（理论物理专业论文）暗物质湮灭对暗晕密度轮廓的影响.pdf

上海师范大学硕士论文 摘要 建立在冷暗物质( c d m ) 和近标度不变原初扰动的结构形成理论成功地解释了宇宙大尺 度和星系形成和演化的整体性质，已成为现代标准宇宙学模型的基础。但该理论在解释宇宙 的小尺度结构时却存在较为严重的问题，如基于该理论的高精度数值模拟预言星系暗晕的密 度分布在中心会有尖峰( c u s p ) ，而目前对矮星系转动曲线的观测表明星系暗晕在中心部分具 有密度均匀的核结构。这一矛盾导致了一些修改标准冷暗物质模型的研究。 本硕士学位论文详细讨论了暗物质粒子的湮灭，并以目前被广泛采用的n f w 密度分布为 例构造了暗物质湮灭的唯象模型并研究了其对暗晕密度轮廓的影响。本文的主要结论为： i 暗物质粒子的湮灭能够在星系暗晕中心形成密度均匀的核，这基本与目前的观测相符； 2 模型中有两个自由参数，分别为暗物质粒子的质量聊d n i 和提升因子( b o o s tf a c t o r ) 的 指数口。低表面亮度星系( l s b ) 转动曲线和太阳系附近暗物质密度的观测给出的参数 限制范围为1 0 0 g e v 。l o t e v ，1 5 口1 8 ； 3 对于特定的暗物质粒子物理模型( n e u t r a l i n o s ) ，计算了其湮灭所产生的，射线辐射流 量并与当前的银河系高能宇宙线观测进行了比较。结果发现模型所预言的辐射流量远远 大于观测上限，但可以通过构造适当的粒子物理模型来避免这一矛盾。 关键词：结构形成，暗物质湮灭，暗晕密度轮廓 论文类型：理论研究 a b s t r a c t s t r u c t u r ef o r m a ti o nm o d e lb a s e do nt h ec o l dd a r km a t t e r ( c d m ) t h e o r ya n dt h e n e a r l ys c a l e 。i n v a r i a n tp r i m o r d i a lp e r t u r b a t i o nh a ss u c c e s s f u l l ye x p l a i n e dt h em a i n f e a t u r e so fo b s e r v a t i o n a lp r o p e r t i e so ft h el a r g es c a l es t r u c t u r ea n dg a l a x i e s i t i sc o n s i d e r e dt ob et h eb a s i so ft h es t a n d a r dm o d e lo fm o d e r nc o s m o l o g y 。a l t h o u g h t h e r e s t i l la r es o m ec h a l l e n g e so ns m a l ls c a l e w h i l ec u r r e n th i g hr e s o l u t i o n s i m u l a t i o n sb a s e do nt h ec d mm o d e l ，f o ri n s t a n c e ，p r e d i c tau n i v e r s a ld e n s i t yp r o f i l e o fd a r km a t t e rh a l o sw i t hs i n g u l a rd e n s i t yc u s p si nt h ec e n t e r s 。t h eo b s e r v a t i o n s 上海师范大学硕士论文 摘要 建立在冷暗物质( c d m ) 和近标度不变原初扰动的结构形成理论成功地解释了宇宙大尺 度和星系形成和演化的整体性质，已成为现代标准宇宙学模型的基础。但该理论在解释宇宙 的小尺度结构时却存在较为严重的问题，如基于该理论的高精度数值模拟预言星系暗晕的密 度分布在中心会有尖峰( c u s p ) ，而目前对矮星系转动曲线的观测表明星系暗晕在中心部分具 有密度均匀的核结构。这一矛盾导致了一些修改标准冷暗物质模型的研究。 本硕士学位论文详细讨论了暗物质粒子的湮灭，并以目前被广泛采用的n f w 密度分布为 例构造了暗物质湮灭的唯象模型并研究了其对暗晕密度轮廓的影响。本文的主要结论为： i 暗物质粒子的湮灭能够在星系暗晕中心形成密度均匀的核，这基本与目前的观测相符； 2 模型中有两个自由参数，分别为暗物质粒子的质量聊d n i 和提升因子( b o o s tf a c t o r ) 的 指数口。低表面亮度星系( l s b ) 转动曲线和太阳系附近暗物质密度的观测给出的参数 限制范围为1 0 0 g e v 。l o t e v ，1 5 口1 8 ； 3 对于特定的暗物质粒子物理模型( n e u t r a l i n o s ) ，计算了其湮灭所产生的，射线辐射流 量并与当前的银河系高能宇宙线观测进行了比较。结果发现模型所预言的辐射流量远远 大于观测上限，但可以通过构造适当的粒子物理模型来避免这一矛盾。 关键词：结构形成，暗物质湮灭，暗晕密度轮廓 论文类型：理论研究 a b s t r a c t s t r u c t u r ef o r m a ti o nm o d e lb a s e do nt h ec o l dd a r km a t t e r ( c d m ) t h e o r ya n dt h e n e a r l ys c a l e 。i n v a r i a n tp r i m o r d i a lp e r t u r b a t i o nh a ss u c c e s s f u l l ye x p l a i n e dt h em a i n f e a t u r e so fo b s e r v a t i o n a lp r o p e r t i e so ft h el a r g es c a l es t r u c t u r ea n dg a l a x i e s i t i sc o n s i d e r e dt ob et h eb a s i so ft h es t a n d a r dm o d e lo fm o d e r nc o s m o l o g y 。a l t h o u g h t h e r e s t i l la r es o m ec h a l l e n g e so ns m a l ls c a l e w h i l ec u r r e n th i g hr e s o l u t i o n s i m u l a t i o n sb a s e do nt h ec d mm o d e l ，f o ri n s t a n c e ，p r e d i c tau n i v e r s a ld e n s i t yp r o f i l e o fd a r km a t t e rh a l o sw i t hs i n g u l a rd e n s i t yc u s p si nt h ec e n t e r s 。t h eo b s e r v a t i o n s 上海师范大学硕士论文 o fr o t a t i o nc u r v e so fd w a r fg a l a x i e si m p l yt h a th a l o ss h o wf l a tc o r e st h e r e t h i s d i s c r e p a n c yl e a d st os o m ew o r ka b o u tm o d i f i c a t i o no fs t a n d a r dc d mm o d e l i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，t h ed a r km a t t e ra n n i h i l a t i o ni sd i s c u s s e di nd e t a i l t a k i n gt h ew i d e l ya d o p t e dd e n s i t yp r o f i l e ，i e ，n f wp r o f i l e ，a si l l u s t r a t i o n ，t h e p h e n o m e n 0 1 0 9 i c a lm o d e lo fd a r km a t t e ra n n i h i l a t i o ni se s t a b l i s h e dt oi n v e s t i g a t e t h ee f f e c to nt h ee v o l u t i o no f d a r kh a l od e n s i t yp r o f i l e t h em a i nc o n c l u s i o n sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s 1 t h ea n n i h i l a t i o no fd a r km a t t e rc a nr e s u l taf l a tc o r ei nt h ei n n e rr e g i o n o ft h ed a r km a t t e rh a l o ，w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t ho b s e r v a t i o n s ： 2 t h e r ea r et w of r e ep a r a m e t e r si nt h em o d e l ，i e ，t h em a s so fd a r km a t t e r p a r t i c l em d ma n d t h ep o w e ri n d e x o fb o o s tf a c t o r 口t a k i n gt h eo b s e r v e d r o t a ti o nc u r v e so f l o ws u r f a c eb r i g h t n e s sg a l a x i e sa n d l o c a ld a r km a t t e r d e n s i t ya sc o n s t r a i n t s ，i ti sf o u n dt h a t t h ef a v o r e dr a n g e so ft h e s et w o p a r a m e t e ra r e1 0 0 g e v m d m 1 0 t e va n d1 5 口1 8 r e s p e c t i v e l y 3 t h ep r e d i c t e df l u xo fg a m m ar a y sp r o d u c e db yd a r km a t t e ra n n i h il a ti o na d o p ti n g t h es p e c i f i c p a r t i c l ed a r km a t t e rm o d e l ( n e u t r a l i n o s ) i se s t i m a t e da n d c o m p a r e dw i t ht h ec u r r e n to b s e r v a t i o n so fh i g he n e r g yc o s m i cr a y s i ti sf o u n d t h a tt h ef l u xp r e d i c t e di nt h em o d e lf a re x c e e d st h eu p p e r1i m i t so fc u r r e n t o b s e r v a t i o n s t h i sr e q u i r e sa n o t h e ra p p r o p r i a t ep a r t i c l ed a r km a t t e rm o d e l s f o rt h e dis c r e p a n c y k e y w o r d s ：d a r km a t t e ra n n i h i l a t i o n ，h a l od e n s i t yp r o f i l e t y p e ：t h e o r e t i c a lr e s e a r c h 2 上海师范大学硕士论文 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究 成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表 示了谢意。 作者繇1 眵咖4 m 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名： 1 够 导师签名：日期2 0 0 9 0 4 1 3 第一章引言 1 - 1 研究背景介绍 上海师范大学硕士论文 暗物质的发现一般认为肇始于z w i c k y1 9 3 3 年对c o m a 星系团的研究i l l ，他发现c o m a 星 系团的动力学质量约为4 5 x 1 0 胁，而光度质量仅为8 5 x 1 0 8 ，质光比( 即动力学质 量与光度之比) 约为5 0 0 。这与当时恒星集团理论预言的质光比为3 左右有巨大差异。据此 z w i c k y 预言在星系团中应当存在大量不发光的暗物质( d a r km a t t e r ) 并首次提出用引力透镜 ( g r a v i t a t i o n a ll e n s i n g ) 效应测量星系团总质量；3 0 年代末至7 0 年代，人们通过对星系旋 转曲线和x 一射线观测1 2 4 1 进一步证实了暗物质的存在；1 9 7 3 年o s t r i k e r 和p e e b l e s l 5 1 首次用 数值模拟研究表明必须存在球状的暗晕( d a r kh a l o ) 才能形成稳定的星系盘。由于观测事 实和理论研究的不断进展，到8 0 年代初绝大多数天文学家都确信了暗物质的存在，但其动力 学性质和在结构形成中所起的作用仍不明确。随着微波背景各向异性( c 硒a n i s o t r o p i e s ) 上限值观测精度的提高，单纯的重子绝热扰动模型被排除，人们随之提出了不同的暗物质模 型、即冷暗物质( c d m ) 1 6 - s l ，热暗物质( h d m ) 吲和温暗物质( w d m ) l l o 模型。通过引力透镜、星 系旋转曲线、星系团x 一射线气体观测和s z 效应等的大景观测，特别是宇宙大尺度巡天( 如 s d s s ，2 d f ) 计划的顺利实施，人们对于不同宇宙尺度下暗物质的空间分布有了较为准确的 了解。由于暗物质的空间分布是由构成暗物质的粒子的性质所决定，因此通过观测结果与不 同暗物质模型数值模拟或半解析模型进行比较，我们就可以研究暗物质粒子的动力学性质。 目前，具有标度不变原初功率谱的绝热冷暗物质模型已经较为成功地解释了观测到的宇宙大 尺度结构，且预言的星系形成的图景也在很大程度上与观测相符合，而热暗物质模型则由于 与大尺度结构的观测相矛盾已经被排除。 冷暗物质模型虽然在描述宇宙大尺度结构上非常成功，但在解释宇宙的小尺度结构时却 遇到了较为严重的问题，其中最为突出的是子结构和暗晕中心核密度问题。这导致了一些修 改标准冷暗物质的模型。在下一节，我们将首先综述基于c d m 的结构形成理论，接着简要介 绍c d m 模型存在的问题。 1 2c d m 模型的成功和存在的问题 在本节我们首先简要介绍一下不同暗物质模型所给出的结构形成图景，接着指出当前被 4 上海帅范大学硕士论文 广泛接受的冷暗物质模型在解释宇宙小尺度结构时遇到的问题。更详细的关于宇宙结构形成 的讨论可参见文献1 1 1 - 1 6 1 。 1 9 7 0 年，p e e b l e s 和y u l l 7 1 首先提出了绝热的重子扰动模型。这一模型认为宇宙由重子， 光子以及少量相对论性中微子组成。在宇宙再复合之前，重子和光子会由c o m p t o n 散射紧密 耦合在一起形成光子一重子流体。由于这一时期所有亚视界( s u b - h o r i z o n ) 的扰动尺度都小 于金斯波长，因此当绝热的重子扰动一进入视界就会由于光子一重子流体的压力而开始振荡 ( 视界效应) 。这种振荡会一直持续到再复合，之后扰动经由引力不稳定性而开始增长，并 且只有涨落尺度大予s i l k 衰减尺度的这种增长才是有效的。所谓s i l k 衰减1 1 8 l ，是指由于 在再复合之前重子和光子间的耦合是非理想的，因为光子有非零的平均自由程 五= ( q 心) 一，则光子会由高密度区域扩散到低密度区域，从而使得在光子流体中的扰动被 衰减。由于光子一重子流体的声学振荡( a c o u s t i co s c i l l a t i o n s ) 由光子压力驱动，这种光 子扩散也会导致重子流体声学振荡的衰减。如s i l k 衰减在再复合时对应的金斯质量约为 l o h l 纸，则所有小于这一质量标度的扰动都会被抹掉。由于s i l k 衰减的存在，在绝热重 子扰动模型中星系形成的唯一途径是通过未衰减的大质量结构的碎裂( f r a 鲫e n t a t i o n ) ，这 就需要很大的初始涨落以形成可相比于衰减尺度所对应的金斯质量( 1 0 1 4 z ：) 的结构。即 要求在宇宙再复合时涨落的振幅氏 _ 1 0 - 3 。在绝热扰动的情况下，温度涨落譬与密度涨 落( 辐射涨落瓯和重子涨落瓯) 有如下关系 丁5 t = 三以= 砉如下2i o 2 亏 因此，如果在绝热的重子扰动模型中能够形成星系团和超星系团，我们期望宇宙微波背景的 温度涨落为0 7 t 1 0 - 3 ，这与观测结果不符，因此单纯的重子绝热扰动模型被排除。如 果宇宙的物质由非重子的冷暗物质主导，则上述问题便可以迎刃而解。由于冷暗物质是无碰 撞的，因此不会经历s i l k 衰减。此外，由于其退耦时是非相对论的，因此不会有显著的自 由流动。由于上述原因，宇宙再复合之后，当重子产生的小尺度的扰动已经被s i l k 衰减抹 掉时，暗物质产生的扰动仍然存在。此时，重子物质作为无压流体不再与光子耦合在一起， 它们会落入由暗物质扰动产生的势井。因此，被抹掉的重子物质的扰动会在再复合之后重现， 这样s i l k 衰减就不会影响星系形成的过程。这就是必须引入非重子冷暗物质的重要原因之 5 上海师范大学坝士论文 热暗物质模型首先由苏联物理学家z e l d o v i c h 等人提出，该模型认为宇宙中的物质由有 质量的中微子( m a s s i v en e u t r i n o s ) 主导。虽然中微子不会经历s i l k 衰减，但由于其质量 很轻，会一直与宇宙背景耦合在一起直到背景温度小于其静止质量( t m ，) 。中微子退耦 时是相对论性的，有很大的速度弥散度，因而小尺度的涨落会由于中微子的这种相对论性运 动( 自由流动) 而被抹掉。中微子的自由流动尺度所对应的金斯质量约为1 0 ”m 幺，这对应 于超星系团( s u p e r c l u s t e r s ) 的质量标度。因此，在宇宙的非线性演化阶段热暗物质形成 的第一代结构是超星系团，星系则由其碎裂( f r a g m e n t a t i o n ) 而形成。这一演化图景被称 为自上而下式( t o p - d o w ns c e n a r i o ) 。根据这一模型的预言，星系只能在晚期( z 1 ) 才形 成，这与观测到的高红移星系和类星体不符，而且热暗物质模型所预言的星系分布的不均匀 性( 由星系的关联函数给出) 比观测结果大得多。 1 2 1 线性扰动理论 当前普遍认为暴涨( i n f l a t i o n ) 提供了宇宙结构形成的原初种子。暴涨理论的成功之 处主要在于为宇宙演化的初始条件提供了非常自然的解释。他不仅解决了视界和平坦性问 题，从而成功地解释了宇宙在大尺度上的均匀性，而且解决了磁单极子( m a g n e t i c m o n o p o l e s ) 和大质量拓扑缺陷( t o p o l o g i c a ld e f e c t s ) 遗迹过多的问题【i 1 l 。暴涨被认为 发生在宇宙及早期( f 1 0 - 3 5 s ) 大统一对称性破缺的能标( t 1 0 1 6 g e v ) ，宇宙在极短时 期内由于标量场的驱动而经历了指数膨胀，在这一过程中因果视界急剧扩大到远远超出我 们今天可观测宇宙的尺度，并形成尺度无关( s c a l e i n v a r i a n t ) 的原初扰动，即不同尺度 的扰动当其进入视界时扰动幅度相同。对于最简单的暴涨模型( 即只考虑标量扰动) ，微扰 论的计算表明扰动功率谱为：p ( k ) 芘k ，其中吃= l ，称为标量谱指数( s c a l a rs p e c t r a l i n d e x ) ，k 为高斯分布的密度场p ( x ，t ) 在f o u r i e r 变换下所对应的波数，即 氏( t ) 三fd 3 x d k x p ( x ，t 1 。 这一谱也被称为h a r r i s o n z e l d o v i c h 谱1 2 2 1 。 ( 1 2 ) 如前所述，这一原初扰动在物质为主时期被引力放大。在物质为主时期，这些扰动开始 6 上海师范大学硕士论文 呈线性增长，最终会使得暗物质粒子偏离h u b b l e 流，继而坍缩和维里化，形成暗晕。之后 重子物质通过冷却而落入暗晕中央并最终形成星系，星系团等诸多结构。当这些扰动还很小 时，我们可以对e i n s t e i n 场方程作线性化处理来研究扰动的演化。需要强调的是，由于小扰 动遵从线性微分方程，对其解可以作f o u r i e r 展开，从而得到一系列独立演化的扰动模：一 旦扰动大过某一临界值，线性理论就不再适用而非线性引力系统的动力学一般都很难用解析 方法研究。在假设扰动具有对称性后，我们仍可以用球坍缩模型近似描述，但这并不能反映 非线性结构形成的细节过程。因此，数值模拟则成为研究非线性结构形成和演化所必需的工 具。 扰动在演化的任一时刻均有两种情况： 超视界扰动。即见( f ) 如( f ) ，这里允( f ) 为扰动模的固有波长，d n ( t ) 为h u b b l e 半 径，这时必须用广义相对论微扰理论研究。 亚视界扰动，即五( f ) “( t ) ，这时时空弯曲引起的几何效应可以忽略，因而扰动演 化可直接用n e w t o n 力学近似来研究。 由于我们感兴趣的尺度在物质为主时期远小于h u b b l e 半径，因此可以用n e w t o n 力学近似。 为了方便，采用共动坐标系( c o m o v i n gc o o r d i n a t e s ) ：r = 口( f ) x ，其中r 为固有坐标系 中的坐标。引入密度反差万和本动速度u ，即 脚) = 警，( 1 3 ，忍，( 1 3 ) 且固有坐标系中的速度v 可表为h u b b l e 速度和本动速度之和 v = h r + u 。( 1 4 ) 在物质为主时期，宇宙物质可视为无压理想流体，我们可导出在共动坐标系下万和u 所 满足的连续性方程和e u l e r 方程为1 1 1 i 丝o t 十丢v x 【( 1 删u l = ”。 等十鲁u + 三c u x 7 x 肛一：1v w ， n5 ， 7 其中v 。表示对共动坐标x 求偏导，引力势矽满足p o i s s o n 方程 v 量毋= 4 刀 g p b a 孙。 上海师范大学硕士论文 对于小扰动，可将( 1 5 ) ，( 1 6 ) 式线性化并保留万和u 的一级小量，即 上式是一个关于万的二阶线性微分方程，有两个独立的演化模，其通解可写为 6 ( x ) = f l ( x ) d 1 ( t ) 十五( x ) d 2 ( ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 其中d l ( f ) 为增长模( g r o w i n gm o d e ) ，岛( t ) 为衰减模( d e c a y i n gm o d e ) 。当系统演化时， 衰减模的幅度逐渐减小而不予考虑。在线性情况下，扰动增长模将按下式增长 m ) 器。( 1 1 0 ) g q q at o 为当前时间，因此在线性增长情况下扰动的增长取决于q ( t ) ( 称为线性增长因子) 在物质为主时期，其一般的表达式为 。-()阿(n)z。善蚤石=一(flaas+,q,-a+fln)12厶f。可ii笺 ( 1 1 1 ) c a r r o l l ，p r e s s 和t u r n e r 给出了一个很准确的近似表达式【2 3 1 d ( z ) o ca ( z ) ( 1 十：) 。 9 ( ：) i 5 q 佩。) p 笺了( ：) 一( 。) 十【l + ( ：) 2 1 1 十q a ( ：) 7 。】( 1 1 2 ) 8 ， 奄 o 归 = 动 o ， 扛 呻 一 k 刘 - 十 筋一珧 l d a n 到 十 十 得 叶_ 笳一执 轧一巩 蚍鼢一舻 上海师范大学硕士论文 对于研究最多的三种宇宙学模型，线性增长因子具有如下形式 e i n s t e i n - d e s i t t e r 宇宙( q 。= 1 ，q = 0 ) d l ( ) 仪oo f t 2 3 ，d 2 ( t ) o c 日( ) i d ct 一1 ： 无宇宙学常数的开放宇宙( q ， 1 ，q = 0 ) ( 1 1 3 ) 州三十3 , v 1 孚- 1 - j cl i l 瓜一饲吲噼刊们： 有宇宙学常数的平直宇宙( q 仍 1 ，= i 一) 州属f ( 赤) 啪也，吲2 ( 赋- 1 ) 】1 3 n 。n 图卜i 给出了线性扰动的增长随尺度因子的演化，其中口舶懈为进入h u b b l e 半径时的尺度因 子。扰动在进入h u b b l e 半径之前随口2 增长，这时需要用相对论性微扰论描述；在辐射为主 时期由于很大的辐射压抑制了扰动的快速增长，其仅随i n a 增长；而在物质为主时期宇宙背 景可视为无压理想流体，引力坍缩变得更为有效，因此其扰动随口增长。最终，当宇宙变为 曲率主导或宇宙学常数主导时，扰动的增长再次变缓。 k l 5 嘲 a l t s r 厂o 、a 5 a 叫玎a 鬣 图1 - 1 线性扰动的增长随尺度因子的演化取自文献 2 4 9 上海师范大学硕士论文 由前面的讨论，只要万( f ，x ) k , q 的尺度上，线性转 移函数很快衰减。而在这一尺度上的振荡反映了未完全衰减的扰动在再复合时的行为：对于 热暗物质，由于自由流动抹掉了小结构的涨落，因此其线性转移函数在小尺度上( 七很大时) 发生截断。c m b 各向异性和大尺度红移巡天的观测表明，绝热的c d m 图景最为吻合，因此 以这一模型为基础的宇宙结构形成理论也被称为现代宇宙学的标准模型l i s a 6 l 。单纯c d m 模型 的线性转移函数由b a r d e e n 等人1 2 8 1 在1 9 8 6 年得到下面的拟合公式( b b k s ) t ( 耻警【1 + 3 8 9 q + ( 1 6 1 口) 2 十( 5 4 6 口) 3 十( 6 - 7 1 】1 4 ( 1 2 1 ) 这里g 三f 历着鬲了，r = q 扣是一个无量纲的量，称为谱形状因子，由物质辐射相等时的 视界尺度决定。对于现实的c d m 模型，还要计及重子物质的影响，增加重子物质的比例会使 形状因子减小，s u g i y a m a l 2 9 1 得到下面的近似表达式 f 兰j l ( b ，o 2 7 k ) 一2 唧【_ q b ( 1 + 佤一1 ) 】。( 1 2 2 ) k o m h 2m p c 一1 图i - 2 分别对应于绝热扰动( s o l i dl i n e ) 和等曲率扰动( d a s h e dl i n e ) 的纯重子模型，冷暗物质模型，热暗 物质模型以及混合暗物质模型( 3 0 热暗物质和7 0 的冷暗物质) 的线性转移函数取自文献【1 4 】 谱形状因子唯一地决定了线性功率谱的形状，现在剩下的就是要确定其幅度。由于还没 上海师范大学硕士论文 有一个完善的理论来描述扰动的起源，因此p ( 七) 的幅度只能由观测来固定。对于给定形状 的功率谱，只要知道尸( 七) 或某一依赖于尸( 七) 的统计观测量在任意尺度七的值，则就能固 定其幅度。由于大量观测在不同的宇宙学尺度限制尸( 七) 的形状和幅度，这正是检验整个宇 宙演化理论自洽性的最重要手段，也是现代观测宇宙学的核心任务之一。为了将理论预言的 功率谱与观测联系起来，通常定义半径为尺的球内的质量均方差为 仃2 ( 冗) = ( ( 6 m m ) 蠢) = 研d a k 附) 叭k r ) = f 警( 等) 垫笋塑) 2 n2 3 ， 这样，当我们将这个球随机地放置在宇宙中就可以度量物质分布的不均匀性。上式中 w ( k r ) 2 南【s i n ( 玉固一k r c o s ( 七尺) 】 、， 为球形平帽( t o p h a t ) 窗函数 ( ，- ) = 。1 ，_ r ， o t h e r w i s e ( 1 2 4 ) 的f o u r i e r 变换，这样与尺度r 相联系的质量即为( m ) = 4 z 3 p b r 3 。由星系分布所导出 的o - ( r ) 的值大约在r = 8 h m p c 为1 。因此，原则上就可以通过要求在尺度尺= 8 h - 1 m p e 时盯( r ) = l 来归一化理论预言的功率谱。需要强调的是，这一归一化方法是基于星系分布 严格遵从质量涨落分布的假设，而实际上星系分布只是正比于质量涨落分布，即 & a l = b 6 m ，( 1 2 5 ) 其中b 为常数，称为偏袒因子，其值依赖于星系是如何形成的。由此可得到质量方差 州8 一m p c ) = o g 甜( 8 h 广- t m p c ) 丢。( 1 2 6 ) 由于目前还没有精确的理论来描述星系形成( 多数情况下只能采用半解析方法研究) ，因而b 的取值仍有较大的不确定性。 为了精确地归一化线性功率谱，需要一些不依赖于星系分布严格遵从质量涨落分布的假 设并且不受非线性演化影响的方法。尽管如此，功率谱的幅度作为惯例仍然通过 吒-一1 m p e ) 来表示。应该强调的是这种归一化方法与实际的星系分布涨落 1 2 上海师范大学硕士论文 c r g 蛆( s h 一1 m p c ) 并无多大关系，因为吼的值是根据线性理论计算原初功率谱演化到当今而 估计的，实际上在这一尺度上的扰动现在已经进入非线性演化阶段，因此吼的值并不能真 正代表当今在8 办- 1 m p c 内的质量涨落。表1 - 1 给出了通过c o b e 卫星测量c m b 各向异性得到 的对应绝热扰动的不同宇宙学模型的功率谱幅度，对应功率谱形状如图1 - 3 所示。 谱形状因子r 和c r l 这两个参数完全确定了暗物质的扰动功率谱，而在g a u s s i a n 随机场 中，p ( 七) 就包含了扰动场的全部统计特性。因此在c d m 宇宙中，宇宙学参数( 乩，q o ，q ) 和扰动谱参数( f ，吼) 就唯一确定了暗物质在线性阶段的演化。图卜4 给出了不同宇宙学 尺度观测所得的密度涨落( c m b 各向异性，s d s s 红移巡天，星系团丰度，引力透镜，星系际 气体成团性) 与标准人c d m 模型预言的功率谱的比较。由图可见，两者相当吻合。 6 5 4 工 乱 o 一3 2 l o gk 【m p c 一】 图卜3 不同宇宙学模型对应的功率谱尸( 七) 其中原初功率谱假定是标度不变的( 即吃= 1 ) ，其幅度 由c o b e 对c 船各向异性的观测结果来归一化取自文献【1 4 】 1 3 0 1 0 0 1 o 0 0 1 0 0 0 0 i 上海师范大学硕士论文 1 01 0 01 0 0 01 0 0 0 0 1 0 5 s c a l e ( m i l l i o n so fl i g h t y e a r s ) 图1 - 4 在不同宇宙学尺度进行的观测与人c d m 模型预言的功率谱( 图中蓝色曲线) 相当吻合。取i i l 2 7 。 表卜1 不同宇宙学模型对应的吼的值。取自文献【1 5 】。 1 2 2 球坍缩模型和暗晕的形成 扰动一旦进入了非线性阶段就很难解析地描述其演化。然而，仍可以通过研究球对称扰 动的理想模型来理解非线性结构增长1 3 2 1 假定在e i n s t e i n d es i t t e r 宇宙中一半径为r 的球 对称过密区域，在某一初始时刻f i 相对于宇宙背景具有均匀的密度反差万。由( 1 1 3 ) 式， 1 4 go_一面joj_-h一一口q 上海师范大学硕士论文 可将密度反差写为增长模和衰减模的线性组合 洲w t 。、2 3 t t i ) ， ( 1 2 7 ) 在开始时期，这一区域中的物质将近似以相同速率随宇宙背景膨胀，因此其本动速率为零。 由此可得( 本动由密度反差引起) 舌n ( t 1 ) 一6 一( 如) - - 。( 1 2 8 ) 因此，瓯= 导万。根据b i r k h o f f 定理，在球对称的情况下，球外的物质将不会影响其演化， 因此得到这一过密区域的演化方程为 窘：一等= 一竽邝( 伯尺。2 9 ， 上式与尺度因子口所满足的f r i e d m a n n 方程具有相同形式，即 铲ng a l4 r g d t 22 一万2 一丁舳o ( 1 3 0 ) 比较( 1 2 9 ) ，( 1 3 0 ) 两式，可见r 的演化与口类似，只不过其对应的初始密度参数q p ( f i ) ( 1 3 1 ) 这里以( t i ) = 3 h ? 8 7 r g 为f i 时刻的临界密度类比于f r i e d m a n n 方程，可知过密区域的演 化方程为 ( 鲁) 2 = 日产 q p c f t ，嘉十e ，一q p c t ，翻。 ( 1 3 2 ) 最终，该区域将停止膨胀，转而开始坍缩。在由膨胀转为坍缩的折返点( 对应时刻记为f m ) ， 二= 0 ，这表明口口i = q ，( f i ) ( 1 一q ，( f i ) ) ，此时该区域的密度为 删铋m 眦) 觜 3 对于闭合宇宙，f r i e d m a n n 方程有下述参数解 ( 1 3 3 ) 1 5 n = 南壶( 1 一c o s 。) n2 丽瓦j 研瓦瓦【l c 。8 廿) t = 南面1 ( 0 - s i n o ) s i n ( 9 ) 。江面弼面【。 上海师范大学硕士论文 ( 1 3 4 ) 其开始坍缩发生在o = 万，由( 1 3 4 ) 式，可求得折返点对应的时刻t 。为 q o 7 1 2 面再研万一2 t o ，( 1 3 5 ) 类比于上述解，可得到过密区域的折返点时间为 tm= 7 r q p ( f i ) = 蹁 1 2 = 南 剁3 对于e i n s t e i n d es i t t e r 宇宙，折返点对应的背景密度为 p ( t m ) = 1 6 a g t u m 。 因此，此时的密度与背景宇宙平均密度之比为 x = 搿= ( 等) 2 她6 。 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 在折返点之后，该区域将在f = 2 t i n 时坍缩到一点。显然，在此之前，球壳之间会相互交叉。 实际上，该区域将经历一个被称为剧烈弛豫1 3 3 i ( v i o l e n tr e l a x a t i o n ) 的过程而达到维里平衡。 由维里定理，无碰撞粒子达到维里平衡时该区域的半径为折返点半径的一半。由于在物质为 主时期，口o ct 2 胆，因此这期间宇宙背景将膨胀2 2 7 3 倍。由此，在体系达到维里平衡时( 对 应时刻记为f c ) ，其密度与背景宇宙平均密度之比为 筹= ( 2 2 3 ) 3 8 x 刚s o 。 另外，将线性密度反差外推至时刻f c 可得 叭埘= 芸也( 警) 2 卢= 詈( 秽3 。 ( 1 3 9 ) ( 1 4 0 ) 也就是说，如果密度反差一直按照线性理论演化，文( 乞) 就是该区域在维里化时刻应该有的 1 6 上海师范大学硕士论文 值。反过来，如果线性理论预言的密度反差达到这个值，该区域就已经坍缩了。图卜5 直观 给出了e i n s t e i n - d es i t t e r 宇宙中球坍缩模型的演化过程。 、 j c 勺 n er c o = a p s e r o u l 3 一 - i a a t h eo v e r d e n s i t yf o r l i n e a rt h e o r yi s ne r s e u r b a t i o r l、 r 7|、 、 8 p v i r 1 7 p d h n = 1 6 叭 入 v i r i a le ui vn 、 5 5 5 28 宰4 =7 8 、毫 5 5 。 、以一3 1 6 9 r i u m 图1 - 5 e i n s t e i n - d es i t t e r 宇宙中球坍缩区域的密度增长灰色曲线对应物质为主时期背景密度的演化 蓝色曲线对应坍缩区域的密度演化。在早期，密度反差随口增长( 与线性密度反差行为一致) ，而到非线性 阶段，增长变快，过密区域将坍缩并最终达到维里化取自文献【1 2 】 在冷暗物质宇宙结构形成理论中，结构增长的关键是暗晕的形成，暗晕是通过非线性弓 力坍缩而形成的暗物质粒子的维里化系统。基于球坍缩模型和线性标度关系，可以证明i 刎， 幂律功率谱p ( 七) o ck n 所形成的暗晕密度轮廓为 p ( r ) 。c r r 一- 2 ( 3 n + 口，t n + 4 ， f o r f o rn n _ 一- 1 1 ) ) 。 。4 。， 对应七 k 时的功率谱尸( 七) 芘k - 3 ，则密度轮廓为等温球( i s o t h e