，用数学归纳法证明对所有n 0 都有fcq n 当n = 0 ， fcc = q o 假设fcq 。由于z n + l 是z o n gn q 。上的度量投影，所以 ( z n + l 一名，z o x n + 1 ) 0 ，对所有名qnq n ( 1 3 2 ) 因为fcgnq 。，特别的对所有的名f ，( 1 3 2 ) 式成立由此以及q 。+ l 的定义可 推出fcq n + 1 所以对所有的r t o 都有fcg n q n 文章将证明l | z n + 1 一z n 0 _ 0 ( 死_ ) 由q 。的定义可知，x n = 。( 勋) 因为z 。+ 1 gn q 。cq n ，所以i i z n 一* o l i i i z n + 1 一z o i | 这说明 | | z n 一* o i l 是递增序列由集合c 是有界的可知l i ml i z n 一黝0 存在注意到z n = 疡。( z o ) 和z n + l q n ，可知( z n + 1 一x n ，z 住一z o ) 0 所以 z n + l x n i l 2 =l l ( 2 流+ l z o ) 一( 茹靠一* o ) 1 1 2 = i i z n + 1 一* o i l 2 + 0 z n z 0 0 2 2 ( z n + l z o ，z n 一2 ：0 ) = l l z n + l x 0 0 2 一i i z n 一；t 0 0 2 2 ( z n + 1 一z o 一( z n z o ) ，z n z o ) = i l z n + 1 一* o i l 2 一i i x ，l 一* o i l 2 2 ( z n + l 一；t nz n x 0 ) 0 z n + l x o i l 2 一i i z n z o i l 2 0m _ o o ) 6 西南大学硕士学位i l l 论文 1 3 ii 遵! ! 芝整堕墅垄垡壁型塑堕墼| 童垩 - - _ _ 由此可断百- - - 占i i 而1 鲁n $ n - - x n i i - - , 。和i l 石h 妻x n - - x n i i - - , 。( 礼- - , o o ) 由蜘的定义可知 熹砉于圳= 瓦1 圳 s 瓦1 ( - x + l l l + x n + l - - t , n x n + l i i ) ( 1 l t ，n + l i ) 一 1 一n n ”“ ”7 乙1 ( - x + l l l i i x n + l x n n la 协 ( 1 l ) 一 一 、l i 口， - - 7 由2 7 n + 1ec 可得l l y - x + l1 1 2 i i x - z + , 1 1 2 + 靠一。( n o 。) 这可得| l 万h 妻p 一 z 圳一。_ o 。) 设 i | 瓦b 篓z n 。一z 佩吣是 i l 万h 叠x n - - x n l l 的任意 子序列对任意p f ，可知存在( z 纯，的子序列 b ) 使得摆l l z 嚆一p | l 2 l i r as u pi i z n 一p 0 ：_ _ - - - - r 注意至u g - - - 0 0 岷刊i i i 、一面1 t l 。p bi l + i i 南伽7 i z , - p i n k 1 ”b i i x 。j 一六鬈t i z n 。j i l l t , n k ，i f z n 。j - - p | | 由此可得 r = l i ，m 。i n fi i z n b p l | l i m ，一i n fi i z , j p | 1 ( 1 3 3 ) ，_ o 。 o j 一 m ( i 3 1 ) 椭i i i z n b p i l i l z n b - p i + ( 1 一) ( b 一1 ) ；1 1 z n * ，一饥所以 l i m s u pi i 。一p i i l i m s u pi i z n 。j p i | = r ( 1 3 4 ) j - - , o o 。 ：- - - * c o 由( 1 3 3 ) ( i ( 1 3 4 ) 式可知熙i l z n k j p l l 2 j 1 。i m 。f l z n 吩一p l l = r ( 1 3 1 ) 式可推出 鲫_ 删六n t 嗝一1 2 墨恢b - p l l 2i i z , , b 一卅+ ( 1 一风。j ) ( l 一b 一1 ) l l z n k j 一卅 一0m _ o 。) 7 西南大学硕士学位论文1 3 渐进非扩张映射迭代序列的收敛定理 所以l i m j + 。n i j = 0 | | 南静、b 接下来，注意到 i i = 0 而1 n 驯一而1 ；7 1 删+ 由 z n 。) 的任意性可知恕i | 万h 量z n n 于锄一而；n 删 l l 一熹喜嘲刊i z n x n | | 因为i i - x i i = ( i 一风) | l 万h 所以 l i ml n n ，l， 伊z n z n i i _ 0 和| | 万h i = 0 。一 t x - x i i = ，l i mi i 丢- i + 1 n 9 z n z 。i l = 0 z n f l _ 0 ， ( 1 3 5 ) 因为集合c 是闭凸的，所以( z n ) 谚m ( 1 3 5 ) 式和引理1 2 3 ，可知u ”( z n ) c f 又由q 。的定义可知，对所有的n o 都有i | z n z 0 0 i i p f ( x 0 ) 一x 0 1 i 因为范 数是弱下半连续的，所以对所有的叫( z a ) 都有l i 叫一x o i i i p f ( x o ) 一x o l l 由“k ( z n ) cfn - - j 9 i i l ，对所有w “( z n ) 都有叫= b ，( z o ) 因此“k ( z 。) = 斥( z o ) ) 所以 z n ) 弱收敛于点p f ( z o ) 由 | l z n p f ( z 0 ) 1 1 2 = i l z 。一x o + x o p f ( x o ) 1 1 2 = i l z n x o l l 2 - i - i i x o p f ( z o ) 1 1 2 + 2 ( x n x 0 ，z o p f ( z o ) ) 2 ( i i p f ( x o ) 一x 0 1 1 2 + ( z n z o ，x o p f ( z o ) ) ) _ 0 _ o 。) ， 可知序列【z n ) 强收敛于点p f ( z o ) 这就完成了定理的证明 口 8 瑚 噜 7 n 渤 瑚瑚 西南大学硕士学位论文第2 章两个交换的渐进非扩张映射迭代算法的收敛性 第2 章两个交换的渐进非扩张映射迭代算法的收敛性 2 1预备知识 c 是h i l b e r t 空间日中的一个非空闭凸子集若存在序列t n _ l ( n _ c o ) 使得 i i t x p 矽0sk i i = 一y l l ，vz ，y c ，n n 则称t ：c c 是关于t n 的渐近非扩张的映射用f ( t ) 表示映射丁在c 中的不动点 集合本章中tm s ：c _ c 分别是关于 “) 和 s n ) 的渐近非扩张映射假设f ：= f ( t ) nf ( s ) d 显然f ( t ) 和f 都是闭凸的【1 1 】若f ：- - - - - f ( t ) nf ( s ) o ，那 么f 也是闭凸的淼表示从努到胃的闭凸子集k 上的度量投影，( z n ) 表示序 列t z n ) 的弱极限点集 由文【1 2 1 知h i l b e r t 空间日满足o p i a l 条件，即：若序列( z 拜) 弱收敛于h 的某个 元素y 且y z 那么 1 i m i n fi i z n 一训 l i m i n fi i x n z 1 1 n _ o of i t - - + o o 近年，关于非扩张和渐近非扩张映射的不动点迭代格式已经被很多作者广泛 而深入的研究它们被当作解决非线性算子方程以及变分不等式问题的有力工 具( 1 3 - 1 5 ) 。然而，甚至在h i l b e r t 空间中我们也仅仅得到的弱收敛性( f 3 - 4 】) s h i m i z u 和t a k a h a s h i 【1 6 】研究了如下关于非扩张映射的迭代算法： 严跏+ ( 1 - a f i t ) 南。毛吼m ( 2 1 1 ) 其中如是c 中任意元素， q n ) 【o ，1 l i m = 0 ，q n = 并且证明了由此迭 代生成的序列 z n ) 强收敛于点斥，( 黝) 近期，为了得到强收敛定理，许多作者对m a n n 迭代方法做出了一些修正k i m 和x u 17 】引入了如下关于渐近非扩张映射t 的迭代算法： f 黝c 任意选取， l 暑h = n n z n + ( 1 一q n ) p z n ， g= 移c ：j i v 一- 1 1 2si i ；t 俺一口| 1 2 + 如】- ， ( 2 1 2 ) i q n= u c ：( z n 一 ，x 0 一z n ) o ) ， i - z n + l = p c n q 。( z o ) ， 其中靠= ( 1 一q 。) ( 磋一1 ) ( d i a m c ) 2 0 当n _ o 。然后证明了由此迭代生成的序 列t 。) 强收敛于点p f ( z o ) 9 西南大学硕士学位论文2 2 引理 在迭代( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的基础上，本章引入个新的关于两个交换的渐近非扩 张映射s 和t 的迭代： c 任意选取， 美= v 惠i i瓣知晚m 仁m ， 口9 ：i i 一2 i i z n 一钞1 1 2 + 如) ， l 厶l o j uec ：( z n u ，x o z n ) o ， p c n q 。( z o ) ， 其中氏= ( 1 一) ( 鲤一1 ) ( d i a m g ) 2 ，鲰2 丽了桶喜；毒奄s t 幻本章的目的 就是证明由此迭代生成的序y u x n ) 强收敛于点斥( 黝) 2 2 引理 为了得到本文主要的结果，需要下面的引理 引理2 2 1 f 1 6 】令k ：鱼掣，则在h i l b e 刊空间日中以下等式恒成立： 恢一移1 1 2 = e 1 i - t i , j 一移1 1 2 一亡i i 戤j 一1 1 2 ( 2 2 1 ) “k = 0i + j = k 4 。n k - - - - - 0i + ，= 知 其中 戤j i , 焉- - oc h ，蜘2 瓦丕n ；钾：知x i , j e 日和u 日。 引理2 2 2 设g 是h i l b e r t 空间日的一个有界闭凸子集，s 和t 是c 上的两个 渐近系数分别为 s n 和 t n ) 的渐近非扩张映射对任意的z c ，令r ( z ) = 两柄叠；毒奄则 和 - l i m l i ms u pl l r ( z ) 一r ( z ) | i = 0 ， 1 1 n 。o z c - l i m l i ms u pf l 磊( 。) 一r ( z ) | i = 0 1 。n l o ox e c 1 0 = l i = l i 跏；蓦 g 骗 西南大学硕士学位论文2 2 引理 证明令戤j = s t j x ， = s 。f n ( z ) ，l n i i r ( z ) 一s 。r ( z ) f 1 2 l l n 1 厶 n f f t 一一t k = 0i + j = k z l i 厂厂 二一t k = 0i + j = k 1 + 瓦 n p z r ( 珊一去 桫p z 一r ( 珊+ 瓦1 厂厂 ：o t ：一 k = li 十j = 七，i 1 由引理2 2 1 可知 桫p z r ( z ) 1 1 2 k = 0 “0 = 七 1 t s 蛀t j z 一r 圳1 2 k = li + j = 七，l l l s i t j x s ( x ) 1 1 2 一f 1 1 l - j n t i 桫p z r ( z ) 1 1 2 k = 0 i + j = k 瓦1 i i s t j z 一r ( z ) 0 2 + 云1 4 。n k = 0i + j = k“k = li + j = k ，l z 一1 1 + 瓦 厂厂 一一 k = li + j = 南，i ls 凇一p z r ( 珊一去 =去萎忪慨r(珊+瓦1k “n = 0 i + j = 七 “n 1 + 瓦 1 7 7 - - - o n t l z f f 一- k = 0i + j = k l 一1 f f ：一二0 k = 0i + j = 七 1 + 瓦 n z 竹 守p z s r ( z ) 1 1 2 i i s t j 一r ( z ) i | 2 k = 0i + j = 七 桫p z 一r ( z ) 1 1 2 k = li + j = k ，i 0 使得 i i s t j z - p l l s 删z 一训百m ， 眦川s 去砉；到s 寥训等， i i s ( z ) 一p 忪s l l i e ( z ) 一p i l 虿m ， 对所有的非负整数i ，j ，z ，礼恒成立所以，对所有的非负整数i ，j ，z ，礼都有i i s t j x 一 1 1 西南大学硕士学位论文 2 2 引理 s 。r ( z ) i | sm ，l i s t j z f n ( z ) i l m 因此 s u pi i r ( z ) s 。r ( z ) | | 2 z t u 冬揣m 2 黼肌生等蒜辫型m z _ 0 ( n 一，z _ o 。) 同理可证 ，l i m l i m s u pi i r ( z ) 一r r ( z ) i | = 0 1 1 n o 。$ g 注2 2 1 引理2 2 2 推广了【1 6 】中的引理1 引理2 2 3 令s 和t 是定义在h i l b e r t 空间h 的有界闭凸子集c 上的两个交换的渐 近系数分别为【s 。) 和 t n ) 的渐近非扩张映射，l n = 垫三辫 z 五 是g 中的 一个序列若( z 。) 弱收敛于c 中某个点z 且 z n 一手s t t j x n ) 强收敛到o ， 一”缸= 0 i + j = k 那么z f ( s ) n f ( 丁) 证明可断言当z _ 0 0 时，序列 z ) 强收敛到点z 反之，则存在一个正数印和 序列 z ) 的一个子序列 f m 使得对所有的m ，i i s k z x l i 印成立然而， ix n 节h z i l 冬i i z n 一壶s i t j x n i i + i i 圭s i t j z n s i r e ( 去s t j x 。) l “nk = o i + j = k u n 七= o i + i = kd n 函f ；磊七 + l l s “( 去s t j x n ) 一s m x l l 忙n 一击塞；毛p 圳l + n 去砉；薯p z n 一洳c 去熹m ：七s t j z ) 1 1 + s f 。畦s i t x n z ” 忙n 一去砉；毛9 _ 划唛壹k = o ；暑一z nd “c 击薹；守p 酬 + s k 畦s t j x n 一如i i + s l 。慨一z ” ( 2 删 1 2 西南大学硕士学位论文2 2 引理 i 扫o p i a l 条件可知，对任意的可c 且可。，都有 l i m i n fi i z n z i i l i m i n fl i z n 一夕i f n n - 0 0 令r = l i m i n fi l z n z i j ，选取一个正数p 使得 n _ p 一 ( 2 2 3 ) 则存在 z n ) 的一个子序列f z n ；) 使 l j l i l 。i m o oi | z n 。一z l i = r 和i l z m z l i m o 成立由于 s r 。o z n 。一z l i r + 署， l i m i i 铲去砉量s 嘲l _ 0 且 。) 是有界的，所以存在正整数i o 使得 和 一去薹；f 叫l m 0 及i l 0 使得 瓦1 一k = o 。蠹s 尹一m l ( 专妻k - - - o ；薯p ) i l i l 成立由( 2 2 2 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 式，可得 i l z n 。一s f m - z o m a x i o ，i i 成立然而， 一下l m lx - 卜x i j 2 = 三 x n 。- - | j 2 + i l x n , - x | j 2 - 1 i sm i x - z 1 1 2 华十掣一譬 ( r + p ) 2 一导 m a x i o ，i l 成立这- q ( 2 2 3 ) 式矛盾所以【z ) 强收敛与点z 且z f ( s ) 同理可得z f ( 丁) 所以z 是ss u t 的公共不动点口 引理2 2 4 【18 】设c 是h i l b e r t 空间日的一个有界闭凸子集则对任意给定的z ，可，z c ，b r ，集合d ：= u c ：怕一u l l 2 忙一训2 + ( z ， ) - 4 - 6 ) 是闭凸的 2 3两个交换的渐进非扩张映射迭代序列的收敛定理 定理2 3 1 c 是h i l b e r t 空间日的一个有界闭凸子集，s 和t 是c 上的两个交换的 渐近系数分别为 s 。) 和 n ) 的渐近非扩张映射0 o 都存在n o 使得对所有的i ，歹 n 都有慨t j 一1 1 l e 所以 1 1 鲰- 1 | i = | i 南砉睁七( s t t ，- 1 ) 南乏；到s 南。o 万南东州戛o 吼幻- 1 i i 十万翻荟；句萎o s 南。 + 百f 慨t j 一1 1 i 。n + 1 ) + 2 ) 急i 钾：蛳盎舱m ”q 2 n f n + 1 ) m2 n ( n + 1 ) m f 礼+ 1 1 f 礼+ 2 、f n + 1 1 f n + 2 1 因此l i mg n = 1 所以可得l i mo n = 0 n + n _ o 。 1 4 接下来将证明fcg 事实上，对所有的p f 都有 i l u 一p i l 2 训x - p l l 2 + ( 1 - a n 川两赢两 口n o z n p 0 2 + ( 1 一q n ) 夕：l i z n p l l 2 n f f 一一 k = 0 “0 = 知 = 0 z n p l l 2 + ( 1 一q n ) ( 鲚i i z n - p l l 2 0 z n p l l 2 ) l i z n p | | 2 + 艮 s t j x n 一删2 ( 2 3 1 ) 所以fcg 通过数学归纳法可证得对所有的n 0 ，fcq n 当礼= 0 ， 有fcc = 铂假设fcq n 由z 竹+ l 是x 0 在gnq n 上的投影可得 z n + l z ，卫。一2 拓+ 1 ) 0 ，对所有z c o f1q 社。 ( 2 3 2 ) 又 h fcgnq 。可知( 2 3 2 ) 式对所有z f 恒成立这加上q 时1 的定义可推 出fcq n 十1 所以对所有n 0 都有fcgnq n 可证得当礼一o 。时，i i 。n + l z n l | _ 0 由q 。的定义可知z n = p o 。( z o ) 因 为。n + 1 g n q ncq n 所以i i z n 一i l i i z n + 一z o i i 这说明数列钏z n z o l l 是递增的又因为c 是有界的，所以l i m | i z n x 0 0 存在注意到z n = p q 。( z o ) 及z n + 1 q 。可知( z n + 1 一z n ，茁n x 0 ) 0 。所以 f | z n + 1 一z 。1 1 2 = | l ( z ，+ l 一跏) 一( z n 一= o ) 1 t 2 - i l 十l x o i l 2 + i l z n z o l l 2 2 ( z ，l 十1 一x 0 ，z n x 0 ) 义知 = l l z n + l 一。o i l 2 一| f z n z o i l 2 2 ( z n + l z o 一( z n x 0 )