（运筹学与控制论专业论文）两参数指数威布尔分布的模糊贝叶斯统计推断的研究.pdf

令 t h er e a c ho nf u z z yb a y e s i a ns t a t i s t i c a li n f e r e n c eo f t h e t w op a r a m e t e r se x p o n e n t i a e d w e i b u l ld i s t r i b u t i o n b y w r a n gr u i b e ( h u a n g h u a iu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rx i ay a f e n g a p r i l ，2 0 11 lll-l-ii。-lf l一1鼍l鼍 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 作者签名：王日期：加f 1 年 歹月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务 日期：如1 年 日期：加t f 年 日日 7 9 月月 6参 名劢f j y 唧多 王夏 名名誉登 荐厩 怍导 静 t 。- 一j 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 课题意义1 1 1 1 贝叶斯统计的发展1 1 1 2 贝叶斯统计的应用2 1 1 3 模糊统计推断的研究现状2 1 2 本论文研究的内容4 第2 章预备知识6 2 1 先验分布7 2 2 估计问题9 2 3 假设检验1 2 第3 章两参数指数一威布尔分布模型多重模糊假设检验的贝叶斯方法1 4 3 1 模糊贝叶斯理论基础知识1 4 3 2 两参数指数威布尔分布形状参数多重模糊假设检验的贝叶斯方法1 5 3 3 数值算例1 8 3 4 模糊样本信息下的多重模糊假设检验2 l 第4 章定数截尾下的模糊贝叶斯估计2 2 4 1 定数截尾下的两参数指数威布尔分布2 2 4 2 定数截尾下的模糊贝叶斯估计2 3 4 2 1 平方损失函数下俄国的模糊贝叶斯估计2 3 4 2 2 刻度平方损失函数下俄的模糊贝叶斯估计2 4 4 2 3l i n e x 损失函数下麒印的模糊贝叶斯估计2 4 结论与展望2 6 参考文献2 7 致谢3 0 t r - - - - 。j ， ， 附录a 攻读学位期间所发表的学术论文目录3 1 1 ， 、 、 r f t ， ，。 p ” +， ：辑 7 ： 一 一一一一一j 一 摘要 贝叶斯统计在可靠性、计算机科学、经济、法律、医学以及体育运动等方面 得到了广泛的应用；两参数指数一威布尔分布在机电类产品的磨损累计失效以及 滚动轴承的寿命试验等可靠性模型中有着广泛的应用；近年来，模糊理论已在 医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、 语言、控制遥感、教育、体育等方面取得了许多具体的研究成果因此，对两参 数指数一威布尔分布的模糊贝叶斯统计推断的研究具有十分重要的意义 本文具体开展以下三个方面的研究工作：首先，简述了课题的研究背景及本 文的主要工作，并给出了本文用到的预备知识及基本工具；其次，针对两参数指 数一威布尔分布模型，对于特定的损失函数，选取j e f f r e y s 和共轭先验分布，研究 了在精确样本和模糊样本下的多重模糊假设检验的贝叶斯方法，并给出了数值 算例最后，在定数截尾情形下，研究两参数指数一威布尔分布参数的隶属函数， 给出了在平方损失、刻度平方损失和改进的l i n e x 损失函数下隶属函数的模糊贝 叶斯估计 关键词：两参数指数一威布尔分布：模糊假设：损失函数；模糊贝叶斯估计； 隶属函数 ， a b s t r a c t b a y e s i a ns t a t i s t i c sh a s aw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si nr e l i a b i l i t y , c o m p u t e rs c i e n c e ， e c o n o m i c s ，l a w , m e d i c i n ea n ds p o r t sa n do t h e ra s p e c t s ；t w op a r a m e t e r se x p o n e n t i a e d w e i b u l ld i s t r i b u t i o nh a sb e e nw i d e l yu s e di nr e l i a b i l i t ym o d e l ss u c ha st h el i f et e s to f c u m u l a t i v ef a i l u r ea n dw e a ro fr o l l i n gb e a r i n gi nm e c h a n i c a la n de l e c t r o n i cp r o d u c t s ； i nr e c e n ty e a r s ，f u z z yt h e o r yh a sa c h i e v e dm a n ys p e c i f i cr e s e a r c hr e s u l t si nm e d i c i n e ， m e t e o r o l o g y , p s y c h o l o g y , e c o n o m i c s a n d m a n a g e m e n t ，p e t r o l e u m ，g e o l o g y , e n v i r o n m e n t ，b i o l o g y , a g r i c u l t u r e ，f o r e s t r y , c h e m i c a l s ，l a n g u a g e ，c o n t r o lo fr e m o t e s e n s i n g ，e d u c a t i o n ，s p o r t ，e r e t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c et od i s c u s st h ef u z z y b a y e s i a n s t a t i s t i c a li n f e r e n c eo ft h et w o p a r a m e t e r se x p o n e n t i a e d w e i b u l l d i s t i l b u t i o n t h i se s s a yw i l lh a v et h r e ea s p e c t ss p e c i f i c a l l yi nt h ef o l l o w i n g ：f i r s t ，w ei n t r o d u c e t h es t u d y i n gb a c k g r o u n do ft h i st h e s i sa n dt h em a i nw o r k s ，a n dw el i s ts o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g en e e d e di nt h i sp a p e r s e c o n d ，w ef o c u s e do nt w op a r a m e t e r se x p o n e n 。 t i a e d w e i b u l ld i s t r i b u t i o nu n d e rt h eg i v e nl o s sf u n c t i o n ，b o t hw i t hj e f f r e y sp r i o ra n d c o n j u g a t ep r i o r , a n dw e w i l ls t u d yab a y e s i a na p p r o a c ht om u l t i p l eh y p o t h e s i st e s t i n g u n d e rt h ep r e c i s es a m p l e sa n df u z z ys a m p l e s ，a n dg i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t e t h i s m e t h o d l a s tb u tn o tl e s t ，u n d e rt y p e - i ic e n s o r e d ，w ew i l ld i s c u s st h em e m b e r s h i p f u n c t i o no ft h eu n k n o w np a r a m e t e ri nt h et w op a r a m e t e r se x p o n e n t i a e d - w e i b u l l d i s t r i b u t i o na n dg i v et h ef u s s yb a y e se s t i m a t i o no ft h em e m b e r s h i pu n d e rs q u a r el o s s f u n c t i o n ，s c a l es q u a r e dl o s sf u n c t i o na n dl i n e xl o s sf u n c t i o n k e yw o r d s ：t w op a r a m e t e r se x p o n e n t i a e d w e i b u l ld i s t r i b u t i o n ；f u z z y h y p o t h e s i s ；l o s sf u n c t i o n ；f u s s yb a y e se s t i m a t i o n ；t h em e m b e r s h i p f u n c t i o n i l l - 1 1 课题意义 1 1 1 贝叶斯统计的发展 第1 章绪论 现在在统计学界主要分为两大学派，一个是经典学派，也称频率学派；另一 个是贝叶斯( b a y e s ) 学派这两个学派虽然都是假设我们所研究的总体服从某 种分布类型，例如，对一批产品进行抽样检查，其次品率p 是未知参数但是， 这两个学派对于分布类型中所包含的参数的认识却是截然不同的 频率学派认为参数是客观存在，不会改变的，虽然未知，但却是个固定值； 贝叶斯学派则认为参数是随机值，因为没有观察到，那么和一个随机数也没有什 么区别，故参数也可以有分布因此贝叶斯学派与频率学派争论的焦点之一 在于先验分布的问题例如，在对产品抽样的例子中，就当前受检的这批产品， 次品率的确是一个未知数值，但是从该厂生产的产品来看，肯定不只是生产一批， 而是生产很多批每批的次品率显然不能相同但它们是在同一个工厂，在同样 的设备工艺条件下生产的，因此每批产品的次品率大致相差不多，它也受到某种 随机规律的制约贝叶斯学派认为，从生产的历史过程来看，同一工厂生产的同 种产品的次品率是随机变量，服从某种先验分布当前受检的这批产品的次品率 中是随机变量的一个实现在估计当前受检的次品率时，应当考虑这个事实，不 仅要用到当前的抽样数据，还要利用先验所提供的信息b a y e s 学派的理论是： 利用当前抽样的数据、先验分布及贝叶斯公式建立后验分布，以后的一切统计推 断，都是在这个后验分布的基础上进行的从数学论来看，如果先验分布选择的 恰当，利用贝叶斯学派方法进行的统计推断就较为准确 相对于经典学派来说，贝叶斯学派的发展起步比较晚，大致经历了以下几个 阶段： b a y e s 一词源于1 8 世纪英国一位学者t o m a sb a y e s 生前所作的一篇论文一 “a ne s s a yt o w a r d ss o l v i n ga p r o b l e mi nt h ed o c t r i n ec h a n c e s ”i ll , 在文中他提出了著 两参数指数贼布尔分布的模糊p ! 叶斯统计扮孵的研究 名的贝叶斯公式和种归纳推理的方法这篇遗作被他的朋友r i c h a r dp r i c e 整 理发表之后，贝叶斯理论的价值才被世人认识 随后，p s l a p l a c e 等做了进一步的工作，并将之用于解决天体力学、医学统 计中的问题，在有些情况下，甚至用于法理学虽然对贝叶斯理论有了一些研究 成果，但是由于理论的不完善和应用中出现的一些问题，贝叶斯学派不被人们所 接受2 0 世纪初，意大得的菲纳特，稍后英国的j e f f r e y s 都对贝叶斯理论作出了 重要的贡献第二次大战后，瓦尔德提出了统计决策理论，引起很多人对贝叶斯 方法研究的兴趣，因为在这个理论中贝叶斯解被认为是一种最优决策函数信息 论的发展对贝叶斯学派作出了重要的贡献在应用领域中，尤其在社会科学、可 靠性技术、经济商业活动中，贝叶斯方法取得了成功在l j s a v a g e ，h j e f f r e y 等贝叶斯学者的努力下，使贝叶斯统计在观点、方法和理论上不断地完善贝叶 斯统计的研究论文与著作愈来愈多，使贝叶斯理论成为一个统一的理论体系和 方法论 1 1 2 贝叶斯统计的应用 随着贝叶斯理论的兴起和发展，贝叶斯统计得到了广泛的应用文【2 】中余 强和姚宗静二人基于贝叶斯统计在可靠性方面、计算机科学方面和经济方面的若 干应用做了详细的阐述另外，贝叶斯统计在法律、医学以及体育运动等方面也 有广泛的应用，它己逐步渗透到现实中的各个领域它既可以用于软件质量评估， 质量控制，缓慢周转物品的存储和核电站可靠性评价等问题，又可以应用于保险 精算、犯罪学不完全记数的估计和水文事件频率的估计等 1 1 - 3 模糊统计推断的研究现状 1 9 6 5 年美国自动控制论学者l a z a d e h 发表论文“f u z z ys e t s ，【3 1 ，标志着模 糊理论的诞生，从而开创了一门新的数学分支模糊数学它研究的内容主要 有三个方面：第一，研究模糊数学的理论以及它和精确数学、随机数学的关系； 第二，研究模糊语言和模糊逻辑；第三，研究模糊数学的应用模糊数学发展的 主流是在它的应用方面由于模糊概念已经找到了模糊集的描述方式，人们在运 用概念进行判断、推理、决策、评价和控制的过程中都可以用模糊数学的方法来 2 硕卜擎位论文 描述，例如模糊模式识别、模糊聚类分析、模糊决策与模糊预测、模糊综合评判、 模糊控制、模糊信息处理等这些方法构成了一种模糊系统理论，形成了一种思 辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生 物、农业、林业、化工、语言、控制遥感、教育、体育等方面取得了许多具体的 研究成果模糊数学最重要的应用领域是计算机智能，它已经被用于专家系统和 知识工程等方面，在各个领域中发挥着非常重要的作用，并且已经获得巨大的经 济效益 在同常生活、工作、经验和绝大多数的工程系统中，信息的来源主要有两种： 数据信息和语言信息数据信息可用数字( 如“8 2 ”“5 7 ”等) 表示，而语言信息可 用文字( 如“多”“远”等) 表示 经典概率统计是处理数据信息的重要工具之一但不能处理语言信息而人 们赖以决策的信息大多数是两种信息的综合这种缺陷使概率统计在现实世界 中的应用受到极大限制随着信息技术的发展和计算机的使用而不断出现复杂 的数据，推动数理统计向模糊统计发展 在经典的统计学中，假设检验理论通常涉及六个概念：它们分别是样本( 数 据) ，统计模型，统计假设( 原假设和备选假设) ，功效函数，检验水平以及检验 法则( 拒绝原假设和接受原假设) 这六个概念都是严格定义的，且均是清晰的 ( 非此即彼的判断) 然而，如果在以上概念中引入模糊性，则我们将面临很多 问题由于贝叶斯理论的根源在于对先验分布的收集、挖掘和j h - f ，存在相当大 的不确定性而模糊理论的提出，为贝叶斯统计提供了一种解决问题的新方法和 新思路，这也是当今许多学者关注的课题 v i e r t l l 4 , 5 , 6 1 研究了连续单变量在模糊数据下的统计分析方法以及模糊测量方 法；g r z e g o r z e w s k i 7 8 9 1 ，s a d e l l o ，1 ，w a t a n a b e 在两类度量空间中引入模糊数，提出 二元模糊假设检验问题，并把模糊似然函数运用到决策过程中；f i l z m o s e r 和 v i e r t l 在模糊值中引入模糊p 值，提出一种统计试验方法【1 2 】；r o m e r 和k a n d e l l 3 , 1 4 1 探讨了模糊数据对假设检验的影响，对不同的模糊样本矢量数据进行了测试，并 对测试结果进行了比较：f r u h w i r t h s c h n a t t e r ! 5 j 假定参数是模糊的，并对模糊样本 空间进行了分割：g r z e g o r z e w s k i 和h r y n i e w i c z 1 6 l 专门讨论了模糊假设检验的试验 中模糊信息的提供是连续的的问题，并将其转化为一种模糊序贯决策问题这些 两参数指数一威布尔分布的模糊p ! n f 翔f 统汁栉肝的研e 都是基于样本数据是模糊的而作的研究而a r n o l d 和g e r k e ，c a s a l s l l 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 ， v e r d e g a y 和v i l a ，g r z e g o r z e w s k i 和d e l g a d o 2 1 1 ，b e h b o o d i a i l 【2 2 】，t a h e r i ，w a t a n a b e 和 i m a i z u m i 等做了关于依据样本信息( 可精确也可模糊) 对模糊假设做出判决的检 验另外，a r n o l d ，g r z e g o r z e w s k i k r u s e ，m o n t e n e g r o ，r o m e r ，t a h e r i ，v i e r t l ， w a t a n a b l e 等对检验法则进行了探讨，虽然他们的研究工作中并未给出优良性准 则，却为后来的研究者奠定了良好的基础 在国内，对模糊统计推断的研究相对于经典的统计学来说，研究成果是很少 见到的，但也有一部分学者在研究，例如：林晓辉通过对隶属函数的集中度系数 确定的探讨，将模糊数学应用于贝叶斯统计学，从而开成了一种新的假设检验的 方法【2 3 1 ；邹嵘，倪侃提出在小样本数据的情况下，利用模糊贝叶斯理论确定疲劳 寿命概率分布模型的方法，并对分布参数进行估计，应用模糊贝叶斯方法对估计 的两种分布进行评判【2 4 】；魏立力，张文修将模糊性引入到多重假设中，从贝叶斯 决策的角度，分样本为清晰数据和模糊信息两种情形，提出了多重模糊假设的贝 叶斯方法【2 5 , 2 6 】 1 2 本论文研究的内容 基于前人在贝叶斯统计推断、模糊数学和两参数一指数威布尔分布等方面的 研究，本文将对两参数一指数威布尔分布进行两方面的浅述，现将本文结构及内 容安排如下： 第l 章绪论，主要介绍了贝叶斯理论发展的历史、模糊统计的研究意义和 现状，最后说明本论文的研究内容，安排了本论文的主要结构 第2 章简单介绍了贝叶斯方法的一般步骤，几种常见的选取先验分布的方 法。贝叶斯估计问题和贝叶斯假设检验 第3 章针对两参数指数一威布尔分布模型，对于特定的损失函数，选取 d e f f r e y s 和共轭先验分布，研究了在精确样本和模糊样本下的多重模糊假设检验 的贝叶斯方法，并给出了数值算例 第4 章在定数截尾情形下，研究两参数指数一威布尔分布参数的隶属函数， 给出了在平方损失、刻度平方损失和改进的l i n e x 损失函数下隶属函数的模糊贝 叶斯估计 4 硕卜学位论文 曼皇曼曼皇曼鼍曼量! 曼舅舅曼曼曼蔓皇曼曼曼曼曼皇曼量笪曼曼曼! i i i i ! 曼 o 皇曼曼皇曼苎寰曼! 曼曼曼曼曼! 曼曼舅曼曼 最后一部分是全文的总结，总结了论文的具体工作，并提出一些需要进一步 解决的问题 第2 章预备知识 贝叶斯估计是将贝叶斯理论应用于参数估计的结果，简记为 尺( 占) = e 【r ( 秒，万) 】= 工尺( 臼，6 ) 万( 乡) d 秒， ( 2 1 ) 称为b 估计贝叶斯估计是贝叶斯统计的主要部分，它运用决策理论研究参数估 计的问题贝叶斯方法如下： ( 1 ) 将总体分布中的未知参数看作随机变量( 随机向量) ，记为目，于是当 0 已知时，样本x = ( 五，x 2 ，毛) 的联合分布密度就看成是_ ，x 2 ，吒对秒的条件 分布密度记为p ( x0 ) ( 2 ) 设法确定先验分布n - ( o ) ，这是根据以往参数秒的知识来确定的，是贝叶 斯方法中最容易引起讨论的一步 ( 3 ) 利用条件分布p ( x1 秒) 和先验分布万( 臼) ，可求出葺，x 2 ，毛对秒的联合 分布和样本毛，x ：，的边缘分布m ( x ) ，于是我们可以求出目对一，x 2 ，的条 件分布密度，也就是用贝叶斯公式求出的后验分布密度a - ( ox ) ( 4 ) 利用后验分布密度n - ( ox ) 作出对目的推断 以上方法可以用公式来表示由于样本五，x 2 ，毛和参数目的联合概率分布 为 h ( x ，0 ) = p ( x i 口) 万( 秒) ( 2 2 ) 由乘法公式知：h ( x ，0 ) = p ( xl 臼) 万( 口) = m ( x ) r c ( ox ) 于是有万( alx ) ：p ( x _ lo _ ) ，r ( o ) ，( 矽。) m l x l ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中o 是参数空间，m ( x ) 是联合分布h ( x ，0 ) 关于样本x 的边沿分布，与臼无 即朋( x ) = l p i o ) 万( o ) a o ， 6 ( 2 5 ) 硕 j 学位论文 则式( 2 4 ) 就是0 的后验分布 显然，后验分布万( 秒ix ) 是用总体信息和样本信息对先验分布万( 矽) 做调整的 结果，它集中了总体、样本和先验等三种信息中有关0 的一切信息，而贝叶斯统 计是基于上述三种信息( 总体信息、样本信息和先验信息) 进行的统计推断，可用 如下图示表示： 先验分布的确定是进行贝叶斯分析的关键所在，也是最受争议的问题之一 下面我们来介绍几种常用的先验分布 2 1 先验分布 在贝叶斯统计中，关于先验分布的选取是一个重大问题，因为先验分布是贝 叶斯参数统计模型的重要组成部分；又由贝叶斯统计推断原则，后验分布是统计 推断的基础，而只有正确选取合适的先验分布，才有正确的的后验分布因此， 先验分布的选取是进行贝叶斯统计推断的关键目前确定先验分布的方法主要 有：无信息先验分布、共轭先验分布、j e f f r e y s 准则、不变测度、最大熵方法、 用经验b a y e s 方法确定先验分布、专家经验法、随机加权法和自助法、多层先验 分布法等九种下面介绍几种常用的选择先验分布的方法 ( 1 ) 无信息先验分布：这是贝叶斯本人对先验分布所作的假设即参数秒在 其取值区域内“均匀分布”，是指除参数口的取值范围和秒在总体分布中的地位之 外，再也没有关于p 的任何信息的分布即 万c 臼，= 孑弓主兰 其中o 是p 的取值范围，c 是一常数 这似乎是一个合理的假设然而，这一假设却蕴含着一个内在的矛盾：若对 参数目选用均匀分布，但其函数g ( o ) 往往不服从于均匀分布，即往往不再服从 贝叶斯假设 两参数指数成布尔分布的模鞫! 贝n f 斯统计栉! 断的研究 f c0 0 万( 臼) 2 o 秒萑0 其中o 是口的取值范围，c 是一常数 ( 2 ) 共轭先验分布：设样本x 的分布族为 p ( x ) ：0 0 ) 若先验分布万( 目) 与后验分布x ( ox ) 是同一分布类型，则称x ( o ) 是p ( xi 口) 的共轭先验分布 共轭先验分布要求先验分布x ( o ) 与后验分布x ( ox ) 具有同一形式，注意到 x ( o lx ) o c 刀( 印l ( o lx ) ， 可见共轭先验分布要求先验分布x ( o ) 提供的信息与样本分布l ( ox ) 提供的信息 综合以后，不改变秒的总的分布规律这实质是认为由样本提供的信息是主要的 共轭先验分布要求先验分布与后验分布属于同一类型，就是要求过去的经验知 识通过样本信息转化为同一类型的经验知识在不断取得新的样本观测值前，现 时的后验分布可看成进一步试验或观测的先验分布这样，人们对目的认识就能 不断深化 ( 3 ) j e f f r e y s 准则：就是用信息阵( o ) 的行列式的平方根为核作为参数秒的 先验分布应，即 万( 秒) o ci ，( 口) i 三 ( 2 6 ) j e f f r e y s 提出的先验分布的准则是一种不变原理，较好地解决了贝叶斯假设 中的一个矛盾：若对参数口选用均匀分布，g ( o ) 往往不服从于均匀分布 j e f f r e y s 克服了这一矛盾，认为合理的决定先验分布的准则应具有相容性它包 含有两部分意义：一是对先验分布有一合理的要求：另一部分是给出一个具体的 方法求得符合要求的先验分布 ( 4 ) 不变先验分布 无信息先验分布的选取与参数在总体分布中的地位有关，并具有不变性，由 这种选择先验分布的的观点导出的先验分布，叫不变先验分布它主要包括三种： 位置不变先验分布，尺度不变先验分布和位置尺度不变先验分布 ( i ) 位置不变先验分布：具有下列形式的密度函数族称为位置参数族： 8 硕i j 学f 奠论艾 i i, _iii i i i i i i | 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼 p ( x - 0 ) ：啪 0 ) ，则】，的密度函数为 占p ( y - - 乓) ，其中仃+ ：c a ( c o ) 因此变换y ：c x ( c o ) 相当于参数变换 盯= c o ( c 0 ) 故尺度不变先验分布应具有性质： p a a ) = p c r c q a ) 因此，尺度参数盯的不变先验密度满足 万( 仃) o c 一1 ，盯 0 仃 ( i i i ) 位置尺度不变先验分布：具有下列形式的密度函数族称为位置尺度参 数族 三p ( 兰二丝) ， o ) o仃 令0 = ( ，仃) 7 位置尺度不变先验分布为 万( 秒) ：万( ，盯) ：万( ) 万( 盯) o c1 一1 ：一1 ， og 即，盯是相互独立的，且万( ) o cl ，万( 盯) o c 一1 仃 2 2 估计问题 统计中的估计问题分点估计和区间估计，两者的处理方法在经典学派中是 9 两参数指数一威布尔分布的模糊9 1 叫斯统汁扮断的研究 很不相同的，但在贝叶斯学派中却是统一的 假定样本_ ，x 2 ，的联合密度是p ( x0 ) ，目是参数点估计就是寻找一个 统计量秒去估计参数0 ，这从贝叶斯观点来看，就是寻找随机向量x 的函数扫( x ) ， 使它尽可能地“接近”随机变量秒对于区间估计，只要有后验分布，就可用分布 的分位点给出参数目的置信区间，所以全部问题就在于评定好坏的标准，对于给 定的标准去寻找最好的估计量与置信区间 在考虑标准时，通常都用损失函数和风险函数来描述，所以我们先介绍几个 定义，然后再来讨论相应的解 定义2 1 i 捌在参数口变化的范围o 上，定义的一个二元非负实值函数 l ( o ，a ) 称为损失函数 定义2 2 1 冽对损失函数( 臼，口) ，用估计量谷( x ) 估计汐时， r = e l ( o , 秒( x ) ) ， ( 2 8 ) 6 ，( j ) 称为o ( x ) 相应的风险函数当o ( x ) 不需标明时，往往用尺( 口) 表示 显然，当损失函数给定后，好的估计量应使风险函数尽可能地小 定义2 3 1 冽若反( x ) 在估计类g 使等式 尺( 0 ) = r a i nr ( 0 ) ，对一切0 o ( 2 9 ) 曲( 。) o ( x ) e g f 【。) 成立，则称良( x ) 是g 中一致最小风险估计 定义2 4 1 2 8 i 若0 = 臼( x ) ，使得 p ( xo ) x ( o ) = s u p p ( xo ) x ( o ) ， ( 2 1 0 ) o e o 则秒称为0 的最大后验估计其中目的先验分布密度为刀( 秒) ，p ( xi 乡) 就是样本x 对参数目的条件密度 定义2 5 i 2 8 1 设后验密度为 p ( xl 目) 万( p ) ：乡o ) ，则后验分布的期望 02 l 印( 引o ) x ( o ) d o ， ( 2 1 1 ) 称为9 的条件期望估计 条件期望估计是贝叶斯点估计中最重要的一种，通常贝叶斯点估计指的是 1 0 硕卜学位论文 条件期望估计 定义2 6 1 2 8 1 已知参数p 的后验分布为p ( x 1 秒) 万( 口) ，对于给定的置信概率 l 一口，若存在区间c ，满足下列条件： ( 1 ) p o cx ) = lp ( xo ) x ( o ) d o = l 一口， ( 2 1 2 ) ( 2 ) 任给鼠c ，0 2 诺c ，总有p ( xq ) 万( q ) p ( xi 岛) 万( 岛) ， ( 2 1 3 ) 则称c 是参数目的置信概率为1 一口的最大后验密度( h p d ) 区间估计，简称l 一口 最大后验区间估计 式( 2 1 3 ) 表明c 内的点相应的后验密度不比c 外的小，即c 集中了后验密度 取值尽可能大的点因此，秒的最大后验区间c 一定是同一置信概率下长度最短 的区间 这个定义仅对后验密度函数而给的，这是因为当p 为离散随机变量时， h p d 可信集很难实现从这个定义可见，当后验密度函数x ( o ix ) 为单峰时( 见图 2 1 口) ，一般总可找到h p d 可信区间，而当后验密度函数x ( o ix ) 为多峰时，可 能得到几个互不连接的区间组成的h p d 可信集( 见图2 1b ) 当后验密度函数出 现多峰时，常常是由于先验信息与抽样信息不一致引起的，认识和研究此种抵触 信息往往是重要的，共轭先验分布大多是单峰的，这必导致后验分布也是单峰的， 它可能会掩盖这种抵触，但是这种掩盖有时是不好的，这就告诉我们，要慎重对 待和使用共轭先验分布 嚣穆1 0 | 。一f 啼 口擘蜂 卜f 一| 一c ：叫 6 双峰c = c ，u 图2 1 月p d 可信区间与h p d 可信集2 8 l l l 两参数指数威布尔分布的模糊贝叶斯统计耕 ! 断的研究 2 3 假设检验 假设检验是数理统计的一个重要的研究对象，在经典的统计中处理假设检 验问题要分以下几步进行 1 建立原假设风与备选假设q ： h o ：0 o o ，q ：0 o l 其中o 。与o ，是参数空间o 中不相交的两个非空子集 2 选择检验统计量t = r ( x ) ，使其在原假设风为真时概率分布是己知的， 这在经典方法中是最困难的一步 3 对给定的显著性水平a ( o 口 q ，接受假设h o ； ( 2 ) 当 1 ，接受 q a 1 乩；当鱼 0 ，且都称为形状参数 特别地，如果m = 1 ，则 p ( xl 口) = o e “( 1 一e - x ) 弘1 ，( 3 7 ) 即为单参数指数一威布尔分布 下面先介绍几个引理 引理1 设孝服从两参数指数一威布尔分布，其密度函数为式( 3 5 ) ，若m 已知， 则有善”遵从参数为0 密度函数为( 3 7 ) 式的分布 z 3 1 理2 目的如伊缈的先验分布为万( 9 ) o c 石1 证明由引理1 知，誓( 扛l ，2 ，门) 服从密度函数为( 3 5 ) 式的分布，故其似然 函数为 两参数指数一成布尔分布的模糊贝叶斯统计挣断的研究 p ( x l ，x 2 ，i o ) = o “e x p ( - 五) 兀( 1 - e 一) 乒1 ， 对上式取对数，得 所以 从而 i n p ( x i ，x 2 ，矗1 秒) = n i n o - z x + ( p 一1 ) i n ( 1 - e 一) ， 刍0 l n p ( ，捣旧= ；+ 善, n ( 巧飞 嘉h p ( 酶州胪一古， 邶) = 咧杀l i l 地，抽戎) = 古， 所以，目的如伊缈的先验分布为万( p ) 石1 引理3 如果取g 口胧朋口分布g a ( c t ，五) 为0 的共轭先验分布，则0 的后验分布 7 黾g a m m a 分布g 口( 胛+ 口，旯一l n ( 1 - e 一) ) 证明由引理2 知：0 的后验分布为 x ( ox 1 ，x 2 ，矗) o cx ( o ) p ( x t ，x 2 ，x n1 秒) o c 秒”1 兀( 1 一p 一) 乒1 同样，若取0 的共轭先验分布为g a m m a 分布g a ( c t ，五) ，其中口 0 为形状参 数，五 0 为尺度参数，则0 的密度函数为 砌) = 高纩加 于是，目的后验分布为 x ( oi ，x 2 ，矗) o c 万( p ) p ( 五，x 2 ，l0 ) o c 高纩加唧c 一喜，冉p 1 o c 1 6 硕卜学位论文 0 e x p ( 一2 0 ) e x p ( ( o - 1 ) ) - tl n ( 1 一p 一) ) o c 秒”扣1 e x p ( - o ( 2 - l n ( 1 - e 一) ) ) ， 所以，0 的后验分布也是g 硎，z 口分布g 口( 玎+ 口，五一l n ( 1 - e 一) ) 现在从总体x 中抽取 个样本进行寿命试验 考虑多重模糊假设检验问题( h o ，1 4 , ，以一。) 取损失函数 l ( o ，q ) = g ( 秒) ( 1 一- , ( 秒) ) ，0 0 ， ( 3 8 ) 式中g 。( 汐) 为任意的非负函数，i = 0 ，1 ，k 一1 ( 秒) 的选取取决于决策者对错误 地接受e 这一行动的敏感程度 定理1 对于多重模糊假设检验问题( 4 0 ，4 , ，阢一。) ，如果取损失函数 ( 3 8 ) ，则贝叶斯检验法则为：接受4 , 当且仅当 e g ，( 臼) ( 1 一h ，( o ) ) r c ( ot ) d o = 。句r a 鲥i n 一，j ：g ，( 口) ( 1 一h j ( 0 ) ) n ( 0 t ) d o ，f ， ( 3 9 ) 式中t 是统计量，它的值域为t 证明考虑决策函数5 ( x ) 的贝叶斯风险 r ( x ，万) = l 尺( 臼，6 ) x ( o ) d o = (