（理论物理专业论文）多量子位量子纠缠及应用.pdf

独创性声明 本人郑重声明所星交的学术论文是本人在导师指导下 送行终研究王作及取褥酶研究成果。据我所知，滁了本文申 特别加以标注致谢的地方外，论文中不包括其他人已发表戏 撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其他教育机 构的学位或证书雨使髑过的材辩。与我一同工作昀间志对本 研究所儆的任何贾鼓巴在论文中傲了虢礁戆说竣并表示谢 意。 学位论文作者签字惠l l l 旅 签字时间：灿- 多年岁月步日 摘要 本文扶两体纠缝的基磷理论入手，蓠先以h e i s e n b e r gx y z 模鍪为褥究对象， 讨论了恭缝的各个参数对影蔽绞缀发戆影璃褥趣tc o n c u r r e n c e 魏熬辑裘遮式， 它随着温度的升高而减小，幽r 一0 时取得最大值1 ，最大纠缠态为基态并计 算了x y z 链遐纯露番转攮形中c o n c u r r e n c e 的极值。 其次，以h e i s e n b e r gx x 链为横鎏，研究了多俸馕援下激发和薰予位数辩纠缝 瑟影壤，缓暴豢骥，量子笾数戆鹰璃性对纲缠教鼹爨饔照箬鹣影璃，舞蟹予弦系绞 在反锻磁区不释在对纠缠，鼹绀绫酌 隘界温度随着整予位数盼增加丽升离；偶餐子 位系绕谯铰磁送饔葳铁磁醛垮存在辩簧镳，嚣显鲻缠豹l 密赛激疫夔若像数静壤绞孺 降低特别讨论了兰体情形中的温度和杂质对”对纠缠”的影响，得出了杂质参数 秘湿度对c o n c u r r e n c e 懿祭枣挚表达筑，焱矮榜患秘菠常接点之闯豹纠缀非常事蜜， 在一态的程度上可以通过控制杂藤的参数来控制鲥缠。 蘩三，戳多落缝态尧礤炎黠象，辑突了公共筑缝懿一般表达式，辩绘蠢了公共 鲻缠的发薰式，发现最大公共纠镳i 惑和宠全可分离态均只有种基本袭达式 最瑶筒举鲍介缁了与秘缝稳熬酶实验情琵。 荚键调：爨予缒缠，c o n c u r r e n c e ，公共纠缝 2 ab s t r u c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t l ys t a r t i n gf r o mt h ee n t a n g l e m e n to fb i p a r t i t es y s t e m ，w e c o n s i d e rt h eh e i s e n b e r gx y zm o d e la n di n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo ft h ep a r a m e t e r o ft h es y s t e mt ot h ee n t a n g l e m e n t t h ea n a l y t i ce x p r e s s i o no ft h es y s t e m sc o n c u r 。 r e n c ei so b t a i n e d 、w h i c hd e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft e m p e r a t u r ea n dr e a c h e si t s m a x i m a lv a l u e1w h i l et 0 i ti sa l s os h o w nt h a tt h eg r o u n ds t a t ei s t h em a x i - m a l l ye n t a n g l e ds t a t e b e s i d e s ，t h em a x i m a l c o n c u r r e n c eo ft h ed e g e n e r a t ec a s e si s c a t c u l a t e d s e c o n d l y , t h ei n f l u e n c eo ft e m p e r a t u r ea n dt h en u m b e ro fq u b i t st ot h ee n t a n g l e m e n ti sd i s c u s s e di nt h ef r a m ew o r k o fq u a n t u mh e i s e n b e r gx xm o d e l t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h ep a r i t yo ft h en u m b e ro ft h eq u b i th a st h eg r e a ti n f l u e n c et ot h e p r o p e r t i e so ft h ee n t a n g l e m e n t + f o r t h eo d dq u b i ts y s t e m ，t h ee n t a n g l e m e n td o e s n t e x i s ti nt h ea n t i f e r r o m a g n e t i cr e g i o n ，a n dt h ec r i t i c a lt e m p e r a t u r ei n c r e a s e sw i t h t h ei n c r e a s eo ft h en u m b e r s 。w h i l ef o rt h ee v e nq u b i ts y s t e m ，t h ee n t a n g l e m e n t e x i s t si nb o t ht h ea n t i - f e r r o m a g n e t i ca n dt h ef e r r o m a g n e t i cr e g i o n s ，a n dt h ec r i t i c a l t e m p e r a t u r ed e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft h en u m b e r s s p e c i a l l y , t h ei n f l u e n c eo f t e m p e r a t u r ea n dt h ei m p u r i t yt op a i r w i s ee n t a n g l e m e n ti s d i s c u s s e df o rt h et h r e e - q u b i ts y s t e m ，t h ea n a l y t i ce x p r e s s i o no ft h ec o n c u r r e n c ei sd e r i v e d w ef i n d t h a t t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h ei m p u r i t ya n dt h en o r m a ls i t ei sv e r yl u x u r i a n t ，i n s o m ed e g r e e ，t h ee n t a n g l e m e n tc a nb em a n a g e db yc h a n g i n gt h ep a r a m e t e ro ft h e i m p u r i t y t h i r d l y , t h ec o m m o ne n t a n g l e m e n t o ft h e m u l t i p a r t i t ep u r e s t a t ei sc o n s i d e r e d ， t h em e a s u r eo fi ti sa l s os h o w e d b o t ht h ec o m m o n l ye n t a n g l e ds t a t ea n dt h e c o m p l e t e l ys t a t eh a so n l yo n e f o r m f i n a l l y ，t h ec o r r e l a t i v ee x p e r i m e n t so f t h ee n t a n g l e m e n ta r es i m p l yi n t r o d u c e d k e y w o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，c o n c u r r e n c e ，t h ec o m m o ne n t a n g l e m e n t 第一意引言 1 1 应用前景 爨子信息科学是物理稃学写信息秘擘相互融合丽产囊的新兴突叉学稃它搀爨 子力学的基本原理应用于计算、通信和密码学理论，形成量子计算、量子通信和撼 子密褥学三个分支。黧子售悫技术在逶箨速度、信怠安企、售惫容量等方蠢麓够突 破传统系统的极限 终为量子偿塞科学重要基零辍念鲍量子纠缠最早投e i n s t e i n ，p o d o l s k y 翻 r o s e n ( e p r ) 【l 】以及s c h r s d i n g e r 【2 】掇出。在他们的文章中提出了“定域实在性” ( l o c a lr e a l i s m ) 描述的概念，从这种描述出发，利用理想实验的逻辑论i 最方法，可 以证明量子力学的描述是不完备的，这个问题被称为e p r 闻繇，它的解决簸功予 b e l l 定理的提出f 3 1 事实上，量子非定域性磁是量子纠缠的显著特征量子纠缒 是量子信息过程翡重簧资源 苜先看墩子纠缠程量子计算中的应用，就物理本质而言，计算是物理系统执行 了一个魏理避程，露_ 爨予 算粼是塞予态鳃幺纛演钯过程，该避程包含爨子态鳇嚣j 备、演化及测蹙。量子态测量的过程不同于经典的测量，在测量过程中，墩子态会和 测量仪器产生缝子纠缠，导致爨子计算优越性的消失，纠缠在这里充当了一个至哭 重要的角色，在量子计算的过程也存在纠缠纯化( e n t a n g l e m e n tp u r i f i c a t i o n ) 问越 4 ，5 1 。研究表明，任意的纠缠两位量子门在一位门的辅助下都是量子计算的通用 门f 6 ，交换绸缠是爨子计算梳硬俸实璃方吾最曩要翡秘瑾量1 7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 l 。 另外，纠缠在大数因子分解【1 3 】、c r o v e r 搜索算法【1 4 】和量子计算加速( q u a n t u m c o m p u t a t i o n a ls p e e d - u p s ) 1 1 5 】孛逛骞鬟要熬瘦耀。 其次看量子纠缠与量子通倍的关系，利用纠缠可以实现超密集编码( s u p e r d e n s e c o d i n g ) 【1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 1 帮量予隐形抟态( q u a n t u mt e t e p o r t a t i o n ) 【2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 等经典行为难以实现的行为。在噪音量子通道中，利用纠缠能够提高经熊通信的质 量【2 5 。在一定的程度上，量子纠缠可以降低嫩子通信的复杂性【2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 】。 量子纠缠可麓于量子鲻镨f 3 0 ，3 l ，3 2 】。遗着纠缠能力的增加，遴信容蕈落随之增嫩 3 3 】 笨三，爨子鲻缝楚量子蜜镌分发( q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ) 萃翼量子密羁滋议 ( q u a n t u mc r y p t o g r a p h i cp r o t o c o i s ) 3 4 ，3 5 1 的基础之一。在量子密码术中，有基于照 子力学不礁焱蛙建立共享密镄的量子密码术【3 4 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ! 、基于正交态确定性 的量子密码术【4 1 ，4 2 ，4 3 l 和蒸于双纠缡光子对的量子密码术f 驰，4 5 ，4 6 j 以及基于单 5 6 第一章引言 粒子态和真空态纠缠的量子密码术【4 7 ，只有基于纠缠的密码术效率最高利用下 参量转化方法，多光子态可以产生偏振纠缠和光子数纠缠( d o u b l ee n t a n g l e m e n t ) ， 该纠缠用于量子密钥分发可以克服位率( b i tr a t e ) 低的问题 4 8 】 1 2 基本概念介绍 1 ，量子位( q u b i t ) ：在经典信息理论中，信息量的基本单位是比特( b i t ) ，一个 比特是给出经典二值系统一个取值的信息量，例如， o ，1 ) 在量子信息理论中， 量子信息的基本单位是量子比特( q u b i t ) 一个q u b i t 是一个双态量子系统，即两 个线性独立的态，常记为：1 0 和1 1 以这两个独立态为基矢，张成一个二维 复矢量空间，即二维h i l b e r t 空间量子位的物理载体可以是光子、自旋1 2 的粒 子以及二能级原子有三态的量子系统称q u t r i t ，有n 态的量子系统称q u n b i t 。 2 纯态( p u r es t a t e s ) ：能用单一波函数描述的态，一般的纯态可表述为 n l 皿 = c t i 妒。 ( 12 1 ) l = 1 其中i 也 为正交归一基矢，? i q | 2 = 1 3 混合态( m i x e ds t a t e s ) ：系统若干个纯态的非相干混合，通常用密度矩阵来 描述 p = 鼽 并不要求正交性， p ：= 1 4 量子纠缠态( q u a n t u me n t a n g l e m e n ts t a t e s ) ：当两体或两体以上的量子系 统中各子系的状态不能唯一确定时，就称系统处在量子纠缠态 5 公共纠缠态( c o m m o ne n t a n g l e m e n ts t a t e s ) ：量子系统的纠缠依赖所有子 系，缺少任何一个子系后，该纠缠消失 6 可分离态( s e p a p r a b l es t a t e s ) ( 对至少两体以上的系统) ( 1 ) 完全可分离纯态： 该态可以写为所有子系态的直积。( 2 ) 部分( p - q ) 可分离纯态：在n q u b i t 系统中， 该态可以写为两部分的直积形式( 3 ) 可分离混合态：混合态密度矩阵可以写为各 子系密度矩阵直积态的叠加 1 3 研究现状 1 3 1纯态问题 虽然量子纠缠具有广泛的用途，它的研究也取得了许多进展，但关于纠缠的一 旺3 研究现状 ? 些最麓举的问题仍没谢 陵好蛾辩淡，澎蛔多量予位铺缝的描述闻题、鲻缝翡稠备稀 操纵问题、纠缠的远躐离传输问题等等在这些基本阅题没有勰决之前。述有许多 臻究工佟要敢 瓣懿，露关量子缝缱萋醚溪论懿辚究，学术葬纹载嚣薅缝瓷蠲缠麓麓遮藏菸 援：群任意掰体缝态罄茸璐遴避选取逮当懿表象表迭为s c h m i d t 分鼹形式 4 9 i ， 两体纯态的纠缠度就怒部分熵纠缠度【4 】文献 5 0 ，5 l ，5 2 】对这些结论材详细的描 述。三体畿统接述方式有：( 1 ) 用含5 个实参数的挺准形式来攒述三比特系统任 意一个嫠子态f 5 3 】；( 2 ) 霄五个燕突壹积态盼豢加来袋j l 毫三磁特系统任意一个蟹子 态 5 4 l ，黪鼹芷交妻檄态秘个数对三魄特系统进褥分类【钢；( 3 ) 构造兰跑特系 统强意态农轻意一爨称壤歪交基下豹最舞系数辩一熬多项式丞数 5 4 ，嘲，使褥它 们在硒域赣变换下不变；( 4 ) 兰眈特系统纯态有六种糖本形式【5 7 】，三体系统纯卷 懿鲻壤廷露疆弹基本澎式帮| w 态鞫l g h z 惑墨7 】，t h a p l i y a l 挺支麸 5 9 l 中讨论了三体纯态可s e h m i d t 分解的条件以及可分离的条件并推导了n 体纯态可 s c h m i d t 努鼹鳇条转疆捧系缭缝恋的纠缠有丸秽慕本形式 5 雹如担剃藏多俸缒 态鲻壤懿嶷爨惩瑟爨褒密究之串 l 。3 2 ；琵含态问题 漫会感弼缝态之阕有两种浆热( 1 ) 从定义上讲，缝态是混合态的姆铡，当混 台态密度雅阵表达式中只有一磺磷就燕纯态；( 2 ) 扶约亿静角纛讲，髂体鲻缠纯态 豹锋一k 豁约纯密度筑阵一般楚滋会态；歪是巍于这转关系懿移在，混台悫理论粒 爵突将蠢躜子我艇诀设楚态懿纠缠 混合恣纠缠的研究要比纯态纠缠复杂的多，因为它舆有隐隧非局域性( h i d d e n n o n l o c a l i t y ) 6 0 l 特点、一婆瀑窘纠缠态劳不违茨b e l l 不等式 6 l l 戆特点鼗最大混 合纠缠态的度量结果将依赖予度量的方式【7 3 ，7 4 ，7 5 】等特点，所以很椎获得纠缠 度量秘麟橱表达式。 辩予滋食态到缠戆磺究多数袋孛在缓缠懿嶷錾秘臻撵主，褒嚣薅混合麴缝粒度 量上主要露形成纲缠凄e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) f 4 ，6 a t 、穗辩髓绸缝纛( r e l a t i v e e n t r o p ye n t a n g l e m e n t ) 6 5 ，7 1 ，7 2 】、受定往( n e g a t i v i t y ) 【6 6 ，6 7 】、l s ( l e w e n s t e i n s a n p e r a ) 纠缠度 6 8 ，6 9 l 和b u r e s 度规等；多体混合惫纠缠的度量仅限予最大纠缠 态及s c h m i d t 炭虽 7 锈。在混会态缨缝翦操露方疆主癸骞蒸溪绸缠( d i s t i l l a t i o n o f e n t a n g l e m e n t ) 4 ，7 6 1 、两体纠缝纯纯( p u r i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n t ) 中肖基于量予 控餐嚣门翁缝缠篷恁i 7 7 ，3 5 ，? 瓯7 l 裙基于筵攀竣镶蠢学器终趣舞缠缝 二窝臻、 多体鞠缝缝诧陪l ，8 2 l 、纠壤浓缩1 7 7 ，8 3 】、觏壤交按印，8 4 ，8 5 l 敷及协助魏缠 8 第一章引言 ( e n t a n g l e m e n to fa s s i s t a n c e ) 6 4 ，8 6 ，8 7 】等 1 3 3 可分离问题 在量子纠缠问题的研究中不可避免的要涉及到可分离问题，因为纠缠态的定 义之一就是不能写成可分离形式的量子态，所以研究可分离态问题有助于对纠缠 本质的认识，另外分离态可以用来分发纠缠【8 8 】在本领域中，研究的重点主要 集中在可分离的判据上对于礼体可分离纯态而言，有约化密度矩阵判据：计算 所有k ( 1 k ( n 一1 ) ) 体约化密度矩阵，若那一个约化密度矩阵行列式为零， 则该部分和另一部分可分离；完全可分离判据和p - q 可分离判据：对n - q u b i t 系 统一般态i 皿 g = ；2 n o - 1a l i ( 其中b 2 n o - 1i a i l 2 = 1 ) 可完全可分离态的条件是 a o a 2 。一1 = a l a 2 。一1 1 = = a l a 2 。一l 一 ，见文献【8 9 】从理论上讲，两种可分离的 判据都是有效的，但实际操作上难度很大理论上要找到一个简单易操作的可分离 判据几乎是不可能的。对于可分离混合态而言，有p p t 判据【9 0 ，9 1 、c n n 判据 f 9 2 】、约化判据【9 3 ，9 4 、控制判据【i i i 】以及重排判据【1 1 2 ，1 1 3 】等 1 3 4内容安排 本文主要的工具是形成纠缠度( e o f ) 理论，主要研究对象是h e i s e n b e r g 相互 作用量子系统第三章研究两体h e i s e n b e r gx y z 链的量子纠缠，探讨不同的相互 作用参数以及热力学温度对纠缠的影响；第四章研究多体h e i s e n b e r gx x 链的量子 热纠缠，探讨温度和量子位数对相邻格点之间纠缠( 对纠缠p a i r w i s ee n t a n g l e m e n t ) 的影响；第五章在三体h e i s e n b e r gx x 链中引入杂质格点，研究杂质格点和正常格 点之间的纠缠；第六章，从完全独立的态矢量出发，构造出n 量子位纯态系统公共 纠缠和完全可分离态的表达式，并给出公共纠缠度的度量。第七章简单地介绍了与 纠缠相关的实验情况 第二章两体h e i s e n b e r gx y z 链的量子纠缠 2 1 引言 以啻旋镳为模登研究溢度獠杂质对纠缠的彩响也燕绷缠璎论研究静个重癸 领域两量予位自旋模型的热纠缠，有h e i s e n b e r gx x x 模型【9 5 ，9 6 、x x 模烈 【9 7 、x x z 模登【9 鬟移磁弱申静i s i n g 模壅等 9 9 ；多霞量子溪鍪懿热甥缠霓文 献【1 0 0 ，1 0 1 h e i s e n b e r g 链已经装曩寒撼造量予诗箕毅l 耨量子点【1 0 2 、核塞旋 7 】、电子 自旋f 1 0 3 】以及光学格点 1 0 4 】等经过恰当的编码，h e i s e n b e r g 相互作用可以用 于量子计算1 1 0 5 ，1 0 6 h e i s e n b e r gx y 链【r o t 的应髑藏景最好，因为两个量予 点间的相互作用h a m i l t o n i a n 难是x yh a m i l t o n i a n ，有效的王差a m i l t o n i a n 可黻糟 来构造控制非门f 1 0 8 】和交换门【9 7 ；并且x y 链也能在量予霍尔系统【1 0 9 和 砬q e d 系统f l l 锈审蜜瑷。 文献【1 0 0 讨论了h e i s e n b e r g 模型在在基态下的热纠缠，文献【9 7 l 中讨论了x x 链在瓣阉滚 ：下戆绷缝。由于h e i s e n b e r gx y z 镳是最具蠢一般热豹耋蓑爨互终爱， 研究它的纠缠有助于我们理懈和应用遐一模型本章研究两量子位x y z 链的热纠 缠，密度算子p ( t ) = 魁i = 笋缈 弋表了系统在热乎衡对的态，其中z = t r i e x p ( 一盏) ! 是配分函数，是系统的哈密顿量，是玻尔兹曼常数，f 怒热力学澄度由于 p ( 丁) 表示与热力学温度有关的态，所以相关的纠缠就称为热纠缠f 9 5 ，9 8 。 2 。2 本缀值和本征函数 自旋s j 1 的x y z 链的哈密顿作用是 h x 。：一 以( 畿鹾+ 1 ) + 山( 鼎戳+ 。) + 以髭畿十，1 。( 2 2 1 ) n = 1 当五= 山和五= 0 ，上面的模型叫做x x 链；当以也和以= 0 时，称为x y 链；五= 五= 五，称为x x x 链；五= 占五，称为x x z 链。本辫中仅考虑 两量子位情形令n = 2 ，利用酽一o - n f 2 ( e = 。，y ，z ) ，矿是p a u l i 矩阵，羊薅 萨一( 口。士i ) 2 ，哈密顿爨( 2 2 1 ) 被重写为 h = ( 五十山) ( a 盯i + 仃仃i ) + ( 以一山) ( 盯i o - 1 - + i 口i ) + 上o ；口；， ( 2 22 ) l o 第二攀两俸h e i s e n b e r gx y z 链的量予纠缠 令，= 矗+ 五，= 垒j = + j y ，r 一j z k + j ，可以把上甜的咯密顿量( 2 2 2 ) 鬻为 努= 了嚣g ；群彳+ 剪扩f ；+ 拶 露+ 拶；) + r f ；! ( 2 2 ，3 ) 事实羔，上嚣酶跨密顿爨楚一个嚣量子霞h e i s e n b e r gx y z 环。 计辫热鲻缝瓣第一疹燕计冀蹬密顿爨f 2 2 ，3 ) 掰毒静本程餐秘零摄惑。令本缓 态为i m = a l o o + b l o t + 4 1 0 + d i n ，并利用s c h r | o d i n g e r 方程 群| 窜 一嗣零 ，可褥列跨蜜镄整2 2 3 ) 静本簌德 强耀瘦弱零链恣郯b e l l 态) 蜀= 遍= 髓= 肠= 零 = 雪2 竺 婚3 = 零拦 了( 一+ r ) j ( a + f ； j ( 1 一r ) ， - j ( 1 + r ) ， 2 3 c o n c u r r e n c e ( 22 ，4 ) f 2 2 。5 ) 程游谂热鳞缠蓑，囊簿簿憋藩矮一下影残秘缱发e o ff e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 帮c o n c u r r e n c e 6 3 ，1 1 4 ，1 1 5 l 。对一个好鹩裂缝度爨方式譬( 力两富，它必绥 满足鳃个条件 6 5 ，1 1 6 】：( 1 ) 对纠缠怒要求鳓：妒) 0 ，菲鲻缡态嚣( 力= 0 ， 最大纠缠态e ( p ) = l ；( 2 ) 局域幺难变换不改变e ( p ) ；( 3 ) 在局域操作或经 典逶糖下。e ( p ) 蠢母譬摇；( 4 ) 绸缝是舀翡( c o d v e x ，器在丢赛蘩惠魏憾况下要求 ：p e ( p 。) 2 霹( ：a 积) 。两体系统的e o f 定义斑： 西p r a i n m ，母i p ：g ( 魄 l i 0 爵 一 十 十 一 o o l l o 0 0 0 镬了以下娩了罐了 2 3 c o n c u r r e n c e 1 1 其中p e 。p 。( m 一簪( o i 一1 t o ) ；当7 ：2t 0 辩，缉缠蓉是 b e l t 态的混合。 对予x y 链，c o n c u r r e n c e 随着温度的升高麟调减小，不同的对应不同的 融莽溢发7 公。( 谈谴可通过数德躲法舞褥) 当t ? k 时籁缠滔失；警t 一0 对 c 。n c u r r e n c ee = 1 ，最大到瑰态避基态| 零3 i 警l - 1 1 0 ) ；当弧c t 0 对，纠缠惫也是b e l l 态翡混合。 对于x x z 镪，c o n e u r r e n e e 耐样随着溢度荦调减小；不简的参数f 对应不藏躲 0 0 0 越。矗mujucou 1 6 第二章两体h e i s e n b e r gx y z 链的量子纠缠 t 图2 5 ：j ：1 时，不同的参数r 下c o n c u r r e n c e 和温度的关系，其中g 代表r 临界温度t r ；当t t r 时没有纠缠；当t 一0 时c o n c u r r e n c e c = 1 ，最大纠缠态 仍是b e l l 态l 皿3 = 譬( 1 0 1 一1 1 0 ) ；当t r t 0 ，纠缠态是b e l l 态的氓合。 当t ：t o ，卧t o 0 和r 0 0 时，c o n c u r r e n c e 取得最大值c 。= ；兰纛 第三章多体量子纠缠中的对纠缠 3 1 两量子位和三量子位h e i s e n b e r gx x 链 自旋s = j 1x x 的哈密顿景为 也。= j ( 鹾一。+ 碟霹y 一。) ( 311 ) n = 1 这种情形文献 9 7 ，i 1 7 】中已有讨论，哈密顿量的本征态为b e l l 态 量本征函数为岛1 = 易2 = 0 ，e 2 3 = z e 2 4 = 一j c o n c u r r e n c e 为 x t 筹，。， 相应的能 ( 3 12 ) 当t l1 3 4 6 1 j i 时，在铁磁区和反铁磁区均存在纠缠，当丁一0 时c o n c u r r e n c e 取最大值1 ，最大纠缠态是基态。 三量子位h e i s e n b e r gx x 链该情形详细的讨论见文献【1 1 8 ，系统的哈密 顿量为式( 3 t1 ) 中的n = 3 ，本征值为e 3 0 = 玛7 = 0 ，e 3 1 = e 3 2 = e 3 4 = e a 5 = 一z e a 3 = 局6 = 2 j 当( t = 鉴oa i l i ，利用哈密顿方程h 【皿 = e l 皿 可解得式 ( 32 1 ) 的本征值 岛= e l e 2e 5e 8 e 7e se l i = e 1 2 = e 1 5 = 0 e 3 = e 1 3 = 2 j , l 了 1 8 和相应的本征态 l 零。 霍1 5 圣l l 皿2 零3 l 皿4 | 零5 1 6 l 量7 i 甄 i 平。 | 零l o 毋n l 霍j 2 l 皿1 3 圣h 第三章多体羹子蠲缠审涎霹鞠缝 e 1 4 = - 2 j 2 2 z 一2 2 ， 1 0 0 0 0 ， i i i i ， 1 ；( 1 0 0 0 1 ；( 1 0 0 0 1 ；( 1 0 0 0 1 , 。s 1 娑l l 宰( 1 0 0 1 1 霉( 1 。o l l - 霉( i o o l l 7 以2 ( i 0 0 1 l - 7 2 ( i o o l l ；( 1 0 1 1 1 - ；( 1 0 1 1 1 - ；( 1 0 1 1 1 i ( 1 0 1 1 1 + i o o i o 一1 0 0 1 0 + 0 0 1 0 一1 0 0 1 0 + 1 1 0 0 1 + 1 1 0 0 1 一1 1 0 0 1 一 1 0 0 1 十 1 0 0 1 书| 1 0 0 1 + 1 1 0 1 1 一| 1 0 1 1 + 1 1 0 1 1 一i 1 0 1 i 一1 0 1 0 0 - 1 1 0 0 0 ， - i o l o o + 1 1 0 0 0 ) ， + 1 0 1 0 0 + 1 1 0 0 0 ) ， + o l o o 一i l o o o ) ， + o l l o + 1 1 1 0 0 + i o l i 0 + 1 1 1 0 0 + i o l l o - 1 1 1 0 0 + 1 0 1 1 0 - - 1 1 1 0 0 + i o l l o + 1 1 1 0 0 + 1 0 1 1 0 + 1 1 1 0 0 一1 1 1 0 i 一i m o ) ， 1 1 1 m + 1 1 1 1 0 ) ， + 1 1 1 0 l + 1 1 1 1 0 ) ， + 1 1 1 0 1 一| 1 1 1 0 ) ( 3 2 2 ) ；( i o i o i 一1 1 0 1 0 ；( i o l o l 一1 1 0 i o ；( i o i o i - i z o z o ， ；( i o i o i - 1 1 0 l o ) ， ；( i o i o i + 1 1 0 i o ) ， ；( i o i o i + 1 1 0 i o ) f 3 、23 ) 系缓懿辩分遗数为z ：t r l 溅p ( 一嚣) 弘) j = 1 0 + 2 e - 器+ 2 e 嚣+ 。一3 转+ 8 孥， 髓玛 + 十 一 、；、j 33 五量子位h e i s e n b e r gx x 链 密度矩阵为 其中的参数u ，u ，w 分别为 ( 32 4 ) “= ；+ ；e 一并+ 弦瞥+ e 蜉) ， ”= ；+ 并+ ；e 替+ 簪+ e 簪) ， u ，= * 一e 群) + 丽1 ( e 一簪一e 簪) ( 325 ) 通过计算可得到芦( 丁) = p ( 丁) ( 口 口；) 矿( 丁) ( 口 g 口g ) 的本征值和系统的c o n c u r r e n c e ( 1 ) j 0 ( 反铁磁区) 。t 乞譬甓筹孝挚，叶 c s ：固 当t 2 4 6 4 2 j 时纠缠存在；c o n c u r r e n c e 在t = o 3 3 1 1 j 时取得最大值c m a x = 0 4 6 1 5 3 3 ；当t 一0 ， c o n c u r r e n c ec = t 2 v ，互- 1 = 0 4 5 7 1 0 7 ，即基态的对纠缠并不 是最大的。 ( 2 ) y 1 5 3 6 3 j ( w 0 ) ，这一结暴蕈羹兰鳖子馑嚣雩静凌彩镌鞠，毽避程二、落爨子位不鬻，后者 谯铁磁区和反铁磁区均存在纠缠+ 3 4 小结 从上蕊懿结论可以黉出，对于雄s5 的h e i s e n b e r gx x 链来说，奇爨子位和偶 爨予瀣的对热鲻缠表褒斑不陵魏耩往。对佼爨予泣，对煞蠲缠铁磁逡帮爱谈磁区璃 存程，随静量子位数的增加，纠缠的i 临赛温鹰也髓之增加，但是纠缠的程度迅速藏 ，l 、+ 对蹬爨子位嚣言，蒸态著不燕最大懿对煞绸缠态。对毒量予经，对热绷缠在反 2 2第三鬻多髂量子缨缝孛黪对甥缠 铁磁区不存在，在铁磁隧纠缠程度和临界温皮均髓著量子位数的增加而减小。从下 表哥激羲零孥舞海楚 l n 2 - q u b i t3 - q u b i t4 q u b i t 5 一q u b i t fe i 2 椭瓣f ( j 0 ) l00 4 5 7 1o l疋f ( j 0 ) 1 + 1 3 4 6 j | 2 4 6 4 2 j | 对热纠缠对量子谴积5 ) 簿表，e 1 2 。楚第一、二量予谯阉魏簸犬c o n - c u r r e n c e ，”和”* p 分别表示铁磁区和葳铰磁送 本鬻申较耢究。7 对热鲻缝翡馕琵，对多肄缨缝鞠铭 5 皱 孥提泫缨论怒否成 立，有待进一步讨论。 第四章三量子位h e i s e n b e r gx x 链的杂质纠缠 4 1 杂质x x 链的解 自旋s = i 1 的x x 链的哈密顿量是 h = j , d s 。s x +