（基础数学专业论文）有穷非整数级亚纯函数的唯一性.pdf

1 f v a b s t r a c t l i l ll l ii ii ll li i ii iil ll 17 4 4 7 9 1 i n1 9 2 5 ，r n e v a n l i n n ae s t a b l i s h e dt w of u n d a m e n t a lt h e o r e m so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n ds t a r t e dt h em o d e mr e s e a r c ho ft h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y b yn o w , t h es t u d y b a s e do nn e v a n l i n n a st h e o r y ，o ft h ev a l u ed i s t r i b u t i o na n du n i q u e n e s so nm e r o m o r p h i c f u n c t i o n ss t i l la t t r a c t sm a n yd o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r so fm a t h e m a t i c s i nt h i sp a p e r w es t u d yt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hn o n i n t e g e rf i n i t e o r d e r d e t a i l sa r ea sf o l l o w s ： 、 i nc h a p t e r1 ，s o m ep r e l i m i n a r i e s ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fn e v a n l i n n a st h e o r y a n dt h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，a n dr e c o m m e n ds o m er e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t hn o n - i n t e g e r f i n i t e o r d e r , s h a r i n gt w ov a l u e sc mo r as m a l lf u n c t i o n ，a n di m p r o v et h er e s u l t so f w c l , w r r i n c h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t e t h e t h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw i t h n o n - i n t e g e rf i n i t eo r d e r ，s h a r i n go n e o rt w of i n i t es e t s k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，u n i q u e n e s s ，n o n i n t e g e rf i n i t eo r d e r ，s h a r e s e t i l ， 弋 嚏 中文文摘 本文针对有穷非整数级亚纯函数的唯一性问题进行了一些研究 第一章为预备知识，介绍n e v a n li n n a 理论与皿纯函数唯一性理论的发展，以及亚纯 函数唯一性理论中的几个结果。 在第二章中，讨论了分担两个c m 公共值以及分担小函数的有穷非整数级亚纯函数 的唯一性问题，推广了林伟川、吕巍然等人的结果。 具体结果有： 定理2 1 设厂，g 是非常数亚纯函数，a ( g ) 为有穷非整数，厂，g 具有两个c m 公共 值0 ，如果存在两个判别的有穷非零复数口。，口：满足瓦0 ，) g ( a ，g ) ，歹一1 ，2 及 e ( 。，厂) + e ( ，) + 三2 6 ：( 口1 ，厂) + 吾6 ：( 口2 ，) 1 ， 则厂羞g 定理2 2 设厂，g 是非常数亚纯函数，a ( g ) 为有穷非整数，g 具有两个c m 公共 值0 ，如果存在忍个判别的有穷非零复数口。，口：口满足巨，) ( 口，厂) ce ( a ，g ) ， i 一1 ，2 n 及 e ( 0 小。( 吖) + 专与k j + 1 - 2 - 嘉南，沁2 ) ， 则，皇g 定理2 3 设厂，g 是非常数亚纯函数，x ( g ) 为有穷非整数，g 具有两个c m 公共 值0 ，如果存在厅个判别的有穷非零复数口。，口：口。满足巨，) a ，) e ( a ，g ) ， 川，z 一及嘉南圯 o 苫3 ) ，则厂ig 推论2 1 设，g 是非常数亚纯函数，x ( g ) 为有穷非整数，厂，g 具有两个c m 公共值 0 ，如果存在5 个判别的有穷非零复数口。，口：口5 满足巨，) ( 口，) g ( a ，g ) ，( ； l ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，则厂( 2 ) 暑g ( z ) 定理2 4 设厂( z ) ，g ( z ) 为j i ：、卜t $ c 上：m 常数业纯阑数，g ( z ) 的级a ( g ) 为有穷非整数， i l l f , g 具有两个c m 公共值0 ，如果存在，0 ) ，g ( z ) 的两个判别的小函数口。( z ) ，口：g ) ( 乒。，) 满足磊，) ( 口，厂) 豆 ，g ) ，i - 1 , 2 及e ( 0 厂) + e p ，) i 1 石+ 瓦i 1 ，其中 k l 之1 后2 之2 ，贝ufig 定理2 5 设厂，g 是非常数亚纯函数，a 括) 为有穷非整数，f , g 具有两个c m 公共值 0 ，如果存在厂( z ) ，g ( z ) 的两个判别的小函数口。( z ) ，a ：( z ) ( 一0 ，) 满足 巨) ( 口，f ) c _ f f ，( a i , g ) ， j 一1 ，2 及o ( o ，) + e ( ，) + 1 26 ：( 口。，厂) + 1 26 ：( 口：，厂) 1 ， 则f 曩g 定理2 6 设厂( z ) ，g ( z ) 为开平面c 上非常数亚纯函数，g ( z ) 的级a ( g ) 为有穷非整数， ，( z ) ，g ( z ) 分担值0 ，c m 如果存在一个厂( z ) ，g ( z ) m j d 、函数口( z ) ( 一o ，) 满足 巨) o ，f ) c _ e 一( a ，g ) ，2 之e ( o ，厂) + e ( 吖) 志“其中七1 , 贝l j fig 推论2 2 设厂( z ) ，g q ) 为开平面c 上非常数亚纯函数，g ( z ) 的级a ( g ) 为有穷非整数， ，( z ) ，g ( z ) 分担0 ，c m 如果存在厂( z ) ，g ( z ) 的两个判别的小函数口。( z ) ，a ：q ) ( 一o , o o ) 满足丘，) ( 口，) 云( 口，g ) ，j 一1 ，2 ( k 。一o o , k ：一) ；e ( o ，f ) + e ( o o ，厂) 0 ，则 ，( z ) 一g ( z ) 推论2 3 设厂( z ) ，g ( z ) 为开平面c 上非常数整函数，g ( z ) 的级a ( g ) 为有穷非整数， ，( z ) ，g ( z ) 分担0c m 如果存在一个，( z ) ，g ( z ) 的小函数口( z ) ( 一0 ，) 满足： 巨) o ，厂) 百o ，g ) ，及9 ( o ，) f ! 击，其中七之1 , 贝l jf 叠g 定理2 7设厂，g 是非常数亚纯函数，g ( z ) 的下级p ( g ) 为有穷非整数，若 厂一0 争g 一0 ，f = 1 g 一1 ，一付g 一，且2n ( r ，g ) 1 ， 则厂一磁( k 为常数) 定理3 3 设，g 是非常数亚纯函数，x ( g ) 为有穷非整数，g 具有两个c m 公共 值0 ，如果存在刀个判别的有穷非零复数口，口：口。满足丘，) p ，厂) g ( s ，g ) ，其 中s 一 口，口：口。) 一1 ，2 以 e ( o ，) + e ( ，) + 砉者铲t 加2 一再再k j ，2 ) ， 则厂i 磁( k 为常数) 定理3 4 设f , g 是非常数亚纯函数，x ( g ) 为有穷非整数，g 具有两个c m 公共 值0 ，如果存在玎个判别的有穷非零复数口。，口：口。满足巨，) ，厂) c _ g ( s ，g ) ，其中 s = 口l , a 2 a n ，j f = l ，2 以及荛i k i j 2o 3 ) ，则厂曩磁( k 为常数) 定理3 5 设厂，g 是非常数亚纯函数，a ( g ) 为有穷非整数，为，g 的c m 公共值 如果存在判别的有穷复数口。，口：，b l ，b ：，满足e ，) = e ( s ，g ) ( j 一1 ，2 ) ，其中 s ，= 仁。，口： s ：。怯，b ： ；存在有穷复数口，使得厂0 ) 童g ( 口) ，贝, l jf g 或厂+ g ；口。+ 口： 或厂+ g 。b l + b ， v 目录 中文摘要l a b s t r a c t i i 中文文摘i i i 绪论1 第一章预备知识2 l - 1 特征函数与第一基本定理2 1 2 第二基本定理7 第二章具有两个c m 公共值的有穷非整数级亚纯函数的唯一性。1 0 2 1 引言和主要结果。1 0 2 2 一些引理。1 3 2 3 定理2 1 的证明1 5 2 4 定理2 2 的证明1 6 2 5 定理2 3 的证明1 7 2 6 定理2 4 的证明1 8 2 7 定理2 5 的证明1 9 2 8 定理2 6 的证明2 0 2 9 定理2 7 的证明。2 1 第三章分担公共值集的有穷非整数级的亚纯函数唯一性。2 5 3 1 引言及主要结果2 5 3 2 一些引理。2 6 3 3 定理3 1 的证明。2 7 3 4 。定理3 2 的证明2 8 3 5 定理3 3 的证明2 9 3 6 定理3 4 的证明。3 1 3 7 定理3 5 的证明。3 2 结论3 5 参考文献3 6 致谢3 7 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权声明。3 8 v i 绪论 自n e v a n l i n n a 建立了亚纯函数理论【1 4 1 ，值分布理论便是复分析中的重要分支在 值分稚的研究中，我国的数学界先辈，如熊庆来，李国平，庄圻泰，杨乐，张广厚等， 作出了许多有独创见解的成果近年来，许多数学工作者又从分担值( 集) 的角度去研究 亚纯函数唯一性问题，从而开辟了值分布论研究的新领域在近半个世纪的值分布新研 究中，亚纯函数的唯一性理论也有了新的发展著名的n e v a n l i n n a 五值定理和四值定理 一直都吸引着众多数学工作者人们感兴趣的是在这两个唯一性定理的基础上如何寻找 更一般形式的唯一性条件国内外数学工作者在这方面进行深入研究且建立了许多的 唯一性定理，同时还不断提出新的问题使得亚纯函数的唯一性研究充满了活力 在亚纯函数的唯一性研究中，关于有穷非整数级( 下级) 亚纯函数的研究成果非常 丰富，对c m 公共值，仪洪勋证明了，如果两个不恒等的有穷下级亚纯函数具有三个判 别的c m 公共值，则它们的级和下级相等且为整数，由此可得出n e v a n l i n n a 定理，即具 有三个判别的c m 公共值的有穷非整数级( 下级) 亚纯函数的唯一性定理2 0 0 1 年林伟川、 吕巍然在添加些附加条件的情况下，对有穷非整数级( 下级) 亚纯函数分担两个判别的 c m 公共值的唯一性问题进行了研究2 0 0 7 年，陈桂玲、张晓斌把部分结论进一步推广 受上述定理的启发，本文第二章对有穷非整数级( 下级) 亚纯函数分担两个判别的 c m 公共值的唯一性问题，在减弱附加条件的情况下作了研究并获得一些结果 具有公共值集的亚纯函数唯一性问题是具有公共值的亚纯函数唯一性问题的推 广1 9 8 2 年，g r o s s 一砌增提出下述问题畔1 ：是否存在两个集合s l - 口。，口2 x s 2 - 慨，b 2 ， 使得对任意两个非常数整函数，g ，只要满足e r ( s f ) 一e 暑 ) ( = l 2 ) ，必有厂_ g ? g r o s s - y a n g 4 1 研究了两个集合s l 一 口i ，口2 x s 2 一侈l ，b 2 ，其巾口l + 口2 6 i + 6 2 ，对于两 个非常数有穷级整函数厂，g ，当e ，( s ，) 一e 暑 ，) ( 一l 2 ) ，厂与g 应满足的关系式仪洪 勋完善了g r o s s y a n g 的有关结果，并进一步推广到具有公共值集的亚纯函数情形受 这些结论的启发，本文在第三章对这个具有公共值集的有穷非整数级( 下级) 亚纯函数 唯一性问题进行了研究，获得了一些结果 第一章预备知识 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 所建立的亚纯函数n e v a n l i n n a 理论是 研究亚纯函数理论的一个主要工具为此在本章中，我们将介绍n e v a n li n n a 理论在复平 面的一些基本定理和相关结果 1 - 4 1 1 特征函数与第一基本定理 1 1 1 特征函数 我们先引进正对数 对于石。，定义l o g * x - m a x ( 1 。g z ，。) 。【。l o ，。g x s , x xa ： 设函数f ( z ) 在l z i s r ( o r ) 上亚纯，对于o r 尺，n e v a n l i n n a 引进以下几个函 效 定义m ( r ，) = 占l 。g + i f ( r e m ) l d 口 称m ( ，) 为厂( z ) 的接近函数或平均值函数，也记为m ( r ，厂一) 或朋( ，) 定义( ，厂) = 竺羔生_ 竺半+ 以( 。，厂) l 。g r ， 其中以o ，厂) 表示f ( z ) z ei z isf 上的极点个数，重级极点按其重数计算，n ( o ，厂) 表示厂0 ) 在 原点处极点的重级( ，( o ) 时，则n ( o ，厂) = o ) ( ，厂) 有时也记为n ( r ，一0 0 ) 或 n ( r ，) ，称为厂( z ) 极点的计数函数 定义丁( 厂，) 一所( ，厂) + ( ，) r ( r ，厂) 称为f ( z ) 的特征函数，显然它是非负函数 设口为任一有穷复数，则页考= 在h s r 上亚纯根据上述定义，n e v a n l i n n a 弓i 进 以下几个函数 定义肌p 击，= 知“崦+ 南饥 m ( r ，了- l ) 也记为m ( r ，f ；口) 或棚( 厂，口) ，一口 2 万1叫nct,1-兰-端-)州1 灿弘 这里疗( f ，7 笔) 表示在l z i sf 上 ，( z ) 一4 的零点个数，重级零点按其重数计算， n ( o ，了l ) 表示f ( z ) 一口在原点的重级n ( t ，) 也记为刀( f ，厂一口) 或n q ，口) ， ，一at a 以( 0 ，_ l ) 也记为n ( o ，厂一口) 或，l ( 0 ，口) 有时记为( ，- ，厂；口) 或( ，口) ，称作f ( z ) 的口值 r a 点的计数函数 蝴p ，南a 叫南ta 州p ，击) a 定义丁( ，匀= 朋( ，_ + ( 厂，南 r 一 一 ，一 z ( ，7 与) 称为7 占 i 的特征函数 设函数，q ) 于k i r ( s ) 内亚纯，4 为任意有穷复数，对于o ，- _ ：尺，我们以ip ，7 表示在h r 内厂( z ) 一口的零点个数，每个零点仅记一次，它有时也记为二( ，f 一口) 或 n ( r ，口) 玑击，= 隅黔j - ( r 崩1 。j ：哇挈盘+ - ( 。，击) 崦， 称之为，( z ) 一口的精简计数函数，或汜为n 一( r ，厂。口) ，万( ，口) 类似地，n ( r ，厂) ( 或 i ( ，厂一) ，二( ，) ) 以及丽( ，厂) ( 或万( 厂，厂= ) ，万( - r ，) ) 复平面上的亚纯函数f ( z ) 的级、下级定义如下： 设厂( z ) 于丌，f 埘亚纯，厂0 ) 的级a 与下级分别定义为t ( r ，厂) 的级与下级，即 3 a ：l i ml o g + t ( r , f ) ，j c l “m 坐掣 ，”l o g r ，* l o g r 复平面上的亚纯函数，( z ) 的亏量定义如下： 设，( z ) 于开平面亚纯，口为任穷复数，定义口对于厂( z ) 的亏量为 6(口，厂)；z(r卫,l-l-)。1一一n(r彳,f-吉a)lim l i m 6 ( 口，厂) ；，。击。1 一画_ f 万， 、 容易看出0s6 ，厂) s1 对于更精确性的刻画，还引入下面记号 1 n ( r ，) e ( 口，) _ 1 画l i m 可簪 七为正整数，以厩1 0 ，二y - a ) 表示在l z l s r 上，q ) 一口的重级不超过七的零点数目，重 级零点仅计一次，相应的计数函数记为矾) r ，7 与) ，以瓦) ( 口，) 表示厂( z ) 一口的重级不 超过七的零点集合，重级零点仅计一次；用厅t ( 厂，了表示在k i s ，上，( z ) 一口的零点 个数，重数所 七计其重数，重数臃七时计七次，相应的计数函数记为t ( r ，厂石1 ) ， n i ( r ，j _ ) 定义以( 口，厂) 暑1 一匦l i r a 诸显然有 1 之e ( 口，厂) 苫6 l ( 口，厂) 苫6 2 ( 口，厂) 之6 ( 口，) 芑之6 ( 口，) 之0 1 1 2 一些基本符号 设厂，g 表示一个开平面上的非常数亚纯函数，设口为任一复数，用，一口g a 表示厂( z ) 一口与g ( z ) 一口的零点相同，而且每个零点重级相同，称口为厂0 ) 与g g ) 的c m 公共值；用厂。口尊g 一口表示，( z ) 一口与g q ) 一口的零点相同( 不计重级) ，称口为，( z ) 与g ( z ) 的i m 公共值 设厂表示一个开平面上的非常数亚纯函数，用s ( ，厂) 表示任意满足 4 s ( r ，) ；o ( r ( r ，厂) 】i ( ，呻，r 茁e ) 的量，其中e 是一个有穷线性测度集设a 在开平面 亚纯如果丁( ，a ) as ( ，- ，) ，则称a 为，的小函数若，一a 与g a 以0 为c m 公共值，则 称厂与g 以口，为c m 公共小函数 设厂表示一个开平面上的非常数亚纯函数，s 为复平面中的一个集合令 e ，p 卜唧u z l z ( z ) 一口一o ) ， 这里川重零点在e ，p ) 中重复历次，用e ，p ) 表示e ， ) 中不同点的集合 设，g 表示一个开平面上的非常数亚纯函数，s 为复平面中的一个集合如果 e ， ) 2 e 。( s ) ，则称s 为厂与g 的c m 公共值集如果e t 岱) = 百 ) ，则称s 为，与g 的 i m 公共值集 1 1 3p o i s s o n - j e n s e n 公式 在n e v a n l i n n a 理论中，下述p o i s s o n - j e n s e n 公式起着十分重要的作用 定理1 1 1 设函数，( 宇) 在例s 尺上亚纯，口芦似一1 ，2 ，肘) ，b ，o - 1 , 2 ，) ，分别为 ，( 亭) 在蚓尺内的零点和极点若z - r e 阳为矧- or 内不与口，玩相重的任意一点，则 l 。g j f ( z ) = 占l 。d 厂叫瓦面r 面2 _ r 面2 浮却 r + 荟1 一荟1 系1 在定理1 1 1 的条件下，若，佶) 在蚓s 尺上没有零点和极点，则对于任意点 z ，i z i = r r ，有 l 。枇) l ，暂l 。剖，( r 扩) | 正面r 面2 _ r 再z 驴舡 这就是p o i s s o n 公式 系2 在定理1 1 1 的条件下，若厂( 0 ) o ，则 叫们) | - 鲁“- o g j ，c 旷纠刳一剿纠 i g 就是j e n s e n 公式 若f ( o ) 一0 或0 0 ，设，皓) 在原点邻域内的l a u r e n t 展式为 显然有 命 厂( 亭) = c 宇 + c a + l 亭丑+ 1 + ，c 一0 ， 扣柙，手) 卅( 0 ，) 船，。 厂黧二：。 显然g ( 芋) 在蚓sr 上亚纯，且g ( 亭) 一0 ：, 0 0 对g 皓) 应用j e n s e n 公式，并注意 l g ( r e 枷) i 暑i 厂( r e 枷) i ，则得 即 - 。如i + a l o g r = ：去- - - f 。咖c 时妒凇驴一喜- 。d 爿+ 。 叁置- 。g | 纠r 蚓叫州。，扣尺一抒i 邝扩枷一毒矗- 。朴童足。料删崦尺 这就是j e n s e n 公式的一般形式 1 1 4 第一基本定理 设f ( z ) 在l z i r ( o r ) 上亚纯，在原点邻域内的l a u r e n t 展式为 ，( z ) = c l z a + c + 1 z + 1 + ，c 乒0 ， 则对于0 ，_ 尺有 j r ( ，- ，舻m 7 1 ) + l 。如i 公式( 1 l 1 ) 表示了哑纯函数厂( z ) 与了两1 的特征函数之问的关系，这是j e n s e n 公式 的另一种写法，所以也称它为j e n s e n n e v a n li r m a 公式 6 利用公式( 1 1 1 ) 还可以推出亚纯函数，( z ) 的特征函数r ( ，厂) 与7 丽1 的特征函数 t ( r ，了勺之间的关系，谓为n e v a n l i n n a 第一基本定理如次 r a 定理i i 2 设，q ) 在h 尺( 尺s ) 上亚纯若口为任一有穷复数，则对于o ， r 有 聊，击) = 毗厂) + l o g c a i + 如，) ( 1 1 2 ) 其中c 为7 高三在原点的l a u r e n t 展式中第一个非零系数，而l ( 4 ，) l a l o g * i 口l + l 。9 2 公式( 1 1 2 ) 可简写为 毗者玎( ，) + 。( 1 ) 它说明了对任一有穷复数口，r ( r , f ) - - t - - 与7 高三仅仅相差一个有界量 1 2 第二基本定理 1 2 1 第二基本定理的一般形式 首先引入一个引理如次 设厂( z ) 为h - r ( rs ) 内非常数亚纯函数，a i ( _ = l 2 ，g ) 为g 个判别的有穷复数， 则对于0 _ r r 有 嘶嵩击，。扣，南m n e v a n lin n a 第二基本定理如次 定理i 2 i 设厂q ) 为h 尺僻s0 0 ) 内非常数亚纯函数，a y ( j = 1 ，2 ，曰) 为口g2 ) 个 判别的有穷复数，则对于0 ， r 有 毗，) + 砉毗去脚m ，) - l ( r m ( r ，) ， 7 l ( 小( 2 ( r ，舻( r ，) ) + p ，争) ， 跗，) 毗争呻嘉南) + o ( 1 ) 注意到，利用第一基本定理有 肌( ，南) 钉( r ，) _ ( r ，者+ o ( 1 ) 于是，定理1 2 1 也可叙述为 设，( z ) 为h - 4 r ( rs ) 内非常数亚纯函数，a i ( j 。1 ，2 ，口) 为gq2 ) 个判别的有穷 复数，( 其中之一可以是) ，则 妒( r ，) 去+ 去， 其中k 121 , k 2 之2 ，贝0fig 结合定理b 、定理c 的证明我们发现条件瓦0 ，f ) c e 。) 0 ，g ) ， e k ，) ( 口，厂) c _ g t ，) ，g ) 可适当减弱，也自然想到把定理b 、定理c 推广到有玎个判别的 有穷非零复数口。，口：口。满足巨，) ( 口，f ) c _ e ( a ，g ) 的情形，于是得到结论如下： 定理2 1 设f ，g 是非常数亚纯函数，x ( g ) 为有穷非整数，厂，g 具有两个c m 公共 值0 ，o o 如果存在两个判别的有穷非零复数口。，口：( 一0 ，) 满足巨) ( 口，) g 云0 ，g ) ， j | 1 。2 及 e ( o ，厂) + e ( ，) + 1 26 ：( 口，) + 1 26 ：( 口：，) 1 ， 则厂曩g 定理2 2 设厂，g 恁| j 二l - i 卜i - , m t , 数亚纯函数，x ( g ) 为有穷非整数，厂，g 具有两个c m 公共 1 0 值0 ，0 0 如果存在甩个判别的有穷非零复数口。，口：口。满足磊，) ，厂) 豆( 口j ，g ) ， il ，2 n 及 ( 0 ，) + e ( 吖) + 多与g j + 1 印- ，) 2 一薹南，2 ) ， 则f i g 定理2 3 设，g 是非常数亚纯函数，a ) 为有穷非整数，g 具有两个c m 公共 值0 ，如果存在，1 个判别的有穷非零复数口。，口：，口。满足巨，) a ，) e - ( a ，g ) ， 川，2 一般骞南圯。舀) ，则，l 影 由上述定理的条件我们很容易得到推论： 推论2 1 设，g 是非常数亚纯函数，x ( g ) 为有穷非整数，f , g 具有两个c m 公共 值o ，如果存在5 个判别的有穷非零复数口。，口：口，满足巨。) a ，厂) 百( 口，g ) ，( _ 一 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，则f g 2 0 0 7 年，陈桂玲、张晓斌把定理彳中常数a 。，a ：易为小函数，推广了定理彳，也推 广了李岩的一些结论【1 1 1 进一步得到： 定理d 1 2 1 设厂( z ) ，g q ) 为开平面c 上非常数亚纯函数，g ( z ) 的级a ( g ) 为有穷非整 数，厂q ) ，g ( z ) 分担值0 ，c m 如果存在两个判别的，( z ) ，g ( z ) 的小函数口。q ) ，口2 g ) 满足 巨，) ( 口，f ) c _ e 一。，) ( 口，g ) ，( j - l , 2 ) 及e ，) i 百1+ 砭百1 ，其中七，21 七：22 ，则 f - g 并提出一个问题n 2 1 ：条件9 p ，厂) i 鲁1 + i 毛1 可否减弱? 本文适当减弱了该 七，+k ，+ 条件，得到结论如下： 定理2 4 设，( z ) ，g ( z ) 为丌平面c 上非常数亚纯函数， a ( g ) 为有穷非整数， ，( z ) ，g ( z ) 分担值0 ，0 0c m 如果存在两个判别的厂q ) ，g ( z ) 的小函数口。q ) ，a ：( z ) o0 ，) 满足最，) ( 口，f ) ce ( 口，g ) ，j = l , 2 及。( 。，厂) + o ( ，卜i b + i 毛，其中 k 1 七2 苫2 ，! 1 1 0 厂置g 特别地，如果o ，厂) 百b + 乏毛，由定理2 4 易得定理d 成立因此定理2 4 为文献 1 2 个结论的推广进一步考虑：条件巨，) a ，) e ( a j , g ) ，j 一1 ，2 或 e ( o ，) + e ( q o , 厂) i 毛+ i 是否可以减弱? 定理2 5 设厂，g 是非常数亚纯函数，a ( g ) 为有穷非整数，厂，g 具有两个c m 公共 值0 ，如果存在两个判别的厂( z ) ，g ( z ) 的小函数a l ( z ) ，a ：q ) ( - o ，) 满足 e 1 ) ( 口，厂) e 一( a i , g ) ，一1 ，2 及 o ( o ，) + e ( ，厂) + 三2 6 ：( 口。，) + 1 2 6 ：( 口：，厂) 1 ， 则，ig 定理2 6 设厂q ) ，g q ) 为开平面c 上非常数亚纯函数，a ( g ) 为有穷非整数， 厂q ) ，9 0 ) 分担值0 ，c m 如果存在的一个厂( z ) ，g ( z ) 的小函数口( z ) ( 一o ) 满足 e i ) a ，厂) e ( a ，g ) ，及e ( o ，) + e ( ，f ) i _ + 1 ，其中k 之1 ，则f 警g 丘+ l 推论2 2 设，( z ) ，g ( z ) 为开平面c 上非常数亚纯函数， a ( g ) 为有穷非整数， ，( z ) ，g ( z ) 分担o ，c m 如果存在两个判别的，( z ) ，g ( z ) 的小函数口。( z ) ，a ：q ) ( 一0 ，) 满 足巨，) ( 口，厂) g ( a ，g ) ，j 一1 ，2 ( 七。z ，七2 一0 0 ) ；e ( o ，厂) + e ( ，) 0 ，贝i j 厂曩g 文献 1 2 中主要结果是推论2 2 的一种特殊情况 推论2 3 设厂0 ) ，g ( z ) 为开平面c 上非常数整函数，z ( g ) 为有穷非整数，厂( z ) ，g ( z ) 分担o c m 如果存在的一个，( z ) ，g ( z ) 的小函数a ( z ) ( - 0 ，) 满足： e 。) ( 口，f ) e 0 ，g ) ，及o ( o ，) _ j ，其中k 1 ，则厂_ g 。 丘+ l 对我们熟知的n e v a n l i n n a 定理，它从三个判别的c m 公共值的角度阐述了亚纯函 数的唯一性，其叙述如下： 定理e 1 2 1 设，g 是为有穷非整数级或有穷非整数下级亚纯函数，a ，( _ ；1 , 2 , 3 ) 为其三个判别的c m 公共值，则f 壹g 若将上述结果运川4 ：憋函数，则厂，gj 需丫j 两个判刖的c m 公j 匕值口，a ：就能褂剑 厂暑g 1 2 在以上结果的基础上，罗旭丹把厂，g 分担两个判别的c m 公共值这个条件减弱，得 到厂一g ，其结论如下： 定理fi 1 设厂，g 是非常数整函数，若g ( z ) 的下级j c ( g ) 为有穷非整数，若 f - 0 争g a 0 ，f 一1 坤g 一1 ，贝0f - g 本文把定理f 推广到亚纯函数，得到以下结果： 定理2 7 设厂，g 是非常数亚纯函数，g ( z ) 的下级肛( g ) 为有穷非整数，若 f 一0 营g = 0 ，f a 1 伸g 一1 ，f 一hg 一0 0 ，且2n ( r ，g ) 似+ d ( 1 ) 沙( ，j g ) ，其中j l 为 小于1 的常数，则，薯g 推论设，g 是非常数亚纯函数，g ( z ) 的下级u ( g ) 为有穷非整数，若 f = 0 争g 一0 ，f 一1hg 一1 ，厂一付g 一，j l n ( r ，g ) 一s ( r ，g ) ，贝i j ，蕾g 2 2 一些引理 引理2 1 f 2 j 设厂( z ) 与g ( z ) 为丌平面上的非常数亚纯函数，其级分别为z ( f ) 与 a ( g ) ，贝0 z ( f g ) sm a x a ( f ) ，a ( g ) ) ，a ( ，+ g ) sm a x 协( 厂) ，a ( g ) ) 引理2 2 t 2 1 设f ( z ) 与g ( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数，其级分别为z ( f ) 与 z ( g ) ，如果z ( f ) a ( g ) ，贝0a ( f g ) 一a ( g ) ，x ( f + g ) - a ( g ) 引理2 3 t 2 1设h ( z ) 为非常数整函数，f ( z ) 一eh ( o ，且，g ) 的级为a ，下级为， ( i ) 若h ( z ) 为p 次多项式，则a 一zp ； ( i i ) 若h ( z ) 为超越整函数，则a = z ；0 0 引理2 4 2 1 设厂，g 是非常数亚纯函数，z ( g ) 为有穷非整数，厂，g 具有两个c m 公 共值0 ，如果存在有穷非零复数口满足巨、a ，) c a _ 百( 口，g ) ，则a ( 上) a ( 厂) 一a 国) g 1 9 2 9 年，r n e v a n l i n n a 证明了含有三项计数函数的第二基本定理中可以将常数易 为小函数最近，日本的数学家y a m a n o i 将含有小函数的第二基本定理又进行了推广，得 到了下面结论： 引理2 5 设f ( z ) 为丌平而上的非常数距纯函数，a ，( z ) ( - 一1 ，2 ，g ) 为f ( z ) 的口个 丌棚削别的小函数，则对仃意正实数7 产f ( q 一2 一e ) t ( r ，厂) c 岁( ，_ l ) + s ( 厂，) 筒j ni 1 3 其中r 甓e ，这里e 满足正d 1 0 9 l o g ， 引理2 6 设厂( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数，口q ) 为，q ) 的小函数，则 m ) s 砘，) + 鼬，尹1 帆厂，者+ s ( r ，) 引理2 7 t ：1设，( z ) 是非常数亚纯函数，g ( z ) 为，( z ) 的分式线性变换，如果 丙( r ，三) + 丙p ，) + 两( r ，三) + 一i v ( r ，g ) q + d ( 1 ) ) r ( ，) ( r ，) ( r ，) + ( ，) + ( r ，吉) + ，g ) q + d ( 1 ) ) r ( ，) ( r ，) j o 其中， 1 ，为r 在( 0 ，) 中具有无穷线性测度的一个子集合，并且存在一点z o ，使得 f ( z o ) 一9 0 。) 一1 贝i j 厂暑g 或居曩1 引理2 4 证明由n e v a n l i n n a 第二基本定理得 聊，) s 砘胁k r ( ，尹1 坝r ，南坝r ，) 墨) 坝厂，7 1 ) 畦砜( r ， f - a + i 1 ( ，南删r ，) 羽， ，) 坝厂，尹1 畦瓦( ，南+ j 1 m ，) + 龇，) ( 2 2 1 ) 结合引理条件，由( 2 2 1 ) 得 扣 ，) s 砘g ) + 砘詈) + 三研，专+ 北小差毗g ) + 眠，) ( 2 2 2 ) 因为a ( g ) 为有穷非整数，由( 2 2 2 ) 推得a ( 厂) ，且a ( 厂) sa 0 ) 下面分两种 情况讨论： ( i ) 若厂( z ) 置9 0 ) ，则a ( 上) a ( 厂) - a ( g ) ，引理成立 g ( i i ) 若，( z ) g ( z ) ，根据定理条件厂= 0 仲g - 0 ，f 一g 一，设 塑；已忡) ， ( 2 2 3 ) g ( z ) 其中h ( z ) 为整函数利用引理2 3 得a ( e 坼) 为整数同时由引理2 1 及( 2 2 3 ) 可 得 z ( e 6 2 ) sm a x a ( f ) ，a ( g ) = z ( g ) ， 由于a ( g ) 为有穷非整数，所以a ( 矿。) a ( g ) 由引理2 2 得a ( 2 ) c a ( 厂) 一a ( g ) 弓i 理2 6 证明 1 4 设 、 显然有 由第二基本定理有 非，；等等 t ( r ，g ) = t ( r ，) + s ( r ，) t ( r ，g ) sn 一( r ，g ) + 万( ，马+ n ( r ，与+ s ( r ，g ) 由( 2 2 4 ) 易知 万( ，g ) + ( ，马+ 万( ，b s ( ，厂) + g ( r ，二) 1 + n ( r ，士) + n ( r ，马 rr aa s 砘小矾，尹1 坝r ，南删r ，) 南( 2 2 5 _ ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 即得引理2 6 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 2 3 定理2 1 的证明 假设f ( z ) 乒g ( z ) ，根据定理条件厂一0 付g - 0 ，f - hg 一，设 地。已 ( 引， ( 2 3 1 ) 一_ 。工， g q ) 其中h ( z ) 为整函数由引理2 4 与( 2 3 1 ) ，可得 z ( e ) 1 ，由( 2 3 6 ) 得a ( 厂) s z ( e ) 与( 2 3 2 ) 矛盾这就证明了厂暑g 2 4 定理2 2 的证明 假设厂( z ) ，g ( z ) ，根据定理条件，一o g o ，厂* g 。，设 丛堕p ( z ) ， ( 2 4 1 ) g ( z ) 其中 ( z ) 为整函数由引理2 4 与( 2 4 1 ) ，可得 a ( e “) 2 一再再k s ， 2 5 定理2 3 的证明 假设厂( z ) g q ) ，根据定理条件厂一o g 一0 ，f 0 0 付g 一，设 塑；e 悱) ， ( 2 5 1 ) 9 0 ) 其中h ( z ) 为整函数由引理2 4 与( 2 5 1 ) ，可得 a ( e ) 2 ，由( 2 5 5 ) 得a ( ，) s a 。6 ) 与( 2 5 2 ) 矛盾，这就证明了厂- g 2 6 定理2 4 的证明 假设f ( z ) g ( z ) ，根据定理条