（数量经济学专业论文）基于极值理论（EVT）的风险价值估计.pdf

y 5 7 7 4 3 e 摘要 风险价值法是当今国际上金融风险管理的主流方法之一，许多金融机构和研究 者投入了大量的人力、物力对其进行了深入的研究，并形成了多种不同的计算风险 价值的方法。如 j .p .m o r g a n的风险矩阵方法、 基于计算机模拟的蒙特卡罗 ( m o n t e c a r l o )方法等等。然而，在绝大多数计算方法中，正态分布都无一例外的被作为最 基本的前提假设，但很多文献研究证明，金融回报序列往往呈现出明显的尖峰厚尾 特性，这就使得在正态分布假设下所计算出的风险价值常常会低估实际风险。其原 因就在于正态分布假设不能很好的体现回报分布的尾部特征。为此，本文尝试引入 基于极值理论的两种新算法来克服正态分布的这一缺陷，以达到提高风险价值估算 精度的目的。本文论述了 基于极值理论的两类不同的算法。一类是以越槛高峰模型 ( p e a k o v e r t h r e s h o ld )为核心的算法，本文第二章对该算法进行了详细的理论推导 并利用上海、深圳两地的日 收盘指数进行了实证分析。这一类算法的基本思想是对 回报数据中的超额数进行建模，利用极值理论的一些结果，引入广义帕雷托分布 ( g p d )来拟合超额数的分布，最终得到回报分布的最左端样本值的分布函数，然 后即根据风险价值定义直接求得 v a r ;另外，在推导过程中， 本文提出了预期不足 额的概念，并给出了具体的计算公式，指出通过将风险价值 、 ,a r和预期不足额搭配 可以取得比较好的风险管理绩效;在本章最后，还利用两种不同的方法对所选取的 模型进行了后验检验。第二类算法是二次子样算法，其基本思想是通过两次抽样来 确定尾部参数的估计值，然后利用幂指数规则和正则规则求得高概率水平下的回报 分布分位数，以此作为相应的v a r估计值。在本方法中，最关键的是确定降序统计 量的序数值m和相对应的样本值， 这一点是通过寻求渐近均方误差 a n i s e最小化来 来华 创 飞 份 、 r i 成意 1 勿全文公 。 p 实现的，文中第三章对这一点用了较大的篇幅进行论述。对于这两种不同的算法， 木文都给出了理论推导和相应的实证分析，结果均表明，对于较高的置信水平，两 类计算方法的表现都优于正态分布假设下的各种计算方法。第四章将以极值理论为 基础的算法和传统的计算方法进行了综合，给出了在任意概率水平下的分位数的估 计，从而将风险价值的估计从仅仅局限于高概率水平的尾部扩展到整个数轴，弥补 了极值理论算法只适宜高概率水平的不足。 第五章是本文的总结部分， 在这一章中， 详细指出了极值理论方法的各种不足并对金融风险管理方法的未来发展做了一些展 望。 关键词:风险价值p o t 模型广义帕雷托分布二次子样 渐近均方误差 abs tract v a l u e a t r i s k ( v a r ) i s n o w o n e o f t h e m o s t p o p u l a r m e t h o d s w h i c h a r e u s e d t o m a n a g e f i n a n c i a l r i s k i n t h e w o r l d . ma n y c o r p o r a t i o n s a n d s c h o l a r s t a k e g r e a t e ff o rt s t o s t u d y t h i s p r o j e c t . t o t h i s d a y a l o t o f c o m p u t i n g a r i t h m e t i c h a s b e e n b r o u g h t f o r w a r d s u c h a s j .p .mo r g a n s r i s k me t r i c s , mo n t e c a r l o s i m u l a t io n a n d s o o n . h o w e v e r , i n t h e m o s t m e t h o d s o f v a r c a l c u l a t i o n , n o r m a l d i s t r ib u t i o n o f r e t u rns i s u n q u e s t i o n a b l y c h o s e t o s e r v e a s t h e e l e m e n t a r y h y p o t h e s i s . ma n y e m p i r i c a l s t u d i e s i n d i c a t e t h a t t h e r e a l d i s t r i b u t i o n o f t h e p e r c e n t a g e p r i c e c h a n g e i s n o t n o r m a l d i s t r i b u t i o n f o r i t h a s p a lp a b l e f a t t e r t a i l s a n d a t h i n n e r wa i s t . s o t h e v a r o n t h e b a s i s o f n o r ma l d i s t r i b u t i o n o ft e n l e a d s t o u n d e r e s t i m a t i o n o f t h e r e a l r i s k . t h e r e a s o n l i e s in t h e h y p o t h e s i s w h i c h c a n n o t e x h ib i t t h e t a i l s c h a r a c t e r o f t h e r e a l lo s s . i n t h i s p a p e r t w o n e w a r it h m e t ic s b a s e d o n t h e e x t r e m e v a l u e t h e o r y a r e a p p l i e d t o c o n q u e r t h e s h o r t c o m i n g o f n o r m a l d i s t r i b u t i o n h y p o t h e s i s i n o r d e r t o i n c r e as e t h e a c c u r a c y o f v a r e s t i m a t i o n . o n e o f t h e a r i t h m e t i c e v o l v e s a r o u n d t h e p e a k o v e r t h r e s h o l d m o d e l ( p o t ) , it s p o s t u la t e i s t o in v e s t i g a t e t h e e x c e s s d a t a o f r e t u rn s a m p l e s . a c c o r d i n g t o t h e e x t r e m e v a l u e t h e o ry , w e c a n o b t a i n t h e p a rt i c u l a r d i s t r ib u t i o n o f t h e m o s t l e ft s a m p l e s i n v i rt u e o f g e n e r a l i z e d p a r e t o d i s t r i b u t i o n fu n c t i o n ( g p d ) , a n d t h e n v a lu e a t r i s k c a n b e d i r e c t l y c a l c u l a t e d i n t e r m o f i t s d e fi n i t i o n . i n a d d i t i o n , w e p u t f o r w a r d t h e c o n c e p t o f e x p e c t e d s h o rt f a l l ( e s ) a n d s i m u l t a n e o u s l y g i v e t h e d e t a i l e d c a l c u l a t i o n f o r m u l as. p o s i t i v e a n a ly s e s h o w s t h a t w e c a n r e c e i v e e x c e l l e n t e ff e c t w i t h t h e i n t e g r a t i o n o f v a r a n d e s .i n t h e f i n a l i t y o f t h i s c h a p t e r , w e p r e s e n t t w o m e t h o d s o f t e s t i n g t h e m o d e l s v a l i d i t y . t h e o t h e r i s c a l l e d t w o s t e p s u b s a m p l e b o o t s t r a p . i t s p i v o t a l p o i n t l i e s i n c o n f i r m i n g t h e e s t i m a t e d v a l u e o f t h e t a i l s p a r a m e t e r s b y t w i c e s a m p l i n g . a ft e r t h i s s t e p , w e c a n o b t a i n t h e h i g h p r o b a b i l i t y l e v e l s q u a n t i l e s t h r o u g h p o w e r l a w . t h e q u a n t i l e s t h e n c a n b e r e g a r d e d a s c o r r e s p o n d i n g v a r . i n t h i s m e t h o d t h e d i f f i c u l ty i s h o w t o e s t i m a t e t h e s a m p l e o r d i n a l n u m b e r m a n d r e l e v a n t s a m p l e v a l u e s n . t h e s o lu t i o n o f t h i s p r o b l e m i s t o s e a r c h a s n w h i c h c a n m i n i m i z e as y m p t o t i c m e a n s q u a r e d e r r o r ( a ms e ) .t h e t h i r d c h a p t e r d i s c u s s e s t h i s p r o b l e m i n d e t a i l . i n c o n c l u s i o n , t h e a r i t h m e t i c i s b o t h m o r e e f f i c i e n t t h a n t r a d i t i o n a l c a l c u l a t io n m e t h o d e s p e c i a l l y i n h i g h p r o b a b i l i t y l e v e l . t h e f o rt h c h a p t e r c o m b i n e s t h e n e w m e t h o d s b a s e d o n e x t r e m e v a l u e t h e o ry w i t h t r a d i t i o n a l o n e s a n d g i v e s a l l e s t i m a t i o n s o f q u a n t i l e s i n a n y p r o b a b i l i t y l e v e l . t h e n t h e y e x p a n d th e c o m p u t a t i o n o f v a r t o t h e w h o l e r e t u rn d i s t r ib u t i o n a n d r e m e d y t h e s h o rt c o m i n g w h ic h i s o n ly a p p l i c a b l e t o h i g h p r o b a b i li t y l e v e l . t h e f i ft h c h a p t e r i s s u m m a r i z a t i o n o f t h e w h o l e p a p e r . i t p o i n t s o u t a l l t h e l i m i t a t i o n s o f a r i t h m e t i c b a s e d o n e x t r e m e v a l u e t h e o r y a n d m a k e m e n t i o n o f t h e p r o s p e c t o f t h e c o m i n g d e v e l o p m e n t o f f i n a n c e r i s k m a n a g e m e n t k e y w o r d s : v a l u e a t r i s k p e a k o v e r t h r e s h o ld ( p o t ) m o d e l ge n e r a l i z e d p a r e t o di s t r i b u t i o n a s y m p t o t i c me a n s q u a r e d e r r o r t w o s t e p s u b s a m p l e b o o t s t r a p 1 风险价值的总体概况 1 . 1 风险价值的产生背景 近年来，受经济全球化和金融自由化、竞争与放松管制以及金融创新与技术进 步等因素的影响，全球金融市场发生了基础性和结构性变化，金融市场规模迅速扩 大，效率明显提高，与此同时，金融市场的波动性和系统风险也大为加剧，在诸多 类型的金融市场风险中，金融市场风险具有特殊的地位，不仅所有金融资产都面临 着市场风险，而且市场风险往往是其他类型金融风险的基础原因. 在这种情况下，客 观上要求有一种能够方便迅速地量化金融机构或者投资者所面临的金融市场风险的 有效工具; 另外，从监管当局的角度来看，为了 保持整个金融系统的稳定， 确保一国 国民经济平稳有序的运行， 也迫切需要一种工具来实时标定金融机构所暴露的风险， 然后通过这一工具把风险承担过高的金融机构遴选出来，并给予更多的关注，这样 便可把金融机构发生破产乃至整个金融系统发生震荡的概率大幅降低。在这两方面 需求的推动下，一种能 全面测量复杂投资组合市场风险的方法 一风险价值法( v a r ) 便 应运而生了， 它由g 3 0 集团在1 9 9 3 年发表的题为 衍生产品的实践和规则的报告 中 首次 提出， 并迅速得到了 广泛的 运用( 0 风险价值( v a r ) 法，目 前已 经成为了 全球大多数金融机构管理自 身金融风险的 最 重要方法之一，自1 9 9 3 年g 3 0 报告发表后， 4 3 %的衍生产品交易商声明 他们正在使 用v a r测量其市场风险，3 7 %的交易商表示在 1 9 9 5 年底前将要使用v a r . 另外 1 9 9 5 年wh a r t o n 商学院的一项调查表明，在美国非金融企业中使用v a r评估其衍生交易 风险的大约占2 9 %, i n v e s t o r 杂志1 9 9 5 年的调查指出， 3 2 %的被调查企业使用了v a r , 而纽约大学同 期的调查指出， 6 0 % 的养老基金使用了v a r z 1 . v a r的含义可描述如下: 即在正常的市场条件下和给定的置信度内，某金融资产 或投资组合在未来特定的 一段时间内的最大可能损失， 称之为 ” 风险价值” 3 1 ， 用公式 表示如下: p r ( a p_ x (z ) ? a _ x (a ) ， 令 戈1) = m a x ( x x 2 ,a x 小x (z ) = m i n ( x x z , a x . ) 记 它们的分布函数分别为f , ( x ) , f z ( x ) ，由 统计学知识可得到: 式 ( x ) = p r ( 戈， 0 ) 0 , ( x 0 ) , ( a 0 ) 布布 分分 we i b u l l f x ) e x p ( 一 ( - x ) ) , 1 , ( x 0 ) ( x 0 ) , (a 0 ) j e n k i n s o n提出了一个广义极值分布模型，集以上三种于一个分布，其分布函数 h ( x ) =e x p ( 1 一 ( 1 + 乒 ) 1 ) , ( 4 $ 0 ) e x p ( - e - x ) , ( 4 = 0 ) 这里 毛是 形 状参 数， 它的 取 值 决 定了 分 布的 种 类， = o 时，h y ( x ) 对 应的 是 g u m b e l 分布，属于这一类型的分布有常见的正态分布、指数分布、对数正态分布， 这 一 类 分 布 是 薄 尾 分 布 ; 0 时 ， 乓( x ) 对 应 的 是 f r e c h e t 分 布 ， 这一类型的分布有帕雷托分布、柯西分布、 t 分布等等，这类分布的尾部较正态分布 更厚，拟合实际金融数据回报相当好，在风险管理领域，最受关注的即是这一类分 布9 1 1 0 1 2 . 2 基于p o t模型的风险价值估计 p o t ( p e a k o v e r t h r e s h o l d ) 模型是极值理论的一 个分支， 它的主 要 特点 是 对超过 某一阂值( t h r e s h o l d ) 的所有观测值( 即峰值，p e a k ) 进行建模， 峰值出 现的时间 称为峰 时， 峰值与阑值之间的差定义为超额数 1 1 1 . p o t 方法的思路即是根据极值理论， 利用 f r e c h e t 分布 类型 1 2 中 的 广 义帕 雷 托 分 布 ( g e n e r a li z e d p a r e t o d is tri b u t i o n ;g p d ) 来 拟 合 超额数分布，由超额数分布间接得到最后的实际样本极端值分布 ( 在风险价值计算 中， 通常是左尾的极端值分布) ， 然后根据这一分布直接求出风险价值。 g p d分布由 p i c k a n d s在 1 9 7 5年首次提出，d a v i s o n ( 1 9 8 4 ) , s m i t h ( 1 9 8 4 , 1 9 8 5 ) ,v a n m o n t f o r t和 w r it e r ( 1 9 8 5 ) 做了 进一步的 研究， 它广 泛应用于极 值分析， 拟合保险 损失以 及可靠 性 研究领域. 当然，p o t 模型的使用必须满足一些前提假设: ( 1 )超额数彼此相互独立且均服从g p d分布. ( 2 ) 超额数产生的时间服从泊松分布. ( 3 )超额数与超额数的产生时间相互独立 在实际金融回报时间序列中，这三个条件一般来说都能得到满足，本文中，均 认为所选取的样本数据满足以上三个条件。 2 . 2 . 1 p o t棋型的 理论基础 p o t模型称为越槛高峰模型 ( p e a k o v e r t h r e s h o l d ) ，它的主要特点是对样本中 超过某一充分大的闭值的所有观测值进行建模。 假定x x 2 . . .x n 是独立同 分布 ( i i d )的随机变量， 其分布函数记为f ( x ) , x o 表示f c x )的右端点，它可能是有限的也可能是无限的。即: x 0 = s u p x , e r : 只 x ) 1 ) ， 用u 表示一充分大的a l 值， 设超过u 的样本个数为n u . ， 分别记 为x , ， x 2 . . .x n u 则样本超额数y可表示为: y j= x ;- u ， 这里i = 1 , 2 . . . n , 我们可得到超过某一ia 1 值的超额 数 即y 。 的 分 布 函 数: f ( y ) = p r ( y u 其 中 。 _ y u ) p r ( x一 u u )p r ( u u ) f ( y + u ) 一 f ( u ) 1 一 f ( u ) 由前面的推导， 同时根据 那么其极限分布可以化为参数 ( 2 . 1 ) f i s h e r - t i p p e t t 定理， 若己 知极大值序列依分布收敛， 毛 ，13取 某 特 定 值的 广 义 极 值 分 布h l , 6 ( x ) ， 另 外 ， b a lk e m a ,d e h a a n ( 1 9 7 4 ) 和p ic k a n d s ( 1 9 7 5 ) 的 研 究结 果 表明 ， 当u - 4 x 。 时， 超额 数的 分 布 可以近似为极值分布中的广义帕雷托分布，即. jim s u p if , (y ) 一 g ,a (y )i = 0 u ， s o 0 5 y 5 x , - u 广义帕雷托分布的分布函数表示如下: 。，1奋 、 专， 。 。 、 订e . b= , 一l 十， 二 ), l s不 v ) p 这 里 ， 0 , 当 _ 。 时 ， y ? 0 , 而 当 (0 时 ，,0 0 时， g p d为 一参数调整 后的 帕雷托分布， 且 为厚尾分布。 2 . 2 . 2 确定阅值 ( 1 ) 平均 超额函 数法( m e a n e x c e s s f u n c i o n ;m e f ) 将所有样本值按从小到大排列， 即得顺序统计量x ( 1 ) . x (2 ) ._ x ( n ) . u 为界于x ( 1 ) 和x (n 。 之间的 任意 值， 即:x ( 1) u x w o 定义平均超额函数:e ( u ) = e ( y ) = e x一 u ix u ( x ， 一 u ) 、护1-.乏阁 几艺间-、. 则样本超额函数为:e . ( u ) = 1 ( x , ) 式中 分子 表示对 任意u ， 在x ; u 的 条 件下，x ; - u 的 总和， 分母表示x ; u 的 样 本个数。对于g p d模型，积分求其平均超额函数为: _ j _ .、 _to 十 如 : _ ， e k u夕 =二 一二 -， 与、1 1 一5 则对 u 求导可得: d e ( u ) du i 一 咨 因而若将 常数. 这表明e ( u ) 是关于u 的 线性函 数， 作散点图当观察到超过某一临界值 u 值为阐值。 ( 2 ) h i l l 图法 u 设为横轴( x ) , e ( u ) 设为纵轴( y ) o 后 e ( u ) 呈明显的线性变化时，则我们可定此 u 鱼x() 定义 h i l l 统计量 h kh k = 贵 k _i k ;_, (l nx (,) l n x (k ) ) = 冬 全 l n 其中x o )表 示 样本中 的 第i 个降 序 统计 量， k = 1 ,2 ,a n - 1 , n 为 所 采集 得 样 本容 量 大 小 . 以k 为 横 轴， h 厂 ， 描 点 作 图 ， 当 观 测 到h ， 趋 于 稳 态时 ， 即 可 选 取k 所 对 应的 样 本 数 据x (k ) 作 为 阐 值 ， 此 时 。 二 戈 k ) 以上两种方法均可以确定阐值，实际计算中可将两种方法结合起来以使阐值的 选取更精确. 2 . 2 . 3 g p d模型的参数估计 由 前 述 可 知 ， f . ( y ) 可 用吼 .d ( y ) 近 似 代 替 ， 则 : 几 (y ) 一 g s,a (y ) _ 去 (1+ 4 夕 一含一对 数 似 ” 函 数 为 : 由 似然函数可推出似然方程 y 考-刀 + n l n( ,6 ;y ) = 一 、 。 in p - (1+ 1 ) 一 n 十 (1 + 。 nu1 + )s 二 书 共 ， f言 / 1 v j +刽， ) a 乙 n 奋 y l n(l + y; ) t一 (1 + 1 )y y i ;_, r + d ; 在实际计算中，可直接将样本数据输入s - p l u s 软件以求得各参数的估计值， 2 . 2 . 4 v a r的计算 从数学意义上讲，v a r实质上指的是资产回报的分位数，因而，在确定的置信 水平下可以 通过求x = f - ( c ) 得到v a r 1 3 . 由公式( 2 . 1 ) f ( x ) = 1 一 f ( u ) ) 凡( x 一 u ) + f ( u ) , 易 知 : f ( u ) = 1 一 兰， 而由 极 值 理 论 知 f ( x 一 u ) - g , ,a ( x 一 u ) ， 则 上 式 可 化为 : f ( x ) 一 兰g c,a (二 一 。 ) + (卜 n y ) 一 卜 n l p +， 一 。 ) n n j 定义v a _ 会 其方差为: 2 一 1 p (1 一 为 这里k 表示发生违背的数据个数， n 为检验样本个数。 对于任意的n ， 计算区间: j 一 1 一 声 一 : 。 次 1 - 声 + : 。 内， 然 后 看 看 估 算v a r 时 所 选 定 的 置 信 水 平 是 否 落 在 区 间j 2z 内，如果是，则认为p o t 模型有效，反之，p o t 模型的有效性就值得怀疑了。 还可以用另外一种方法来检验，称之为 b a s l e法。该方法的基本思想是:在一定 容量的检验样本数据下，即样本容量有限的情况下，违背个数应该有一个确定的范 围，若违背个数过大，超出了这个范围，则认为模型不可靠，反之，违背个数在这 个范围之内，则认为模型是适用的。具体的取值范围如下表所示: ( 注:检验样本取为2 5 0 个) : 表 2 - 1 b a s l e 法 样本数量区域 9 9 %9 59 0 % 2 5 0 绿0 4 0 1 70 - 3 2 黄5 91 82 6 3 3 - 4 3 红 92 6 4 3 上图中，绿色表示模型可以接受，黄色表示模型的质量不确定，红色表示模型 应该被拒绝。 2 . 2 . 6 p o t模型的 进一步引申: 预期不足额 v a r通常为资产回报分布的 9 5 %或者 9 9 %的分位数 a r tz n e r , , d e l b e a n和 h e a t h ( 1 9 9 7 ) 认为v a r 作为 衡 量极 端风险的 量 化指标时 要注意两点: 单 个资 产或者组 合 的v a r 值并不一定满足次可加性( s u b a d d i t i v e ) , 亦即单个资产或者组合的v a r加总值 通常会低于整体资产组合之v a r ; v a r不能提供高于所设临界概率以上的可能损失的 任何 信息基于此考虑， 他们提出了 预期不 足额( e x p e c t e d s h o r t f a l l : e s ) 的 概念. 预期不足额定义为以x v a r为条件的预期损失，即: e s = e ( x ix v a r ) ， 显 然 ， 它 度 量 的 是 当 损 失 超 过v a r 时 损 失 的 期 望 值 . 由前述结论可得出在 c 的置信水平下的预期不足额计算公式: e s , = v a r 。 + e ( x 一 v a r , i x v a r ) 而由 极 值 理 论 可 类 似 推 得 : f , r 。 ( x - v a r , ) 一 乓 .e ( x - v a r , ) 故 可 类 似 得 到 : e ( x 一 v a r , i x v a r , ) = ,6 + 咨 ( v a r 。 一 u ) 1 一 考 综合以上可得预期不足额 e s的表达式 e s , = v a r + ,(3 +宜 (var , - u)1- - + 全 ( v a r , - u ) ( 2 2) 上 式 可 调 整 为 :e s , 二 卜 a r ,1 一 ( 1 一 古 ) v a r , ( 2 3) 当c 越接近于1 时， v a r越大。 上式右边第二项越接近于0 ， 此一比值就越由右 边第一项决定。 此时， 若 毛为正且越接近1 ( 即资料相当厚尾时) ， 此一比值将会越 大，也越显示 v a r在管理上的不足性。 2 . 3 实证分析 本文所采用的数据是上海，深圳两市的日收盘指数，采样区间是 1 9 9 3 年 1 月3 日至 1 9 9 9 年 1 月 3 1日。定义回报统计量为对数回报，即: r , = l n s , - l n s , _ , , s t 表示 第t 日 的 收 盘指 数。 在实际计算中，我们考虑的是最大可能损失即回报分布的左尾，故为和以上 结论一一对 应， 应 取r c 的 相反 数。 数据的 基本 统计量 如下1 1 4 1 . 表2 - 2 回报的基本统计量 统计量上海股市日回报深圳股市日回报 极小值( mi n ) - 0 . 2 0 4 8- 0 . 2 2 3 5 极大值( ma x ) 0 . 3 3 4 9 0 . 4 8 2 3 标准差( s t d d i v ) 0 . 0 3 2 80 . 0 2 6 9 均值( m e a n ) - 0 . 0 0 0 10 . 0 0 0 1 偏度( s k e w n e s s ) 1 . 3 0 9 0 . 6 3 2 峰度( k u rt o s i s ) 1 5 . 8 7 71 2 . 6 5 8 方差( v a r i a n c e ) 0 . 0 0 1 1 0 . 0 0 0 7 从表2 - 2 的给出的统计量可以看出， 上海股市和深圳股市的日回报均值非常接近 于0 ， 这一点和实际中股市日回报均值为0 的事实是一致的: 两者的偏度均不等于0 l 且为正值， 表明回报是有偏的: 最为特殊的是两者的峰度均远高于正态分布下的3 . 0 , 其中上海股市日 对数回报的超额峰度为 1 2 .7 9 6 ，深圳股市日 对数回报的超额峰度为 9 .7 0 3 ， 这些表明 我国 股市的回 报分布的 确存在“ 尖峰 厚尾” 现象i 5 。 因此， 若仍然 采用传统的正态分布假定来计算v a r则势必带来较大误差，故采用能较好描述厚尾 特征的p o t模型来计算v a r . 由 s - p l u s 软 件 的 极 值 函 数 功 能 可 很 方 便 的 得 到 各 个 参 数 的 估 计 值 : 之 老 ， 户 。 表2 - 3 .参数估计值 上海股市深圳股市 u0 . 0 1 4 9 0 . 0 1 5 1 毛 0 . 1 4 4 9 ( 0 .0 8 6 9 )0 . 1 5 8 1 ( 0 . 0 7 1 4 ) s 0 .0 0 9 7 ( 0 .0 0 0 9 ) 0 . 0 1 0 9 ( 0 . 0 0 1 0 ) 根据前面所述之、 ,a r计算式，选取不同的置信水平c 分别计算v a r ，另外，为 了便于比较，本文也分别计算了回报分布设定为正态分布时的、 ,a r值，结果列于下 表: 表2 - 4 v a r的 结果比 较 上海股市 置信水平 正态分布下的、 7a rp o t模型下的v a r 9 0 % 0 .0 2 3 90 . 0 2 4 5 9 5 % 0 . 0 2 8 4 0 . 0 3 3 7 9 9 % 0 . 0 3 4 70 . 0 4 8 8 深圳股市 置信水平正态分布下的、 a r p o t模型下的、 a r 9 0 % 0 . 0 2 7 50 . 0 2 9 3 9 5 %0 . 0 3 1 8 0 . 0 3 4 8 9 9 % 0 . 0 4 1 10 . 0 5 8 9 从上表可以看出， 总的来说， 于p o t 模型下计算出的、 % r值要比正态分布模型 下计算出的v a r值大， 特别是当置信水平取的越高时， 例如大于9 5 %时， p o t 模型 下的、 a r值要比正态分布假设下的、 ia r值大的多， 这一点是必然的. 因为p o t 模型 所使用的数据只来源于超过闭值的那一部分，即回报分布的尾部部分，它所反映的 只是市场发生异常变动的情况， 因 此v a r的计算结果肯定会比正常情况下的 要大 1 6 1 这在某种程度上是对正态分布低估、 ra r的一种校正。 这也反映了p o t模型方法能更 好的把握潜在风险。 把上表中的各个不同置信水平下的、 a r值带入公式 ( 2 .2 )求得相应的预期不足 额 值 e s ， 然 后 利 用 公 式( 2 .3 ) 分 别 计 算 e s 。 和 低 的 比 值 ， 令 ， 一 冀 ， 11, 12 分 v a r , 别对应上海，深圳股市的1 值。结果列于表2 - 5 a 表2 一 上海，深圳两市之预期不足额 上海股市深圳股市 置信水平e s a1 1e s a1 2 9 0 %0 . 0 3 7 4 7 0 4 5 91 . 5 2 9 4 0 6 4 9 10 . 0 4 3 7 2 5 7 2 71 . 5 4 5 0 7 8 7 1 1 9 50 . 0 4 8 2 2 9 4 3 51 . 4 3 1 1 4 0 5 0 40 . 0 5 1 4 4 6 3 5 91 . 4 7 8 3 4 3 6 4 9 9 90 . 0 6 5 8 8 8 1 8 81 . 3 5 0 1 6 7 7 8 7 0 . 0 8 0 0 7 2 0 8 61 . 3 5 9 4 5 8 1 8 2 从表 2 - 5的结果可以看出，预期不足额较好的反映了超过 、 ra r所可能发生损失 的期望值， 它和v a r值相搭配能更好的反映市场风险: 1 表明， 置信水平选取的越低， 则2 越大，即表示预期不足额与风险价值的差别越大， 置信水平越高， 预期不足额和 风险价值的差别就越小。但是，无论置信水平取值如何，预期不足额和风险价值的 差距均不低于 3 5 %，显示了风险价值作为风险度量工具的不足，因此，应选择预期 不足额来弥补风险价值提供的信息量不足的缺陷。 最后一步是模型的检验， 我们选取的检验样本的容量为2 5 0 个，由b a s l e 方法和 点估计方法来检验模型的有效性，结果列于下表，见表2 - 6 ，表2 - 7 a 表2 - 6 有效性检验 ( b a s l e 方法) 上海股市深圳股市 置信水平违背个数所处区间违背个数所处区间 9 0 % 3绿2绿 9 5 %1绿2绿 9 9 %1绿 1绿 表2 - 7 有效性检验 ( 点估计方法) 子一一才连 上海股市深圳股市 9 0 % 0 . 8 8 3 7 , 0 . 9 1 0 8 0 .8 9 8 5 , 0 .9 1 4 3 9 5 % 0 .9 4 5 4 , 0 .9 6 7 9 0 .9 4 7 1 , 0 .9 6 8 5 9 9 % 0 .9 8 7 7 , 0 . 9 9 9 6 0 . 9 8 7 5 , 0 .9 9 9 6 显然， 从上表可以看出: 在b as l e 方法中，违背个数均落入绿色区域，即接受域 中:点估计方法中， 估计结果也是落入接受域，两方面的检验结果均显示出p o t 模 型还是有很高的可靠性的。但是，我们也应该看到， p o t模型所研究的数据只是样 本数据的一部分，即极端值部分，这决定了其在计算中丢弃了样本总体的一些有用 信息，而仅仅只是反映了极端值的特征，因此，它的计算结果毫无疑问会比考虑了 整个样本分布的传统算法要高很多，这一点从实证分析的结果可以很清楚的看出。 鉴于此，本文建议在置信水平取得的较低 ( 通常是低于9 5 %时)采用正态分布假定 来计算v a r ，而当置信水平取得较高时，应 p o t模型来计算、 a r . 3 基于极值二次子样的v a r估计 与p o t 模型类似，基于极值二次子样的v a r估计只是考虑对尾部的近似表达， 它也不需要对整个分布来进行建模。但是它们也存在着明显的不同，即后者并不直 接去 估计极 值分 布的三 个参数: u , 4 , q。 而是从 样本数据入手， 根据幂指数规则 和正 则规则， 通过两次抽样来估计极端值的分布函 数d 7 l 幂指数规则由h i l l 提出，他认为，具有 “ 尖峰厚尾”特征的回报分布的尾部可 以用一阶帕雷托幂函数的形式来表示，即: p r ( x x ) = 1 一 p r ( x x ) = 1 一 f x ( x ) = f x ( x ) = l ( x ) x - 这里，a是尾部参数，且a 0 。又知道l ( x ) 的 变化速度极为缓慢，故认为在一 定 时 期内 ，l ( x ) 可 视 为 一 常 数 18 1 。 则 回 报 的 尾部 分 布可 进 一步 化 简为: f ( x ) 二 a x ，其中，a 0 . 这样，只需要估计出函数中的两个参数值便可以对回 报分布的尾部进行很好的拟合，从而得到极端情况下的、 恤 r值 1 9 1 以上所给出的是尾部的 一阶近似表达， 许多 研究还给出了f ( x ) 的二阶扩展形式， 其中最为常用的是如下形式: f ( x ) 习一 f ( x ) = 1 一 a x - ( 1 十 b x - 勺 ( 3 . 1 ) 这 里， 。 ， 刀 为 尾 部 指 数， 且 均 大于沙0 ) 。 则 相 应的 概率 密 度函 数为 : f ( x ) = a 二一 。 一 ， 十 a b ( a 十 q ) x - a - h - 1 ， 本文中 只考虑尾部的二阶近似展开。 3 . 1 尾部指数的估计 在p o t 模型中， h i l l 估计量是用来估计闭值u 的，即随着k 的取值，h * 一 逐渐 趋 于 稳 定 ， 则 我 们 选 取 h * 一 ， 趋 于 稳 定 的 起 始点 所 对 应的k ， 相 应的 顺 序 统 计 量x rk ) 即选定为闽值 u ，大于该值的所有样本来估计其他参数 , s。从而可以确定超额 数 的 分 布 函 数， 最 终 求 得v a r 值。 但 是 在 极 值 二 次 子 样中 ， 此 处 是 将h * 一 作 为 尾 部 参数a的估计: 、 = h 、 一 、 1 ery j l nxm)一 l ,x ,m ; 一 = 阵y l n 一 m- mm 丫 x 1; ， 一 x “ 、 - 和上一章类似，这里 x4 ， 仍然表示样本中的第i 个降序统计量。因此，对尾部 指数a的估计依赖于样本序数m值的正确选取， 我们不能仍然沿用上一章中求k ( 相 应 的 这 里 是m ) 的 方 法 来 确 定m ， 因 为 前 者 选k 的 时 机 在 于 使 得h * 一 ， 趋向 于 稳定 时 的相应k 值， 而此处m并不需要满足此项条件， 事实上它所要满足的条件是使得a 即h 、的 渐 近 均 方 误 差a m s e达 到 最 小( 后 文 中 将 具 体 叙 述) 2 1 1. 当 h 、的 值 收 敛 于一个具体数值时， 则此时所对应的m值就是所要求的最优降序统计量序数。 然而， 在h i l l 提出的算法中，并没有给出具体的m值求法，实际应用中只能凭经验进行多 次重复选择， 然后把计算结 果逐个 进行比 较， 选取最小的h ,，很明 显这 种方法具 有很大的随机性， 造成的 误差也是相当大的 2 2 1 为了解决极值估计中从何处截取数据的问题，即m值如何选取的问题，有许多