（计算数学专业论文）一类保形有理样条插值问题的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：望坠查丝 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：盘逭一 指导教师签名：么z 盔生 签名日期：年月日 2 摘要 近年来，伴随着现代工业的飞速发展，计算机辅助几何设计( c a g d ) 已逐步成为一 种新兴的交叉学科，其中曲线曲面造型问题一直是一个重要的基础研究课题。如今已逐 渐形成了以非均匀有理b 样条方法( n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ，简称n u r b s ) 为 代表的参数化特征设计和代数曲线曲面隐式表示这两类基本表示方法，拟合、插值、逼 近为其主要处理手段的系统的理论体系。作为多项式样条函数和有理逼近的结合的有理 样条插值方法是其中一种重要的插值研究工具。将n u r b s 标准形式与有理样条插值相联 系得到局部构造、表达式简单、显式而且保形性好的曲线曲面的研究逐渐成为大家关注 的重点，尤其是带参数的有理样条插值曲线曲面在各方面都有着优良的表现。 保形是曲线曲面造型的一个重要要求，即对于给定数据，插值曲面必须有着相同的 几何性质，比如保正，保凸，保单调等等。研究曲面保形有两类情况，一类在全局构造 的“无网格”曲面上，一类在将数据点进行矩形剖分或三角剖分，应用定义其上的样条 曲面的局部构造的曲面上。本文阐述了对于局部构造这一类的几种保形方法。 本文拓展了一类带参数有理样条插值曲面，并利用b 6 z i c r 曲面保正条件，提出了 一种通过调整数据点的偏导数来使曲面保正的一种简单灵活的保形方法。 本文共分四章。第一章为绪论部分，概述了曲面造型及保形的研究情况及带参数有 理样条插值发展背景。 第二章介绍了本文涉及的相关概念。 第三章为本文的主要研究成果，构造了一种双三次h e r m i t e 有理插值样条曲面，并 且给出了误差估计和c 1 连续性条件，在此基础上给出了通过调整方向导数来实现曲面保 正的方法。 第四章为本文总结和未来工作展望。 关键词：曲面插值；h e r m i t e 插值；保形插值 r e s e a r c ho nt h es h a p e p r e s e r v i n gr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ns p l i n e a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f o l l o w i n gt h e d e v e l o p m e n to fm o d e r ni n d u s t r i a la n dm a n u f a c t u r e ， c o m p m e r a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) b e c o m e san e wc r o s s - c o v e rs u b j e c t i ti so n eo f t h em o s tb a s i cr e s e a r c hw h i c hs t u d i e sc u r v e ( s u r f a c e ) m o d e l i n g i th a sg r a d u a l l yf o r m e dt h e t h e o r e t i c a ls y s t e mt h a tt h en o n - u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ，( r e f e r r e dt oa s a n u 3 s ) a n dt h e i m p l i c i ta l g e b r a i cc u r v e s ( s u r f a c e s ) a st h et w ot y p e sb a s i cr e p r e s e n t a t i o n , a n df i t t i n g ， i n t e r p o l a t i o n ，a p p r o x i m a t i o na r et h em a i nm e a n so fd i s p o s i n g a st h ec o m b i n a t i o no ft h e p o l y n o m i a ls p l i n ef u n c t i o na n dt h er a t i o n a la p p r o x i m a t i o n , t h er a t i o n a ls p l i n ei n t e r p o l a t i o ni s ap o w e r f u lt o o lf o rs h a p ep r e s e r v i n ga n dl o c a l i z a t i o n t h es t a n d a r df o r mo fn u r b sa n d s p l i n ei n t e r p o l a t i o na r el i n k e dt ol o c a ls t r u c t u r e s ，t h es i m p l ee x p r e s s i o n , e x p l i c i ta n dg o o d s h a p ep r e s e r v i n gc u r v e s ( s u r f a c e s ) g r a d u a l l yb e c o m eaf o c u st or e s e a r c h e s p e c i a l l yt h e r a t i o n a ls p l i n ec u r v e sa n ds r u f a c e sw i t hp a r a m e t e r sa r er e c e i v e dw i d ea t t e n t i o n o n ei m p o r t a n tp r o b l e mi st h ec o n s t r u c t i o no fs h a p ep r e s e r v i n gs u r f a c e f o rt h eg i v e n d a t a , t h es u r f a c es h o u l dh a v et h es a m eg e o m e t r i cc h a r a c t e r f o re x a m p l e ，p o s i t i v i t y p r e s e r v i n g ，c o n v e x i 够p r e s e r v i n ga n dm o n o t o n yp r e s e r v i n g t h e r ea r et w ot y p e so fc o n f o r m a l s u r f a c ec a s e ，o n ei nt h eg l o b a ls t r u c t u r eo ft h e m e s h l e s s ”s u r f a c e ，o n ei nt h er e c t a n g u l a r s u b d i v i s i o no rt r i a n g u l a t i o n ，t h ea p p l i c a t i o no ft h ed e f i n i t i o no fs p l i n es u r f a c e so nw h i c ht h e l o c a ls t r u c t u r es u r f a c e t h i sp a p e rd e s c r i b e ss e v e r a lw a y so fs h a p ep r e s e r v i n gf o rl o c a l s t r u c t u r e s i nt h i sp a p e r , ac l a s so fs h a p e - p r e s e r v i n gr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ns p l i n ew i t hp a r a m e t e r si s d e r i v e d ，a n dd e p r i v eam e t h o do fp o s i t i v i t yp r e s e r v i n gb ya d j u s t i n gt h ep a r t i a ld e r i v a t i v e ，a n d i ti sf r o map o s i t i v i t yp r e s e r v i n gc o n d i t i o no fab 6 z ie rs u r f a c e t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n , i ti sa n o v e r v i e wo fb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h er a t i o n a ls p l i n ei n t e r p o l a t i o nw i m p a r a m e t e r s t h es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e ss e v e r a lc o n c e p t si n v o l v e d c h a p t e r a r et h er e s e a r c h e so ft h i sp a p e r w eg e ta nb i c u b i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n s p l i n es u r f a c e t h ee r r o re s t i m a t i o na n dap o s i t i v i t yp r e s e r v i n gm e t h o d a r eg i v e n t h e p o s i t i v i t yp r e s e r v i n gs u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h er a t i o n a ls p l i n ei sg i v e nb yu s i n gt h e c o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o no ft h eb i c u b i cb 6 z i e rs u r f a c e i tc a nb ea c h i e v e db ya d j u s t i n gt h e d i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e so ft h es u r f a c e c h a p t e r i vs u m m a r yt h ep a p e ra n dg i v es o m ef u t u r ew o r k p r o s p e c t s k e y w o r d s ：r a t i o n a ls u r f a c e ；h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ；s h a p ep r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o n 4 目录 3 1 曲面构造1 5 3 2 误差与光滑性分析1 6 3 2 1 误差分析1 6 3 2 1 光滑性分析。1 8 3 3 保形1 9 3 4 数值例子2l 4 第四章本文总结及未来工作展望2 5 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 6 致谢2 7 参考文献2 8 1 2 2 7 9 o 3 3 3 - ) _ 以。_ m 他 m m 佰 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ： 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 h 一 一 一 一 一 一 一 ： ” 一口 一 一 面 9二二= 二| 萤 巴日 一 插 1 第一章绪论 伴随着航空航海、汽车制造等现代工业的飞速发展，计算机辅助几何设计 ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 已逐步成为一门新兴交叉学科。它 的主要研究对象和内容为自由曲线、曲面的表示、设计、分析以及规格、处理( 如数据 结构、数据库及图形的信息形式和调整方式等) ，而其中曲线曲面造型问题始终是一个 重要的基础研究课题。从2 0 世纪6 0 年代，c o o n s 、b e s i e r 的开创性研究打下坚实的理 论基础以来，经过2 0 世纪7 0 年代的b 样条技术，2 0 世纪8 0 年代的有理b 样条技术， 以及最近3 0 年来持续不断的研究发展，已逐渐形成了以非均匀有理b 样条方法 ( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p li n e ，简称n u r b s ) 为代表的参数化特征设计和代数曲线 曲面隐式表示这两类基本表示方法，拟合、插值、逼近为其主要处理手段的系统的理论 体系。 有理样条作为多项式样条和有理插值的结合，不仅有着有理逼近作为非线性逼近 的特性，克服了多项式在有铅直渐近线或水平渐近线的函数中会产生严重误差等缺点， 又继承多项式样条结构简单，易于构造，便于计算，最佳逼近等优点，使得曲线曲面造 型更为灵活，更能反映函数的特性( 比如单调性、凹凸性等) ，而且，基于n u r b s 成熟 的研究理论以及广泛的应用范围，将n u r b s 标准形式与有理样条插值相联系得到局部构 造、表达式简单、显式而且保形性好的曲线曲面的研究逐渐成为大家关注的重点。 近年来，关于有理样条插值研究成果颇丰卜3 6 】。构造方面，例如王仁宏和吴顺堂从 实际课题出发，构造了几种具有线性结构的有理样条插值格式及几个特殊类型的有理样 条插值，并讨论了它的解析性质。朱功勤、黄日朋以及王结庆、谭德松还有康宝生等都 探讨了先通过相邻几个节点处给定的信息构造出各有特色的有理基函数，再由这些基函 数线性组合给出各区间上的参数有理样条插值。以段奇和m s a r f r a z 为代表构造的一类 带参数有理样条插值方法，更是协调了“插值函数的唯一性 与“插值数据不变条件下 进行局部调控的可能性 之间的矛盾，将“插值函数关于插值条件的唯一性演变为“插 值函数关于插值条件与参数的唯一性。有着以下优点：( 1 ) 局部性，分段使得各段的 插值函数只与相邻的若干节点取值有关；( 2 ) 保形性，通过适当选取参数来实现保形， 不增加节点，简单易行；( 3 ) 函数表达式为显式，便于分析计算；( 4 ) 利用参数便于交 互式修改。 曲线曲面造型问题的一个重要要求，就是插值数据的保形问题，即对于给定的插 值数据，不仅要求所构造的插值函数是唯一的、最佳逼近的，还要求插值数据要保持原 数据所具有的整体几何性质，如保正、保单调、保凸等等，比如在实际应用研究中，负 值没有意义的情况，即保正问题，有时是非常必要的。 近年来，针对多项式样条插值，许多文献也提供了各种保形方法。从1 9 7 7 年， p a s s o 一3 】等人真正开始用数值逼近的方法研究保形插值，他们利用b e r n s t e i n 多项式的 性质，对单调数据点列和凸数据点列插值，导出了一种保单调和保凸的样条函数，但在 部分子区间上，多项式次数会很高，不适合使用。至2 0 世纪8 0 年代，不少学者试图研 究插值三次样条的保形，但通过对其m _ 连续性方程的研究，插值三次样条函数容易使插 值曲线产生太多的拐点，无法保形。对于特例，s c h w e r k e i t 等人提出的张力样条，舍 弃了三次多项式，代之以双曲函数，得到了c z 连续的保凸插值样条函数。对于c 1 连续 的保形插值，人们曾提出了各种方法。比如在插值数据点之间加入样条节点，以提供足 够的自由度来保证保形问题有解。但是插值函数的修改不能以局部的交互方式进行，而 且计算上需要更多的存储和查找时间。还有的是对插值点的位置强加各种额外条件以保 证保形问题解的存在，而这些额外的过强的条件却往往限制了这些插值方法在实际中的 推广应用。带参数的有理样条具有更多的自由度，可以更好的调控曲面形状，但是进行 保形计算时由于其有理的形式使得计算较复杂【5 。3 6 】。而另一方面n u r b s 的保形理论较为 成熟，因此将n u r b s 保形理论与有理样条插值相结合能够得到一些更好的结果。 其中对于曲面的保形问题，一直是研究上的难点，一般分为两类来研究，一类是“无 网格 ( m e s h l e s s ) 曲面，即不需要对数据点进行矩形剖分或三角剖分，是一种全局构造 的方法其中主要的两种类型为径向基函数( r b f s ) 0 8 1 9 ( 包括多元二次样条和薄板样条) 和s h e p a r d 方法【2 0 】( 包括二次修正s h e p a r d 方法和移动最小二乘法) 另一类方法是将数 据点进行矩形剖分或三角剖分，应用定义其上的样条曲面来保形的局部构造方法。下面 我们具体来看一下对后面这类方法的研究。 1 1 矩形域上有理样条插值及保形 1 1 1 带参数有理样条曲面及保形 首先介绍段奇等人的一种仅基于函数值的分母为一次的三次有理样条插值曲面 9 1 2 1 4 1 。 假设f ( x ，y ) 定义于q ：陋，b ；c ，d 】上， 记厂( 薯，y j ) 为z ， 令 口= 五 x 2 毛+ l = 6 ，c = y l 虼 0 , a u = ( 艺+ l ( x ) 一艺( x ) ) t j 显然，此函数满足： 只，j ( ，以) = 厂( ，y s ) ，r = f ，i + l ；s = 歹，j + 1 如图例3 1 ，为p o 5 ，1 5 ) = 2 7 6 3 8 9 ，q = o 5 ，= 2 0 时所成图像。 3 图3 1 置，( x ，) ，) 函数图例 关于保形，段奇等人根据曲面上每一点的高斯曲率值均为正时，这个曲面为凸曲面 的定理，计算推导出层。， ，y ) 插值曲面保凸的充要条件： 定理1 1 假设给定插值数据矗吖+ 。，s = o ，1 ，2 ，则由式( 3 1 ) 定义于 五，稚，；乃，乃+ i 】上的插 值函数只。，( x ，y ) 为凸的充要条件是下式成立： g ( o ，哆；叩，历) 0 。 这里 g ( o ，a ，；r l ，岛) = 4 x o y o x o y ：一 五，x z + 。艺+ z + ：墨) 一五( 厶。墨一丘。一。e + 厶l ，一2 墨) + 五( z + 2 ，j x z + 2 ，弘- k + z + 2 ，+ 2 e ) 】2 ， 其中 k = ( 1 一q ) 2 矿+ 3 q ( 1 一q ) 目2 + 3 砰p 一彳， k = ( 1 一历) 2 r 3 + 3 岛( 1 一岛) 矿+ 3 所7 7 一岛2 ， 五= 2 ( q 一1 ) 0 3 + ( 砰一6 + 2 ) p 2 一( 砰- 4 a ，) 0 + 砰， = 2 ( 岛一1 ) 玎3 + ( 局2 - 6 9 + 2 ) r 2 一乙嘭2 4 岛) 玎+ 乃2 ， 墨= 4 ( 一1 ) 0 3 + ( 彳- l o a l + 3 ) 9 2 - 2 ( a ；- 3 a , ) o + 砰， 】二= 4 ( 岛一1 ) 7 7 3 + 乙眵- l o f t ：+ 3 ) 叩2 - 2 ( 9 2 3 岛) ，7 + 岛2 ， 互= 2 ( 呸一1 ) 矿+ ( 4 呸一1 ) 口2 + 2 q 幺 e = 2 ( g - 1 ) r 3 + ( 4 岛一1 ) r 2 + 2 f l ：r ， 4 z = ( e + 4 互+ 。+ e + ：) 0 3 + ( ( 互+ 曩1 ) q 一2 只一6 z + l 一互+ 2 ) 秒2 + ( 巧一2 ( e + e + 1 ) q ) 秒+ c = ( 曩+ 4 r l + 瓦2 ) 7 7 3 + ( ( e + 鼻+ 1 ) 历- 2 f , - 6 e , + l - f , + 2 ) 刁2 + ( 巧一2 ( e + 正+ 。) ，) ，7 + ， f t = j l 。3 七1 1 j n 七l t 。j 妊， f i + l = z + l ，+ 丘l ，+ 1 + 丘l + 2 ， f i + 2 = 丘2 ，+ 厶2 + l + z + 2 ，+ 2 。 s a r f r a z 在其早期研究的分母为三次的三次h e r m i t e 有理样条插值曲线 2 2 ，2 3 ，2 7 刀1 的基 础上，利用张量积的形式给出了一种h e r m i t e 有理样条曲面插值形式，并研究了它的保 正问题p o 】。 设x ：a = x o ，而，= 6 【口，刎，君：c = ，咒，只= d c ，刎定义有理双三次曲面 s ( x ，y ) 五，五+ 1 x y j ，少，+ l 】，i = o ，1 ，m - 1 ；j = o ，1 ，n - 1 如下： s ( x ，y ) = s i ， ，y ) = 4 ( 口) f ( f ，歹) 霉( 痧) 。 ( 1 2 ) 这里 红寻砖等， f ( i ，_ ，) = 鼻。j 鼻“j 露l ， 一l 互“一l 正 鼻爿 嘭 巧二， f j , x ，j y f 嚣。i e 弓+ 。 f ，+ y 1 ，+ l 互知 曩：川 4 l j 。l l ja i l ja 2l ja 3 l 川， 丑( 痧) = 【磊( 痧) 每( 白龟( 否) 色( 痧) 】， = 业铲舻盟镒塑， 口：= h , r , , j 矿0 0 - o ) 2 ，吩= - h , c i 0 万2 ( 厂1 - 0 ) ， 吼( 秒) = i ，( 1 一秒) 3 + 以，( 1 一口) 2 秒+ q ，( 1 一o ) 0 2 + 蛾，0 3 ， 驴进铲衍警， 幺= 镶茅知毪铲， 缈( 痧) = 露，( 1 一痧) 3 + 露，( 1 一痧) 2 痧+ 谚，( 1 一痧) 萨+ 匆，伊。 根据s ( x ，y ) 0 ，s a r f r a z 推导出该函数保正阴条仟。 定理1 2 如式( 1 2 ) 定义于d = ，x x y o ，见】上的分段函数s ( 五y ) 为正的充分条件是 满足如下公式： s ( 薯，乃) = 0 , i = o ，i 2 ，m ；j = 0 ，1 2 ，以， ，；，j o ，霉，j o ，q ，j o ，匆j o ， 鳓一 。，警，警 o ，警，鼍竽 ， 砌 。，警，警，鼍鬻，鬻 ， 触 o ，警，訾，镤紫，等等卷掣卜 檀结庆、王强等人则构造了二元双四次有理插值曲面情况 3 1 1 ，并研究了它的保单调 性。 给定平面矩形区域以石，以：五 x 2 ；乃：m 见 只，以及型值点 础= l ，2 ，川j = 1 ，2 州，令噍。嘞舻寻护啪嘞忙半。 类似于2 3 节讨论的构造四次有理样条插值的方法，对于i = 1 ，2 ，m 一1 ；j = 1 ，2 ，以 我们可以构造过( 鼍，y ，) ，( 鼍小y ，) 两点的x 向有理参数插值曲线艺( x ) ： 歇垆器州一名舻1 【z ，j i f i ，5 0 6 ( 1 3 ) 兵中 正，( x ) = q 。，石，( 1 一“) 4 + 形：，( 1 一“) 3 u + w i ) ( 1 一材) 2 甜2 + 豌( 1 - u ) u 3 + 屏，厶l ，产4 ， 菇( x ) = ，( 1 一“) + 层， 且 t j - ( 3 a l f 。j + 8 t 1 氕。j + a i j f ；q ，j 、) h i ， w ：j = 3 仅 j f i “。j + 3 p 1 ，j 。， g ，= ( q ，+ 3 屈，) z + 1 ，一层，正o + 1 ，j ) h i 。 利用艺( x ) ，构造区域k ，札。；乃，乃+ 。】上的双四次有理插值函数置，( x ，y ) ： 驰炉j 嚣。川幺时川名扩。 4 ) 【z ，矿0 = 0 其中 易，o ，y ) = 以，p * i , j ( x ) ( 1 一d 4 + 巧。( 1 一叻3 1 ，+ 形，月一d 2 v 2 + q ，( 1 一v ) v 3 + 4 ，p * i + l , j ( x ) 伊， 吼。，( x ，y ) = 以，( 1 一v ) + 巧，v ， 且 巧，= ( 3 乃，+ 谚，) 区，+ 乃，l ( i ，j ) j ， w | j = 3 y i j 试水+ 3 4 j 试j q ，= ( 乃。，+ 3 4 ，j ) 式，+ l 一点，l ( i ，j + 1 ) j 。 根据插值函数保单调定义，推导出如下定理： 定理1 3 设最，( x ，少) 是由式( 1 3 ) 定义在区域陋，b ；c ，d 】上的双四次有理插值函数，则 霉，( ) c ，y ) 在【乃，乃+ 。】上关于) ，单调的充分条件为： ( a ) s i g n ( a f ，( x ) ) = & ，x 玉，h 1 】， ( 6 ) 0 名弓( 石，r ) 0 ，b o 且或c o ，口l ， 如果，2 j i 。，6 2 。，b l ，k ，b o 。，6 3 ，岛：，6 l 。，6 2 。，a ：，- t 3 a ，其中a 是如下方程在区间( 1 ， 5 内的解的最小值， 一2 7 2 2 a 4 + 1 0 8 2 2 a 3 + ( 2 8 8 2 - 1 6 2 2 2a 2 + ( 1 0 8 五2 - 3 2 0 2 + 2 5 6 ) a 一2 7 2 2 + 3 2 2 = 0 贝0 尸( “，y ) 0 ，v u ，1 ，【o ，1 】。 由于其中内部b 6 z i e r 坐标是在边界b 6 z i e r 坐标确定后才被确定的，因此内部b 6 z i e l 坐标的取值范围可以进一步扩大，详见文 3 5 。 根据定理1 5 中b 6 z i e r 坐标的约束条件，局部调整b 6 z i e r 坐标，可使所得双三次b 6 z i e r 曲面片非负。进而推广到约束曲面是三次多项式曲面的情形。文 3 5 中实现了上 下界约束插值。 8 厂 1 1 3 双二次、双三次曲面保形 给定散乱点的矩形剖分d = 睛，k 】防，只】，m u l a n s k y 3 7 1 应用定义在细分矩形 域上的c 1 双二次样条实现了非负插值。文中将非负插值问题转化为求解满足一定条件的 节点处一阶偏导数和混合二阶偏导数的问题，基于拟合一修正( f i t - a n d - m o d i f y ) 方法或 者求目标泛函的极小值问题的优化方法来选取插值算子。 在文3 8 】中b r o d l i e 研究了c 1 双三次样条的上下界约束范围插值问题，约束算子是线 性多项式。在每一个矩形单元皿= 口，b x c ，d 】上，双三次曲面为 f ( x ，y ) = u ( a ，c ) 蜀( z ) g l ( y ) + ，( 6 ，c ) 吼( x ) g l ( y ) + f ( a ，d ) 骂( 石) g 2 ( y ) + ，( 6 ，d ) 皿o ) c 2 ( y ) + 只( 口，c ) 马o ) g l ( y ) + c ( 6 ，c ) 1 - 1 , ( x ) g l ) + 只( 口，d ) 皿( x ) g 2 ( y ) + e ( 6 ，d ) i - i , ( x ) g 2 ) + e ( 口，c ) 且( 石) g 3 ( y ) + c ( 6 ，c ) ( x ) g 3 ( y ) + 0 ( 口，j ) 鼠( 石) g 4 0 ) + e ( 6 ，d ) ) g 4 ( y ) + 岛( 口，c ) 马( x ) g 3 ( y ) + 名( 6 ，c ) 只( x ) c 3 ) + ( 口，d ) 马( x ) g 4 ( y ) + j ( 6 ，d ) 五( x ) g j ( y ) 其中e 和g 是三次h e r m i t e 基函数【3 8 1 。 文中给出了关于f ( x ，y ) 的偏导数及混合二阶偏导数的非负充分条件【3 8 】： 定理1 6f ( x ，y ) 是定义在矩形网格d = ，x m x y l ，咒】上的分片双三次插值算子， 若下述充分性条件满足，则f ( x ，y ) 在d 上非负。 ，瓴，乃) 0 ，f = l ，m ；j = 1 ，n ， f a 薯，y ，) 一3 f ( x ，, y j ) ，3 f ( x y j ) ， x i + l x t工i x t 一1 e “，y ，) 卜3 f ( x ，, y j ) ，3 f ( x , y j ) ， y j n yj yj y - 、 最瓴, y j ) m a x 3 f y ( x z , y j ) 上识( ) - i - 刿 ， 工“l 一 y j + i y j x m 一 3 f y ( x ，, y j ) + 土以( 栅) 一型) 】， j i j h y i y 卜1 x t 一】t - 1 名( 砒) m i n i 一刿+ 上 c ( ) + 型型 ， x m 一 y j y 卜1 x i n 一玉l 3 f y ( x r , y ) + 土以( 碱) 一型) 】 9 将导数值映射到上述约束区间内，则能够保证所得到的插值算子非负，若约束算子 烈x ，) ，) 是线性多项式，则令v ( x ，y ) = f ( x ，y ) 一烈x ，y ) ，即将约束算子是线性多项式的问题 转化为非负插值问题，然后可按上述方法求解。 文【3 9 】中s c h m i d tjw 的插值算子是对两个混合曲面作平均得到的，其中每一个混合 曲面是两条定义在边界曲线上的一元三次有理多项式的混合算子。通过选择有理三次多 项式的权值，使得混合曲面落于约束曲面之间，这里的约束曲面是常数多项式。 文【删和文【4 1 】分别则应用g r e g o r y s 有理三次样条和g r e g o r y s 有理二次样条，解决 了上下约束算子是分片双线性曲面的约束插值问题。 该方法通过求解关于以导数和张量为参数的不等式体系得到满足约束范围插值的 充分条件，并证明了如果张量参数大于给定的下界，则上述不等式体系是可解的。最后 通过求解一个泛函的极小值问题，得到了约束范围插值算子。 1 2 三角域上有理样条插值及保形 在文 4 2 中，m u l a n s k yb 等对于三角域上的样条曲面约束范围插值问题，应用 p o w e l l s a b i n 细分三角域上的二次样条函数解决了约束算子为分片常数的约束插值问 题。该方法首先由范围约束条件得到了以梯度为参数的线性不等式体系q ，即如果各点 的梯度值g i = ( b ，q s ) g f ，i = 1 ，2 ，n ，则所得的插值算子满足范围约束条件。然后在所 得到的多个插值算子s ( x ，y ) 中选取合适的算子( 有两种选择方法，一种方法是基于拟 合一修正的方法。另一种方法是基于求解目标泛函的极小值问题的优化方法) 。 文 4 3 】贝! j 利用相同的思想研究了约束算子是分段二次多项式的情形。 0 n g 和w o n g 4 4 1 给出了一个上下界为常数的c 1 曲面约束范围插值方法。该方法是一 元方法的推广，对于定义在三角形顶点与对边连线上的一元有理三次插值算子，利用 n i e l s o n 边点插值方法构造了三角域上的插值算子，再根据一元中相应的保正插值条件 适当选择一元有理三次插值算子的权值，则所得c 1 插值曲面满足约束范围插值的条件。 c h a n 4 5 】在一元三次b 6 z i e r 曲线非负性定理的基础上，给出了三次b 6 z i e r 三角曲面 片非负的充分条件，将b 6 z i e r 三角曲面片的非负性和b 6 z i e r 坐标联系起来。 定理1 7 对于三次b 6 z i e r 三角曲面片b ，它的b 6 z i e r 坐标满足 b 3 = 口z ，5 0 3 0 = z ，b 0 0 3 = z ，z 0 ，口1 ，如果6 2 1 0 ，5 2 0 l ，6 1 2 0 ，6 l l l ，岛0 2 ，5 0 2 l ，b o l 2 一l 3 a ， 其中a 是如下方程在区间( 1 ，8 3 内的解， 1 0 1 6 8 a + ( 7 2 a 一2 7 a 2 ) a + 5 4 a 2 a 2 2 7 a 2 a 3 = 0 则 召( 五，五，五) o ，v a ，如，五o ，五+ 五+ 乃= l 。 给定边界b 6 z i e r 坐标，内部b 6 z i e r 坐标的取值范围可进一步扩大，设边界b 6 z i e l 坐标的值大于定理1 7 中的下界一z 3 口，则当内部b 6 z i e r 坐标6 l 1 1 h 时，即可保证三 次b 6 z i e r 三角曲面片b ( 五) 非负，其中 h = m i n 厶，f 2 ，毛) ，= c 一( 6 i ，2 。一c ) ( 6 l ，o 2 一c ) ， 这里c 为 c ( 坞) = ( 1 一乃) 2 2 j i ，2 o + 2 ( 1 一乃) 五2 j i i l + 舒6 1 o 2 的最小值，29 毛可类似给出。 文【4 5 1 中的插值曲面为c 1 分片样条曲面则是离散边点方法的闭形式的解，每一片上 是由三个三次b e r n s t e i n - b 6 z i e r 三角曲面片所做凸组合。为使所得到的插值算子具有 三次精度，需求解如下方程： 龟o 。= 芹6 2 1 ，。+ 2 乞乞2 j b ，：，。+ 2 乞6 l ，：。+ 乏6 0 3 。+ 2 乞6 l + 6 0 ，1 ： 龟，l ，o = 五- , 2 6 2 0 ，l + 2 e a 1 2 + e , e 3 b , ，。，2 + 乏6 0 ，2 l + 2 蟊之6 l ，1 l + 等6 0 ，略 6 2 ，o l = 彳龟o ，1 + 2 r 2 r 3 ；o l ，2 + 2 q 毛磊，o ，2 + 磊，2 ，1 + 2 _ 岛6 ，l ，l + 磊，吣 吃0 ，l = 彳受 l o + 2 乞乃反，2 ，l + 2 气吃磊，2 o + 吃2 a 3 ，。+ 2 r t r 3 b l l l + 露磊 l ，2 其中于= ( 盒，乞，乞) 是哇关于r 的面积坐标，即岛= t q + 乞屹+ 蟊，_ = ( r t ，吒，r 3 ) 是 d l 关于于的面积坐标，即q = _ 嘎+ 乞晚+ 乃喀。 文p 5 1 中通过调整数据点处的一阶偏导数值使得b 6 z i e r 坐标满足定理1 7 中的条件， 从而实现了非负插值，进一步把保正插值的方法推广到约束范围插值，使得约束算子是 三次多项式曲面。 最近r a h n i 4 6 等人给出了类似的定理，扩大了定理1 7 中b 6 z i e r 坐标的取值范围。 定理1 8 三次b 6 z i e r 角曲面片的b 6 z i e r x 坐标6 3 0 0 = a ，b 0 3 0 = b ，= c ，彳，b ，c 0 ，如 果6 2 l o ，5 2 0 l ，岛2 0 ，6 l l l ，岛0 2 g ( s ) = l 的唯一解，其中 g ( s ) = 丽1 则b ( ，如，五) o ，v 五 彭兴璇在文【4 8 】中基于平面三角剖分上c 1 有理插值样条函数，由b 4 z i c r 曲面非负的 充分条件得到了有理样条函数系数的约束条件，从而保证了有理样条函数的非负性，进 一步将此方法推广，实现了约束曲面为三次多项式的上下界约束有理曲面插值。该方法 是完全显示的，不需求解连续性方程组和泛函的极小值问题，并且通过调整因子进行调 整，是一种局部方法，具有调整灵活、计算简便的特点。 类似的还有s c h u m a k e r 在三次c l o u g h t o c h e r 宏单元曲面上通过调整梯度值来保 正的方法【2 1 1 ，这里不再详述。 2 第二章相关概念 2 1 有理样条函数定义 设只 x 】为实数域上r 1 次多项式空间。若有尸o ) 石】，q ( 力 x 】，尸( x ) ，q ( 工) 互质， 则称 肌) = 器 为有理函数。将形如式( 1 1 ) 的有理函数全体集合记为疋。，并且约定任一约分后属 于疋。的有理函数与约分前的视为同一个有理函数。 定义1 卅对区间【口，6 】作分划：a = x o x 1 x 2 五= 6 ，设尺( x ) 为区间，6 】上定义 的实函数，且满足条件： ( f ) 在每个小区间 五，h 1 】( f = o ，1 ，k - 1 ) 上，尺( 功。； ( f f ) 在区间【a 9 b 】上，r ( 工) c 5 【口，b 】， 则称r ( x ) 为 口，剀上关于分划的( m ，