2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）试题及答案.pdf

2016 年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（a 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次，第分为一个档次，第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1. 设实数a满足 3 911aaaa，则a的取值范围是 答案答案： 2 310 , 33 a 解解：由aa= ， 即 2 1911 1a ，所以 2 104 , 93 a 又0a ，故 2 310 , 33 a 2. 设复数, z w满足 3,74izzwzw， 其中i是虚数单位，, z w分 别表示, z w的共轭复数，则 22zwzw的模为 答案答案：65 解解：由运算性质， 22 74izwzwzwzwzw，因为 2 z与 2 w为实数， re0zwzw，故 22 7,4izwzwzw，又3z ，所以 2 2w从而 22 2242988i18izwzwzwzwzw 因此， 22zwzw的模为 22 1865 3. 正实数,u v w均不等于 1，若loglog5 uv vww，loglog3 vw uv，则 logwu的值为 答案答案： 4 5 解解：令log, log uv vawb，则 11 log, log vw uv ab ，loglogloglog uuuv vwvvwaab， 条 件 化 为 11 5,3aabb ab ， 由 此 可 得 5 4 ab 因 此 14 logloglog 5 wwv uvu ab 4. 袋子a中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子b中装有4张5元纸币 和3张1元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则a中剩下的纸币面值 1 之和大于b中剩下的纸币面值之和的概率为 答案答案： 9 35 解解：一种取法符合要求，等价于从a中取走的两张纸币的总面值a小于从b 中取走的两张纸币的总面值b， 从而5510ab=，即从b中取走的两张纸币不能 都 是1元 纸 币 ， 相 应 有 22 73 cc18=种 取 法 因 此 ， 所 求 的 概 率 为 22 57 3 18549 = cc10 2135 5. 设p为一圆锥的顶点，,a b c是其底面圆周上的三点， 满足90abc， m为ap的中点若1,2,2abacap，则二面角mbca的大小 为 答案答案： 2 arctan 3 解解：由90abc知，ac为底面圆的直径 设底面中心为o，则po 平面abc易知 1 1 2 aoac，进而 22 1poapao 设h为m在底面上的射影，则h为ao的中 点在底面中作hkbc于点k，则由三垂线定理 知mkbc，从而mkh为二面角mbca的平面角 因 1 2 mhah，结合hk与ab平行知， 3 4 hkhc abac ，即 3 4 hk ， 这样 2 tan 3 mh mkh hk 故二面角mbca的大小为 2 arctan 3 6. 设函数 44 ( )sincos 1010 kxkx f x ，其中k是一个正整数若对任意实数a， 均有( )1( )f xaxaf xxr，则k的最小值为 答案答案：16 解解：由条件知， 2 2222 ( )sincos2sincos 10101010 kxkxkxkx f x 2 1123 1sincos 25454 kxkx ， 其中当且仅当 5 () m xm k z 时，( )f x取到最大值根据条件知，任意一个长 为1的开区间( ,1)a a至少包含一个最大值点，从而 5 1 k ，即5k 反之，当5k时，任意一个开区间( ,1)a a均包含( )f x的一个完整周期， 此时( )1( )f xaxaf xxr成立 综上可知，正整数k的最小值为5116 2 7. 双曲线c的方程为 2 2 1 3 y x ，左、右焦点分别为 1 f、 2 f过点 2 f作一 直线与双曲线c的右半支交于点,p q，使得 1 90fpq，则 1 fpq的内切圆 半径是 答案答案：71 解解：由双曲线的性质知， 12 2134ff ， 1212 2pfpfqfqf 因 1 90fpq，故 222 1212 pfpfff，因此 222 121212 2()()pfpfpfpfpfpf 22 2422 7 从而直角 1 fpq的内切圆半径是 111212 111 ()()()71 222 rfppqfqpfpfqfqf 8. 设 1234 ,a aaa 是1, 2,100中的 4 个互不相同的数，满足 2222222 123234122334 ()()()aaaaaaa aa aa a， 则这样的有序数组 1234 (,)a aaa的个数为 答案答案：40 解解：由柯西不等式知， 2222222 123234122334 ()()()aaaaaaa aa aa a，等 号成立的充分必要条件是 312 234 aaa aaa ，即 1234 ,a aaa 成等比数列于是问题等 价于计算满足 1234 ,1, 2, 3,100a aaa的等比数列 1234 ,a aaa 的个数设 等比数列的公比1q ，且q为有理数记 n q m ，其中,m n为互素的正整数，且 mn 先考虑nm的情况 此时 3 3 1 41 3 a nn aa mm ，注意到 33 ,mn互素，故 1 3 a l m 为正整数相应地， 1234 ,a aaa分别等于 3223 ,m l m nl mn l n l，它们均为正整数这表明，对任意给 定的1 n q m ，满足条件并以q为公比的等比数列 1234 ,a aaa的个数，即为满 足不等式 3 100n l 的正整数l的个数，即 3 100 n 由于 3 5100，故仅需考虑 34 2, 3, 4, 23 q 这些情况，相应的等比数列的个 数为 100100100100100 12331120 827276464 当nm时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列 1234 ,a aaa 综上可知，共有40个满足条件的有序数组 1234 (,)a aaa 3 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 9. （本题满分 16 分） 在abc中， 已知23ab acba bcca cb 求sinc 的最大值 解解：由数量积的定义及余弦定理知， 222 cos 2 bca ab accba 同理得， 222 2 acb ba bc ， 222 2 abc ca cb 故已知条件化为 222222222 2()3()bcaacbabc， 即 222 23abc 8 分 由余弦定理及基本不等式，得 2222 222 1 (2) 3 cos 22 abab abc c abab 36 ab ba 2 2 363 ab ba ， 所以 2 7 sin1cos 3 cc=， 12 分 等号成立当且仅当: :3:6 : 5a b c因此sinc的最大值是 7 3 16 分 10. （本题满分 20 分） 已知( )f x是r上的奇函数，(1)1f， 且对任意0 x， 均有( ) 1 x fxf x x 求 1111111 (1) 1002993985051 ffffffff 的值 解解：设 1 (1, 2,3,) n afn n ，则 1 (1)1af 在( ) 1 x fxf x x 中取 * 1 ()xk k n，注意到 1 1 1 1 11 k k x xk ，及 ( )f x为奇函数，可知 11111 1 fff kkkkk ， 5 分 即 1 1 k k a ak 从而 11 1 1 11 11 (1)! nn k n kk k a aa akn 10 分 因此 505049 101 110 11 (1)! (100)! (99)! ii iii a a iiii 4 984949 9999 999999 00 111112 ccc2 99!99!299!299! iii ii 20 分 11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐标系xoy中，f是x轴正半轴上的一个动点以 f为焦点、o为顶点作抛物线c设p是第一象限 内c上的一点，q是x轴负半轴上一点， 使得pq为 c的切线，且2pq 圆 12 ,cc均与直线op相 切于点p，且均与x轴相切求点f的坐标，使圆 1 c与 2 c 的面积之和取到最小值 解解：设抛物线c的方程是 2 2(0)ypx p， 点q的坐标为(, 0)(0)aa， 并设 12 ,cc的圆心分 别为 111222 ( ,),(,)o xyo xy 设直线pq的方程为(0)xmya m，将其与c的方程联立，消去x可知 2 220ypmypa 因为pq与c相切于点p，所以上述方程的判别式为 22 44 20p mpa ， 解得 2a m p 进而可知，点p的坐标为(,)( ,2) pp xyapa于是 2 2 10122 (2 ) p a pqmypaa pa p 由2pq 可得 2 424apa 5 分 注意到op与圆 12 ,c c相切于点p，所以 12 opoo设圆 12 ,c c与x轴分别相切于点 ,m n，则 12 ,oooo分别是,pompon的 平分线，故 12 90ooo从而由射影定理 知 2 121212 y yo m o no p o pop 222 2 pp xyapa 结合，就有 22 12 243y yapaa 10 分 由 12 ,op o共线，可得 11111 2222 2 2 2 p p ypayyo po my yypoo nypay ， 化简得 5 1212 2 2 yyy y pa 15 分 令 22 12 tyy，则圆 12 ,cc的面积之和为t根据题意，仅需考虑t取到 最小值的情况 根据、可知， 222 121212