（计算数学专业论文）几类矩阵不等式反问题.pdf

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= 鬲1 鑫= 爰 ( 1 2 - 3 ) 、，z l o、，o ov z l o “o 由引理l ，l 立即可得到引理1 2 ： 引理1 2 设。舻，6 酽，则矩阵方程a z = b 的通解为 a = k + + y ( z 一z + ) ， v y j p n 2 定理1 1 问题1 1 定有解，且其通解为 a = ( 6 + c 扣+ + y ( z z 。+ ) ，v c 冗吕， v y r “。“ ( 1 2 4 】 证明：取a = b z + ，有a z = b z + z = b 6 ，故问题1 1 一定有解 对( 1 2 4 ) ，有a z = k 6 + c ) z + + y ( i z 。+ ) z = b + c + y z y z = b + c b ，故( 1 2 4 ) 是问题1 1 的解 假设az r 为问题1 i 的一个解，即 甘存在q 瑚，使得 a 1 z 三b a 1 0 = b + o i ( 1 2 5 ) f 1 2 6 ) 由引理1 2 知( 1 2 6 ) 的通解为a 1 = ( 6 + c 1 ) 一+ y ( i 一。+ ) ， v y r “由且1 的任意 性可知a 可表为f 1 2 4 ) ，故问题1 1 的通解为( 1 2 4 ) 口 令s o = a i a x = o ，a r ) 则乳是f ”的一个线性子空间 引理1 3 设z 的奇异值分解为( 1 2 2 ) ，u | 为矿的第i 列，则 ( 1 ) a u t = 0 ，v a s o ( 1 2 7 ) ( 2 ) e ，哼a = 1 ，2 ，n ，j = 2 ，n ) 为岛的一组标准正交基，因而昂的维数是 n m i ) 证明：设a 岛，令 a = a u = ( a l ，a 2 ) ，a i 驴。1 因为a z = 0 ，由( 1 2 2 ) 式得 。= a 。= 且口( ：) = c - ，a ：，( ：) ( 1 2 8 ) 因非零，由上式即得( 1 2 7 ) 式 从( 1 2 8 ) 知，矩阵a - ( n ；) 的元素。舀是a 的第行与u i 的内积由( 1 2 8 ) 式并 利用( 1 2 7 ) 式，得 因为u 是正交矩阵，所以( 2 ) 2 成立口 3 巧 e u n 。瑚 。 i i 呀 a = 曙 2 且+ 曙 a l | r 矿a i | a 定理1 2 对给定的z r “，b 冠“，若z 的奇异值分解为( 1 2 2 ) ，则问题1 i 的通解为 a = 抽+ c ) 。+ + a 2 孵，v c r ：，v a 2 r “。扣一1 1 ( 1 2 9 ) 证明：由伯十c ) 。+ 是问题1 1 的个特解，由引理1 3 知，岛的通式为a 。呀( v a ： r ”( n - 1 ) ) ，则由线性方程组理论知( 1 2 9 ) 式成立口 下面讨论问题l 2 解的存在性、唯性及其表达式 引理1 4 ( 变分定理) f i 1 设w 是内积空闻p 中完备的凸集，n v ，记d 为。到w 的距离， d = d ( q w ) = 。罐0 忙一吼 则必有唯一的卢w ，使得忙一硎= d 定理l 3 在问题1 1 确定的矩阵集合乳中问题1 2 存在唯一的最佳逼近五 证明：由定理l 2 知，矗= ( 6 + c 扣+ + s o ，由于岛是置”的一个线性子空间。 且是有限维的，故s o 是冠“x “中的完备线性子空间，又( 6 + c ) 一是个以k + 为顶点 的闭凸锥，故乳为一闭凸集因而s 是舻“中的完备凸集根据引理1 4 ，a 在s - 中有唯一的最佳逼近口 该定理保证了问题1 2 解的存在唯性，但未具体给出最佳逼近a 的表达式，下面 的定理将解决这个问题 定理1 4 对给定的。舻，b 毋和直彤“，若z 的奇异值分解为( l 2 2 ) 、则问 题1 2 的解为 互= d + o ) 。+ + 口一。t ) ，j = 口z q + ( 1 2 1 0 ) 证明：由定理1 2 知。如中的元素均可表为 a = ( 6 + c 如+ + 2 回，v a 2 妒“( “一”，v c 瑶 ( 1 2 1 1 ) 令a = ( o ，a 2 ) 为n 阶矩阵，则 一且= 互一p + c ) z + 一a 2 呀= 【( 矗一( 6 + c ) z + ) 矿一 + u t = h 一( 6 + c ) 。+ ) ( 巩，观) 一( o ， 2 ) 】c r 7 由y r o b e n i u s 范我对正交矩阵的不变性，知 | | 一 = i i ( a 一( 6 + c ) 霉+ ) ( 巩，巩) 一( o ，a 。) 矿7j j 兰 = 1 1 ( - i 一( b + c ) 。+ ) ( 巩，巩) 一( o ，a 2 ) = 1 1 ( - 五一( 6 + c ) z + ) 巩l 廖+ i l ( j - 一( 6 + c ) z + ) 如一直z | | 蚤 d 显然，当t l ( i 一( c ) z + ) 巩| i 取最小且a 2 = ( 一( - c ) z + j 巩时，上式范数达到极小 义 邓+ c j 圳；= 忡z 邓+ c ) ) 了刍旺= 圭帽叫m 川； 由上式易知，当j = 此时a 2 可取为( 一 = 五。一厶 十时f i ( j 一( 6 + c ) z + ) 盯- i f 取最，j 、为1 1 ( 2 一 b + 亡) z + ) u ，| | ； 油+ j ) z + ) u 2 由( 1 2 1 1 ) 及u 2 u = f 一矿1 u = i z z + 得 ( b + 亡) z + + 一( b + ) z + ) u 2 矿手 ( 6 + j ) z + + ( 一z z + ) 一( b 十j ) 。+ ( j z z + ) ( j z 。+ ) + ( 6 + ) + z z + = ( 6 + 0 z + + j ( f z 。+ ) 其中j = f 。一卅+ 口 根据以上的讨论，我们给出求解问题1 1 1 2 的算法如下： 1 ) 作。的奇异值分解( 1 2 2 ) 2 ) 按( 1 2 9 ) 式求问题1 1 的解，按( 1 2 1 0 ) 式求问题1 2 的解 下面给出一个数值例子 例1 1 给定向量。= ( 1 a = 在矩阵集合乳= a 沮z b 由( 1 2 1 0 ) 式知 2 1 1 0 ，1 ，2 ) 7 ，b = ( 0 1 ，l ，2 ，3 ，1 ，o ) 7 ，l0100l1 101101l 0i 一1 l0i0 0- 101 111 - 1010101 0 10 i11 1 、10 111 a r 7 x 7 1 中求五，使得 五= ( 6 + e ) 。+ + 直( f z z + ) 0 3 3 3 3 4- 0 3 3 3 3 40 3 3 3 3 4 1 3 3 3 3 4 - 0 5 8 3 3 40 8 3 3 3 3 0 0 8 3 3 41 1 6 6 6 7 l0 再给定 1 j i l f = m m v s i i a j 1 l r l 4 1 6 6 70 4 1 6 6 7 1 0 0 8 3 3 4 - 0 9 1 - 6 6 6 1 1li 5 11 一i l 10 11 _ 3 3 3 3 4 - 8 3 3 3 3 4 0 4 1 6 6 7 - 0 1 6 6 6 7 1 0 8 3 3 4 0 8 3 3 3 3 1l 0 0 0 0 0 o 。o o 1 1 1 0 51 3 不等式约束下实对称矩阵的最佳逼近 不等式约束下实对称矩阵的最佳逼近问题可叙述为： 问题1 3 给定非零向量z 冠“，b r ”和集合s = s 彤“，求矩阵a s ，使得 a o 6 问题1 4 给定形一，求矩阵j s ，使得 一矾2 ，赠划 一矾 其中乳为问题1 3 的解集合 首先讨论问题1 3 的可解性 引理1 5 设z r “，b 置”，矩阵方程 的对称解为 a o = 6 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) a = b z + + ( b z + ) 7 一( z + ) 7 b ? 。+ + ( i z + ) y 【j z z + ) ，v y s 冠“”“ ( 1 3 3 ) 证明：构造方程( 1 _ 3 2 ) 的对称解a ，由( 1 2 2 ) 式知( 1 3 2 ) 式等价于 a 矿( ：) = a u t a u = ( ：甜其帕刷鹕方都& a ，等价于 则且1 1 = 吁b e - ia 2 l = 呀6 e ， 1 2 = ( 醒姹- 1 ) 7 因a 。1 彤n ，显然且。对称，令且2 。= g 是任一扣一1 ) 阶实对称矩阵，则 ( 1 3 4 ) a = 矿( 凳：呀扭g 。1 尸) 矿= a e 。1 吁+ u t p - t b t u 2 回+ 如g 蜉，g = 矿c 1 丑5 ， b b 卵呀矗五 = = a a e e 1 1 i l n 札 n 弛 且且且且 ，i，、l 由( 1 2 3 ) 式及巩呀= 卜一仉嵋1 = i 一一，知( 1 3 5 ) 化为 a = b z + + ( 6 z + ) 7 一( z + ) 7 矿z z + + e ，2 g 吁 g = g 口 ( 1 3 6 ) 令g = 哩y 巩，l ，s 邪“，则( 1 3 6 ) 化为( 1 3 3 ) 口 定理1 5 问题1 3 一定有解，且其通解为 a = 【b + c ) 。+ + ( ( 6 + c ) + ) 7 一( z + ) 7 i f + c ) t 。+ + ( f 一。z + ) y ( 一z 。+ ) ，v c 咒；，v y s 冠“。“ 证明：取且= b x + + k + ) 7 一( z + ) 7 护。一，则a = a 7 且 a z = ( 6 。+ 4 ：- ( b r + ) t 一( z + ) 7 泸。+ ) z = b z + z + ( z + ) 7 6 r z 一( z + ) r 矿。= b 6 故问题1 3 一定有解 对( 1 _ 3 7 ) ，有 a z = ( 6 + c ) 。+ + ( ( 6 + c ) z + ) 7 一( 。+ ) 7 ( 6 + c ) t z 。+ + ( 上一。+ ) y ( 丁一+ ) z ( 6 一c ) + ( + ) 7 ( 6 + c ) 7 。一( z + ) 7 ( 6 + c ) 7 。z + 。+ ( j z + ) y ( 工一。+ ) 。 =b+c6 故( 1 3 7 ) 是问题1 3 的解 假设a l s 冗“x “是问题1 3 的一个解，即 骨存在q 瑶，使 a 1 z 兰6 a l z = 6 + o l ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 , 3 9 ) 由引理1 5 知，( 1 3 9 ) 的通解为 a l = ( b + c 1 ) z + + ( ( b + c 1 ) + ) t 一( z + ) t ( 6 + e 1 ) 丁z z + + ( j 一。+ ) y ( 工一+ ) ，v y s 冗“。“ 由且l 的任意性，知a 可表为( 1 3 7 ) ，故问题1 3 的通解为( 1 3 7 ) 口 问题1 4 ，给定j s 舻一，求矩阵万乳，使得 j 一札= r n e i 5 n i i a 一轧 其中乳为问题1 3 的解集合 对问题1 4 ，令a o = p + c ) z + + ( ( b + c ) z + ) 7 一( 一) 7 ( - c ) t 。+ l y e 瑚) ，则s a = a 。+ ( 工一。+ ) y ( j 一。一) i 盯s 开“) 因a o 是个以b + + ( k + ) t 一矿。( 一) 7 。为顶 7 点的闭凸锥( j 一。+ ) y ( j z 。+ ) 是一个子空间所以如是一个完备凸集，类似于定 理1 3 ，可证如下结论： 定理1 6 在问题1 3 确定的解集合乳中问题1 4 存在唯一的最佳逼近解五 为求解此最佳逼近，需做如下的准备工作： 设y 是实的h i l b e r t 空间，( ，) 表示其内积，1 1 u 1 1 。= 、而f 表示矿上的范数 耳表示r 中一个非空集合，k - 表示y 中的所有与集合耳直交元素的全体，显然 耳1 ，嚣上上皇( 耳1 ) 。都是y 中闭线性子空间若k 是一个锥，令k = 扣ek “l v u 置，w ，u ) 三o ) ，则称k 为k 在k “中对偶锥，简称k 的对偶锥若k = k ，则称 k 在肖- - 中为自对偶锥显然，若k 为凸锥，则k 为闭凸锥。若k 为闭凸锥，则 k ) = k 对给定的正交阵u = ( 巩，巩) u 1e 形“，则u = ( u 1 1 u 2 ，) 为丑“中的一组标 准正交基令 矿s 五“。“ 盯s 璐“ 矿巩 0 7 盯2 0 l v 卜 冠“) 霹) 显然有h h ， 冗n f ieu s r nx n 及h 一日 瑚，日e 矿s r ：”( 其中符号“表 示一一对应) 下面我们考虑如下逼近问题埘： 任意给定日u s r n 一，求g 矿s 瑚“，使得 l l g 一日l k = v c e m u s i n r ：。l l g 一日| | f x 1 首先给出如下引理： 引理1 6 矿s 舻x n 为子空间，矿s 璐”为一闭凸锥 证明：对任意的1 ，h r 及g ”一，g 。u s 口”，由 一王r ， 口，日 矿s 冗n ”知存在玑，如酽，使得 卵( 黧9 对 故 1 g 1 + 2 g 2 ”+ k g n = 1 孵u 1 t g g l 2 ：f 时( 毛- a i 甄) ( ：t 7 如1 畦( 坠。k 靠) 0 “( 瑟： ，j、，(、 = = 由 。r 及卯咒“f i = 1 ，n ) 知是l ，毋删，故 】g l + + a 。g 。u s r ，因 而u s r “为一子空间 对任意的 ， 。 0 及g 一，g 。矿舳；“由h 一日， 蝣，1 t 矿s 蝣。“知 存在g - ，g 。瑚，使得 卵( 黧9 ) ， 故 邶牺卜叫 孔( 裴9 孕) 。( 密爵0 巩) ，呼( e l ，a i g i ) ( ：。a i g i ) 2 巩、 孵( e l 。 涵) o 由 ， 0 及g i 瑚( 注1 ，n ) 知：l ，乳船，故 1 g t + + a 。吼f s 瑚“，因 而u s 璐“为一凸锥，又u s 瑶“为闭的，故u s 珊“为一闭凸锥口 考虑u s r 一“中两元素只t t 的内积，因t i h ，f 一，故 卿= ( 要：6 ) 7 ( 筹；0 ) = ( 茹，粉) ( f ，t t ) = * r ( t f ) = t r ( 矿，) + t r ( 矿 h ，7 u 2 ) = 2 驴，一，t u l u f h = p ( 2 ，一，7 巩仉) - 矿( 2 f 一巩砰) ， 由此内积引入的范数为砖o b e * * i u 8 范数 引理1 7 在子空间u 占舻一中 ( u s 端“) 1 = o ) ，( u s 瑞”) “= u s r “”， 驸= ( 筹；擘) 旧仙咖，虮瑶) 证明：( u s 端“) 1 = o ) 因对趵瑶，有，( 2 ，一尸巩矿1 ) = o ，口，所以2 ，一，7 矾仉= o 设，= e 乞l m 啦h 丑，e = 1 ，2 ，n ) ，由上式有7 * u l + 2 7 z u 2 + + “。= 0 故 7 l = 7 2 一一h = 0 ，即，= 0 ，o 成立 ( u s 端”) “= f s 口x n 显然 o ) 的直交补空间为矿s 丑“” 成立 卯吲v = ( 善；? ) 恤+ 州嗍) 因 由内积公式，若 ( u s p 4 。“) = fe 盯s 口。4 l ( f 1 g ) o ，v g 矿s 瑶。“) f = ( 舅；? ) 印洲v 则9 7 ( 2 f 一尸u 1 u i ) = g t ( 2 1 一巩口f ) ，0 对v g 瑚成立由口姑的任意性知 ( 2 1 一u 1 矿f ) ，0 设2 y i ( 2 1 一u 1 呀) ，0 ，则，= ( j + u l 呀) g ，v y 珊成立，证毕口 引理1 s 2 1 设y 是一个实的h i l b e r t 空间，( ，) 为内积，l 。= 撕i 可是y 中范 数，k c v 是一个非空闭凸锥，则对任意的v ，存在唯一的t o k 1 ，t 1 k ， 2 k ， 使得( t 1 ，o ) = 0 f = t o + t l z 2 且 障一l 。墨m 一8 l l 。， v b 眉 其中耳+ 是片的对偶锥 由引理1 7 及引理1 8 立即可得 定理1 7 任给日矿s 彤“，一定存在唯一的g u s 璐“，f ( u s 端”) ，使得 日= g f ，( g ，f ) = 0 且g 为问题m 的解 注意到矩阵与向量的对应关系日一h ，g g ，f 一，由定理1 7 有 h = g 一，g 端，= ( ，1 暇) 叭v 璐 0 = ( g ，f ) = g t ( 2 1 一巩u f ) ，= 2 9 7 y 那么，求解9 ，y 问题可化为如下一个线性互补问题工： 给定 ，矾，求y 蝣，使得尹n + ( j + 巩玎) f ) = 0 且 g = h + ( i + u i 吠) y 瑶( 1 3 1 1 ) 该线性互补问题已经圆满解决，见( 16 j ，p p i l 7 - 1 3 3 ) ，即通过投影的点超松弛法( p p s o r ) 求解y 下面给出个相关的引理 引理1 9 1 6 设峨= 0 ，o o ) “，当d 对称正定时，线性互补问题：求u ，使 ，d u 一，o i ，( d u 一，) = 0 的解存在且唯一取0 0 ，要证明 c o + ( c 一。o ) s b 事实上，注意到，c = 一z r b ，有 ，( 6 + c o + ( c c o ) ) = x t b + 2 7 c o + a ( z 7 c z 7 c o ) = ( 。7 c z 7 c o ) = 一 ( 。7 b 1 _ x t c o ) = 0 即c o + a ( c c o ) s 故最是以风中任意点c o 为顶点的闭凸锥口 下面讨论集合甄空与非空的条件 注意到如下事实：若且z b ，则对任意置换阵p ，均有p a p 7 p z p b 显然若 a a s r 一，则a = p a p t a s f i “且一= p z ，矿= p b 故不失般性，当 i ) 。仉可设z = ( x 0 1 ) ，其中x - 冠 ，有 定理1 1 1 若z o ，设z = ( 言) ，噩置；，集合岛非空的充要撇，6 茎0 _ 并 且c = ( 墓) 其中c 1 璐且砰q x t bm ，v 岛瑶“ 证明：当z o 时， z 7 ( 6 + c ) = o 又z 0 ，故 z 7 c = 一t 6 = m 0 ，再令 设z = ( 专1 ) ，噩e 磷，因非空一即触c 瑚，使得 。t c 2o ，。7 6 = 一一c so 反之，若一6 s0 ，令m = 一，6 ，则 c = ( 兰) ，a 磁，伤e 瑚，则 ( 玎( 芝) = 霹一 1 6 ( 1 4 8 ) 由定理i i i 可得如下一推论： 推论1 2 若z o ，集合凡是空集的充要条件为z r b 0 ) zs 。，可设。= ( 1 ) ，其中一x 。e 冠；，有 定理1 1 2 若z 。，设。= ( 乏1 ) ，一工，冗 ，集合岛非空的充要件是z t b _ o , 并 且c = ( 芝) ，其中a e 磷且工 6 1 ：- - x t b = m , v 凸e 璐 证明类似于定理1 1 1 故略口 由定理1 1 2 可得如下推论： 推论1 3 若zs0 ，集合s b 是空集的充要条件是z 2 b 6 ( 1 5 1 ) 首先引入如下引理： 引理1 1 4 1 9 设= ( o ，0 ，0 ，1 ) 7 ，b = ( 6 一，k ) 7 ，则方程组且。= 6 的反问题在 对称正定阵类中有解的充耍条件是k 0 ，且解的般形式为 a = ( ：) ，其中且t = b + 丢( 二。) c a ，一，k t ， b 口( 口为n 一1 阶对称正定阵的全体集合) 引理1 1 5 【2 0 】设x ，b 满足下列条件置7 b = b 。x 0 则工= a s 霹” a x = 日) 非空且l 可以表为 上= a o + u ( ：；) ，口r ，fe s 冗# 一”【n 一 ， 其中a o = b x + + ( b x + ) t ( j x x + ) + ( j x x + ) b ( x 7 口) + 日7 ( 一x z + ) 引理1 1 6 设z 舻，6 形，矩阵方程a z = b 的反问题在对称正定阵类中有解的充 要件是。7 b 0 ，且其通解为 a = 6 z + + ( k + ) 7 ( j 一。+ ) + ( j 一。+ ) b ( 。7 b ) + b 7 ( i 一。+ ) + ( j 一。+ ) y ( 丁一。+ ) ，v y s r ；。“ ( 1 5 2 ) 证明：必要性显然 充分性设p 是满秩阵，将缸= b 化成 a + g 。b + ( 1 , 5 3 1 其中a = p r a p ，y = p 一1 z = ( 0 、0 ，一、o 、1 ) rb 。= p r ，6 = ( 6 ：，一、6 ：) t 由于0 o ) ，有 定理1 1 9 问题1 7 有解的充要条件是：集合岛非空，且其通解为 且= p + c ) 。+ + ( 【b + c ) $ + ) ( 丁一z 。+ ) + ( 工一z 。+ ) ( b + c ) ( 。t ( b + c ) ) + ( b + c ) t 杠一。z + ) + ( j 一。2 + ) y ( i 一7 2 f $ + )v y s 畔。“， v c s 5 证明：必要性若a x b ，则存在c 璐，使得 a x = b + c ( 1 5 4 ) ( 1 5 5 ) 成立由引理1 1 6 知。矩阵方程( 1 5 5 ) 在对称正定阵类中有解的充要条件是x t ( c ) 0 ， 即集合品非空，且其通解为( 1 5 4 ) 式 充分性若集合甄非空，则由引理1 1 6 知矩阵方程( 1 5 5 ) 在s 丑”内有解，故 a 。2b 在s 贮”内有解+ 口 对集合有如下结论 定理1 2 0 是一个凸集 证明：对v c l ，c 2 s b ，v a ， 2 0 ， l + 2 = 1 即，( 6 + c 1 ) 0 ，一( b + c 2 ) 0 故 x t ( b + 1 c 1 + 2 。2 ) = x t 6 + i ? c i + 2 z t c 2 z 7 6 一 l z t 6 一 2 。7 b = ( 1 一a i 一 2 ) 7 b = 0 因此 l c l + 。c 2e 风，故是一个凸集口 显然岛非闭故不能考虑最佳逼近问鼯 51 6 不等式约束下实对称非负定矩阵的最佳逼近 我们考虑如下不等式约束下实对称非负定矩阵的最佳逼近问题： 问题1 8 给定非零向量z 五”，6 彤和集合s = s 瑶“，求矩阵a s ，使得 a z 6 问题1 9 给定s 端“，求矩阵j s a ，使得 l a a | | f v r n i j n 1 l a a l l f f 1 6 1 ) 其中s a 为问题1 8 的解集合 鬻凇1 7 2 0 f 翟嚣j 七a ，么a 10 当 引理1 - 1 设且s 形”，且a 有块形式a = 1 一jl f | 口么当 且仅当且。! o ，且存在一矩阵必啪一，使得a 。2 ：a n ， i a 2 。一矿 。兰o 引理1 1 8 设。的奇异值分解为( 1 2 2 ) 式， 中有懈的充要条佴：是 ，6 0 且此时通解为 则a z = 6 的反问题在对称半正定阵类 r a n k ( z 7 6 ) = r a n k ( b ) ( 1 6 2 ) ( 1 6 ，3 ) a = b + + ( 6 z + ) t ( j 一。+ ) + ( ，一z z + ) 6 ( ，b ) + b t ( i 一。+ ) + ( 工一z + ) y ( i - z z + ) ，v y s 瑚。” ( 1 6 4 ) 证明：必要性设a 为对称半正定阵，使得血= b 成立，则有，a z = z r b 0 t 即 ( 1 6 2 ) 成立- 记 u t a u = ( 罢罢) 。：。，凼= ( 要) 。：。 由且z = 6 知， 因此且一定有形式 ( 篆： ( ：) = ( 要) 石= 酉“ ( 面e 。1 ) 7 、w 面。 ( 1 6 5 ) 田 a ! 。，( 篆：譬1 7 ) ! 。， q 0 l 礤一- 石j 刈 由弓i 理1 i 7 知r 。n 七( ( 百；i e 一1 ) r ) sr n 缸( 百i 一1 ) ，即r a n c ( b t ) r a n z ( z ：r b ) r a n k ( z 7 ”= r a n k ( b ) 即( 1 6 3 ) 成立 充分性若( 1 6 2 ) 成立，即 ，( 凳) = e 瓦h 若( 1 6